导数基础知识梳理

导数基础知识梳理

1.导数的概念：设函数()y f x =在区间(,)a b 上有定义，0(,)x a b ∈当x ?无限接近于0时，比值 无限趋近于一个常数A ，则称()f x 在点0x x =处可导，并称常数A 为函数()f x 在0x x =处的 ，记作 .

2.导数的几何意义：函数()f x 在点0x 处的导数0()f x '的几何意义就是曲线()y f x =在点 处的 .

3.常见函数的导数：

4.导数运算法则

（1）/[()()]f x g x ±= ；（2）/[()()]f x g x = ； （3）/

()[

]()

f x

g x = [()0].g x ≠ 5.简单复合函数的导数：

若(),y f u u ax b ==+，则x u x y y u '''=?，即x y '= .

可导函数的极值

6、 极值的概念

设函数)(x f 在点0x 附近有定义，且对0x 附近的所有点都有 （或 ），则称)(0x f 为函数的一个极大（小）值．称0x 为极大（小）值点.

⑵ 求可导函数极值的步骤： ① 求导数)(x f '；

② 求方程)(x f '＝0的 ；

③ 检验)(x f '在方程)(x f '＝0的根左右的符号，如果在根的左侧附近为正，右侧附近为负，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 ；如果在根的左侧附近为负，右侧为正，那么函数y ＝)(x f 在这个根处取得 .

7．函数的最大值与最小值： ⑴ 设y ＝)(x f 是定义在区间[a ,b ]上的函数，y ＝

)(x f 在(a ,b )内有导数，则函数y ＝)

(x f 在[a ,b ]上 有最大值与最小值；但在开区间内 有最大值与最小值． (2) 求最值可分两步进行：

① 求y ＝)(x f 在(a ,b )内的 值；

② 将y ＝)(x f 的各 值与)(a f 、)(b f 比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.

(3) 若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递增，则)(a f 为函数的 ，)(b f 为函数的 ；若函数y ＝)(x f 在[a ,b ]上单调递减，则)(a f 为函数的 ，)(b f 为函数的 .

基础训练

1.函数y ＝ax 2＋1的图象与直线y ＝x 相切，则a ＝( )

A ．18

B ．41

C ．2

1

D ．1

2.若

2)(0='x f ，则=

--→k

x f k x f k 2)()(000lim

3．在曲线y =x 2+1的图象上取一点(1,2)及邻近一点(1+△x ,2+△y )，则

x

y

??为…（ ） A .△x +x ?1 +2 B .△x －x ?1－2 C .△x +2 D .2+△x －x

?1

4．已知两曲线ax x y +=3

和c bx x y ++=2

都经过点P （1,2），且在点P 处有公切线，试求a,b,c 值。

5、求下列函数的导数：

(1)y=(2x 2

-1)(3x+1)

(2)x x y sin 2

= (3)ln x

y x

=

(4)()ln 32y x =+ （5）y =sin(2)3

x π

+

3.（2008.辽宁）设P 为曲线C ：223y x x =++上的点，且曲线C 在点P 处切线倾斜角的取值范围是[0,

]4π

，则点P 横坐标的取值范围是（ ）

A ． 1[1,]2--

B ． [-1,0]

C ． [0,1]

D ． [1

,12

]

1. 设f(x)=x 2

(2-x),则f(x)的单调增区间是 （ ）

A.(0,)34

B.(,34+∞)

C.(-∞,0)

D.(-∞,0)∪(3

4,+∞） 2. 如果函数y=f(x)的图象如图所示，那么导函数y=)(x f '的图象可能是 ( )

