实变函数与泛函分析基础(第三版)----第五章_复习指导
实变函数与泛函分析基础(第三版)----第五章_复习指导.docx
主要内容本章的中心内容是建立一种新的积分——勒贝格积分理论.它也是实变函数数论研究的中心内容.一、关于勒贝格积分的建立.本章首先引入测度有限点集上有界函数的积分，这是全章的基础，建立有界函数的积分时应注意两点：一是黎曼积分意义下的积分区间，现已被一般点集所代替；二是分划的小区间长度，现已被点集的测度所代替.一般集合上i般函数的积分是通过两步完成的.第一步是建立非负函数的积分.它是通过非负函数表示为有界函数列的极限、把无穷测度集合表示为测度有限集列的极限来完成的.第二步是建立一般函数的积分，它是将其分解两个非负函数（正部与负部）的差的办法来完成的.二、勒贝格积分的性质.勒贝格积分的性质主要反映在以下儿个方面：（1）勒贝格积分是一种绝对收敛积分，即兀兀）在E上可积当且仅当|/（兀）|在E上可积（/（x）在E上可测）.这是它与黎曼积分重要区别之一.（2）勒贝格积分的绝对连续性.设/（力在E上可积，则对任意£>0,存在》〉0,使当e u E且加£<5时，恒有（3）勒贝格积分的唯一性.即£|/（x）|ck = 0的充要条件是/（x） = 0 a.e. T E・由此可知，若f（x）与巩兀）几乎相等，则它们的可积性与积分值均相同.（4）可积函数可用连续函数积分逼近•设/（兀）是可积函数，对任意£>0,存在［°,切上的连续函数從无），使此外尚有许多与黎曼积分类似的性质，如线性性、单调性、介值性等，望同学们自己总结、比较.三、关于积分极限定理.积分极限定理是本章的重要内容，这是由于积分号下取极限和逐项积分，无论在理论上还是应用上都有着十分重要的意义.其中列维渐升函数列积分定理（定理5.4. 1）,勒贝格控制收敛定理（定理5. 4. 2）,和法都定理（定理5.4. 3）在现代数学中都有广泛的应用.同学们不难发现，与黎曼积分相比较，勒贝格积分与极限换序的条件大大减弱，这也是勒贝格积分优越于黎曼积分的重要之处.|H|、关于勒贝格积分同黎曼积分之间的关系.我们知道，若［°,切上的有界函数/（兀）黎曼可积，则必勒贝格可积口二者积分值相等.值得注意的是，上述结论对于广义黎曼积分并不成立.实际上，广义黎曼可 积函数成为勒贝格可积的充要条件是该函数广义黎曼绝对可积.关于勒贝格积分的计算，一般是应用积分的定义借助于积分的性质将其转化 为黎曼积分.五、勒贝格重积分换序的富比尼定理指出，只要/(x, y)在R 〃xRq 上可积即 可将重积分化为累次积分.特别是对非负可测函数来说，可无条件换序，这是勒 贝格积分较黎曼积分的又一优越之处.复习题(一)一、判断题1、 设/(x)是可测集E^R n上的非负简单函数，则f /(x)cLr -定存在。
实变函数论与泛函分析(曹广福)1到5章课后答案
第一章习题参考解答3．等式)()(C B A C B A --=⋃-成立的的充要条件是什么？解： 若)()(C B A C B A --=⋃-，则 A C B A C B A C ⊂--=⋃-⊂)()(. 即，A C ⊂.反过来, 假设A C ⊂, 因为B C B ⊂-. 所以, )(C B A B A --⊂-. 故,C B A ⋃-)(⊂)(C B A --.最后证，C B A C B A ⋃-⊂--)()(事实上，)(C B A x --∈∀, 则A x ∈且C B x -∉。
若C x ∈，则C B A x ⋃-∈)(；若C x ∉，则B x ∉，故C B A B A x ⋃-⊂-∈)(. 从而, C B A C B A ⋃-⊂--)()(.A A CB AC B A C =∅-⊂--=⋃-⊂)()(. 即 A C ⊂.反过来，若A C ⊂，则 因为B C B ⊂-所以)(C B A B A --⊂- 又因为A C ⊂，所以)(C B A C --⊂故 )()(C B A C B A --⊂⋃-另一方面，A x C B A x ∈⇒--∈∀)(且C B x -∉，如果C x ∈则 C B A x )(-∈；如果,C x ∉因为C B x -∉，所以B x ∉故B A x -∈. 则 C B A x ⋃-∈)(. 从而C B A C B A ⋃-⊂--)()(于是，)()(C B A C B A --=⋃-4．对于集合A ，定义A 的特征函数为⎩⎨⎧∉∈=Ax Ax x A ,0,1)(χ， 假设 n A A A ,,,21是一集列 ，证明：（i ）)(inf lim )(inf lim x x n nA nnA χχ=（ii ）)(sup lim )(sup lim x x n nA nnA χχ=证明：（i ）)(inf lim n nm N n n nA A x ≥∈⋂⋃=∈∀，N∈∃0n ，0n m ≥∀时，m A x ∈.