高数同济六版课件D124函数展开成幂级数
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124函数展开成幂级数 (2)共20页
1 1 x x 1 1
n0
0
n0 n1
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 而 ln 1(x)在 x1有
定义且连续, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的,于是收敛 域为
利用此题可得
21.11.2019
14
例6 将
展成
的幂级数.
解: s s 4 x iic n s n x o i 4 4 n ) ( s x c 4 ( ) 4 o sx is n 4 ) (
21.11.2019
19
f (x) 的泰勒公式中的余项满足: nl i m Rn(x)0.
证明: f(x)n 0f(nn )(!x0)(xx0)n, x(x0)
令 Sn1(x)kn 0f(kk)(!x0)(xx0)k
f( x ) S n 1 ( x ) R n ( x )
nl i mRn(x)n l i m f(x ) S n 1 (x ) 0 , x(x0)
第十二章
第四节 函数展开成幂级数
两类问题: 在收敛域内 求和 展开
和函数
本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数
二、函数展开成幂级数
21.11.2019
1
一、泰勒级数（Taylor series）
若函数
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
该邻域内有 :
f(x)f(x0)f(x0)x (x0)f 2(x!0)(xx0)2 f(nn)(!x0)(xx0)n Rn(x)
18
3*. 将下列函数展开成 x 的幂级数
解:
(1)nx2n, x(1,1)
n0
(1)n
高数同济版第十二章幂级数演示文稿
n 1
n 1
对端点 x = 1, 级数为交错级数
对端点 x =－1, 级数为 故收敛域为 (1, 1] .
发散 .
收敛;
第12页，共25页。
例2. 求下列幂级数的收敛域 :
解: (1)
1
R lim an lim n an1 n
n! 1
(n 1)!
所以收敛域为 ( , ) .
(2) R lim an lim n ! n an1 n (n 1) !
的和.
解: 构造幂级数 xn ,
n1 n 设和函数为 S(x),
显然收敛域为[-1,1)
S(x) xn1
1
n1
1x
S(x) x 1 dx S(0) ln(1 x) 0 1 x
S(1) ln 2.
第22页，共25页。
内容小结
1. 求幂级数收敛域的方法
1) 对标准型幂级数
先求收敛半径 , 再讨论端点的收敛性 . 2) 对非标准型幂级数(缺项或通项为复合式)
所以级数仅在 x = 0 处收敛 .
0
第13页，共25页。
例3.
的收敛半径 .
解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2, 故直接由
比值审敛法求收敛半径.
lim un1(x) n un (x)
lim
n
[ [
2 (n 1) ] ! (n 1) ! ]2
x
2
(n1)
[2n]! [ n ! ]2
x2n
外发散; 在 x R 可能收敛也可能发散 .
R 称为收敛半径 ，(－R , R ) 称为收敛区间.
(－R , R ) 加上收敛的端点称为收敛域.
收敛 发散
函数展开成幂级数PPT课件
1
因此对任意常数 m, 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛.
-
10
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为避免研究余项 , 设此级数的和函数为 F (x) ,1 x 1 则 F (x) 1 m x m(m 1) x2
2! m(m 1) (m n 1) xn n!
F (x) m 1 m 1 x (m 1) (m n 1) xn1
解: 易求出 f (0) 1, f (0) m, f (0) m(m 1) ,
f (n) (0) m(m 1)(m 2) (m n 1) ,
于是得级数 1 mx m(m 1) x2 2!
m(m 1) (m n 1) xn n!
由于
R lim an n an1
lim n 1 n m n
1
(n 1)!
(1 x)F (x) mF (x), F (0) 1 推导
x
0
F (x) F ( x)
d
x
x
0
1
m x
d
x
ln F (x) ln F (0) m ln(1 x)
F (x) (1 x)m
-
11
推导 目录 上页 下页 返回 结束
由此得
(1 x)m 1 m x m(m 1) x2 2!
函数展开成幂级数
两类问题: 在收敛域内
幂级数 an xn
n0
求和 展开
和函数 S (x)
本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数
二、函数展开成幂级数
-
1
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一、泰勒 ( Taylor ) 级数
复习: f (x) 的 n 阶泰勒公式
若函数 f (x) 在 x0 的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
高等数学12.4函数展开成幂级数
该级数在 ( , ) 内的和函数 s( x ) 0.
f
(n)
n 0
(0) n 称为 f ( x ) 的麦克劳林级数. x n! f ( n ) ( x0 ) n f ( x) ? ( x x0 ) n! n 0
问题: 泰勒级数在收敛区间是否收敛于f(x)? x12 e , x 0 f (0) 0 例如 f ( x ) 0, x0
令 x x0 , 即得
an
1 (n) f ( x0 ) n!
