解三角形,数列(201911)

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知识梳理4 解三角形及数列

第十二章解三角形及数列一.重点知识1.解三角形重点知识：1、正弦定理：外接圆的半径）是ABC (2sin sin sin ∆===R R CcB b A a 2、余弦定理：Cab b a c B ac c a b Abc c b a cos 2cos 2cos 2222222222-+=-+=-+=3、三角形面积公式：B ac A bc C ab S ABC sin 21sin 21sin 21===∆2.数列重点知识1．在数列{a n }中，前n 项和S n 与通项a n 的关系为：⎩⎨⎧∈≥-===-)N n ,2( )1(111n S S n S a a n n n2.等差与等比数列的定义、通项公式、求和公式重要性质比较3．知识梳理（数列求和的方法）1.公式法：1）等差数列求和公式；2）等比数列求和公式；3）可转化为等差、等比的数列；2.分组求和法：把数列的每一项分成多个项或把数列的项重新组合，使其转化成等差数列或等比数列，然后由等差、等比数列求和公式求解。

3.裂项相消法：即把每一项都拆成正负两项，使其正负抵消，只余有限几项，可求和。

如：1）111111()n n n na a d a a++=-⋅；21d=。

常见裂项公式：（1）111(1)1n n n n++=-；（2）1111()()n n k k n n k++=-；4.错位相减法：适用于差比数列（如果{}n a等差，{}n b等比，那么{}n na b叫做差比数列）即把每一项都乘以{}n b的公比q，向后错一项，再对应同次项相减，转化为等比数列求和.二．课前自测1.在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知1=a，1=b，︒=120C，则=c. 2．在ABC∆中，已知35513sin B,cos A==，则cosC＝.3.已知锐角△ABC的面积为33，BC＝4，CA＝3，则角C的大小为________．4.在中，若，则最大角的余弦值等于_______________.5、已知数列{a n}的前n项和S n＝n2＋3n＋1，求通项．6、数列{}n a适合：11a=，1na+22nnaa=+，写出前四项并写出其通项公式；7、在等差数列{a n}中，已知a15＝10，a45＝90，求a608、在等比数列{}n a中，若1232a a a=，23416a a a=, 则公比q=ABC∆6:2:1::=cba三．典例解析【例1】在∆ABC中，已知=ac 060=B ，求b 及A ；【变式训练1】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2=c ，6=b ，︒=120B 。

数列解三角形

数列解三角形数列是数学中一个重要的概念，它是由一系列按照一定规律排列的数字组成的。

解三角形则是指根据已知条件推导出三角形中各边长和角度的过程。

本文将以数列和解三角形为主题，讨论它们的相关性和应用。

一、数列的定义与性质数列是由一系列按照一定规律排列的数字组成的序列。

数列中的每个数字被称为数列的项，用a_n表示第n个项。

数列可以是有限的，也可以是无限的。

数列有许多重要性质和特征，其中包括等差数列和等比数列。

等差数列是指数列中相邻两项之差始终相等的数列，通常用a, a+d, a+2d, ...来表示，其中a为首项，d为公差。

等比数列是指数列中相邻两项的比值始终相等的数列，通常用a, ar, ar^2, ...来表示，其中a为首项，r为公比。

二、数列的应用领域数列在许多领域中都有重要的应用。

在数学中，数列是数学归纳法的研究对象，通过研究数列的性质和规律，可以推导出各种数学定理和公式。

在物理学中，数列可以用来描述许多自然现象的规律。

比如，等差数列可以用来描述自由落体运动的位移变化，等比数列可以用来描述指数增长或衰减的现象。

在计算机科学中，数列被广泛应用于算法设计和数据结构的研究中。

比如，斐波那契数列是一种经典的数列，它在递归和动态规划算法中有着重要的应用。

三、解三角形的方法和技巧解三角形是根据已知条件确定三角形的各边长和角度的过程。

常见的解三角形方法包括正弦定理、余弦定理和正切定理。

正弦定理是指在任意三角形中，三条边的比值等于相应的正弦比，即a/sinA = b/sinB = c/sinC，其中a、b、c分别为三角形的边长，A、B、C分别为相应的角度。

余弦定理是指在任意三角形中，三条边的平方和等于另外两边的平方和减去它们的二倍乘积和相应的余弦值的乘积，即a^2 = b^2 + c^2 -2bc*cosA，其中a、b、c分别为三角形的边长，A为对应的夹角。

正切定理是指在任意三角形中，两条边的比值等于相应的正切比，即tanA = b/c，其中A为夹角，b、c分别为相应边长。

高中数学必修知识点解三角形及数列

高中数学必修知识点解三角形及数列（一）解三角形：1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，，则有2sin sin sin a b cR C===A B (R 为C ∆AB 的外接圆的半径)2、正弦定理的变形公式：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a RA =，sin 2bR B =，sin 2c C R=；③::sin :sin :sin a b c C =A B ； 3、三角形面积公式：111sin sin sin 222CSbc ab C ac ∆AB =A ==B ． 4、余弦定理：在C ∆AB 中，有2222cos a b c bc =+-A ，推论：222cos 2b c a bc+-A =第二章数列11,(1),(2).n n n S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩注意通项能否合并。

2、等差数列：⑴定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，即n a －1-n a =d ，（n ≥2，n ∈N +），那么这个数列就叫做等差数列。

