等差、等比数列的性质及综合应用共41页文档
数列等差数列与等比数列的性质及其应用
题目第三章数列等差数列与等比数列的性质及其应用高考要求(1)理解数列的概念，了解数列通项公式的意义了解递推公式是给出数列的一种方法，并能根据递推公式写出数列的前几项(2)理解等差数列的概念，掌握等差数列的通项公式与前n项和公式，并能解决简单的实际问题(3)理解等比数列的概念，掌握等比数列的通项公式与前n项和公式，井能解决简单的实际问题知识点归纳1一般数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=2等差数列的通项公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1为首项、ak为已知的第k项) 当d≠0时，an是关于n的一次式；当d=0时，an是一个常数3等差数列的前n项和公式：Sn= Sn= Sn=当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0；当d=0时（a1≠0），Sn=na1是关于n的正比例式4等差数列的通项an与前n项和Sn的关系：an=5等差中项公式：A= （有唯一的值）6等比数列的通项公式：an= a1 qn-1 an= ak qn-k (其中a1为首项、ak为已知的第k项，an≠0)7等比数列的前n项和公式：当q=1时，Sn=n a1 (是关于n的正比例式)；当q≠1时，Sn= Sn=8等比中项公式：G= （ab>0，有两个值）9等差数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等差数列10等差数列{an}中，若m+n=p+q，则11等比数列{an}中，若m+n=p+q，则12等比数列{an}的任意连续m项的和构成的数列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m - S3m、……仍为等比数列（当m为偶数且公比为-1的情况除外）13两个等差数列{an}与{bn}的和差的数列{an+bn}、{an-bn}仍为等差数列14两个等比数列{an}与{bn}的积、商、倒数的数列{anbn}、、仍为等比数列15等差数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列16等比数列{an}的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列17三个数成等差的设法：a-d,a,a+d；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d18三个数成等比的设法：a/q,a,aq；四个数成等比的错误设法：a/q3,a/q,aq,aq3 (因为其公比为>0,对于公比为负的情况不能包括)19{an}为等差数列，则(c>0)是等比数列20{bn}（bn>0）是等比数列，则{logcbn} (c>0且c1) 是等差数列题型讲解例1 公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列,求公比q解: 设等差数列的通项an = a1+(n-1)d (d≠0)根据题意得a32 = a2a6 即(a1+2d)2 = (a1+d)(a1+5d),解得所以例2 设各项均为正数的数列{an}和{bn}满足:an、bn、an+1成等差数列,bn、an+1、bn+1成等比数列,且a1 = 1, b1 = 2 , a2 = 3 ,求通项an,bn解: 依题意得:2bn+1 = an+1 + an+2 ①a2n+1 = bnbn+1 ②∵an、bn为正数, 由②得,代入①并同除以得: ,∴为等差数列∵b1 = 2 , a2 = 3 , ,∴,∴当n≥2时,,又a1 = 1,当n = 1时成立, ∴例3在等比数列{an}的前n项中，a1最小，且a1+an=66，a2 an-1=128，前n项和Sn=126, 求n和公比q解：∵{an}为等比数列∴a1·an=a2·an-1由a1·an=128 ，a1+an=66 且a1最小得a1=2 ，an=64解得解得n=6,∴n=6,q=2例4 已知：正项等比数列{an}满足条件：①；②；求的通项公式解：易知，，由已知得①，②①÷②得，即，∴①×②得，即，即，∴，即∴例5在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列，则am, am+2, am+1成等差数列（１）写出这个命题的逆命题；（２）判断逆命题是否为真，并给出证明解：（１）逆命题：在等比数列{an}中，前n项和为Sn，若am, am+2, am+1成等差数列，则Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列（２）设{an}的首项为a1，公比为q由已知得2am+2= am + am+1 ∴2a1qm+1=a1+a1qm∵a1≠0 q≠0 ,∴2q2－q－1=0 ,∴q=1或q=－当q=1时，∵Sm=ma1，Sm+2= (m+2)a1，Sm+1= (m+1)a1，∴Sm+Sm+1≠2 Sm+2,∴Sm，Sm+2，Sm+1不成等差数列当q=－时,,∴Sm+Sm+1=2 Sm+2 ,∴Sm，Sm+2，Sm+1成等差数列综上得：当公比q=1时，逆命题为假；当公比q≠1时，逆命题为真点评对公比进行分类是本题解题的要害所在，问题好在分类，活在逆命题亦假亦真二者兼顾，可谓是一道以知识呈现、能力立意的新颖试题例6 在1与2之间插入n个正数a1,a2,a3,…,an使这n+2个数成等比数列;又在1与2之间插入n个正数b1,b2,b3,…,bn使这n+2个数成等差数列记An = a1a2a3…an , Bn = b1+b2+b3+…+bn①求数列{An}和{Bn}的通项;②当n≥7时,比较An与Bn的大小,并证明你的结论解: ①∵1,a1,a2,a3,…,an , 2成等比数列,∴a1·an = a2·an-1 = …= ak·an-k+1 = …=1×2 = 2∴A2n = (a1·an)( a2·an-1)…(ak·an-k+1)…(an-1·a2)(an·a1) = 2n∴∵1,b1,b2,b3,…,bn ,2成等差数列,∴b1+ bn = 1+2 = 3 ，∴②∵, ∴,要比较An与Bn的大小,只需比较A2n与B2n的大小,也即比较当n≥7时,的大小,∵当n = 7时, ,∴当n = 7时,经验证: n = 8 , n = 9时,均有命题成立猜想当n≥7时有,用数学归纳法证明：(ⅰ) 当n = 7时, 已验证, 命题成立(ⅱ) 假设n = k ( k≥7) 