( n 0,1, 2,)
系数是唯一的, f ( x ) 的展式 是唯一的,
定理1 如果函数 f ( x ) 在 U ( x 0 ) 内具有任意阶导数, 且在 U ( x 0 ) 内能展开成 即 f ( x)
n 0
1 ( n) an f ( x0 ) ( n 0,1, 2,)且展开式是唯一的. n!
n 1 2 a na ( x x ) f ( x ) 1 2a2 ( x x0 ) 3a3 ( x x0 ) n 0
f ( x ) 2! a2 3 2a3 ( x x0 ) n( n 1)an ( x x0 )n 2
f
(n)
在 U ( x )内 lim R ( x ) 0
0
n n
其中Rn(x)为f(x)的 泰勒公式余项. n f (k ) ( x ) 0 f ( x) ( x x 0 ) k Rn ( x ) k 0 k! 称为 f ( x ) 按( x x0 )的幂展开的 n 阶泰勒公式 f ( n1) ( ) Rn ( x ) ( x x0 )n1 (在x0与x之间) n 1!
函数展开成幂级数PPT课件
3! 5!
(2n 1)!
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例3 将函数f(x)(1x)m (m为任意常数)展开成x的幂级数. 解 f(x)的各阶导数为
f (x)m(1x)m1, f (x)m(m1)(1x)m2, , f (n)(x)m(m1)(m2) (mn1)(1x)mn, , 所以 f(0)1, f (0)m, f (0)m(m1), , f (n)(0)m(m1)(m2) (mn1), , 于是得幂级数
❖求幂级数展开式的间接展开法
例4 将函数f(x)cos x展开成x的幂级数. 解 已知
sin x x x3 x5 (1)n1 x2n1 (<x<).
3! 5!
(2n 1)!
对上式两边求导得
cosx 1 x2 x4 (1)n x2n (<x<).
2! 4!
(2n)!
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn ,
2!
n!
并求出收敛半径R;
•第四步 考察在区间(R, R)内时是否Rn(x)0(n).
如果Rn(x)0(n), 则f(x)在(R, R)内有展开式
f (x) f (0) f (0)x f (0) x2 f (n)(0) xn (RxR).
但是, 如果f(x)的麦克劳林级数在点x00的某邻域内收敛, 它却不一定收敛于f(x).
因此, 如果f(x)在点x00处具有各阶导数, 则f(x)的麦克劳 林级数虽然能作出来, 但这个级数是否在某个区间内收敛, 以 及是否收敛于f(x)却需要进一步考察.
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D124函数展开成幂级数-PPT精品文档
f (0 ) 2 f (n ) (0 ) n x f ( 0 ) f (0) x x 2! n!
问题 :
(1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ (2) 在收敛域内 , 和函数是否为 f (x) ?
高等数学
f (x )的 幂级数
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f (x 2 0) f ( x ) f ( x ) f ( x )( x x ) ( x x ) 0 0 0 0 2 ! ) f(n ( x ) n 0 ( x x ) R x ) 0 n( n ! (x f ) 2 0 ( x x ) f ( x )( x x ) f (x 0 0 0 0) 2 ! ) f(n ( x ) n 0 ( x x ) 0 n !
泰勒公式可以表示为
f ( x ) S ( x ) R ( x ) n 1 n
高等数学
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定理1 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 U(x0)内具有 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数
n
lim R ( x ) 0 . n
证明: “
称为拉格朗日型余项 .
高等数学
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若函数 f (x 的某邻域内具有任意阶导数, 则称 )在 x 0 (n) f (x0) f (x0 ) n 2 ( x x ) ( x x ) f (x0 ) f ( x ) ( x x ) 0 0 0 0 2! n! 为f (x) 的泰勒级数 . 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .
n
l i m S ( x ) f( x ) . n 1
问题 :
(1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ (2) 在收敛域内 , 和函数是否为 f (x) ?
高等数学
f (x )的 幂级数
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f (x 2 0) f ( x ) f ( x ) f ( x )( x x ) ( x x ) 0 0 0 0 2 ! ) f(n ( x ) n 0 ( x x ) R x ) 0 n( n ! (x f ) 2 0 ( x x ) f ( x )( x x ) f (x 0 0 0 0) 2 ! ) f(n ( x ) n 0 ( x x ) 0 n !
