第五讲_多目标规划模型
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第5讲 整数规划、非线性规划、多目标规划1
第5讲整数规划、非线性规划、多目标规划一、整数规划1、概念数学规划中的变量（部分或全部）限制为整数时，称为整数规划。
若在线性规划模型中，变量限制为整数，则称为整数线性规划。
整数规划的分类:如不加特殊说明，一般指整数线性规划。
对于整数线性规划模型大致可分为两类：1）变量全限制为整数时，称纯（完全）整数规划。
2）变量部分限制为整数的，称混合整数规划。
2、整数规划特点(i)原线性规划有最优解，当自变量限制为整数后，其整数规划解出现下述情况：①原线性规划最优解全是整数，则整数规划最优解与线性规划最优解一致。
②整数规划无可行解。
例1原线性规划为21min x x z +=s.t.⎩⎨⎧≥≥=+0,05422121x x x x 其最优实数解为：01=x ，452=x ，45min =z ③有可行解（当然就存在最优解），但最优值变差。
例2原线性规划为21min x x Z +=s.t.⎩⎨⎧≥≥=+0,06422121x x x x 其最优实数解为：01=x ，232=x ，23min =z 若限制整数得：11=x ，12=x ，2min =z 。
（ii ）整数规划最优解不能按照实数最优解简单取整而获得。
3、0-1整数规划0−1型整数规划是整数规划中的特殊情形，它的变量j x 仅取值0或1。
这时j x 称为0−1变量，或称二进制变量。
j x 仅取值0或1这个条件可由下述约束条件：10≤≤j x ，且为整数所代替，是和一般整数规划的约束条件形式一致的。
在实际问题中，如果引入0−1变量，就可以把有各种情况需要分别讨论的线性规划问题统一在一个问题中讨论了。
引入10-变量的实际问题：（1）投资场所的选定——相互排斥的计划例3某公司拟在市东、西、南三区建立门市部。
拟议中有7个位置（点）)7,,2,1( =i A i 可供选择。
规定在东区：由321,,A A A 三个点中至多选两个；在西区：由54,A A 两个点中至少选一个；在南区：由76,A A 两个点中至少选一个。
多目标规划模型及其在生产优化中的应用
多目标规划模型及其在生产优化中的应用多目标规划是一种在优化问题中同时考虑多个目标的方法。
与传统的单目标规划相比，多目标规划更加适用于现实生产优化中存在多个相互关联的目标的情况。
在生产优化中，多目标规划可以帮助企业在平衡多种目标之间找到最佳的决策方案，提高生产效率和经济效益。
1.决策变量：表示决策者可以调整的各种生产资源和生产参数，如生产数量、生产设备分配等。
2.约束条件：表示各种技术和资源限制，如设备产能、雇员工时等。
3.目标函数：表示需要优化的目标，可以包括多个目标函数，如最小化生产成本、最大化产出、最小化生产时间等。
在生产优化中，多目标规划可以应用于多个方面，如生产调度、生产设备配置和物料采购等。
下面以生产调度为例来具体说明多目标规划的应用。
生产调度是指在生产过程中，根据生产资源和生产任务的需求，合理安排和调度各个工序和设备的完成时间和数量，以达到最佳的生产效率和经济效益。
在生产调度中，通常存在多个决策变量和多个目标。
决策变量可以包括产品的生产顺序、工序的分配和设备的调度等。
不同的决策变量选择可能导致不同的生产成本、生产时间和质量水平等目标的变化。
多目标规划可以将生产调度问题转化为一个多目标优化问题。
在模型中，决策变量可以是各个工序的完成时间和数量，目标函数可以是最小化生产成本、最小化生产时间和最大化产品质量等。
同时，还需要考虑各种资源约束条件，如设备产能、雇员工时和原材料供应等。
通过多目标规划模型求解，可以得到一组最优解，即在满足约束条件的前提下，使得多个目标函数达到最优的决策方案。
这些最优解通常形成一个“帕累托前沿”，即在无法同时改善所有目标的情况下，提供了各种权衡和选择的可能性。
在实际应用中，多目标规划可以帮助企业决策者综合考虑多种目标和约束条件，合理安排生产资源和生产任务，以提高生产效率和经济效益。
同时，多目标规划还可以用于方案比较和灵敏度分析，帮助决策者评估不同决策方案的优劣和稳定性。
多目标规划模型解读
a
x ( , ) bi ij j
xj 0
dl , dl 0
( j 1,2, , n)
( l 1,2, , L)
在以上各式中， kl+ 、kl- 分别为赋予pl优先因子的第 k 个目标的正、负 偏差变量的权系数， gk为第 k个目标的预期值， xj为决策变量， dk+ 、dk- 分别为第 k 个目标的正、负偏差变量， 22
非负约束
21
m i nZ pk (kl dl kl dl ) k 1 l 1
K
L
目标函数
目标约束 绝对约束 非负约束
c
j 1 n
j 1
n
(l ) j
x j d l d l gl
( l 1,2, , L)
( i 1,2, , m )
16
三 目标规划方法