时,命题成立,即又当k≥7时,有k2 > 2k + 1, ∴这就是说,当n = k + 1时, 命题成立根据(ⅰ) (ⅱ),可知命题对于都成立故当n ≥7时,An > Bn例7 n2( n≥4)个正数排成n行n列:其中每一行的数成等差数列,每一列的数成等比数列,并且所有公比相等已知a24=1,求S=a11 + a22 + a33 + …+ ann解: 设数列{}的公差为d, 数列{}(i=1,2,3,…,n)的公比为q则= a11 + (k-1)d , akk = [a11 + (k-1)d]qk-1依题意得:,解得:a11 = d = q = ±又n2个数都是正数,∴a11 = d = q = , ∴akk =,,两式相减得:例8 已知数列中，是其前项和，并且，⑴设数列，求证：数列是等比数列；⑵设数列，求证：数列是等差数列；⑶求数列的通项公式及前项和分析：由于{b}和{c}中的项都和{a}中的项有关，{a}中又有S=4a+2，可由S-S作切入点探索解题的途径解：(1)由S=4a，S=4a+2，两式相减，得S-S=4(a-a)，即a=4a-4a(根据b的构造，如何把该式表示成b与b的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)∴a-2a=2(a-2a)，又b=a-2a，所以b=2b①已知S=4a+2，a=1，a+a=4a+2，解得a=5，b=a-2a=3②由①和②得，数列{b}是首项为3，公比为2的等比数列，故b=3·2当n≥2时，S=4a+2=2(3n-4)+2；当n=1时，S=a=1也适合上式综上可知，所求的求和公式为S=2(3n-4)+2说明：本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前项和解决本题的关键在于由条件得出递推公式小结：1 等差数列和等比数列的通项公式、前n项和公式联系着五个基本量: a1,d(或q),n,an,Sn “知三求二”是最基本的运算,充分利用公式建立方程是最基本的思想方法2列举一些项来判断“关系”和“性质”是解决数列问题常用的思路和手段3解综合题要总揽全局，尤其要注意上一问的结论可作为下面论证的已知条件，在后面求解的过程中适时应用学生练习1数列1,1/3,1/7,1/16,1/31,…的一个通项公式为an=答案：1/(2n─1) ;2数列a,b,a,b,…的一个通项公式an=答案：[(a+b)+(─1)n─1(a─b)] ;3数列{an}的前n项之和为Sn=3+2n,则其通项公式为an=答案：;4数列{an}满足a1=1,an=an─1/2+1 (n2),求其通项公式答案：2─1/2n─15数列{an}中，已知a1=c,an+1=pan+q, (p≠1),求an的通项公式答案：（略）6数列{an}满足a1=1/2,a1+a2+…+an=n2an,求an答案：a1+a2+…+an=n2an，a1+a2+…+an─1=an─1 an/an─1=(n─1)/(n+1)取n=2,3,4,…,n代入上式，各式相乘得：an/a1===（注意上述变形方法，一个式子可以变化成无穷多个式子，这就是函数思想）7数列{an}的前n项之和Sn和第n项an之间满足2lg=lgSn+lg(1─an),求an和Sn答案：原式可以变为(Sn─an+1)2=4Sn(1─an)a1=1/2,可以变为(Sn─1+1)2=4Sn(1+Sn─1─Sn)(Sn─1+1)2─4Sn(Sn─1+1)+4Sn2=(Sn─1+1─2Sn)2=0Sn─1+1=2SnSn=Sn─1/2+1/2,如果有常数x，使得Sn+x=(Sn─1+x)/2,比较原式可得：─x/2=1/2x=─1,∴Sn─1=(Sn─1─1)/2Sn=(S1─1) =─,从而an=Sn─Sn─1=,另解：直接由原式移项配方可得：[Sn─(1─an)]2=0Sn=1─an, Sn─1=1─an─1两式相减得：an=Sn─Sn─1=an─1─an(适合n=1)an=an─1/2,{an}为等比数列，an=点评：以上两种解题的思路有所不同，第一种方法是从an转向Sn,第二种方法是从Sn转向an8数列{an}与{bn}的通项公式分别为an=2n,bn=3n+2,它们的公共项从小到大排成的数列是{cn},写出{cn}的前5项；(2)证明{cn}是等比数列答案：(1){cn}的前5项为8,32,128,512,2048;设am=bp=cn,则cn=2m=3p+2am+1=2m+1=2(3p+2)=3(2p+1)+1,∴am+1不在{cn}中，而am+2=2m+2=4(3p+2)=3(4p+2)+2是{bn}中的项，即cn+1=4cn {cn}是公比为4的等比数列9如图：一个粒子在第一象限运动，在第一秒内它从原点运动到(0,1),而后它接着按图所示的方向在与x轴，y轴平行的方向上来回运动，且每秒移动一个单位长度，那么1999秒时，这个粒子所处的位置为答案：选择粒子到达对角点时的总时间为分析对象设粒子到达第n个正方形的对角点所用的总时间为an,则有an+1=an+(n+1)+1+n=an+2(n+1),∴a1=2a2=a1+4a3=a2+6a4=a3+8……an=an─1+2n以上各式相加可得：an=n(n+1),比较an与1999列式：n(n+1)=1999,当n=44时，an=1980,当n=45时，an=2070>1999,因此粒子走到第44个对角点(44,44)后，在向左走19秒(经过奇数对角点后向下，经过偶数对角点后向左)，即(25,44)本题的解题关键是构造数列，找出数列的递推式10一楼至2楼共n级台阶，上楼梯可以一步上一级台阶，也可以一步上两级台阶，问从一楼上到2楼共有多少种不同的走法？答案：设从一楼到第k级台阶共有ak种走法，则有关系式：a1=1,a2=2, ak+2=ak+1+ak,（这是一个Fibonacci数列）假设存在两个常数p,q，使得ak+2+pak+1=q(ak+1+pak)设bk=ak+1+pak, 便有bk=b1qk ─1, 即 ak+1+pak=(a2+pa1)qk ─1 用方程思想，假设有这样的p,q ，则有： 解得：p=,q=,或p=─,q=─将上述两组数据分别代入ak+1+pak=(a2+pa1)qk ─1式，可得：上述两式子相减得：一等差数列与等比数列的性质及其应用 知识点归纳1一般数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n =⎩⎨⎧≥-=-)2()1(11n S S n S n n2等差数列的通项公式：a n =a 1+(n-1)d a n =a k +(n-k )d (其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项) 当d ≠0时，a n 是关于n 的一次式；当d=0时，a n 是一个常数 3等差数列的前n 项和公式：S n =d n n na 2)1(1-+ S n =2)(1n a a n +S n =d n n na n 2)1(--当d ≠0时，S n 是关于n 的二次式且常数项为0；当d=0时（a 1≠0），S n =na 1是关于n 的正比例式4等差数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系：a n =1212--n S n5等差中项公式：A=2b a + （有唯一的值）6等比数列的通项公式： a n = a 1 q n-1 a n = a k q n -k (其中a 1为首项、a k 为已知的第k 项，a n ≠0)7等比数列的前n 项和公式：当q=1时，S n =n a 1 (是关于n 的正比例式)； 当q≠1时，S n =qq a n--1)1(1 S n =qq a a n --118等比中项公式：G=ab ± （ab>0，有两个值）9等差数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等差数列10等差数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a +=+ 11等比数列{a n }中，若m+n=p+q ，则q p n m a a a a ∙=∙12等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列S m 、S 2m -S m 、S 3m -S 2m 、S 4m - S 3m 、……仍为等比数列（当m 为偶数且公比为-1的情况除外）13两个等差数列{a n }与{b n }的和差的数列{a n+b n }、{a n -b n }仍为等差数列14两个等比数列{a n }与{b n }的积、商、倒数的数列{a n ∙b n }、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列15等差数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等差数列16等比数列{a n }的任意等距离的项构成的数列仍为等比数列17三个数成等差的设法：a-d,a,a+d ；四个数成等差的设法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d18三个数成等比的设法：a/q,a,aq ；四个数成等比的错误设法：a/q 3,a/q,aq,aq 3(因为其公比为2q >0,对于公比为负的情况不能包括) 19{a n }为等差数列，则{}na c (c>0)是等比数列20{b n }（b n >0）是等比数列，则{log c b n } (c>0且c ≠1) 是等差数列题型讲解例1 公差不为零的等差数列的第二、三、六项成等比数列,求公比q 解: 设等差数列的通项a n = a 1+(n-1)d (d ≠0) 根据题意得 a 32= a 2a 6 即(a 1+2d)2= (a 1+d)(a 1+5d), 解得 d a 211-=所以.32122121123=+-+-=++==dd dd da d a a a q例 2 设各项均为正数的数列{a n }和{b n }满足:a n 、b n 、a n+1成等差数列,b n 、a n+1、b n+1成等比数列,且a 1 = 1, b 1 = 2 , a 2 = 3 ,求通项a n ,b n 解: 依题意得:2b n+1 = a n+1 + a n +2 ① a 2n+1 = b n b n+1 ② ∵ a n 、b n 为正数, 由②得21211,+++++==n n n n n n b b a b b a ,代入①并同除以1+n b 得: 212+++=n n n b b b ,∴ }{n b 为等差数列∵ b 1 = 2 , a 2 = 3 , 29,22122==b b b a 则 , ∴2)1(),1(22)229)(1(22+=∴+=--+=n b n n b n n ,∴当n ≥2时,2)1(1+==-n n b b a n n n , 又a 1 = 1,当n = 1时成立, ∴2)1(+=n n a n例3在等比数列{a n }的前n 项中，a 1最小，且a 1+a n =66，a 2 a n -1=128，前n 项和S n =126, 求n 和公比q解：∵{a n }为等比数列 ∴a 1·a n =a 2·a n -1 由a 1·a n =128 ， a 1+a n =66 且 a 1最小 得a 1=2 ，a n =641264126,126,12611n n a a q q S qq--=∴==--即解得2q =1264,26,n nq-⋅=∴=解得n =6,∴n =6,q =2例4 已知：正项等比数列{a n }满足条件： ① 12154321=++++a a a a a ； ②251111154321=++++a a a a a ；求{}n a 的通项公式n a 解：易知 0>q ，1≠q ，由已知得1211)1(51=--qq a ①，251)1(155=--qq a ②①÷②得 2512151=a a ，即 2512123=a ，∴ 5113=a①×②得2242555)1()1(=--q q q ，即5512432=++++qqq q q ，即056)1()1(2=-+++qq qq ，∴71=+qq ，即 2537±=q∴333)2537(511--±==n n n qa a 例5在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若S m ，S m+2，S m+1成等差数列，则a m , a m+2, a m+1成等差数列（１）写出这个命题的逆命题；（２）判断逆命题是否为真，并给出证明解：（１）逆命题：在等比数列{a n }中，前n 项和为S n ，若a m , a m+2, a m+1成等差数列，则 S m ，S m+2，S m+1成等差数列（２）设{a n }的首项为a 1，公比为q由已知得2a m+2= a m + a m+1 ∴2a 1q m+1=a 11-m q +a 1q m ∵a 1≠0 q ≠0 ,∴2q 2－q －1=0 ,∴q=1或q=－21当q=1时，∵S m =ma 1， S m+2= (m+2)a 1，S m+1= (m+1)a 1， ∴S m +S m+1≠2 S m+2,∴S m ，S m+2，S m+1不成等差数列当q=－21时, 2212112[1()]4122113212m m m a S a +++--⎡⎤⎛⎫==--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦+, 12111111[1()][1()]4122111321122mm m m m a a S S a +++----⎡⎤⎛⎫+=+=--⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦++∴S m +S m+1=2 S m+2 , ∴S m ，S m+2，S m+1成等差数列综上得：当公比q=1时，逆命题为假；当公比q ≠1时，逆命题为真点评 对公比进行分类是本题解题的要害所在，问题好在分类，活在逆命题亦假亦真二者兼顾，可谓是一道以知识呈现、能力立意的新颖试题例6 已知数列{}n a 中，n S 是其前n 项和，并且142(1,2,)n n S a n +=+= ，11a = ⑴设数列),2,1(21 =-=+n a a b n n n ，求证：数列{}n b 是等比数列；⑵设数列),2,1(,2==n a c nn n ，求证：数列{}n c 是等差数列；⑶求数列{}n a 的通项公式及前n 项和分析：由于{b n }和{c n }中的项都和{a n }中的项有关，{a n }中又有S 1n +=4a n +2，可由S 2n +-S 1n +作切入点探索解题的途径解：(1)由S 1n +=4a 2n +，S 2n +=4a 1n ++2，两式相减，得S 2n +-S 1n +=4(a 1n +-a n )，即a 2n +=4a 1n +-4a n (根据b n 的构造，如何把该式表示成b 1n +与b n 的关系是证明的关键，注意加强恒等变形能力的训练)∴a 2n +-2a 1n +=2(a 1n +-2a n )，又b n =a 1n +-2a n ，所以b 1n +=2b n ①已知S 2=4a 1+2，a 1=1，a 1+a 2=4a 1+2，解得a 2=5，b 1=a 2-2a 1=3 ② 由①和②得，数列{b n }是首项为3，公比为2的等比数列，故b n =3·21n -当n ≥2时，S n =4a 1n -+2=21n -(3n-4)+2；当n=1时，S 1=a 1=1也适合上式 综上可知，所求的求和公式为S n =21n -(3n-4)+2说明：本例主要复习用等差、等比数列的定义证明一个数列为等差，等比数列，求数列通项与前n 项和解决本题的关键在于由条件241+=+n n a S 得出递推公式。
(完整版)等差等比数列的性质总结,推荐文档
6．等差数列的证明方法
定义法：若 an an1 d 或 an1 an d (常数 n N ) an 是等差数列．
7.提醒：
（1）等差数列的通项公式及前 n 和公式中，涉及到 5 个元素： a1 、 d 、 n 、 an 及 Sn ，其中 a1 、 d 称作
为基本元素。只要已知这 5 个元素中的任意 3 个，便可求出其余 2 个，即知 3 求 2。 （2）设项技巧：
①一般可设通项 an a1 (n 1)d ②奇数个数成等差，可设为…， a 2d , a d , a, a d , a 2d …（公差为 d ）； ③偶数个数成等差，可设为…， a 3d , a d , a d , a 3d ,…（注意；公差为 2 d ）
8..等差数列的性质：
（1）当公差 d 0 时，
5．等差数列的判定方法
（1） 定义法：若 an an1 d 或 an1 an d (常数 n N ) an 是等差数列． （2） 等差中项：数列 an 是等差数列 2an an-1 an1 (n 2) 2an1 an an2 ． ⑶数列 an 是等差数列 an kn b （其中 k, b 是常数）。 （4）数列 an 是等差数列 Sn An2 Bn ,（其中A、B是常数）。
即 当 a1 0，d 0，由 aann1 00 可得 Sn 达到最小值时的 n 值．
或求 an中正负分界项
法三：直接利用二次函数的对称性：由于等差数列前n项和的图像是过原点的二次函数，故n取离二次函数对
称轴最近的整数时， Sn 取最大值（或最小值）。若S
p
=
S
q则其对称轴为 n
pq 2
注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
S奇 S偶
n 1 n
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等差、等比数列的综合应用
函数 y＝f(x)的图象上 等差数列等比数列的综合应用
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(1)求数列{a }的通项公式； 等差、等比数列的综合应用
等差、等比数列的综合应用 等差数列等比数列的综合应用
n
等差、等比数列的综合应用
等差数列等比数列的综合应用
(2)设 b ＝ 3 ，T 等等差差、 、等等比比数数列列的的综综合合n 应应用用 a a 等差、等比数列的综合应用
(2)由(1)得 bn＝ana3n＋1＝6n－5[63n＋1－5]＝12(6n1－5－6n1＋1)
故
Tn
n
＝ bi
i＝1
＝12
×[(1－17
)＋
1 (7
－
1 13)
＋…＋
1 (6n－5
－6n1＋1
)]
＝
1 2
(1－6n1＋1) 因此使得12 (1－6n1－1)<2m0(n∈N*)成立的 m 必须且仅须满足12 ≤2m0 即 m≥10.故满足要求的最小正整数 m 为 10.
n
n＋1
n
是数列{bn}的前
n
项和，求使得
Tn<2m0对所
等差数列等比数列的综合应用
等等差差、 、等等有比比数数n列列∈的的综综N合合应应*都用用 成立的最小正整数 m.
【思路分析】 应用点(n，Sn)(n∈N*)在函数 y＝f(x)的图象上可
以求出 Sn 关于 n 的函数表达式，接下去就顺理成章了．
2．(2010 山东省)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn，点(n，Sn)(n∈N*)
等差数列在等比函数列数的综合f(应x用)＝3x2－2x 的图象上．
等差,等比数列的性质及应用
a1 + a2 + ⋯ + a6 = 36 ① 解：由题意知， an + an −1 + ⋯ + an − 5 = 180 ②
6( ∴①+②得： a1 + a n ) = 216, ∴ a1 + a n = 36
又 sn = 324
∴
n ( a1 + a n ) 2
= 324
即
n × 36 2
， 往往求解复杂，故常转换思路利用 整体代换和化归思想方法来解决。
练习: 练习
s 在等差数列｛ 在等差数列｛an｝中， 2
则
= 7, s6 = 90，
s4
37 =______.
