勾股定理教案(4课时)

14.1.1直角三角形的三边关系(第1课时)教学目标：1.经历用画直角三角探索勾股定理的过程，进一步理解掌握勾股定理；2.了解勾股定理的历史，初步掌握勾股定理的简单应用．3经历观察、归纳、猜想和验证的数学发现过程，发展合情合理的推理能力，沟通数学知识之间的内在联系，体会数形结合的思想．4通过对勾股定理历史的了解和实例应用，体会勾股定理的文化价值.5 通过获得成功的经验和克服困难的经历，增进数学学习的信心；对比介绍我国古代和西方数学家有关勾股定理的研究，对学生进行爱国主义教育．教学重点：勾股定理教学难点:勾股定理的探索教学过程一引入1你对直角三角形的角度关系了解多少？你对直角三角形的边的关系了解多少？2创设情境导入新课如图1955年希腊发行了一张邮票，图案像是由三个棋盘排列而成．这张邮票是纪念2500年前希腊一个学术和宗教团体——毕达哥拉斯学派，它的成立以及在文化上的贡献，请同学们数一数正方形中小方格的个数，看有什么发现？二探究得出新知1.小组合作，根据表格中的要求画直角三角形，其中∠C＝90°，量出c的长度，学生活动：(1))、验证.(2)各小组之间交流结论，一致得出：两直角边的平方和等于斜边的平方.老师活动：用几何画板，画任意的直角三角形，然后有度量和计算功能，做出一般直角三角形三边关系的表格．同样得到两直角边的平方和等于斜边的平方.板书：[勾股定理]直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.提示：注意勾股定理中的关键点.教师提问：你能证明这一结论吗？这是下节课的知识，请同学们课后通过阅读课本或上网查找相关的资料，来证勾股定理.三应用举例例1在Rt⊿ABC中，已知∠B＝90°，AB＝6，BC＝8.求AC.变式：(例1补充)在Rt△ABC，∠C＝90°(1)已知a＝b＝5，求c；(2)已知a＝1，c＝2，求b；(3)已知c＝17，b＝8，求a；(4)已知a：b＝1：2，c＝5，求a.刚开始使用定理，让学生画好图形，并标好图形，理清边之间的关系．(1)已知两直角边，求斜边直接用勾股定理．(2)(3)已知斜边和一直角边，求另一直角边，用勾股定理的变式．(4)已知一边长，两边比，求未知边．四拓展提升例2已知△ABC中，BC边的上的高为AD，AB＝13，BC＝19，AD＝5，求BD及AC的长.四课堂训练1.课本P111中的练习T1，22.课本P117中的习题1.1中的T2五小结图14－1－1.直角三角形的角度关系2.直角三角形三边关系勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方：a2＋b2＝c2(其中c是斜边).3.勾股定理的变式c＝a2＋b2，a＝c2－b2，b＝c2－a2.【教学反思】①设置问题情景，体现数学来源于生活，通过观察感悟图形中的美妙之处，体现勾股定理的美学价值，激发学生的求知探索欲望.②通过画直角三角形，操作、观察、计算、探索出勾股定理的内容，让学生切身感受到自己是学习的主人．为学生今后获取知识、探索发现和创造打下了良好的基础．这种方法符合学生认识图形的过程，培养了学生合作学习、主动探索、敢于实践、善于发现的科学精神以及合作交流的学习习惯，最后通过例题巩固勾股定理，体会勾股定理定理的变式.教学内容：直角三角形的三边关系(第2课时)教学目标：1理解几种常见证明勾股定理的方法，并会验证勾股定理；2应用勾股定理解决一些简单实际问题．3用勾股定理会进行灵活变形，已知直角三角形的任两边，会求它的第三边；会将实际问题转化为数学问题．4在勾股定理的应用过程中，培养探究能力和合作精神，感受勾股定理的作用，培养数学素养．教学重点：应用勾股定理解决简单的实际问题．教学难：将实际问题转化为数学问题中数形结合的思想．一复习1勾股定理：直角三角形中，两直角边的平方和等于斜边的平方：a2＋b2＝c2(其中c是斜边).2.勾股定理的变式c＝a2＋b2，a＝c2－b2，b＝c2－a2.