易拉罐优化设计
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛承诺书我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。
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我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： C我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：所属学校（请填写完整的全名）：黄海学院参赛队员(打印并签名) ：1. 于才华2. 刘扬3. 王晓龙4. 郭彩霞指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：戴琳琳薛靖峰日期： 2011 年 8月 30 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛编号专用页赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）：全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要饮料罐（即易拉罐）在我们生活中随处可见，饮料的生产过程中需要大量的易拉罐。
本文研究的是易拉罐的形状和尺寸最优设计问题，在生产大量易拉罐时，可以节省易拉罐的制作材料和生产费用。
问题一，我们利用千分尺测量了一个355毫升可口可乐饮料的易拉罐各部位，列出了有关的数据表格。
问题二，我们在已知假定易拉罐是一个正圆柱体时，针对材料最省的标准，在不考虑易拉罐的盖部圆台和底部圆台的高度画出了简单的平面图。
利用问题一的数据：上、下底的厚度是罐壁厚的2倍,建立体积的目标函数，得出高是半径的4倍是易拉罐的最优设计。
我们的结果在半径与高的比值能合理说明我们所测量的易拉罐形状和尺寸。
问题三，结合问题一、二，已经给出易拉罐的中心纵断面：上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体，假定圆台和圆柱的厚度不同，列出了材料最节约目标函数，利用了非线性规划方法和LINGO软件求得最优解。
问题四，我们考虑到易拉罐的材料、安全、成本问题等方面，设计了我们自己的易拉罐的形状。
关键词：易拉罐最优设计不等式最小值数学模型一、问题的重述我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的。
看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。
当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了。
现在就请你们小组来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题。
具体说，请你们完成以下的任务：1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量你们认为验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是你们自己测量得到的，那么你们必须注明出处。
2．设易拉罐是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。
3．设易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸。
4．利用你们对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出你们自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计。
5．用你们做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，你们的论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。
二、模型假设1.假设易拉罐的制作材料都是相同的；2.假设罐体不受温度的影响而发生变化；3.忽略气体压强对造型设计的影响；4.假设实测数据的误差对验证过程不影响；5.忽略易拉罐接缝材料重叠部分的影响。
三、符号说明V：易拉罐的容积1V：易拉罐材料体积2r：罐体底面半径r：罐体圆台上表面半径1h：易拉罐体总高度h：圆台高度1h：圆柱体高度2b：罐体上表面的厚度1b：罐体下表面的厚度2b：罐体厚度四．问题分析对于问题一，引出355毫升的可口可乐饮料罐，要求我们测量它的各个部分的数据，我们首先考虑到它的形状，从而去建立数据表。
对于问题二，已经假设易拉罐是个正圆柱体，要求我们去证明它是最有设计，我们首先考虑到去画图分析易拉罐的形状和需要测量的部分的数据。
计算易拉罐在什么清下最省，也就是考虑到高与半径之比。
对于问题三，根据易拉罐的中心纵断面，我们应该考虑到易拉罐的表面积或体积，建立数学模型证明它是最优解。
对于问题四，是叫我们发挥我们的想象力，做出关于易拉罐形状和尺寸的最优设计，理想的饮料灌装容器应以下作用考虑：从保护产品、使用方便、降低成本、便于运输等方面考虑。
对于问题五，结合以前学习和实践写一篇论文，跟我们做本文思路类似。
五、模型建立与求解问题一测量模型所需的数据我们利用千分尺去测得一容积为355 ml可口可乐饮料的易拉罐各部位的数据为：问题二设易拉罐是一个正圆柱体时的最优设计假设罐体是一个规格的圆柱体，我们得到h r V 2π= ①由于易拉罐上低和下底的强度必须要大一点（经千分卡尺的实际测量结果为：上、下底的厚度是罐壁厚的2倍），因而在制造中，上、下底的厚度为罐的其他部分厚度的2倍，即b b b 221==。
根据问题一测量得到的厚度数据，我们建立如下模型： 罐体用材总体积b r hb r V 22222ππ+= ②h r V 2π= 得 2rVh π=③ ③带人②得b r rVbV 2242π+= 由不等式可得:b r r Vb r Vb V 224π++=3243b r rVb r Vb π++≥ 当且仅当r Vb b r =24π时取得最小值 π43V r = 443===πππV VrV r h即总罐高h 应为半径r 的4倍，这是易拉罐的最优设计。
这与千分尺所测量78.3:=r h 几乎一致。
这一结果同时也验证了我们所测量的易拉罐高度与半径尺寸设计的合理性。
问题三 罐体为正圆台与圆柱组合的最优模型根据问题一、问题二进一步考虑，假设易拉罐上部为正圆台下部为圆柱体。