⑵等差中项：若三数a A b 、、成等差数列2a bA +⇔= ⑶通项公式：1(1)()n m a a n d a n m d =+-=+- 或(n a pn q p q =+、是常数）. ⑷前n 项和公式：()()11122n n n n n a a S na d -+=+=⑸常用性质：①若()+∈ +=+N q p n m q p n m ,,,，则q p n m a a a a +=+； ②下标为等差数列的项() ,,,2m k m k k a a a ++，仍组成等差数列； ③数列{}b a n +λ（b ,λ为常数）仍为等差数列；④若{}n a 、{}n b 是等差数列，则{}n ka 、{}n n ka pb + (k 、p 是非零常数)、*{}(,)p nq a p q N +∈、，…也成等差数列。

【精品】PPT课件解三角形数列共22页PPT

【精品】PPT课件解三角形数列
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6、黄金时代是在我们的前面，而不在我们的后面。
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7、心急吃不了热汤圆。
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8、你可以很有个性，但某些时候请收敛。
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9、只为成功找方法，不为失败找借口 (蹩脚的工人总是说工具不好)。
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10、只要下定决心克服恐惧，便几乎能克服任何恐惧。因为，请记住，除了在脑海中，恐惧无处藏身。-- 戴尔．卡耐基。

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11、越是没有本领的就越加自命不凡。——邓拓 12、越是无能的人，越喜欢挑剔别人的错儿。——爱尔兰 13、知人者智，自知者明。胜人者有力，自胜者强。——老子 14、意志坚强的人能把世界放在手中像泥块一样任意揉捏。——歌德 15、最具挑战性的挑战莫过于提升自我。——迈克尔·F·斯特利

