北师大版必修二数学4.1空间图形基本关系的认识
安边中学高一年级1学期数学学科导学稿执笔人：王广青总第47 课时备课组长签字：包级领导签字：学生：上课时间：第12周
集体备课个人空间
一、课题：4.1空间图形基本关系的认识
二、学习目标
1、了解空间点、线、面间的位置关系，理解线面位置关系的定义。
2、正确理解异面直线的定义，会画空间点、线、面位置关系的各种图形。
3、同过对空间图形基本关系的认识，结合三种语言的互相转换，体会数
学图形的直观美以及数学语言的简洁美。
三、教学过程
【温故知新】
课前认真阅读教材22-23内容，通过独学、结合导学案的引领，认
真完成预习学案的问题导学部分；在独学过程中，要能够发现自己的问
题并用红笔将相关的问题标出，以便在后面正课做到有目的地进行相关
学习.
1、空间点与直线的位置关系
（1）点A在直线l上，记为读作：
（2）点A不在直线l上，记为读作：
从图示的长方体中，找出点在线上，点不在线上的例子。
2、空间点与平面的位置关系
（1）点A在平面α内，记作
读作：
（2）点A在平面α外，记作，
读作：
从图示的长方体中，找出点在面内，点在面外的例子。
3、空间直线与直线的位置关系
（1）（2）（3）
从图示的长方体中，找出平行、相交、异面的例子,完成教材23页，
右上角的问题与思考部分。
4、空间直线与平面的位置关系
（1）（2）（3）
从图示的长方体中，找出线在面内、线面相交、线面平行的例子
5、空间平面与平面的位置关系
（1）（2）
从图示的长方体中，找出线在平面平行、平面相交的例子
【导学释疑】
例1、用符号语言表示下列语句，并作出图形。
（1）点A在平面β内，但在平面α外
（2）直线l 在平面α内，又在平面β内，即平面β和平面α相交于直线
（3）直线l 在平面α外，且过平面α内的一点A
（4）直线l 在平面α内两点M 、N
例2、将下面用符号语言表示的关系改用文字语言叙述，并且用图形语言表示。
βαβα≠
≠⊂⊂∈=⋂AC AB l A l ,,, 【巩固提升】
例3、如图所示，正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，M 、N 分别是棱C 1D 1、C 1C 的中点，有以下四个结论：
①直线M A 1与C 1C 是相交直线
②直线M A 1与NB 是平行直线
③直线N B 1与MB 是异面直线
④直线M A 1与DD 1是异面直线
其中正确结论的序号是
【检测反馈】
1、若a 、b 是异面直线，c 、b 是异面直线，则（ ）
A.a ∥c
B. a 、c 相交
C. a 、c 是异面直线
D. a 、c 或平行或相交或异面
2、正方体ABCD-A 1B 1C 1D 1中，与棱AB 异面的棱有（ ）
A.2条
B.4条
C. 6条
D.8条
3、两条异面直线指的是（ ）
A.分别位于两个不同平面内的两条直线
B.空间内不相交的两条直线
C.某一平面内的一条直线与这个平面外地一条直线
D.空间两条既不平行又不相交的直线
反
思栏。
2019-2020高中北师版数学必修2 第1章 §4 4.1 4.2 第1课时 空间图形的公理(公理1、2、3)课件PPT
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法二：∵l1∩l2＝A，∴l1，l2确定一个平面α. ∵l2∩l3＝B，∴l2，l3确定一个平面β. ∵A∈l2，l2 α，∴A∈α. ∵A∈l2，l2 β，∴A∈β. 同理可证，B∈α，B∈β，C∈α，C∈β. ∵不共线的三个点A，B，C既在平面α内，又在平面β内， ∴平面α和平面β重合，即直线l1，l2，l3在同一平面内．
点A在平面α内 点B在平面α外
图形表示
符号表示 A∉a B∈a A∈α B∉α
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直线与直线的 位置关系
直线与平面的 位置关系
平行 相交 平行 线在面内 线面相交
线面平行
a∥b _a_∩_b_＝__O__ a 与 b 异面
_a___α_ a_∩__α_＝__A__
_a_∥__α_
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[解] (1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝ B，如图．
(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉ AB，如图．
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三种语言的转换方法 1用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形 有几个平面、几条直线且相互之间的位置关系如何，试着用文字语 言表示，再用符号语言表示. 2根据符号语言或文字语言画相应的图形时，要注意实线和虚 线的区别.
