06-07线代(2)试卷A答案

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线代期中(A类)试卷及答案 (2)

一．计算题（共50分）1．（6分）设200111313A⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）TAA，（2）T A A.2. （6分）计算行列式100 010 000 5432 xxxx+.3.（6分）计算行列式12222 22222 2232222212 2222nn-.《线性代数》课程期中考试卷学院＿＿＿年级＿＿姓名＿＿＿＿学号＿＿＿＿主考教师：试卷类型：（A卷）4. （6分）设1231212011311042025k A ⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦，()3R A =,求k .. 5.（6分）设123,,,,αβγγγ都是4维列向量，矩阵123,,,5,A αγγγ==矩阵123,,,2B βγγγ==-，求2A B +.6. （10分）设A,B,C,D 均为n 阶矩阵，E 为n 阶单位矩阵，A 是可逆矩阵. 如果分块矩阵110,,0E A B E A B P Q R CA E C D E --⎡⎤-⎡⎤⎡⎤===⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，（1）计算PQR,（2）证明矩阵Q 可逆的充分必要条件是1D CA B --是可逆的.7（10分）已知矩阵11101123351Aa⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵11101023151Baa⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦等价，确定常数a的取值范围.二. （10分）证明cos112cos1cos12cos112cosnD nααααα==.三.（15分）设A,B,C 为4阶矩阵，满足1132TA BC AB --+=，其中0100101100101101,0001111010000111B C ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦，求A .四. （20分）设1012,2,211aαβγ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦，若,T TA Bαββα==，求解方程22A x Bxγ=+.五.(5分) 设 []12,,,n A ααα=是n 阶矩阵，满足T A A E =且1A =，又[]12,,,Tn c c c β=满足1T n βα=，证明[]121,,,,n B αααβ-=可逆，并求B .二．计算题（共50分）1．（6分）设200111313A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦,计算（1）T AA ，（2）T A A . 解（1）T AA =4264228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，（2）T A A =14484228210-⎡⎤⎢⎥--⎢⎥⎢⎥-⎣⎦。

线性代数2007答案

重庆大学线性代数（Ⅱ）课程试卷2006~2007学年第2学期一、填空题（3分/每小题，共30分） ⒈517924的逆序数为 7 ；⒉ A 为3阶方阵，且A =-2，A =123A A A ⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则312123A A A A -= 6 ；⒊若向量⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=4321α，⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡=t 876β相互正交，则t ＝__-11______；⒋ A 为3阶方阵，且A =2，则()=+-*122A A 16729；5．矩阵⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--330204212的秩为 2 ；6．齐次线性方程021=+++n x x x 的基础解系的向量个数是 N-1 ；7． A 为4阶方阵，B 为7阶方阵，且2,3A B ==-则=BO OA -6 ；8．已知123,,ααα 线性无关，则133221,,αααααα+++线性无关；9．非齐次线性方程组m n A x β⨯=有解的充分必要条件为)()(β A R A R =；10．当λ为大于5 取值范围时, 二次型2332223121213216242),,(x x x x x x x x x x x x f λ+++++= 为正定.二、简答题（4分/每小题，共8分）⒈若n 阶方阵A 有O A =2，问是否O A =成立？为什么？不成立（2分），可取多个反例（2分） ⒉,A B 为n 阶方阵且相似，问,A B 是否等价？为什么？成立（2分），因为,A B 为n 阶方阵且相似，则存在C ，使得B AC C =-1，而C 可逆，则可表示初等方阵的乘积，于是,A B 等价（2分）。

三、计算题（一）（8分/每小题，共24分）1．计算四阶行列式.5021*********321---=D 解504173012107222.1730012107022204321.5021011321014321=-------=-------=---=D有过程但结果错误得一半的分数。

华工2006-2007线性代数试题及解答

华南理工大学期末考试《 2006线性代数》试卷A一、填空题（每小题4分，共20分）。

0．已知正交矩阵P 使得100010002T P AP ⎛⎫⎪=- ⎪ ⎪-⎝⎭，则2006()T P A E A P +=1．设A 为n 阶方阵，12,,n λλλ⋅⋅⋅⋅⋅⋅是A 的n 个特征根，则det( 2A )=2．设A 是n m ⨯矩阵，B 是m 维列向量，则方程组B AX =有无数多个解的充分必要条件是：rank(A)=rank(A,B)<n 3．4．若向量组α=（0，4，2），β=（2，3，1），γ=（t ，2，3）的秩为2，则t=-85．231511523()5495827x D x xx -=-，则0)(=x D 的全部根为：1、2、-3二、选择题（每小题4分，共20分）1．行列式001010100⋅⋅⋅-⋅⋅⋅-⋅⋅⋅⋅⋅⋅-⋅⋅⋅的值为（ c ）。

DA ， 1，B ，-1C ，(1)2(1)n n -- D ，(1)2(1)n n +-2．对矩阵n m A ⨯施行一次行变换相当于（ A ）。

A ，左乘一个m 阶初等矩阵，B ，右乘一个m 阶初等矩阵C ，左乘一个n 阶初等矩阵，D ，右乘一个n 阶初等矩阵3．若A 为m ×n 矩阵，()r A r n =<，{|0,}nM X AX X R ==∈。