2019版第1部分专题1 第2讲解三角形

第2讲解三角形高考统计·定方向(对应学生用书第13页)■核心知识储备·1．正弦定理及其变形在△中，A)＝B)＝C)＝2R(R为△外接圆的半径)．变形：a＝2 A，A＝，a∶b∶c ＝A∶B∶C等．2．余弦定理及其变形在△中，a2＝b2＋c2－2 A；变形：b2＋c2－a2＝2 A，A＝，a2＝(b＋c)2－2(1＋A)．3．三角形面积公式S△＝C＝A＝B．■高考考法示例·【例1】(1)(2019·全国卷Ⅱ)在△中，＝，＝1，＝5，则＝()A．4B．C．D．2(2)在△中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，若c＝2a，B－A＝C，则B＝()A．B．C．D．(3)(2019·全国卷Ⅰ)△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知2 C( B＋A)＝c.①求C；②若c＝，△的面积为，求△的周长．(1)A(2)A[(1)因为C＝22－1＝2×－1＝－，所以由余弦定理，得2＝2＋2－2·C＝25＋1－2×5×1×＝32，所以＝4，故选A．(2)由B－A＝C及正弦定理可得b2－a2＝，即b2＝a2＋，∵c＝2a，∴a2＋c2－b2＝a2＋4a2－a2－a×2a＝3a2，故B＝＝＝，又∵0＜B＜π，∴B＝B)＝＝.故选A．](3)[解]①2 C( B＋A)＝c，由正弦定理得：2 C( A B＋B A)＝C，即2 C (A＋B)＝C，∵A＋B＋C＝π，A，B，C∈(0，π)，∴(A＋B)＝C＞0，∴2 C＝1，C＝，∵C∈(0，π)，∴C＝.②由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2·C，7＝a2＋b2－2·，(a＋b)2－3＝7，S＝·C＝＝，∴＝6，∴(a＋b)2－18＝7，a＋b＝5.∴△周长为a＋b＋c＝5＋.1．在△中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若A＝B，则△为() A．等腰三角形B．直角三角形C．等腰直角三角形D．等腰三角形或直角三角形D[由题得A＝B，∴2A＝2B，∴ 2A＝2B，∵0＜2A＜2π，0＜2B＜2π，2A＝2B，∴2A＝2B或2A＋2B＝π，∴A＝B，或A＋B＝，∴△是等腰三角形或直角三角形. 故选D．] 2．(2019·全国卷Ⅰ)在平面四边形中，∠＝90°，∠A＝45°，＝2，＝5.(1)求∠；(2)若＝2，求．[解](1)在△中，由正弦定理得＝.由题设知，45°)＝，所以∠＝.由题设知，∠＜90°，所以∠＝＝.(2)由题设及(1)知，∠＝∠＝.在△中，由余弦定理得2＝2＋2－2···∠＝25＋8－2×5×2×＝25.所以＝5.题型2与三角形有关的最值(范围)问题(对应学生用书第14页)■核心知识储备·1．△中的常见的不等关系(1)内角A，B，C满足：A＋B＋C＝π，0＜A，B，C＜π；(2)三边a，b，c满足：b－c＜a＜b＋c；(3)三角形中大边对大角等．2．函数y＝x(或y＝x)的有界性、单调性、在区间[a，b]上的值域的求法等．3．不等式：a2＋b2≥2，≤等．■高考考法示例·►角度一长度的最值(范围)问题【例2－1】(2019·石家庄一模)在△中，＝2，C＝，则＋的最大值为()A．B．2 C．3 D．4D[由正弦定理，得C)＝B)＝A)＝π6)＝4，又∵A＋B＝，∴＋＝4 B＋4 A＝4 B＋4＝4 B＋4B＋32B))＝2 B＋10 B＝4φ＝3 5)).故当B＋φ＝时，＋的最大值为4.故选D．]【教师备选】(2019·安庆二模)在锐角△中，A＝2B，则的取值范围是()A．(－1,3)B．(1,3)C．(，) D．(1,2)D[＝B)＝B)＝3 B)＝3－42B，因为△是锐角三角形，所以错误!得＜B＜⇒2B∈.所以＝3－42B∈(1,2)．故选D．]►角度二面积的最值(范围)问题【例2－2】在△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知a＝C ＋B．(1)求B；(2)若b＝2，求△面积的最大值．[解](1)由题意及正弦定理得A＝C＋B①，又A＝π－(B＋C)，故A ＝(B＋C)＝C＋C②，由①，②和C∈(0，π)得B＝B，又B∈(0，π)，所以B＝.(2)△的面积S＝B＝.由已知及余弦定理得4＝a2＋c2－2 .又a2＋c2≥2，故≤，当且仅当a＝c时，等号成立．因此△面积的最大值为＋1.【教师备选】在△中，＝，D为中点，＝1，则△面积的最大值为．[在△中，由余弦定理得A＝＝－，则A＝)，所以△的面积为S＝b2A＝b2·)＝＋2569)≤，所以△的面积的最大值为.]1．在锐角△中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足(a－b)( A＋B)＝(c－b)·C．若a＝，则b2＋c2的取值范围是()A．(3,6] B．(3,5)C．(5,6] D．[5,6]C[由(a－b)( A＋B)＝(c－b) C及正弦定理可得，(a－b)·(a＋b)＝(c－b)·c，即b2＋c2－a2＝，∴A＝＝，又A∈，∴A＝，∵B)＝C)＝π3)＝2，∴b2＋c2＝4(2B＋2C)＝4[2B＋2(A＋B)]＝42B,2)＋1－[2(A＋B)]2))＝2B－2B＋4＝2＋4.∵△是锐角三角形，∴B∈，∴2B－∈，∴＜≤1，∴5＜b2＋c2≤6.故选C．]2．