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证明点、线共面问题的理论依据是公理1和公理2，常用方法 有：
1先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平 面内，即用“纳入法”；
2．理解异面直线的概念，以及空间图形的基 2．通过学习空间图
4.1空间图形基本关系的认识-北师大版必修2教案
4.1 空间图形基本关系的认识-北师大版必修2教案一、课时目标1.了解 3D 空间图形的基本概念和特点。
2.掌握空间图形常见的细分法。
3.学会如何通过图像来描述球面、圆锥面和圆柱面等空间图形。
二、课堂导入空间图形，在我们的生活中到处可见，例如建筑物、飞船、汽车等。
在开展此课程的时候，老师可以先引导学生们想象身边的物品，来提高他们对于空间图形的认知。
然后，老师可以以一个球体为例子，介绍球体这种空间图形的特点和一些基本概念，比如半径、直径、球心等，来引出本节课的主题。
三、教学内容1. 3D 空间图形的基本概念和特点3D 空间图形指的是三维立体空间中的图形，在此，我们以球体为例说明。
球体是一种最常见的球面几何体，具有以下几个特点：•独立性：球体内任意一点与外界没有直接连接，极大地增加了其独立性。
•球心：球体内任意一点到球心的距离都是相等的，球心是球体中心点的名词统称。
•半径：球体中心点到球体表面上某一点的距离，通常用字母 r 表示，我们也可以通过半径来确定一个球体的大小和表面积。
•直径：穿过球心，线段两端恰好在球面上的直线段，直径长度等于 2r。
•球面：球体表面。
•球缺：截取球体的一个样本后，保留的部分形成的空间图形。
2. 空间图形常见的细分法为了更好的理解和分析空间图形，我们通常可以采用以下两种细分方法:1) 沿截面分离将一些图形按截平面，如水平面、垂直面等截断，然后分离能识别的简单几何图形，如：圆、矩形等。
2) 穿切法穿切一个图形可以使其表面展开，让三维形状变成二维图形，如纸片穿过一个球体后展开为圆形。
3. 如何通过图像来描述球面、圆锥面和圆柱面等空间图形我们可以使用二维平面的图形来描述空间中的球体、圆锥面和圆柱面等图形。
其中，球体可以使用等高线图来描述，圆锥面和圆柱面则可以使用矩形来进行表达。
同样以球体为例，我们可以使用等高线图来描绘它的模样。
具体来说，我们可以使用颜色的深浅区分球体表面上不同的高度区间。
高中数学北师大版必修二课件：空间图形的基本关系与公理
理论迁移
知识点三 直线与平面的位置关系 例 3 已知下列命题：
①若直线 l 平行于平面α内的无数条直线，则 l∥α； ②若直线 a 在平面α外，则 a∥α； ③若直线 a∥直线 b，直线 b 平面α，则 a∥α； 无数条直线． 其中真命题的个数为 A．1 B．2 C．3 D．4 ( A )
B
（2）点在平面外
记作： 点B 面线的位置关系有三种：
①平行直线：在同一个平面内，没有公共点的两条直线. ②相交直线：在同一个平面内，有且只有一个公共点的两条直线.
