2016新湘教版正弦
最新湘教版初三数学上册4.1正弦和余弦 课件
1 2. 在△ABC中，∠C=90°，如果 sinA = ，AB=6， 3 那么BC=___. 2
7 例4 在 △ABC 中，∠C=90°，AC=24cm，sinA= ， 25 求这个三角形的周长．
解：设BC=7x，则AB=25x，在 Rt△ABC中，由勾 股定理得
第4章 锐角三角函数
4.1 正弦和余弦
第1课时 正 弦
导入新课
情境引入 为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房 沿着山坡铺设水管，在山坡上建一座扬水站，对坡面 绿地进行喷灌. 先测得斜坡的坡脚 (∠A )为 30°，为 使出水口的高度为 35 m，需要准备多长的水管？
讲授新课
一 正弦的概念
合作探究
AC AB BC 25 BC 24x.
2 2 2 2
即 24x = 24cm，解得 x = 1 cm.
故 BC = 7x = 7 cm，AB = 25x = 25 cm.
所以 △ABC 的周长为 AB+BC+AC = 7+24+25 = 56 (cm).
方法总结：已知一边及其邻角的正弦函数值时，一般 需结合方程思想和勾股定理，解决问题.
练一练
1. 判断对错 BC sinA = AB BC sinA = AC
BC sinB = AB
(√ )
B
10m A 6m
(×) (×)
(×)
C
sinA =0.6 m
sinB =0.8 m
(√ )
2. 在 Rt△ABC中，锐角 A 的对边和斜边同时扩大 100 倍，sinA 的值 (C ) A. 扩大100倍 C. 不变
归纳： 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，sinB = h， AB = c，则 BC = ck，AC = ch. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，sinA = k，sinB = h， BC=a，则
湘教版九年级数学上册第4章4.1《正弦和余弦》精品PPT教学课件
α
α
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∵ ∠A=∠D=α，∠C=∠F=90°，
∴ ∠B=∠E. 从而 sin B sin E, 因此 AC DF .
AB DE
由此可得，在有一个锐角等于 α的所有直角三
角形中，角 α的邻边与斜边的比值是一个常数，与
直角三角形的大小无关．
万向思维精品图书 如图，在直角三角形中，我们把锐角的邻边与斜
（1）
（2）
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小明量出∠A的对边BC=3cm，斜边AB=3.3cm，
算出：
A的对边 斜边
3 3.3
10 . 11
小亮量出∠A′的对边B′C′=2cm， 斜边A′B′=2.2cm，
算出：
A'的对边 斜边
2 2.2
10 . 11
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由此猜测：在有一个锐角为65°的所有直角三角形 中，65°角的对边与斜边的比值是一个常数，它等于 10 .
11
这个猜测是真的吗？ 若把65°角换成任意一个锐
角 α ，则这个角的对边与斜边的比值是否也是一个常数
呢？
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新知探究
如图，△ABC和△DEF都是直角三角形，其
中∠A=∠D= α， ∠C=∠F=90°，则
BC AB
EF 成
DE
立吗？为什么？
α
α
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∵ ∠A=∠D = α， ∠C=∠F= 90°，
边的比叫作角 α的余弦，记作 cos ，即
cos 角 的邻边 斜边
α
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从上述探究和证明过程看出，对于任意锐角 α，
cos= sin( -).
sin= cos( -).
