2016届河南省商丘市高三三模数学(理)试题(解析版)

2016届河南省商丘市高三三模数学（理）试题一、选择题1．已知全集{}5,4,3,2,1=U ，集合{}3,2,1=M ，{}5,4,3=N ，则集合{}2,1可以表示为（ ）A ．N MB ．N MC U )( C ．)(N C M UD ．)()(N C M C U U 【答案】C【解析】试题分析：{}3M N = ,{}4,5U C M =,{}1,2U C N =,{}()1,2U M C N = ,故选C ． 【考点】集合交集,并集,补集．【易错点晴】1.判断两集合的关系常用两种方法：一是化简集合，从表达式中寻找两集合间的关系；二是用列举法表示各集合，从元素中寻找关系．2．已知两集合间的关系求参数时，关键是将两集合间的关系转化为元素间的关系，进而转化为参数满足的关系，解决这类问题常常运用数轴、Venn 图帮助分析．2．设复数21,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称，且i z -=21，则=⋅21z z （ ） A ．i 34+- B ．i 34- C ．i 43-- D ．i 43+- 【答案】D【解析】试题分析：因为复数21,z z 在复平面内对应的点关于虚轴对称,且12z i =-,所以22z i =--,22z i =-+,()()122234z z i i i ⋅=--+=-+,故选D. 【考点】复数运算,共轭复数．3．设向量21,e e 是两个互相垂直的单位向量，且221,2e b e e a =-=，=（ ） A ．22 B ．5 C ．2 D ．4 【答案】B【解析】试题分析：因为12e e ⊥ ,所以120e e ⋅=,2a b +==== ．【考点】向量的数量积运算． 4．下列判断错误的是（ ）A ．命题“若22bm am ≤，则b a ≤”是假命题B ．命题“01,23≤--∈∀x x R x ”的否定是“01,20300>--∈∃x x R x ”C ．“若1=a ，则直线0=+y x 和直线0=-ay x 互相垂直”的逆否命题为真命题D ．命题“q p ∨为真”是命题“q p ∧为真”的充分不必要条件 【答案】D【解析】试题分析：A 选项,当0m =时,命题不成立,故为A 假命题的判断正确；B 选项,全称命题的否定是特称命题,B 判断正确；C 选项,因为原命题为真命题,故它的逆否命题为真命题,C 判断正确;D 选项判断错误,因为“q p ∨为真”是命题“q p ∧为真”的必要不充分条件.故选D.考点:1.四种命题及其真假性判断；2.全称命题与特称命题；3.充要条件；4.含有逻辑联结词的命题真假性判断．5．在等差数列{}n a 中，首项01=a ，公差0≠d ，若7321a a a a a k +⋅⋅⋅+++=，则=k （ ）A ．22B ．23C ．24D ．25 【答案】A 【解析】试题分析：()()111k a a k d k d =+-=-,123741772121a a a a a a d d +++⋅⋅⋅+==+=,所以121,22k k -==．【考点】等差数列通项公式．6．已知抛物线x y 82=与双曲线1222=-y ax 的一个交点为M ，F 为抛物线的焦点，若5=MF ，则该双曲线的渐近线方程为（ ）A ．035=±y xB ．053=±y xC ．054=±y xD ．045=±y x 【答案】A【解析】试题分析：依题意,抛物线焦点()2,0F ,设()00,M x y ,因为5MF =,所以0025,3x x +==,所以(3,M ±,代入2221x y a-=得2299241,25a a -==,所以令2220x y a-=,得双曲线的渐近线为x y a =±,即035=±y x . 【考点】1.双曲线的性质；2.抛物线的性质．7．某地市高三理科学生有15000名，在一次调研测试中，数学成绩ξ服从正态分布),100(2σN ，已知35.0)10080(=≤<ξP ，若按成绩分层抽样的方式取100份试卷进行分析，则应从120分以上的试卷中抽取（ ）A ．5份B ．10份C ．15份D ．20份 【答案】C【解析】试题分析：因为数学成绩ξ服从正态分布,且均值100μ=,所以(120)=(80)0.5(80100)0.50.3P P P ξξξ≥≤=-<≤=-=,根据分层抽样,应该抽1000.1515⨯=份.