匀速圆周运动之绳杆模型
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物理建模系列竖直平面内圆周运动的“轻绳、轻杆”模型
轻绳模型轻杆模型常见类型过最高点的临界条件最高点：F T ＝0 即mg ＝m v2r 得v 临＝gr最高点v ＝0 即F 向＝0 F N ＝mg讨论分析(1)过最高点时，v ≥gr ， F N ＋mg ＝m v 2r，绳、轨道对球产生弹力F N(2)不能过最高点时，v ＜gr ，在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道了圆轨道(1)当v ＝0时，F N＝mg ，F N为支持力，沿半径背离圆心力，沿半径背离圆心 (2)当0＜v ＜gr 时，时，－F N ＋mg ＝m v 2r，F N 背离圆心且随v 的增大而减小的增大而减小(3)当v ＝gr 时，F N ＝0 (4)当v ＞gr 时，F N ＋mg ＝m v 2r ，F N指向圆心并随v 的增大而增大的增大而增大如图所示，有一长为L 的细线，细线的一端固定在O 点，另一端拴一质量为m 的小球。
现使小球恰好能在竖直面内做完整的圆周运动。
已知水平地面上的C 点位于O 点正下方，且到O 点的距离为1.9L 。
不计空气阻力。
不计空气阻力。
(1)求小球通过最高点A 时的速度v A ；(2)若小球通过最低点B 时，细线对小球的拉力F T 恰好为小球重力的6倍，且小球经过B 点的瞬间细线断裂，求小球的落地点到C 点的距离。
点的距离。
解题指导： 解答本题可按以下思路进行：物理建模系列 竖直平面内竖直平面内圆周运动圆周运动的“轻绳、轻杆”模型1．模型条件(1)物体在竖直平面内做变速圆周运动。
物体在竖直平面内做变速圆周运动。
(2)“轻绳模型”在轨道最高点无支撑，“轻杆模型”在轨道最高点有支撑。
“轻绳模型”在轨道最高点无支撑，“轻杆模型”在轨道最高点有支撑。
2．常用模型该类问题常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，现对两种模型分析比较如下：该类问题常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好”等词语，现对两种模型分析比较如下：分析小球的运动过程抓住小球在最高点的临界条件利用牛顿第二定律列方程mg ＝m v 2AL解得v A ＝gL 。
圆周运动绳杆模型讲解学习
轻绳模型
轻杆模型
常见 类型
过最高 点的临 界条件
由mg＝mvr2 得v临＝ gr
由小球能运动即可得v临＝0
(1)当 v＝0 时，FN＝mg，
FN 为支持力，沿半径背
讨论 分析
(1)过最高点时， v≥ gr，FN＋mg＝ mvr2，绳、轨道对球 产生弹力 FN (2)不能过最高点 v< gr，在到达最高 点前小球已经脱离
(1)若要使盒子运动到最高点时与小球之间恰好无作用力， 则该同学拿着盒子做匀速圆周运动的周期为多少？
(2)若该同学拿着盒子以第(1)问中周期的12做匀速圆周运动， 则当盒子运动到如图所示(球心与 O 点位于同一水平面上)时，小 球对盒子的哪些面有作用力，作用力大小分别为多少？
【思维启迪】 mg＝mR(2Tπ0)2→周期 T0→T′＝T20→F′向＝ mR(T2′π )2→盒子对小球的作用力→小球对盒子的作用力
【尝试解答】 (1)设盒子的运动周期为 T0.因为在最高点时 盒子与小球之间刚好无作用力，因此小球仅受重力作用，由重力
提供向心力，根据牛顿第二定律得 mg＝mR(2Tπ0)2
解之得 T0＝2π
