与圆有关的最值取值范围问题,附详细答案
微专题12 与圆有关的定点、定值、最值、范围问题
12－
32
2
∴ 82＋|8a（－－3|6）2＝12，
又∵M(a，0)在l的下方，∴8a－3＞0，∴8a－3＝5，a＝1. 故圆M的方程为(x－1)2＋y2＝1.
10
(2)由已知可设AC的斜率为k1，BC的斜率为k2(k1＞k2)，则直线AC的方程为y＝k1x ＋t，直线BC的方程为y＝k2x＋t＋6. 由方程组yy＝＝kk12xx＋＋tt，＋6， 得 C 点的横坐标为 x0＝k1－6 k2. ∵AB＝t＋6－t＝6， ∴S＝12k1－6 k2×6＝k11－8k2.
的弦长为 3，且圆心 M 在直线 l 的下方. (1)求圆 M 的方程； (2)设 A(0，t)，B(0，t＋6)(－5≤t≤－2)，若圆 M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积 S 的最大值和最小值.
9
解 (1)设圆心 M(a，0)，由已知得圆心 M 到 l：8x－6y－3＝0 的距离为 ＝12，
23
解 (1)连接OP，OA，OB，因为PA，PB为过点P的圆O的切线，切点为A，B， 所以OA⊥PA，OB⊥PB. 因为∠APB＝60°，∠APO＝30°，在Rt△APO中，OA＝1，所以OP＝2. 设点 P 的坐标为(t，t＋2 2)，则 t2＋(t＋2 2)2＝4，t2＋2 2t＋2＝0，即(t＋ 2)2＝0， 解得 t＝－ 2， 所以点 P 的坐标为(－ 2， 2).
24
(2)假设存在符合条件的定点R. 设点 M(x，y)，R(x0，y0)，MMPR22＝λ，则 x2＋y2＝1， 即(x－x0)2＋(y－y0)2＝λ[(x＋ 2)2＋(y－ 2)2]， 整理得－2x0x－2y0y＋x20＋y20＋1＝λ(2 2x－2 2y＋5)， 上式对任意x，y∈R，且x2＋y2＝1恒成立，
与圆有关的定点定值最值与范围问题
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
【助学·微博】 一个考情分析
与圆有关的综合性问题，其中最重要的类型有定点问题、定值 问题、最值与范围问题． 解这类问题可以通过建立目标函数、利用几何意义、直接求解 或计算求得．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考点自测
1．已知两圆C1：x2＋y2－2x＋10y－24＝0，C2：x2＋y2＋2x＋ 2y－8＝0，则经过两圆交点且面积最小的圆的方程为 ________________．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
2．若直线 y＝x＋b 与曲线 y＝ 1－x2有两个公共点，则 b 的取值
范围是________．
解析 如图，当直线介于 l1 与 l2 之间时满
足题意，即圆心到直线
y＝x＋b
的距离
2 2
≤ |b|＜1，解得 1≤b＜ 2. 2
答案 [1， 2)
抓住2个考点
突破3个考向
由yx＝－02，2－3＝0，
得x＝2＋ y＝0
3，
或x＝2－ y＝0.
3，
故以 MN 为直径的圆恒过定点(2＋ 3，0)和(2－ 3，0)．
抓住2个考点
突破3个考向
揭秘3年高考
考向二 与圆有关的定值问题
【例2】 (2013·扬州调研)已知圆C：x2 ＋y2＝9，点A(－5,0)，直线l：x－2y ＝0. (1)求与圆C相切，且与直线l垂直的 直线方程； (2)在直线 OA 上(O 为坐标原点)，存在定点 B(不同于点 A)， 满足：对于圆 C 上任一点 P，都有PPAB为一常数，试求所有满 足条件的点 B 的坐标．
抓住2个考点
与圆有关的最值(范围)问题
xx与圆有关的最值（范围）问题圆是数学中优美的图形，具有丰富的性质．由于其图形的对称性和完美性，很多与圆有关的最值问题都可以运用圆的图形性质，利用数形结合求解．当然，根据《教学要求》的说明，“平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想”，因此在此类问题的求解中，有时也会用到函数思想和基本不等式思想等．本文将就与圆的最值问题有关的题目进行归纳总结,希望能为学生在处理此类问题时提供帮助． 类型一：圆上一点到直线距离的最值问题应转化为圆心到直线的距离加半径，减半径例1 已知P 为直线y=x +1上任一点，Q 为圆C ：22(3)1x y -+=上任一点,则PQ 的最小值为 。
【分析】：这是求解“圆上一动点到直线距离”的常见考题,可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，这一结论在解题时可直接应用．解：如图1，圆心C到直线y=x +1的距离d =圆半径1r =，故1PQ PC r ≥-=变题1：已知A （0,1），B （2,3）,Q 为圆C 22(3)1x y -+=上任一点，则QABS的最小值为 。
【分析】本题要求QABS的最大值，因为线段AB 为定长，由三角形面积公式可知，只需求“Q 到AB l 的最小值"，因此问题转化为“圆上一动点到直线的最小距离”，即例1． 解:如图2，设Q h 为Q 到AB l 的距离，则11)42QABQ Q SAB h =⋅===+图1 图2变题2：由直线y=x +1上一点向圆C :22(3)1x y -+=引切线，则切线长的最小值为 【分析】一般地，当直线和圆相切时，应连接圆心和切点,构造直销三角形进行求解．因为222PA PC r =-，故即求PC 的最小值，即例1．解：如图3，22221PA PC r PC =-=-，∵min PC=∴min PA变题3：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB ，A 、B 为切点,则当PC= 时，APB ∠最大．【分析】APB APC ∠=∠，故即求角APC ∠的最大值，利用其正弦值即可转化为求PC 的最小值，即例1．解：如图4，∵APB APC ∠=∠，1sin APC PC∠=,∵min PC =,∴PC =APC ∠最大，即APB ∠最大．图3 图4变题4：已知P 为直线y=x +1上一动点，过P 作圆C ：22(3)1x y -+=的切线PA ，PB,A 、B 为切点，则四边形PACB 面积的最小值为 .【分析】将四边形面积转化为两个全等的三角形的面积，从而转化为PA 的最小值，问题又转化为求切线段的最小值问题．解：如图4，1222PAC PAB PAB S S S S PA AC PA ∆∆∆=+==⨯⋅⋅=四边形PACB ，由变式2可知，min PA =PACB【解题回顾】在上面例1及几个变试题的解题过程中，我们可以总结一句“万变不离其宗”，一般地，求“圆上一动点到直线距离”的常见考题，可以通过平面几何的知识得“圆心到直线的距离减半径”即为最短距离，“圆心到直线的距离加半径”即为最大距离，这一结论在解题时可直接应用．另:和切线段有关的问题常利用“连接圆心和切点,构造直销三角形“进行求解．也即将“ 两个动点的问题转化为一个动点的问题”．如下例．例2已知圆C:222430x y x y ++-+=，从圆C 外一点11(,)P x y 向该圆引一条切线，切点为M ，O 为坐标原点，且有PM=PO ,求使得PM 取得最小值的点P 坐标．【分析】本题中，由于点P 和点M 均在动，故直接做很难求解．联系到PM 是切线段，因此可利用222PM PC r =-将条件PM=PO 转化为只含有一个变量P 的式子即可求解．解：由题意，令(,)P x y ，∵222PM PC =-，∴222PC PO -=，即2222(1)(2)2x y x y ++--=+,化简得：2430x y -+=．∵PM=PO ，∴即求直线2430x y -+=到原点O （0，0)的最小距离．d==PMx类型二：利用圆的参数方程转化为三角函数求最值例3若实数x 、y 满足22240x y x y ++-=，求x-2y 的最大值．【分析】本题是典型的用圆的参数方程解决的题型，利用圆的参数方程将所求式转化为三角函数求最值，利用辅助角公式即得最大值．解：22(1)(2)5x y ++-=，令1()2x R y θθθ⎧=-+⎪∈⎨=+⎪⎩，则255cos()5x y θθθϕ-=-+-=+-(其中cos ϕϕ==) ∴当cos()1θϕ+=时，max (2)550x y -=-=，故x —2y 的最大值为0．【解题回顾】和圆有关的一次式的求解，利用圆的参数方程可以比较方便的求到最值．类型三:抓住所求式的几何意义转化为线性规划问题求最值若所求式子具有较明显的几何意义,值．比如例2，除了用圆的参数方程求解,这类题通常转化为直线方程的纵截距求解． 解法二：令2x y z -=,则1122y x z =-,由题意，当直线的纵截距最小时,z 最大，此时直线和圆相切，故圆心到直线的距离d ==故010z =-或，由题意，max 0z =，即x-2y 的最大值为0．除了转化为直线的截距求解，还有一些式子具有明显的几何意义，比如斜率、两点间距离、点到直线的距离等．比如在上例中，改为求12y x --，22(2)(1)x y -+-，1x y --的取值范围,则可以分别用如下方法求解： 对12y x --，转化为圆上任意一点P 到点(2,1)A 连线斜率的最大值,可设过点(2,1)A 的直线为1(2)y k x -=-，直线和圆相切时，即圆心到直线的距离d ==，可得122k =-或,故1[2,)(,2k ∈+∞⋃-∞-．