二.典型例题 典型例题 例4: 在等比数列｛an｝中，an>0(n∈N*)，
公比 q∈(0,1)，且a1a5+2a3a5+a2a8=25, 又a3与a5的等比中项为2. (1)求数列｛an｝的通项公式; (2)设bn=log2an ，数列｛bn｝的前n项和
S1 S 2 Sn + +⋯ + 最大时，求n的值. 1 2 n
解：由(1)知:
bn = log2 an = log2 2 =5−n
5−n
∵ bn +1 − bn = [5 − (n + 1) ] − ( 5 − n ) = −1
∴ {bn } 是以4为首项，-1为公差的等差数列
∴ Sn =
9 n − n2 2
2.等比数列 {a n } 中， a15 = 10, a 45 = 90 等比数列
则 a 60 =
±270
四.总结：
1.应用等差、等比数列的性质解题时，
等差等比数列性质总结
等差等比数列性质总结一、等差数列1、定义：等差数列是指在数列中任意两项之间的差值相等的数列。
2、正则式：若等差数列$\left\{ {{a_n}} \right\}$的首项为$a_1$，公差为d，n为正整数，则其等差数列正则式为：$$a_n=a_1+(n-1)d$$3、数列函数：若等差数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$的首项为$a_1$，公差为d，则其函数形式为：$$f(x)=a_1+(x-1)d$$4、首项和公差：若等差数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$中，$a_1$为首项，$a_2$和$a_1$之差为公差d，则$$d = \left( {a_2 - a_1} \right) = \left( {a_3 - a_2} \right) = \left( {a_n - a_{n - 1}} \right)$$5、求和公式：若等差数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$中，$a_1$为首项，公差为d，n为正整数，则$a_1$+$a_2$+$a_3$+……+$a_n$的和$$S_n=n \cdot a_1 + \frac{1}{2} \cdot n \cdot \left( {n - 1} \right) \cdot d$$二、等比数列1、定义：等比数列是指在数列中任意两项之比都相等的数列。
2、正则式：若等比数列$\left\{ {{a_n}} \right\}$的首项为$a_1$，公比为q，n为正整数，则其等比数列正则式为：$$a_n=a_1q^{n-1}$$3、数列函数：若等比数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$的第一项为$a_1$，公比为q，则其函数形式为：$$f(x)=a_1q^{x-1}$$4、首项和公比：若等比数列 $\left\{ {{a_n}} \right\}$中，$a_1$为首项，$a_2$和$a_1$之比为公比q，则。
(5)等差数列、等比数列的性质及应用
等差数列、等比数列的性质及应用（一）主要知识：有关等差、等比数列的结论1．等差数列{}n a 的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S --仍为等差数列．2．等差数列{}n a 中，若m n p q +=+，则q p n ma a a a +=+3．等比数列{}n a 中，若m n p q+=+，则mn p q aa a a ⋅=⋅4．等比数列{a n }的任意连续m 项的和构成的数列232,,,m m m m m S S S S S --仍为等比数列．5．两个等差数列{}n a 与{}n b 的和差的数列{}n n a b ±仍为等差数列．6．两个等比数列{}n a 与{}n b 的积、商、倒数的数列{}n n a b ⋅、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n n b a 、⎭⎬⎫⎩⎨⎧n b 1仍为等比数列． （二）主要方法：1．解决等差数列和等比数列的问题时，通常考虑两类方法：①基本量法：即运用条件转化为关于1a 和()d q 的方程；②巧妙运用等差数列和等比数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量． 2．深刻领会两类数列的性质，弄清通项和前n 项和公式的内在联系是解题的关键．（三）例题分析：例1．（1）若一个等差数列前3项的和为34，最后三项的和为146，且所有项的和为390,则这个数列有13 项；（2）已知数列{}n a 是等比数列,且>0n a ,*n N ∈,354657281a a a a a a ++=，则46a a += 9 ．（3）等差数列前m 项和是30，前2m 项和是100，则它的前3m 项和是 210 ．例2．若数列{}n a 成等差数列，且,()m n S n S m m n ==≠，求n mS +．解：（法一）基本量法（略）；（法二）设2n S An Bn =+，则22(1)(2)An Bn mAm Bm n⎧+=⎪⎨+=⎪⎩(1)(2)-得：22()()n m A n m B m n-+-=-，m n ≠ ， ∴()1m n A B ++=-，∴2()()()n mS n m A n m B n m +=+++=-+．例3．等差数列{}n a 中共有奇数项，且此数列中的奇数项之和为77，偶数项之和为66，11a =，求其项数和中间项. 解：设数列的项数为21n +项， 则121(1)()772n n a a S +++==奇，22()662n n a a S+==偶∴17766S n S n+==奇偶， ∴6n =，∴数列的项数为13，中项为第7项，且711a =．说明：（1）在项数为21n +项的等差数列{}n a 中，2+1=(+1),=,=(2+1)n S n a S na S n a 奇中偶中中；（2）在项数为2n项的等差数列{}n a 中2+11=,=,=()n n n n n S na S na S n a a +++1奇偶．