【探究3】探究只有直角三角形才满足a2＋b2＝c2.二应用例1【教材例2】如图，Rt⊿ABC的斜边AC比直角边AB长2 cm，另一直角边BC长为6 cm，求AC的长.变式：如图14－1－，在Rt⊿ABC中，∠C－90°，AD、BE是中线，AD＝，BE＝，求AB 的长.例2【教材p111例3】如图14－1－，为了求出位于湖两岸的点A、B之间的距离，一名观测者在点C设桩，使△ABC 恰好为直角三角形．通过测量，得到AC的长为16米，BC的长为12米．问从点A穿过湖到点B有多远？三拓展提升图14－1－例3如图14－1－，已知△ABC是腰长为1的等腰直角三角形，以Rt△ABC的斜边AC 为直角边，画第二个等腰Rt△ACD，再以Rt△ACD的斜边AD为直角边，画第三个等腰Rt△ADE，…，依此类推，则第2015个等腰直角三角形的斜边长是__(____)2015__.四课堂训练1.放学以后，小红和小颖从学校分手，分别沿着东南方向和西南方向回家，若小红和小颖行走的速度都是40米/分，小红用15分钟到家，小颖用20分钟到家，小红和小颖家的距离为()A.600米；B．800米；C．1000米；D．不能确定2.等腰三角形的腰长为13 cm，底边长为10 cm，则面积为().A.30 cm2B．130 cm2C．120 cm2D．60 cm23.下列阴影部分是一个正方形，求此正方形的面积图14－1－图14－1－4.如图14－1－，受台风麦莎影响，一棵高18 m的大树断裂，树的顶部落在离树根底部6米处，这棵树折断后有多高.五小结勾股定理的变式c＝a2＋b2，a＝c2－b2，b＝c2－a2.作业P112/ 1教学内容：直角三角形的判定教学目标1掌握勾股定理的逆定理，并能进行简单的应用；理解勾股数的概念并能熟记常用的勾股数．2经历一般规律的探索过程，发展学生的抽象思维能力、归纳能力．3通过应用勾股定理逆定理解决实际问题，培养应用数学的意识．教学重点：通过边长判断一个三角形是否是直角三角形，熟悉几组勾股数，并会辨析哪些问题应用哪个结论．教学难点：解勾股定理的逆定理是通过数的关系来反映形的特点．教学过程：一复习引入1.上节课的勾股定理内容是什么？画出图形，写出表达式.2.如何判定一个三角形是直角三角形？学生一般是从直角三角的定义出发，或两个角互余的三角形是直角三角形．二探索新知活动内容1：下面有三组数，分别是一个三角形的三边长a，b，c，①5，12，13；②7，24，25；③8，15，17；并回答这样两个问题：1.这三组数都满足a2＋b2＝c2吗？2.分别以每组数为三边作出三角形，用量角器量一量，它们都是直角三角形吗？学生分为4人活动小组，每个小组可以任选其中的一组数.活动内容2：提问：有同学认为测量结果可能有误差，不同意这个发现．你认为这个发现正确吗？你能给出一个更有说服力的理由吗？如果一个三角形的三边长a，b，c，满足a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角三角形.满足a2＋b2＝c2的三个正整数，称为勾股数.活动内容3：勾股定理的逆定理的证明勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角形三角，且边c所对的角为直角.图14－1－已知：如图14－1－，在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b，a2＋b2＝c2.求证：∠C＝90°证明：如图14－1－(2)所示，作△A′B′C′，使∠C′＝90°，A′C′＝b，B′C′＝a，则A′B′2＝a2＋b2＝c2，即A′B′＝c.在△ABC和△A′B′C′中，∵BC＝a＝B′C′，AC＝b＝A′C′，AB＝c＝A′B′，∴△ABC≌△A′B′C′.∴∠C＝∠C′＝90°.活动内容4：反思总结提问：1.同学们还能找出哪些勾股数呢？2.今天的结论与前面学习勾股定理有哪些异同呢？