如图2圆柱体体积表示为22h r V π=圆柱体圆台体积表示为)(3121121r rr r h V ++=π圆台从而得到罐体总体积为)(3121121221r rr r h h r V +++=ππ要求易拉罐体积一定时用料最少，且高度与半径比为4:1，在此情况下还应满足厚度为b b b 221== 则制罐用材总体积2211221212)()(222h r r b r r b rh b r b r V +-++++=ππππ建立以下数学模型2211221212)()(222min h r r b r r b rh b r b r V +-++++=ππππ⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧==>>>+++=12.0335000)(31..11221121221b V r r h h h r rr r h h r V t s ππ利用LONGO 数学软件（另见附页一）得出⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=====7481.1204354140.059339.3072515.29158.4159min 112h h r r V问题四 易拉罐的最优设计我们考虑到所设计的易拉罐在以节省材料的前提下保证运输方便、安全、和美学等的合理程度，受到隧道拱形结构的提示（如图3）设计出一下罐体简化示意图（图4）此拱形结构可使的罐壁两侧材料相对薄从而节省出出少许材料，将省出的材料用于上盖和底面的容积扩充，从而保证355ml 的容量。
同时拱形结构也保证了罐体在1.5-2pa 气体压强的情况下的结构稳定性。
且此设计也便于叠放、码堆等各种运输。
此方案的设计与常规直体易拉罐相比更符合人体力学的要求，方便各年龄段人员的拿放使用。
且更安全，外形大胆创新，有更好的创造性。
六、模型的评价与推广模型的评价：1.最大限度的节约了罐体的材料和生产成本。
2.易拉罐最优设计的模型简单明了，易于理解。
3.模型的基本思路比较清晰。
4.使用LINGO，使得计算更加精确。
5.设计创新。
模型的推广：1.本文考虑的是易拉罐的的形状和尺寸的最优设计问题，我们建立的数学模型可以推广到油罐的设计用于运输问题和食品罐存储的相关领域，从而节省生产成本和提高经济效益。
2.新罐体的设计运用到日常生活中会取得人们的新奇，在成本不增长的情况下提高产品的销售。
七．模型的改进1.我们建立的模型都是考虑在易拉罐各部分的材料相同和简化了模型的计算，细节方面有待提高。
2.易拉罐的设计运用到了力学、美学和材料等知识，单单凭借数学计算还是很片面的，我们还应联系实际工作经验做出最完美的结果。
3. 我们建立的模型都是考虑在易拉罐各部分的材料相同。
4. 设计出的新罐体没有数据的支持，还应进行数学运算并考虑到日常生产等方面是否合理。
八．建模感想数学模型(Mathematical Model)是通过利用数学符号来解决一些实际问题，需要对问题做出分析与假设并列出相关数据，运用数学工具MATLAB软件计算以得出相关结论并验证结论的正确性的过程，达到解决实际问题的目的。
而数学模型是一种数学的思考方法，是运用数学的语言和方法，通过抽象、简化建立能近似刻画并"解决"实际问题的一种强有力的数学手段。
根据以前学习和实践数学建模的亲身体验，我们组把数学建模基本步骤可以归纳为以下：1了解问题的实际背景，明确其实际意义，掌握对象的各种信息。
用数学语言来描述问题.2.要把实际问题“翻译”成数学问题开始进行分析。
3.需要观察实际生活当中细节，像此题中的易拉罐模型是对易拉罐进行了观察，并上网搜集相关数据进行整理。
4.对某些实际问题进行简化，抽象并做出假设。
像此题中我们对易拉罐简化成圆柱体进行求解。
5.针对具体题目设出相关变量及参数，并对其做出合理详细的解释。
6.确定相关变量和参数之间的数学关系，深一步研究数学模型使其得到更加广泛的应用。
7.根据所建立的数学模型，运用数学工具例如（MATLAB）进行相关计算。
8.在得出计算结果后，可能会存在一定的误差，需要还原到实际问题进行深一步验证与分析，得出结论。
在模型建立过程中，我们发现存在着三个难点：1.怎样由实际问题到抽象之间的转换，同时要考虑对问题进行假设和分析;2.采用哪种数学方法和工具建立模型，设立相关数据变量及参数使模型简单具体化；3.怎样验证数学模型是否合理。
参考文献【1】千分尺的使用，/question/227997641.html 【2】赵静，但琦编，数学模型与数学试验，高等教育出版（2007）【3】问题解决的数学模型方法，刘来福，曾文艺编著，问题解决的数学模型方法，北京师范大学出版社（1999）【4】拱形结构受力分析图。
易拉罐形状和尺寸的最优设计
易拉罐形状和尺寸的最优设计（06全国一等奖）摘要任何企业都希望能投入最少的成本以获得最大的利润，我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料的饮料罐（即易拉罐）的形状和尺寸几乎都是一样的，这并非偶然，应该是某种意义下的最优设计.本文以饮料量为355毫升的易拉罐为例来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题，解决了以下五个问题.对于问题一，我们测得易拉罐顶盖直径为5.9cm，顶盖到底面的高为12cm，侧面的高为12.3cm，中间胖的部分的直径为6.6cm、周长为20.8cm，并在网上查得侧面与顶盖、底面厚度之比为1:2.对于问题二，本文以易拉罐所耗材料的费用达到最小来考虑，由于易拉罐各部分单位面积的价格难以确定，本文通过各部分单位面积的价格与相应厚度的关系，将目标函数由求所耗材料的最小费用转化为求所耗材料的最小体积，罐的容积是一定的（355毫升），即为目标函数的约束条件，所以我们建立了一个非线性优化模型.根据拉格朗日乘数法并用Matlab软件编程，求得此时易拉罐的最优设计为半径和高之比是1:4，其结果可以合理地说明我们所测量的易拉罐的形状和尺寸.对于问题三，本文运用问题二的方法建立了一个非线性优化模型，根据拉格朗日乘数法并用Matlab 软件编程，求得此时易拉罐的最优设计为——上面部分为圆锥体（下底半径为3.45cm，高为3.09cm）、下面部分为圆柱体（高为8.45cm），其结果与本文所测量的易拉罐的形状和尺寸并不符合.然后本文通过合理性和可行性分析，发现本文求得的是耗用材料最省的最优设计，但从美感、物理、力学、工程或材料方面考虑，与实际的设计相比实用性稍差.对于问题四，本文从耗材上的节省，以及外形的美观和可行性等方面设计了自己的关于易拉罐形状的最优设计——正椭圆柱体的易拉罐.