函数的基本定义

§2.1函数及其表示

1．函数的基本概念

(1)函数的定义

给定两个非空数集A和B，如果按照某个对应关系f，对于集合A中任何一个数x，在集合B 中都存在唯一确定的数f(x)与之对应，那么就把对应关系f叫作定义在集合A上的函数，记作f：A→B，或y＝f(x)，x∈A.

(2)函数的定义域、值域

在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫作自变量，集合A叫作函数的定义域；集合{f(x)|x∈A}叫作函数的值域．

(3)函数的三要素：定义域、对应关系和值域．

(4)函数的表示法

表示函数的常用方法有列表法、图像法和解析法．

2．映射的概念

两个非空集合A与B间存在着对应关系f，而且对于A中的每一个元素x，B中总有唯一的一个元素y与它对应，就称这种对应为从A到B的映射．

3．函数解析式的求法

求函数解析式常用方法有待定系数法、换元法、配凑法、消去法．

4．分段函数

若函数在其定义域的不同子集上，因对应关系不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数．

分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 5．函数定义域的求法

【思考辨析】

判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)f (x )＝x 2

x

与g (x )＝x 是同一个函数．( × )

(2)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( × )

(3)若函数f (x )的定义域为{x |1≤x <3}，则函数f (2x －1)的定义域为{x |1≤x <5}．( × )

(4)f (x )＝???

1－x 2， －1≤x ≤1，

x ＋1，x >1或x <－1，

则f (－x )＝???

1－x 2， －1≤x ≤1，

－x ＋1，x >1或x <－1.

( √ )

(5)函数是特殊的映射．( √ )

(6)函数f (x )＝x 2＋3＋1的值域是{y |y ≥1}．( × )

1．(2014·江西)函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为( ) A ．(0,1)

B ．[0,1]

C ．(－∞，0)∪(1，＋∞)

D ．(－∞，0]∪[1，＋∞)

答案 C

解析 要使f (x )＝ln(x 2－x )有意义，只需x 2－x >0，

解得x >1或x <0.

所以函数f (x )＝ln(x 2－x )的定义域为 (－∞，0)∪(1，＋∞)．

2．下列函数中，不满足．．．f (2x )＝2f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x |

B ．f (x )＝x －|x |

C ．f (x )＝x ＋1

D ．f (x )＝－x

答案 C

解析 将f (2x )表示出来，看与2f (x )是否相等． 对于A ，f (2x )＝|2x |＝2|x |＝2f (x )； 对于B ，f (2x )＝2x －|2x |＝2(x －|x |)＝2f (x )； 对于C ，f (2x )＝2x ＋1≠2f (x )； 对于D ，f (2x )＝－2x ＝2f (x )，

故只有C 不满足f (2x )＝2f (x )，所以选C.

3．已知函数f (x )＝?????

log 3x ，x >0，(13)x ，x ≤0，则满足方程f (a )＝1的所有a 的值组成的集合为________．

答案 {3,0}

解析 当a >0时，由log 3a ＝1，解得a ＝3>0，符合题意，当a ≤0时，由(1

3)a ＝1，解得a ＝0，

符合题意，综上所述，a ＝0或a ＝3. 4．给出下列四个命题：

①函数是其定义域到值域的映射；②f (x )＝x －2＋2－x 是函数；③函数y ＝2x (x ∈N )的图像是一条直线；④函数的定义域和值域一定是无限集合． 其中真命题的序号有________． 答案 ①②

解析 对于①函数是映射，但映射不一定是函数； 对于②f (x )是定义域为{2}，值域为{0}的函数； 对于③函数y ＝2x (x ∈N )的图像不是一条直线； 对于④函数的定义域和值域不一定是无限集合.

题型一 函数的概念 例1 有以下判断：

①f (x )＝|x |

x 与g (x )＝?

????

1， x ≥0－1，x <0表示同一函数；

②函数y ＝f (x )的图像与直线x ＝1的交点最多有1个； ③f (x )＝x 2－2x ＋1与g (t )＝t 2－2t ＋1是同一函数；

④若f (x )＝|x －1|－|x |，则f ???