对22(2)(1)x y -+-,转化为圆上任意一点P 到点(2,1)A 距离的平方的取值范围,由例1易得[PA CA CA ∈+，即222(2)(1)[50PA x y =-+-∈-+对1x y --，联想到点到直线的距离公式中有类似的元素．可将问题转化为圆上任意一点P 到直线10x y --=的距离的问题，易得，圆心到直线的距离为P （x ，y）到直线10x y--=,即1[4x y--∈.【解题回顾】当所求式子含有明显的几何意义时，注意联系线性规划，用线性规划的思路求解可将问题简单化和直观化．类型四：向函数问题转化平面解析几何的重要内容，教学重点是让学生从中感受运用代数方法处理几何问题的思想．有些问题，单纯利用圆的几何性质无法求解．此时应考虑如何利用代数思想将问题转化为函数问题．例4(2010年高考全国卷I理科11）已知圆O：221x y+=，P A、PB为该圆的两条切线,A、B为两切点，则PA PB⋅的最小值为【分析】本题中,由于A、B都是动点，故将PA PB⋅转化为坐标形式较难求解．此时考虑到向量数量积的定义，令2APBα∠=，cos2PA PB PA PBα⋅=，而切线段PA=PB也可用α表示,故所求式可转化为关于α的三角函数求解．解:令2((0,))2APBπαα∠=∈，cos2PA PB PA PBα⋅=，1tanPA PBα==，∴222222cos2cos cos2(1sin)(12sin)tan sin sinPA PBαααααααα⋅--⋅===，令2sin(0)t tα=>，则(1)(12)1233t tPA PB tt t--⋅==+-≥（当且仅当2t=2sin2α=时取等号）【解题回顾】本题以向量定义为载体，巧妙地利用了设角为变量，将与圆有关的问题转化为三角函数的问题求解．将几何问题代数化，利用函数思想求解．同时运用了换元思想，基本不等式思想等解题方法，是一道综合题．类型五：向基本不等式问题转化例5已知圆C：22+24x y+=（），过点(1,0)A-做两条互相垂直的直线12l l、，1l交圆C 与E、F两点，2l交圆C与G、H两点，（1）EF+GH的最大值．(2）求四边形EGFH面积的最大值．【分析】由于EF和GH都是圆的弦长，因此可利用222=+半径半弦长弦心距将EF+GH转化，用基本不等式的相关知识点．解:（1）令圆心C 到弦EF 的距离为1d ，到弦GH 的距离为2d ,则EF +GH =，又222121d d CA +==,2≤==(当且仅当122d d ==取等号)故EF +GH ≤=（2)∵EF GH ⊥，∴22128()12722d d S EF GH -+=⋅=≤⋅=四边形EFGH(当且仅当122d d ==取等号）【解题回顾】本题(1）是利用2a b +≤（2)2a b +．基本不等式是求最值的基本方法．在利用基本不等式求最值时应注意如何构造“定量”．由于圆的对称性，在与圆有关的最值问题中,应把握两个“思想"：几何思想和代数思想．所谓几何思想，即利用圆心,将最值问题转化为与圆心有关的问题．所谓代数思想,即利用圆的参数方程．同时，由于最值问题从代数意义上讲和函数的最值联系紧密，因此在解题过程中灵活的应用函数、不等式等代数思想使问题代数化、简单化也是需要注意的．。
微专题12 与圆有关的定点、定值、最值、范围问题
微专题12与圆有关的定点、定值、最值、范围问题真题感悟(2019·全国Ⅰ卷)已知点A，B关于坐标原点O对称，AB＝4，⊙M过点A，B且与直线x＋2＝0相切.(1)若A在直线x＋y＝0上，求⊙M的半径；(2)是否存在定点P，使得当A运动时，MA－MP为定值？并说明理由.解(1)因为⊙M过点A，B，所以圆心M在AB的垂直平分线上.由已知A在直线x＋y＝0上，且A，B关于坐标原点O对称，所以M在直线y＝x上，故可设M(a，a).因为⊙M与直线x＋2＝0相切，所以⊙M的半径为r＝|a＋2|.连接MA，由已知得AO＝2.又MO⊥AO，故可得2a2＋4＝(a＋2)2，解得a＝0或a＝4.故⊙M的半径r＝2或r＝6.(2)存在定点P(1，0)，使得MA－MP为定值.理由如下：设M(x，y)，由已知得⊙M的半径为r＝|x＋2|，AO＝2.由于MO⊥AO，故可得x2＋y2＋4＝(x＋2)2, 化简得M的轨迹方程为y2＝4x.因为曲线C：y2＝4x是以点P(1，0)为焦点，以直线x＝－1为准线的抛物线，所以MP＝x＋1.因为MA－MP＝r－MP＝x＋2－(x＋1)＝1，所以存在满足条件的定点P.考点整合1.最值与范围问题(1)研究与圆有关的最值问题时，可借助圆的性质，利用数形结合求解.(2)常见的最值问题有以下几种类型：①形如μ＝y－bx－a的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题；②形如t＝ax＋by的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题；③形如μ＝(x －a )2＋(y －b )2的最值问题，可转化为动点到定点的距离的平方的最值问题.(3)对于圆的方程也可以利用三角代换，转化为三角函数问题：对于圆(x －a )2＋(y －b )2＝r 2，可设x ＝a ＋r cos θ，y ＝b ＋r sin θ.2.定点问题的求解步骤(1)选参变量：需要证明过定点的动直线(曲线)往往随着某一个量的变化而变化，可以选择这个量为参变量.(2)求动直线(曲线)方程：求出含上述参变量的动直线(曲线)方程，通过消元或整体思想，使得方程只含有一个参量(当根据几何条件建立的等式中含有多个参量时，要注意区别对待，与动点、动直线、动圆有关的参量是主要参量，其他参量可看作系数).(3)定点：求出定点坐标.利用方程ax ＋b ＝0恒成立来处理定点问题.在处理时也可以用从特殊到一般的思想，先求出一个特殊点，再代入进行验证.3.定值问题的处理(1)可以直接求出相关等式，再论证该等式与参数无关，类似于三角化简求值.(2)也可以用从特殊到一般的思想，先让参数取特殊值来论证性质，再将性质推广至一般情形.热点一 最值与范围问题【例1】 已知圆M 的圆心M 在x 轴上，半径为1，直线l ：y ＝43x －12被圆M 所截的弦长为3，且圆心M 在直线l 的下方.(1)求圆M 的方程；(2)设A (0，t )，B (0，t ＋6)(－5≤t ≤－2)，若圆M 是△ABC 的内切圆，求△ABC 的面积S 的最大值和最小值.解 (1)设圆心M (a ，0)，由已知得圆心M 到l ：8x －6y －3＝0的距离为12－⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝12，∴|8a －3|82＋（－6）2＝12，又∵M (a ，0)在l 的下方，∴8a －3＞0，∴8a －3＝5，a ＝1.故圆M 的方程为(x －1)2＋y 2＝1.(2)由已知可设AC 的斜率为k 1，BC 的斜率为k 2(k 1＞k 2)，则直线AC 的方程为y ＝k 1x ＋t ，直线BC 的方程为y ＝k 2x ＋t ＋6.由方程组⎩⎨⎧y ＝k 1x ＋t ，y ＝k 2x ＋t ＋6， 得C 点的横坐标为x 0＝6k 1－k 2. ∵AB ＝t ＋6－t ＝6，∴S ＝12⎪⎪⎪⎪⎪⎪6k 1－k 2×6＝18k 1－k 2. ∵圆M 与AC 相切，∴1＝|k 1＋t |1＋k 21，∴k 1＝1－t 22t ， 同理，k 2＝1－（t ＋6）22（t ＋6），∴k 1－k 2＝3（t 2＋6t ＋1）t 2＋6t， ∴S ＝6（t 2＋6t ）t 2＋6t ＋1＝6⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1t 2＋6t ＋1. ∵－5≤t ≤－2，∴－2≤t ＋3≤1，∴－8≤t 2＋6t ＋1≤－4，∴S max ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14＝152，S min ＝6×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋18＝274， ∴△ABC 的面积S 的最大值为152，最小值为274.探究提高 直线与圆中的最值问题主要包含两个方面(1)参量的取值范围：由直线和圆的位置关系或几何特征，引起的参量如k ，b ，r 的值变化.此类问题主要是根据几何特征建立关于参量的不等式或函数.(2)长度和面积的最值：由于直线或圆的运动，引起的长度或面积的值变化.此类问题主要是建立关于与参数如k 或(x ，y )的函数，运用函数或基本不等式求最值.【训练1】 已知实数x ，y 满足方程x 2＋y 2－4x ＋1＝0.(1)求y －x 的最大值和最小值；(2)求x 2＋y 2的最大值和最小值.解 由x 2＋y 2－4x ＋1＝0得(x －2)2＋y 2＝3，它表示以(2，0)为圆心，3为半径长的圆.(1)y －x 可看作是直线y ＝x ＋b 在y 轴上的截距，当直线y ＝x ＋b 与圆相切时，纵截距b 取得最大值或最小值，此时|2－0＋b |2＝3，解得b ＝－2±6. 所以y －x 的最大值为－2＋6，最小值为－2－ 6.(2)x 2＋y 2表示圆上的点与原点距离的平方，由平面几何知识知，过原点和圆心的直线与圆有两个交点，在这两个交点处x 2＋y 2取得最值.因为圆心到原点的距离为（2－0）2＋（0－0）2＝2， 所以x 2＋y 2的最大值是(2＋3)2＝7＋43，x 2＋y 2的最小值是(2－3)2＝7－4 3.热点二 与圆有关的定点问题【例2】 (2019·北京卷)已知抛物线C ：x 2＝－2py (p >0)经过点(2，－1).