所以1)(=x mA χ，所以1)(in f=≥x mA n m χ故1)(inf sup )(inf lim ==≥∈x x m n A nm N b A nχχN n A x n n∈∀⇒∉∀inf lim ，有n k A x n n nm ≥∃⇒⋂∉≥有0)(inf 0=⇒=⇒∉≥x A x m nk m A nm A k χχ，故0)(i n f su p =≥∈x mA nm N b χ ，即)(i nf lim x nA nχ=0 ，从而)(inf lim )(inf lim x x n nA nnA χχ=5．设}{n A 为集列，11A B =，)1(11>⋃-=-=i A A B j i j i i 证明（i ）}{n B 互不相交（ii ）i ni i ni B A N n 11,===∈∀证明：（i ）m n N m n ≠∈∀,,；不妨设n>m ，因为m n i n i n n A A A A B -⊂-=-=11，又因为m m A B ⊂，所以m n m n n B A A A B -⊂-⊂，故 ∅=m n B B ，从而 {∞=1}n n B 互不相交.（ii ）因为)1(n i i ≤≤∀，有i i A B ⊂，所以i ni i ni A B 11==⋃⊂⋃，现在来证：i ni i ni B A 11==⋃⊂⋃当n=1时，11B A =；当1≥n 时，有：i ni i ni B A 11===则)()()()()(11111111111i ni n i n i i n i n i n i n i n i i n i B B B A A A A A A =+==++=+=+=-=-==事实上，i ni A x 1=⋃∈∀，则)1(n i i ≤≤∃使得i A x ∈，令}{ni A x i i i ≤≤∈=1|min 0且则 i ni i i i i i B B A A x 111000=-=⊂=-∈ ，其中，当10=i 时，∅=-=i i i A 110 ，从而， i ni i ni B A 11===6．设)(x f 是定义于E 上的实函数，a 为常数，证明： （i ）})(|{a x f x E >=}1)({1n a x f n +≥∞=(ii)})(|{a x f x E ≥=}1)({1na x f n ->∞=证明：（i ）})(|{a x f x E x >∈∀E x ∈⇒且a x f >)(}1)(|{1)(,na x f x E x E x a n a x f N n +≥∈⇒∈>+≥∈∃⇒且使得 ∈⇒x ⊂>⇒+≥∞=})(|{}1)(|{1a x f x E n a x f x E n }1)(|{1na x f x E n +≥∞=反过来，{N n n a x f x x E x n ∈∃+≥∈∀∞=},1)(|{1 ，使}1)(|{n a x f x E x +≥∈即E x a na x f ∈>+≥且1)( 故})(|{a x f x E x >∈所以 })(|{}1)(|{1a x f x E n a x f x E n >⊂+≥⋃∞= 故}1)(|{})(|{1n a x f x E a x f x E n +≥>∞=7．设)}({x f n 是E 上的实函数列，具有极限)(x f ，证明对任意常数a 都有：}1)(|{inf lim }1)(|{inf lim })(|{11k a x f x E k a x f x E a x f x E n n k n n k +<=+≤=≤∞=∞=证明：N ∈∀≤∈∀k a x f x E x },)(|{，即ka a x f 1)(+≤≤，且E x ∈因为N n x f x f n n ∈∃=∞→，)()(lim ，使n m ≥∀，有ka x f n 1)(+≤，故，)}(1)(|{n m k a x f x E x m ≥∀+≤∈ 所以∈x }1)(|{ka x f x E m n m +≤≥}1)(|{k a x f x E x m n m N n +≤∈≥∈ = }1)(|{inf lim ka x f x E m n +≤，由k 的任意性：}1)(|{inf lim 1k a x f x E x n n k +≤∈∞= ，反过来，对于}1)(|{inf lim 1ka x f x E x n n k +≤∈∀∞= ，N k ∈∀，有 }1)(|{inf lim k a x f x E x m n +≤∈= }1)(|{ka x f x E m n m N n +≤≥∈ ，即n m N n ≥∀∈∃，时，有：k a x f m 1)(+≤且E x ∈，所以，k a x f x f m m 1)()(lim +≤≤且E x ∈.