3.到今天为止，你能用哪些方法判断一个三角形是直角三角形呢？4.通过今天同学们合作探究，你能体验出一个数学结论的发现要经历哪些过程呢？三应用例1(教材第113页－114页)已知△ABC，AB＝a2－1，BC＝2n，AC＝n2＋1(n为大于1的正整数)，试问△ABC是直角三角形吗？若是，哪一条边所对的角是直角？请说明理由.变式变形1.如图，在正方形ABCD中，AB＝4，AE＝2，DF＝1，图中有几个直角三角形，你是如何判断的？2.已知△ABC的三边长为a，b，c，根据下列各组已知条件，试判定△ABC的形状.(1)a＝41，b＝40，c＝9.(2)a＝m2－n2，b＝m2＋n2，c＝2mn.(m>n>0)四、练习P114/练习1、2题五、小结勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c有关系a2＋b2＝c2，那么这个三角形是直角形三角，且边c所对的角为直角.六、作业P118/5教学内容：反证法教学目标：1通过实例体会反证法的含义．培养用反证法简单推理的技能，进一步培养观察能力、分析能力、逻辑思维能力及解决问题的能力．2了解反证法证题的基本步骤，会用反证法证明简单的命题3通过学习反证法，让学生体会用直接证法证明命题困难时，用反证法解决数学问题时的优势．教学重点：应用反证法解决简单的数学问题．教学难点：证明过程中引出矛盾所在．教学过程：一、探究新知在△ABC中，已知AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°.求证：a2＋b2≠c2.问题：根据勾股定理及其逆定理，你能直接证明吗？思考：假设a2＋b2＝c2，则由勾股定理的逆定理可以得到∠C＝90°，这与已知条件∠C≠90°产生矛盾，因此，假设a2＋b2＝c2是错误的．所以a2＋b2≠c2是正确的.有些命题想从已知条件出发，经过推理，得出结论是很困难的，因此，人们想出了一种证明这种命题的方法，即反证法.归纳：反证法的步骤：1.假设命题的结论的反面是正确的；2.从这个假设出发，经过逻辑推理，推出与公理、巳证的定理、定义或已知条件矛盾；3.由矛盾判定假设不正确，从而肯定命题的结论是正确的．二、应用例1【教材p116页例5】求证：两条直线相交只有一个交点.已知：两条相交直线l1与l2.求证：l1与l2只有一个交点.例2【教材p116例6】求证：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.【归纳总结】用反证法证明一个命题时，要先把文字命题转化为符号命题，写出已知和求证，再用反证法完成证明．证明过程的步骤主要是：先假设结论的反面是正确的；然后通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件相矛盾；从而说明假设不成立，进而得出原结论正确.变式：用反证法证明：两直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也与第三条直线平行．三、当堂训练1.要证明命题“若a>b，则a2>b2”是假命题，下列a、b的值不能作为反例的是()A.a＝1，b＝－2B．a＝0，b＝－1C.a＝－1，b＝－2D．a＝2，b＝－12.选择用反证法证明“已知：在△ABC中，∠C＝90°.求证：∠A，∠B中至少有一个角不大于45°”时，应先假设( )A .∠A>45°，∠B>45°B .∠A ≥45°，∠B ≥45°C .∠A<45°，∠B<45°D .∠A ≤45°，∠B ≤45°3.用反证法证明命题“在直角三角形中至少有一个锐角不大于45°”时，应先假设( )A .有一个锐角小于45°B .每一个锐角都小于45°C .有一个锐角大于45°D .每一个锐角都大于45°四、小结反证法⎩⎪⎨⎪⎧假设推理得到矛盾否定假设，则原命题的结论成立五、作业P117 练习第2题教学反思：。