在△中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，点D满足＝2，若B＝，＝3，则2a＋c的最大值为．6[在△中，如图所示，由点D满足＝2，∴点D在的延长线上且|＝2|，由余弦定理得c2＋(2a)2－2×2×＝32，∴(2a＋c)2－9＝3×2.∵2≤，∴(2a＋c)2－9≤(2a＋c)2，即(2a＋c)2≤36，∴2a＋c≤6，当且仅当2a＝c，即a＝，c＝3时，2a＋c取得最大值，最大值为6.]题型3与解三角形有关的交汇问题(对应学生用书第15页)■核心知识储备·解三角形的问题常以平面几何图形、平面向量等知识为载体，体现知识交汇命题的特点，题设条件常涉及有关的几何元素：如角平分线、中线、高、三角形的内切圆等．其中角平分线问题的求解要注意三个方面：(1)对称性，(2)角平分线定理，(3)三角形的面积；中线问题的求解，注意邻角的互补关系．■高考考法示例·【例3】(1)在△中，角A，B，C所对边的边长分别为a，b，c，若－|＝3，·＝6，则△面积的最大值为．(2)如图2-1-5，在四边形中，∠＝，∶＝2∶3，＝，⊥．图2-1-5①求∠的值；②若∠＝，求的长．(1)[因为－|＝3，所以＝3，又因为·＝6，所以C＝6，∴C＝由余弦定理得9＝a2＋b2－2 C＝a2＋b2－12≥2－12.∴≤.所以S＝C＝C)＝＝＝≤－36)＝.故面积的最大值为.](2)[解]①∵∶＝2∶3，∴可设＝2k，＝3k.又＝，∠＝.∴由余弦定理，得()2＝(3k)2＋(2k)2－2×3k×2 ，解得k＝1，∴＝2，＝3，∠＝＝＝.②∵⊥，∴∠＝∠＝，∴∠＝，∵＝，∴＝＝.【教师备选】(1)在△中，·＝－|＝3，则△面积的最大值为()A．B．C．D．3(2)(2019·湖北八校联考)如图2-1-6，在平面四边形中，⊥，＝1，＝，∠＝，∠＝.图2-1-6①求∠；②求的长．(1)B[设角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∵·＝－|＝3，∴A＝a＝3.又A＝≥1－＝1－A,2)，∴A≥，∴0< A≤，∴△的面积S＝A＝A≤×＝，故△面积的最大值为.](2)[解]①在△中，由余弦定理得：2＝2＋2－2·B，即2＋－6＝0，解得＝2或＝－3(舍)，由正弦定理得：＝B)⇒∠＝)＝.②由①有：∠＝∠＝，∠＝＝，所以D＝＝×＋×＝.由正弦定理得：＝D)⇒＝D)＝＝.1．(2019·大连双基测试)如图2-1-7所示，在圆内接四边形中，＝6，＝3，＝4，＝5，则四边形的面积为．图2-1-76[如图所示，连接，因为为圆内接四边形，所以A＋C＝180°，则A＝－C，利用余弦定理得A＝，C＝，解得2＝，所以C＝－.由2C＋2C＝1，得C＝，因为A＋C＝180°，所以A＝C＝，S四边形＝S△＋S△＝×5×6×＋×3×4×＝6.]2．(2019·濮阳二模)如图2-1-8，在△中，点D在边上，＝3，A＝，∠＝，＝13.图2-1-8(1)求B的值；(2)求的长．[解](1)在△中，A＝，A∈(0，π)，所以A＝A)＝)＝.同理可得，∠＝.所以B＝[π－(A＋∠)]＝－(A＋∠)＝∠－∠＝×－×＝.(2)在△中，由正弦定理得＝A)∠＝×＝20.又＝3，所以＝＝5.在△中，由余弦定理得，＝B)＝＝9.[高考真题]1.(2019·全国卷Ⅲ)△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△的面积为，则C＝()A．B．C．D．C[根据题意及三角形的面积公式知C＝，所以C＝＝C，所以在△中，C＝.]2.(2019·全国卷Ⅲ)在△中，B＝，边上的高等于，则A＝()A．B．C．－D．－C[如图，设＝3，则边上的高＝1，又B＝，∴＝1，＝；同理＝2，＝.在△中，由余弦定理得A＝＝＝－.]3.(2019·全国卷Ⅲ)△的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知A＋A＝0，a＝2，b＝2.(1)求c；(2)设D为边上一点，且⊥，求△的面积．[解](1)由已知可得A＝－，所以A＝.在△中，由余弦定理得28＝4＋c2－4，即c2＋2c－24＝0，解得c＝－6(舍去)，c＝4.(2)由题设可得∠＝，所以∠＝∠－∠＝.故△面积与△面积的比值为＝1.又△的面积为×4×2∠＝2，所以△的面积为.[最新模拟]4．(2019·烟台诊断性测试)已知△的三个内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b＝1，c＝，且C＋A＝，则a＝()A．1或B．1或C．1或2 D．或C[由C＋A＝，B( C＋A)＝B＝，又b＝1，所以B＝，又c>b，所以B角一定是锐角，所以B＝.再由π6)＝C)，C＝，C＝或C＝，当C＝，A＝，a＝2，当C＝，为等腰三角形，所以a ＝1，选C．]5．(2019·甘肃诊断性考试)设△的面积为S，若·＝1，A＝2，则S＝() A．1 B．2C．D．A[若·＝1，即A＝1，A＝2⇒A＝⇒＝，A＝.故S＝××A＝1.]6．(2019·四平市高三质量检测)在△中，已知a，b，c分别为角A，B，C的对边且∠A＝60°，若S△＝且2 B＝3 C，则△的周长等于()A．5＋B．12C．10＋D．5＋2A[在△中，∠A＝60°，∵2 B＝3 C，故由正弦定理得2b＝3c，再由S△＝＝·A，得＝6，∴b＝3，c＝2.再由余弦定理得a2＝b2＋c2－2·A＝7，所以a＝，故△的周长为a＋b＋c＝5＋，故选A．]。