运用问题二的方法建立了一个非线性规划模型，并通过Matlab 软件编程求得了比较合理的尺寸，求得：椭圆柱体上下底面的半径为 1.8h cm=，中间=，高为11.6r cm最胖部分的半径为3.6cm.另外，本文从不同的角度分析了这一设计的优缺点.对于问题五，我们根据做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写了一篇短文，阐述了什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点等.最后，本文对问题二、问题三、问题四的模型及结果进行了分析和评价.此外，对于问题四，我们求出了易拉罐为正椭圆柱体时的最优设计.用同样的方法，我们可以解决易拉罐为其它形状时的最优设计,如易拉罐的中心纵断面为双曲线的旋转体.另外,从消费者购买欲望的角度分析，最优设计还要考虑消费群体不同需求的偏好，不同的消费群体对产品的偏好是不同的.关键词：易拉罐非线性优化模型拉格朗日乘数法正椭圆柱问题重述我们只要稍加留意就会发现销量很大的饮料 (例如饮料量为355毫升的可口可乐、青岛啤酒等) 的饮料罐(即易拉罐)的形状和尺寸几乎都是一样的.看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计.当然，对于单个的易拉罐来说，这种最优设计可以节省的钱可能是很有限的，但是如果是生产几亿，甚至几十亿个易拉罐的话，可以节约的钱就很可观了.以饮料量为355毫升的易拉罐为例来研究易拉罐的形状和尺寸的最优设计问题，现需解决五个问题，具体如下：问题一：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度，厚度等，并把数据列表加以说明；如果数据不是自己测量得到的，必须注明出处.问题二：⑴易拉罐是一个正圆柱体，什么是它的最优设计？⑵其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等.问题三：⑴易拉罐的中心纵断面如下图所示，即上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体.什么是它的最优设计？⑵其结果是否可以合理地说明你们所测量的易拉罐的形状和尺寸.问题四：通过对所测量的易拉罐的洞察和想象力，做出自己的关于易拉罐形状和尺寸的最优设计.问题五用做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文(不超过1000字，论文中必须包括这篇短文)，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点.问题分析任何企业都希望能投入最少的成本以获得最大的利润，要使易拉罐的设计达到最优即所耗材料费用应最省，因此我们可以将所耗材料费用看成是我们所要求的目标函数.材料费用通常是以单位面积来衡量的，从制造工艺的角度来看，侧面和顶盖、底面的造价是不同的，通常底面造价比侧面造价要高，这主要取决于底面比侧面厚度要大，因为如果底面和侧面一样薄，就很难将易拉罐拉开；如果侧面和底面一样厚，则浪费材料. 易拉罐总的费用应为顶盖、底面和侧面的面积乘以各自相应单位面积的造价，而底面和侧面的造价与其相应的厚度有关，厚度越大造价越高，反之，厚度越小造价越低.又表面积乘以厚度为体积，从而我们可以将目标函数由求所耗材料的最小费用转化为求所耗材料的最小体积.我们在全文数据库中查得：铝制易拉罐的罐体采用的生产工艺是一次成型的，它并不要从一块大的铝片上裁下材料[1].所以，我们不用考虑余料的问题，只需考虑现在所耗的材料.罐的容积是一定的（355毫升），即为目标函数的约束条件.综合以上分析，对于问题二、问题三、问题四，我们可以建立一个以易拉罐所耗材料体积为目标函数，罐的容积为约束条件建立一个非线性优化模型.模型建立与求解1、对于问题一易拉罐的中心纵断面如下图所示，记为图①：图① 易拉罐的中心纵断面我们利用直尺、一条窄的无伸缩的薄纸条和游标卡尺测得：易拉罐侧面的高h 为12.3cm ，顶盖到底面的高1h 为12cm ，中间胖的部分的高2h 为10.2cm ，顶盖直径1d 为5.9cm ，中间胖的部分的直径2d 为6.6cm 、周长为20.8cm .在网上查得资料，侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为1:2[2].⑴ 模型建立当易拉罐是一个正圆柱体时，图形可用下图表示，记为图②（说明：侧面厚度和底面厚度应该是很薄的，为了方便图形的标识，就将其实际厚度扩大了很多倍）.底面厚度半径r图② 易拉罐的中心纵断面设易拉罐的侧面厚度为d ，底面外侧圆半径为r ，罐高为h ，罐的容积为V ，侧面所用材料的体积为V 侧，顶盖和底面所用材料的体积之和为V 底，所用材料体积为V 材.其中，d 和V 是固定参数，r 和h 是自变量，V 材为因变量.由第一问在网上查到的资料“侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为1:2”，得底面厚度为2d ； 侧面所用材料的体积为：22[()]V r r d h ππ=--侧；顶盖和底面所用材料的体积为：22()2V r d d π=⨯-⨯底；222[()]2()2V V V r r d h r d dπππ ∴=+ =--+-⨯侧材底且2()(22)V r d h d π=-⨯-⨯综上，我们可以建立以下的数学模型：222min (,)[()]2()2(,)355..0,0V r h r r d h r d dV r h s t r h πππ =--+-⨯=⎧ ⎨>>⎩材 ┈┈┈┈┈┈┈模型①⑵ 模型求解根据我们所建立的模型，即要在罐的容积一定的情况下求使所用材料体积最小的半径和高之比.由模型可以看出，这是一个多元函数条件极值问题，可以由拉格朗日乘数法[3]来求解.引入参数λ，函数(,)(,)355r h V r h ϕ=-，令(,,)(,)(,)L r h V r h r h λλϕ=+材要求L 的极值，即其对r h λ、、的一阶偏导数为零，则：00(,)0V L rr r V L hh h L r h ϕλϕλϕλ∂⎧∂∂=+=⎪∂∂∂⎪∂⎪∂∂=+=⎨∂∂∂⎪∂⎪==⎪∂⎩材材 通过在Matlab 软件下编程（程序见附录中的程序1），求得：223:1:43.0460.4313(3.046)0.8626(3.046)0.431312.18.r h r d h d d d d d ==+=⨯+-⨯++⨯+；；即易拉罐是正圆柱体时的最优设计为：半径和高之比是1:4.我们所测量的易拉罐的顶盖直径为：5.9cm ，从顶盖到底面的高为：12cm ，从而我们所测的易拉罐的半径和高之比为：(5.92):121:4.0678÷≈因此，我们根据模型所求得的易拉罐的半径与我们测量得到的半径相差不大，且易拉罐的半径与高之比和我们所测的易拉罐的半径与高之比也基本吻合.