【考点】1.正态分布；2.分层抽样．8．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的各面中，面积的最大值是（ ）A ．8B ．54C ．12D ．16【答案】C【解析】试题分析：画出该几何体的直观图如下图所示,橙色的几何体，8A B C B C D S S ==,11422ABD S AB BD =⋅=⋅⋅=,6,cosAC CD AD CAD CAD ===∠==∠=所以1sin 122ACD S AD AC CAD =⋅⋅∠=,综上所述,面积最大为12．【考点】1.三视图；2.几何体表面积；3.余弦定理． 9．函数)2)(2sin()(πϕϕ<+=x x f 的图象向右平移12π个单位后的图象关于y 轴对称，则函数)(x f 在]4,0[π上的最大值为（ ）A ．23 B ．21 C ．21- D ．23-【答案】B【解析】试题分析：函数)2)(2sin()(πϕϕ<+=x x f 的图象向右平移12π个单位得sin 2sin 2126x x ππϕϕ⎡⎤⎛⎫⎡⎤-+=-+ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎣⎦⎣⎦,sin 26x πϕ⎡⎤-+⎢⎥⎣⎦图象关于y 轴对称,由于2πφ<,故,623πππϕϕ-+=-=-,所以()sin 23fx x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭,0,,20,,2,42336x x x πππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤∈∈-∈-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦,故当236x ππ-=时,()f x 取得最大值12. 【考点】1.三角函数图象平移；2.三角函数值域．10．如图所示的程序框图，若输入110011=a ，则输出结果是（ ）A ．51B ．49C ．47D ．45 【答案】A【解析】试题分析：根据程序框图运行过程分析,程序的作用是转化二进制为十进制,故()()5421210110011222251=+++=．【考点】程序框图．11．已知直线2:+=kx y l 过椭圆)0(12222>>=+b a by a x 的上顶点B 和左焦点F ，且被圆422=+y x 截得的弦长为L ，若554≥L ，则椭圆离心率e 的取值范围是（ ） A ．]55,0( B ．]552,0( C ．]553,0( D ．]554,0( 【答案】B【解析】试题分析：依题意有0k <,设圆的半径为r ,圆心到直线的距离为d ,则2224164255L d r ⎛⎫=-≤-=⎪⎝⎭,由点到直线距离公式有d =,故22241651,1,1544k k k ≤+≥≥+.直线与坐标轴交点为:()20,2,,0B F k ⎛⎫- ⎪⎝⎭,即2222242,,4b c a b c k k==-=+=+,0e <===≤= 【考点】1.直线与圆的位置关系；2.椭圆离心率．【思路点晴】直线与圆,直线与椭圆的位置关系,相对简单的是直线与圆的位置关系.本题先利用直线2:+=kx y l 被圆422=+y x 截得的弦长为L ，且554≥L ,利用点到直线距离公式,可以求出214k ≥,然后根据题意, 直线2:+=kx y l 过椭圆)0(12222>>=+b a b y a x 的上顶点B 和左焦点F ,求出椭圆2222242,,4b c a b c k k==-=+=+,代入离心率公式就可以求出离心率的取值范围.在解题过程中,先易后难寻找突破口.12．已知函数2cos sin )(x x x x x f ++=，则不等式)1(2)1(ln )(ln f xf x f <+的解集为（ ）A ．),(+∞eB ．),0(eC ．),1()1,0(e eD ．),1(e e【答案】D【解析】试题分析：()()()()()2()sin cos f x x x x x f x -=--+-+-=,所以()f x 为偶函数,故()()1(ln )ln ln f f x f x x =-=,)1(2)1(ln)(ln f xf x f <+等价于(ln )(1)f x f <,所以1ln 1x -<<,即1x e e<<.