∞→k 又令，故 E x a x f ∈≤且)( 从而})(|{a x f x E x ≤∈故 })(|{a x f x E ≤=}1)(|{inf lim 1ka x f x E n nk +≤∞=9设f(x)是定义于e 上的实变函数，a 为常数，证明e(x){f(x)>=a}=∩e{x/f(x)>a -1/n} 由于对任意n 都有e{f(x)≥a}⊂e{f(x)>a-1/n},故e{f(x)≥a}⊂∩e{f(x)>a -1/n} 又对任意x ∈∩e{f(x)>a -1/n}，有f(x)>a-1/n,令n→∞，可得f(x)≥a（详细：如果f(x)<a ，则令δ=a -f(x)>0,当N>[1/δ]+1时，得f(x)>f(x),矛盾） 所以x ∈e{f(x)≥a}，因此∩e{f(x)>a -1/n}⊂e{f(x)≥a}，综上 e{f(x)≥a}=∩e{f(x)>a-1/n}8． 设)}({x f n 是区间（a ，b ）上的单调递增的序列，即≤≤≤≤)()()(21x f x f x f n若)(x f n 有极限函数)(x f ，证明：R a ∈∀，})({})({1a x f E a x f E n n >⋃=>∞=证明： })({a x f E x >∈∀，即：E x ∈且a x f >)(，因为)()(lim x f x f n n =∞→所以00,n n N n ≥∀∈∃，恒有：E )(∈>x a x f n 且，从而，})({0a x f E x n >∈})({1a x f E n n >⊂∞=反过来，N n a x f E x n n ∈∃>∈∀∞=01},)({ ，使})({0a x f E x n >∈，故0n n ≥∀，因此，a x f x f x f n n n >≥=∞→)()()(lim 0且E x ∈,即，})({a x f E x >∈，从而，})({})({1a x f E a x f E n n >=>∞=10．证明：3R 中坐标为有理数的点是可数的。
实变函数与泛函分析基础》习题解答
习题 1.4
1. 证：记[0,1]上的无理数所成之集为 I，[0,1]上的有理数全体为 Q．若 I
可数，则 I ∪ Q = [0,1] 可数，这与[0,1]不可数矛盾． 2. 证： A ∈ 2[0,1] ，则 χ A (x) ∈ F．于是 2[0,1] 与 F 的一个子集对等，故
F ≥ 2[0,1] = 2C ．另方面， f ∈ F ，{(x, f (x) x ∈[0, 1]}∈ 2R2 ．于是 F 对等于
一个子集对等，从而至多可数．
2. 设单调增函数 f 的间断点集为 D， x0 ∈ D : x0 →( f (x0 − 0), f (x0 + 0))
此对应是 D 到直线上某些互不相交的开区间所成之集的一个对等，由习题 1 知，
D 至多可数．
3. An 为 A 的 n 个元素所成子集的全体．由定理 1.3.7 知 An 可数，从而由定
∪ x ∈ A ∩ Bα ⇔ x ∈ ( A ∩ Bα ) ． α∈Γ
2.
①因
U U Aα U Bα ⊂ ( Aα ) U ( Bα ) ， 所 以
α∈Γ
α∈Γ
U U U U U ( Aα U Bα ) ⊂ ( Aα ) U ( Bα ) ． 另 一 方 面 Aα ⊂ ( Aα U Bα ) ，
α∈Γ
8. x ∈ E[ f ≥ a] ⇔ lim fn (x) = f (x) ≥ a, x ∈ E ⇔ ∀ k, ∃ N ， 当
n ≥ N 时有
∩ ∪ ∩ fn
(x)
>
a
−
1 k
⇔
x∈
∞ k =1
∞ N =1
∞
E[
n=N
fn
>
2019南京师范大学实变函数与泛函分析考研复习讲义.doc
南京师范大学实变函数与泛函分析考研复习讲义专业课复习资料（最新版）封面节第一节集合的概念节第二节集合的运算第一章集合1. 集合的基本概念及运算} : { \ B x A x x B A B A 但或差：Pr.( ) ? A B B AABcB A B A 注：A S A C s 余：（其中S为全集）,简记为A c交和、并、交（ Vehn 图）2. 集簇的交和并} : { B x A x x B A 或} , : { A x x A为指标集， } { } | { A A 或集簇：} {nA特别当时，称集簇为集列，记为N} : { B x A x x B A 且} , : { A x x A簇的交例例注：在本书中我们未把0包含在N内, }, 1 1 : {1 1N n x x An n n设] 0 , 1 [1nnA) 1 , 2 (1nnA( ( ] ) -2-1-1/n -1 0 1-1/n 1例( ( 用互相包含说明 ) ] [1] [1na fna fE E记设 }, ) ( : { , :] [ax f E x E R E fa f ( [a-1/n a) , ( ) , [11nna a) (] [11na fnE)) , [ (11nna ( [ ( [ [a-1/ n-1 a-1/n a-1/ n+1 a例例则记设 }, ) ( : { , :] [a x f E x E R E fa f] [1] [1na fna fEE( [a a+1/n) ) , ( (11nna) (][11na fnE) , [ ) , (11nna a} , : ) , {( B b A a b a B A } , , , 2 , 1 , : ) , , , , {(2 11n i A x x x x Ai i nii} , , 2 , 1 , : ) , , , {(2 11n i A x x x x Ai i nnii3. c cA A ) (De Morgan公式注：通过取余集，使A与A c c cA A ) (} , , : {nA x N n N x 使是一个集合序列设 , , , ,2 1 nA A A4. 