(1)求抛物线C 的方程及其准线方程；(2)设O 为原点，过抛物线C 的焦点作斜率不为0的直线l 交抛物线C 于两点M ，N ，直线y ＝－1分别交直线OM ，ON 于点A 和点B .求证：以AB 为直径的圆经过y 轴上的两个定点.(1)解 由抛物线C ：x 2＝－2py 经过点(2，－1)得p ＝2.所以抛物线C 的方程为x 2＝－4y ，其准线方程为y ＝1.(2)证明 抛物线C 的焦点为F (0，－1).设直线l 的方程为y ＝kx －1(k ≠0).由⎩⎨⎧y ＝kx －1，x 2＝－4y ，得x 2＋4kx －4＝0. 设M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)，则解方程得 x 1，2＝－2k ±2k 2＋1，从而x 1x 2＝－4.直线OM 的方程为y ＝y 1x 1x . 令y ＝－1，得点A 的横坐标x A ＝－x 1y 1， 同理得B 的横坐标x B ＝－x 2y 2.所以A ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1y 1，－1，B ⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2y 2，－1. 设点D (0，n )，则DA →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 1y 1，－1－n ， DB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 2y 2，－1－n ， DA →·DB →＝x 1x 2y 1y 2＋(n ＋1)2＝x 1x 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 214⎝ ⎛⎭⎪⎫－x 224＋(n ＋1)2 ＝16x 1x 2＋(n ＋1)2＝－4＋(n ＋1)2. 令DA →·DB→＝0，即－4＋(n ＋1)2＝0，得n ＝1或n ＝－3. 故以AB 为直径的圆经过y 轴上的定点(0，1)和(0，－3).探究提高 圆锥曲线中的定值与定点问题是高考的常考题型，运算量较大，题目逻辑性较强.解决这类问题一般有两种方法：一是根据题意求出相关的表达式，再根据已知条件列出方程组，消去参数，求出定值或定点坐标；二是先利用特殊情况确定定值或定点坐标，再从一般情况进行验证.【训练2】 已知圆x 2＋y 2＝9的圆心为P ，点Q (a ，b )在圆P 外，以PQ 为直径作圆M 与圆P 相交于A ，B 两点.(1)试判断直线QA 与圆P 的位置关系；(2)若QA ＝QB ＝4，试问点Q 在什么曲线上运动？(3)若点Q 在直线x ＋y －9＝0上运动，问：直线AB 是否过定点？若过定点，求出定点的坐标；若不过定点，请说明理由.解 (1)因为以PQ 为直径的圆M 与圆P 相交于A ，B ，所以P A ⊥QA ，又AP 为圆P 的半径，所以AQ 为圆P 的切线，从而直线QA 与圆P 相切.(2)因为P A ⊥QA ，AP ＝3，AQ ＝4，所以PQ ＝32＋42＝5，故点Q 在以P 为圆心，5为半径的圆上运动.(3)因为点Q (a ，b )在直线x ＋y －9＝0上，所以点Q (a ，9－a )，所以，以PQ 为直径的圆M 的方程为x 2＋y 2－ax －(9－a )y ＝0，又AB 为圆P 与圆M 的公共弦，所以直线AB 的方程为ax ＋(9－a )y －9＝0，即a(x－y)－9y－9＝0，从而此直线过x－y＝0与9y－9＝0的交点，即过定点(1，1).热点三与圆有关的定值问题【例3】(2018·高邮调研)如图，已知圆O的方程为x2＋y2＝1，直线l的方程为x－y＋22＝0，点P是直线l上的动点，过点P作圆O的切线P A，PB，切点为A，B.(1)若∠APB＝60°，试求点P的坐标；(2)在(1)的条件下，对于圆O上任意一点M，平面内是否存在一定点R，使MR MP为定值？如果存在，求出点R的坐标；如果不存在，请说明理由.解(1)连接OP，OA，OB，因为P A，PB为过点P的圆O的切线，切点为A，B，所以OA⊥P A，OB⊥PB.因为∠APB＝60°，∠APO＝30°，在Rt△APO中，OA＝1，所以OP＝2.设点P的坐标为(t，t＋22)，则t2＋(t＋22)2＝4，t2＋22t＋2＝0，即(t＋2)2＝0，解得t＝－2，所以点P的坐标为(－2，2).(2)假设存在符合条件的定点R.设点M(x，y)，R(x0，y0)，MR2MP2＝λ，则x2＋y2＝1，即(x－x0)2＋(y－y0)2＝λ[(x＋2)2＋(y－2)2]，整理得－2x0x－2y0y＋x20＋y20＋1＝λ(22x－22y＋5)，上式对任意x，y∈R，且x2＋y2＝1恒成立，则⎩⎨⎧－2x 0＝22λ，－2y 0＝－22λ，x 20＋y 20＋1＝5λ，解得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝14，x 0＝－24，y 0＝24或⎩⎨⎧λ＝1，x 0＝－2，（舍去）y 0＝2.所以R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24， 经检验，符合条件MR MP ＝12，所以对于圆O 上任意一点M ，平面内存在一定点R ，使MR MP 为定值，且R 的坐标为⎝ ⎛⎭⎪⎫－24，24. 探究提高 本题考查直线与圆相切问题以及定值问题.相切问题的基本处理方法是将切点与圆心连接，从而它与切线相互垂直，利用这一直角来进行转化研究问题；第(2)问是探索性问题，在研究探索性问题时，先假设存在是一般性的处理方法，其次将所要研究的问题转化为关于点M 的坐标为元的方程问题，利用该方程的解与点M 的坐标无关来研究问题.【训练3】 (2019·泰州中学检测)已知圆O ：x 2＋y 2＝4与坐标轴交于点A 1，A 2，B 1，B 2(如图).(1)点Q 是圆O 上除A 1，A 2外的任意点(如图1)，A 2Q ，A 1Q 与直线y ＋3＝0交于不同的两点M ，N ，求MN 的最小值；(2)点P 是圆O 上除A 1，A 2，B 1，B 2外的任意点(如图2)，直线B 2P 交x 轴于点F ，直线A 1B 2交A 2P 于点E .设A 2P 的斜率为k ，EF 的斜率为m ，求证：2m －k 为定值.(1)解 由题意可设直线A 2Q 的方程为y ＝k ′(x －2)，直线A 1Q 的方程为y ＝－1k ′(x＋2)，k ′≠0.由⎩⎨⎧y ＝k ′（x －2），y ＋3＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2－3k ′，y ＝－3，由⎩⎪⎨⎪⎧y ＝－1k ′（x ＋2），y ＋3＝0，解得⎩⎨⎧x ＝3k ′－2，y ＝－3. 所以直线A 2Q 与直线y ＋3＝0的交点为M ⎝ ⎛⎭⎪⎫2－3k ′，－3， 直线A 1Q 与直线y ＋3＝0的交点为N (3k ′－2，－3)，所以MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k ′＋3k ′－4. 当k ′＞0时，MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k ′＋3k ′－4≥6－4＝2，当且仅当k ′＝1时等号成立； 当k ′＜0时，MN ＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪3k ′＋3k ′－4≥|4－(－6)|＝10，当且仅当k ′＝－1时等号成立. 故线段MN 长度的最小值是2.(2)证明 由题意可知点A 1(－2，0)，A 2(2，0)，B 1(0，－2)，B 2(0，2)，A 2P 的斜率为k ，所以直线A 2P 的方程为y ＝k (x －2)，由⎩⎨⎧y ＝k （x －2），x 2＋y 2＝4，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k 2－2k 2＋1，－4k k 2＋1， 则直线B 2P 的方程为y ＝－k ＋1k －1x ＋2， 令y ＝0，则x ＝2（k －1）k ＋1，即F ⎝ ⎛⎭⎪⎫2（k －1）k ＋1，0. 因为直线A 1B 2的方程为x －y ＋2＝0，由⎩⎨⎧x －y ＋2＝0，y ＝k （x －2），解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2k ＋2k －1，y ＝4k k －1，所以E ⎝ ⎛⎭⎪⎫2k ＋2k －1，4k k －1， 所以EF 的斜率m ＝4kk －12k ＋2k －1－2（k －1）k ＋1＝k ＋12， 所以2m －k ＝2·k ＋12－k ＝1(定值).【新题感悟】 (2019·苏北七市高三一模)在平面直角坐标系xOy 中，圆O ：x 2＋y 2＝1，圆C ：(x －4)2＋y 2＝4.若存在过点P (m ，0)的直线l ，l 被两圆截得的弦长相等，则实数m 的取值范围是________.解析 直线l 的斜率k 不存在或为0时均不成立，设直线l 的方程为kx －y －km ＝0，则圆心O (0，0)到直线l 的距离d 1＝|km |k 2＋1，圆心C (4，0)到直线l 的距离d 2＝|4k －km |k 2＋1.