通过前面的介绍和讨论，我们知道，目标规划方法 是解决多目标规划问题的重要技术之一。 这一方法是美国学者查恩斯（A.Charnes）和库 伯（W.W.Cooper）于1961年在线性规划的基础上提 出来的。后来，查斯基莱恩（U.Jaashelainen）和李 （Sang.Lee）等人，进一步给出了求解目标规划问题 的一般性方法——单纯形方法。
2 x1 x2 11 x1 2 x2 10 x ,x 0 1 2
将上述问题化为标准后，用单纯形方法求解可得最佳决策
方案为: x1 4, x 2 3, Z 62 （万元）。
但是，在实际决策时，企业领导者必须考虑市场等 一系列其它条件，如：
目标规划模型 目标规划的图解法 求解目标规划的单纯形方法
第五讲_多目标规划模型
s .t . g i ( X ) 0 hj(X ) 0
例如，在上述多目标问题中，假定f1(X)为主要目标，其余p-1 个为非主要目标。这时，希望主要目标达到极大值，并要求 其余的目标满足一定的条件，即 max f 1 ( X )
g i ( X ) 0 , i 1, 2 ,..., n s .t . h j ( X ) 0 , j 1, 2 ,..., m f k ( X ) k , k 1, 2 ,..., p 1
6
j
U * max U U ( X 3 ) 57 . 925
3、分层序列法：
f ( x ), , f ( x 按其重 ) 1.基本步骤：把(VP)中的p个目标 要程度排序。依次求单目标规划的最优解。 2. 过程：无妨设其次序为 f , f , , f 先求解 min f ( x ) ( P ) s .t . x S 得最优值 f 1* ，记 S x f ( x ) f S 再解 min f ( x ) ( P ) 得最优值 f ，S x f ( x ) f S s .t . x S 依次进行，直到 * min f ( x ) fp 得最优值 (P )
f2
1 2
5 3
4
6
7 8 f
二、模型结构
在多目标决策问题中，目标有多层次的含义。从最高层次 来看，目标代表了问题要达到的总目标。如确定最满意的 投资项目、选择最满意的食品。从较低层次来看，目标可 看成是体现总目标得以实现的各个具体的目标，如投资项 目的盈利要大、成本要低、风险要小；目标也可看成衡量 总目标得以实现的各个准则，如食品的味道要好，质量要 好，花费要少。 多目标决策问题中的方案即为决策变量，也称为多目 标问题的解。备选方案即决策问题的可行解。在多目标决 策中，有些问题的方案是有限的，有些问题 的方案是无限 的。方案有其特征或特性，称之为属性。
多目标规划及其求解技术简介
当目标函数处于冲突状态时，就不 会存在使所有目标函数同时达到最大或 最小值的最优解，于是我们只能寻求非 劣解（又称非支配解或帕累托解）。
三、多目标规划求解技术简介 （一）效用最优化模型
建摸依据：规划问题的各个目标函数可以通过 一定的方式进行求和运算。这种方法将一系列 的目标函数与效用函数建立相关关系，各目标 之间通过效用函数协调，使多目标规划问题转 化为传统的单目标规划问题
多目标规划问题的求解不能只追求一 个目标的最优化（最大或最小），而不顾 其他目标。
图6.2.1
劣解与非劣解
在图6.1.1中，就方案①和 ②来说，①的 f 2 目标值比②大， 但其目标值 f 1 比②小，因此无 法确定这两个方案的优与劣。在 各个方案之间，显然：③比②好， ④比①好，⑦比③好，⑤比④好。 而对于方案⑤、⑥、⑦之间则无 法确定优劣，而且又没有比它们 更好的其他方案，所以它们就被 称之为多目标规划问题的非劣解 或有效解，其余方案都称为劣解。 所有非劣解构成的集合称为非劣 解集。
第2节 多目标规划及其求解技术简介
多目标规划模型 多目标规划的非劣解 多目标规划求解技术简介
一、多目标规划模型
任何多目标规划问题，都由两个基 本部分组成： (1)两个以上的目标函数； (2)若干个约束条件。 对于多目标规划问题，可以将其数 学模型一般地描写为如下形式
max(min)f ( X ) 1 Z F ( X ) max(min)f 2 ( X ) max(min)f ( X ) k
max Z ( X ) ( X ) G
（6.2.7） （6.2.8）
式中: 是与各目标函数相关的效用函数的 和函数。
在用效用函数作为规划目标时，需要确 定一组权值 i 来反映原问题中各目标函数在 总体目标中的权重，即
多目标规划与数学模型PPT课件
min
XD
h(F
(
X
))
min
XD
m1 aj xp
f j ( X )
但可方便转化为一个简单非线性规划问题！
令t
max
1 j p
fj(X)
min t
X,t
fj(X)
t,
j
1, 2,
X D
则该规划问题可等价为：
该技巧非常有用，将一个不可微的规划 问题转化为可微的约束规划！
,p
第21页/共71页
多目标规划的基本解法
第11页/共71页
V-min XD
f1X , f2X ,, f p X
(1) :
f1*
min
XD
f1X
(2)
f2*
min
XDx| f1 ( X )Βιβλιοθήκη f1 *f2X
改进——宽容分层序列法： 给前面的最优值设定一定 的宽容值ε>0, 即此目标值 再差ε也是可接受的!