上、下极限集( ){ : }{ : }limsuplimn nnnnn nA Ax x Ax A x A在无限多个 1 N N nnA例：设A 2n =[0,1]A 2n+1 =[1,2];则上极限集为[0,2］下极限集( ){ : }{ : }lim liminfn nnnnnA Ax x Ax n x A有当 1 N N nnA例：设A 2n =[0,1]A 2n+1 =[1,2];则上极限集为[0,2],下极限集为{1} 1 1limlimnn nnnn nnA A A A1} , , : {N N nnnAA x N n N x 使上极限集( ){ : }limsuplimn nnnnAAx x A} , , : {nA x N n N x 有极限集如果集列的上极限集与下极限集相等，即} {nAA A Annnnlimlim列则称该集列收敛单调增集列 ...。
实变函数与泛函分析第5章
备课用纸第五章 积 分 论§5.1 Riemann 积分的局限性和L积分简介 教学目的 本节给出了函数Riemann可积的几个充要条件, 分析了经典积分存在的不足之 处,建立性的积分的必要性. 本节要点 函数fRiemann可积当且仅当 f 不连续点及测度为零. Riemann积分关于极限与积分次序可交换要求 f 一致连续， 应用 L N 公式要求 f 导数连续， 这些条件限制 了Riemann积分应用范围，Lebesgue 积分正好克服了这些不足. 本节难点 函数fRiemann可积当且仅当 f 不连续点及测度为零的证明.在介绍Lebesgue 积分之前，我们先将它的前身——Riemann 积分作一回顾，并从测度 观点建立一个可积的充要条件． R 积分通常有两种定义，其一是大家熟知的“极限式”定义（即作为积分和的极限）， 另一是“确界式”定义。
一、Riemann 积分的定义 1、极限式定义 设函数 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有界，在 [ a , b ] 中任意插入若干个分点a x0 x1 x 2 x n 1 x n b把区间 [ a , b ] 分成 n 个小区间，各小区间的长度依次为 xi xi xi 1 ，( i 1, 2, ) ，在各小 区间上任取一点 i （ i xi ），作乘积 f ( i ) xi ( i 1, 2, ) 并作和 S i 1nf ( i ) x i ，记 max{ x1 , x 2 , , x n } ，如果不论对 [ a , b ] 怎样的分法，也不论在小区间 [ xi 1 , xi ] 上点 i 怎样的取法， 只要当 0 时， S 总趋于确定的极限我们称这个极限 I 为函数 f ( x ) 在 和区间 [ a , b ] 上的定积分，记为第页备课用b a纸f ( x ) dx I lim f ( i ) x i0i 1 n2、确界式定义 设 f ( x ) 在 [ a , b ] 上有界， T 表示 [ a , b ] 的任一分划a x 0 x1 x n b这里 n 为任一自然数,可随 T 而不同. 设 M i ， m i 分别表示 f ( x ) 在 [ xi 1 , xi ] 上的上、下确界 (i 1, 2 n ) .S (T , f ) i 1nM i x i ， s (T , f ) m xi i 1ni分别叫作 f ( x ) 关于分划 T 的大和数与小和数，这里 xi xi xi 1 ，b af ( x ) dx inf S (T , f ) ， b af ( x ) dx sup s (T , f )分别叫作 f ( x ) 在 [ a , b ] 的Darboux 上积分与下积分，这里上、下确界是对 [ a , b ] 的一切可 能 分划 T 而取.如果b af ( x ) dx bf ( x ) dxa则称 f ( x ) 在 [ a , b ] 上 R 可积，并称此共同值为 f ( x ) 在 [ a , b ] 上的积分，记为 f ( x )dx 。
实变函数与泛函分析基础（第三版）-----第三章_复习指导