则（ C ）。

DA ，M 是m 维向量空间，B ， M 是n 维向量空间C ，M 是m-r 维向量空间，D ，M 是n-r 维向量空间4．若n 阶方阵A 满足，2A =0，则以下命题哪一个成立（ A ）。

DA ， ()0r A =，B ， ()2n r A =C ， ()2n r A ≥，D ，()2n r A ≤5．若A 是n 阶正交矩阵，则以下命题那一个不成立（ D ）。

A ，矩阵A T 为正交矩阵，B ，矩阵1A -为正交矩阵C ，矩阵A 的行列式是±1，D ，矩阵A 的特征根是±1三、解下列各题（每小题6分，共30分） 1．若A 为3阶正交矩阵，*A 为A 的伴随矩阵，求det (*A )2．计算行列式111111111111a a a a。

课程资料：西南财经大学2006线性代数(2)及答案

西南财经大学2006 — 2007学年第二学期财税专业本科 2005 级（ 2 年级 2 学期）人力资源专业本科 2005 级（ 2 年级 2 学期）学号评定成绩（分）学生姓名担任教师《线形代数》期末 A 卷考题库（下述 —— 四题全作计100分，两小时完卷）考试日期： 2006 1 11 遵守考场纪律，防止一念之差贻误终生一、填空（每小题2分，共10分）5x 1 2 31．在多项式()f x = 1 x -2 1 2 中，4x 的系数项为，3x 的系数1 2 x 3 -1 1 2 2x 项为。

20x y z +-=2．当k = 时，线性方程组 20x ky z +-= 有非零解。

350x z -= 3．设矩阵11112A --⎛⎫=⎪⎝⎭，则1()A *-= 。

1 2 3 04．设矩阵A = 0 -1 0 3 ，则A 中四个列向量构成的向量组是线性，1 -2 2 1 0 0 0 5且()R A = 。

5．设四阶矩阵A 与B 相似，矩阵A 的特征值为11112345,,,,则行列式1BE --= 。

二、单项选择（每小题的四个选项中只有一个是正确答案，请将正确答案的番号填在括号内。

每小题2分，共20分）1 3 1λ 0 -11．设行列式1D = 2 2 3 ，2D = 0λ 0 ，若1D =2D ，则λ的取值为3 1 5 -1 0 λ （）。

（A ）0，1 （B ）0，2 （C ）1，-1 （D ）2，-1 2．设A ，B 为n 阶方阵，A ≠0，且0AB =，则（）（A ） 0BA = （B ） 222()A B A B -=+ （C ） 0B = （D ） 0B =或0A =3，已知A 、B 、C 均为可逆方阵，则1000000C B A -⎛⎫ ⎪⎪ ⎪⎝⎭=（）。

（A ）111000000C B A ---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （B ）11100000A B C ---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （C ）111000000A B C ---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭ （D ）111000000B C A ---⎛⎫⎪ ⎪ ⎪⎝⎭4．若A 为n 阶对称矩阵，且A 可逆，则有（）。

06-07-2A参考答案

一．填空题（本题满分12分，每小题3分）1、1；2、；3、；4、23−112002500120033110033A −−⎛⎞⎜⎟−⎜⎟⎜⎟=⎜⎟⎜⎟⎜⎟−⎜⎟⎝⎠二、选择题（本题满分12分，每小题3分，．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．C ；2．C ；3．A ；4、B 三．计算行列式（本题满分6分）解13分1100001100001100001111111n D −−=−−L L L L L L L L L L L 100000100000100000101231n n=−L L L L L L L LL L L n=3分解23分1100001100001100001111111n D −−=−−L L L L L L L LL L L 11n D −=+n=3分四．（本题满分12分）解：⑴由等式，得，即AB B A =+E E AB B A =+−+3分()()EE B E A =−−因此矩阵可逆，而且．2分E A −()E B E A −=−−1⑵由⑴知，，即()1−−=−E B E A ()EE B A +−=−1或2分()EE B A +−=−11()A B B E −=−3分⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=−100010001100031021010001000110000203012分⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎝⎛−=20001310211五．（本题满分14分）解：4分⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−+−→⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−−−−=01000101001221001111112323101221001111a b a a b a A 所以，⑴当时，，此时线性方程组有唯一解．2分1≠a ()()4==A A r r ⑵当，时，，，此时线性方程组无解．2分1=a 1−≠b ()2=A r )3=r ⑶当，时，，此时线性方程组有无穷多组解．2分1=a 1−=b ()()2==A A r r 此时，原线性方程组化为12342340221x x x x x x x +++=⎧⎨++=⎩因此，原线性方程组的通解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==+−−=−+=44334324311221x x x x x x x x x x 或者写为4分⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡−=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡001110210121213321k k x x x x 六．（本题满分12分）解，2分()()232300121103λλλλλλ−−=−−−−=−E A 所以得特征值2分32321===λλλ,对，解方程组，由，得特征向量21=λ()02=−x E A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−=−1001011012E A ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=0101ξ所以对应的全部特征向量为3分21=λ001011≠⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛c c ,对，解方程组，由332==λλ()03=−x E A ，得特征向量全部特征向量为0011103111001000000rA E ⎛⎞⎛⎞⎜⎟⎜⎟−=−−⎯⎯→⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠211,0ξ⎛⎞⎜⎟=−⎜⎟⎜⎟⎝⎠3分2211,00c c ⎛⎞⎜⎟−≠⎜⎟⎜⎟⎝⎠没有三个线性无关的特征向量，所以不能对角化.2分A 七．（本题满分12分）解：的矩阵为．…………2分f ⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛−−=4212411λλA 因此，二次型为正定二次型．矩阵为正定矩阵．矩阵的各阶顺序主子式全大f ⇔A ⇔A 于零．…………2分而矩阵的各阶顺序主子式分别为，，…………2分A 011>=D 22441λλλ−==D ．…………2分()()21442124113+−−=−−==λλλλA D 所以，二次型为正定二次型．，且f ⇔0422>−=λD ()()02143>+−−=λλD 由，得．0422>−=λD 22<<−λ由，得．()()02143>+−−=λλD 12<<−λ因此，得．12<<−λ即，二次型为正定二次型．…………4分f ⇔12<<−λ八．（本题满分8分）已知三维向量空间的一组基为，，()0111，，=α()1012，，=α()1103，，=α求向量在上述基下的坐标．()002，，=β解：设向量在基下的坐标为，则有β()321ααα，，()321x x x ，，，2分112233x x x β++=ααα写成线性方程组的形式，有2分⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛=⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛+⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎝⎛002110101011321x x x 即，⎪⎩⎪⎨⎧=+=+=+002323121x x x x x x 得唯一解，3分111321−===x x x ，，因此所求坐标为．1分()111−，，九．（本题满分12分）证法1：记，显然.1212(,,,),(,,,,)m m A B ααααααβ==L L ()()r A r B ≤1°因为线性无关，知1分12,,,m αααL ()r A m =2°因为线性相关，知1分12,,,,m αααβL ()1r B m <+因此，1分()r B m =有解且唯一。