因为l 被两圆截得的弦长相等，所以21－d 21＝24－d 22，即d 22－d 21＝3，所以16k 2＋k 2m 2－8k 2m －k 2m 2k 2＋1＝3，化为：16k 2－8k 2m ＝3k 2＋3，k 2＝313－8m＞0，得：m ＜138.又d 21＝k 2m 2k 2＋1＝m 21＋1k 2＝m 21＋13－8m 3＝3m 216－8m ＜1，即3m 2＋8m －16＜0，解得：－4＜m ＜43.综上，－4＜m ＜43.答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4，43一、填空题1.(2015·江苏卷)在平面直角坐标系xOy 中，以点(1，0)为圆心且与直线mx －y －2m －1＝0(m ∈R )相切的所有圆中，半径最大的圆的标准方程为________.解析直线mx－y－2m－1＝0恒过定点(2，－1)，由题意，得半径最大的圆的半径r＝（1－2）2＋（0＋1）2＝ 2.故所求圆的标准方程为(x－1)2＋y2＝2.答案(x－1)2＋y2＝22.(2019·靖江调研)已知圆C：x2＋y2－2x－2y＋1＝0，直线l：3x＋4y－17＝0.若在直线l上任取一点M作圆C的切线MA，MB，切点分别为A，B，则AB的长度取最小值时直线AB的方程为________.解析圆C的标准方程为(x－1)2＋(y－1)2＝1，当AB的长度最小时，圆心角∠ACB最小，设为2θ，则由cos θ＝ACCM＝1CM，知当θ最小时，cos θ最大，即CM最小，那么CM⊥l，所以k AB＝k l＝－34.设直线AB的方程为3x＋4y＝m.又由CM＝|3＋4－17|5＝2，此时cos θ＝12，则点C到直线AB的距离为AC cos θ＝12，即1 2＝|3＋4－m|5，解得m＝192或m＝92，经检验m＝192，则直线AB的方程为6x＋8y－19＝0.答案6x＋8y－19＝03.在平面直角坐标系中，A，B分别是x轴和y轴上的动点，若以AB为直径的圆C与直线2x＋y－4＝0相切，则圆C面积的最小值为________.解析由题意可知以线段AB为直径的圆C过原点O，要使圆C的面积最小(D 为切点)，只需圆C的半径或直径最小，又圆C与直线2x＋y－4＝0相切，所以由平面几何知识，当OC所在直线与直线2x＋y－4＝0垂直时，OD最小(D为切点)，即圆C的直径最小，此时OD＝|2×0＋0－4|5＝45，所以圆的半径为25，圆C的面积的最小值为S＝πr2＝4 5π.答案4 5π4.(2018·全国Ⅲ卷改编)直线x＋y＋2＝0分别与x轴、y轴交于A，B两点，点P 在圆(x－2)2＋y2＝2上，则△ABP面积的取值范围是________.解析由题意知圆心的坐标为(2，0)，半径r＝2，圆心到直线x＋y＋2＝0的距离d＝|2＋2|1＋1＝22，所以圆上的点到直线的最大距离是d＋r＝32，最小距离是d－r＝ 2.易知A(－2，0)，B(0，－2)，所以AB＝22，所以2≤S△ABP≤6. 答案[2，6]5.(2019·常州调研)在平面直角坐标系xOy中，若圆(x－2)2＋(y－2)2＝1上存在点M，使得点M关于x轴的对称点N在直线kx＋y＋3＝0上，则实数k的最小值为________.解析圆(x－2)2＋(y－2)2＝1关于x轴的对称圆的方程为(x－2)2＋(y＋2)2＝1，由题意得圆心(2，－2)到直线kx＋y＋3＝0的距离d＝|2k－2＋3|k2＋1≤1，解得－43≤k≤0，所以实数k的最小值为－4 3.答案－4 36.(2019·南京、盐城模拟)在平面直角坐标系xOy中，已知点P为函数y＝2ln x的图象与圆M：(x－3)2＋y2＝r2的公共点，且它们在点P处有公切线，若二次函数y＝f(x)的图象经过点O，P，M，则y＝f(x)的最大值为________.解析设P(x0，2ln x0)，x0>0，则函数y＝2ln x在点P处的切线斜率为2x0，则2x0·2ln x0x0－3＝－1，即4ln x0＝－x0·(x0－3)①.由二次函数y＝f(x)的图象经过点O和M可设f (x )＝ax (x －3)，代入点P (x 0，2ln x 0)，x 0>0，得2ln x 0＝ax 0(x 0－3) ②.由①②比较可得a ＝－12，则f (x )＝－12x (x －3)，则f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫32＝－12×32×⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝98.答案 987.直线2ax ＋by ＝1与圆x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点(其中a ，b 是实数)，且△AOB 是直角三角形(O 是坐标原点)，则点P (a ，b )与点(0，1)之间距离的最小值为________.解析 根据题意画出图形，如图所示，过点O 作OC ⊥AB 于C ，因为△AOB 为等腰直角三角形，所以C 为弦AB 的中点，又OA ＝OB ＝1，根据勾股定理得AB ＝2， ∴OC ＝12AB ＝22.∴圆心(0，0)到直线2ax ＋by ＝1的距离为12a 2＋b 2＝22，即2a 2＋b 2＝2，即a 2＝－12b 2＋1≥0.∴－2≤b ≤ 2.则点P (a ，b )与点(0，1)之间的距离d ＝（a －0）2＋（b －1）2＝a 2＋b 2－2b ＋1＝12b 2－2b ＋2.设f (b )＝12b 2－2b ＋2＝12(b －2)2，此函数图象为对称轴为b ＝2的开口向上的抛物线，∴当－2≤b ≤2<2时，函数为减函数.∴f (b )min ＝f (2)＝12(2－2)2， ∴d 的最小值为12（2－2）2＝（2－1）2＝2－1.答案2－18.(2019·南京师大附中模拟)已知直线x －y ＋b ＝0与圆x 2＋y 2＝9交于不同的两点A ，B .若O 是坐标原点，且|OA →＋OB →|≥22|AB →|，则实数b 的取值范围是________. 解析 设AB 的中点为D ，则OA→＋OB →＝2OD →，故|OD →|≥24|AB →|，即|OD →|2≥18|AB →|2.再由直线与圆的弦长公式可得，AB ＝2r 2－d 2(d 为圆心到直线的距离)，又直线与圆相交，故d ＜r ，得|b |2＜3，所以－32＜b ＜32，根据|OD→|2≥18|AB →|2，|AB →|2＝4(9－OD →2)，得|OD →|2≥3.由点到直线的距离公式可得|OD →|2＝b 22，即b 22≥3，所以b ≥6或b ≤－ 6.综上可得，b 的取值范围是(－32，－6]∪[6，32). 答案 (－32，－6]∪[6，32) 二、解答题9.如果实数x ，y 满足(x ＋2)2＋y 2＝3. (1)求yx 的最大值； (2)求2x －y 的最小值.解 (1)问题可转化为求圆(x ＋2)2＋y 2＝3上任意一点到原点连线的斜率k ＝yx 的最大值，由图形性质可知，由原点向圆(x ＋2)2＋y 2＝3作切线，其中切线斜率的最大值即为yx 的最大值.设切线方程为y ＝kx ，即kx －y ＝0，由|－2k －0|k 2＋1＝3，解得k ＝3或k ＝－3，所以yx 的最大值为 3.(2)将2x －y 看作直线y ＝2x ＋b 在y 轴上的纵截距的相反数，当直线y ＝2x ＋b 与圆(x ＋2)2＋y 2＝3相切时，纵截距b 取得最大值或最小值.此时|－4＋b |22＋1＝3，所以b ＝4±15，所以2x －y 的最小值为－4－15. 10.(2019·扬州模拟)已知圆O ：x 2＋y 2＝4.(1)直线l 1：3x ＋y －23＝0与圆O 相交于A ，B 两点，求弦AB 的长度； (2)如图，设M (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)是圆O 上的两个动点，点M关于原点的对称点为M 1，点M 关于x 轴的对称点为M 2，如果直线PM 1，PM 2与y 轴分别交于(0，m )和(0，n )，问mn 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.解 (1)由于圆心(0，0)到直线l 1：3x ＋y －23＝0的距离d ＝|－23|2＝ 3.圆的半径r ＝2，所以AB ＝2r 2－d 2＝2.(2)由于M (x 1，y 1)，点M 关于原点的对称点为M 1，点M 关于x 轴的对称点为M 2，可得M 1(－x 1，－y 1)，M 2(x 1，－y 1)， 由M (x 1，y 1)，P (x 2，y 2)是圆O 上的两个动点，可得x 21＋y 21＝4，x 22＋y 22＝4.直线PM 1的方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x ＋x 1x 2＋x 1，令x ＝0，求得y ＝m ＝x 1y 2－x 2y 1x 2＋x 1.直线PM 2的方程为y ＋y 1y 2＋y 1＝x －x 1x 2－x 1，令x ＝0，求得y ＝n ＝－x 1y 2－x 2y 1x 2－x 1.所以mn ＝x 22y 21－x 21y 22x 22－x 21＝x 22（4－x 21）－x 21（4－x 22）x 22－x 21＝4. 故mn 为定值.11.如图所示，已知圆A 的圆心在直线y ＝－2x 上，且该圆上存在两点关于直线x ＋y －1＝0对称，又圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，过点B (－2，0)的动直线l 与圆A 相交于M ，N 两点，Q 是MN 的中点，直线l 与l 1相交于点P .