4.1正弦和余弦第1课时正弦导学课件新版湘教版
4.1 正弦和余弦
1 解法二：∵BC＝ AB， 2 BC 1 1 ∴ ＝ ，即 sinA＝ . AB 2 2 BC 1 在 Rt△ABC 中，∵sinA＝ ＝ ， AB 2 ∴设 BC＝k，则 AB＝2k， ∴AC＝ （2k）2－k2＝ 3k， AC 3k 3 ∴sinB＝ ＝ ＝ . AB 2k 2
4.1 正弦和余弦
【归纳总结】 已知直角三角形中一边长与一锐角的正弦值求未 知边长的情形与方法 1．已知一边长与一锐角的正弦值求未知边的长，有两种情形： ①已知锐角的对边，求斜边；②已知斜边，求锐角的对边． a a 2．常用公式是 sinA＝ 及其变形公式： ①a＝c· sinA；②c＝ (c c sinA 为 Rt△ABC 的斜边)． 3．若求邻边 b，则先求出 a 或 c，再利用勾股定理变形公式 b＝ c2－a2计算(c 为斜边)．
第4章 锐角三角函数
4.1 正弦和余弦
第4章 锐角三角函数
第1课时 正 弦
知识目标
目标突破
总结反思
4.1 正弦和余弦
知识目标
1．在回顾相似三角形性质的基础上理解正弦的定义，能根据直 角三角形的边长求锐角的正弦值． 2．在理解正弦定义的基础上能根据直角三角形的已知边与锐角 的正弦值求未知边长(线段的长度)． 3．通过对含30°角的直角三角形边之间关系的探索，理解30° 角的正弦值并能运用它解决问题．
4.1 正弦和余弦
目标二 能根据正弦的定义求边长
1 例 2 教材补充例题 已知△ABC 中，∠C＝90° ，sinA＝ ，BC＝2， 3 求 AC，AB 的长．
[解析] 先由锐角的正弦值得到边之间的关系，再结合勾股定理求出边长．
1 BC 1 解：∵∠C＝90° ，sinA＝ ，∴ ＝ . 3 AB 3 ∵BC＝2，∴AB＝6. 由勾股定理，得 AC＝2，AB＝6. 2.
湘教版高中数学必修二课件3-3-1正弦函数、余弦函数的图象与性质(二)必修2
∴函数 y＝sin2x＋π3 的图象的对称轴方程是 x＝kπ2 ＋π12
(k∈Z)，对称中心的坐标是kπ2 －π6 ，0(k∈Z)． 点评 正弦函数、余弦函数图象的对称轴就是过最值点且 垂直于x轴的直线，对称中心是其图象与x轴的交点．但 正、余弦函数在某个指定区间内的图象，不一定有对称轴 或对称中心．如函数y＝sinx，x∈[0，2π]的图象有一个对 称中心(π，0)，但没有对称轴；函数y＝cosx，x∈[0，2π] 的图象有一条对称轴x＝π，但没有对称中心．
原点对称，定义域关于原点对称是函数为奇函数或偶函数
的前提条件，然后再判断f(－x)与f(x)之间的关系．
1. 函数 f(x)＝xcosπ2 －x是
( )．
A．奇函数
B．非奇非偶函数
C．偶函数D．既是奇函数又是偶函数
解析 ∵f(x)＝xsinx，定义域为R，f(－x)＝－xsin(－x)
2. 函数y＝sin(x＋φ)的图象关于y轴对称，则φ的一个取值是
π A. 2
B．－π4
C．π
解析 ∵图象关于 y 轴对称，
( )． D．2π
∴函数是偶函数，∴φ＝π2 ＋kπ，k∈Z，
π ∴满足条件的一个 φ 值为 2 (k＝0)． 答案 A
题型三 正弦函数、余弦函数的最值
【例3求】下列函数的最大值和最小值：
自学导引
1．正弦函数、余弦函数的奇偶性 (1)正弦函数y＝sinx与余弦函数y＝cosx的定义域都是__R， 定义域关于_原__点_对称． (2)由sin(－x)＝_－__s_in_x_知正弦函数y＝sinx是_R_上的_奇_函 数，它的图象关于_原__点__对称． (3)由cos(－x)＝_c_o_sx_知余弦函数y＝cosx是R上的_偶_函数， 它的图象关于_y_轴__对称．
九年级数学上册4.1正弦和余弦第1课时正弦及30°角的正弦值教案湘教版(new)
第4章锐角三角函数4．1 正弦和余弦第1课时正弦及30°角的正弦值1．通过具体实例,分析、比较后,知道“当直角三角形的锐角固定时,它的对边与斜边的比值也固定"的事实．2．了解正弦的概念，知道特殊角30°的正弦值，并能根据正弦的相关概念进行计算．（重点)阅读教材P109~111，完成下列内容：(一)知识探究1．在有一个锐角等于α的所有直角三角形中,角α的对边与斜边的比值是一个________，与直角三角形的大小________．2．在直角三角形中，锐角α的对边与斜边的比叫作角α的正弦，记作sinα，即sinα＝________。
3．sin30°＝________.（二）自学反馈1．如图，在△ABC中，∠C＝90°，AB＝10，BC＝6，则sinA的值是（)A。
错误! B.错误!C.错误! D。
错误!2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，BC＝1，则AB＝________。
活动1 小组讨论例如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°,BC＝3，AB＝5.(1）求sinA的值；（2）求sinB的值．解：（1)∠A的对边BC＝3,斜边AB＝5，于是sinA＝错误!＝错误!。
（2）∠B的对边AC,根据勾股定理，得AC2＝AB2－BC2＝52－32＝16。
于是AC＝4。
因此sinB＝错误!＝错误!。