线代第2章习题答案

第2章1. 1321A ⎡⎤=⎢⎥-⎣⎦，3012B ⎡⎤=⎢⎥⎣⎦，计算得762318A B -⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦，3303AB BA -⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦，22160511A B ⎡⎤+=⎢⎥⎣⎦. 2. 222200442AB BA -⎡⎤⎢⎥-=⎢⎥⎢⎥--⎣⎦，668()211202T AB ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦，444013004T T A B ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦. 3. (1) 326510121101224012421010211-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥---⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎢⎥⎢⎥---⎣⎦⎣⎦; (2) 1212323210113710324815--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦; (3) []1231121⎡⎤⎢⎥--=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦; (4) []123112312311231-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦; (5) 111121311111211322122232212222233313233331332333a a a a a a a a a a a a a a a a a a λλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦; (6) 133131112111212123323212212122223333331321312323433434142141242a a a a a a a a aa a a a a a a a a a a a a aa λλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦; (7) []111213112321222321*********3132333()a a a x x x x a a a x x a x a x a x a a a x ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦2121222323()x a x a x a x +++3131232333()x a x a x a x +++.4. 解：因为A 与B 可交换，所以AB BA =，又因为A 是对角矩阵，所以可得111112111112121221222221212222121122n n n n n n n n n n n nn n n n nn b b b b b b b b b b b b b b b b b b λλλλλλλλλλλλλλλλλλ⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ ，其中主对角线元素都相等，对于非主对角元，应有()0,i j ij b i j λλ-=≠又因为i j λλ≠，所以只能有0ij b =，当i j ≠时。

线性代数试题A答案[大全5篇]