?f ????12＝0. 其中正确判断的序号是________． 答案 ②③

解析 对于①，由于函数f (x )＝|x |

x 的定义域为{x |x ∈R 且x ≠0}，而函数g (x )＝?

??

??

1， x ≥0－1，x <0的定义域是R ，所以二者不是同一函数；对于②，若x ＝1不是y ＝f (x )定义域内的值，则直线x ＝1与y ＝f (x )的图像没有交点，如果x ＝1是y ＝f (x )定义域内的值，由函数定义可知，直线x ＝1与y ＝f (x )的图像只有一个交点，即y ＝f (x )的图像与直线x ＝1最多有一个交点；对于③，f (x )与g (t )的定义域、值域和对应关系均相同，所以f (x )和g (t )表示同一函数；对于④，由于f ????

12＝????12－1－????12＝0，所以f ????f ????12＝f (0)＝1. 综上可知，正确的判断是②③.

思维升华 函数的值域可由定义域和对应关系唯一确定；当且仅当定义域和对应关系都相同的函数才是同一函数．值得注意的是，函数的对应关系是就结果而言的(判断两个函数的对应关系是否相同，只要看对于函数定义域中的任意一个相同的自变量的值，按照这两个对应关系算出的函数值是否相同)．

(1)下列各组函数中，表示同一函数的是( )

A ．f (x )＝|x |，g (x )＝x 2

B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2

C ．f (x )＝x 2－1x －1

，g (x )＝x ＋1

D ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 (2)下列四个图像中，是函数图像的是( )

A ．①

B ．①③④

C ．①②③

D ．③④

答案 (1)A (2)B

解析 (1)A 中，g (x )＝|x |，∴f (x )＝g (x )． B 中，f (x )＝|x |(x ∈R )，g (x )＝x (x ≥0)， ∴两函数的定义域不同．

C 中，f (x )＝x ＋1 (x ≠1)，g (x )＝x ＋1(x ∈R )， ∴两函数的定义域不同．

D 中，f (x )＝x ＋1·x －1(x ＋1≥0且x －1≥0)， f (x )的定义域为{x |x ≥1}； g (x )＝x 2－1(x 2－1≥0)，

g (x )的定义域为{x |x ≥1或x ≤－1}． ∴两函数的定义域不同．故选A.

(2)由每一个自变量x 对应唯一一个f (x )可知②不是函数图像，①③④是函数图像． 题型二 求函数的解析式

例2 (1)已知f (2

x

＋1)＝lg x ，则f (x )＝________.

(2)已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. (3)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f (1

x )·x －1，则f (x )＝________.

答案 (1)lg

2x －1

(x >1) (2)2x ＋7 (3)23x ＋13

解析 (1)(换元法)

令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2

t －1，

∴f (t )＝lg

2t －1，即f (x )＝lg 2

x －1

(x >1)． (2)(待定系数法) 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，

则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ， 即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，

∴????? a ＝2，b ＋5a ＝17，解得?????

a ＝2，

b ＝7，

∴f (x )＝2x ＋7. (3)(消去法)

在f (x )＝2f (1x )x －1中，用1

x 代替x ，

得f (1x )＝2f (x )1

x

－1，

将f (1x )＝2f (x )x －1代入f (x )＝2f (1x )x －1中，

可求得f (x )＝23x ＋13.

思维升华 函数解析式的求法

(1)待定系数法：若已知函数的类型(如一次函数、二次函数)，可用待定系数法； (2)换元法：已知复合函数f (g (x ))的解析式，可用换元法，此时要注意新元的取值范围； (3)配凑法：由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式；

(4)消去法：已知f (x )与f ????

1x 或f (－x )之间的关系式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．

(1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________.

(2)(2013·安徽)定义在R 上的函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )．若当0≤x ≤1时，f (x )＝x (1－x )，则当－1≤x ≤0时，f (x )＝________.

(3)已知f (x )满足2f (x )＋f (1

x )＝3x ，则f (x )＝________.