记作：直线a//直线b a b α
b 记作： 直线a 直线b 点O β
a O b b a
不同在任何一个平面内 ③异面直线：
l
A
a
a A B l
理论迁移
知识点二 直线与直线位置关系的判定
例 2 如图所示的正方体 ABCD－A1B1C1D1， 判断下 列直线的位置关系．
平行 ； (1)直线 A1B 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 ； (2)直线 A1B 与直线 B1C 的位置关系是_______ 相交 ； (3)直线 D1D 与直线 D1C 的位置关系是________ 异面 ． (4)直线 AB 与直线 B1C 的位置关系是_________
④若直线 a∥直线 b，b α，那么直线 a 平行于平面α内的
解析
①错．因为 l 可能在平面α内．
②错．因为直线 a 在平面α外有两种情形：a∥α和 a 与α相交． ③错．因为 a 可能在平面α内． ④正确．无论 a 在平面α内或 a∥α，在α内都有无 数条直线与 a 平行．
答案
A
变式训练 4 下面命题中正确的个数是 b 的任何一个平面；
北师大版高数必修二第4讲：空间图形的基本关系与公理—(1)
空间图形的基本关系与公理__________________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________________理解和掌握平面的性质定理，能合理运用；掌握直线与直线、直线与平面、平面与平面的位置关系； 会判断异面直线、掌握异面直线的求法；会用图形语言、符号语言表示点、线、面的位置关系．一、平面1.平面的概念：平面是一个不加定义，只需理解的原始概念．立体几何里所说的的平面是从现实生活中常见的平面抽象出来的．常见的桌面、平静的水面等都给我们以平面的部形象．平面是理想的、绝对的平且无大小，无厚度，不可度量． 2.平面的表示方法：(1)一个平面： 当平面是水平放置的时候，通常把平行四边形的锐角 画成45o，横边画成邻边的2倍长，如右图． (2)两个相交平面：画两个相交平面时，通常要化出它们的交线，当一个平面的一部分被另一个平面遮住，应把被遮住部分的线段画成虚线或不画（如下图）3. 运用集合观点准确使用图形语言、符号语言和文字语言空间图形的基本元素是点、直线、平面从运动的观点看，点动成线，线动成面，从而可以把直线、平面看成是点的集合，因此还可借用集合中的符号语言来表示点、线、面的基本位置关系如下表所示：αBAβαABαβαβBAAβαBA a ∈ 点A 在直线a 上A a ∉ 点A 不在直线a 上A α∈ 点A 在平面α内A α∉ 点A 不在平面α内a b A =I 直线a 、b 交于A 点a α⊂直线a 在平面α内a α=∅I 直线a 与平面α无公共点a A α=I直线a 与平面α交于点Al αβ=I 平面α、β相交于直线l二、平面的基本性质1. 公理1 如果一条直线的两点在一个平面内，那么这条直线上的_____都在这个平面内推理模式：A AB B ααα∈⎫⇒⊂⎬∈⎭． 如图示： 或者：∵,A B αα∈∈，∴AB α⊂ 公理1的作用：①判定直线是否在平面内；②判定点是否在平面内； ③检验面是否是平面．2. 公理2 如果两个平面有一个公共点,那么它们还有其他公共点,且所有这些公共点的集合是一条过这个公共点的______推理模式：A A l A ααββ∈⎫⇒∈=⎬∈⎭I 如图示： 或者：∵,A A αβ∈∈，∴,l A l αβ=∈I 公理2的作用：(1)判断两个平面是否相交及交线位置； (2)判断点是否在线上今后所说的两个平面(或两条直线),如无特殊说明,均指不同的平面(直线)．(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．(2)有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 3. 公理3____________________________________________推理模式：,, ,,,,A B C A B C A B C ααβ⎫⎪∈⇒⎬⎪∈⎭不共线与β重合或者：∵,,A B C 不共线，∴存在唯一的平面α，使得,,A B C α∈. 推论1：经过一条直线和这条直线外的一点，有且只有一个平面； 推论2：经过两条相交直线，有且只有一个平面； 推论3：经过两条平行直线，有且只有一个平面．(1)以上是确定平面的四个不同的条件，是判断两个平面重合的依据，是证明点线共面的依据，也是作截面、辅助面的依据．(2)“有且只有一个”的含义要准确理解．