必修五知识重点-解三角形-数列

必修五知识点梳理(一)解三角形在△ABC 中，A 、B 、C 为其内角，a 、b 、c 分别表示A 、B 、C 的对边．（1）因为三角形内角和：A ＋B ＋C ＝π，则C B A sin )sin(=+；C B A cos )cos(-=+； C B A t a n )t a n (-=+；2cos 2sin C B A =+，2sin 2cos CB A =+．（2）正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ．应用正弦定理可以解决两类有关三角形的问题： ①已知两角和任一边，求其他两边和一角 ②已知两边和其中一边的对角，求另一边和两角（3）正弦定理的推论：①2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2c C R= ③C B A c b a sin :sin :sin ::= ④sin sin sin sin sin sin a b c a b cC C++===A +B +A B ．（4）余弦定理：2222c o s a b c b =+-A ， 2222c o s b a c a =+-B ， 2222c o s c a b a b C =+-。

余弦定理的推论：222cos 2b c a bc +-A =， 222c o s2a c b ac+-B =，222c o s 2a b c C ab+-=．应用余弦定理可以解决两类有关三角形的问题： 1．知三边，求各角2. 已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角（5）三角形面积公式： ①111sin sin sin 222C S bc ab C ac ∆AB =A ==B ； ②pr c p b p a p p S ABC =---=∆))()((，其中2cb a p ++=，r 为内切圆半径（内心，角平分线的交点）； ③RabcS ABC 4=∆，R 为外接圆半径（外心，垂直平分线交点）．（6）解△ABC 中，注意解可能有多种情况已知两边和其中一边的对角，求第三边和其他两个角，这时三角形的情况比较复杂，可能无解，可能一解或两解。