【考点】1.函数的奇偶性与单调性；2.数形结合的思想方法．【思路点晴】注意到()1(ln )ln f f x x=-,就想到判断函数()f x 的奇偶性,经过验证后,发现()f x 为偶函数,所以原不等式就等价于(ln )(1)f x f <,由于()f x 为偶函数,偶函数图象关于y 轴对称,定义域关于原点对称,故1ln 1x -<<；解对数不等式,一般采用化为同底的方法,即1ln ln ln ,ln ln ln e x e e x e --<<<<根据对数函数单调性可知1x e e<<.二、填空题13．设y x ,满足约束条件⎪⎩⎪⎨⎧≤-≤-≥02,02,1y y x x ，则32-+=y x z 的最大值为_______.【答案】5【解析】试题分析：画出可行域如下图所示，由图可知,z 在点()4,2处取得最大值为42235z =+⋅-=．【考点】线性规划． 14．数列{}n a 满足：1132,51++⋅=-=n n n n a a a a a ，则数列{}1+⋅n n a a 前10项的和为______. 【答案】1021【解析】试题分析：令2n =,23232a a a a -=⋅,解得213a =,令1n =,则12122a a a a -=⋅,解得11a =,对112n n n n a a a a ++-=⋅两边除以1n n a a +⋅,得1112n na a +-=,故数列1n a ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是以111a =为首项,公差为2的等差数列,所以()()111111121,,21212122121n n n n n a a a a n n nn n +⎛⎫=-=⋅==- ⎪--⋅+-+⎝⎭,故其前10项的和为1111111110112335192122121⎛⎫⎛⎫-+-++-=-=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ . 【考点】1.递推数列求通项；2.裂项求和法．15．若nxx )2(+的展开式中各项的系数之和为81，且常数项为a ，则直线x ay 6=与曲线2x y =所围成的封闭区域的面积为______. 【答案】323【解析】试题分析：令1x =,则()1281,4nn +==,其通项公式为4424422r r r r r r r C x x C x ---⋅⋅=,420,2r r -==,所以224224a C ==;直线为4y x =,由24y x y x=⎧⎨=⎩解得0,4x x ==,故直线x ay 6=与曲线2x y =所围成的封闭区域的面积为()3422400643242|32333x x x dx x ⎛⎫-=-=-= ⎪⎝⎭⎰. 【考点】1.二项式定理；2.定积分．【思路点晴】利用定积分求平面图形面积的四个步骤：(1)画出草图，在直角坐标系中画出曲线或直线的大致图像；(2)借助图形确定出被积函数，求出交点坐标，确定积分的上、下限；(3)把曲边梯形的面积表示成若干个定积分的和；(4)计算定积分，写出答案．若积分式子中有几个不同的参数，则必须先分清谁是被积变量．16．三棱柱111C B A ABC -的底面是直角三角形，侧棱垂直于底面，面积最大的侧面是正方形，且正方形的中心是该三棱柱的外接球的球心，若外接球的表面积为π16，则三棱柱111C B A ABC -的最大体积为______.【答案】【解析】试题分析：依题意,外接球的表面积为2416,2R R ππ==.如图所示,三棱柱外接圆球心为O ,设2222,,,4AC a AB x BC y x y a ===+=,在直角三角形ODB 中2222a a +=,所以a =三棱柱的体积为221222x y V xy a +=⋅=≤=当且仅当2x y ==时取得最大值.【考点】1.几何体外接球；2.直三棱柱．【方法点晴】在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点就是该简单多面体的外接球的球心．由上述性质，可以得到确定简单多面体外接球的球心的如下结论．结论1：正方体或长方体的外接球的球心其体对角线的中点．结论2：正棱柱的外接球的球心是上下底面中心的连线的中点．结论3：直三棱柱的外接球的球心是上下底面三角形外心的连线的中点．