这里的“有”是说图形的存在，“只有一个”是说图形唯一．因此，在证明有关这类语句的命题时，要从“存在性”和“唯一性”两方面来论证． 三、空间两直线的位置关系四、平行直线 1. 公理4 平行公理__________________________________________推理模式：//,////a b b c a c ⇒．(1)它是判断空间两条直线平行的依据； (2)它说明平行关系具有传递性 2.等角定理如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行，且方向相同，那么这两个角_______． 由球的半径R 计算球表面积的公式：S 球＝4πR 2.即球面面积等于它的大圆面积的4倍． 五、异面直线 1. 定义：不在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线(1)异面直线既不平行，也不相交，永远不存在一个平面能同时包含这两直线； (2)不能把异面直线误认为：分别在不同平面内的两条直线为异面直线 (3)异面直线一般是对两条直线而言的，没有三条异面直线的说法． 2．异面直线的画法画异面直线时，为了充分显示不共面的特点，常常需要以辅助平面为衬托，以加强直观性．ba αbaαβbaα3．异面直线判定定理过平面内一点与平面外一点的直线，和这个平面内不经过该点的直线是异面直线推理模式：l A B B L ααα⊂⎫⎪∉⎪⇒⎬∈⎪⎪∉⎭直线AB 与直线l 是异面直线六、异面直线所成的角 1. 定义：已知a ，b 是两条异面直线，经过空间任意一点O 作直线//,//a a b b ''，我们把直线a '和b '所成的锐角（或直角）叫做异面直线a ，b 所成的角．(1)异面直线所成的角与O 点的位置无关．(2)如果两条异面直线所成角是直角，则说这两条异面直线互相垂直，记作a b ⊥． (3)异面直线所成角的范围是______． 2. 求异面直线所成角的步骤（1）恰当选点，由平移构造出一个交角； （2）证平行关系成立；（3）把角放入三角形或其它平面图形中求出；（4）作结论：若求出的角是锐角或直角，则它就是所求异面直线所成的角；若求出的角是钝角，则它的补角才是所求异面直线所成的角． 七、直线、平面的位置关系1．空间直线与平面的位置关系有以下三种：(1)直线在平面内：如果一条直线a 与平面α有两个不同的公共点，那么这条直线就在这个平面内，记作a ⊂α.(2)直线与平面相交：直线a 与平面α只有一个公共点A ，叫做直线与平面相交，记作a ∩α＝A ，公共点A 叫做直线a 与平面α的交点．(3)直线与平面平行：如果一条直线a 与平面α没有公共点，叫做直线与平面平行，记作a ∥α. 2.两个平面的位置关系有且只有一下两种： (1)两个平面平行---没有交点 (2)两个平面相交---有一条公共直线3.顺次连接不共面的四点A 、B 、C 、D 所构成的图形，叫做空间四边形．这四个点中的各个点叫做空间四边形的顶点；所连接的相邻顶点间的线段叫做空间四边形的边；连接不相邻的顶点的线段叫做空间四边形的对角线．类型一 平面及其性质例1：(2014·邵阳一中月考)对下图的几何图形，下列表示错误的是( )A ．l ∈αB ．P ∉lC ．l ⊂αD ．P ∈α练习1：判断下列说法是否正确，并说明理由．（1）平面的形状是平行四边形（ ） （2）任何一个平面图形都可以表示平面（ ） （3）平面ABCD 的面积为10㎡（ ） （4）空间图形中，后引的辅助线是虚线（ ） 练习2：1、下列说法正确的个数（ ）①铺的很平的一张纸是一个平面；②可以一个长20cm 、宽30cm 的平面；③通常300页的书要比10页的书厚一些，那么300个平面重合在一起时一定比10个平面重合在一起厚．A 、0个B 、1个C 、2个D 、3个 练习3：若点Q 在直线b 上，b 在直线平面β内，则,,Q b β之间的关系可记作（ ）A 、Q b β∈∈B 、Q b β∈⊂C 、Q b β⊂⊂D 、Q b β⊂∈例2：如右图，已知,,,E F G H 分别为空间四边形ABCD 各边,,,AB AD BC CD 上的点，且EF GH P =I ，求证：,,B D P 共线．练习1：已知l 与三条平行线,,a b c 都相交，求证：l 与,,a b c 共面． 练习2：两个不重合的平面有公共点，则公共点的个数是（ ）A 、2个B 、有无数个且在一条直线上C 、一个或无数个D 、1个练习3：下列命题：①公理1可用集合符号叙述为：若,A l B l ∈∈且,A B αα∈∈，则必有l α∈；②四边形的两条对角线必交于一点；③用平行四边形表示的平面，以平行四边形的四边作为平面边界线；④梯形是平面图形．