⑶ 验证:1:4r h =使V 材达到最小要验证:1:4r h =使V 材达到最小，我们只需验证r 使V 材达到最小.由2()(22)V r d h d π=-⨯-⨯,可得:24()V h d r d π=+- 2222[()]42()2()V V r r d d r d d r d ππππ∴=--⨯++-⨯-材 计算''V 材,通过在Matlab 软件下编程（程序见附录中的程序2），求得:2''75.3865d+24.7500d V =材，其中0d >，故''0V >材.又由于在前面我们已经求得 3.046r d =+，所以，这个 r 的确使V 材 达到局部最小, 因为临界点只有一个, 故也使V 材达到全局最小.3、对于问题三⑴ 模型建立当易拉罐的上面部分是圆台、下面部分是正圆柱体时，图形可用下图表示，记为图③.半径高度1h半径2r图③ 易拉罐的中心纵断面设圆台上底面半径为1r ，下底面半径为2r ，圆台的高为1h ，圆柱体的高为2h ，侧面（包括圆台侧面和圆柱体侧面）厚度为d ，罐的容积为V ，侧面（包括圆台侧面和圆柱体侧面）所用材料的体积为V 侧，顶盖和底面所用材料的体积之和为V 底，所用材料体积为V 材.其中，d 和V 是固定参数，1r 、2r 、1h 和2h 是自变量，V 材为因变量.由第一问在网上查到的资料“侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为1:2”，得底面厚度为2d ； 又由于圆台的表面积和体积可以表示如下：圆台的表面积22()S r rl Rl R π=+++圆台表，圆台的体积'2211()()33V S S h r rR R h π=+=++圆台（其中，r R 、分别为圆台上底、下底半径，h 为圆台的高，l 为圆台的母线）可得：侧面所用材料的体积为：2212222[([()]V r r d r r d h πππ=+⨯+--侧；顶盖和底面所用材料的体积为：2212[()]2V r r d d ππ=+-⨯底；1212(,,,)V r r h h V V ∴=+侧材底 且22211212221(2)[()()]()(2)3V h d r r d r r d r d h d ππ=-+-+-+-⨯-综上，我们可以建立以下的数学模型：121212121212min (,,,)(,,,)355..0,0,0,0V r r h h V r r h h s t r r h h =⎧ ⎨>>>>⎩材┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈模型③ ⑵ 模型求解根据我们所建立的模型，即要在罐的容积一定的情况下求使所用材料体积最小的半径和高之比.由模型可以看出，这是一个多元函数条件极值问题，可以用拉格朗日乘数法来解决这一问题. 引入参数λ，函数12121212(,,,)(,,,)355r r h h V r r h h ϕ=-，令121212121212(,,,,)(,,,)[(,,,)355]L r r h h V r r h h V r r h h λλ=+-材要求L 的极值，即其对1212,,,,r r h h λ的一阶偏导数为零，则：12121112221112220000(,,,)0V L r r r V L r r r V L h h h V L h h h L r r h h ϕλϕλϕλϕλϕλ∂⎧∂∂=+=⎪∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪=+=∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪=+=⎨∂∂∂⎪⎪∂∂∂⎪=+=∂∂∂⎪⎪∂⎪==∂⎪⎩材材材材 通过在Matlab 软件下编程（程序见附录中的程序3），求得两组可行解，具体如下所示： 1 4.211820119.10820r r h h ====、、、 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈解①12120 3.4527 3.08848.4498r r h h ====、、、 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈解②根据解①可以知道易拉罐是一个倒立的圆锥，显然不符合实际情况，故舍去这组解，我们取解②. 我们对结果保留两位小数，即圆台上底面半径为0，圆台的高为3.09cm ，圆台下底面半径也即圆柱体底面半径为3.45cm ，圆柱体的高为8.45cm ，此时易拉罐上面部分是一个圆锥体.⑶ 模型结果分析① 与实际测量的数据进行比较我们所测的顶盖直径为5.9cm ，中间胖的部分的直径为6.6cm ，侧面的高为12.3cm .根据我们的模型算得的结果与实际测的结果并不符合.② 合理性分析从耗用材料方面来说，我们建立的模型是耗用材料最省的最优设计.我们所求得的结果是满足材料最省的，由我们的模型在Matlab 下编程求得易拉罐耗用的材料体积为308.46d （d 为侧面厚度），而根据我们实际测量的数据求得易拉罐耗用的材料体积为357.45d ，故我们求得的易拉罐的最优设计比实际中的易拉罐耗用材料要省.③ 可行性分析根据我们求得的结果，易拉罐上面部分不是圆台而是一个圆锥体，这明显不符合实际，因为易拉罐的上顶面要留有拉环的位置.为什么我们求得的最优设计不符合实际的情况？主要原因有以下几点：第一，从美学角度上来讲.任何产品的设计都要注意包装要给人以美感，设计时要考虑消费者的审美习惯，使消费者能从包装中获得美的享受，并产生购买欲望.[4]我们根据实际测量的数据，发现易拉罐胖的部分的直径与胖的部分的高的比为：6.60.647110.2≈，很接近黄金分割率0.618.黄金分割率可以衡量平面图形美与不美，易拉罐下面部分的圆柱体的轴截面是矩形，如果它的轴截面的宽长之比满足黄金分割率，看起来就比较美观，说明这种设计并不是巧合，而是从外观的美感上作了研究的.而根据我们模型计算的结果，易拉罐胖的部分的直径与胖的部分的高的比为：21222 3.45270.59853.08848.4498r h h ⨯=≈++，这也很接近黄金分割率，满足了我们设计上美感的要求，从这一点上也可以说明我们的模型是有一定合理性的.但我们求的拉罐上面部分是一个圆锥体，从严格意义的美感上来讲不符合实际的情况.第二，从物理、力学、工程或材料方面考虑.[5]底面是上拱的底面，顶盖实际上也不是平面的，略有上拱，从顶盖到胖的部分的斜率为 0.3, 这些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊接(粘合) 很牢固、耐压.