答案 (1)x 2－1(x ≥1) (2)－

x (x ＋1)2 (3)2x －1

x

(x ≠0) 解析 (1)设x ＋1＝t (t ≥1)，则x ＝t －1. 代入f (x ＋1)＝x ＋2x ， 得f (t )＝t 2－1(t ≥1)， ∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)．

(2)当－1≤x ≤0时，0≤x ＋1≤1， 由已知f (x )＝12f (x ＋1)＝－1

2x (x ＋1)．

(3)把题目中的x 换成1

x ，

得2f (1x )＋f (x )＝3x

，

联立方程???

2f (x )＋f (1

x

)＝3x ， ①

2f (1x )＋f (x )＝3

x

，②

①×2－②得3f (x )＝6x －3

x (x ≠0)．

即f (x )＝2x －1

x (x ≠0)．

题型三 求函数的定义域

例3 (1)函数f (x )＝ln x

x －1＋x 1

2的定义域为( )

A ．(0，＋∞)

B ．(1，＋∞)

C ．(0,1)

D ．(0,1)∪(1，＋∞)

(2)(2013·大纲全国)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B ．(－1，－1

2)

C ．(－1,0)

D ．(1

2

，1)

答案 (1)B (2)B

解析 (1)由?????

x x －1>0，x ≥0，

解得x >1，

故函数f (x )＝ln x

x －1

＋x 1

2的定义域为(1，＋∞)．

(2)由－1<2x ＋1<0，解得－1

2)．

思维升华 简单函数定义域的类型及求法

(1)已知函数的解析式，则构造使解析式有意义的不等式(组)求解． (2)抽象函数：

①若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，则函数f [g (x )]的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出； ②若已知函数f [g (x )]的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]时的值域．

(1)已知函数f (x )的定义域是[0,2]，则函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －1

2

)的定义域是

________． (2)函数y ＝

ln (x ＋1)－x 2－3x ＋4

的定义域为________________________________________________

________________________． 答案 (1)[12，3

2

] (2)(－1,1)

解析 (1)因为函数f (x )的定义域是[0,2]，

所以函数g (x )＝f (x ＋12)＋f (x －1

2)中的自变量x 需要满足

???

0≤x ＋1

2

≤2，

0≤x －12

≤2，解得：12≤x ≤32

，

所以函数g (x )的定义域是[12，3

2

]．

(2)由?

????

x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，得－1

题型四 分段函数

例4 (1)已知函数f (x )＝?

????

2x

，x >0，

x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于( )

A ．－3

B ．－1

C ．1

D ．3

(2)设函数y ＝f (x )在R 上有定义．对于给定的正数M ，定义函数f M (x )＝?

????

f (x )，f (x )≤M ，

M ，f (x )>M ，则

称函数f M (x )为f (x )的“孪生函数”．若给定函数f (x )＝2－x 2，M ＝1，则f M (0)的值为( ) A ．2

B ．1

C. 2

D ．－ 2

答案 (1)A (2)B

解析 (1)由题意知f (1)＝21＝2.∵f (a )＋f (1)＝0， ∴f (a )＋2＝0.

①当a >0时，f (a )＝2a ,2a ＋2＝0无解；

②当a ≤0时，f (a )＝a ＋1，∴a ＋1＋2＝0，∴a ＝－3. (2)由题设f (x )＝2－x 2≤1，得 当x ≤－1或x ≥1时，f M (x )＝2－x 2； 当－1

思维升华 (1)分段函数是一个函数，“分段求解”是解决分段函数的基本原则．(2)在求分段函数值时，一定要注意自变量的值所在的区间，再代入相应的解析式；自变量的值不确定时，要分类讨论．

(1)已知函数f (x )＝?????

log 3x ，x >0，2x ，x ≤0，

则f (f (1

9))＝________.

(2)设函数f (x )＝?

????

2x

，x ≤0，|log 2x |，x >0，则方程f (x )＝1

2的解集为________．

答案 (1)14 (2){－1，2

2

，2}

解析 (1)f (f (19))＝f (log 319)＝f (－2)＝2－

2＝14

.