其中正确的命题个数为（ ）A 、1B 、2C 、3D 、4 类型二 直线及其位置关系例3：(2014·甘肃嘉峪关市一中高一期末测试)若a 、b 是异面直线，直线c ∥a ，则c 与b 的位置关系是( ) A ．相交 B ．异面 C ．平行 D ．异面或相交练习1：在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，E 、F 分别是BD 和CD 的中点，长方体的各棱中与EF 平行的有( )A ．1条B ．2条C ．3条D ．4条 练习2：空间四边形ABCD 中，给出下列说法：①直线AB 与CD 异面； ②对角线AC 与BD 相交； ③四条边不能都相等；④四条边的中点组成一个平行四边形． 其中正确说法的个数是( ) A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个PH GF EDC BA练习3：a 、b 、c 是空间中三条直线，下面给出几种说法：①若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ；②若a 与b 相交，b 与c 相交，则a 与c 也相交；③若a 、b 分别在两个相交平面内，则这两条直线不可能平行． 上述说法中正确的是________(仅填序号)．例4：已知正方体1111ABCD A B C D -,E 、F 分别为1AA 、1CC 的中点，求证:1//BF ED 练习1：已知棱长为a 正方体1111ABCD A B C D -,M 、N 分别为CD 、AD 的中点， 求证:四边形11MNA C 是梯形练习2：已知E 、F 、G 、H 为空间四边形ABCD 的边AB 、BC 、CD 、DA 上的点，若AE AB ＝AH AD ＝12，CF CB ＝CG CD ＝13，则四边形EFGH 形状为________． 例5：已知E 、1E 分别是正方体1111ABCD A B C D -的棱AD 、11A D 的中点． 求证：111BEC B E C ∠=∠练习1：如右图，111,,AA BB CC 不共面，且1111//,//BB AA CC AA ,求证：△ABC ≌△111A B C练习2：在平行六面体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，M 、N 、P 分别是CC 1、B 1C 1、C 1D 1的中点．求证：∠NMP ＝∠BA 1D .例6：如右图，已知不共面的直线,,a b c 相交于O 点，M 、P 是直线a 上 两点，N 、Q 分别是直线b 、c 上一点．求证：MN 和PQ 是异面直线． 练习1：两条异面直线是指（ ）A 、空间没有公共点的两条直线B 、分别位于两个平面内的直线C 、平面内的一条直线与平面外的一条直线D 、既不平行也不相交的两条直线练习2：下列说法正确的有__________．c ba OQP NM①两直线无公共点，则两直线平行；②两直线若不是异面直线，则必相交或平行；③过平面外一点与平面内一点的连线，与平面内的任一直线均构成异面直线；④和两条一面直线都相交的直线的两直线必是异面直线．练习3：已知,,a b a b A αββ=⊂=I I 且,//c c a α⊂，求证：b ，c 为异面直线．例7：正四面体A BCD -的棱长为a ，E 、F 分别为棱AD 、BC 的中点，求异面直线AF 和CE 所成角的余弦值．练习1：已知m 、n 为异面直线，m α⊂，n β⊂，l αβ=I ，则直线l （ ）A 、与m 、n 都相交B 、与m 、n 至少一条相交C 、与m 、n 都不相交D 、至多与m 、n 中的一条相交练习2：在棱长为1的1111ABCD A B C D -中，M 和N 分别为11A B 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是（ ）ABC 、35D 、25练习3：如右图，等腰直角三角形ABC中，90,,A BC DA AC DA AB ∠==⊥⊥o,若1DA =，且E 为DA 的中点．求异面直线BE 与CD 所成角的余弦值．1．在空间内，可以确定一个平面的条件是（ ）A 、两两相交的三条直线B 、三条直线，其中的一条与另外两条直线分别相交C 、三个点D 、三条直线，它们两两相交，但不交于同一点E 、两条直线 2．分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是( )A ．异面B ．相交C ．平行D ．异面或相交3．