例4．数列{}n a 是首项为1000，公比为110的等比数列，数列{b }n 满足121(lg lg lg )k k b a a a k=+++*()k N ∈，（1）求数列{b }n 的前n 项和的最大值；（2）求数列{|b |}n 的前n项和n S '． 解：（1）由题意：410nna-=，∴lg 4n a n =-，∴数列{lg }n a 是首项为3，公差为1-的等差数列， ∴12(1)lg lg lg 32k k k aa a k -+++=-，∴1(1)7[3]22nn n n bn n--=-=由10n n b b +≥⎧⎨≤⎩，得67n ≤≤，∴数列{b }n 的前n项和的最大值为67212SS ==（2）由（1）当7n ≤时，0nb ≥，当7n >时，0nb <，∴当7n ≤时，212731132()244n n n S b b b n n n-+'=+++==-+当7n >时，12n n S b b b b b b '=+++---- 2712112(44n S b b b n n =-+++=-+∴22113(7)4411321(7)44n n n n S n n n ⎧-+≤⎪⎪'=⎨⎪-+>⎪⎩．例5*．若n S 和n T 分别表示数列{}n a 和{b }n 的前n 项和，对任意自然数n ，有232nn a+=-，41213n nT S n-=，（1）求数列{b }n 的通项公式；（2）设集合*{|2,}nA x x an N ==∈，*{|4,}n B y y b n N ==∈．若等差数列{}n c 任一项1,n c A B c ∈ 是A B 中的最大数，且10265125c -<<-，求{}n c 的通项公式．解：（1）当*2,n n N ≥∈时：114121341213(1)n n n n T S nT S n ---=⎧⎨-=-⎩，两式相减得：41213n n b a -=，∴1334n n b a =+534n =--，又1174b=-也适合上式，∴数列{b }n 的通项公式为n b 534n =--．（2）对任意*n N ∈，223,41252(61)3n n a n b n n =--=--=-+-，∴B A⊂，∴A B B =∵1c 是A B 中的最大数，∴1c 17=-，设等差数列{}n c 的公差为d ，则10179c d=-+，∴265179125d -<-+<-，即527129d -<<-，又4nb 是一个以12-为公差的等差数列， ∴*12()d k k N =-∈，∴24d =-，∴724nc n=-．（四）巩固练习：1．若数列{}n a （N n ∈*）是等差数列，则有数列12nna a a bn+++=（N n ∈*）也为等差数列，类比上述性质，相应地：若数列n {c }是等比数列，且n c >0（N n ∈*），则有n d =12nnC C C ⋅ （N n ∈*）也是等比数列．2．设n S 和n T 分别为两个等差数列的前n 项和，若对任意*n N ∈，都有71427n n S n T n +=+ ，则第一个数列的第11项与第二个数列的第11项的比是43．说明：2121n n nn a S b T --=．。
等比数列和等差数列的综合运用
04
等比数列和等差数列的 应用题
生活中的等差数列问题
银行贷款和存款：等差数列可以用来计算银行贷款和存款的利息和本金。 工资计算：很多公司采用等差数列的方式来计算员工的工资等级和晋升。 地铁和公交车站：等差数列可以用来规划地铁和公交车站的站点间隔和路线。 音乐和艺术：等差数列在音乐和艺术中也有广泛应用，例如音阶和节奏的排列。
的首项 a_1 / r^(n-1)。
添加标题
等差数列和等比数列的混合运算
定义：等差数列 和等比数列的混 合运算是指在一 个数学表达式中 同时出现等差数 列和等比数列的 项。
运算规则：等差 数列和等比数列 的混合运算需要 遵循数学的运算 顺序，先进行乘 除运算，再进行 加减运算。
实例：例如，对 于等差数列 {2, 4, 6, 8} 和等比 数列 {1, 2, 4, 8}，混合运算的 结果可以是这些 数列的各项相加 或相乘。
等差数列和等比数列的应用：等差数列和等比数列的应用包括在数学、物理、工程等领域的应 用。
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实例：可以通过举例来说明等差数列和等比数列的混合运用，例如斐波那契数列就是一个典 型的例子。
03
等比数列和等差数列的 求和
等差数列的求和公式
定义：等差数列是一种常见的数列，其相邻两项的差相等
求和公式：S_n=n/2*(a_1+a_n) 其中，S_n为前n项和，a_1为首项， a_n为第n项
推导过程：通过等差数列的性质，我们可以将每一项表示为首项和公差 的函数，再利用求和公式进行推导
生活中的等比数列问题
添加项标题
银行贷款和储蓄：等比数列可以用来计算复利和本金增长，例 如银行的定期存款和贷款的利息计算。
添加项标题
等比数列的性质及应用
如意娱乐 / 如意娱乐；优游 / 优游
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新做主食和菜，待会儿要吃月饼和果子呢，中午剩的这些也凑乎够了。”耿老爹说：“是啊，喝碗粥少吃点儿就行了，一会儿 有的吃呢！”耿直调皮地说：“我真想现在就吃月饼！还有那几个苹果，又红又大，看着真馋啊！”耿正拍拍弟弟的肩膀亲切 地说：“先喝粥吧，吃那些供品还不到时候呢！”简单吃完晚饭收拾好后，天儿已经完全黑了，父子四人各搬一把椅子来到临 窗的桌子前。在这个看不见圆月的八月十五夜里，耿老爹的心情是异常复杂的。在家里时，一直都是妻子郭氏操持“供月”仪 式的，他自己只是参与仪式后半部分的许愿程序而已。然而在今儿晚上，却是只有他和三个娃儿一起过节，而他自己又不会絮 叨那些个“请月儿爷爷享用月饼瓜果”之类的话；再说了，天空中也看不到月儿爷爷！于是，耿老爹建议：“娃儿们，反正这 天上也看不到月儿爷爷，咱们不如干脆免了‘供月’仪式得了。月儿爷爷若想要享用这些东西，欢迎光临自行享用就是了！