( p) f p * min XD x| f j1 ( X ) f j1*, j1,2,, p1 f p X
第26页/共71页
2)使就一般情况对以上问题进行讨论，并利用下表数据进行计算:
Si ri qi pi ui S1 9.6 42 2.1 181 S2 18.5 54 3.2 407 S3 49.4 60 6.0 428 S4 23.9 42 1.5 549 S5 8.1 1.2 7.6 270 S6 14 39 3.4 397
4.2 平方和加权法：
V-min XD
f1X , f2X ,, f p X
先设定单目标规划的下界(想象中的最好值),即
定义评价函数：
第5章 多目标模型
0 0
定义1 设 x* R x gi x 0 , i 1,2,, m，若对任意， j 1,2,, p 以及任意 x R 均有 f j x f j x* 成立，
则称为问题（VP）的绝对最优解。（VP）的绝对最优解的全体记为 Rab 。绝对最优解的几何解释如图1所示。
的解，记为 f 2 。这实际上是在第一个目标的最优集合上来求第二个目标 f 2 x 的最优解。然后求第三 个目标的最优解，即求问题：
3 （P3） x f j x f j , j 1,2 x R
min f x
（5-7）
的最优解，记为， f 3 …。如此进行直到求得最后的第p 个问题： （Pp）
下，来求主要目标 f1 x 的最小值，即求问题
min f1 x gi x 0 f x f x 0 j j
i 1,2, m j 2,, p
（5-4）
8
对于n=2, p=2的情形，如图6。
f 2 x
R R x f 2 x f 2 x 0
规划的角度提出了向量极值问题的Pareto最优解，研究了这种解的充分必要条件。1963年L· A· Zadch又从控制 论角度提出了多目标问题。1973年，J· L· Cochrance M· Zeleny编辑出版了第一本多目标决策的书，对多目标 最 优化学科形成起了推动作用。我国从1976年开始研究和应用多目标规划的理论和方法，经过几十年的努力， 已经形成了一支队伍，在理论及应用上做了大量工作，引起了各级决策人员和广大管理人员的重视。
（a） F 1 F 2 时，意味着的每一个分量都严格小于的相应分量，即对于 j 1,2,, p ,均有： f j1 f j2 。 （b） F 1 F 2 时，意味着F1的每一个分量都小于或等于F2的相应分量，但至少有一个的分量F1严格地小于
定义1 设 x* R x gi x 0 , i 1,2,, m，若对任意， j 1,2,, p 以及任意 x R 均有 f j x f j x* 成立，
则称为问题（VP）的绝对最优解。（VP）的绝对最优解的全体记为 Rab 。绝对最优解的几何解释如图1所示。
的解，记为 f 2 。这实际上是在第一个目标的最优集合上来求第二个目标 f 2 x 的最优解。然后求第三 个目标的最优解，即求问题：
3 （P3） x f j x f j , j 1,2 x R
min f x
（5-7）
的最优解，记为， f 3 …。如此进行直到求得最后的第p 个问题： （Pp）
下，来求主要目标 f1 x 的最小值，即求问题
min f1 x gi x 0 f x f x 0 j j
i 1,2, m j 2,, p
（5-4）
8
对于n=2, p=2的情形，如图6。
f 2 x
R R x f 2 x f 2 x 0
规划的角度提出了向量极值问题的Pareto最优解，研究了这种解的充分必要条件。1963年L· A· Zadch又从控制 论角度提出了多目标问题。1973年，J· L· Cochrance M· Zeleny编辑出版了第一本多目标决策的书，对多目标 最 优化学科形成起了推动作用。我国从1976年开始研究和应用多目标规划的理论和方法，经过几十年的努力， 已经形成了一支队伍，在理论及应用上做了大量工作，引起了各级决策人员和广大管理人员的重视。
（a） F 1 F 2 时，意味着的每一个分量都严格小于的相应分量，即对于 j 1,2,, p ,均有： f j1 f j2 。 （b） F 1 F 2 时，意味着F1的每一个分量都小于或等于F2的相应分量，但至少有一个的分量F1严格地小于