一条直线与两条平行线中的一条是异面直线，那么它与另一条的位置关系是（ ）A 、相交B 、异面C 、平行D 、相交或异面4．从空间一点P 分别向BAC ∠的两边,AB AC 作垂线,PE PF ，垂足分别为,E F ，则EPF ∠与BAC ∠的关系为（ ）A 、互补B 、相等C 、互补或相等D 、以上都不对5．在正四面体A BCD -中，E 为AD 的中点，则AB 与CE 所成角的余弦值为_______．_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________基础巩固1. 空间有四个点，其中无三点共线，可确定_______个平面；若将此四点两两相连，再以所得线段FE D CBA中点为顶点构成一个几何体，则这个几何体至多有_______个面． 2、三个两两相交的平面最多可把空间分为_______个部分． 3、下面6个命题：①四边相等的四边形是菱形；②两组对边相等的四边形是平行四边形；③若四边形有一组对角相等，则该四边形是圆内接四边形；④在空间，过已知直线外一点，引该直线的平行线，可能不只一条；⑤四条直线两两平行，无三线共面，它们共可确定6个平面．其中正确命题的个数是（ ）A 、0B 、1C 、2D 、34. 在正方体1111ABCD A B C D 中，与1AD 成60o 的面对角线共有（ ）A 、4条B 、6条C 、8条D 、10条5. 已已知棱长为a 的正方体ABCD －A ′B ′C ′D ′中，M 、N 分别为CD 、AD 的中点，则MN 与A ′C ′的位置关系是________．能力提升6. (2014·山东泰安肥城高一期末测试)如图，点P 、Q 、R 、S 分别在正方体的四条棱上，且是所在棱的中点，则直线PQ 与RS 是异面直线的一个图是________．7. 若直线a 、b 与直线l 相交且所成的角相等，则a 、b 的位置关系是( )A ．异面B ．平行C ．相交D ．三种关系都有可能8. 如图，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中，A 1C 1∩D 1B 1＝O ，E 、F 分别是B 1O 和C 1O 的中点，则在长方体各棱中与EF 平行的有________条．9. 如图，a ∥α，A 是α的另一侧的点，B ，C ，D ∈a ，线段AB ，AC ，AD 分别交平面α于E ，F ，G ，若BD ＝4，CF ＝4，AF ＝5，则EG ＝________.10. 如右图，正方体1111ABCD A B C D 中，求AC 与1A D 所成角的大小课程顾问签字： 教学主管签字：F ED 1C 1B 1A 1DCBA。
【数学】1.4.1 空间图形基本关系的认识 课件 (北师大版必修2)
4.1 空间图形基本关系的认识
构成空间图形的基本元素
• 点是构成空间图形的最基本的元素
• 线可看作是具有某一特点的点的集合， 也是构成空间图形的元素 • 面也可视为无数点的集合，同时也是构 成空间图形的元素 • 它们之间有什么关系呢？
阅读课本实验分析
• • • • • 试思考以下问题 1、点和直线有什么关系？ 2、点和平面有什么关系？ 3、直线与直线有哪些关系？ 4、平面与平面有什么关系？
异面直线：不在任何一个平面内的两条直线， 作图时为了表示异面直线不共面的特点通 常用一个或两个平面来衬托
例 如图是一个正方体的展开图，如果将它还 原为正方体，那么AB、CD、EF、GH这四条 线段所在的直线是异面直线的有 __________对，分别是______________？
解：3对，分别是AB、GH；AB、CD；GH、EF。
空间直线与平面的位置关 系
空间平面与平面的位置关 系
• 空间平面与平面的位置关系：平行；相 交
ห้องสมุดไป่ตู้
空间点与线的关系
• 空间点与直线的位置关系有两种：
点 P 在直线 上：
点 P 在直线 外： ；
空间点与平面的关系
• 空间点与平面的位置关系有两种：
空间直线与直线的位置关 系
平行直线：在同一平面内但没有公共点的两条直线， 记作：a∥b 相交直线：在同一平面内有且只有一个公共点的两 条直线，记作a∩b=P
北师大版高中数学必修2课件第一章空间图形基本关系的认识空间图形的公理(一)
(3)异面直线：如果直线 a 和 b 不同在□07 任何一个 平面内，这样的两条
直线叫作异面直线．
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
4．空间直线与平面的位置关系
(1)直线在平面内：如果直线 a 与平面 α 有 □08 无数 个公共点，我们
称直线 a 在平面 α 内，记作 a α.