(2)当x ≤0时，解2x ＝1

2

得x ＝－1；

当x >0时，解|log 2x |＝12得x ＝22或x ＝ 2.所以方程f (x )＝12的解集为????

??－1，2

2，2.

分段函数意义理解不清致误

典例：已知实数a ≠0，函数f (x )＝

?

????

2x ＋a ，x <1，

－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为________． 易错分析 本题易出现的错误主要有两个方面：

(1)误以为1－a <1,1＋a >1，没有对a 进行讨论直接代入求解． (2)求解过程中忘记检验所求结果是否符合要求而致误． 解析 当a >0时，1－a <1,1＋a >1，

由f (1－a )＝f (1＋a )可得2－2a ＋a ＝－1－a －2a ， 解得a ＝－3

2，不合题意；

当a <0时，1－a >1,1＋a <1，

由f (1－a )＝f (1＋a )可得－1＋a －2a ＝2＋2a ＋a ， 解得a ＝－3

4.

答案 －3

4

温馨提醒 (1)对于分段函数的求值问题，若自变量的取值范围不确定，应分情况求解． (2)检验所求自变量的值或范围是否符合题意

求解过程中，求出的参数的值或范围并不一定符合题意，因此要检验结果是否符合要求.

方法与技巧

1．在判断两个函数是否为同一函数时，要紧扣两点：一是定义域是否相同；二是对应关系是否相同．

2．定义域优先原则：函数定义域是研究函数的基础依据，对函数性质的讨论，必须在定义域上进行．

3．函数解析式的几种常用求法：待定系数法、换元法、配凑法、消去法． 4．分段函数问题要分段求解．

失误与防范

求分段函数应注意的问题：

在求分段函数的值f (x 0)时，首先要判断x 0属于定义域的哪个子集，然后再代入相应的关系式；分段函数的值域应是其定义域内不同子集上各关系式的取值范围的并集．

A 组 专项基础训练 (时间：30分钟)

1．(2014·山东)函数f (x )＝1

(log 2x )2－1的定义域为( )

A.???

?0，12

B ．(2，＋∞) C.????0，1

2∪(2，＋∞)

D.???

?0，1

2∪[2，＋∞) 答案 C

解析 由题意知?????

x >0，(log 2

x )2

>1， 解得x >2或0

2

.故选C.

2．设函数f (x )＝????

?

x 2

＋1，x ≤1，2x ，x >1，则f (f (3))等于( )

A.1

5

B ．3

C.2

3

D.139

答案 D

解析 由题意知f (3)＝23，f ????23＝????232＋1＝13

9，

∴f (f (3))＝f ????23＝13

9.

3．若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图像可能是( )

答案 B

解析 可以根据函数的概念进行排除，使用筛选法得到答案． 4．设g (x )＝2x ＋3，g (x ＋2)＝f (x )，则f (x )等于( ) A ．－2x ＋1 B ．2x －1 C ．2x －3

D ．2x ＋7

答案 D

解析 f (x )＝g (x ＋2)＝2(x ＋2)＋3＝2x ＋7.

5．已知函数f (x )满足f (2

x ＋|x |)＝log 2x |x |，则f (x )的解析式是( )

A ．f (x )＝log 2x

B ．f (x )＝－log 2x

C ．f (x )＝2－

x

D ．f (x )＝x －

2

答案 B

解析 根据题意知x >0，所以f (1x )＝log 2x ，则f (x )＝log 21

x ＝－log 2x .

6．下列对应关系是集合P 上的函数的是________．(填序号)

①P ＝Z ，Q ＝N ＋，对应关系f ：对集合P 中的元素取绝对值与集合Q 中的元素相对应； ②P ＝{－1,1，－2,2}，Q ＝{1,4}，对应关系f ：x →y ＝x 2，x ∈P ，y ∈Q ；

③P ＝{三角形}，Q ＝{x |x >0}，对应关系f ：对集合P 中的三角形求面积与集合Q 中的元素对应． 答案 ②

解析 由于在①中，集合P 中的元素0在集合Q 中没有对应元素，并且③中的集合P 不是数集，从而知只有②正确．

7．已知函数f (x )＝log 21

x ＋1，f (a )＝3，则a ＝________.