咱 们现在就坐了恭候吧；略等一等，谁想吃什么，就吃一些！”耿正兄妹三人觉得也是，到处都是黑乎乎的，“供”得哪门子 “月”啊！于是，耿正和耿老爹坐在桌子两边，耿英挨着爹坐下，耿直坐在哥哥和姐姐的中间，大家一起默默地望着黑乎乎的 夜空，好一会儿谁也没有说话。黑暗中，耿直忽然抽泣起来，并且带着哭声说：“我，我想娘，想兰兰”耿英伸出一只胳膊揽 住弟弟不断颤动着的小肩膀，柔声安慰他说：“小直子，别难过”耿老爹站起身来要去点灯，耿英赶忙拉住爹爹的胳膊，低声 说：“爹，别，别点灯”是啊，想要抛洒眼泪的人是不需要光亮的。在黑暗中，人的内心更加安静，可以想得更多、思得更远 在这个本应该明月高悬的八月十五夜，远离故土的耿家父子四人，在黑暗中守着摆在面前的月饼和瓜果，想着故乡的亲人和明 月，心潮涌动，思绪万千他们除了思念，还是思念那些南国的月饼和瓜果，谁也没有去动。此时此刻，除了默默地流泪，谁也 不再想做其他的任何事情了耿直低低的抽泣声一直持续了很久很久125第十七回 老乡送书信喜煞人|（喜鹊飞来报喜讯，老乡 送书信喜煞人；全家人述说心里话，老乡代笔写家信。）和去年一样，秋高气爽的八月十六又是一个大晴天。郭氏一早就起床 了。尽管心里老想着去年今日里此时此刻的情景，眼前老是晃动着朦胧的晨光中丈夫和三个儿女匆匆离家时的身影，耳畔好像 还能听到他们说话的声音；但今年的庄禾长得挺好，三亩水田的苞米呢，她得去掰啊！秋收的日子里家家都很忙呢，郭氏打心 眼儿里不想给大家伙儿添麻烦，希望自己带着耿兰全部收回来。娘儿俩简单地吃完早饭后，郭氏收拾了俩人的碗筷，顺便洗了 两个苹果放到耿兰的小竹篮子里，对瞪着一双好看
等差数列与等比数列等差数列等比数列的性质与应用
等差数列与等比数列等差数列等比数列的性质与应用数学中，等差数列与等比数列是两个重要的概念。
它们的性质和应用很广泛，尤其在数学及其他学科中都得到了广泛的应用。
本文将详细介绍等差数列和等比数列方面的知识，并着重讨论其性质和应用。
一、等差数列的性质与应用1.等差数列的定义等差数列是指数列中每一项与它的前一项的差相等的数列。
即：a2-a1=a3-a2=a(n+1)-an其中a1为首项，d为公差，n为项数。
通项公式为an=a1+(n-1)d2.等差数列的性质（1）公差d可以为负数，当d<0时，数列是单调递减的；当d>0时，数列是单调递增的；当d=0时，数列是常数数列。
（2）等差数列前n项和Sn=na1+n(n-1)d/2（3）若已知等差数列的首项a1，末项a(n)，和项数n，则公差d=[a(n)-a1]/(n-1)3.等差数列的应用等差数列在数学中有广泛的应用。
在实际生活与工作中，等差数列也有许多应用，例如：（1）数列求和在统计学中，对于某一样本的分析，常常需要对等差数列进行求和。
等差数列的和可用于计算公司业绩增长、资产负债变化等方面。
（2）财务预测在财务预测中，等差数列被广泛使用。
通过计算等差数列中的趋势，可以对公司的未来做出合理合理的预测，并做相应的决策。
（3）科技领域在科技领域中，等差数列的应用更加普及。
如数码相机中的闪光灯灯强度级别、台风每小时移动的距离等等，这些数据都是等差数列。
二、等比数列的性质与应用1.等比数列的定义等比数列是指数列中每一项与它的前一项的比等于同一个常数q的数列。
即：a2/a1=a3/a2=an/an-1=q其中a1为首项，q为公比，n为项数。
通项公式为an=a1*q^(n-1)2.等比数列的性质（1）公比q可以为负数，当q<0时，数列中的项与项之间的正负性不确定；当q>0时，数列整体是单调递增或递减的。
当q=1或q=-1时，数列是常数数列。
（2）等比数列前n项和Sn=a1(1-q^n)/(1-q)（3）若已知等比数列的首项a1，末项a(n)，和项数n，则公比q=(a(n)/a1)^(1/(n-1))3.等比数列的应用等比数列的应用十分广泛。
等差数列和等比数列的应用教学课件
数学建模
等差数列在数学建模中有着广泛的应用，如解决物 理学、工程学等领域的问题。
统计学
在统计学中，等差数列常被用于描述和分析数据， 如时间序列分析、人口统计等。
计算机科学
在计算机科学中，等差数列被用于实现各种算法和 数据结构，如二分查找、快速排序等。
03 等 比 数 列 的 应 用
等比数列在日常生活中的应用
02
等比数列在物理学中 的应用
等比数列在物理学中也有着重 要的应用，例如在研究波的传 播、电磁波的传播等方面。
03
等比数列在经济学中 的应用
等比数列在经济学中也有着广 泛的应用，例如在研究复利、 股票价格等方面。
04
等差数列和等比 数列的交叉应用
等差数列和等比数列的相互转化
01 等差数列与等比数列的定义
储蓄和贷款
等比数列在计算复利、计算贷款利息
等方面有广泛应用。 01
增长率计算
等比数列可以用于计算增长率，例如
预测未来销售额、人口增长等。
03
资产评估
等比数列可以用于计算资产的增长和
折旧，例如房屋、车ຫໍສະໝຸດ 等。 02等比数列在数学和其他学科中的应用
01
等比数列在数学中的 应用
等比数列在数学中有着广泛的 应用，例如在解决几何问题、 组合数学问题等方面。
的应用。
等差数列和等比数列的组合应用题解析
解题思路
掌握等差数列和等比数列的性质，灵活运 用公式，是解决这类问题的关键。
等差数列和等比数列组合
等差数列和等比数列组合在一起，可以形 成多种复杂的应用题。
实际应用
等差等比组合应用题在日常生活和工作中 有着广泛的应用，掌握这类题目的解法十
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{kan}
成等
比
a
列；若{an}、{bn}成等比数列，则{anbn}、{ b
数
n}
n
成等比数列;若{an}是等比数列,且公比q≠-1,则
数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…也是⑩ 等比数列.当
q=-1,且n为偶数时,数列Sn,S2n-Sn,S3n-S2n,…是
常数数列0,它不是等比数列.
(3)若a1>0,q>1,则{an}为 11 递增 数列；若
因 为 {bn} 为 等 差 数 列 ， 所 以 b5+b9=2b7=8，故选C.