提示
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
3．若点 M 在直线 a 上，且 a 在平面 α 内，则 M，α 间的关系为________． 提示：M∈α
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
提示
课堂互动探究
课前自主学习
课堂合作研究
随堂基础巩固
课后课时精练
例 1 (1)已知 α，β 是两个不同的平面，a，b，l 是三条不同的直线，若 a α，b α，l∩a＝A，l∩b＝B，l β，那么 α 与 β 的位置关系是________．
课后课时精练
提示
(3)把一张长方形的纸对折两次，打开以后，这些折痕之间有什么关系 呢？
提示：平行．
课前自主学习
课堂互动探究
随堂巩固训练
课后课时精练
提示
2．下列表述中正确的是( ) A．空间三点可以确定一个平面 B．三角形一定是平面图形 C．若 A，B，C，D 既在平面 α 内，又在平面 β 内，则平面 α 和平面 β 重合 D．四条边都相等的四边形是平面图形 提示：B 因为三点不共线时确定一个平面，故 A 错．C 中 A、B、C、 D 四点可在 α 与 β 的交线上．D 显然错误．故选 B.
北师大版高中数学必修二§4 空间图形的基本关系与公理
§4 空间图形的基本关系与公理4．1空间图形基本关系的认识【课时目标】学会观察长方体模型中点、线、面之间的关系，并能结合长方体模型，掌握五类位置关系的分类及其有关概念．1．空间点与直线的位置关系有两种：______________________________．2．空间点与平面的位置关系有两种：________________________________．3．空间两条直线的位置关系有三种(1)________直线——在同一平面内，没有公共点；(2)________直线——在同一平面内，只有一个公共点；(3)________直线——不同在任何一个平面内．4．空间直线与平面的位置关系有三种(1)直线在平面内——直线和平面有无数个公共点；(2)直线和平面相交——直线和平面只有一个公共点；(3)直线和平面平行——直线和平面没有公共点．5．空间平面与平面的位置关系(1)两个平面平行——两个平面没有公共点；(2)两个平面相交——两平面不重合且有公共点．一、选择题1．已知直线a∥平面α，直线bα，则a与b的位置关系是()A．相交B．平行C．异面D．平行或异面2．若有两条直线a，b，平面α满足a∥b，a∥α，则b与α的位置关系是()A．相交B．b∥αC．bα D．b∥α或bα3．若直线m不平行于平面α，且m α，则下列结论成立的是()A．α内的所有直线与m异面B．α内不存在与m平行的直线C．α内存在唯一的直线与m平行D．α内的直线与m都相交4．三个互不重合的平面把空间分成6部分时，它们的交线有()A．1条B．2条C．3条D．1条或2条5．平面α∥β，且aα，下列四个结论：①a和β内的所有直线平行；②a和β内的无数条直线平行；③a和β内的任何直线都不平行；④a和β无公共点．其中正确的个数为()A．0 B．1 C．2 D．36．若一直线上有一点在已知平面外，则下列命题正确的是()A．直线上所有的点都在平面外B．直线上有无数多个点都在平面外C．直线上有无数多个点都在平面内。
第1章 §4 第1课时 空间图形的公理(公理1、2、3)-2020秋北师大版高中数学必修二课件(共52张PPT)
[解] (1)用符号表示：α∩β＝l，a∩α＝A，a∩β＝B，如图．
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(2)用符号表示：A∈α，B∈α，a∩α＝C，C∉AB，如图．
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三种语言的转换方法
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探 新
1用文字语言、符号语言表示一个图形时，首先仔细观察图形
堂
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习
结
探
【例 2】 证明：两两相交且不共点的三条直线在同一平面内． 提
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新
素
知
[思路探究] 先说明两条相交直线确定一个平面，然后证明另外 养
合 作
一条直线也在该平面内．或利用公理 1 的推论，说明三条相交直线分
课 时
探
究 别确定两个平面 α，β，然后证明 α，β 重合．
分 层
释
作
疑
业
难
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小 结
·
探 新
1先由部分点、线确定一个面，再证其余的点、线都在这个平
提 素
知
养
面内，即用“纳入法”；
合
课
作 探
2先由其中一部分点、线确定一个平面 α，其余点、线确定另一 时 分
究
释 个平面 β，再证平面 α 与 β 重合，即用“同一法”；
层 作
疑
业
难
3假设不共面，结合题设推出矛盾，即用“反证法”.