结论4：正棱锥的外接球的球心在其高上，具体位置可通过计算找到．结论5：若棱锥的顶点可构成共斜边的直角三角形，则公共斜边的中点就是其外接球的球心．三、解答题17．在ABC ∆中，c b a ,,分别为内角C B A ,,的对边，且bc a c b =-+222.（I ）求角A 的大小；（II ）设函数2cos2sin )(2xx x f +=，2=a ，12)(+=B f 时，求边长b . 【答案】（I ）3A π=；（II．【解析】试题分析：（I ）对222b c a bc +-=两边除以2bc ,利用余弦定理可得1cos 2A =,则3A π=；（II ）化简2()sin 2cos 2xf x x =+得())14f x x π=++,依题意()1f B =,即())114f B B π=++=,求得4B π=，最后利用正弦定理求出3b =试题解析：（I ）在ABC ∆中，因为222b c a bc +-=，由余弦定理可得2221cos 222b c a bc A bc bc +-===， ∵0A π<<，∴3A π=． （II）2()sin 2cossin cos 1)124x f x x x x x π=+=++=++，())114f B B π=++=，∴4B π=，∵sin sin a b A B =，即：002sin 60sin 45b=，∴2b ⨯==．【考点】1.正弦定理；2.余弦定理．18．某小学对五年级的学生进行体质测试.已知五年级一班共有学生30人，测试立定跳远的成绩用茎叶图表示如下：（单位：cm ）：男生成绩在cm 175以上（包括cm 175）定义为“合格”，成绩在cm 175以下（不包含cm 175）定义为“不合格”.女生成绩在cm 165以上（包括cm 165）定义为“合格”，成绩在cm 165以下（不包含cm 165）定义为“不合格”.（I ）在五年级一班的男生中任意选取3人，求至少有2人的成绩是合格的概率；（II ）若从五年级一班成绩“合格”的学生中选取2人参加复试.用X 表示其中男生的人数，写出X 的分布列，并求X 的数学期望. 【答案】（I ）4255P =；（II ）分布列见解析，89．【解析】试题分析：（I ）先设事件: “仅有两人的成绩合格”为事件A ，“有三人的成绩合格”为事件B ,根据题意, 男生共12人，其中有8人合格，从而1248312(A)C C P C ⋅=,38312()C P B C =,4255P =；（II ） 因为女生共有18人，其中有10人合格，依题意，X 的取值为0,1,2,X 满足超几何分布,列出分布列028102185(0)17C C P X C ===，1181021880(1)153C C P X C ===，2081021828(2)153C C P X C ===进而求出期望与方差. 试题解析：（I ）设 “仅有两人的成绩合格”为事件A ，“有三人的成绩合格”为事件B ， 至少有两人的成绩是合格的概率为P ，则()()P P A P B =+，又男生共12人，其中有8人合格，从而1248312(A)C C P C ⋅=， 38312()C P B C =，所以4255P =. （II ）因为女生共有18人，其中有10人合格，依题意，X 的取值为0,1,2.(每项1分) 因此，X 的分布列如下：∴580281368()012171531531539E X =⨯+⨯+⨯==（人）．（或是，因为X 服从超几何分布，所以88(X)2189E =⨯=（人）． 【考点】1.茎叶图；2.古典概型；3.超几何分布．19．在四棱锥ABCD P -中，底面ABCD 为正方形，⊥PA 底面ABCD ，AP AB =，E 为棱PD 的中点.（I ）求直线AE 与平面PBD 所成角的正弦值；（II ）若F 为AB 的中点，棱PC 上是否存在一点M ，使得AC FM ⊥，若存在，求出MCPM的值，若不存在，说明理由. 【答案】（I（II ）存在，理由见解析． 【解析】试题分析：（I ）依题意，以点A 为原点建立如图的空间直角坐标系,设=2AB AP =,这样就可以得到每个点的坐标,(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2),(0,1,1)B C D P E , 求出直线AE 的方向向量与平面PBD 的法向量,然后利用夹角公式就能求出第一问；（II ）根据第一问建的坐标系,先假设M 点存在,且CM CP λ=,求出M 点的坐标后,利用FM AC ⊥,求出34λ=,进而求得1=3PM MC . 