线性代数试题A答案[大全5篇]第一篇：线性代数试题A答案2006-2007学年第二学期线性代数试题A卷参考答案及评分标准一．填空题（本题满分12分，每小题3分）⎛1-20 0 -25 -111、1；2、-3；3、A=00 3 1 00-3⎝0⎫⎪0⎪2⎪；4、2 ⎪3⎪1⎪⎪3⎭二、选择题（本题满分12分，每小题3分，．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，把所选项前的字母填在题后的括号内）1．C；2．C；3．A；4、B 三．计算行列式（本题满分6分）解 1 10Dn=001-110010Λ00-111000-11=100010100200Λ03ΛΛ1Λ00Λ0100Λ00n3-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ分Λn-1=n3分解2 10Dn=001-110010Λ00-111000=Dn-1+13分-1ΛΛ011ΛΛΛΛΛΛΛΛ-11=n3分四．（本题满分12分）解：⑴ 由等式A+B=AB，得A+B-AB+E=E，即(A-E)(B-E)=E3分因此矩阵A-E可逆，而且(A-E)=B-E．2分-1⑵ 由⑴知，A-E=(B-E)，即A=(B-E)+E-1-1A=(B-E)+E或A=B(B-E)-12分-1⎛0-10-30100⎛⎫⎛⎫⎪⎪1=200⎪+010⎪=-3 001⎪001⎪0⎝⎭⎝⎭⎝⎛1 1=-3 0 ⎝1210⎫0⎪⎪0⎪ 2分⎪2⎪⎪⎭1200⎫0⎪100⎫⎪⎛⎪0⎪+010⎪3分⎪⎪1⎪⎝001⎭⎪⎭五．（本题满分14分）解：110⎤⎡1⎡11⎢01⎥⎢0221⎥→⎢A=⎢⎢0-1a-3-2b⎥⎢0⎢⎥⎢321a-1⎣⎦⎣01110⎤1221⎥⎥4分0a-10b+1⎥⎥00a-10⎦所以，⑴ 当a≠1时，rA=r(A)=4，此时线性方程组有唯一解．2分⑵ 当a=1，b≠-1时，r(A)=2，rA=3，此时线性方程组无解．2分⑶ 当a=1，b=-1时，rA=r(A)=2，此时线性方程组有无穷多组解．2分此时，原线性方程组化为()()()⎧x1+x2+x3+x4=0 ⎨⎩x2+2x3+2x4=1因此，原线性方程组的通解为⎧x1=x3+x4-1⎪x=-2x-2x+1⎪234 ⎨x=x3⎪3⎪x4⎩x4=或者写为⎡x1⎤⎡1⎤⎡1⎤⎡-1⎤⎢x⎥⎢-2⎥⎢-2⎥⎢1⎥2⎢⎥=k⎢⎥+k⎢⎥+⎢⎥4分⎢x3⎥1⎢1⎥2⎢0⎥⎢0⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣0⎦⎣1⎦⎣0⎦⎣x3⎦六．（本题满分12分）3-λ解 A-λE=-101202-λ1=(2-λ)(3-λ)，2分03-λ所以得特征值λ1=2,λ2=λ3=32分⎛101⎫⎪对λ1=2，解方程组(A-2E)x=0，由A-2E=-101⎪，得特征向量001⎪⎝⎭⎛0⎫⎪ξ1=1⎪0⎪⎝⎭⎛0⎫⎪所以对应λ1=2的全部特征向量为c1 1⎪,c1≠03分0⎪⎝⎭⎛0 1对λ2=λ3=3，解方程组(A-3E)x=0，由A-3E=-0⎝01⎫1⎛10⎪r 1-1⎪−−→0 0100⎪0 ⎭⎝00⎫⎪⎪，⎪⎭⎛1⎫⎛1⎫⎪⎪得特征向量ξ2=-1⎪,全部特征向量为c2 -1⎪,c2≠03分0⎪0⎪⎝⎭⎝⎭A没有三个线性无关的特征向量，所以不能对角化.2分七．（本题满分12分）⎛1λ解：f的矩阵为A=λ4 -12⎝-1⎫⎪2⎪．…………2分 4⎪⎭因此，二次型f为正定二次型．⇔矩阵A为正定矩阵．⇔矩阵A的各阶顺序主子式全大于零．…………2分而矩阵A的各阶顺序主子式分别为D1=1>0，D2=1λ=4-λ2，…………2分λ41D3=A=λλ-12=-4(λ-1)(λ+2)．…………2分 44-12所以，二次型f 为正定二次型．⇔D2=4-λ2>0，且D3=-4(λ-1)(λ+2)>0由 D2=4-λ2>0，得-2<λ<2 ．由 D3=-4(λ-1)(λ+2)>0，得-2<λ<1 ．因此，得-2<λ<1 ．即，二次型f为正定二次型．⇔-2<λ<1…………4分八．（本题满分8分）已知三维向量空间的一组基为α1=(1，1，0)，α2=(1，0，1)，α3=(0，1，1)求向量β=(2，0，0)在上述基下的坐标．解：设向量β在基(α1，α2，α3)下的坐标为(x1，x2，x3)，则有x1α1+x2α2+x3α3=β，2分写成线性方程组的形式，有⎛1⎫⎛1⎫⎛0⎫⎛2⎫⎪⎪⎪⎪x1 1⎪+x2 0⎪+x3 1⎪=0⎪2分 0⎪1⎪1⎪0⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭即⎧x1+x2=2⎪⎨x1+x3=0，⎪x+x=03⎩2得唯一解x1=1，x2=1，x3=-1，3分，1，-1)．1分因此所求坐标为(1九．（本题满分12分）证法1：记A=(α1,α2,Λ,αm),B=(α1,α2,Λ,αm,β)，显然r(A)≤r(B).1°因为α1,α2,Λ,αm线性无关，知r(A)=m1分2°因为α1,α2,Λ,αm,β线性相关，知r(B)<m+1 1分因此r(B)=m，1分Ax=(α1,α2,Λ,αm)x=b有解且唯一。

06级旅游管理《线性代数》期末考试(A)卷答案及评分标准

1、互换行列式的两行（列），行列式的值不变。(×)
2、若A为n阶可逆方阵，为常数，则|A|=|A|。(×)
3．若r(A)<n时，则n元齐次方程组AX=0任意n-r(A)个线性无关解向量都是它的一个基础解系.。()
4．若v1,v2,…,vk是两两正交的非零向量组，则v1,v2,…,vk线性无关。()
5、n级对称方阵A为负定的充要条件是A的各阶顺序主子式都为负。(×)
海南师范大学地理系
旅游管理专业《线性代数》
2006—2007学年度第二学期期末考试（A）卷答案及评分标准
注意事项：1.考前请将密封线内填写清楚
2. 所有答案请直接答在试卷上
3．考试形式：闭卷
4. 本试卷共6大题，满分100分，考试时间120分钟
Hale Waihona Puke 题号一二三
四
五
六
总分
统分人
复查人
得分
得分
评卷人
复查人
一、判断题（本题共5小题，每小题2分，共10分。分别判断下列命题是否正确,正确的在其后面括号内填上“”,不正确的在其后面括号内填上“×”，填错或未填均无分）
所以属于=1的全部特征向量是是任意常。（10分）
2.设实二次型，
⑴用非退化的线性替换，把二次型(x)化为标准型；
⑵指出二次型(x)的正惯性指数、负惯性指数和符号差；
解：⑴
（3分）
令 ,即 ,（5分）
则（7分）
⑵二次型(x)的正惯性指数为2,负惯性指数为2,
符号差为0。（10分）
得分
评卷人
复查人
3、解线性方程组：；
解：
（4分）
方程组可化为 ,（6分）
令 (c1,c2为任意常数),则方程组的解为：