所有这些都是物理、力学或材料方面的要求，必须要有有关方面的实际工作者或专家来确定.而我们的模型考虑的易拉罐的底面和顶部都是平面的，并且没有考虑坡度，实用性稍差.4、对于问题四⑴ 模型分析根据几何学原理，同体积的几何形状，以球体的表面积最小，也就是说容积一定时，做成球形时所耗用的材料最省.单以材料最省为目标的话，易拉罐的最优设计就是球形.但是考虑实际情况，球形不容易运输、不能静止放置等等有太多的缺点，故我们舍去这种想法.根据球形和放置方便等情况，再考虑对称美，我们想到把球体上下各切掉相等的一部分，这样可以解决放置问题，用图形表示如下所示，记为图④：图④ 易拉罐的中心纵断面根据图形，我们可以看出来它的形状是矮胖形，十分不美观，且很不方便握拿.由以上的分析，我们就尝试把易拉罐做如下图所示的形状，记为图⑤：图⑤ 易拉罐的中心纵断面也就是一个椭圆体上下部分各切掉相等的一部分.再考虑美观，我们引入黄金分割，即我们可以让易拉罐的宽（这里我们取易拉罐最胖部分的直径，即为椭圆柱体的中心纵断面的短轴长）跟易拉罐的高之比等于黄金分割率.⑵ 模型建立设侧面厚度为d ，底面外侧圆半径为r ，罐高为h ，罐的容积为V ，侧面积为S ，侧面的高为h ，侧面所用材料的体积为V 侧，顶盖和底面所用材料的体积之和为V 底，所用材料体积为V 材，椭圆柱体的中心纵断面的长半轴为a 、短半轴为b .其中，d 和V 是固定参数，r 、h 、a 、b 是自变量，V 材为因变量.由第一问在网上查到的资料“侧面的厚度与顶盖、底面的厚度之比为1:2”，得底面厚度为2d ；我们又利用黄金分割的思想，令易拉罐的宽（这里我们取易拉罐中间最大值）与易拉罐的高之比等于黄金分割率，即：212b h =. 为了方便求椭圆柱的侧面积，我们以椭圆柱体的中心纵断面的长轴为x 轴、短轴为y 轴、以长轴和短轴的交点为原点建立直角坐标系，用下图表示,记为图⑥：a - x - 0 x a x 轴b -图⑥侧面积()xx S A x dx -=⎰ （其中，()A x 表示过点x 且垂直于x 轴的截面的周长）罐的容积()xx V B x dx -=⎰ （其中，()B x 表示过点x 且垂直于x 轴的截面面积）侧面所用材料的体积为V S d =⨯侧；顶盖和底面所用材料的体积为：22()2V r d d π=⨯-⨯底；(,,)V r a b V V ∴=+侧材底且355(V =毫升）综上，我们可以建立以下的数学模型：min (,,)(,)355..0,0,0V r a b V a b s t r a b =⎧ ⎨>>>⎩材 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈模型④ ⑶ 模型求解根据模型，在Matlab 软件下编程（程序见附录中的程序4），求得五组可行解，其中有两组解可以满足我们的情况，这两组解如下：6.2 3.7121234*()a cm b cm h cm r cm s d = ====、、、、立方厘米 ┈┈┈┈┈解③6.7 3.611.6 1.8271.5*()a cm b cm h cm r cm s d =====、、、、立方厘米 ┈┈┈解④⑷ 结果分析在五组解中我们选了两组能满足我们情况的解，即解③和解④.先分析解③.单从材料最省来考虑，那么解③是比较可行的，但是我们可以看到这种情况下半径只有1cm，考虑放置问题的可行性，这种情况是不利于放置的.再分析解④.虽然就用料方面比解③那种情况要多一些，但是它的底面半径有1.8cm，应该是比较有利于放置的.所以我们认为第二种情况更为可行，于是我们取第二种情况的数据.另外，根据我们所得到的五组实数解，不难发现长轴长与短轴长相差越远所用的材料越多；反之，它们相差越小时，所用的材料越少.那么当长轴与短轴长度相等时，所耗用的材料应该是最少的，这也就是当易拉罐是球形时,所用的材料是最小的，从而也验证了此结果的合理性.5、对于问题五对数学建模的体会及认识我们的日常生活中无时无处不存在数学建模问题，例如：如何有效控制病毒的传播、如何进行生产使获利最大、如何节约水资源等等都离不开数学建模.数学建模让我们切身感受到了科学知识提高生产效率、改善生活质量的伟大力量，提高了我们的科研能力和团队合作精神.通过实践数学建模，我们对什么是数学建模、它的关键步骤以及难点有了比较深刻的认识.一、什么是数学建模？数学建模是运用科学方法，通过观察和想象，对实际问题进行抽象、简化，反复探索、逐步完善，直到构造出一个能够用于分析、研究和解决实际问题的数学模型.因此，数学建模不仅是一种定量解决实际问题的科学方法，而且还是一种从无到有的创新活动过程.二、数学建模的关键步骤数学建模的基本步骤可以用下图来表示，记为图⑦：否否图⑦数学建模的基本步骤图我们觉得在这7个基本步骤中关键的步骤有有以下3个：⑴模型假设模型假设是把那些反映问题本质属性的形态、量及其关系抽象出来，简化掉那些非本质的因素，使之摆脱原型的具体复杂形态，形成对建模有用的信息资源和前提条件.⑵模型建立模型建立是在模型假设的基础上，选择恰当的数学工具和构造模型的方法对其进行表征，构造出刻划实际问题的数学模型.⑶模型应用模型应用是数学建模的宗旨，也是对模型的最客观、最公正的检验.因此，一个成功的数学模型，必须根据建模的目的，将其用于分析、研究和解决实际问题，充分发挥数学模型在生产科研中的特殊作用.三、数学建模的难点我们觉得数学建模的难点有3点，具体如下：⑴怎样针对实际的问题作出合理的假设.这是建模至关重要的一步，一个实际问题往往是复杂多变的，如不经过合理的简化假设将很难转化成数学模型，即便转化成功也可能是一个复杂且难于求解的模型.⑵怎样采用合适的方法求解模型.对于较为复杂的问题，模型即使建出来但可能解不出来，所以，我们要选择合适的算法来求解模型.⑶怎样检验模型是正确合理的.如果模型不合理就没有其实用价值，就又得重新建立一个合理的模型.另外，我们觉得建一个合理的模型只依靠数学知识是远远不够的，必须对所研究问题的背景有很深入的了解，就拿本题的第三问来说，我们设计的易拉罐的确是用料最省的，可是其形状并不符合实际，这主要是我们对背景知识的了解并不够透彻，第三问不仅仅是要满足用料最省，还要从美感、物理、力学、工程或材料等方面来考虑.评价与推广对于问题二，在计算过程中我们考虑了制成易拉罐的铝片的厚度，用拉格朗日乘数法进行求解得到最优值，其误差很小，而且我们最后得出的结论具有普遍性.对于问题三，如果考虑易拉罐的厚度，在用拉格朗日乘数法进行求解时，由于所求的方程组太复杂，计算机运行时间太长，无法得到结果.根据分析，我们发现易拉罐的厚度对结果的影响不大，因此，我们在计算时可以忽略易拉罐的厚度进行近似求解，这一近似的求解误差也是非常的小.对于问题四，由于相同体积下球的表面积是最小的，根据这一条件，我们从耗用量上料的节省、美观及可行性等方面设计了自己的关于易拉罐形状的最优设计——正椭圆柱的易拉罐.以椭圆柱为模型生产易拉罐，可以使厂家的生产成本减小，但是在装运方面与现在市场上的易拉罐形状比起来相对逊色很多,从而会增加装运成本.另外,我们求出了易拉罐为椭圆柱体时的最优设计.用同样的方法，我们可以解决易拉罐为其它形状时的最优设计,如易拉罐的中心纵断面为双曲线的旋转体.从消费者购买欲望的角度分析，最优设计还要考虑消费群体不同需求的偏好，不同的消费群体对产品的偏好是不同的. 经济学总是假设人们试图得到最偏好的结果，通常，我们可以模型化这个人试图最大化什么，例如欲望、货币、效用，这样我们就把人们的决策模型化为了最优化问题.。