运筹学课件 第五章多目标规划
目标3 ：应尽可能利用现有设备，但不希望加班； 目标4 ：应尽可能达到并超过计划利润指标(56元)。
这样，在考虑产品生产决策时，不再是单纯追求利润 最大，而是同时要考虑多个目标，这样的问题一般的线性
规划方法已无法解决，需引入一种新的数学模型——目 标规划。
二、目标规划模型的建立
1. 偏差变量
用来表示实际值与目标值之间的差异。
线性目标约束的一般形式是：
fi
X
d
i
d
i
bi
其中：
n
X x1 , x2 , , xn T , fi X Cij x j i1
3. 优先因子和权系数
目标规划中，当决策者要求实现多个目标时，这些目
标之间是有主次区别的。 凡要求第一位达到的目标，赋于优先因子 p1，要求第
二位达到的目标，赋于优先因子 p2 …并规定 pk+1∝pk，表 示 pk 比 pk+1 有绝对优先权。因此，不同的优先因子代表 着不同的优先等级。
d + —— 超出目标的差值，称为正偏差变量。 d - —— 未达到目标的差值，称为负偏差变量。
因实际决策值不可能既超过目标值又低于目标值，故 最终结果中恒有 d + ·d - =0 (即两者至少有一个为0)。
目标规划中，一般有多个目标值，每个目标值都相应 有一对偏差变量 。
2. 绝对约束和目标约束
在实现多个目标时，首先保证 p1 级目标的实现，这 时可不考虑其它级目标，而 p2 级目标是在保证 p1 级目标 值不变的前提下考虑的，以此类推。
若要区别具有相同优先因子的多个目标，可分别赋予
它们不同的权系数 k 。越重要的目标，其权系数的值越
大。
4. 目标函数
这样，在考虑产品生产决策时，不再是单纯追求利润 最大，而是同时要考虑多个目标，这样的问题一般的线性
规划方法已无法解决，需引入一种新的数学模型——目 标规划。
二、目标规划模型的建立
1. 偏差变量
用来表示实际值与目标值之间的差异。
线性目标约束的一般形式是：
fi
X
d
i
d
i
bi
其中：
n
X x1 , x2 , , xn T , fi X Cij x j i1
3. 优先因子和权系数
目标规划中，当决策者要求实现多个目标时，这些目
标之间是有主次区别的。 凡要求第一位达到的目标，赋于优先因子 p1，要求第
二位达到的目标，赋于优先因子 p2 …并规定 pk+1∝pk，表 示 pk 比 pk+1 有绝对优先权。因此，不同的优先因子代表 着不同的优先等级。
d + —— 超出目标的差值，称为正偏差变量。 d - —— 未达到目标的差值，称为负偏差变量。
因实际决策值不可能既超过目标值又低于目标值，故 最终结果中恒有 d + ·d - =0 (即两者至少有一个为0)。
目标规划中，一般有多个目标值，每个目标值都相应 有一对偏差变量 。
2. 绝对约束和目标约束
在实现多个目标时，首先保证 p1 级目标的实现，这 时可不考虑其它级目标，而 p2 级目标是在保证 p1 级目标 值不变的前提下考虑的，以此类推。
若要区别具有相同优先因子的多个目标，可分别赋予
它们不同的权系数 k 。越重要的目标，其权系数的值越
大。
4. 目标函数
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1
多目标规划模型
在现实生活中,决策的目标往往有多个,例如,对企业产品的生产管 理,既希望达到高利润,又希望优质和低消耗,还希望减少对环境的污 染等.这就是一个多目标决策的问题.又如选购一个好的计算机系统, 似乎只有一个目标,但由于要从多方面去反映,要用多个不同的准则 来衡量,比如,性能要好,维护要容易,费用要省.这些准则自然构成了多 个目标,故也是一个多目标决策问题.一般来说,多目标决策问题有两 类.一类是多目标规划问题,其对象是在管理决策过程中求解使多个 目标都达到满意结果的最优方案.另一类是多目标优选问题,其对象 是在管理决策过程中根据多个目标或多个准则衡量和得出各种备选 方案的优先等级与排序.