R g
(2)设此时盒子的运动周期为 T，则小球的向心加速度为 a0 ＝4Tπ22R
由第(1)问知 T0＝2π Rg且 T＝T20
一、模型建构：竖直平面内圆周运动的绳杆模型 1．模型概述 在竖直平面内做圆周运动的物体，按运动至轨道最高点时的 受力情况可分为两类．一是无支撑(如球与绳连接，沿内轨道的 “过山车”等)，称为“绳(环)约束模型”，二是有支撑(如球与 杆连接，在弯管内的运动等)，称为“杆(管道)约束模型”．
2．临界问题分析 物体在竖直平面内做的圆周运动是一种典型的变速曲线运 动，该类运动常有临界问题，并伴有“最大”“最小”“刚好” 等词语，现就两种模型分析比较如下：
绳模型和杆模型
B C
（二）轻杆模型 A）特点： 小球在竖直平面内做圆周运动时，物体能被支持 B）临界条件 （1）能否到达最高点的临界条件: V=0
(2)拉力还是支持力的临界条件： C）讨论： F
1）当 V＞ rg 时，杆对小 球施加拉力，且速度越大， 拉力越大（此时杆子相当于 绳子） 2）当 0＜V＜ rg 时，杆对球施加支 持力，速度越大，支持里越小
表演“水流星” ，需要保证杯 子在圆周运动最高点的线速度不 得小于 gr v gr 即：
V rg
K
E G
例1．如图所示，质量为m的小球置于正方
体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径。 某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的 匀速圆周运动，已知重力加速度为g，问： 图5－7－6
要使盒子在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，
则该盒子做匀速圆周运动的周期为多少？
[思路点拨] 解答本题时应注意： 1小球在最高点的合力等于向心力。 2通过最高点的临界
[解析 ] 设此时盒子的运动周期为 T 0，因为在最高点时
盒子与小球之间恰好无作用力，因此小球仅受重力作用。 根据牛顿第二定律得
4 2 mg m 2 r T0
，
得
T0 2
r g
1）质量为m的小球在竖直平面内的圆轨道的内则运动， 经过最高点而不脱离轨道的临界速度为V，当小球以2V 的速度经过最高点时，对轨道的压力是多大？ 解析: v m 由临界速度得：mg= r ， 当小球的速度为2v时，
（2）当V2=4m/s时，杆受到的力大小，是拉力还 是压力？
A
B
3)如图：在A与B点，杆对球 的力是（ AD ） A）A处可能为拉力，B处为拉力 B）A处可能为拉力，B处为压力 C）A处可能为支持力，B处为压力 D）A处可能为支持力，B处为拉力
（二）轻杆模型 A）特点： 小球在竖直平面内做圆周运动时，物体能被支持 B）临界条件 （1）能否到达最高点的临界条件: V=0
(2)拉力还是支持力的临界条件： C）讨论： F
1）当 V＞ rg 时，杆对小 球施加拉力，且速度越大， 拉力越大（此时杆子相当于 绳子） 2）当 0＜V＜ rg 时，杆对球施加支 持力，速度越大，支持里越小
表演“水流星” ，需要保证杯 子在圆周运动最高点的线速度不 得小于 gr v gr 即：
V rg
K
E G
例1．如图所示，质量为m的小球置于正方
体的光滑盒子中，盒子的边长略大于球的直径。 某同学拿着该盒子在竖直平面内做半径为R的 匀速圆周运动，已知重力加速度为g，问： 图5－7－6
要使盒子在最高点时盒子与小球之间恰好无作用力，
则该盒子做匀速圆周运动的周期为多少？
[思路点拨] 解答本题时应注意： 1小球在最高点的合力等于向心力。 2通过最高点的临界