(1)求圆A 的方程；(2)当MN ＝219时，求直线l 的方程；(3)(BM →＋BN →)·BP→是否为定值？如果是，求出此定值；如果不是，请说明理由.解 (1)由圆上存在两点关于直线x ＋y －1＝0对称知圆心A 在直线x ＋y －1＝0上.由⎩⎨⎧y ＝－2x ，x ＋y －1＝0，得A (－1，2). 设圆A 的半径为R ，∵圆A 与直线l 1：x ＋2y ＋7＝0相切，∴R ＝|－1＋4＋7|5＝25， ∴圆A 的方程为(x ＋1)2＋(y －2)2＝20.(2)当直线l 与x 轴垂直时，易知x ＝－2符合题意； 当直线l 与x 轴不垂直时， 设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0，连接AQ ，则AQ ⊥MN ， ∵MN ＝219，∴AQ ＝20－19＝1. 由AQ ＝|k －2|k 2＋1＝1，得k ＝34， ∴直线l 的方程为y ＝34(x ＋2)，即3x －4y ＋6＝0， ∴所求直线l 的方程为x ＝－2或3x －4y ＋6＝0. (3)∵AQ ⊥BP ，∴AQ →·BP→＝0，∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BQ →·BP →＝2(BA →＋AQ →)·BP →＝2BA →·BP →； 当直线l 与x 轴垂直时，得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－2，－52，则BP →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫0，－52，又BA →＝(1，2)， ∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BA →·BP→＝－10；当直线l 的斜率存在时，设直线l 的方程为y ＝k (x ＋2)， 由⎩⎨⎧y ＝k （x ＋2），x ＋2y ＋7＝0，解得P ⎝ ⎛⎭⎪⎫－4k －71＋2k ，－5k 1＋2k ， ∴BP →＝⎝⎛⎭⎪⎫－51＋2k ，－5k 1＋2k ， ∴(BM →＋BN →)·BP →＝2BA →·BP→＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－51＋2k －10k 1＋2k ＝－10. 综上所述，(BM →＋BN →)·BP→为定值－10.。
与圆有关的最值范围问题(九种题型) Word版含解析【KS5U 高考】
与圆有关的最值范围问题一．基础知识回顾1、圆上的点到定点的距离最值问题一般都是转化为点到圆心的距离处理，加半径为最大值，减半径为最小值 已知圆及圆外一定点，设圆的半径为则圆上点到点距离的最小值为，最大值为 即连结并延长，为与圆的交点，为延长线与圆的交点.2、圆上的点到直线的距离最值问题已知圆和圆外的一条直线，则圆上点到直线距离的最小值为，距离的最大值为（过圆心作的垂线，垂足为，与圆交于，其反向延长线交圆于3、切线长度最值问题1、代数法：直接利用勾股定理求出切线长，把切线长中的变量统一成一个，转化成函数求最值；2、几何法：把切线长最值问题转化成圆心到直线的距离问题．已知圆和圆外的一条直线，则过直线上的点作圆的切线，切线长的最小值为.4、过圆内定点的弦长最值已知圆及圆内一定点，则过点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦.C PC r P PM PC r =-PN PC r =+PC M PC N PC C lC l PM d r -=-C l PN d r -=+C l P CP C M C N C l l PM lCPMC P P MN5、利用代数法的几何意义求最值（1）形如ax by --=μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题． （2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如22)()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a ，b ）的距离平方的最值问题二．题型分类1.圆上动点到定点2.圆上两动点3.圆上动点到直线距离最值4.切线长最值5.圆内定点弦长最值6.面积最值7.代数式几何化最值—截距型 8.代数式几何化最值—斜率型 9.代数式几何化最值—距离型三．常用方法策略 1.数形结合 2.转化到圆心问题 3.三角换元 四．例题解析1.圆上动点到定点例1.若点M 在曲线2264120x y x y +--+=上，O 为坐标原点，则OM 的取值范围是______．曲线2264120x y x y +--+=，即()()22321x y -+-=，表示圆心()3,2C ，半径1r =的圆，则223213OC =+因为点M 在曲线2264120x y x y +--+=上，所以OC r OM OC r -≤≤+，131131OM ≤≤，即13131OM ⎡⎤∈⎣⎦； 故答案为：13131⎡⎤⎣⎦例2.在圆()()22232x y -++=上与点(0,5)-距离最大的点的坐标是______．()()22025382-+-+=>，∴点(0,5)-在圆外∴圆上与点(0,5)-距离最远的点，在圆心与点(0,5)-连线上，且与点(0,5)-分别在圆心两侧， 令直线解析式：y kx b =+，由于直线通过点(2,3)-和(0,5)-，可得直线解析式：5y x =-， 与圆的方程联立，可得()()22222x x -+-=，3x ∴=或1x =∴交点坐标为(3,2)-和(1,4)-，其中距离点(0,5)-较大的一个点为(3,2)-.2.圆上两动点例1.已知直线1:0l kx y +=()k R ∈与直线2:220l x ky k -+-=相交于点A ，点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，则||AB 的最大值为（ ）A ．32B ．52C ．522+D ．322+【答案】C【解析】由0220kx y x ky k +=⎧⎨-+-=⎩，消去参数k 得22(1(1)2x y -+-=），所以A 在以(1,1)C 2又点B 是圆22(2)(3)2x y +++=上的动点，此圆圆心为(2,3)D --222(12))(13)5CD =+++=，∴AB 的最大值为22522CD =+ C.例2.设圆221:104250C x y x y +-++=与圆222:142250C x y x y +-++=，点A ，B 分别是1C ，2C 上的动点，M 为直线y x =上的动点，则||||MA MB +的最小值为( ) A ．3157- B ．3137- C ．524- D ．534- 【答案】B【解析】根据题意，圆221:104250C x y x y +-++=，即22(5)(2)4x y -++=，其圆1C 的圆心(5,2)-，2r =，圆222:142250C x y x y +-++=，即22(7)(1)25x y -++=， 其圆2C 的圆心(7,1)-，5R =，如图所示：对于直线y x =上的任一点M ，有1212||||||||||||7MA MB MC MC R r MC MC ++--=+-， 求||||MA MB +的最小值即求12||||7MC MC +-的最小值，即可看作直线y x =上一点到两定点1C 、2C 距离之和的最小值减去7， 由平面几何的知识易知当1C 关于直线y x =对称的点为(2,5)C -， 与M 、2C 共线时，12||||MC MC +的最小值，其最小值为2||313CC =， 故||||MA MB +的最小值为3137-；故选：B ．3.圆上动点到直线距离最值例1.点P 为圆22(1)2x y -+=上一动点，点P 到直线3yx的最短距离为（ ）A 2B ．1C 2D ．2【答案】C【解析】圆22(1)2x y -+=的圆心为(1,0)，半径2r =则圆心(2,0)到直线30x y -+=的距离为22103221(1)d -++-所以直线与圆相离， 则点P 到直线3yx的最短距离为圆心到直线的距离再减去半径．所以点P 到直线20l x y -+=:的最短距离为2222=C ． 例2.直线20x y ++=分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆()2222x y -+=上，则ABP△面积的取值范围为（ ）A ．[]2,6B ．[]4,8C ．[]28,D ．[]4,6 【答案】A【解析】圆心()2,0到直线20x y ++=距离202222d ++==所以点P 到AB 距离即高h 的范围2,32⎡⎣，又可求得22AB = 所以ABP △面积12S AB h =⋅的取值范围为[]2,6.故选：A.4.切线长最值例1.直线1y x =-上一点向圆()2231x y -+=引切线长的最小值为（ ）A ．22B ．1C 7D ．3 【答案】B【解析】圆()2231x y -+=的圆心为()3,0，半径为1，圆心到直线10x y --=212=>. ()22211-=，故选：B例2.已知圆O ：223x y +=，l 为过2M 的圆的切线，A 为l 上任一点，过A 作圆N ：()2224x y ++=的切线，则切线长的最小值是__________.39【解析】由题，直线OM 2l 的斜率为2 故l 的方程为)221y x -，即230x y -=. 