试题解析：（I ）依题意，以点A 为原点建立如图的空间直角坐标系 ， 不妨设=2AB AP =， 则(2,0,0),(2,2,0),(0,2,0),(0,0,2)B C D P ，E 为棱PD 的中点，得(0,1,1)E ，(0,1,1)AE =， (2,2,0)BD =- ，(2,0,2)PB =-， 设平面PBD 的一个法向量为(,,)n x y z =，则00n BD n PB ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩ ，即220220x y x z -+=⎧⎨-=⎩， 不妨令1y =，得(1,1,1)n =，所以cos ,AE n <>=∴直线AE 与平面PBD（II ）向量(2,2,2)CP =-- ，(2,2,0)AC =，由点M 在棱PC 上，设CM CP λ=（01λ≤≤），∴(12,22,2)FM FC CM λλλ=+=--，∵FM AC ⊥，∴0FM AC ⋅=，∴(12)2(22)2200λλλ-⨯+-⨯+⨯=，解得3=4λ，∴1=3PM MC ．【考点】1.空间向量法求解立体几何问题；2.探究性问题．20．动点P 在抛物线y x 22=上，过点P 作PQ 垂直于x 轴，垂足为Q ，设PM 21=. （I ）求点M 的轨迹E 的方程；（II ）设点)4,4(-S ，过点)5,4(N 的直线l 交轨迹于B A ,两点，设直线SB SA ,的斜率分别为21,k k ，求21k k -的最小值. 【答案】（I ） y x 42=；（II ）1．【解析】试题分析：（I ）设点),(y x M ，),(00y x P ，则由12PM PQ = ，得⎩⎨⎧==y y xx 200，因为点P 在抛物线y x 22=上，∴y x 42=；（II ）联立2(4)54y k x x y=-+⎧⎨=⎩,利用根与系数关系得到121241620x x kx x k +=⎧⎨=-⎩,下面分情况讨论. 当直线l 经过点S 即41-=x 或42-=x 时，当41-=x 时，直线SA 的斜率看作抛物线在点A 处的切线斜率，则 21-=k ，812=k ，此时81721=-k k ；同理，当点B 与点S 重合时，81721=-k k ,直线l 不经过点S 即41-≠x 且42-≠x 时，12121244,44y y k k x x --==++，化简得1214k k ⋅=-故1221k k -≥=. 试题解析：（I ）设点),(y x M ，),(00y x P ，则由12PM PQ = ，得⎩⎨⎧==y y xx 200，因为点P 在抛物线y x 22=上，∴y x 42=. （II ）方法一：由已知，直线l 的斜率一定存在， 设点()11,y x A ，()22,y x B ，则联立⎩⎨⎧=+-=yx x k y 45)4(2，得，0201642=-+-k kx x ，由韦达定理，得⎩⎨⎧-==+201642121k x x kx x .当直线l 经过点S 即41-=x 或42-=x 时，当41-=x 时，直线SA 的斜率看作抛物线在点A 处的切线斜率， 则 21-=k ，812=k ，此时81721=-k k ； 同理，当点B 与点S 重合时，81721=-k k 直线l 不经过点S 即41-≠x 且42-≠x 时，∵12121244,44y y k k x x --==++， 121212(41)(41)(4)(4)kx k kx k k k x x -+⋅-+∴⋅=+⋅+22212121212(4)()16814()16k x x k k x x k k x x x x +-++-+=+++ 4143281-=--=k k ，故1221k k-≥==，所以21kk-的最小值为1．方法二：同上22121212121212444414444444x xy yk k x xx x x x-----=-=-=-++++，12x x-==4==，所以21kk-的最小值为1．