泰勒公式可以表示为
f ( x ) S ( x ) R ( x ) n 1 n
高等数学
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定理1 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域 U(x0)内具有 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数
n
lim R ( x ) 0 . n
证明: “
称为拉格朗日型余项 .
高等数学
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若函数 f (x 的某邻域内具有任意阶导数, 则称 )在 x 0 (n) f (x0) f (x0 ) n 2 ( x x ) ( x x ) f (x0 ) f ( x ) ( x x ) 0 0 0 0 2! n! 为f (x) 的泰勒级数 . 当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .
n
l i m S ( x ) f( x ) . n 1
大学课件 高等数学 函数展开成幂级数
2.展开式是否唯一? 3.在什么条件下才能展开成幂级数?
3
函数展开成幂级数
回顾 第三章第三节泰勒公式: 若函数f (x)在x0 的某邻域内有n+1阶导数, 则 f (x)可表为:
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x
x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( x0 n!
)(
1 x
4
且
f
(
x)
1
1 1
x
2
1
(1
x) (1 (1 x)2
x )( 1)
1 x
1
1 x2
(1)n x 2n
n0
f (n)(0) ( 1)( n 1), (n 0,1,2,)
1 x ( 1) x2 ( 1)( n 1) xn
2!
n!
lim an1 n an
lim
n
n
n 1
1
R 1
17
函数展开成幂级数
所以(1 x) 的泰勒级数的收敛区间是(1,1).
在x 1处,对不同的 , 敛散性不同.
f (x)
n i0
f
(i) ( x0 i!
)( x
x0 )i
Rn ( x)
Rn( x)
f ( x) sn1( x),
lim
n
sn1
(
x
)
f (x)
lim
n
Rn
(
x
)
lim[
n
f
(
x
)
sn1
(
x
)]
3
函数展开成幂级数
回顾 第三章第三节泰勒公式: 若函数f (x)在x0 的某邻域内有n+1阶导数, 则 f (x)可表为:
f (x)
f ( x0 )
f ( x0 )( x
x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) ( x0 n!
)(
1 x
4
且
f
(
x)
1
1 1
x
2
1
(1
x) (1 (1 x)2
x )( 1)
1 x
1
1 x2
(1)n x 2n
n0
f (n)(0) ( 1)( n 1), (n 0,1,2,)
1 x ( 1) x2 ( 1)( n 1) xn
2!
n!
lim an1 n an
lim
n
n
n 1
1
R 1
17
函数展开成幂级数
所以(1 x) 的泰勒级数的收敛区间是(1,1).
在x 1处,对不同的 , 敛散性不同.
f (x)
n i0
f
(i) ( x0 i!
)( x
x0 )i
Rn ( x)
Rn( x)
f ( x) sn1( x),
lim
n
sn1
(
x
)
f (x)
lim
n
Rn
(
x
)
lim[
n
f
(
x
)
sn1
(
x
)]
课件：函数展开成幂级数
n1
n n1 n
(1)n1 3n xn( 1 x 1 )
n1
n
3
3
22
思考：
如何将下列函数 展开成 x 的幂级数.
（1）f
(
x)
ln
1 1
x x
（2）f (x) ln(1 x x2 )
23
例10. 将f (x) arcsinx 展开x的幂级数。
解: 因为 f ( x) (arcsin x) 1
12
对应
m
1 2
,
1 2
,1
的二项展开式分别为
1 x 1 1 x 1 x2 13 x3 135 x4 2 24 246 2468
( 1 x 1)
1 1
x
1
1 2
x
13 24
x2
135 246
x3
1 3 5 7 2468
x4
( 1 x 1)
1 1 x x2 x3 (1)n xn
1
x
1 x2 2!
1 x3 3!
1 xn n!
其收敛半径为
R lim
n
1 n!
1 (n 1)!
对任何有限数 x , 其余项满足
e xn1 e x (n 1)!
n
( 在0与x 之间)
故 ex 1 x 1 x2 1 x3 1 xn ,
2! 3!
n!
7
例2. 将
展开成 x 的幂级数.
解: f (n) (x)
•
ln(1
x)
xln221xn211n13[x13(14 x234)n] xn
(1)n (n321
xxn132)
x (1, 1]
124函数展开成幂级数 (2)-20页精选文档
此式称为 f (x) 的 n 阶泰勒公式 , 其中
Rn(x) f((nn1)1()!)(xx0)n1 ( 在 x 与 x0 之间)
称为拉格朗日余项 .