[解析 ] 设此时盒子的运动周期为 T 0，因为在最高点时
盒子与小球之间恰好无作用力，因此小球仅受重力作用。 根据牛顿第二定律得
4 2 mg m 2 r T0
，
得
T0 2
r g
1）质量为m的小球在竖直平面内的圆轨道的内则运动， 经过最高点而不脱离轨道的临界速度为V，当小球以2V 的速度经过最高点时，对轨道的压力是多大？ 解析: v m 由临界速度得：mg= r ， 当小球的速度为2v时，
（2）当V2=4m/s时，杆受到的力大小，是拉力还 是压力？
A
B
3)如图：在A与B点，杆对球 的力是（ AD ） A）A处可能为拉力，B处为拉力 B）A处可能为拉力，B处为压力 C）A处可能为支持力，B处为压力 D）A处可能为支持力，B处为拉力
圆周运动绳杆模型
悬索桥
悬索桥的吊索通过绳杆模型将主梁与主缆连接，使主梁能够 悬挂在主缆上并保持平衡。
卫星轨道的设计与运行
人造卫星轨道
人造卫星的轨道通过绳杆模型与地球 连接，通过地球引力与绳杆模型的拉 力平衡，使卫星能够绕地球做圆周运 动。
月球探测器轨道
月球探测器的轨道通过绳杆模型与月 球连接，通过月球引力与绳杆模型的 拉力平衡，使探测器能够绕月球做圆 周运动。
05
绳杆模型在现实生活中的应用
游乐场的旋转设施
旋转木马
绳杆模型在旋转木马中起到支撑和传动的作用，通过绳索与木马连接，实现木马 的旋转运动。
摩天轮
摩天轮的旋转臂通过绳索与座舱连接，使座舱在旋转臂上做圆周运动，同时绳索 也起到安全保护的作用。
桥梁的拉索设计
斜拉桥
斜拉桥的拉索通过绳杆模型将主梁与桥墩连接，使主梁能够 承受载荷并保持稳定。
双摆运动
总结词
双摆运动是指两个单摆同时进行摆动，其运动轨迹为两个圆弧或椭圆弧的组合，适用于分析具有两个 固定圆心和摆长的双摆系统。
详细描述
双摆运动是两个单摆同时进行摆动的组合运动，其运动轨迹为两个圆弧或椭圆弧的组合。在双摆运动 中，两个单摆的摆线长度和初始角度都可以不同，但它们都受到重力的作用。在摆动过程中，双摆系 统的角速度、角加速度、回复力、动能和势能等物理量都随时间变化。
运动。
向心力的方向始终指向圆心，与 速度方向垂直。
绳杆模型中的离心力分析
离心力：当物体做圆周运动时， 若没有向心力作用，物体将沿 切线方向飞出。
在圆周运动绳杆模型中，离心 力与向心力大小相等、方向相 反。
离心力的大小与物体的质量、 速度和圆周半径有关。
04
圆周运动绳杆模型的实例分析
悬索桥的吊索通过绳杆模型将主梁与主缆连接，使主梁能够 悬挂在主缆上并保持平衡。
卫星轨道的设计与运行
人造卫星轨道
人造卫星的轨道通过绳杆模型与地球 连接，通过地球引力与绳杆模型的拉 力平衡，使卫星能够绕地球做圆周运 动。
月球探测器轨道
月球探测器的轨道通过绳杆模型与月 球连接，通过月球引力与绳杆模型的 拉力平衡，使探测器能够绕月球做圆 周运动。
05
绳杆模型在现实生活中的应用
游乐场的旋转设施
旋转木马
绳杆模型在旋转木马中起到支撑和传动的作用，通过绳索与木马连接，实现木马 的旋转运动。
摩天轮
摩天轮的旋转臂通过绳索与座舱连接，使座舱在旋转臂上做圆周运动，同时绳索 也起到安全保护的作用。
桥梁的拉索设计
斜拉桥
斜拉桥的拉索通过绳杆模型将主梁与桥墩连接，使主梁能够 承受载荷并保持稳定。
双摆运动
总结词
双摆运动是指两个单摆同时进行摆动，其运动轨迹为两个圆弧或椭圆弧的组合，适用于分析具有两个 固定圆心和摆长的双摆系统。
详细描述
双摆运动是两个单摆同时进行摆动的组合运动，其运动轨迹为两个圆弧或椭圆弧的组合。在双摆运动 中，两个单摆的摆线长度和初始角度都可以不同，但它们都受到重力的作用。在摆动过程中，双摆系 统的角速度、角加速度、回复力、动能和势能等物理量都随时间变化。