易拉罐(张)
易拉罐的优化设计摘要：如何设计易拉罐的外观与尺寸,以达到材料成本的最小化是本文讨论的重点问题。
本文作者解剖了可口可乐易拉罐(355ml)，实测得到各部位数据。
在此基础上，针对不同形状的易拉罐建立了两个模型。
模型一，外形基本特征为正圆α,，运用拉格朗日乘数法得出用料体积的最优柱体，设定上、下底厚度参数β解，经验证实测数据差距较大。
模型二，外型基本特征为上半部分是正圆台，下半部分是正圆柱体，设定上下底厚度相同，建立非线性规划模型，给出上下底半径差值的可行区间，运用MATLAB求得多组可行解，结合制作工艺实施的可行性，引入圆台侧壁倾斜角θ作为筛选条件得到的最优解能较合理地说明实测结果。
并自行设计了一种易拉罐模型，从用料、工艺、外型阐述了该设计的优缺点。
关键词：易拉罐；拉格朗日乘数法；优化设计；非线性规划模型一、问题重述观察可口可乐，青岛啤酒的易拉罐（355毫升装），我们注意到一个有趣的现象，不仅形状相同，而且尺寸相同。
难道这仅仅是一种偶然的巧合，还是大师的最优设计。
一种易拉罐设计成这种形状，这是一种创意。
而像可口可乐，青啤这样生产量达到几亿，甚至几十亿个的大公司，所设计的外型，那不仅仅是创意，必定还考虑到注意用料，合理贮运，人性化设计等特点，这也激发了我们对可乐罐的设计研究。
(1)测量一个355毫升的可口可乐易拉罐的尺寸，并将测得数据列出表格加以说明；(2)当易拉罐为正圆柱体时，设计它的最优形状和尺寸设计，例如半径和高之比等；(3)当易拉罐的上面部分是一个正圆台，下面部分是一个正圆柱体时，给出易拉罐形状和尺寸的最优设计；(4)利用自己对所测量的易拉罐的洞察和想象力，设计出关于易拉罐的形状和尺寸的最优设计。
二、问题分析问题一分析：根据题目中所要求，我们运用游标卡尺测量出一个355毫升的可口可乐饮料罐的各部分结构尺寸，其中包括易拉罐的直径、高度、厚度以及一些其他所需尺寸，因为罐体拉伸工艺的要求，所以使得在易拉罐的不同表壁处存在着薄厚不均，这也影响到测量值的准确性。
产品创新设计作业——易拉罐的设计
产品创新设计作业——易拉罐的设计在现代生活中，易拉罐被广泛应用于各种饮料的包装。
然而，随着人们对环境保护的关注日益增加，那些传统易拉罐的设计和材料却逐渐成为了问题。
因此，为了更好地适应市场需求，提高易拉罐的使用体验并减少对环境的负担，我设计了一款全新的易拉罐。
首先，我将易拉罐的形状进行了改变。
传统的易拉罐在使用后变形成为了废品，很难再次利用。
而我设计的易拉罐具有可塑性，可以根据使用者的需求进行形状的调整。
例如，在瓶装饮料的市场需求日益增加的情况下，易拉罐可以通过拉伸来改变形状，成为可以重复使用的瓶装容器，从而延长其使用寿命。
其次，在易拉罐的材料选择上，我采用了可降解材料。
传统的易拉罐是由铝制成的，铝是一种不可降解的材料，在处理过程中会对环境造成污染。
而我选择了可降解的塑料材料作为易拉罐的主要材料，这种材料在不使用后能够迅速分解，对环境影响较小。
除了形状和材料的改变，我还在易拉罐的开口设计上进行了创新。
传统的易拉罐在打开时需要使用开瓶器等工具，不方便且容易造成伤害。
而我设计的易拉罐在开口部分采用了磁力设计，只需将一个特定的磁铁靠近易拉罐的开口，磁力就会引起开口部分的自动撕裂，方便快捷。
此外，在易拉罐的喝嘴设计上，我考虑了人们饮用饮料时的舒适感。
传统的易拉罐的喝嘴是比较硬的金属材质，喝起来不够舒适，容易磨伤嘴唇。
而我设计的易拉罐的喝嘴采用了软质材料，给人们更好的使用体验，同时也减少了使用过程中对嘴唇的伤害。
最后，为了增加易拉罐的储存和携带便利性，我在设计中加入了一些创新的功能。
例如，易拉罐可以通过连接器的设计，方便地进行扎堆储存，减少占用空间。
另外，易拉罐的底部设计了一些凹槽，可以用来固定杯托或者咖啡杯，使得使用者可以在不使用杯子的情况下直接喝饮料。
总结起来，我设计的易拉罐在形状、材料、开口、喝嘴和功能等方面进行了创新，旨在提高易拉罐的使用体验并减少对环境的负担。
通过这些创新设计，我相信这款全新的易拉罐能够更好地满足使用者的需求，并在市场上取得成功。
废旧易拉罐改装方案
废旧易拉罐改装方案废旧易拉罐是我们日常生活中产生的一种常见的废弃物品，然而，这些废旧易拉罐在经过一些简单的改装之后，可以变成有用的物品，进而发挥出新的作用。
本文将为您介绍几种创意的废旧易拉罐改装方案。
1. 灯罐将废旧易拉罐改装成各种创意的灯罐可以为您的室内环境增添一份独特的装饰。
首先，您需要将易拉罐清洗干净，并用剪刀将罐体底部剪开形成一个开口。
然后，在罐体的表面绘制您喜欢的图案或者贴上彩色纸片，让罐子变得美观。
接下来，您可以在开口处安装一个LED灯泡，将其固定在容器的内部。
最后，用电线连接灯泡和电源，一个独特的废旧易拉罐灯罐就制作完成了。
2. 种植罐废旧易拉罐还可以改装成小型的种植罐，让您在有限的空间内也能享受到种植的乐趣。
首先，将易拉罐进行清洗并剪开一个较大的开口，作为植物的出口。
然后，在罐体的表面刷上一层耐水底漆，以防止罐体生锈。
接下来，您可以选择将土壤填充到易拉罐中，并在土壤中种植您喜欢的花草或者蔬菜。
记得定期浇水并给予适当的光照，让植物茁壮成长。
3. 存储罐废旧易拉罐还可以改装成小型的储存罐，方便您整理和存放各种小物件。
首先，您需要将罐体进行清洗并剪开一个较大的开口，以方便放入和取出物品。
然后，您可以根据个人喜好，对罐体进行装饰，如喷绘图案、贴上装饰性贴纸等。
接下来，您可以将易拉罐储存罐安放在书桌、收纳柜等地方，用于存放文具、零食或者其他小物件，提高空间利用效率。
4. 玩具罐改装废旧易拉罐还可以制作各种有趣的玩具，为孩子们带来乐趣和创意。
例如，您可以将易拉罐中空罐体的两端剪开，然后在罐体表面刷上鲜艳的颜色，再进行一些装饰，如贴上眼睛、鼻子等，制作成各种动物的玩具。
您还可以在罐体的底部打洞，将轮子固定到底部，并将手柄粘贴在罐体一侧，制作成滑稽可爱的玩具车。
只要充分发挥创意，废旧易拉罐可以变成孩子们的乐园。
5. 音箱罐废旧易拉罐还可以改装成小型的音箱罐，让您随时随地享受到音乐的陪伴。