400x1 600x 2 20000 3 x 2 x 90 2 1 9 x1 4 x 2 240 4 x1 5 x 2 200 3 x1 10x 2 300 x1 , x 2 0
由主要目标法化为单目标问题max f1 ( X ) 70x1 120x 2 用单纯形法求得其最优解为
1 p
1 1
s.t. x S p 1
p 1
则 S p x f p ( x)
f p*
S
是在分层序列意义下的最优解集合。
3. 性质： S p S pa ，即在分层序列意义下的最优解是有 效解。 ~ ~ ~ * 证明：反证。设 x S p ，但 x S pa ，则必存在 y S ~ ~ 使 F ( y ) F ( x) ~ ~ ~ ~ 即至少有一个j0 ，使 f j ( y) f j ( x), j 1,, j0 1 f j ( y) f j ( x) , ~ ~ 由于 x S j ，即 f j ( x) f j* min f j ( x) xS ， 矛盾。得证。 4. 进一步讨论： 上述方法过程中，当某个问题(Pj)的解唯一时，则 问题 Pj 1 ,, Pp 的求解无意义，因为解都是唯一的。 实际求解时，有较宽容意义下的分层序列法： 取 1 0,, p1 0 为预先给定的宽容值，整个解法同原 方法类似，只是取各约束集合时，分别取为：
在上述目标规划中，假定f1(X),f2(X),…,fp(X)具有相同的量纲, 按照一定的规则分别给fi赋予相同的权系数ωi，作线性加权和 评价函数 p
U ( X ) i f i ( X )
i 1
则多目标问题化为如下的单目标问题
maxU ( X ) i f i ( X )
i 1 p
单位产品的价格 单位产品的利润 单位产品的污染
400 70 3
600 120 2
解：问题的多目标模型如下
max f 1 ( X ) 70x1 120x 2 max f 2 ( X ) 400x1 600x 2 max( f 3 ( X )) 3 x1 2 x 2 9 x1 4 x 2 240 4 x 5 x 200 1 2 3 x1 10x 2 300 x1 , x 2 0
低 3 高
一般 5 一般
高 很高 7 9 低 很低 成本型指标
可靠性和灵敏性都属于效益型指标，其打分如下
可靠性 灵敏性 一般 5 高 7 低 3 一般 5 高 7 很高 9 很高 9 一般 5
按以下公式作无量纲的标准化处理
aij
其中：
99 ( f ij f j * *) f j * f j **
g i ( X ) 0 s.t. h j ( X ) 0
例如，某公司计划购进一批新卡车，可供选择的卡车有如 下4种类型：A1，A2，A3，A4。现考虑6个方案属性：维 修期限f1，每100升汽油所跑的里数f2，最大载重吨数f3，价 格（万元）f4，可靠性f5，灵敏性f6。这4种型号的卡车分别 关于目标属性的指标值fij如下表所示。
fij A1 A2 A3 A4
f1
2.0 2.5 2.0 2.2
f2
1500 2700 2000 1800
f3
4 3.6 4.2 4
f4
55 65 45 50
f5
一般 低 高 很高
f6
高 一般 很高 一般
首先对不同度量单位和不同数量级的指标值进行标准化处理。 先将定性指标定量化：
效益型指标
很低 1 很高
j 1 6
U ( X 4 ) j a 4 j 40.27
j 1
U * maxU U ( X 3 ) 57.925
3、分层序列法：
f ( x),, f ( x) 1.基本步骤：把(VP)中的p个目标 按其重 要程度排序。依次求单目标规划的最优解。 2. 过程：无妨设其次序为 f1, f 2 ,, f p 先求解 min f ( x) ( P ) * S1 x f1 ( x) f1* S s.t. x S 得最优值 f1 ，记 再解 min f 2 ( x) ( P2 ) * * s.t. x S1 得最优值 f 2 ，S 2 x f 2 ( x) f 2 S1 依次进行，直到 min f p ( x) f p* 得最优值 ( Pp )
如对于求极大(max)型，其各种解定义如下： 绝对最优解：若对于任意的X，都有F（X*）≥F(X) 有效解：若不存在X，使得F（X*） ≤ F(X) 弱有效解：若不存在X，使得F（X*)<F(X)
2、多目标优选问题的模型结构 可用效用函数来表示。设方案的效用是目标属性 的函数： U ( x) U ( f , f ,..., f )
s.t. g i ( X ) 0 hj (X ) 0
例如，在上述多目标问题中，假定f1(X)为主要目标，其余p-1 个为非主要目标。这时，希望主要目标达到极大值，并要求 其余的目标满足一定的条件，即 max f1 ( X )
g i ( X ) 0, i 1,2,...,n s.t.h j ( X ) 0, j 1,2,...,m f k ( X ) k , k 1,2,..., p 1
多目标决策由于考虑的目标多,有些目标之间又 彼此有矛盾,这就使多目标问题成为一个复杂而困难 的问题.但由于客观实际的需要,多目标决策问题越来 越受到重视,因而出现了许多解决此决策问题的方法. 一般来说,其基本途径是,把求解多目标问题转化为求 解单目标问题.其主要步骤是,先转化为单目标问题, 然后利用单目标模型的方法,求出单目标模型的最优 解,以此作为多目标问题的解.