在直角三角形中，求一个角的正弦值只需要用该角所对的直角边比斜边，如果所对直角边或斜边长未知时，可首先通过勾股定理求解出长度．易错提示：求一个角的正弦值必须在直角三角形中求解．活动2 跟踪训练1．在Rt△ABC中，∠C＝90°,若将各边长度都扩大为原来的2倍，则∠A的正弦值( )A．扩大为原来的2倍 B．缩小为原来的错误!倍C．扩大为原来的4倍 D．不变2．在△ABC中，∠C＝90°，BC∶CA＝3∶4，那么sinA等于( ）A.错误! B。
湘教版-数学-九年级上册-4.1正弦和余弦 精品教案
课题锐角三角函数——正弦一、教学目标1. 通过探究使学生知道当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值都固定（即正弦值不变）这一事实；2. 能根据正弦概念正确进行计算；3. 能计算出30°、45°、60°角的正弦值；4.经历当直角三角形的锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实，发展学生的形象思维，培养学生由特殊到一般的演绎推理能力。
二、教学重点、难点重点：理解认识正弦（sinA）概念，通过探究使学生知道当锐角固定时，它的对边与斜边的比值是固定值这一事实．难点：引导学生比较、分析并得出：对任意锐角，它的对边与斜边的比值是固定值的事实。
三、教学过程（一）情境导入教师展示“东方明珠”电视塔图片提问：你能实际测量电视塔的高度吗？本章即将探讨和学习的利用锐角三角函数来测算物体长度或高度的方法。
下面我们大家一起来学习锐角三角函数中的第一种：锐角的正弦（二）观察教师用三角板和学生用三角板（30°的）发现：在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它的对边与斜边的比一定等于二分之一，与三角形的大小无关。
提问：如果在直角三角形中，这个锐角不等于30°，它的对边与斜边的比是不是与三角形的大小有关呢？即：当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？（三）几何画板课件展示在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比与三角形的大小无关，只与这个锐角的大小有关。
（四）引导学生证明这个结论（五）认识正弦如图，在Rt △ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别记为a 、b 、c 。
师：在Rt △ABC 中，∠C=90°，我们把锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦。
记作sinA 。
板书：sinA ＝A a A c∠=∠的对边的斜边 （举例说明：若a=1,c=3,则sinA=31） 显然：sin30°=1/2注意(1).“sinA ”是一个完整的符号，不要误解为sin × A ，今后所学的其他的三角函数符号也是这样。
湘教版数学九年级上册4.1.2《正弦》教学设计
湘教版数学九年级上册4.1.2《正弦》教学设计一. 教材分析《正弦》是湘教版数学九年级上册第4章第1节的一部分，主要介绍正弦函数的定义、性质及应用。
本节内容是在学生已经掌握了锐角三角函数的基础上进行的，是初高中数学衔接的重要内容，对于学生来说，既有新奇感，又有难度。
因此，在教学过程中，要注重学生已有知识的激活，让学生在探究过程中体验到正弦函数的定义和性质。
二. 学情分析九年级的学生已经有了一定的数学基础，对锐角三角函数有一定的了解。
但是，对于正弦函数的定义和性质，还需要通过实例和探究来深入理解。
此外，学生的学习兴趣和积极性需要被激发，以便更好地投入到学习中。
三. 教学目标1.理解正弦函数的定义，掌握正弦函数的性质。
2.能够运用正弦函数解决实际问题。
3.培养学生的探究能力和合作精神。
四. 教学重难点1.正弦函数的定义。
2.正弦函数的性质。
五. 教学方法1.情境教学法：通过实际问题引入正弦函数，让学生在解决问题的过程中理解正弦函数的定义和性质。
2.探究教学法：引导学生通过小组合作，自主探究正弦函数的性质，培养学生的探究能力和合作精神。
3.案例教学法：通过具体的案例，让学生学会如何运用正弦函数解决实际问题。
六. 教学准备1.准备相关的教学案例和实际问题。
2.准备正弦函数的性质的探究活动。
3.准备多媒体教学设备，如投影仪、电脑等。
七. 教学过程1.导入（5分钟）通过一个实际问题引入正弦函数的概念，如：“在音乐中，音调的高低与什么有关？”让学生思考并回答，从而引出正弦函数的概念。
2.呈现（10分钟）呈现正弦函数的性质，如：正弦函数的图像、正弦函数的周期性、正弦函数的奇偶性等。
同时，引导学生进行小组合作，自主探究正弦函数的性质。
3.操练（10分钟）让学生通过具体的案例，运用正弦函数解决实际问题，如：计算一个角度的正弦值、求一个函数的周期等。
4.巩固（10分钟）通过一些练习题，让学生巩固所学的正弦函数的性质和应用。
高中教育数学必修第二册湘教版《1.6.2.1 正弦定理1》教学课件
在△ABD中，由正弦定理得sinA∠BADB＝sAinDB，
∴AB＝AD·ssiinn∠BADB＝10sisnin456°0°＝10×2
3
2 ＝5
6.