3. 若函数()3

2

1f x x ax =-+在（0，2）内单调递减，则实数a 的取值范围为 （ ）

A.a≥3

B.a=3

C.a≤3

D.0

A ．),31(+∞

B ．]31,(-∞

C ．),31[+∞

D ．)3

1,(-∞

变式训练：若函数3

2

()6f x x ax x =--+在(0,1)内单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）

A ．1a ≥

B ．1a =

C ．1a ≤

D ．01a <<

例3．设函数()y f x =在定义域内可导，()y f x =的图象如图1所示，则导函数()y f x '=可能为（ ）

A

B

C

D

变式训练1：(05江西)已知函数()y xf x '=的图象如右图所示(其中'(f 数()f x 的导函数)，下面四个图象中()y f x =的图象大致是（ ）

变式训练2：如果函数()y f x =的导函数的图象如下图所示，给出下列判断： ①函数()y f x =在区间1(3,)2

--内单调递增； ②函数()y f x =在区间1(,3)2

-内单调递减； ③函数()y f x =在区间(4,5)内单调递增； ④当2x =时，函数()y f x =有极小值； ⑤当1

2

x =-

时，函数()y f x =有极大值. 则上述判断中正确的是____________．

1. 函数9x 3ax x )x (f 2

3-++=, 已知)x (f 在3x -=时取得极值, 则a 的取值是( )

A. 2

B. 3

C. 4

D. 5

2. 函数y=x-sinx,,2x ππ??

∈?

???

的最大值是( ) A.π-1 B. 2

π

-1 C. π D. π+1 3. 已知()f x =

32

11632

x x x --，当x ∈[－1，2]时，()f x m <恒成立，则实数m 的取值范围是______.

例1．函数y =1+3x －x 3有（ ）

A.极小值－2,极大值2

B.极小值－2,极大值3

C.极小值－1,极大值1

D.极小值－1,极大值3

1. 函数()3

2

39f x x ax x =+--，已知()f x 的两个极值点为12,x x ，则12x x = （ ）

A ．9

B ．9-

C ．1

D ．1-

2. 函数2cos y x x =+在区间[0,]2

π

上的最大值是 .

3. 函数()ln x

f x x

=

的单调递减区间是_ _____． 变式训练1：已知函数f(x)=x 3+ax 2

+bx+c,曲线y=f(x ）在点x=1处的切线为l:3x-y+1=0，若

x=3

2时，y=f(x ）有极值.

（1）求a,b,c 的值；

（2）求y=f(x ）在［-3，1］上的最大值和最小值.

例2．（2006.北京）已知函数()32f x ax bx cx =++在点x 0处取得 极大值5,其导数y='()f x 的图象经过点(1,0),(2,0)（如图所示）。

求: (1) x 0的值; (2) ,,a b c 的值.

变式训练：（2008福建）设f '(x)是函数f(x)的导函数，y=f '(x)的图象如右图所示，则y=f(x)的图象最有可能的是( )

A B C D

例3．已知函数)0

(

)

2

3

(

)

(2

3>

+

-

-

+

+

=a

d

x

b

a

c

bx

ax

x

f的

图像如图所示。

(1)求d

c,的值；

(2)若函数)

(x

f在2

=

x处的切线方程为0

11

3=

-

+y

x，求函数)

(x

f的解析式；

（3）若

x=5，方程a

x

f8

)

(=有三个不同的根，求实数a的取值范围。

x0

1

o x

y

3

例1.已知函数32()f x x ax bx c =-+++图象上的点(1,(1))P f 处的切线方程为31y x =-+. ⑴若函数()f x 在2x =-处有极值，求()f x 的表达式；

⑵若函数()f x 在区间[2,0]-上单调递增，求实数b 的取值范围. 变式训练：已知3x =是函数2()ln(1)10f x a x x x =++-的极小值点. ⑴求实数a 的值；

⑵求函数()f x 的单调区间.

变式训练：设定函数3

2()(0)3

a f x x bx cx d a =+++ ，且方程'()90f x x -=的两个根分别为1，4。

（Ⅰ）当a=3且曲线()y f x =过原点时，求()f x 的解析式； （Ⅱ）若()f x 在(,)-∞+∞无极值点，求a 的取值范围。

例3．已知函数f(x)=x3-

2

1x2+bx+c.

(1)若f(x)在（-∞，+∞）上是增函数，求b的取值范围;

(2)若f(x)在x=1处取得极值，且x∈［-1,2］时，f(x)

1.

22

1

(21)

x x dx

++=

?；

2. 由抛物线2

y x

=与直线2

y x

=-围成的平面图形的面积为 .