方法三：设点211,4xA x⎛⎫⎪⎝⎭，222,4xB x⎛⎫⎪⎝⎭，由直线l过)5,4(N交轨迹E于,A B两点得:221212554444x xx x--=--,化简整理得:()12121212420,=,420x x x x x x t x x t⋅=+-+⋅=-令则，22121212121212444414444444x xy yk k x xx x x x-----=-=-=-++++.而1214x x-==1==≥．【考点】1.直线与圆锥曲线的位置关系；2.根与系数关系．【方法点晴】圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何方法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数方法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个(些)参数的函数(解析式)，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解．跟与系数的关系是解这类题目的必备工具,另外题目运算量较大,需要一定的运算能力.21．已知函数)(3ln)(Raaxxaxf∈--=.（I ）求函数)(x f 的单调区间；（II ）若函数)(x f y =的图象在点))2(,2(f 处的切线的倾斜角为 45，对于任意的]2,1[∈t ，函数)2)(()(23mx f x x x g +'+=在区间)3,(t 上总不是单调函数，求m 的取值范围； （III ）求证：),2(1ln 44ln 33ln 22ln *∈≥<⨯⋅⋅⋅⨯⨯⨯N n n nn n . 【答案】（I ）证明见解析；（II ） 3793m -<<-；（III ）证明见解析．【解析】试题分析：（I ）先求函数定义域0x >,对函数()f x 求导之后对a 进行分类讨论: 当0a >时, ()f x 的单调增区间为0,1（），减区间为1+∞（，），当0a <时, ()f x 的单调增区间为1+∞（，），减区间为0,1（），当0a =时，()3f x =-不是单调函数；（II ）由(2)12a f '=-=求得2a =-,从而32()(2)22mg x x x x =++-,对()g x 求导后利用根与系数关系判断单调区间,画出函数图象,结合函数图象,得到不等式(1)50(2)2180(3)3370g m g m g m '=+<⎧⎪'=+<⎨⎪'=+>⎩,求出3793m -<<-；（III ）根据（I ）可得ln 1(1)x x x <->,在上式中分别令2,x n= 得ln 21,ln32,ln 43,,ln 1(2)n n n <<<<-≥ ，以上不等式相乘得ln 2ln3ln 4ln 123(1)(2)n n n ⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯-≥ ，两边同除以!n 得ln 2ln 3ln 4ln 1234n n n⨯⨯⨯⨯< （2,n n N *≥∈），即可证明. 试题解析： （I ）由(1)()a x f x x-'=（0x >）， ①当0a >时，显然01x <<时，()0f x '>；当1x >时，()0f x '<，所以此时()f x 的单调增区间为0,1（），减区间为1+∞（，）； ②当0a <时， ()f x 的单调增区间为1+∞（，），减区间为0,1（）；③当0a =时，()3f x =-不是单调函数．（II ）由题知(2)12af '=-=，得2a =-， 所以()2ln 23f x x x =-+-，所以32()(2)22mg x x x x =++-（0x >）， 2()3(4)2g x x m x '=++-．∵0∆>，∴()0g x '=一定有两个不等的实根12,x x ， 又∵12203x x ⋅=-<． 不妨设120x x <<，由已知10x x <<时()0g x '<，2x x >时()0g x '>， 即()g x 在2(0,)x 上递减，在2(,)x +∞上递增，依题意知2(,3)x t ∈，于是只需(1)50(2)2180(3)3370g m g m g m '=+<⎧⎪'=+<⎨⎪'=+>⎩，得3793m -<<-． （III ）由（I ）知当1a =-时，()ln 3f x x x =-+-在(1,)+∞上递增， ∴()ln 3(1)2f x x x f =-+->=-ln 1(1)x x x ⇔<->， 在上式中分别令2,3,4,,x n =得ln 21,ln32,ln 43,,ln 1(2)n n n <<<<-≥ ， 以上不等式相乘得ln 2ln3ln 4ln 123(1)(2)n n n ⨯⨯⨯⨯<⨯⨯⨯⨯-≥ ， 两边同除以!n得ln 2ln 3ln 4ln 1234n n n⨯⨯⨯⨯< （2,n n N *≥∈），即证 【考点】1.