2
(2)求△ABC的面积．
解析：(1)因为cos A＝35>0，所以A∈
0， π
2
，故sin A＝
1−
3 2＝4，
5
5
所以sin C＝sin
(A＋B)＝sin A
cos
B＋cos
A
sin
B＝45
×
1 2
+
3 5
×
3＝4+3
2
10
3.
(2)由正弦定理可得 a4 ＝
3
3
，所以a＝85，
52
利用三角形的面积公式可得S△ABC＝12ab
＝30°，a＝2 2，b＝4，则B＝( )
A．45°
B．135°
C．45°或135° D．以上都不对
答案：C
解析：由正弦定理可得 2
sin
2＝ 4
30° sin
B，∴sin
B＝
22.
∵b>a，∴B>A.∵0°<B<180°，∴B＝45°或135°.
(2)(多选)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，则下列各
易错辨析 解三角形时忽略隐含条件出错 例4 在△ABC中，若∠A＝60°，BC＝4 3，AC＝4 2，则角B的 大小为( ) A．30° B．45° C．135° D．45°或135°
答案：B
解析：根据正弦定理得siBnCA＝siAnCB，即si4n 630°＝s4in2B，解得sin B＝ 22.又因为BC>AC，所以A>B，所以角B的 大小为45°.
2016年秋季新版湘教版九年级数学上学期4.1、正弦和余弦教案2
4.1正弦和余弦(第1课时)教学设计
教学内容
4.1)
本节课的内容是九年级第四章第一节《正弦和余弦》第一课时，是在学
似三角形的性质与判定）之后，从实例出发，探究在直角三角形中，锐角
的对边与斜边的比值是一个常数，
的形成探索过程。
作交流
使学生经历探索正弦定义的过程。
逐步培养学生观察、比较、分析、归
中分享成功的喜悦；
）通过探索、发现、培养学生独立思考，勇于创新的精神和良好的学
内容你就能简捷地解
以用来解决实际问题，今天我们来习第一节
知识来解决，
题学习。
容易激
活动
处继
）？（课件演
考，建立几何模
启发：能否使用已学的直角三角形
算结果，你有交流，
度进行了修改。
功。
教师应关注学
[活动6]
概念的理解。
问题
，斜边
于是
精神和实践能都扩
图：
板书设计
4.1。
3.3.1正弦函数、余弦函数的图象与性质_课件-湘教版必修2PPT
预习测评
1．正弦曲线上最高点的纵坐标是
π A. 2
B．π
C.12
D．1
答案 D
2．y＝1＋sin x，x∈[0，2π)的图象与直线y＝
交点
( )．
3 2
有______个
( )．
A．1
B．2
C．3
D．0
答案 B
3．在[0，2π]上，f(x)＝cos x的零点有________个 ( )．
A．0
B．1
(3)找横坐标：把x轴上从0～2π(2π≈6.28)这一段分成12等份． (4)找纵坐标：将正弦线对应平移，即可找出相应的12个点． (5)连线：用平滑的曲线将12个点依次从左到右连接起来，即 得y＝sin x，x∈[0，2π]的图象．
我们通过图象的平移作正弦函数y＝sin x，x∈R的图 象．因为终边相同的角的三角函数值相等，所以函数y＝ sin x，x∈[2kπ，2(k＋1)π]，k∈Z且k≠0的图象与函数y＝ sin x，x∈[0，2π]的图象的形状完全一样，只是位置不同， 于是我们只要将函数y＝sin x，x∈[0，2π]的图象向左、右 平移(每次平移2π个单位长度)，就可以得到正弦函数y＝ sin x，x∈R的图象，正弦函数y＝sin x，x∈R的图象叫做 正弦曲线． 下图是正弦曲线y＝sin x，(x∈R)的图象：
典例剖析
题型一 “五点法”作图 【例1】作出下列函数0，2π]；
(2)y＝－1－cos x，x∈[0，2π]．
解 (1)利用“五点法”作图
列表：
x
0
π 2
π
3π 2