高中数学北师大版必修二 §4.1 空间图形基本关系的认识 课件(38张)
自学导引 1．空间点与直线的位置关系 空间点与直线的位置关系有两种： (1)如果点 P 在直线 a 上 ，记作 P∈a，如图①所示． (2)如果点 P 在直线 a 外 ，记作 P∉a，如图②所示．
2．空间点与平面的位置关系 空间点与平面的位置关系有两种： (1)如果点 P 在平面 α 内 ，记作 P∈α，如图①所示． (2)如果点 P 在平面 α 外 ，记作 P∉α，如图②所示．
8．公理 3 文字语言：如果两个不重合的平面有一个 公共点 ，那么它们 有且只有一条通过这个点的公共直线． 图形语言：如图所示． 符号语言：P∈α∩β⇒α∩β＝l 且 P∈l. 作用：它是判定两个平面是否相交的依据，是证明点共线和线 共点的依据．
名师点睛 1．三个公理的作用： 公理 1——判定直线在平面内的依据． 公理 2——判定点共面、线共面的依据． 公理 3——判定点共线、线共点的依据．
(3)异面直线：如果直线 a 和 b 不同在 任何一个 平面内，这样 的两条直线叫作异面直线，如图①②③所示．
画两条异面直线时，为了充分显示出它们既不平行又不相交的 特点，即不共面的特点，通常采用平面衬托法，以加强立体感， 常见的画法如图①②③所示．
4．空间直线与平面的位置关系 空间直线与平面的位置关系有三种： (1)直线在平面内：如果直线 a 与平面 α 有 无数 个公共点，我 们称直线 a 在平面 α 内，记作 a α，如图①所示．
想一想：如何从集合的角度理解点、线、面之间的关系？ 提示 (1)直线可以看成无数个点组成的集合，故点与直线的关 系是元素与集合的关系；用“∈”或“∉”表示． (2)平面也可以看成点集，故点与平面的关系也是元素与集合的 关系，用“∈”或“∉”表示． (3)直线和平面都是点集，它们之间的关系可看成集合与集合的 关系，故用“ ”或“ ”表示．
2018-2019学年北师大版必修2 1-4-1,4-2 空间图形基本关系的认识 空间图形的公理(一) 课件(33张) (1)
课前预习
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课堂反馈
方向3 线共点问题
【例3-3】 如图所示，在四面体A－BCD 中，E，G分别为BC，AB的中点，F 在CD上，H在AD上，且有DF∶FC＝ DH∶HA＝2∶3，求证：EF，GH，BD
交于一点．
课前预习
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证明 ∵E，G分别为BC，AB的中点，∴GE∥AC. 又∵DF∶FC＝DH∶HA＝2∶3， ∴FH∥AC，从而FH∥GE.
可记为 A．M∈a，a∈α C．M 解析 a，a α B．M∈a，a D．M α ( a，a∈α )
点与直线的关系为元素与集合的关系，能用
“∈” ，直线与平面的关系为集合间的关系 ，不能用 “∈”．
答案 B
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3．设平面α与平面β相交于l，直线a 则M________l.
α，直线b
所以P∈直线DE.
答案 P∈直线DE
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5．已知a∥b∥c，l∩a＝A，l∩b＝B，l∩c＝C.求证：a，b，c
和l共面． 证明 如图，
∵a∥b， ∴a与b确定一个平面α. ∵l∩a＝A，l∩b＝B，∴A∈α，B∈α. 又∵A∈l，B∈l，∴l α.
∵b∥c，∴b与c确定一个平面β，同理l
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一是确定平 经过不在同一 公 条直线上的三 A，B，C三 点不共线⇒ 面；二是证 明点、线共
有且只有 一 理 点，
2 个平面(即可以 确定一个平面)
存在唯一的
面问题；三
平面α，使A， 是判断两个 B，C∈α 平面重合的 依据