C成都理工大学2006-2007学年线性代数期末考试试题(含答案)

成都理工大学2006—2007学年第一学期《线性代数》考试试卷（A ）（含答案）一.填空题（每空3分，共30分）1. 已知A* =⎪⎪⎭⎫⎝⎛4031，则A = 。

2. A 、B 、C 是同阶矩阵，A 可逆，若AB = AC ，则B = 。

3. 若A 2= E ，则A 1- = 。

4. 设A = 1，A 2 = 32，则A 为阶矩阵。

5. 行列式D = 42062013-中，元素6的代数余子式为。

6. A 、B 、C 是同阶方阵，且A ≠0，BA=C ，则B= 。

7. 逆序数τ（23541）= 。

8. n + 2个n 维向量的相关无关性为（填“相关”“无关”或“不确定”）。

9. 向量组的所含向量的个数称为向量组的秩。

10. 若n 阶实矩阵A 满足，则称A 为正交矩阵。

二.单项选择题（每小题3分，共15分）11. A 、B 是同阶方阵，下面结论中（）是正确的。

(A) 若AB = 0且B ≠0，则A = 0； (B) 若AB = 0且B ≠0，则A = 0；(C) 若AB = 0且B ≠0，则A ≠0； (D)若A ≠0，则A 是可逆矩阵。

12. n 阶行列式D 的值为零的充要条件是（）(A)某一行元素全为零； (B)某两行元素相等； (C) D 的秩＜n ； (D)两行对应元素成比例. 13. 若A 是( )，则A 不一定是方阵。

(A)对称矩阵； (B)方程组的系数矩阵； (C)可逆矩阵； (D)上（下）三角形矩阵。

14. 两个非零向量α、β线性相关的充分必要条件是（）(A)α、β的对应分量成比例； (B)α=β；(C)α、β中有一个是零向量； (D) 0α+0β=0不成立. 15. 齐次线性方程组AX=0有非零解是它的基础解系存在的（）。

(A)充要条件； (B)必要条件； (C)充分条件； (D)无关条件.三.解答下列各题：（21分）16. 计算D = 1222111b a a c c b b a ca c bc b a+++17. 证明若对称矩阵A为非奇异矩阵，则A1 也对称。