又N 到l 的距离22203312d -+-==+，251339433⎛⎫-== ⎪⎝⎭5. 圆内定点弦长最值例1.已知圆O ：2210x y +=，已知直线l ：()2,ax by a b a b +=-∈R 与圆O 的交点分别M ，N ，当直线l 被圆O 截得的弦长最小时，MN =（ ） A 35B 55C ．25D ．35 【答案】C【解析】直线l ：()2,ax by a b a b +=-∈R ，即()()210a x b y -++=，所以直线过定点()2,1A -，()22||215OA =+-=O 半径10r =点A 在圆O 内，所以当直线与OA 垂直的时候，||MN 最短， 此时22||2||25MN r OA =-=C ．例2.当圆22:4630C x y x y +-+-=的圆心到直线:10l mx y m ++-=的距离最大时，m =（ ）A ．34B ．43C ．34-D ．43- 【答案】C【解析】因为圆22:4630C x y x y +-+-=的圆心为(2,3)C -,半径4R =，又因为直线:10l mx y m ++-=过定点A(-1,1), 故当CA 与直线l 垂直时，圆心到直线的距离最大， 此时有1AC l k k =-，即4()13m ，解得34m =-.故选：C.6. 面积最值例1.点P 是直线2100++=x y 上的动点，P A ，PB 与圆224+=x y 分别相切于A ，B 两点，则四边形P AOB 面积的最小值为________． 【答案】8【解析】如图所示，因为S 四边形P AOB ＝2S △POA .又OA ⊥AP ， 所以222122242=⨯=-=-四边形PAOB S OA PA OP OA OP 为使四边形P AOB 面积最小，当且仅当|OP |达到最小，即为点O 到直线2100++=x y 的距离：min 22521==+OP 故所求最小值为()222548-=.7. 代数式几何化最值—截距型例1．（2022·全国·高三专题练习）已知点(,)P x y 是圆2264120x y x y +--+=上的动点，则x y +的最大值为（ ） A ．52B ．52C ．6D ．5【答案】A【解析】由22(3)(2)1x y -+-=，令3cos 2sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩，则52)4x y πθ+=+，所以当sin()14πθ+=时，x y +的最大值为52．故选：A例2．（2022·全国·高三开学考试（文））已知点(),P x y 是圆C ：()()2230x a y a -+=>上的一动点，若圆C 经过点(2A ，则y x -的最大值与最小值之和为（ ） A ．4 B ．26C ．4- D ．26-【答案】C【解析】因为圆C ：()()2230x a y a -+=>经过点(2A ， 2(1)23a -+=．又0a >，所以2a =，y x -可看成是直线y x b =+在y 轴上的截距．如图所示，当直线y x b =+与圆相切时，纵截距b 2032b-+=26b =-±所以y x -的最大值为26-26-y x -的最大值与最小值之和为4-． 故选：C ．8.代数式几何化最值—斜率型例1.（多选题）（2022·山东泰安·三模）已知实数x ，y 满足方程224240x y x y +--+=，则下列说法正确的是（ ） A ．yx 的最大值为43B ．yx的最小值为0 C ．22x y +51 D ．x y ＋的最大值为32【答案】ABD【解析】由实数x ，y 满足方程224240x y x y +--+=可得点(,)x y 在圆()()22211x y -+-=上，作其图象如下，因为yx表示点(,)x y 与坐标原点连线的斜率， 设过坐标原点的圆的切线方程为y kx =22111k k -=+，解得：0k =或43k =，40,3y x ⎡⎤∴∈⎢⎥⎣⎦，max 43y x ⎛⎫∴= ⎪⎝⎭，min0y x ⎛⎫= ⎪⎝⎭，A ，B 正确； 22x y +表示圆上的点(,)x y 到坐标原点的距离的平方，圆上的点(,)x y 到坐标原点的距离的最大值为+1OC ， 所以22x y +最大值为()21OC +，又2221OC + 所以22xy +的最大值为625+C 错，因为224240x y x y +--+=可化为()()22211x y -+-=， 故可设2cos x θ=+，1sin y θ=+，所以2cos 1sin 324x y πθθθ⎛⎫=+++=+ ⎪⎝⎭＋，所以当=4πθ时，即2221x y ==x y ＋取最大值，最大值为32，D 对， 故选：ABD ．9.代数式几何化最值—距离型例1.设(,)P x y 是圆22(2)1C x y -+=上任意一点，则22(5)(4)x y -++的最大值为()A ．6B ．25C ．26D ．36 【答案】【解析】22(5)(4)x y -++表示圆C 上的点到点(5,4)-的距离的平方，圆22(2)1C x y -+=的圆心(2,0)C ，半径为1， 圆心C 到点(5,4)-的距离为22(25)45-+=，22(5)(4)x y ∴-++的最大值是2(51)36+=．故选：D ．例2.若平面内两定点A ，B 间的距离为2，动点P 满足||||PA PB 312（|P A |2＋|PB |2）的最大值为（ ） A ．33B ．7＋3C ．8＋3D ．16＋3【答案】C【解析】以线段AB的中点为原点，AB所在直线为x轴，AB的垂直平分线为y轴，建立平面直角坐标系．不妨令A（－1，0），则B（1，0），设P（x，y）．由||||PAPB32222(1)3(1)x yx y++=-+（x－2）2＋y2＝3为P的轨迹方程．∴22222222||||(1)(1)1 22PA PB x y x yx y ++++-+==++，其中x2＋y2可以看作圆（x－2）2＋y2＝3上的点（x，y）到点（0，0）的距离的平方，∴x2＋y2的最大值为（232＝7＋3∴x2＋y2＋1的最大值为8＋322||||2PA PB+的最大值为8＋3。
初中数学圆中最值定值问题专题(推荐)
初中数学圆中最值定值问题专题(推荐)圆中最值域定值问题研究类型一：例1：在图中，AB是⊙O的直径，AB=10cm，M是半圆AB的一个三等分点，N是半圆AB的一个六等分点，P是直径AB上一动点，连接MP、NP。
求MP+NP的最小值。
例2：已知圆O的面积为3π，AB为直径，弧AC的度数为80度，弧BD的度数为20度，点P为直径AB上任一点。
求PC+CD的最小值。
例3：在菱形ABC中，∠A=60度，AB=3，圆A、圆B的半径为2和1，P、E、F分别是CD、圆A和圆B上的动点。
求PE+PF的最小值。
类型二：折叠隐圆基本原理】：点A为圆外一点，P为圆O上动点，连接AO并延长交圆于P1，则AP的最小值为AP2，最大值为AP1.例1：在边长为2的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD边的中点，N是AB边上一动点，将△XXX沿MN所在的直线翻折得到△A′MN，连接A′C，求A′B长度的最小值。
例2：已知一个矩形纸片OACB，将该纸片放置在平面直角坐标系中，点A（1，1），点B（5，6），点P为BC边上的动点（点P不与点B、C重合），经过点O、P折叠该纸片，则CB’的最小值为多少？例3：在四边形ABCD中，AD∥BC，∠A=90，AD=1，AB=2，BC=3，P是线段AD上一动点，将△ABP沿BP所在直线翻折得到△QBP，则△CQD的面积最小值为多少？类型三：随动位似隐圆例：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，BC=6，点D是边AC上一点且AD=23，将线段AD绕点A旋转得线段AD′，点F始终为BD′的中点，则将线段CF最大值为多少？分析]：易知D’轨迹为以A为圆心AD为半径的圆，则在运动过程中AD’为定值23，故取AB中点G，则FG为中位线，FG=3，故F点轨迹为以G为圆心，3为半径的圆。
问题实质为已知圆外一点C和圆G上一点F，求CF的最大值。
方法归纳：1.如图，点A和点O1为定点，圆O1半径为定值，P为圆O1上动点，M为AP中点。
与圆相关的范围与最值问题专题