x1 12.5, x2 26.25, f1 ( x) 4025 , f 2 ( x) 20750 f 3 ( x) 90 ,
2、线性加权和目标规划
optF( X ) ( f1 ( X ), f 2 ( X ),...., f p ( X ))T s.t. g i ( X ) 0 hj (X ) 0
化多目标问题为单目标问题的方法大致可分为两 类,一类是转化为一个单目标问题,另一类是转化为多 个单目标问题,关键是如何转化. 下面,我们介绍几种主要的转化方法:主要目标法、 线性加权和法、字典序法、步骤法。
§10.1多目标决策问题的特征
一、解的特点
在解决单目标问题时，我们的任务是选择一个或一组变 量X，使目标函数f(X)取得最大（或最小）。对于任意两方案 所对应的解，只要比较它们相应的目标值，就可以判断谁优 谁劣。但在多目标情况下，问题却不那么单纯了。例如，有 两个目标f1(X)，f2(X),希望它们都越大越好。下图列出在这两 个目标下共有8个解的方案。其中方案1，2，3，4称为劣解， 因为它们在两个目标值上都比方案5差，是可以淘汰的解。而 方案5，6，7，8是非劣解（或称为有效解，满意解），因为 这些解都不能轻易被淘汰掉，它们中间的一个与其余任何一 个相比，总有一个指标更优越，而另一个指标却更差。
50.5 1
100 1
设权系数向量为W=（0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3), 则
U ( X 1 ) j a1 j 34 U ( X 2 ) j a 2 j 40.6
j 1 6
故最优方案为选购A3型卡车
U ( X 3 ) j a3 j 57.925
§10.2 多目标规划问题的求解
1、主要目标法 在有些多目标决策问题中，各种目标的重要性程度 往往不一样。其中一个重要性程度最高和最为关键的 目标，称之为主要目标法。其余的目标则称为非主要 目标。 optF( X ) ( f1 ( X ), f 2 ( X ),...., f p ( X ))T
i
1
f j * max f ij
f j * * min f ij
i
变换后的指标值矩阵为： aij f1 f2 f3 f4 f5 f6
A1 A2
A3 A4
1 100
1 40.6
1 100
42.25 25.75
67 1
100 67
50.5 100
1 25.75
34 1
67 100
6 j 1 6
对于上述模型的三个目标，工厂 确定利润最大为主要目标。另两 个目标则通过预测预先给定的希 望达到的目标值转化为约束条件。 经研究，工厂认为总产值至少应 达到20000个单位，而污染控制 在90个单位以下，即
f 2 ( X ) 400x1 600x2 20000 f 3 ( X ) 3x1 2 x2 90
f2
1 2
5 3
4
6
7 8 f
二、模型结构
在多目标决策问题中，目标有多层次的含义。从最高层次 来看，目标代表了问题要达到的总目标。如确定最满意的 投资项目、选择最满意的食品。从较低层次来看，目标可 看成是体现总目标得以实现的各个具体的目标，如投资项 目的盈利要大、成本要低、风险要小；目标也可看成衡量 总目标得以实现的各个准则，如食品的味道要好，质量要 好，花费要少。 多目标决策问题中的方案即为决策变量，也称为多目 标问题的解。备选方案即决策问题的可行解。在多目标决 策中，有些问题的方案是有限的，有些问题 的方案是无限 的。方案有其特征或特性，称之为属性。
多目标规划模型
在现实生活中,决策的目标往往有多个,例如,对企业产品的生产管 理,既希望达到高利润,又希望优质和低消耗,还希望减少对环境的污 染等.这就是一个多目标决策的问题.又如选购一个好的计算机系统, 似乎只有一个目标,但由于要从多方面去反映,要用多个不同的准则 来衡量,比如,性能要好,维护要容易,费用要省.这些准则自然构成了多 个目标,故也是一个多目标决策问题.一般来说,多目标决策问题有两 类.一类是多目标规划问题,其对象是在管理决策过程中求解使多个 目标都达到满意结果的最优方案.另一类是多目标优选问题,其对象 是在管理决策过程中根据多个目标或多个准则衡量和得出各种备选 方案的优先等级与排序.