线性代数习题二答案

1. 241110331032350382A B -⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=+=⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，110020130350011361B C --⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪--⎝⎭⎝⎭⎝⎭，2410204222323032011091A C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-= ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭⎝⎭.2.由32A X B -=可得()341231010283211153312111125211222234221171157115222X A B ⎡⎤-⎢⎥⎛⎫-⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=-=---=-=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥ ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦.3. 由22422243a b a b c d c d +--⎛⎫⎛⎫=⎪ ⎪+--⎝⎭⎝⎭可得，24222423a b a b c d c d +=⎧⎪-=-⎪⎨+=⎪⎪-=-⎩ 解方程组可得0,2,1,2a b c d ====. 4.设()ijm nA a ⨯=，当kA O =时，由零矩阵定义，有0ij ka =,则0k =或0ij a =，即0k =或A O =.5．（1）()()()323122382031237243181141142184011437813203515112581051137402++-+⎡⎤⎡⎤⎡⎤-⎛⎫⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=-+-+--+=- ⎪⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎢⎥++-+-⎣⎦⎣⎦⎣⎦ .（2）()()()1311113213804220142232701371021310-+---⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-=+-+=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥+-+⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦. （3）()()()()()13121110132101312111013210321023222120264203332313039630-⎡⎤-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥--------⎢⎥⎢⎥⎢⎥-==⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦ .（4）()()()()1132211322151⎡⎤⎢⎥=++-=⎢⎥⎢⎥-⎣⎦. （5）()()()()210112113121121111120101321101-⎡⎤⎢⎥-=-+--+-+-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦()325=--.（6）()()111211222211121122221212111a a b x x xy a a b y a x a y b a x a y b b x b y c y b b c ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=++++++⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦()()()()111211222212a x a y b x a x a y b y b x b y c =++++++++()2212111222222c b x b y a x a xy a y =+++++.6．21010101121A λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，3210101021131A A A λλλ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此，我们猜测101nA n λ⎛⎫= ⎪⎝⎭，下面用归纳法证明：当1n =时成立；假设当1n -时成立，则()()110101010111111nn A A A n n n λλλλλ-⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪--+⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭，因此101n A n λ⎛⎫=⎪⎝⎭.7．（1）设cos sin sin cos A θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭，则2cos 2sin 2sin 2cos 2A θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭，3cos3sin3sin3cos3A θθθθ-⎛⎫= ⎪⎝⎭，因此，我们猜测cos sin sin cos nn n A n n θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭，下面用归纳法证明：当1n =时成立；假设当1n -时成立，则()()()()1cos 1sin 1cos sin sin 1cos 1sin cos n n n n A A A n n θθθθθθθθ----⎛⎫-⎛⎫==⎪⎪--⎝⎭⎝⎭ ()()()()()()()()cos 1cos sin 1sin cos 1sin sin 1cos sin 1cos cos 1sin sin 1sin cos 1cos n n n n n n n n θθθθθθθθθθθθθθθ-------⎛⎫=⎪-+---+-⎝⎭cos sin sin cos n n n n θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭，因此cos sin sin cos n n n A n n θθθθ-⎛⎫=⎪⎝⎭.（2）设142032043A ⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，则2100010001A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，所以2100010001k A ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，21142032043k A +⎡⎤⎢⎥=--⎢⎥⎢⎥⎣⎦，即()()()()()()122111012111022121n nn nnn n A ⎡⎤----⎢⎥⎢⎥=-+--+-⎢⎥----⎢⎥⎣⎦.（3）设1111111111111111A ---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦，则 241111111140001111111104004111111110040111111110004A E ------⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎪⎢⎥⎢⎥------ ⎪⎢⎥⎢⎥=== ⎪⎢⎥⎢⎥------ ⎪⎢⎥⎢⎥------⎣⎦⎣⎦⎝⎭，所以244k k A E ==，2111111111411111111k k A +---⎡⎤⎢⎥---⎢⎥=⎢⎥---⎢⎥---⎣⎦. （4）1112233111121311112233112233212223313233()()()()T T T T T T T T n Tnn n T n a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b a b αβαβαβαβαβαβαβαβαβαβ----===++⎡⎤⎢⎥=++=++⎢⎥⎢⎥⎣⎦8, （1）设矩阵11122122x x B x x ⎛⎫=⎪⎝⎭与矩阵A 可交换，则112112222122x x x x AB x x ++⎛⎫=⎪⎝⎭，111112212122x x x BA x x x +⎛⎫= ⎪+⎝⎭，由AB BA =得210x =，1122x x =.（2）设矩阵111213212223313233x x x B x x x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭与矩阵A 可交换，则212223313233000x x x AB x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，111221223132000x x BA x x x x ⎛⎫⎪= ⎪ ⎪⎝⎭，由AB BA =得2131320x x x ===，112233x x x ==，1223x x =9. 设矩阵111213212223313233x x x B x x x x x x ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦与矩阵A 可交换，则111213212223313233ax ax ax AB bx bx bx cx cx cx ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，111213212223313233ax bx cx BA ax bx cx ax bx cx ⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦，由AB BA =得2131321213230x x x x x x ======，即与A 可交换的矩阵必为对角距阵. 10. 因为A T=A , 所以(P TAP)T=P T(P TA)T=P T A TP =P TAP ，从而P TAP 是对称矩阵. 11. 证明充分性: 因为A T=A , B T=B , 且AB =BA , 所以 (AB)T=(BA)T=A T B T=AB , 即AB 是对称矩阵.必要性: 因为A T =A , B T =B , 且(AB)T=AB , 所以AB =(AB)T=B T A T=BA.12.（1）因为AB BA =，所以()222222A B A AB BA B A AB B +=+++=++，得证.（2）因为AB BA =，所以右边2222A AB BA B A B =-+-=-=左边，得证. （3）因为AB BA =，所以()()()()()()()()()()()()()1p p pAB AB AB AB AB AB AB A BA BA BA BA BA BA B -==()()()()()()()()()()1222p p A AB AB AB AB AB AB B A BA BA BA BA B --==()()()()()()()()()23223311p p p p p pA AB AB AB AB B A AB AB AB AB B A AB B A B ----===== ；如果AB BA ≠，则上述等式不成立. 13, 1001A -⎛⎫=⎪-⎝⎭14, 充分性：因为2B E =，所以()()()22111222442A B E B E B E B A =++=+=+=；必要性：因为2A A =，所以()()()22111222442A B E B E B B E =++=+=+，整理得2B E =.15, 因为A 是反对称矩阵，B 是对称矩阵，所以TA A =-，TB B =，（1）()()()22TT T AA A A A A ==--=，即2A 是对称矩阵.（2）()()()()()TTTT T T TAB BA AB BA B A A B B A A B AB BA -=-=-=---=-，即AB BA -是对称矩阵.（3）充分性：因为AB BA =，所以()()TT TAB B A B A BA AB ==-=-=-，即A 是反对称矩阵；必要性：因为A 是反对称矩阵，所以()()TT TAB B A B A BA AB ==-=-=-，即AB BA =. 16,设111211112222121121111121n n n n n n n n n n nnn nnn a a a a a a a a A a a a a a a a a --------⎛⎫⎪ ⎪ ⎪= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭，则2A 主对角线上的元素分别为22221112111n n a a a a -++++ ，22221222212n n a a a a -++++ ，…，2222121n n n n nn a a a a -++++ ，又因为2A O =，所以222211121110n n a a a a -++++= ，222212222120n n a a a a -++++= ，…，22221210n n n n nn a a a a -++++= ，解得11121222320n n nn a a a a a a a ========== ，即A O =.17.