答案 －7

8

解析 由题意可得log 21a ＋1＝3，所以1a ＋1

＝23，解得a ＝－7

8.

8．已知f (x )＝?

????

2x

，x ≤2，

f (x －2)，x >2，则f (lo

g 27)＝________.

答案 7

4

解析 f (log 27)＝f (log 27－2)＝f (log 274)＝27

log 42＝7

4

.

9．已知f (x )是二次函数，若f (0)＝0，且f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，求函数f (x )的解析式． 解 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，又f (0)＝0， ∴c ＝0，即f (x )＝ax 2＋bx . 又∵f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1.

∴a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1. ∴(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝(b ＋1)x ＋1，

∴?

??

??

2a ＋b ＝b ＋1，

a ＋

b ＝1，解得???

a ＝1

2，

b ＝1

2.

∴f (x )＝12x 2＋1

2

x .

10．某人开汽车沿一条直线以60km /h 的速度从A 地到150 km 远处的B 地．在B 地停留1 h 后，再以50 km/h 的速度返回A 地，把汽车与A 地的距离x (km)表示为时间t (h)(从A 地出发开始)的函数，并画出函数的图像． 解 x ＝

?????

60t ， 0≤t ≤5

2

，

150， 52

，150－50，(t －72) 72

.

图像如右图所示．

B 组 专项能力提升 (时间：15分钟)

11．已知f (x －1x )＝x 2＋1

x 2，则f (3)＝________.

A ．11

B ．10

C ．12

D ．9

答案 A

解析 ∵f (x －1x )＝x 2＋1x 2＝(x －1

x )2＋2，

∴f (x )＝x 2＋2(x ≠0)，∴f (3)＝32＋2＝11.

12．(微课)已知函数f (x )＝?????

－(12)x ，a ≤x <0，

－x 2＋2x ，0≤x ≤4

的值域是[－8,1]，则实数a

的取值范围是

( )

A ．(－∞，－3]

B ．[－3,0)

C ．[－3，－1]

D ．{－3}

答案 B

解析 当0≤x ≤4时，f (x )∈[－8,1]； 当a ≤x <0时，f (x )∈[－(1

2)a ，－1)，

所以[－12a ，－1)?[－8,1]，－8≤－1

2a <－1，

即－3≤a <0.

13．已知f (x )＋2f (－x )＝3x －2，则f (x )＝______. 答案 －3x －2

3

解析 由f (x )＋2f (－x )＝3x －2，① 可得f (－x )＋2f (x )＝－3x －2，② ①－②×2得，

－3f (x )＝3x －2－2(－3x －2)＝9x ＋2， ∴f (x )＝－3x －2

3

.

14．设函数f (x )＝?

????

x 2＋4x ＋6，x ≤0，

－x ＋6，x >0，则不等式f (x )

答案 (－3，－1)∪(3，＋∞)

解析 f (－1)＝3，f (x )<3，当x ≤0时，x 2＋4x ＋6<3， 解得x ∈(－3，－1)；当x >0时，－x ＋6<3， 解得x ∈(3，＋∞)，

故不等式的解集为(－3，－1)∪(3，＋∞)．

15.行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要继续往前滑行一段距离

才能停下，这段距离叫作刹车距离．在某种路面上，某种型号汽车的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)满足下列关系：y ＝x 2

200

＋

mx ＋n (m ，n 是常数)．如图是根据多次实验数据绘制的刹车距离y (米)与汽车的车速x (千米/时)的关系图．

(1)求出y 关于x 的函数表达式；

(2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求行驶的最大速度． 解 (1)由题意及函数图像，

得???

402

200

＋40m ＋n ＝8.4，60

2

200＋60m ＋n ＝18.6，

解得m ＝1

100，n ＝0，

∴y ＝x 2200＋x

100(x ≥0)．

(2)令x 2200＋x

100≤25.2，

得－72≤x ≤70. ∵x ≥0，∴0≤x ≤70.

故行驶的最大速度是70千米/时．