3.命题①:若数列{an}的前n项和Sn=an+b(a≠1), 则数列{an}是等比数列; 命 题 ② : 若 数 列 {an} 的 前 n 项 和 Sn=an2+bn+c(a≠0),则数列{an}是等差数列; 命题 ③：若数列{an}的前n项和Sn=na-n,则 数列{an}既是等差数列，又是等比数列.
n
(
n 2
1
)
=
d 2
n2+(a1-
d 2
)n
是关于n的二次函数，且常数项为0.
(2)若公差① d>0 ，则为递增等差数列，若 公差②d<0,则为递减等差数列,若公差③ d=0 ,则 为常数列.
(3)当m+n=p+q时,则有④ am+an=ap+aq ,特
别地,当m+n=2p时，则有am+an=2ap.
2 3
.
5.已知数列{an}、{bn}分别为等差、等比数列， 且 a1=b1>0 ， a3=b3 ， b1≠b3 ， 则 一 定 有 a2 b2，>a5 b5（<填“>”“<”“=”).
(方法一)由中项性质和等比数列性质知
b1>0，b3>0，又b1≠b3，
a2= a 1 a 3 =b 1 b 3 > b 1 b 3
(2)等比数列的前n项和为54，前2n项的和 为60，则前3n项的和为 60 2 .
3
(1)由等差数列性质,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成 等差数列，则2(S2n-Sn)=Sn+S3n-S2n，解得
S3n=18.
(2)由等比数列性质,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n成等比数列,
则(S2n-Sn)2=Sn·(S3n-S2n)，解得S3n=60
上述三个命题中，真命题有( A )
A.0个 B.1个 C.2个 D.3个
由 命 题 ① 得 ， a1=a+b, 当 n≥ ２ 时 ， a即n=Sa n( a-S n1-)1==a(a,所-1以)·a只n-1有.若当{abn=}-是1且等a比≠0,数时列，则此aa数12 =列a
ab
才是等比数列.
由命题②得,a1=a+b+c,当n≥２时，an=SnSn-1=2na+b-a.若{an}是等差数列，则a2-a1=2a, 即2a-c=2a,所以只有当c=0时，数列{an}才是等 差数列.
2
2
同理，a5=2a3-a1 =2b3-b1
所以b5-a5= 即b5>a5.
b
b
3
1
2
-(2b3-b1)=
=|b2|，故a2>b2；
，b5= bb 312 ，
b32 2b3 b1 b12
=( b 3
b1
b
b1
1
)
2
>0,
(方法二)通项与函数关系.
因为an=dn+(a1-d)为关于n的一次函数，
由 命 题 ③ 得 ， a1=a-1, 当 n≥ ２ 时 ， an=SnSn-1=a-1, 显 然 {an} 是 一 个 常 数 列 ， 即 公 差 为 0 的等差数列，因此只有当a-1≠0，即a≠１时， 数列{an}才又是等比数列.
4.(1)等差数列的前n项的和为54，前2n项的 和为60，则前3n项的和为 18 ；
bn=a1·qn-1=
a1 q
·qn为关于n的类指数函数.
当d>0，如图1；当d<0时，如图2.
易知a2>b2，a5<b5.
1.等差数列的性质
(1) 当 公 差 d≠0 时 , 等 差 数 列 的 通 项 公 式
an=a1+(n-1)d=dn+a1-d是关于n的一次函数,且斜
率为公差d;前n项和Sn=na1+
(6)若等差数列{an}、{bn}的前n项和分别为
An、Bn,且
A B
n n
=f(n),则 a n
bn
=
(2n 1)an (2n 1)bn
=
A 2n1 B 2n1来自=f(2n-1).(7)“首正”的递减等差数列中,前n项和的
最大值是所有⑦非负项 之和;“首负”的递增等
差 数 列 中 , 前 n 项 和 的 最 小 值 是非正所项有 ⑧
掌握等差、等比数列的基本性质： 如（１）“成对”和或积相等问题； （２）等差数列求和S2n-1与中项an；能 灵活运用性质解决有关问题.如分组求和 技巧、整体运算.
1.在等差数列{an}与等比数列{bn}中，下列 结论正确的是( C ) A.a1+a9=a10,b1·b9=b10 B.a1+a9=a3+a6,b1+b9=b3+b6 C.a1+a9=a4+a6,b1·b9=b4·b6 D.a1+a9=2a5,b1·b9=2b5
(4)若{an}是等差数列，则{kan}(k是非零常 数)，也成等差数列;Sn,S2n-Sn,S3n-S2n，…也成
等差数列，而{ a an}(a≠0)成等比数列；若{an}是
等比数列，且an>0，则{lgan}是等差数列.
(5) 在 等 差 数 列 {an} 中 ， 当 项 数 为 偶 数 2n 时;S偶-S奇=⑤ nd ;项数为奇数2n-1时;S奇-S偶 =⑥ an ，S2n-1=(2n-1)·an(这里的an即为中间 项);S奇∶S偶=n∶(n-1).
之和.
(8)如果两个等差数列有公共项，那么由它 们的公共项顺次组成的新数列也是等差数列， 且新等差数列的公差是原两等差数列公差的最 小公倍数.
2.等比数列的性质
(1)当m+n=p+q时，则有⑨ am·an=ap·aq ,特
别地，当m+n=2p时，则有am·an=ap2.
(2)
若{an}
是
等比
数
列
，则
当m+n=p+q时，等差数列中有 am+an=ap+aq,等比数列中有bm·bn=bp·bq.
2.已知等比数列{an}中，有a3a11=4a7， 数列{bn}是等差数列,且b7=a7,则b5+b9 等于（ C ）
A.2 B.4 C.8 D.16
因 为 a3a11=a72=4a7 ， 因 为 a7≠0 ， 所 以a7=4，所以b7=4.