设111212122212n n m m mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ ，则112111222212m m T nn mn a a a a a a A a a a ⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦， 222111212222122222212n Tn m m mn a a a a a a AA a a a ⎡⎤+++⎢⎥+++⎢⎥=⎢⎥⎢⎥+++⎢⎥⎣⎦因为TAA O =，则222111210n a a a +++= ，222212220n a a a +++= ，…，222120m m mn a a a +++= ，所以1112121222120n n m m mn a a a a a a a a a ======+==+++= ，即A O =. 18，（1）2111111141132222232323872341A A --------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=-=-=⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.（2）321411141110325432548723872301A A A E ------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫-+-=-+-⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭91128554024303221316141015046036-------⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 19，因为()21fλλλ=-+，所以()21551222310014391331100100531371331200110612f A A A E ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪=-+=--+= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭.20，11A d =，12A c =-，21A b =-，22A a =，所以d b A c a *-⎛⎫= ⎪-⎝⎭.若0ad bc -≠，则0A ad bc =-≠，所以矩阵A 可逆，11d b ad bc ad bc A A ca A ad bcad bc -*⎛⎫-⎪--==⎪ ⎪-⎪--⎝⎭. 21，11A d =，12A c =-，21A b =-，22A a =，所以d b A c a *-⎛⎫=⎪-⎝⎭.若0ad bc -≠，则0A ad bc =-≠，所以矩阵A 可逆，11d b ad bc ad bc A A ca A ad bcad bc -*⎛⎫-⎪--==⎪ ⎪-⎪--⎝⎭. 22.（1）200A =-≠，所以矩阵A 可逆，又112A =-，123A =-，216A =-，221A =，所以113261110103131202020A A A -*⎛⎫ ⎪--⎛⎫=== ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭- ⎪⎝⎭. （2）10A =≠，所以矩阵A 可逆，又11cos A θ=，12sin A θ=-，21sin A θ=，22cos A θ=，所以1cos sin 1sin cos A A A θθθθ-*⎛⎫== ⎪-⎝⎭. （3）10A =≠，所以矩阵A 可逆，又111A =，120A =，130A =，212A =-，221A =，230A =，317A =，322A =-，331A =，所以11271012001A A A -*-⎛⎫⎪==- ⎪ ⎪⎝⎭. （4）()()()()2123134141000100010001000112000100020011002213000100130201011214000102141001r r r A E r r r r r r ⎛⎫⎛⎫+-→ ⎪ ⎪- ⎪⎪=+-→ ⎪⎪- ⎪⎪+-→-⎝⎭⎝⎭ ()()32323424100010001000100020130201001302010020011000060312020214100100543021r r r r r r r r ⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪+-→-- ⎪ ⎪↔ ⎪ ⎪---+-→ ⎪ ⎪---⎝⎭⎝⎭()343100010000130201010014010100543021r r r ⎛⎫⎪- ⎪+-→ ⎪--- ⎪--⎝⎭()()232434100010001110001000010000223010122313111001401010010052630024352615110001824124r r r r r r ⎛⎫⎪⎛⎫ ⎪-⎪⎪+→--- ⎪ ⎪→ ⎪----- ⎪+-→ ⎪⎪--⎝⎭⎪-- ⎪⎝⎭所以，距阵A 可逆，且1100011002211102631511824124A -⎛⎫ ⎪ ⎪- ⎪ ⎪=-- ⎪ ⎪ ⎪-- ⎪⎝⎭. （5）因为0A =，所以1A -不存在.（6）50A =≠，所以矩阵A 可逆，又113A =，122A =，131A =-，213A =-，223A =，231A =，311A =-，324A =-，332A =，所以13315551234555112555A A A-*⎛⎫-- ⎪⎪ ⎪==- ⎪ ⎪ ⎪- ⎪⎝⎭. （7）2312223341000100110000100010010100(,)001000100100100001001010001a a a a r ar a a a A E r ar a a r ar -⎡⎤⎡⎤-⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦ 所以，距阵A 可逆，且11110110010001a a A a --⎡⎤⎢⎥-⎢⎥=⎢⎥-⎢⎥⎣⎦22，（1）1100500510121012271003403453753712333023023X -⎛⎫⎪⎛⎫⎪---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪==-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪------⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪⎪-⎝⎭⎪⎝⎭；（2）1100001100001001100a a a a Xb b b bc c c c -⎛⎫ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪ ⎪=== ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎪⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎪⎝⎭；（3）111111211000111112100001110120000011000210000100012X -⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦11000211000110012100001000120000011000210000100012-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦1110011100011000001100012--⎡⎤⎢⎥-⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎢⎥⎣⎦（4）由XP PB =得：111001001002100002102110012111001010010021000021020021101411611X PBP --⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥==--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥-----⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦511111111111111151()()()()()()()()()X PBP PBP PBP PBP PBP PBP PBP PBP PBP PBP PB P P B P P B P P B P P BP PB P----------------====5B B =，故55100200611X XB X XBX ⎡⎤⎢⎥===⎢⎥⎢⎥--⎣⎦23，100110111A -⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥-⎣⎦故：11210010(2)(2)110120111112100100200110120120011112112A E A A E ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥++-=--⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎣⎦⎣⎦--⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=---=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦⎣⎦24，1311110,211A --⎡⎤⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦ 由1111*111,,3A A A A A A A ----====－，得*1113A A A A --==，*1**1211211()111,()1119154154A A ---⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥=-=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥----⎣⎦⎣⎦25，1*11210121001210121,0012001200010001A A A A ----⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦而*A 中的所有元素即为A 中所有元素的代数余子式，即A 所有元素的代数余子式为0. 26，由题意得：*1()*E A A kA AA kE A E kE -=-+=--=--，即 13k A =--=- 27，（1）.因为2AX B X =+，所以()2A E X B -=，又因为()111013112111110112211A E ----⎛⎫⎛⎫⎪ ⎪-=-=- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭则()13112135242110012201211103311X A E B ---⎛⎫⎛⎫⎛⎫ ⎪⎪ ⎪=-=-= ⎪⎪ ⎪ ⎪⎪ ⎪----⎝⎭⎝⎭⎝⎭（2）由题意得：11()()()()AXA BXB AXB BXA EA B X A B E X A B A B --+--=⇒--=⇒=-- 故：11111111125011011012001001001X ------⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦（3）由12*0,2n A A AA A ->==⇒=1*1002211002210022A A A A-⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥==-⇒=-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎢⎥⎣⎦由111111133()31263()332231122ABA BA E ABA BA E A E BA E B A E A -------=+⇒-=⇒-=⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⇒=-=--=⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦--⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦28，因为A ，B ，C 都是非奇异矩阵，所以1A -，1B -，1C -存在，又111111ABC C B A C B A ABC E ------==，则由推论知ABC 可逆，且()1111ABC C B A ----=29，111111AB BA B ABBB BAB B A AB ------=⇔=⇔=，111111AB BA A ABA A BAA BA A B ------=⇔=⇔=， ()()111111AB BA AB BA B A A B ------=⇔=⇔=，综上可得11111111AB BA ABB A A B BA A B B A --------=⇔=⇔=⇔=.30，（1）不成立，A B =-时不成立.（2）成立，A ，B 可逆，0A ≠，0B ≠，0AB A B =≠，则AB 可逆. （3）成立，AB 可逆，0AB A B =≠，0A ≠，0B ≠，则A ，B 可逆. 31，()2200A A E A A E A E A E A -+=⇒-=⇒-=⇒≠，即A 为非奇异矩阵. 32，因为B 可逆，所以0B ≠，20B B B =≠，又22A AB B O ++=，则22A AB B +=-，()()22210nA AB A A B A A B B B +=+=+=-=-≠，即0A ≠，0A B +≠，由推论知A 和A B +都可逆. 33，证明：假设*A 可逆，则1*00n A AA -=≠⇒≠，即A 可逆，1A -存在，再由2211A A A A AA A E --=⇒=⇒=与题设A E ≠矛盾，故假设不成立即*A 不可逆，证毕。