运动。
向心力的方向始终指向圆心，与 速度方向垂直。
绳杆模型中的离心力分析
离心力：当物体做圆周运动时， 若没有向心力作用，物体将沿 切线方向飞出。
在圆周运动绳杆模型中，离心 力与向心力大小相等、方向相 反。
离心力的大小与物体的质量、 速度和圆周半径有关。
04
圆周运动绳杆模型的实例分析
2022年高考物理模型专题突破-绳杆模型
真题模型(二)——竖直平面的圆周运动“绳、杆”模型来源图例考向模型核心归纳2014·新课标全国卷Ⅱ第17题受力分析、圆周运动、动能定理1.常考的模型(1)物体运动满足“绳”模型特征，竖直圆轨道光滑(2)物体运动满足“绳”模型特征，竖直圆轨道粗糙(3)物体运动满足“杆”模型特征，竖直圆轨道光滑(4)物体运动满足“杆”模型特征，竖直圆轨道粗糙(5)两个物体沿竖直圆轨道做圆周运动(6)同一物体在不同的竖直圆轨道做圆周运动(7)物体受弹簧弹力、电场力或洛伦兹力共同作用下的圆周运动2.模型解法2015·新课标全国卷Ⅰ第22题圆周运动、超重、失重2016·新课标全国卷Ⅱ第16题受力分析、牛顿第二定律、圆周运动、动能定理2016·课新标全国卷Ⅱ第25题受力分析、机械能守恒定律、圆周运动、牛顿第二定律2016·新课标全国卷Ⅲ第24题受力分析、圆周运动、机械能守恒定律、牛顿第二定律2017·全国卷Ⅱ第17题平抛运动、功能关系及极值的求解方法【预测1】 (多选)如图1所示，半径为R 的内壁光滑的圆轨道竖直固定在桌面上，一个可视为质点的质量为m 的小球静止在轨道底部A 点。
现用小锤沿水平方向快速击打小球，使小球在极短的时间内获得一个水平速度后沿轨道在竖直面内运动。
当小球回到A 点时，再次用小锤沿运动方向击打小球，通过两次击打，小球才能运动到圆轨道的最高点。
已知小球在运动过程中始终未脱离轨道，在第一次击打过程中小锤对小球做功W 1，第二次击打过程中小锤对小球做功W 2。
设先后两次击打过程中小锤对小球做功全部用来增加小球的动能，则W 1W 2的值可能是( )图1A.34B.13C.23D.1解析 第一次击打后球最多到达与球心O 等高位置，根据功能关系，有W 1≤mgR ，两次击打后球可以运动到轨道最高点，根据功能关系，有W 1＋W 2－2mgR ＝12mv 2，在最高点有mg ＋N ＝m v 2R ≥mg ，由以上各式可解得W 1≤mgR ，W 2≥32mgR ，因此W 1W 2≤23，B 、C 正确。
5.7生活中的圆周运动(轻绳轻杆模型)
A （2）当小球在最高点B的速度为v1 时，杆的受力与速度的关系怎样？
轻杆模型
B
F3 v2
mg
F2
o
F1
v1 A mg
最低点： F1
mg
m
v12 L
最高点：
F2 mg
m v22 L
mg
-
F3
m
v22 L
轻杆模型
B F3
v2
最高点：F2
mg
m
v22 L
拉力
mg
F2
o
mg
-
F3
m
grvf??00gv2gf1v1f2f3结论当当????????????内壁对球有向上的支持力力当当????????????外壁对外壁对球有向下的支持力轻绳模型轻杆模型情景图示弹力特征弹力可能向下也可能等于零弹力可能向下可能向上也可能等于零轻绳模型轻杆模型受力示意图力学方程mgftmv2rmgfnmv2r临界特征ft0即mgmv2r得得vgrv0即f向0此时时fnmgvgr的意义物体能否过最高点的临界点fn表现为拉力还是支持力的临界点剧终
A
mg FN
v2 mg FN m r
思考：小球过最高点的最小速度是多少?