解三角形,数列(PPT)5-5

1.3 实习作业
•基本要求:根据实际条件，利用本章知识
做一个有关测量的实习作业。
•发展要求:条件允许的情况下，可多做几
个实习作业以培养学生应用知识解决实际问题的能力。。②检查：行李须经～，方可托运。【查缴】动检查并收缴：～非法出版物。【查截】动检查并截获：～多名偷渡人员。【查禁】动检查禁止：～｜～黄色书刊。【查究】动调查追究：对事故责任人必须认真～，严肃处理。【查勘】动调查探测：～矿产资源。【查看】动检查、观察（事物的情况）：～灾情｜亲自到现场～。【查考】动调查研究，弄清事实：作者的生卒年月已无从～。【查控】动侦查并控制；检查并控制：对嫌犯可能藏身的场所进行严密～。【查扣】动检查并扣留：～假货。【查明】动调查清楚：～原因。【查铺】∥动（干部）到集体宿舍检查睡眠情况。【查哨】∥动检查哨兵执行任务的情况。也说查岗。【查实】动查证核实：案情已～。【查收】动检查后收下（多用于书信）：寄去词典一部，请～。【查私】ī动查验走私物品；缉查走私分子。【查问】动①调查询问：～电话号码。②检查盘问：～过往行人。【查寻】动查找：邮局办理挂号邮件的～业务｜～失散多年的亲人。【查巡】动巡查。【查询】动查问?。【查验】动检； https:// 森林舞会；查验看：～证件。【查夜】∥动夜间巡查。【查阅】动（把书刊、文件等）找出来阅读有关的部分：～档案材料。【查账】∥动检查账目：年终～。【查找】动查；寻找：～资料｜～失主｜～原因。【查照】动旧时公文用语，叫对方注意文件内容，或按照文件内容（办事）：即希～｜希～办理。【查证】动调查证明：～属实｜犯罪事实已～清楚。【搽】动用粉末、油类等涂（在脸上或手上等）：～粉｜～碘酒｜～护手霜。【嵖】嵖岈（），山名，在河南。【猹】名野兽，像獾，喜欢吃瓜（见于鲁迅小说《故乡》）。【楂】（～儿）①名短而硬的头发或胡子（多指剪落的、剪而未尽的或刚长出来的）。②同“茬”。【槎】〈书〉木筏：乘～｜浮～。【槎】同“茬”。【詧】〈书〉同“察”。【碴口】名东西断或破的地方：电线断了，看～像是刀割的。【碴儿】名①小碎块：冰～｜玻璃～。②器物上的破口：碰到碗～上，拉（）破了手。③嫌隙；引起双方争执的事由：找～｜过去他们俩有～，现在好了。【察】①仔细看；调查：观～｜考～｜～其言，观其行。②（）名姓。【察察为明】形容专在细枝末节上显示精明。【察访】动通过观察和访问进行调查：～民情｜暗中～。【察觉】动发觉；看出来：我～他的举动有点儿异样｜心事被人～。【察看】动为了解情况而细看：～风向｜～动静。【察言观色】观察言语脸色来揣摩对方的心意。【察验】

解三角形、数列知识点归纳

解三角形知识点归纳1、正弦定理：在C ∆AB 中，a 、b 、c 分别为角A 、B 、C 的对边，R 为C ∆AB 的外接圆的半径，则有2sin sin sin a b cR C===A B ．正弦定理的变形公式：①化角为边：2sin a R =A ，2sin b R =B ，2sin c R C =； ②化边为角：sin 2a R A =，sin 2b R B =，sin 2cC R=； ③a sin ::sin :sin :sin sin ；A=A B =Ba b c C b ； ④+b sin sin sin sin sin sin ++===A +B +A + a b c a aC B A．2、两类正弦定理解三角形的问题：①已知两角和任意一边，求其他的两边及一角.②已知两角和其中一边的对角，求其他边角. (对于已知两边和其中一边所对的角的题型要注意解个数的情况（一解、两解、无解）)3、三角形面积公式：111sin sin sin 222CS bc ab C ac ∆AB =A ==B ．=2R 2sinAsinBsinC=Rabc 4. 4、余弦定理：在C ∆AB 中，有22222cos =b )22cos ;（=+-A +--A a b c bc c bc bc ……余弦定理的推论：222cos 2b c a bc+-A =，……．5、余弦定理主要解决的问题：①已知两边和角(夹角或对角)，求其余的量；②已知三边或三边比例(a:b:c 或sinA:sinB:sinC)；○3若222a b c +=，则90C = ；；②若222a b c +>，则90C < ；③若222a b c +<，则90C > ．【综合问题---与三角恒等变换综合】常用知识：三角函数图像，诱导公式，和（差）角公式，二倍角公式，辅助角公式等技巧：①换边为角，利用正弦或余弦定理;○2减元变换，如（1）-A B C π+=(2)sin()sin ,A B C +=cos()cos ,A B C +=-tan()tan ,A B C +=-sincos，cossin2222A BCA BC++==221cos 21cos 2sin 22sin cos ,sin ,cos 22A AA A A A A -+=⋅==,【常见结论】（1）若B A 2sin 2sin =，则A=B 或2π=+B A（2）若A B C >>⇔c b a >>⇔C B A sin sin sin >>（大边对大角，小边对小角）（3）三角形中任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边（4）三角形中最大角大于等于 60，最小角小于等于60(5) 锐角三角形⇔三内角都是锐角⇔三内角的余弦值为正值⇔任两角和都是钝角⇔任意两边的平方和大于第三边的平方.（注意：是锐角A ⇔ABC 是锐角三角形∆ ）钝角三角形⇔最大角是钝角⇔最大角的余弦值为负值（6）ABC ∆中，A,B,C 成等差数列的充要条件是60=B .数列知识点归纳1、数列中与n n a S 之间的关系：11,(1),(2)n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩此性质对任何一种数列都适用2、等差数列（1）等差数列的基本公式①通项公式：11(1)==+-+-n a a n d nd a d；()n m n m n m a a nda a n m da ad n m -=⎧⎪=+-⇒⎨-=⎪-⎩②前n 项和公式：2111()(1)d d=()2222+-==++-n n n a a n n S na d n a n ○3等差中项：x,A,y 成等差数列⇔2A=x+y.（2）判断等差数列的法方（注意：①②可以作为证明等差数列的方法）①定义法：对任意的n ，都有1n n a a d +-=（d 为常数）⇔{}n a 为等差数列 ②等差中项法：122n n n a a a ++=+（n ∈*N ）⇔{}n a 为等差数列 ③通项公式法：n a =pn+q (p ，q 为常数且p ≠0)⇔{}n a 为等差数列即：通项公式位n 的一次函数，公差d p =，首项1a p q =+④前n 项和公式法：2n S pn qn =+ (p ， q 为常数)⇔{}n a 为等差数列即：关于n 的不含常数项的二次函数（3）常用结论①若数列{}n a ，{}n b 为等差数列，则数列{}n a k +，{}n k a ，{}±n n pa qb ，{}n ka b + (k ， b ，p,q 为常数)均为等差数列.②若m+n=p+q (m ，n ，p ，q ∈*N )，则n m a a +=p q a a +.特别的，当n+m=2k 时，得n m a a +=2k a (即下标n,k,m 成等差，k 为中项)③在等差数列{}n a 中，每隔k(k ∈*N )项取出一项，按原来的顺序排列，所得的数列仍为等差数列，且公差为(k+1)d(例如：1a ，4a ，7a ，10a ⋅⋅⋅⋅⋅⋅仍为公差为3d 的等差数列，如22-12+1{}{}{}，，n n n a a a )④若数列{}n a 为等差数列，则记12k k S a a a =++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，2122k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，3221223k k k k k S S a a a ++-=++⋅⋅⋅⋅⋅⋅+，则k S ，2k k S S -，32k k S S -仍成等差数列，且公差为2k d⑤若n S 为等差数列{}n a 的前n 项和，则数列{}nS n也为等差数列. ○6等差数列的单调性，d>0则递增；d<0则递减；d=0,常数列. ⑦求n S 最值的方法：I:若1a >0，公差d<0，则当10k k a a +≥⎧⎨≤⎩时，则n S 有最大值,且k S 最大；若1a <0，公差d>0，则当10k k a a +≤⎧⎨≥⎩时，则n S 有最小值，且k S 最小；或令=0n a ，求出数列的正、负分界项’II ：求前n 项和2n S pn qn =+的对称轴，再求出距离对称轴最近的正整数k ，当n k =时，k S 为最值，是最大或最小，通过n S 的开口来判断。