400x1 600x 2 20000 3 x 2 x 90 2 1 9 x1 4 x 2 240 4 x1 5 x 2 200 3 x1 10x 2 300 x1 , x 2 0
由主要目标法化为单目标问题max f1 ( X ) 70x1 120x 2 用单纯形法求得其最优解为
1 p
1 1
s.t. x S p 1
p 1
则 S p x f p ( x)
f p*
S
是在分层序列意义下的最优解集合。
3. 性质： S p S pa ，即在分层序列意义下的最优解是有 效解。 ~ ~ ~ * 证明：反证。设 x S p ，但 x S pa ，则必存在 y S ~ ~ 使 F ( y ) F ( x) ~ ~ ~ ~ 即至少有一个j0 ，使 f j ( y) f j ( x), j 1,, j0 1 f j ( y) f j ( x) , ~ ~ 由于 x S j ，即 f j ( x) f j* min f j ( x) xS ， 矛盾。得证。 4. 进一步讨论： 上述方法过程中，当某个问题(Pj)的解唯一时，则 问题 Pj 1 ,, Pp 的求解无意义，因为解都是唯一的。 实际求解时，有较宽容意义下的分层序列法： 取 1 0,, p1 0 为预先给定的宽容值，整个解法同原 方法类似，只是取各约束集合时，分别取为：
在上述目标规划中，假定f1(X),f2(X),…,fp(X)具有相同的量纲, 按照一定的规则分别给fi赋予相同的权系数ωi，作线性加权和 评价函数 p
U ( X ) i f i ( X )
i 1
则多目标问题化为如下的单目标问题
maxU ( X ) i f i ( X )
i 1 p
单位产品的价格 单位产品的利润 单位产品的污染
400 70 3
600 120 2
解：问题的多目标模型如下
max f 1 ( X ) 70x1 120x 2 max f 2 ( X ) 400x1 600x 2 max( f 3 ( X )) 3 x1 2 x 2 9 x1 4 x 2 240 4 x 5 x 200 1 2 3 x1 10x 2 300 x1 , x 2 0
低 3 高
一般 5 一般
高 很高 7 9 低 很低 成本型指标
可靠性和灵敏性都属于效益型指标，其打分如下
可靠性 灵敏性 一般 5 高 7 低 3 一般 5 高 7 很高 9 很高 9 一般 5
按以下公式作无量纲的标准化处理
aij
其中：
99 ( f ij f j * *) f j * f j **
g i ( X ) 0 s.t. h j ( X ) 0
例如，某公司计划购进一批新卡车，可供选择的卡车有如 下4种类型：A1，A2，A3，A4。现考虑6个方案属性：维 修期限f1，每100升汽油所跑的里数f2，最大载重吨数f3，价 格（万元）f4，可靠性f5，灵敏性f6。这4种型号的卡车分别 关于目标属性的指标值fij如下表所示。
fij A1 A2 A3 A4
f1
2.0 2.5 2.0 2.2
f2
1500 2700 2000 1800
f3
4 3.6 4.2 4
f4
55 65 45 50
f5
一般 低 高 很高
f6
高 一般 很高 一般
首先对不同度量单位和不同数量级的指标值进行标准化处理。 先将定性指标定量化：
效益型指标
很低 1 很高
j 1 6
U ( X 4 ) j a 4 j 40.27
j 1
U * maxU U ( X 3 ) 57.925
3、分层序列法：
f ( x),, f ( x) 1.基本步骤：把(VP)中的p个目标 按其重 要程度排序。依次求单目标规划的最优解。 2. 过程：无妨设其次序为 f1, f 2 ,, f p 先求解 min f ( x) ( P ) * S1 x f1 ( x) f1* S s.t. x S 得最优值 f1 ，记 再解 min f 2 ( x) ( P2 ) * * s.t. x S1 得最优值 f 2 ，S 2 x f 2 ( x) f 2 S1 依次进行，直到 min f p ( x) f p* 得最优值 ( Pp )
如对于求极大(max)型，其各种解定义如下： 绝对最优解：若对于任意的X，都有F（X*）≥F(X) 有效解：若不存在X，使得F（X*） ≤ F(X) 弱有效解：若不存在X，使得F（X*)<F(X)
2、多目标优选问题的模型结构 可用效用函数来表示。设方案的效用是目标属性 的函数： U ( x) U ( f , f ,..., f )
s.t. g i ( X ) 0 hj (X ) 0
例如，在上述多目标问题中，假定f1(X)为主要目标，其余p-1 个为非主要目标。这时，希望主要目标达到极大值，并要求 其余的目标满足一定的条件，即 max f1 ( X )
g i ( X ) 0, i 1,2,...,n s.t.h j ( X ) 0, j 1,2,...,m f k ( X ) k , k 1,2,..., p 1
多目标决策由于考虑的目标多,有些目标之间又 彼此有矛盾,这就使多目标问题成为一个复杂而困难 的问题.但由于客观实际的需要,多目标决策问题越来 越受到重视,因而出现了许多解决此决策问题的方法. 一般来说,其基本途径是,把求解多目标问题转化为求 解单目标问题.其主要步骤是,先转化为单目标问题, 然后利用单目标模型的方法,求出单目标模型的最优 解,以此作为多目标问题的解.