与圆相关的范围与最值问题1.已知x ，y 满足0≤x ≤4－y 2，则y －2x －3的取值范围是________．2．如果实数x ，y 满足x 2＋y 2＝1，则(1＋xy)(1－xy)的最小值为________．3．(2018·全国卷Ⅲ)直线x ＋y ＋2＝0分别与x 轴，y 轴交于A ，B 两点，点P 在圆(x －2)2＋y 2＝2上，则△ABP 面积的取值范围是________．4．在平面直角坐标系中，已知M(－2，0)，N(1，0)，A(0，1)，B(0，t)，t ＞1.若存在点P ，使PMPN＝2，且∠APB 为钝角，则实数t 的取值范围是________．5．已知直线l ：x ＋3y ＋1＝0，圆C ：x 2＋y 2－2ax －2ay ＝1－2a 2(a ＞0)，过原点的直线l 1与直线l 垂直，l 1与圆C 交于M ，N 两点，则当△CMN 的面积最大时，圆心C 的坐标为________．6．在平面直角坐标系xOy 中，圆C ：(x＋2)2＋(y －m)2＝3.若圆C 存在以G 为中点的弦AM ，且AM ＝2GO ，则实数m 的取值范围是________．7.如图，已知圆C：(x－2)2＋(y－2)2＝2，过原点O作圆C的切线OA，OB，切点依次记为A，B，过原点O引直线l交圆C于D，E两点，交AB于F点．(1)求直线AB的直线方程；(2)求OD＋OE的最大值．8．(2018·常州期末)已知△ABC中，AB＝AC＝3，△ABC所在平面内存在点P使得PB2＋PC2＝3PA2＝3，求△ABC面积的最大值．1．答案：⎡⎢⎣0，125⎤⎥⎦.解析：由已知得x2＋y2≤4(x≥0)，则点(x，y)在以(0，0)为圆心，2为半径的右半圆内，y－2x－3表示点(x，y)和点(3，2)连线的斜率，设切线方程为y－2＝k(x－3)，即kx－y＋2－3k＝0，则|2－3k|k2＋1＝2，解得k＝0或k＝12y－25，故x－3的取值范围是⎡⎢⎣0，125⎤⎥⎦.2．答案：34.解法1由|xy|≤x2＋y22＝12，所以(1＋xy)(1－xy)＝1－(xy)2≥1－134＝4.解法2设x＝cosα，y＝sinα，则(1＋xy)(1－xy)2＝1－(xy)2＝1－sin2α4∈⎡⎢3⎣4，1⎤⎥⎦.3．答案：[2，6]．解析：因为直线x＋y＋2＝0分别与x轴，y轴交于A，B两点，所以A(－2，0)，B(0，2)，则AB＝22，因为点P在圆(x－2)2＋y2＝2上，所以圆心(2，0)到直线距离d|2＋0＋2|1＝2＝22，故点P到直线x＋y＋2＝0的距离d2的范围为[2，32]，则S1△ABP＝2AB·d2＝2d2∈[2，6]．4．答案：(2，＋∞)．解析：设P(x，y)，由PMPN＝2，得(x＋2)2＋y2＝4[(x－1)2＋y2]，即点P在圆C1：(x－2)2＋y2＝4上；以AB为直径的圆为C2，圆心为C2⎛ t＋1⎝0，2⎫⎪t－1⎭，半径为2，由题意两圆相交，所以⎪⎪t－1⎪2－2⎪⎪⎪＜4＋⎛ t＋1⎝2⎫2⎪⎭＜t－12＋2，解得t＞2.5．答案：⎛5⎝2，5⎫2⎪⎭.解析：圆C：(x－a)2＋(y－a)2＝1，直线l1：3x－y＝0，当CM⊥CN时，△CMN的面积最大，此时C到l2|3a－a1的距离为2，则|10＝22，a＝52，圆心C⎛5⎝2，5⎫2⎪⎭.6．答案：[－2，2]．解析：由于圆C存在以G为中点的弦AM，且AM＝2GO，故OA⊥OM，如图所示，过点O作圆C的两条切线，切点分别为B，D，圆上要存在满足题意的点A，只需∠EOD≥90°，即∠EOC≥45°，连接EC，由C(－2，m)可得OC＝m2＋4，BC＝3，由sin∠EOC＝CEOC，所以3m2＋4≥22，即－2≤m≤ 2.7．答案：(1)直线AB的方程为x＋y－3＝0；(2)OD＋OE的最大值为4 2.解析：(1)由题意O，A，C，B四点共圆，设为圆C′，则圆C′的方程为(x－1)2＋(y－1)2＝2，且AB为两圆的公共弦，从而直线AB的方程为x＋y－3＝0.(2)解法1设直线l：y＝kx，则错误!，得(1＋k2)x2－(4＋4k)x＋6＝0.设D(x1，y1)，E(x2，y2)，于是OD＋OE＝x221＋y1＋x22＋y222＝1＋k(x1＋x2)＝1＋k2·4（1＋k）1＋k2＝24（1＋k）1＋k2＝42k 1＋2≤1＋k 大值为523.1642，即OD ＋OE 的最大值为4 2.解法2由平面几何知，OD ·OE ＝OC 2－2＝6，且OC －2≤OD ＜OC －2，即2≤OD ＜6，6所以OD ＋OE ＝OD ＋2OD≤2＋62＝4 2.5238．答案：.16解析：以BC 所在直线为x 轴，线段BC 的中点为坐标原点，建立平面直角坐标系．不妨设B (－a ，0)，C (a ，0)，A (0，h )，(a ＞0，h ＞0)，因为AB ＝AC ＝3，所以a ＋h ＝3.设P (x ，y )，由PB 2＋PC 2＝3知，(x 2222＋a )＋y ＋(x －a )＋y ＝3，3－2a 2即x ＋y ＝＝h －2222223.①2由PA ＝1知，x ＋(y 2－h )＝1.②由①②知两圆有公共点，所以⎪1－≤h ≤1＋543222⎪⎪h 2－⎪3⎪2⎪h 2－，解得12h ≥.所以S △ABC ＝·2a ·h ＝ah ＝h 3－h 2＝⎛23⎫9－ h －⎪＋2⎭4⎝523≤.即△ABC 面积的最162。
专题09 圆中的范围与最值问题(知识梳理+专题过关)(解析版)
专题09圆中的范围与最值问题【知识梳理】涉及与圆有关的最值，可借助图形性质，利用数形结合求解．一般地：（1）形如ax by --=μ的最值问题，可转化为动直线斜率的最值问题．（2）形如by ax t +=的最值问题，可转化为动直线截距的最值问题．（3）形如22)()(b y a x m -+-=的最值问题，可转化为曲线上的点到点（a ，b ）的距离平方的最值问题解决圆中的范围与最值问题常用的策略：（1）数形结合（2）多与圆心联系（3）参数方程（4）代数角度转化成函数值域问题【专题过关】【考点目录】考点1：斜率型考点2：直线型考点3：距离型考点4：周长面积型考点5：长度型【典型例题】考点1：斜率型1．（2021·江西·高二期中（理））已知圆22:(1)1C x y +-=，点(3,0)A 在直线l 上，过直线l 上的任一点P 引圆C 的两条切线，若切线长的最小值为2，则直线l 的斜率k =（）A ．2B ．12C ．2-或12D ．2或12-【答案】C【解析】圆22:(1)1C x y +-=的圆心为(0,1)C ，半径为1，因为切线长的最小值为2，所以min ||PC =所以圆心C 到直线l :(3)l y k x =-，即30kx y k --=，所以圆心(0,1)C 到直线30kx y k --==，=22320k k +-=，解得12k =或2k =-.故选：C2．（2021·山东泰安·高二期中）设点(),P x y 是曲线y =上的任意一点，则24y x --的取值范围是（）A ．1205⎡⎤⎢⎥⎣⎦，B ．21255⎡⎤⎢⎥⎣⎦，C ．[]0,2D ．2,25⎡⎤⎢⎥⎣⎦【答案】B【解析】曲线y =表示以()1,0为圆心，2为半径的下半圆，如图所示：24y x --可表示点(),P x y 与点()4,2Q 连线斜率k 当直线PQ 与圆相切时：设直线方程为()24y k x -=-，即420kx y k --+=圆心到直线距离2d ==，解得125k =或0k =，又0y ≤，所以125k =，当直线经过点()1,0A -时，2245y x -=-，综上21255k ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，故选：B.3．（2021·上海市控江中学高二期中）若直线:3(1)l y k x -=-与曲线:C y =不同公共点，则实数k 的取值范围是（）A ．4,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．43,32⎛⎤⎥⎝⎦C ．40,3⎛⎫ ⎪⎝⎭D ．43,32⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】B【解析】直线:3(1)l y k x -=-过定点(1,3)，曲线:C y =(0,0)为圆心，1为半径，且位于y 轴上半部分的半圆，如图所示当直线l 过点(1,0)-时，直线l 与曲线有两个不同的交点，此时03k k =-+-，解得32k =.当直线l 和曲线C 相切时，直线和半圆有一个交点，圆心(0,0)到直线:3(1)l y k x -=-的距离1d ==，解得43k =结合图像可知，当4332k <≤时，直线l 和曲线C 恰有两个交点故选：B4．（多选题）（2021·湖北宜昌·高二期中）实数,x y ，满足22++20x y x =，则下列关于1yx -的判断正确的是（）A ．1yx -B ．1yx -的最小值为C ．1y x -的最大值为3D ．1y x -的最小值为33-【答案】CD【解析】由题意可得方程22++20x y x =为圆心是()10C -，，半径为1的圆，则1yx -为圆上的点与定点()10P ，的斜率的值，设过()10P ，点的直线为()+1y k x =，即+0kx y k -=，则圆心到到直线+0kx y k -=的距离d r =1=，整理可得231k =，解得33k =±，所以1y x ⎡∈⎢-⎣⎦，即1y x -33-.故选：CD.5．（2021·广东·兴宁市叶塘中学高二期中）已知实数x ，y 满足方程22410x y x +-+=，求：(1)yx的最大值；(2)22x y +的最小值．【解析】(1)()222241023x y x x y +-+=⇒-+=，圆心()2,0，半径r =。