实变函数与泛函分析基础（第三版）-----第三章_复习指导主要内容本章介绍了勒贝格可测集和勒贝格测度的性质.外测度和内测度是比较直观的两个概念，内外测度一致的有界集就是勒贝格可测集. 但是，这样引入的可测概念不便于进一步讨论. 我们通过外测度和卡拉皆屋铎利条件来等价地定义可测集（即定义），为此，首先讨论了外测度的性质（定理）. 注意到外测度仅满足次可列可加（而非可列可加）性，这是它和测度最根本的区别.我们设想某个点集上可以定义测度，该测度自然应该等于这个集合的外测度，即测度应是外测度在某集类上的限制. 这就容易理解卡拉皆屋铎利条件由来，因为这个条件无非是一种可加性的要求.本章详细地讨论了勒贝格测度的性质. 其中，最基本的是测度满足在空集上取值为零，非负，可列可加这三条性质. 由此出发，可以导出测度具有的一系列其它性质，如有限可加，单调，次可列可加以及关于单调集列极限的测度等有关结论.本章还详细地讨论了勒贝格可测集类. 这是一个对集合的代数运算和极限运算封闭的集类. 我们看到勒贝格可测集可以分别用开集、闭集、型集和型集逼近.正是由于勒贝格可测集，勒贝格可测集类，勒贝格测度具有一系列良好而又非常重要的性质，才使得它们能够在勒贝格积分理论中起着基本的、有效的作用.本章中，我们没有介绍勒贝格不可测集的例子. 因为构造这样的例子要借助于策墨罗选择公理，其不可测性的证明还依赖于勒贝格测度的平移不变性. 限于本书的篇幅而把它略去. 读者只须知道：任何具有正测度的集合一定含有不可测子集.复习题一、判断题1、对任意nE R ?，*m E 都存在。
（√ ）2、对任意nE R ?，mE 都存在。
（× ）3、设nE R ?，则*m E 可能小于零。
（× ）4、设A B ?，则**m A m B ≤。
（√ ） 5、设A B ?，则**m A m B <。
（× ） 6、**11()n n n n m S m S ∞∞===∑。
实变函数与泛函分析习题精解(宋国柱主编)PPT模板
第六章距离空 间
第一篇《实变函数与泛函 分析概要》习题与解答
第七章赋范线性空间及线性算子
第八章希尔伯特空间及其自伴算 子
02
第二篇《抽象分析基础》习题与解答
基第 础二 》篇 习《 题抽 与象 解分 答析
01
第一章集、 直线上的点
集
04
第四章勒贝 格积分
02
第二章勒贝 格测度
202X
实变函数与泛函分析习题精解 (宋国柱主编)
演讲人
2 0 2 X - 11 - 1
目录
01
第一篇《实变函数与泛函分析概要》 习题与解答
第一篇《实变函数与泛函分析概要》习题与解答
第一章集与点 集
第二章勒贝格 测度
第三章可测函 数
第四章勒贝格 积分
第五章函数空间 L<sup>p</su p>
05
第五章距离 空间·赋范 线性空间
03
第三章可测 函数
06
第六章线性 算子和线性
泛函
第二篇《抽 象分析基础》 习题与解答
参考文献
附录南京大学攻读硕士学位研究生入学考 试实变函数试题选解1981～1985年， 1995年
202X
感谢聆听
实变函数与泛函分析要点
实变函数与泛函分析要点实变函数与泛函分析概要第一章集合基本要求：1、理解集合的包含、子集、相等的概念和包含的性质。
2、掌握集合的并集、交集、差集、余集的概念及其运算性质。
3、会求已知集合的并、交、差、余集。
4、了解对等的概念及性质。
5、掌握可数集合的概念和性质。
6、会判断己知集合是否是可数集。
7、理解基数、不可数集合、连续基数的概念。
8、了解半序集和Zorn引理。
第二章点集基本要求：1、理解n维欧氏空间中的邻域、区间、开区间、闭区间、体积的概念。
2、掌握内点、聚点的概念、理解外点、界点、孤立点的概念。
掌握聚点的性质。
3、掌握开核、导集、闭区间的概念及其性质。
4、会求己知集合的开集和导集。
5、掌握开核、闭集、完备集的概念及其性质，掌握一批例子。
6、会判断一个集合是非是开（闭）集，完备集。
7、了解Peano曲线概念。
主要知识点：一、基本结论：1、聚点性质§2 中T1聚点原则：P0是E的聚点? P0的任一邻域内，至少含有一个属于E而异于P0的点?存在E中互异的点列{Pn}，使Pn→P0 （n→∞）2、开集、导集、闭集的性质§2 中T2、T3T2：设A?B，则A ?B ，·Ａ?·Ｂ，－Ａ?－Ｂ。
T3：（A∪B）′=A′∪B′.3、开（闭）集性质（§3中T1、2、3、4、5）T1：对任何E?R?，?是开集，E′和―Ｅ都是闭集。
（?称为开核，―Ｅ称为闭包的理由也在于此）T2：（开集与闭集的对偶性）设E是开集，则CE是闭集；设E是闭集，则CE是开集。
T3：任意多个开集之和仍是开集，有限多个开集之交仍是开集。
T4：任意多个闭集之交仍是闭集，有限个闭集之和仍是闭集。
T5：（Heine-Borel有限覆盖定理）设F是一个有界闭集，?是一开集族{Ui}i?I它覆盖了F（即Fс∪ｉ?ＩUi），则?中一定存在有限多个开集U1，U2…Um，它们同样覆盖了F（即F?ｍ∪ Ui）（i?I）4、开（闭）集类、完备集类。
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