x1 12.5, x2 26.25, f1 ( x) 4025 , f 2 ( x) 20750 f 3 ( x) 90 ,
2、线性加权和目标规划
optF( X ) ( f1 ( X ), f 2 ( X ),...., f p ( X ))T s.t. g i ( X ) 0 hj (X ) 0
化多目标问题为单目标问题的方法大致可分为两 类,一类是转化为一个单目标问题,另一类是转化为多 个单目标问题,关键是如何转化. 下面,我们介绍几种主要的转化方法:主要目标法、 线性加权和法、字典序法、步骤法。
§10.1多目标决策问题的特征
一、解的特点
在解决单目标问题时，我们的任务是选择一个或一组变 量X，使目标函数f(X)取得最大（或最小）。对于任意两方案 所对应的解，只要比较它们相应的目标值，就可以判断谁优 谁劣。但在多目标情况下，问题却不那么单纯了。例如，有 两个目标f1(X)，f2(X),希望它们都越大越好。下图列出在这两 个目标下共有8个解的方案。其中方案1，2，3，4称为劣解， 因为它们在两个目标值上都比方案5差，是可以淘汰的解。而 方案5，6，7，8是非劣解（或称为有效解，满意解），因为 这些解都不能轻易被淘汰掉，它们中间的一个与其余任何一 个相比，总有一个指标更优越，而另一个指标却更差。
50.5 1
100 1
设权系数向量为W=（0.2,0.1,0.1,0.1,0.2,0.3), 则
U ( X 1 ) j a1 j 34 U ( X 2 ) j a 2 j 40.6
j 1 6
故最优方案为选购A3型卡车
U ( X 3 ) j a3 j 57.925
§10.2 多目标规划问题的求解
1、主要目标法 在有些多目标决策问题中，各种目标的重要性程度 往往不一样。其中一个重要性程度最高和最为关键的 目标，称之为主要目标法。其余的目标则称为非主要 目标。 optF( X ) ( f1 ( X ), f 2 ( X ),...., f p ( X ))T
i
1
f j * max f ij
f j * * min f ij
i
变换后的指标值矩阵为： aij f1 f2 f3 f4 f5 f6
A1 A2
A3 A4
1 100
1 40.6
1 100
42.25 25.75
67 1
100 67
50.5 100
1 25.75
34 1
67 100
6 j 1 6
对于上述模型的三个目标，工厂 确定利润最大为主要目标。另两 个目标则通过预测预先给定的希 望达到的目标值转化为约束条件。 经研究，工厂认为总产值至少应 达到20000个单位，而污染控制 在90个单位以下，即
f 2 ( X ) 400x1 600x2 20000 f 3 ( X ) 3x1 2 x2 90
f2
1 2
5 3
4
6
7 8 f
二、模型结构
在多目标决策问题中，目标有多层次的含义。从最高层次 来看，目标代表了问题要达到的总目标。如确定最满意的 投资项目、选择最满意的食品。从较低层次来看，目标可 看成是体现总目标得以实现的各个具体的目标，如投资项 目的盈利要大、成本要低、风险要小；目标也可看成衡量 总目标得以实现的各个准则，如食品的味道要好，质量要 好，花费要少。 多目标决策问题中的方案即为决策变量，也称为多目 标问题的解。备选方案即决策问题的可行解。在多目标决 策中，有些问题的方案是有限的，有些问题 的方案是无限 的。方案有其特征或特性，称之为属性。