首先，您需要将易拉罐清洗干净，并在罐体的底部剪洞以放置音箱。
易拉罐形状和尺寸的最优设计
关键词：易拉罐 最优设计
一、问题的提出
每年我国易拉罐的使用量是很大的，（近年我国每年 用易拉罐亿只），如果每个易拉罐在形状和尺寸作优化设 计，节约一点用料，则总的节约就很大了。为此提出下述 问题：
1：取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口 可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各 部分的直径、高度、厚度等，并把数据列表加以说明。
4
故
v r3
是 s ( r ) 的最小值点。
4
此时，易拉罐的直径
D 2r 2 3 v
4
易拉罐的高 hv r2v3(4v 2)2434v 4r2D
4.结果分析
上述模型及其求解得到的结论是：在正圆柱体易拉罐体积一 定时，当高与直径之比为2：1时，易拉罐的用料最省。 即为考虑用料最少，正圆柱体易拉罐的的高与直径之比为2：1是 最优设计。 此结果正好符合实际大多数易拉罐的形状和尺寸。如我们所测的 355毫升的可口可乐易拉罐高104，直径65，（比例2：1.06）， 其它355毫升的易拉罐如青岛啤酒、百威啤酒、统一冰红茶、统 一鲜橙多等其比例都如此。 又如 180毫升的雀巢咖啡高10.5mm,直径54mm（比例为2：1.02）。
对问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2：1的条件下 ，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分 一定而研究此正圆台的用料优化设计。
圆台面积s(r)r2(R r) 2(r2 9 r v R 2R 2)2 (R r)2
用数学软件求得最优解r=1.467, h=1.93时，s=４5.07最小 。
问题二再解 上述问题二的解中，是基于一个重要假设：“易拉罐顶盖厚
易拉罐的形状和尺寸的最优设计
易拉罐的形状和尺寸的最优设计摘要本文讨论了以假设易拉罐的上、下底面及侧面所用材料相同为前提，在相同体积情况下，哪种形状的易拉罐所用材料最少。
将易拉罐设计成正圆柱体，分析并建立了非线性规划模型，用连续函数求极值的方法，获得结果；探讨了易拉罐形状为由上面圆台和下面正圆柱体组成的最优化设计，建立了非线性规划模型,分别用隐函数求导数和拉格朗日乘子两种方法求解；最后采用相同体积时球体表面积最小这一数学结论，以及便于运输和放置的实际状况，我们把易拉罐形状设计为用两个平面截去顶部后的圆台，建立非线性规划模型。
也尝试用旋转曲线建立球体最优设计。
通过计算对比结果,第二种形状(目前使用易拉罐形状)是最优的。
本文还对模型进行了推广。
关键词: 非线性规划拉格朗日定理隐函数一．问题重述日常生活中，我们稍加留意就会发现很多的饮料罐(即易拉罐)形状和尺寸几乎都一样。
看来，这并非偶然，这应该是某种意义下的最优设计。
当然，单个易拉罐的生产，对资源充分利用，节约生产成本并不明显。
但如果生产的数量非常多的话，那么节约的钱就很可观了。
为什么不同工厂的易拉罐采用统一规格？从数学的角度怎样给予合理的解释？易拉罐的圆柱底面圆的直径与圆柱的高的比是多少才为最优？和现实中的实际情况有什么差异，为什么？假设易拉罐的上、下底面及侧面所用的材料相同，则在相同的体积情况下，哪种形状和尺寸的饮料罐所用的材料最少则成本就越低，也就最合理。
需要研究的内容:(1) 对现实生活中易拉罐(可口可乐罐为例)的准确测量,包括罐体形状,尺寸等。
(2) 当易拉罐为一正圆柱体时,讨论它的最优设计方案,通过对半径和高的比值来说明和验证所测量的相关数据。
（3）当易拉罐有上面圆台和下面正圆柱体组成,如下图:讨论这种形状的最优方案,并与实际测量数据相分析比较。
(4) 查阅资料,发挥想象力,设计出易拉罐形状和尺寸最优的方案。
进行拉罐设计成本最小问题的数学建模及求解过程。
最后,总结做本题以及以前学习和实践数学建模的亲身体验，写一篇短文，阐述什么是数学建模、它的关键步骤，以及难点。
罐形状和尺寸的最优设计方案
易拉罐形状和尺寸的最优设计摘要易拉罐十分流行，对易拉罐的优化设计有重要的经济意义与实际意义。
对问题一，我们通过实际测量得出（355ml ）易拉罐各部分的数据。
对问题二，在假设易拉罐盖口厚度与其他部分厚度之比为3：1的条件下，建立易拉罐用料模型2()2(2)vs r rd r rππ=+，由微积分方法求最优解，结论：易拉罐高与直径之比2：1，用料最省； 在假定易拉罐高与直径2：1的条件下，将易拉罐材料设想为外体积减内体积，得用料模型：2min (,)(,)0.00s r h g r h r h v s t r h π⎧=-=⎪>⎨⎪>⎩用微积分方法得最优解：易拉罐盖子厚度与其他部分厚度为3：1。
对问题三，在易拉罐基本尺寸，高与直径之比2：1的条件下，将上面为正圆台的易拉罐用料优化设计，转化为正圆柱部分一定而研究此正圆台的用料优化设计。
模型圆台面积2()(s r r R r ππ=++用数学软件求得最优解r=1.467, h=1.93时，s=４5.07最小。
结论：易拉罐总高：底直径=2：1，上下底之比=1：2，与实际比较分析了各种原因。
对问题四，从重视外观美学要求（黄金分割），认为高与直径之比1：0.4更别致、美观。
对这种比例的正圆柱体易拉罐作了实际优化分析。
另从美学及经济学的角度提出正四面柱体易拉罐的创新设想，分析了这样易拉罐的优缺点和尺寸优化设计。
对问题五，写出了我们对数学建模的体会文章。
关键词：易拉罐 最优设计 数学建模一、问题的提出每年我国易拉罐的使用量是很大的，（近年我国每年用易拉罐6070亿只），如果每个易拉罐在形状和尺寸作优化设计，节约一点用料，则总的节约就很大了。
为此提出下述问题：1．取一个饮料量为355毫升的易拉罐，例如355毫升的可口可乐饮料罐，测量验证模型所需要的数据，例如易拉罐各部分的直径、高度、厚度等，并把数据列表加以说明。
2．设易拉罐是一个正圆柱体。
什么是它的最优设计？其结果是否可以合理地说明所测量的易拉罐的形状和尺寸，例如说，半径和高之比，等等。
易拉罐最优设计
3
V (r , h) r h
2
其中是S目标函数, g ( r , h ) 0是约束条件, V是已知的(即 罐内体积一定), 即要在体积一定的条件下,求罐的体积最小的 r,h和 使得r,h和测量结果吻 , b的项可以忽略,所以
形绕其中轴线旋转而成的立体. • 可以把饮料罐的体积看成两部分, 一是上底半径为3厘米,下底半径为 3.3 厘米,高为1厘米的锥台,二是半 径为3.3厘米,高为10.2厘米的圆柱 体.它们的体积分别为 31.2立方厘 米和349立方厘米总共为380.2立方 厘米.