主要容本章的中心容是建立一种新的积分 勒贝格积分理论．它也是实变函数数论研究的中心容．一、关于勒贝格积分的建立．本章首先引入测度有限点集上有界函数的积分，这是全章的基础，建立有界函数的积分时应注意两点：一是黎曼积分意义下的积分区间，现已被一般点集所代替；二是分划的小区间长度，现已被点集的测度所代替．一般集合上一般函数的积分是通过两步完成的．第一步是建立非负函数的积分．它是通过非负函数表示为有界函数列的极限、把无穷测度集合表示为测度有限集列的极限来完成的．第二步是建立一般函数的积分，它是将其分解两个非负函数(正部与负部)的差的办法来完成的．二、勒贝格积分的性质．勒贝格积分的性质主要反映在以下几个方面：(1)勒贝格积分是一种绝对收敛积分，即)(x f 在E 上可积当且仅当)(x f 在E 上可积()(x f 在E 上可测)．这是它与黎曼积分重要区别之一．(2)勒贝格积分的绝对连续性．设)(x f 在E 上可积，则对任意0>ε，存在0>δ，使当E e ⊂且 δ<e m 时，恒有ε<⎰ex x f d )((3)勒贝格积分的唯一性．即0d )(=⎰Ex x f 的充要条件是..0)(e a x f =于E ．由此可知，若)(x f 与)(x g 几乎相等，则它们的可积性与积分值均相同．(4)可积函数可用连续函数积分逼近．设)(x f 是可积函数，对任意0>ε，存在],[b a 上的连续函数)(x ϕ，使εϕ<-⎰],[d )()(b a x x x f此外尚有许多与黎曼积分类似的性质，如线性性、单调性、介值性等，望同学们自己总结、比较．三、关于积分极限定理．积分极限定理是本章的重要容，这是由于积分号下取极限和逐项积分，无论在理论上还是应用上都有着十分重要的意义．其中列维渐升函数列积分定理(定理5.4.1)，勒贝格控制收敛定理(定理5.4.2)，和法都定理(定理5.4.3)在现代数学中都有广泛的应用．同学们不难发现，与黎曼积分相比较，勒贝格积分与极限换序的条件大大减弱，这也是勒贝格积分优越于黎曼积分的重要之处．四、关于勒贝格积分同黎曼积分之间的关系．我们知道，若],[b a 上的有界函数)(x f 黎曼可积，则必勒贝格可积且二者积分值相等．值得注意的是，上述结论对于广义黎曼积分并不成立．实际上，广义黎曼可积函数成为勒贝格可积的充要条件是该函数广义黎曼绝对可积．关于勒贝格积分的计算，一般是应用积分的定义借助于积分的性质将其转化为黎曼积分．五、勒贝格重积分换序的富比尼定理指出，只要),(y x f 在q p R R ⨯上可积即可将重积分化为累次积分．特别是对非负可测函数来说，可无条件换序，这是勒贝格积分较黎曼积分的又一优越之处．复习题（一）一、判断题1、设()f x 是可测集nE R ⊆上的非负简单函数，则()d Ef x x ⎰一定存在。
（√ ） 2、设()f x 是可测集nE R ⊆上的非负简单函数，则()f x 在E 上勒贝格可积。
（× ） 3、设()f x 是可测集nE R ⊆上的非负简单函数，且0()d Ef x x ≤<+∞⎰，则()f x 在E 上勒贝格可积。
（√ ）4、设()f x 是可测集nE R ⊆上的非负可测函数，则()d Ef x x ⎰一定存在。
（√ ） 5、设()f x 是可测集nE R ⊆上的非负可测函数，则()f x 在E 上勒贝格可积。
（× ） 6、设()f x 是可测集nE R ⊆上的非负简单函数，且0()d Ef x x ≤<+∞⎰，则()f x 在E 上勒贝格可积。
（√ ）7、设()f x 是可测集nE R ⊆上的可测函数，则()d E f x x ⎰一定存在。
（× ） 8、设()f x 是可测集nE R ⊆上的可测函数，且()()f x L E +∈，()()f x L E -∈至少有一个成立，则()d Ef x x ⎰一定存在。
（√ ） 9、设()f x 是可测集nE R ⊆上的可测函数，且()()f x L E +∈，()()f x L E -∈至少有一个成立，则()f x 在E 上勒贝格可积。
（× ）10、设()f x 是可测集nE R ⊆上的可测函数， 若()()f x L E +∈且()()f x L E -∈，则()f x 在E 上勒贝格可积。
（√ ）11、设()f x 是可测集n E R ⊆上的可测函数， 若()()f x L E ∈，则()d Ef x x -∞<<+∞⎰。
（√ ）12、设()f x 是可测集n E R ⊆上的可测函数， 若()()f x g x ≤且()()g x L E ∈，则()()f x L E ∈。
（√ ） 13、若E 为零测集，()f x 为E 上的任何实函数，则()()f x L E ∈。
（√ ） 14、若()()f x L E ∈，则[]0mE f =+∞=。
（√ ） 15、若()()f x L E ∈，则()()f x L E ∈。
（√ ） 16、若()()f x L E ∈，则()()f x L E ∈。
（√ ）17、若()()f x L E ∈，1E 为E 的可测子集，则1()()f x L E ∈。
（√ ） 18、()f x 在E 上勒贝格积分值存在⇔()()f x L E ∈。
（× ） 19、若()()f x L E ∈，且()0f x ≥，()d 0Ef x x =⎰，则()0f x =..a e 于E 。