FN 0, v0 gr
结论
要保证过山车在最高点不掉下来，此时的速度必须
满足： v gr
轻 杆 模 型
轻杆模型
长为L的轻杆一端固定着一质量为m的小球，使小球 在竖直平面内做圆周运动。
B
试分析：
（1）当小球在最低点A的速度为v2时，杆的 受力与速度的关系怎样？
临界速度：F 0,v0 gR
结论
微课：绳杆模型圆周运动最高点分析(罗新勇)
专题：绳、杆模型最高点受力分析 （竖直平面内圆周运动）
苏州园区二中
罗新勇
2014.4
a
1
模型一：绳模型
用长为L的细绳拴着质量为m的小球，使小球在竖 直平面内做圆周运动，小球在最高点的速度为v .
试分析：绳的张力与速度的关系怎样？
v
L mg
F
o
分析：小球受重力和拉力 v2
F mg m L
v2 F m mg
(1) mg m v2 时， 即：v gL
L
杆对球的作用力向下
a
5
v L mg
F
o
Ｆ
v L mg
o
mgF mv2 L
F
v2 m
mg
L
(2)
mg
m v2 L
时，
即：v
gL
重力恰好提供向心力，杆没有作用力；
v2 (3) mg m L
时， 即：v
gL
杆对球的作用力向上
mgF mv2 L
F mgmv2 L
L
绳子对小球的力只能向下，即：
F0
a
2
v
L mg
F
o
得：
v2 m mg 0
L
v gL
取 v0 gL 叫临界速度。
(1) v v0 时， F0
绳中拉力为零，重力提供向心力；
(2) v v0
时，
v2 F m mg0
L
重力和拉力的合力提供向心力；
(3) v v0 时，
物体离开圆轨道做曲线运动；
a
3
拓展： 若物体沿竖直轨道内侧运动，在
最高点的情况与绳模型一致。
v
a
4
模型二：杆模型：
苏州园区二中
罗新勇
2014.4
a
1
模型一：绳模型
用长为L的细绳拴着质量为m的小球，使小球在竖 直平面内做圆周运动，小球在最高点的速度为v .
试分析：绳的张力与速度的关系怎样？
v
L mg
F
o
分析：小球受重力和拉力 v2
F mg m L
v2 F m mg
(1) mg m v2 时， 即：v gL
L
杆对球的作用力向下
a
5
v L mg
F
o
Ｆ
v L mg
o
mgF mv2 L
F
v2 m
mg
L
(2)
mg
m v2 L
时，
即：v
gL
重力恰好提供向心力，杆没有作用力；
v2 (3) mg m L
时， 即：v
gL
杆对球的作用力向上
mgF mv2 L
F mgmv2 L
L
绳子对小球的力只能向下，即：
F0
a
2
v
L mg
F
o
得：
v2 m mg 0
L
v gL
取 v0 gL 叫临界速度。
(1) v v0 时， F0
绳中拉力为零，重力提供向心力；
(2) v v0
时，
v2 F m mg0
L
重力和拉力的合力提供向心力；
(3) v v0 时，
物体离开圆轨道做曲线运动；
a
3
拓展： 若物体沿竖直轨道内侧运动，在
最高点的情况与绳模型一致。
v
a
4
模型二：杆模型：
匀速圆周运动之绳杆模型
第3讲 匀速圆周运动及其应用
匀速圆周运动 角速度、线速度、向心加速度 Ⅰ (考纲要求)
1．匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等 的时间内通过的圆弧长_相__等__，就是匀 速圆周运动．
(2)特点：加速度大小_不__变__ ，方向始终 指向_圆__心__ ，是变加速运动． (3)条件：合外力大小_不__变__ 、方向始终 与_速__度__方向垂直且指向圆心．
B．人和车的速度为 grsin θ
C．桶面对车的弹力为cmosgθ
D．桶面对车的弹力为smingθ
思路导图
解析 对人和车进行受力分析如图所示．根据直角三角形的 边角关系和向心力公式可列方程：
Ncos θ＝mg， mgtan θ＝mvr2. 解得 v＝ grtan θ，N＝cmosgθ. 答案 AC
展身体，以单杠为轴做圆周运动．此过程中，
运动员到达最低点时手臂受的拉力至少约为(忽
略空气阻力，g＝10 m/s2)
( )．
A.600 N
B．2 400 N
C．3 000 N
D．3 600 N
图4－3－9
教你审题
关键点：运动员以单杠为轴做圆周运动 属于竖直面内圆周运动的杆模型
牛顿第二定律和机械能守恒定律