函数导数与单调性；2.分类讨论的方法；3.构造法．【方法点晴】分类讨论原则编辑:1、每级分类按同一标准进行；2、分类应逐级进行；3、同级互斥、不得越级；常见分类讨论对象:【数与代数】1、概念分段定义；2、公式、定理、法则分段表达；3、实施某些运算引起分类讨论；4、含参方程或不等式；【几何】5、图形位置不确定；6、图形形状不确定；【其他】题设本身有分类；分类讨论的步骤:1、明确分类对象；2、明确分类标准；3、逐类分类、分级得到阶段性结果；4、用该级标准进行检验筛选结果；5、归纳作出结论;ln 1(1)x x x <->是常用不等式,我们必须熟记,即使没有(1)的证明,我们也可以利用这个结论.22．已知四边形ABCD 为圆O 的内接四边形，且CD BC =，其对角线AC 与BD 相交于点M .过点B 作圆O 的切线交DC 的延长线于点P .（I ）求证：BM AD MD AB ⋅=⋅；（II ）若BM CB MD CP ⋅=⋅，求证：BC AB =. 【答案】（I ）证明见解析；（II ）证明见解析． 【解析】试题分析：（I ）因为BC CD =,所以BAC DAC ∠=∠,由角平分线定理可得AB BM AD MD =；（II ）由CP MD CB BM ⋅=⋅可得C P B MC B M D=,即BM CP MD CD =,即有//PB AC ,所以有ACB BAC ∠=∠,进而AB BC =.试题解析：（I ）由BC CD =，可知BAC DAC ∠=∠，由角分线定理可知，AB BMAD MD=，即AB MD AD BM ⋅=⋅，得证. （II ）由CP MD CB BM ⋅=⋅，可知CP BMCB MD=，又CB CD =， ∴BM CPMD CD=，∴//PB AC . ∴PBC ACB ∠=∠（内错角）， 又PBC BAC ∠=∠（弦切角）， ∴ACB BAC ∠=∠，∴AB BC =. 【考点】1.角平分线定理；2.弦切角．23．已知曲线C 的参数方程是)(sin ,cos 2为参数θθθ⎩⎨⎧==y x ，以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，B A ,的极坐标分别为)34,2(),,2(ππB A . （I ）求直线AB 的直角坐标方程；（II ）设M 为曲线C 上的点，求点M 到直线AB 距离的最大值.【答案】（I 0y ++=；（II ）【解析】试题分析：（I ）先求出,A B 两点的直角坐标为(2,0),(1,A B --,由直线方0y ++；（II ）利用点到直线的距离公式,求出M到直线AB 的距离为d ≤. 试题解析：（I ）将A 、B 化为直角坐标为44(2cos ,2sin ),(2cos,2sin )33A B ππππ，即(2,0),(1,A B --，AB k ==∴直线AB的方程为02)y x -=+0y ++． （II ）设(2cos ,sin )M θθ，它到直线AB 的距离为d ==，（其中tan ϕ=，∴max d =． 【考点】1.椭圆的参数方程；2.点到直线的距离公式；3.三角函数求最值． 24．设121)(+--=x x x f 的最大值为m . （I ）求m ；（II ）若m b c a c b a =+++∞∈2222),,0(,,，求bc ab +的最大值. 【答案】（I ）2m =；（II ）2．【解析】试题分析：（I ）采用零点分段法去绝对值3()3111311x x f x x x x x ≥+≤-⎧⎪=---<<⎨⎪--⎩，，，，，， 结合函数图象可得2m =；（II ）由于2222a cb m ++=,所以2222222()22()()2ab bc m a b c a b b c +=++=+++ ?,所以2ab bc +… .2())2ab bc + ?，∴2ab bc +… ，∴ab bc +的最大值为2， 当且仅当1a b c ===时，等号成立.【考点】1.解含有两个绝对值的不等式；2.基本不等式．。