（√ ） 20、若()f x 在[,]a b 上R 可积，则若()f x 在[,]a b 上L 可积，且[,]()()d ()()d ba b aL f x x R f x x =⎰⎰。
（√ ）21、若()()f x L E ∈，()()g x L E ∈，且()()f x g x =..a e 于E ，则()d ()d EEf x xg x x =⎰⎰。
（√ ）22、若()()f x L E ∈，()d 0Ef x x =⎰，则()0f x =..a e 于E 。
（× ） 23、若()d ()d EEf x xg x x =⎰⎰，则()()f x g x =..a e 于E 。
（× ） 24、若()d Ef x x ⎰与()d Eg x x ⎰存在，且()()f x g x ≤，则()d ()d EEf x xg x x ≤⎰⎰。
（√ ） 25、若()d Ef x x ⎰存在，n E 是E 的可测子集，且lim 0n n mE →∞=，则lim ()d 0nE n f x x →∞=⎰。
（× ）26、勒贝格积分也是黎曼广义积分的推广。
（× ）二、计算题 1、设0,[01]()1,[01]x D x x ⎧=⎨⎩为，中的无理点为，中的有理点，求[0,1]()d D x x ⎰。
解：因为有理数集为零测集，所以，()0D x =..a e 于[0,1]，于是[0,1][0,1]()d 0d 0D x x x ==⎰⎰。
2、设23,(),[0,1]\x x Pf x x x P⎧∈=⎨∈⎩，其中P 为[01]，中的三分康托集，求[0,1]()d f x x ⎰。
解：因为0mP =，所以，3()f x x =..a e 于[0,1]，于是3[0,1][0,1]1()d d 4f x x x x ==⎰⎰。
三、证明题1、设()f x 是可测集E 上的可测函数，且()()f x g x ≤，()()g x L E ∈，则()()f x L E ∈。
证明：由题设及不等式性，有()d ()d EEf x xg x x ≤<+∞⎰⎰。
所以，()()f x L E ∈，从而()()f x L E ∈。
2、2()()f x L E ∈，2()()g x L E ∈。
则()()()f x g x L E ∈，且221()()d [()d ()d ]2E E E f x g x x f x x g x x ≤+⎰⎰⎰。
证明：因为221()()[()()]2f xg x f x g x ≤+，而由2()()f x L E ∈，2()()g x L E ∈得，2222[()()]d ()d ()d EEEf xg x x f x x g x x +=+<+∞⎰⎰⎰，即221[()()]()2f xg x L E +∈。
所以，()()()f x g x L E ∈。
3、设()()f x L E ∈，n E 是E 的可测子集，且mE <+∞，若lim n n mE mE →∞=，则lim ()d ()d nE En f x x f x x →∞=⎰⎰。
证明：因为n E 是E 的可测子集，且mE <+∞，所以，()n n m E E mE mE -=-，从而由lim n n mE mE →∞=得，lim ()lim 0n n n n m E E mE mE →∞→∞-=-=。
又()()f x L E ∈，由积分的绝对连续性，lim[()d ()d ]lim ()d 0nnEE E E n n f x x f x x f x x -→∞→∞-==⎰⎰⎰。
4、设()()f x L E ∈，若对任意有界可测函数()x ϕ都有()()d 0Ef x x x ϕ=⎰，则()0f x =..a e 于E 。
证明：由题设，取1,[()0]()0,[()0]1,[()0]x E x f x x x E x f x x E x f x ϕ⎧∈>⎪=∈=⎨⎪-∈<⎩，显然()x ϕ为E 上的有界可测函数，从而()d ()()d 0EEf x x f x x x ϕ==⎰⎰。
所以，()0f x =..a e 于E ，即()0f x =..a e 于E 。
5、设()()f x L E ∈，[]n e E f n =≥，证明（1）lim 0n n me →∞=；（2）lim 0n n n me →∞⋅=。
证明：由()d ()d nn e En me f x x f x x ⋅≤≤⎰⎰得，（1）lim 0n n me →∞=。
（2）由（1），注意到()()f x L E ∈，由积分的绝对连续性得，lim ()d 0ne nf x x →∞=⎰，从而注意到0()d nn e n me f x x ≤⋅≤⎰，所以，lim 0n n n me →∞⋅=。