坚直平面内圆周运动的绳杆模型考基自主落实考基自主落实核心考点透析核心考点透析物理建模指导物理建模指导活页限时训练活页限时训练高考快乐体验高考快乐体验轻绳模型轻杆模型常见类型过最高界条件由mgmgr由小球能运动即可得v考基自主落实考基自主落实核心考点透析核心考点透析物理建模指导物理建模指导活页限时训练活页限时训练高考快乐体验高考快乐体验轻绳模型轻杆模型讨论分析1过最高点时绳轨道对球产生弹力fgr在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道背向圆心随v的增大而减小的增大而增大考基自主落实考基自主落实核心考点透析核心考点透析物理建模指导物理建模指导活页限时训练活页限时训练高考快乐体验高考快乐体验如图439所示质量为60kg的体操运动员做单臂大回环用一只手抓住单杠伸展身体以单杠为轴做圆周运动
匀速圆周运动 角速度、线速度、向心加速度 Ⅰ (考纲要求)
1．匀速圆周运动
(1)定义：做圆周运动的物体，若在相等 的时间内通过的圆弧长_相__等__，就是匀 速圆周运动．
(2)特点：加速度大小_不__变__ ，方向始终 指向_圆__心__ ，是变加速运动． (3)条件：合外力大小_不__变__ 、方向始终 与_速__度__方向垂直且指向圆心．
B．人和车的速度为 grsin θ
C．桶面对车的弹力为cmosgθ
D．桶面对车的弹力为smingθ
思路导图
解析 对人和车进行受力分析如图所示．根据直角三角形的 边角关系和向心力公式可列方程：
Ncos θ＝mg， mgtan θ＝mvr2. 解得 v＝ grtan θ，N＝cmosgθ. 答案 AC
展身体，以单杠为轴做圆周运动．此过程中，
运动员到达最低点时手臂受的拉力至少约为(忽
略空气阻力，g＝10 m/s2)
( )．
A.600 N
B．2 400 N
C．3 000 N
D．3 600 N
图4－3－9
教你审题
关键点：运动员以单杠为轴做圆周运动 属于竖直面内圆周运动的杆模型
牛顿第二定律和机械能守恒定律
坚直平面内圆周运动的绳杆模型考基自主落实考基自主落实核心考点透析核心考点透析物理建模指导物理建模指导活页限时训练活页限时训练高考快乐体验高考快乐体验轻绳模型轻杆模型常见类型过最高界条件由mgmgr由小球能运动即可得v考基自主落实考基自主落实核心考点透析核心考点透析物理建模指导物理建模指导活页限时训练活页限时训练高考快乐体验高考快乐体验轻绳模型轻杆模型讨论分析1过最高点时绳轨道对球产生弹力fgr在到达最高点前小球已经脱离了圆轨道背向圆心随v的增大而减小的增大而增大考基自主落实考基自主落实核心考点透析核心考点透析物理建模指导物理建模指导活页限时训练活页限时训练高考快乐体验高考快乐体验如图439所示质量为60kg的体操运动员做单臂大回环用一只手抓住单杠伸展身体以单杠为轴做圆周运动
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考基自主落实
核心考点透析
物理建模指导
高考快乐体验
活页限时训练
考点二 【典例2】
匀速圆周运动的实例分析（小专题）
“飞车走壁”是一种传统的杂技艺术，演员骑 车在倾角很大的桶面上做圆周运动而不掉下 来．如图4－3－7所示，已知桶壁的倾角为 θ，车和人的总质量为m，做圆周运动的半 径为r.若使演员骑车做圆周运动时不受桶壁 的摩擦力，下列说法正确的是 ( )．
A．人和车的速度为 grtan θ B．人和车的速度为 grsin θ mg C．桶面对车的弹力为 cos θ mg D．桶面对车的弹力为 sin θ
考基自主落实 核心考点透析 物理建模指导 高考快乐体验 活页限时训练
图4－3－7
思路导图
考基自主落实
核心考点透析
物理建模指导
高考快乐体验
活页限时训练
2πnR1R3 C. R2
考基自主落实
2πnR2R3 D. R1
核心考点透析 物理建模指导 高考快乐体验 活页限时训练
解析
自行车前进速度即为Ⅲ轮的线速度，
由同一个轮上的角速度相等， 同一皮带传动的两轮边缘的线 速度相等可得：ω1R1＝ω2R2，ω3＝ω2， 2πnR1R3 再有 ω1＝2πn，v＝ω3R3，所以 v＝ . R2 答案 C
考基自主落实
核心考点透析
物理建模指导
高考快乐体验
活页限时训练
考点一 在传动装置中各物理量之间的关系
在分析传动装置的物理量时，要抓住不等量和相等量的关 系，表现为： (1)同一转轴的各点角速度ω相同，而线速度v＝ωR与半径 R成正比，向心加速度大小a＝Rω2与半径r成正比．