19.11.2019
2
若函数
的某邻域内具有任意阶导数, 则称
f(x0)f(x0)x (x0)f 2(x!0)(xx0)2 f(nn)(!x0)(xx0)n
17
思考与练习
1. 函数
处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰
数” 有何不同 ? 勒级
提示: 后者必需证明 lim Rn(x)0,前者无此要求.
n
2. 如何求
的幂级数?
提示:
19.11.2019
y 1212n 12 1c(o1s2)xn(24nn12)!x122nn , 0(1x )n ((2 1n)!, )
19.11.2019
4
定理2 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.
证: 设 f (x) 所展成的幂级数为
则
a0f(0)
f( x ) a 1 2 a 2 x n n x n a 1 ; a1f(0)
f ( x ) 2 ! a 2 n ( n 1 ) a n x n 2 ;a221! f(0)
1 3
x
3
1 x4 4
(1)n n 1
xn1
19.11.2019
x(1,1]16
sinxx x 3 x 5 x 7 (1)n x2n1
3 ! 5 ! 7!
(2n1)!
x (, )
coxs1 x 2 x 4 x 6 (1)n x2n
Rn(x) f((nn1)1()!)(xx0)n1 ( 在 x 与 x0 之间)
称为拉格朗日余项 .
19.11.2019
2
若函数
的某邻域内具有任意阶导数, 则称
f(x0)f(x0)x (x0)f 2(x!0)(xx0)2 f(nn)(!x0)(xx0)n
17
思考与练习
1. 函数
处 “有泰勒级数” 与 “能展成泰
数” 有何不同 ? 勒级
提示: 后者必需证明 lim Rn(x)0,前者无此要求.
n
2. 如何求
的幂级数?
提示:
19.11.2019
y 1212n 12 1c(o1s2)xn(24nn12)!x122nn , 0(1x )n ((2 1n)!, )
19.11.2019
4
定理2 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.
证: 设 f (x) 所展成的幂级数为
则
a0f(0)
f( x ) a 1 2 a 2 x n n x n a 1 ; a1f(0)
f ( x ) 2 ! a 2 n ( n 1 ) a n x n 2 ;a221! f(0)
1 3
x
3
1 x4 4
(1)n n 1
xn1
19.11.2019
x(1,1]16
sinxx x 3 x 5 x 7 (1)n x2n1
3 ! 5 ! 7!
(2n1)!
x (, )
coxs1 x 2 x 4 x 6 (1)n x2n
函数展开成幂级数(课堂PPT)
无穷级数
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8
证明
Rn ( x)
f (n1) ( ) ( x
(n 1)!
x0
)n1
M x x0 n1 , (n 1)!
x
x0
n1
在(,)收敛,
n0 (n 1)!
x ( x0 R, x0 R)
lim n
x x0 n1 (n 1)!
0,
故
lim
n
Rn
(
x
)
x
0,
n0
该级数在(,)内和函数s( x) 0. 可见
除s 0外, f ( x)的麦氏级数处处不收敛于 f ( x).
无穷级数
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6
三、函数展开成泰勒级数的条件
定理 2 f ( x)在点x0 的泰勒级数,在U ( x0 ) 内收
敛于
f
(
x)
在U
(
x0
) 内lim n
Rn
(
x)
0
.
证明 必要性 设f ( x)能展开为泰勒级数,
( x0
R,
x0
R)
可展成点x0的泰勒级数.
无穷级数
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9
三、函数展开成泰勒级数的方法
1.直接法(泰勒级数法)
步骤:
(1) 求an
f (n)( x0 ); n!
(2)
讨论
lim
n
Rn
0
或
f
(n) ( x)
M,
则级数在收敛区间内收敛于 f ( x).
无穷级数
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- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
0
,
x U (x0 )
2019/11/15
高数同济六版
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定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是 唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同.
证: 设 f (x) 所展成的幂级数为
则
f (x) a1 2a2x nan xn1 ;
f (n) (0) m(m 1)(m 2)(m n 1) ,
于是得 级数 1 mx m(m 1) x2 2!
m(m 1)(m n 1) xn n!
由于 R lim an lim n 1 1 n an1 n m n
F (x) (1 x)m
高数同济六版
推导 目录 上页 下页 返回 结束
由此得
(1 x)m 1 m x m(m 1) x2 2!
m(m 1)(m n 1) xn n!
称为二项展开式 . 说明：
(1) 在 x＝±1 处的收敛性与 m 有关 .