6.证明：如果)(x f 是E 上的非负函数，0)(=⎰dx x f E ，则e a x f ..0)(=于E 证：若不然，0)(≠x f 不妨令0)(>x f . 于是集]0)(;[>x f x E∞=>=1]1)(;[n n x f x E 必存在某一0n使0]1)(;[0>=>σn x f x mE 令]1)(;[0n x f x E e >= 于是 dx x f dx x f dx x f e E e E )()()(-⎰+⎰=⎰∵dx x f dx x f dx x f e E e e E )()()(--⎰+⎰=⎰ ∴0)(0>≥⎰n dx x f E σ，这与题设矛盾，所以e a xf ..0)(=于E7.设{}()n f x E 上的一非负可测函数列，则11(())()nn EEn n fx dx f x dx ∞∞===∑∑⎰⎰.证明 相应于每个正整数n ，令 1()()nn i i g x f x ==∑，则{()}ngx 是非负可测递增列，且1()()lim nn n n fx g x ∞→∞==∑.据定理5.3.1，lim ()lim ()n n E En n g x dx g x dx →∞→∞=⎰⎰所以1(())lim ()lim ()nn n EE En n n fx dx g x dx g x dx ∞→∞→∞===∑⎰⎰⎰111lim ()lim ()()nn nn n EEEn n i i n fx dx f x dx f x dx ∞→∞→∞======∑∑∑⎰⎰⎰.证毕.8. 设q E R ⊂为可测集，)}({x f n 为E 上的一列非负可测函数，在E 上有1()()n n f x f x +≤．令)(x f ＝lim ()n n f x →∞，x E ∈，证明：lim ()n En f x dx →∞⎰＝()Ef x dx ⎰．证明：显然()f x 在E 上非负可测且1()()()n n f x f x f x +≤≤，故1()()()n n EEEf x dx f x dx f x dx +≤≤⎰⎰⎰，因而lim ()()n EEn f x dx f x dx →∞≤⎰⎰．现证相反的不等式．任取E 上的一个非负简单函数()x ϕ使得x E ∈时0()()x f x ϕ≤≤．c ∀：01c <<，令[]n n E E f c ϕ=≥，则n E 可测，n E E ⊂，1n n E E +⊂，1n n E E ∞==，且()()nn n EE f x dx f x dx ≥⎰⎰()nE c x dx ϕ≥⎰，故lim ()(lim ())()nn EE En n f x dx c x dx c x dx ϕϕ→∞→∞≥=⎰⎰⎰．由c 的任意性可得lim ()()n EEn f x dx x dx ϕ→∞≥⎰⎰．再由()x ϕ的任意性即得lim ()()n EEn f x dx f x dx →∞≥⎰⎰．∴lim()()n EEn f x dx x dx ϕ→∞=⎰⎰．补充证明1n n E E ∞==．1n n E E ∞=⊂是显然的．0x E ∀∈，则000()()x f x ϕ≤≤．∵01c <<，∴00()()c x f x ϕ<．∵n Z +∀∈，010()()n n f x f x +≤，且00lim ()()n n f x f x →∞=，∴0n ∃，使得000()()n f x c x ϕ≥，即得001n n n x E E ∞=∈⊂．由0x 的任意性得1n n E E ∞=⊂．∴1n n E E ∞==．证明：由条件知)}({x f n 为E 上非负可测函数递增列，所以lim ()nE n f x dx →∞⎰有定义 ，又1()(),1,2,3,n n EEf x dx f x dx n +≤=⎰⎰故lim()n En f x dx →∞⎰有定义，且从函数列的渐升性知道，lim()()lim ()n n EEEn n f x dx f x dx f x dx →∞→∞≤=⎰⎰⎰（1）令c 满足()0c x ϕ<<1,是n R 上的非负可测简单函数，且()()x f x ϕ≤，{|()()}n n E x E f x c x ϕ=∈≥记，则{E n }是递增集列，且1lim n n n n E E E ∞→∞==⋃=，()()()()()(),n nnnn n E n EEE E E f x dx f x x dx f x dx c x dx c x dx χϕϕ≥=≥=⎰⎰⎰⎰⎰lim ()()nE En c x dx c x dxϕϕ→∞=⎰⎰，故lim ()()n EEn f x dx c x dxϕ→∞≥⎰⎰，1,lim ()()n EEn c f x dx x dx ϕ→∞→≥⎰⎰令则有.由非负可测函数积分定义lim ()()n EEn f x dx f x dx →∞≥⎰⎰. (2)综合(1)与（2）得lim ()().n EEn f x dx f x dx →∞=⎰⎰9.计算⎰+∞→)1,0(322d sin 1limx x xn xn n ． 解令()322()sin ,0,1,1,2,1n f x x x n n x=∈=+则 1|)(|≤x f n 且对任何]1,0[∈x 都有0)(lim =∞→x f n n 。