2π
sin x 0 1 0 －1 0
1－sin x 1 0 1 2 1
描点作图，如图所示：
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65°
与同桌和邻近桌的同学交流，看看计算出 的比值是否相等（精确到0.01）？B' BFra bibliotekC C'
65°
A'
由此猜测：在有一个锐角为65° 的所有直角三角形中，65°角的 对边与斜边的比值是一个常数， 它近似等于0.91
这个猜测是真的吗？若把65° 的角换成任意一个锐角 ，则 这个角的对边与斜边的比值是否 也是一个常数呢？
BC EF AB DE
这说明，在一个锐角等于 的所有直角三角形中，角
图4-2
的对边与斜边的比值是一个常数， 与直角三形的大小无关
如图４－３，在直角三角形中， 我们把锐角 的对边与斜边的 比叫做角 的正弦，记作
sin ，即
角的对边 sin . 斜边
斜边
图４－３
对边
想一想: sin30°等于多少？
4.1.1
正弦
复习回顾
1、说说勾股定理的定义，用字母表示。
2 、如下图所示，说说Rt△ABC的直角 边，斜边分别是哪些？∠A，∠B，∠C 的对边分别是哪条？ A 3 、如右图所示，
∠A=30°，BC=3，
则AB=
B
C
• 做一做 画一个直角三角形，其中一个锐角为 65°，量出65°角的对边长度和斜边 长度，计算 65角的对边 = = 斜边 • °
A
C
6．在直角三角形ABC中， ∠C= 90º ， BC=5， AB=13． B （１）求 （２）求
sin A sin B
的值； 的值．
5 C
13
A
思考
7．小刚说：对于任意锐角α，都有 0＜
sin
＜1
B
你认为他说得对吗？为什么？
C
A
小 结
（B）正弦的
（ C）角 的正弦 （D）以上均不对 2，如图，在△ABC中，∠C=90°， AB=5，BC=3，则sinA的值是（ c ） Ｂ
3 （Ａ） 4
（Ｃ） 3
5
4 （Ｂ） 3 （Ｄ）4 5
Ａ
Ｃ
3、在直角三角形ABC中，若三边长都 扩大二倍，则锐角A的正弦值（ B )
A、扩大2倍 C、缩小2倍 B、不变 D、无法确定。
sin A
B 3 C 5 A
解
BC 3 AB 5
（２） ∠B的对边是AC．根据勾股定理，得
AC 2 AB 2 BC 2 52 32 16.
于是 因此 AC=4．
AC 4 sin B AB 5
练一练
1，Sin 可理解为（ c）
的乘积 （A）“sin”与 角
4、如图，已知Rt△ABC中，∠C=90°，AC=2， BC=1，则sinA的值为（ ） B 1 （A） 2 （B）2
c
（C)
5 5
(D)
2 5 5
A
C
5, 如图所示，Rt △ABC中， ∠ABC=90°，AB=3，BC=4，则 C sinA= 4
5
A
B
6,如图所示，在Rt△ABC中， 2 ∠C=90°，AB=6，sinB= ,则 3 AC= 4 . B
1 BC AB 2 1 sin30°= BC BC 2
B
30°
C
A
说一说： 如图所示，在R t△ABC中， ∠C=90°，AB=10,BC=6,AC=8, 3 sinA= ,sinB= . 5
4 5
B
C
A
例 题
1．在直角三角形ABC中， ∠C= 90º ， BC=3，AB=5． （１）求∠A的正弦 sin A ； （２）求∠B的正弦 sin B ． （１） ∠A的对边BC=3，斜边 AB=5．于是
探究4-2，△ABC和△DEF都是直角三角形， 其中∠A=∠D=∠ ，∠C=∠F=90°，则
BC EF 成立吗？为什么？ AB DE
B E
A
C
D
F
图4-2
B
E
A
C
D
F
∵∠A=∠D= ，∠C=∠F=90°， ∴Rt△ABC∽Rt△DEF， BC AB ∴ 。 EF DE 即BC DE=ＡＢ ＥＦ， ∴