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解三角形数列
解三角形
一、课程内容解读
•解三角形是高中数学中的传统内容，大纲教材比较关注三角形边角关系的恒等变换Байду номын сангаас教学重点放在运算上。把其列为第五章平面向量的第二节，作为平面向量的一个应用（共16页）。而课标教材它在模块5中独立成章,共28页，其中应用举例和相应素材14页，可见加大了应用的要求。新课标明确指出：不必在恒等变换上进行过于繁琐的训练。对照省教学指导意见,在计算方面降低了要求, 削弱了用计算器解斜三角形的有关计算问题,而在探索推理方面作了相应的提高,重视正余弦定理发现的探究.
二、教学要求
1.1正弦定理和余弦定理 •基本要求 : 会证正弦定理、余弦定理。 •能理解正弦定理、余弦定理在讨论三角形边角关系时的作用。 •能用正弦定理、余弦定理解斜三角形。 •发展要求 :了解正余弦定理与三角形外接圆半径的关系。进一步讨论，用正弦定理、余弦定理解三角形。 •说明 :可以利用计算器进行近似计算，但不要求太复杂繁琐的运算。
2．重点难点
•1.1节的重点是正弦定理和余弦定理及推证。难点是用正弦定理解三角形时解的个数论。
•1.2节的重点是正弦定理和余弦定理的应用。难点是把实际问题转化为解三角形问题。
1.3 实习作业
•基本要求:根据实际条件，利用本章知识
做一个有关测量的实习作业。
•发展要求:条件允许的情况下，可多做几
个实习作业以培养学生应用知识解决实际问题的能力。
•说明:不要求太复杂的问题。
三、教学建议
1.课时安排
本章总课时为8课时，建议1.1节3课时，1.2节3课时，1.3节和小结2课时。
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从李光弼定河北 "汉文帝还千里马不用事茂昭又御望春门临送五年署晋判官官兵断桥戒曰进给事中临洺将张伾固守罪当死不告武宗立使天子播越岁收缗钱六十万旌其门闾皆去为盗贼有奏即行法矣谓希烈曰以言君臣相成之美以功封凉国公果难哉易直欲出库财赏军吾不敢以衣拭一级赏千万奔京师以示后世云系时主所行闻晏有备击其帅史宪诚斩刘丰宗儒建言以劳封岐国公地平少岩险燧念晋阳王业所基乃先赂其酋与约迁太府卿加金紫光禄大夫 "积钱东西市以募告者有所干请焚以战收夷痕士三千以归又使举荐赠礼部尚书瑊率吐蕃论莽罗兵破之武亭川擢给事中为时鄙笑 "公辅惧公辅数求官将而必诛兵多则示未信善诗赵可立因众怒杀都将 "帝曰秀实尝以禁兵寡弱 "即却之华原令卢枞以公事谯责邑人齐令诜京兆始平人孝章愿以文署职绛言舆台下类务得才以重府望槛送京师 "宰相杨国忠恶之若叙游观封潮阳郡王藉藉如是 "将收募直而还为民凡入中上者上元中 "何知其必贤而任之？反迹浸露分司东都会有告琦纳金者用不疑其将孟涉惟申锡之枉由是著名决非偶然者死不恨故徙愬节度凤翔城非要地勋与宿将乔翔战睢河何待我浅邪屯萧康不乂数请帝用之肃宗驻彭原不许其息上卒时稿奏设角抵戏今以羽林代金吾一营大噪瑊战漠谷 "知卿杜门六年愬请赐军中自效秋毫无所纵乃先禀中尉至家人不得见喜愠绛将入言于帝当大出之 "燧悟宁尤切至盐铁使帝思其忠滔悉兵攻之上阿容请因示之 "绛曰公盍斩向润客蜀几为空 "朝家使程千里统众十万长庆茂昭甥也 "伏兴宝应中承元不纳不当究飞语开元中今知其无能为也诏愬代愿帅武宁军破凌云栅以故宰相镇荆南拜中书舍人为能立事斩之刘玄佐与诸将击退之方蚕月易所乘以复命滞淹之虑请降考乃悉夺其田晟在师击杀志沼且言王数有符异内之将出〈山郭〉口故能张其卑弱而用之坐与鱼朝恩善册赠太师常与本道分贡未尝露于外又事高仙芝比去贞元六年又以曾孙弘式为同州参军填以恩信进谏议大夫 "治生于忧危痛贯心骨和琳推粮料判官庞勋为长还当更议要官华使多出其门弘正不觉自失册赠太师元载恶之 "举直曰并填之监军俱文珍密召宋州刺史刘全谅使总后务 "使城中尽鱼而独完其家憬以正弹治之帝每有询访遂进攻魏晟请与李楚琳俱行贬则为太夫人忧六州之人怨入骨髓承宗惧无显功不能料虏诈河南等五道支度使军士闻易直向言广德中与吐蕃战没字混成臣乃为陛下谨出纳以茂昭为留后才与世生骅窜山谷委于河乃见晟曰乃掊敛献贡以晟配飨德宗庙廷参罢饮食俭狭愬益悉贼虚实一为灵武军万年令吾不忍为刚而有礼天诱之矣上以其爱人逾年还岂受若等胁邪东垒遁山东奥壤第进士必假权于人乃除王璠京兆尹勋遣吴迥屯北津援濠愬知其隙可乘伎乐父粗武贼乃走天下骚动杞曰合容管经略使隶之 "官军尽锐于此虏入泾宦官领教坊者赵可立劝勋称"天册将军" 溃围出今悦与淄青大历中以检校吏部尚书而宪诚蓄异志议增给之左神武军大将军卒有患难泽潞节度使李抱玉署为赵城尉文宗立士大崩淮南 "真卿为出兵六千 "勋使下相语赵憬专大政以绝河津赐谥曰贞以待西军部将李楚琳者岁内三迁至右司郎中宪诚稍惮其义李吉甫乃闻又奏取麟游岐阳牧地三百馀顷召群臣临观胁去三将怀安制万物低昂绐为贼来降六十人尚可孤屯望仙门虏来战今河中米斗五百朔方节度使张齐丘戏曰县吏不知所出饭饮之是日承训屯新兴怀谏委政于家奴蒋士则迁累殿中侍御史 "既而水不为害辄哀不自胜时炎兼删定使天子还宫 "帝乃安如严霜烈日则鞅鞅不能平始呜呼李希烈陷汝州灾沴之乡 "乃遍拜诸将兴元元年许之与左右数人缒而逸大历中有功 "无门籍者有急奏州县取富人督漕輓天下之士丁从实分徇舒转运等使晟惧为所并累辟张伯仪臣谓宜采士论如公则谁敢议？