(2)当皮带不打滑时，用皮带连接的两轮边沿上的各点线速 v v2 度大小相等， 由 ω＝R可知， ω 与 R 成反比， 由 a＝ R 可知， a 与 R 成反比．
考基自主落实
核心考点透析
物理建模指导
高考快乐体验
活页限时训练
【变式1】
如图4－3－6所示为某一皮带传动装 置．主动轮的半径为r1，从动轮的半 径为r2.已知主动轮做顺时针转动，转 速为n，转动过程中皮带不打滑．下列 说法正确的是 ( )． A．从动轮做顺时针转动 B．从动轮做逆时针转动 r1 C．从动轮的转速为 n r2
图4－3－2
解析 A、B和C均是同一陀螺上的点，它们做圆周运动的 角速度都为陀螺旋转的角速度ω，B对、C错．三点的运动 半径关系rA＝rB>rC，据v＝ωr可知，三点的线速度关系vA＝ vB>vC，A、D错． 答案 B
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3． 一质点做匀速圆周运动，其线速度大小为4 m/s，转动周 期为2 s，则 ( )． A．角速度为0.5 rad/s B．转速为0.5 r/s 4 C．轨迹半径为 m π
离心运动
Ⅰ(考纲要求)
圆周运动 的物体，在所受合外力突然消失或 1．定义：做_________ 所需向心力 的情况下，就做逐渐 不足以提供圆周运动___________ 远离圆心的运动． 2．本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿 圆周切线方向飞出去的倾向． 着____________ 3．受力特点 mrω2 时，物体做匀速圆周运动； 当F＝ _____ 切线方向 飞出； 当F＝0时，物体沿________ mrω2 时，物体逐渐远离圆心， 当F＜ _____ F为实际提供的向心力，如图4－3－1所 示．
答案
D
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图4－3－2所示是一个玩具陀螺．A、B和 2． C是陀螺上的三个点．当陀螺绕垂直于地 面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表 述正确的是 ( )． A．A、B和C三点的线速度大小相等 B．A、B和C三点的角速度相等 C．A、B的角速度比C的大 D．C的线速度比A、B的大
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如图4－3－4是摩托车比赛转弯时的情形，转弯处路面常 5． 是外高内低，摩托车转弯有一个最大安全速度，若超过此 速度，摩托车将发生滑动．对于摩托车滑动的问题，下列 论述正确的是 ( )．
图4－3－4
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答案
AD
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【变式3】
在高速公路的拐弯处，通常路面都是外高内低．如图4－3 －8所示，在某路段汽车向左拐弯，司机左侧的路面比右 侧的路面低一些．汽车的运动可看作是做半径为R的圆周 运动．设内外路面高度差为h，路基的水平宽度为d，路面 的宽度为L.已知重力加速度为g.要使车轮与路面之间的横 向摩擦力(即垂直于前进方向)等于零，则汽车转弯时的车 速应等于 ( )．
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A．摩托车一直受到沿半径方向向外的离心力作用 B．摩托车所受外力的合力小于所需的向心力 C．摩托车将沿其线速度的方向与半径向外的方向沿直线滑去 D．摩托车将沿其半径方向沿直线滑去 解析 本题考查圆周运动的规律和离心现象．摩托车只受重 力、地面支持力和地面的摩擦力作用，没有离心力，A项错 误；摩托车正确转弯时可看作是做匀速圆周运动，所受的合 力等于向心力，如果向外滑动，说明合力小于需要的向心 力，B项正确；摩托车将在沿线速度方向与半径向外的方向之 间做离心曲线运动，C、D项错误． 答案 B