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与圆相关的最值（取值范围）问题，附详尽答案姓名1. 在座标系中，点 A 的坐标为 (3， 0)，点 B 为 y 轴正半轴上的一点，点C 是第一象限内一点，且 AC=2．设 tan ∠ BOC=m ，则 m 的取值范围是 _________．2. 如图，在边长为 1 的等边 △ OAB 中，以边 AB 为直径作 ⊙ D ，以 O 为圆心 OA 长为半径作圆 O ， C 为半圆 AB 上不与 A 、 B 重合的一动点，射线AC 交 ⊙ O 于点 E ， BC=a ， AC=b ．（ 1）求证： AE=b+ a ；（ 2）求 a+b 的最大值；（3）若 m 是对于 x 的方程： x 2+ax=b 2+ab 的一个根，求 m 的取值范围．3. 如图，∠ BAC=60 °，半径长为 1 的圆 O 与∠ BAC 的两边相切，P 为圆 O 上一动点，以 P 为圆心， PA 长为半径的圆 P 交射线 AB 、AC 于 D 、 E 两点，连结DE ，则线段 DE 长度的最大值为 (). A ．3 B ． 63 3C ．D ．3 324.如图， A 点的坐标为（﹣ 2， 1），以 A 为圆心的⊙A 切 x 轴于点 B， P（ m， n）为⊙A 上的一个动点，请研究 n+m 的最大值．5.如图，在Rt△ ABC中，∠ ACB=90 °， AC=4， BC=3，点 D 是平面内的一个动点，且 AD=2，M 为 BD 的中点，在 D 点运动过程中，线段CM 长度的取值范围是.6.如图是某种圆形装置的表示图，圆形装置中，⊙ O 的直径 AB=5，AB 的不一样侧有定点 C 和动点 P，tan ∠ CAB= ．其运动过程是：点 P 在弧 AB 上滑动，过点 C 作 CP 的垂线，与PB的延伸线交于点Q．（1）当 PC=时，CQ与⊙O相切；此时CQ=．（2）当点 P 运动到与点 C 对于 AB 对称时，求 CQ的长；（3）当点 P 运动到弧 AB 的中点时，求 CQ 的长．（4）在点 P 的运动过程中，线段CQ 长度的取值范围为。
ADM C B7.如图，△ ABC中，∠ BAC=60 °，∠ ABC=45 °， AB= 2 2 ，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径作⊙O 分别交 AB，AC于 E，F两点，连结 EF，则线段 EF长度的最小值为．8.如图，定长弦 CD 在以 AB 为直径的⊙O 上滑动（点C、 D 与点 A、 B 不重合）， M 是 CD 的中点，过点 C 作 CP⊥AB 于点 P，若 CD=3， AB=8，则 PM 长度的最大值是．9．如图，已知半径为 2 的⊙ O 与直线 l 相切于点A，点 P 是直径 AB 左边半圆上的动点，过点 P 作直线 l 的垂线，垂足为C， PC与⊙ O 交于点 D，连结 PA、 PB，设 PC 的长为 x（ 2＜ x ＜4），则当 x=时，PDCD的值最大，且最大值是为.10．如图，线段 AB=4，C 为线段 AB 上的一个动点，以 AC、BC 为边作等边△ ACD和等边△BCE，⊙O 外接于 △ CDE ，则 ⊙ O 半径的最小值为 ().2 33 2 EB. 3C.D. 22D OA C B11．在平面直角坐标系中，以坐标原点 O 为圆心， 2 为半径画 ⊙ O ，P 是 ⊙O 上一动点，且 P 在第一象限内， 过点 P 作 ⊙ O 的切线与 x 轴订交于点 A ，与 y 轴订交于点 B ，线段 AB 长度的最小值是.12．如图，在 Rt △ ABC 中， ∠ C=90 °，AC=6，BC=8，D 为AB 边上一点，过点D 作 CD 的垂线交直线 BC 于点 E ，则线段 CE 长度的最小值是.ADCO E B13．如图， Rt △ ABC 中， ∠ C=90 °，∠ A=30 °， AB=4，以 AC 上的一点 O 为圆心 OA 为半径作⊙O ，若 ⊙ O 与边 BC 一直有交点（包含 B 、 C 两点），则线段 AO 的取值范围是.AOCB14．如图，⊙O 的半径为 2，点 O 到直线 l 的距离为 3，点 P 是直线 l 上的一个动点，PQ 切⊙O 于点 Q，则 PQ 的最小值为（）A．B．C．3D． 215.（2015 济南）抛物线y=ax2+bx+4（a ≠0）过点 A（1，﹣ 1）， B（5，﹣ 1），交 y 轴于点 C．（1）求抛物线的函数表达式；（2）如图1，连结CB，以CB 为边作CBPQ，若点P 在直线BC 上方的抛物线上，Q 为坐标30，求点P 的坐标；平面内的一点，且CBPQ的面积为（3）如图2，⊙O1过点A、B、 C 三点，AE 为直径，点M 为上的一动点（不与点A，E重合），∠ MBN为直角，边BN 与 ME 的延伸线交于N，求线段BN 长度的最大值．16.如图，已知A、 B 是⊙O 与 x 轴的两个交点，⊙O的半径为1， P 是该圆上第一象限内的一个动点，直线PA、 PB 分别交直线x=2 于 C、 D 两点， E 为线段 CD的中点．（1）判断直线 PE 与⊙O 的地点关系并说明原因；（2）求线段 CD长的最小值；（3）若 E 点的纵坐标为m，则 m 的范围为．A PD17．如图，在矩形ABCD中， AB=3，BC=4，O 为矩形 ABCD的中心，以 D 为圆心 1 为半径作⊙ D，P 为⊙ D 上的一个动点，连结AP、OOP，则△ AOP面积的最大值为 ().B C(A)4(B)213517(C)(D) 58418．如图，在Rt△ ABC 中，∠ C=90 °， AC=8，BC=6，经过点 C 且与边AB 相切的动圆与CA、 CB 分别订交于点P、Q，则线段 PQ 长度的最小值是 ().A．19B．24C．5D．4 2A 4519．如图，在等腰Rt△ABC中，∠ C=90 °， AC=BC=4， D 是 AB 的中点，点 E 在 AB 边上运动（点 E 不与点 A 重合），过 A、 D、E 三点作⊙ O，⊙O 交 AC于另一点F，在此运动变化的过程中，线段 EF长度的最小值为．CPQD BAFE OB D CAP20．如图，等腰 Rt△ ABC中，∠ ACB=90 °， AC=BC=4，⊙ C 的半径为1，Q点 P 在斜边 AB 上， PQ 切⊙ O 于点 Q，则切线长 PQ 长度的最小值C B为 ().A.7 B.2 2 C. 321．在平面直角坐标系中，M（ 3，4），P 是以 M 为圆心， 2 为半径的⊙ M 上一动点， A（ -1，0）、B（ 1，0），连结 PA、PB，则 PA2+PB2最大值是.参照答案引例 1. 解： C 在以 A 为圆心，以2 为半径作圆周上，只有当 OC 与圆 A 相切（即到 C 点）时， ∠ BOC 最小， AC=2， OA=3，由勾股定理得： OC=， ∵ ∠ BOA=∠ ACO=90°，∴∠ BOC+∠ AOC=90 ，°∠ CAO+∠ AOC=90 ，° ∴ ∠ BOC=∠ OAC ， tan ∠ BOC=tan ∠ OAC= =，跟着 C 的挪动， ∠ BOC 愈来愈大， ∵ C 在第一象限， ∴ C 不到 x 轴点，即 ∠ BOC ＜90°，∴tan ∠BOC ≥ ，故答案为： m ≥ ．引例1图引例 2图引例 2. ab2 ；原题：（ 2013 武汉模拟）如图，在边长为1 的等边 △ OAB 中，以边 AB 为直径作 ⊙D ，以 O为圆心 OA 长为半径作圆 O ，C 为半圆 AB 上不与 A 、B 重合的一动点， 射线 AC 交⊙ O 于点 E ，BC=a ， AC=b ．（ 1）求证： AE=b+ a ；（ 2）求 a+b 的最大值；（3）若 m 是对于 x 的方程： x 2+ax=b 2+ab 的一个根，求 m 的取值范围．【考点】圆的综合题．【剖析】（ 1）第一连结求得 ∠ E 的度数，又由BE ，由 △ OAB 为等边三角形，可得 ∠AOB=60°，又由圆周角定理，可 AB 为 ⊙ D 的直径，可求得 CE 的长，既而求得 AE=b+ a ；（ 2）第一过点 C 作 CH ⊥ AB 于 H ，在 Rt △ABC 中， BC=a ，AC=b ， AB=1，可得（ a+b ） 2=a 2+b 2+2ab=1+2ab=1+2CHAB=1+2CH ≤ 1+2AD=1+AB=2，即可求得答案；（3）由 x 2+ax=b 2+ab ，可得（ x ﹣ b ）（ x+b+ a ）=0，则可求得 x 的值，既而可求得 m的取值范围．【解答】 解：（ 1）连结 BE ，∵△ OAB 为等边三角形， ∴ ∠ AOB=60°，∴∠ AEB=30 °，∵AB 为直径， ∴ ∠ACB=∠BCE=90 ，° ∵BC=a ， ∴ BE=2a ，CE=a ，∵ A C=b ， ∴ AE=b+ a ；（ 2）过点 C 作 CH ⊥ AB 于 H ，在 Rt △ ABC 中， BC=a ， AC=b ， AB=1， ∴a 2+b 2=1， ∵S △ABC = ACBC= ABCH ， ∴ ACBC=ABCH ，∴（ a+b ） 2=a 2+b 2+2ab=1+2ab=1+2CHAB=1+2CH ≤ 1+2AD=1+AB=2， ∴a+b ≤ 故 a+b 的最大值为 ，，（3）∵x 2+ax=b 2+ab ，∴ x 2﹣ b 2+ax ﹣ab=0，∴（ x+b ）（ x ﹣ b ）+a （ x ﹣b ）=0，∴（ x ﹣ b ）（ x+b+ a ）=0， ∴ x=b 或 x=﹣（ b+a ），当 m=b 时， m=b=AC ＜AB=1， ∴0＜ m ＜1，当 m=﹣（ b+a ）时，由（ 1）知 AE=﹣m ，又 ∵ AB ＜AE ≤2AO=2， ∴1＜﹣ m ≤2，∴﹣ 2 ≤m ＜﹣ 1， ∴m 的取值范围为 0 ＜m ＜1 或﹣ 2 ≤m ＜﹣ 1．【评论】 本题考察了圆周角定理、 等边三角形的性质、 完整平方公式的应用以及一元二次方程的解法．本题难度较大，注意掌握数形联合思想与分类议论思想的应用．引例 3. 解：连结 EP ， DP ，过 P 点作 PM 垂直 DE 于点 M ，过 O 做 OF ⊥AC 与 F ，连结 AO ， 如图， ∵ ∠BAC=60°， ∴∠ DPE=120°． ∵PE=PD ， PM ⊥ DE ， ∴∠ EPM=60 ，°∴ED=2EM=2EPsin60 °= EP= PA ．当 P 与 A 、O 共线时，且在 O 点右边时， ⊙ P 直径最大．∵⊙ O 与∠ BAC 两边均相切，且 ∠ BAC=60 ，°∴ ∠OAF=30 ，°OF=1， ∴AO==2， AP=2+1=3， ∴DE= PA=3 ．故答案为： D 。