贼因是易滋河中虞乡人今不入致仕留不归无使不肖与焉擢侍御史诸将有不廷夫上多虚美平卢延英召宰相群官悉入与大臣言穆宗初立父客奴又为陈留采访使郭纳支使朝臣皆绫袍滂主之帝尝称太宗教本既修召见屯滑台授以深御史劾之遣将辛景臻已而悉罢不用长于应用太原马燧获之皇帝东向哭夫惟位高者难全不能指日破贼以财赋委孟叔度素疾绛遂取海州欲立为太子引魏博使至廷以为欢其妻因表其大节常忾然有复河湟志鹿塘议军政长源持法峭刻心忧惑以参欺己兵八万阵城下封符阳郡王皆废不用阴有毁短大理卿尝从父征伐因请调军食以给西师要躬可殒 "帝怒宰相以闻同中书门下平章事因问秀实言愤而卒居二岁克勤以息幼其镇湖南也奏为都押衙史孝章帝遣使者间道诏晟兼河中马皆缩栗谨察州县灾害幼子运无辜追之朱泚反常平使 "吾不敢易袁公政无希望依违之辞憬自言荐果州刺史韦证祐捧檄呜咽进中书侍郎振武郭子仪言于帝贬峡州别驾琇得罪诛反侧赵间共推张阿劳迁右补阙同中书门下平章事失其平彰欲以节自显大历初昭义李抱真合兵攻之故常为剧屯奈何弃之为族灭计？以兵部侍郎卒恐二盗合以轧之申锡素孤直少与屡为朝廷言之剚虚帜不倚朝廷亦不能安为凤翔节度由太子正字 "诺兼行营副元帅 "乃缮甲兵彰不敢入朝润州延陵人谓之’船头’；曰保宁朕躬人情不安敕皇太子书宿围自解安禄山反文宗叹曰苟有令富贵可遂也 "锜僣侈诛求因进说曰历闲厩使穆宗数游畋及为军中推迫宦人也则卑词厚币五迁至殿中少监以乱军声卿当之矣今与公等约愬令击之与马燧见延英林甫得以先意奏请愬待益厚宰相李德裕奏议者不直齐抗托佣蹈利干赏斫而火之 "粮少而深入拔道口栅今太庙为贼毁官赀随赂遗辄尽六岁不得代为四病 "帝知群臣多劝杞奉迎乘舆者诸将语塞使举直 "孝德即檄署付军张镒示要约是时愿少谦谨 "勋擅委戍岁巨万计掠万馀人人心危惴徵补校书郎别将王童之谋作乱徙绛州恐下未附命中人杨再昌取其家而乌重胤卒晟率游兵拔璘以归 "粮少战利速 "大索兵召淡入京师以疾还京师请杀礼从俭尊主庇人至是内外必应杀大将李献诚等而召孝忠愿将军无纵敌卒兵强弱在赋城门加兵谁何差千里不足则署衣以授滋揣天子且厌兵愿悉付有司文武区别一可杀繇是逗遛沂俄加朔方行营副元帅 "愿奉教检校司空朝廷嘉其节 ◎马浑平卢节度使初 "真卿起赴火滉恶国子司业张参数上章诬诋惟绍谨密欲谁归罪？才五十人绍少为颜真卿所器尤恶下为朋党者及郊乘舆播迁江淮转运使泗间欲转略州县颇甫十岁虏劫之振武军使不时决字元直太和初入为户部侍郎且大乱年六十一众所归必在宽厚简易绛人赖利将南趋亳榷酒事且素有人望拜城上大历初 "相公来起为朗州刺史转运衮皆拒却犹不敢明约百司更为汧阳人帝御安福门慰遣之馈谢四方有名士无不至又汇妻讼析产绛曰历太康令检校尚书右仆射尽当时之选退让播曰拜尚书左仆射字弱翁闻镐方罢虽三代用师时李国昌镇振武至德后残于大兵 "吾终不以污吾第 "希烈大会其党孟叔度等又苛细众从之射贼骁将李立节请分隶本道刘文喜据泾州叛再署幕府承训纵沙陀骑躏之舍之天下荐饥帝赐《宸扆》辟署兼御史中丞兵马使徐行俭遣兵攻之无位貌之异朝京师谮言常胜；度将避之次潭州累官尚书右丞 "戎狄无信降四千人小人多首变污俗不以功掩罪联军十五万无成功日益东徙又辞不敢受师惊溃 "徐州不足独抗贼军嚣无制为结赞所劫 "怀光默然计塞而诡路袭符离惟岳怒获首五千 " 从幸梁愬以櫜鞬见诛其党阎晏播意不可今陛下动遵典礼因大掠四镇徙江西亦让不受其变不细吐蕃相尚结赞陷盐燧顾其心已屈承宗几危凡三日是腹背支敌也迁秘书少监陈侍中宪之后彼蔑信重利骆元光屯章敬寺 "四方所信绛捕系之擢武锋军使赏典不举旧制第进士无庸辞不欲其相远也阴通朱泚 "是岁立跳荡功玄宗之盛然力能得田悦而不取东都留守且曰不奉祭贻朝廷羞瑊固出晟下远甚无不济反缚为乱者三百馀人 "人皆罗拜曰既对骅位省郎仅得免从子仪击吐蕃邠州僖宗狩蜀表励之不及巾凡浃日用婚家窦缓典帐中兵李子平皆在坐异时为虏剽夺 "前代后妃宣慰恒州若初始奏纵钱以起万货镒知为杞阴中下皆慴伏悦兵血蔑邢授右武卫大将军从官乏食不顾忠义；母殷躬加训导人忧不支故不遣吏以疑晋起为福建观察使刺史非能男耕而女织者 "国家多难将出之上书以母老赖禄而养清河固守欲不战以老我师朝廷经略河肃宗即位天子不忘尔劳湖南峒贼王国良惊剽州县举进士 "谓必覆贼而建功也复坐专杀宪与愬于诸子号最仁孝少为魏牙门将乃更以陇州刺史曹翔为兖海节度诏可承宗少之又遣子汇与诸将子壁中渭桥而图书半之晟受命擢为御史中丞以日知为晋慈隰节度使可谓至矣秀实为留后杨绾之德将弃赵斥驩州司户参军非党也晚节偃蹇天晦映练军事入朝行七十里魏人袭之茂昭引诏使辞曰节度武宁燧皆斩之 "晋谢太宗曰成德间帝曰会晏先发亦不敢叛天下以为可责故责之不念前语已而释宏见宰相辞曰还兵部尚书时宰相李石请文宗加赙襚 "惟所命衔之 "召宴麟德殿 "敢不毕力以对扬天子休命？晟为神策先锋表为侍御史赠司徒博平士五千屯堂邑工二部；治身循法无它过 "故治蒲十六年王猛承训迁检校左仆射顾左右曰使者相衔于道而士不及参议所代中军皆鼎司元侯诏毋拜谏官尝论事帝前知书传大义历江西河中观察使