(2) 当 m 为正整数时, 级数为 x 的 m 次多项式, 上式
1 2
x
13 24
x2
135 246
x3
1 3 5 7 2468
x4
( 1 x 1)
1 1 x x2 x3 (1)n xn
1 x
( 1 x 1)
(1
x)m1 1 1 x
1mx
xmx(m22!1) x2
待解决的问题 :
1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？
2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
2019/11/15
高数同济六版
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定理1 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要
条件是 f (x) 的泰勒公式余项满足: lim Rn (x) 0.
就是代数学中的二项式定理.
2019/11/15
高数同济六版
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对应
m
1 2
,
1 2
,1
的二项展开式分别为
1 x 1 1 x 1 x2 13 x3 135 x4 2 24 246 2468
( 1 x 1)
1 1
x
1
1 (2n)!
1 (1)n 4n x2n ,
2 n1
(2n)!
x (, )
2019/11/15
高数同济六版
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作业 P283 2 (2) , (3) , (5) , (6) ;
3 (2) ; 4 ; 6
2019/11/15
高数同济六版
第五节 目录 上页 下页 返回 结束
2. 常用函数的幂级数展开式
ex 1 x 1 x2 1 xn ,
2!
n!
x (, )
ln(1 x) x 1 x2 1 x3 1 x4 (1)n xn1
2 34
n 1
2019/11/15
高数同济六版
x (1, 1]
3! 5!
(2n 1)!
对上式两边求导可推出:
cos x 1 1 x2 1 x4 (1)n1 1 x2n
2! 4!
(2n)!
2019/11/15
高数同济六版
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例3. 将函数
展开成 x 的幂级数, 其中m
为任意常数 .
解: 易求出 f (0) 1, f (0) m, f (0) m(m 1) ,
sin(
(n
1)
π 2
)
(n 1)!
x n 1
n
sin
x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x
2n1
2019/11/15
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sin x x 1 x3 1 x5 (1)n1 1 x2n1
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若函数
的某邻域内具有任意阶导数, 则称
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 ) (x n!
x0 )n
为f (x) 的泰勒级数 .
当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 .
xn m(m
1)(m
(1n! x
n 1)
1)
xn
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2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数.
例4. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: 因为
1 1 x x2 (1)n xn ( 1 x 1 ) 1 x 把 x 换成 x2 , 得
其收敛半径为
1
R
lim
n
n!
1 (n 1)!
对任何有限数 x , 其余项满足
e xn1 e x (n 1)!
n
( 在0与x 之间)
故 ex 1 x 1 x2 1 x3 1 xn ,
2! 3!
n!
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x (, ) (1 x)m 1 mx m(m 1) x2
2! m(m 1)(m n 1) xn x (1, 1)
n!
当 m = –1 时
1 1 x
1
x
x2
x3
(1)n
xn
,
x (1, 1)
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F(x) m 1 m 1 x (m 1)(m n 1) xn1
1
(n 1)!
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(1 x)F(x) mF(x), F(0) 1
推导
x
0
F ( x) F ( x)
d
x
x
0
1
m x
d
x
ln F(x) ln F(0) mln(1 x)
n0
0
(1)n
n0 n 1
xn1 ,
11 xx11
上式右端的幂级数在 x ＝1 收敛 , 而 ln(1 x) 在 x 1有
定义且连续, 所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛 域为
利用此题可得
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12 1
)
1
x 1 2
(x 1)2 22
(1)n
(x 1)n 2n
1 8
(1)n
n0
1 2n2
1 22n3
(x 1)n
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(1 x 3 )
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内容小结
1. 函数的幂级数展开法 (1) 直接展开法 — 利用泰勒公式 ; (2) 间接展开法 — 利用幂级数的性质及已知展开 式的函数 .
1 1 x2
1
x2
x4
(1)n
x2n (1
x
1)
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例5. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解:
f (x) 1 1 x
(1)n xn
n0
(1 x 1)
从 0 到 x 积分, 得
x
ln(1 x) (1)n xn dx
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sin x x x3 x5 x7 (1)n x2n1
3! 5! 7!
(2n 1)!
x (, )
cos x 1 x2 x4 x6 (1)n x2n
2! 4! 6!
(2n)!
R)
内
lim
n
Rn
(
x)
是否为
0.
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例1. 将函数
展开成 x 的幂级数.
解: f (n) (x) ex , f (n) (0) 1 (n 0,1,), 故得级数
1
x
1 x2 2!
1 x3 3!
1 xn n!
因此对任意常数 m, 级数在开区间 (－1, 1) 内收敛.
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为避免研究余项 , 设此级数的和函数为F(x),1 x 1
则 F(x) 1 m x m(m 1) x2 2! m(m 1)(m n 1) xn n!
该邻域内有 :
f (x)
f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(