(1)审清题意，确定研究对象； (2)分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周 期、轨道平面、圆心、半径等； (3)分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力 的来源； (4)根据牛顿运动定律及向心力公式列方程．
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【变式2】
(2011· 天津联考)铁路转弯处的弯道半径r是根据地形决定 的．弯道处要求外轨比内轨高，其内、外轨高度差h的设 计不仅与r有关．还与火车在弯道上的行驶速度v有关．下 列说法正确的是 ( )． A．速率v一定时，r越小，要求h越大 B．速率v一定时，r越大，要求h越大 C．半径r一定时，v越小，要求h越大 D．半径r一定时，v越大，要求h越大
向心 加速度
①描述速度方向 _____变化快慢 _____的物 v2 Rω2 ① a＝ R ＝____ 理量(a) ②单位：m/s2 ②方向指向圆心
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匀速圆周运动的向心力
Ⅱ(考纲要
1．作用效果 方向 ，不改变速度的_____. 大小 产生向心加速度，只改变速度的_____ 2．大小
D．加速度大小为 4π m/s2
解析
2π ω 角速度为 ω＝ ＝ π rad/s， A 错误；转速为 n＝ ＝ T 2π
v 4 0． 5 r/s，B 正确；半径 r＝ ＝ m， C 正确；向心加速度大 ω π v2 小为 an＝ ＝ 4π m/s2， D 正确． r 答案 BCD
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2．描述圆周运动的物理量 描述圆周运动的物理量主要有线速度、角速度、周 期、频率、转速、向心加速度、向心力等，现比较如 下表：
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定义、意义
公式、单位
线速度
2πr ①描述圆周运动的物体运动 Δs 快慢 的物理量(v) T ______ ①v＝ ＝_____ Δt ②是矢量，方向和半径垂直，和 ②单位：m/s 圆周相切
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解析
火车转弯时，圆周平面在水平面内，
火车以设计速率行驶时，向心力刚好由重 力 G 与轨道支持力 FN 的合力来提供， 如图 mv2 所示，则有 mgtan θ＝ ，且 tan θ≈ sin θ r h h ＝ ，其中 L 为轨间距，是定值，有 mg ＝ L L mv2 ，通过分析可知 A、D 正确． r
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【典例1】
如图4－3－5所示是自行车传动结构的示意图，其中Ⅰ是 半径为R1的大齿轮，Ⅱ是半径为R2的小齿轮，Ⅲ是半径为 R3的后轮，假设脚踏板的转速为n，则自行车前进的速度 为 ( )．
图4－3－5
A. πnR1R3 R2 B. πnR2R3 R1
①描述物体绕圆心转动快慢 __________的 Δθ ③ω＝ ＝____ T Δt 物理量(ω) ④单位：rad/s ②中学不研究其方向
2π
角速度
周期 和转速
一周 ①周期是物体沿圆周运动_____ 的时间(T) ②转速是物体单位时间转过的 圈数 _____(n)，也叫频率(f)
2πr ①T＝ v 单位：s ②n 的 单 位 ： r/s 、 r/min，f 的单位： Hz
图4－3－8
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A. C.
gRh L gRL h
B. D.
gRh d gRd h
解析 考查向心力公式．汽车做匀速圆周运动，向心力由 重力与斜面对汽车的支持力的合力提供，且向心力的方向 水平，向心力大小 F 向＝mgtan θ，根据牛顿第二定律：F 向 v2 h gRh ＝m ，tan θ＝ ，解得汽车转弯时的车速 v＝ ，B R d d 对．
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图4－3－1
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