• 测量结果为:未打开罐时饮料罐的重量为370 克,倒出来的可乐确实重355克,空的饮料罐重 量为15克,装满水的饮料罐重量为380克.这和 我们的近似计算380.2立方厘米十分接近！ 饮料罐不能装满饮料(365克),而是留有10立 方厘米的空间余量. • 此外,诸如底部的形状,上拱的底面,顶盖实际 上也不是平面的,略有上拱,顶盖实际上是半 径为3 + 0.4 + 0.2 = 3.6平方厘米的材料冲压 而成的,从顶盖到胖的部分的斜率为 0.3, 这 些要求也许保证了和饮料罐的薄的部分的焊 接(粘合)很牢固,耐压.
模型的建立
饮料罐的半径为(因此,直径为), 罐的高为. h 罐内体积为. V 除顶盖外的材料的厚度.b 顶盖的厚度为 b (顶盖就能感觉到更硬) 其中,r,h是自变量, 所用材料的体积SV是因变量, 而b 和V是固定参数, 是待定参数
( ( r b ) r )( h (1 ) b )
(1 ) d 2
测量数据为
h d
2
,
即1 4 即 3 顶盖厚度是其他材料厚度3倍
模型验证及进一步的分析
易拉罐形状和尺寸的最优设计方案 (2)
04
最优设计方案探索
理想形状的探讨
圆柱形
01
圆柱形易拉罐具有较高的稳定性，便于堆放和运输，且在视觉
上给人以舒适感。
扁圆形
02
扁圆形易拉罐可以更好地利用空间，减少包装材料的使用量，
降低成本。
异形
03
异形易拉罐可以吸引消费者的注意力，提高产品附加值，但需
要考虑生产成本和实用性。
理想尺寸的探讨
小型
适用于单人使用，便于携带和储存，如饮料、咖啡等。
易拉罐形状和尺寸的最优 设计方案
• 引言 • 易拉罐的历史与现状 • 易拉罐的历史与现状 • 易拉罐形状和尺寸的重要性 • 最优设计方案探索 • 实验与验证 • 最优设计方案实施与展望 • 结论
01
引言
主题简介
• 易拉罐作为常见的包装容器，广泛应用于饮料、食品等领域。 其形状和尺寸的设计对于产品的展示、运输、储存以及消费者 的使用体验等方面具有重要影响。
中型
适用于家庭使用，满足一家人的需求，如啤酒、果汁等。
大型
适用于聚会或特殊场合，提供大量饮品，如可乐、汽水等。
材料选择与环保性考虑
1 2
可回收材料
选择可回收材料制作易拉罐，减少对环境的污染。
轻量化材料
采用轻量化材料，降低易拉罐的重量，减少资源 消耗。
3
可降解材料
在特殊情况下，可选择可降解材料制作易拉罐， 以应对环保要求。
3
政府和相关机构应加强监管和标准制定，促进易 拉罐行业的可持续发展，保护环境和公共健康。
THANKS
感谢观看
其他形状
如星形、心形等，用于吸 引消费者注意力或增加趣 味性。
易拉罐尺寸设计
小容量
产品优化设计案例
产品优化设计案例咱就说可口可乐这玩意儿，那可是全世界都爱的肥宅快乐水。
不过它的易拉罐也经历了不少优化呢。
以前啊，可口可乐的易拉罐拉环是那种直接拉下来就扔掉的小片片。
这就有个问题，你想啊，有时候在户外或者一些没有垃圾桶的地方，这小拉环一扔，不仅不环保，还可能造成小垃圾到处都是。
而且有时候不小心还容易刮到手。
后来呢，可口可乐就把拉环做了优化。
现在的拉环是直接连着易拉罐的，拉开之后就直接可以塞到罐子里。
这可太妙了！首先环保了不少，拉环不会到处乱丢了。
其次呢，在喝的时候也不用担心拉环乱放找不到或者掉地上弄脏了。
再说说易拉罐的形状。
原来的易拉罐就是那种比较普通的圆柱形。
但是现在，在底部和顶部做了一些细微的弧度调整。
这样做有啥好处呢？从生产上来说，这种形状在堆叠和运输的时候更稳定。
你想啊，就像搭积木一样，如果形状更合理，那在卡车上运输的时候就不容易倒，也能装得更紧凑，减少运输成本呢。
对于消费者来说，这种新形状拿在手里的感觉也有点不一样。
底部稍微有点弧度，握起来更贴合手掌，就好像这个小罐子更顺手了，感觉喝起来都更带劲了。
这就是可口可乐易拉罐产品优化的小秘密啦。
iPhone啊，那可是手机界的大明星。
它的优化设计可不少呢。
就说这摄像头吧。
最开始iPhone的摄像头就那么一个小点点，功能也比较简单，能拍个照就不错了。
但是随着大家对手机拍照的要求越来越高，iPhone的摄像头就开始了它的变身之旅。
先是从单摄像头变成了双摄像头。
这可不得了，双摄像头就像是给手机安了两只眼睛。
一只负责正常的拍摄，另一只可以用来捕捉景深信息。
这样一来，咱们拍人像的时候，就可以拍出那种背景虚化，主体超级清晰的大片效果。
就好像把一个小摄影棚装进了手机里，普通人也能拍出像摄影师一样牛的照片。
然后呢，iPhone的屏幕也在不断优化。
以前的屏幕在强光下看东西可费劲了，就像戴着墨镜看报纸一样，模模糊糊的。
后来苹果就改进了屏幕的技术，提高了亮度和对比度。