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北京林业大学 2006 –2007 学年第2学期试卷(A)解答
试卷名称：线性代数Ⅱ 课程所在院系：理学院
考试班级：学号：姓名：成绩：
一、填空题(将正确答案填在题中横线上)（每空3分，共计30分） 1、(1,2,3),(5,1,), 1 k k αβαβ=--==则时，向量与正交
2．设α＝(2，-1，5)，β＝(-1,1,1)，则α＋β＝，3α－2β＝ 3、如果一个向量组线性无关，那么它的任意一个部分组线性__ _关。

4、设三阶可逆矩阵A 的特征值是1、13
、2，则A -1
的特征值为，且1
A -=
5、设 A 是3阶方阵，且
5A =，则A *=
6、设 ⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛=300042032A , 则 A -1
等于
7、设三阶方阵
()()1212,,,,2,3A B αγγβγγ==- , 其中αβγγ,,,12 均是三维列向量
1,
33
A B =-=, 则5A B +=
8、设矩阵 100211212P ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
, 122220212A ⎡⎤⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥--⎣⎦ , 222200311Q -⎡⎤
⎢⎥=-⎢⎥⎢⎥⎣⎦
, B PAQ =，
则B 的秩等于_______。

二、计算行列式 1111
1111
11111111
-=--D (本大题8分)
a 取何值时，矩阵23653014114589A a --⎛⎫ ⎪
=- ⎪ ⎪--⎝⎭
的秩是2.
四、解答题(本大题10分)
12341234(2,1,3,1),(1,1,3,1),(4,5,3,1),(1,5,3,1),
,,,,αααααααα=-=--=-=-设求向量组的一个极大线性无关组并将其余的向量用它线性表示.
五、解答题(本题8分 )
求齐次线性方程组1234512345
12351234522023203503230
x x x x x x x x x x x x x x x x x x x +-+-=
⎧⎪++-+=⎪⎨+-+=⎪⎪++-+=⎩的一个基础解系.
当 k 取何值时, 方程组 ⎪⎩⎪
⎨⎧=++=++=++15
6453423321
321321x x x k x x x x x x 有解, 并求出此时的通解.
七、证明题(本题6分 )
()()1
2240,,.
A A I A n I n A I A I ---=++若其中是阶方阵,是阶单位矩阵,证明可逆并求
八、证明题( 本题8分 )
.00
00032132313
22312
11312=------= n
n n
n n
n a a a a a a a a a a a a D n 列式为奇数，证明反对称行设.
设
210
120
003
A
⎛⎫
⎪= ⎪
⎪
⎝⎭
，
（1）求A的特征值和特征向量
（2）求正交矩阵T，使T AT
'为对角阵，并写出对角阵。