最新44弧微分与曲率汇总
曲率及讲义其计算公式00517
4
2O
y=0．4 x2
2
x
谢谢观看
例2 抛物线yax2bxc 上哪一点处的曲率最大？K ( 1 | y y 2 | ) 3 2
解 由yax2bxc，得 y2axb ，y2a ，
代入曲率公式，得 K ( 1 | y y 2 | ) 3 2 [1(2a|2xa|b)2]32
要使K 最大，只须2axb0， 即 x b ． 而 x b 对应的点为 2 a 2 a
a a a s e c 2 d y ， d y y ，
a． a d d 1 t 2 1 y x a 2 x
于是 d y d x ． 又 知 d s 1 y 2 d x 1 y 2
从而，有 | y |
K ( 1 y 2 ) 3 2
例1
计算等双曲线x y 1在点(1，1)处的曲率．
M1
M2
N1
N2 )j
可以用单位弧段上切线转过的角度的大小来表达弧段的平均 弯曲程度，
设曲线C是光滑的，曲线 线C上从点M 到点M 的弧
为Ds ，切线的转角为Da ．
C y
M
M0
s
Ds M
Da
a
a+Da
平均曲率：
O
x
）
我 们 称 K D a为 弧 段 M M 的 平 均 曲 率 ． D s 曲率：
显然，弧 s 是 x 的函数：ss(x)，而且s(x)是x的单调增加函 数．
y
yHale Waihona Puke M0 s>0M
O x0
x
M s<0 M0
xO x
x0
x
下面来求s(x)的导数及微分．
设x ， x+ Dx 为(a，b)内两个邻近的点，它们在曲线 yf(x)上的对应点为M，M，并设对应于x的增量Dx ，弧 s 的增 量为Ds，于是
微积分 函数曲率
641.5(千克力).
即:飞行员对座椅的压力为641.5千克力.
四、小结
运用微分学的理论,研究曲线和曲面的性质的 数学分支——微分几何学. 基本概念: 曲率,曲率圆. 曲线弯曲程度的描述 可近似替代曲线弧
思考题
椭圆 x 2 cos t , y 3 sin t上哪 些点处曲率最大？
思考题解答
例2 铁轨由直道转入圆弧弯道时，若接头处
的曲率突然改变, 容易发生事故，为了行驶平 稳，往往在直道和 弯道之间接入一段 缓冲段(如图), 使曲 率连续地由零过渡 1 到 ( R为圆弧轨道 R 的半径).
R
l
A( x0 , y0 ) C ( x 0 ,0 )
y
o
x
1 3 通常用三次抛物线 y x ，x [0, x0 ]．作为 6 Rl 缓冲段 OA，其中 l 为 OA 的长度，验证缓冲段 OA 在始端 O 的曲率 l 为零, 并且当 很小 R l ( 1) 时，在终端 R 1 A 的曲率近似为 . R
2 2
x0
x
x x
x
y 2 2 ) x 1 y dx , x
MN s ds ,
2 MT (dx )2 (dy )2 1 y dx ,
NT y dy 0,
故 ds 1 y 2 dx .
弧微分公式
2 故 ds 1 y dx . s s( x )为单调增函数,
3 2
k
y (1 y )
3 2 2
.
例1 抛物线 y ax 2 bx c 上哪一点的曲率最大? 解 y 2ax b,
y 2a ,
k y (1 y )
3 2 2
第七节弧微分与曲率
处曲率
计算驻点处的函数值:
最大.
三、 曲率圆与曲率半径
设 M 为曲线 C 上任一点 ,
在点
在曲线
把以 D 为中心, R 为半径的圆叫做曲线在点 M 处的
曲率圆
( 密切圆 ) ,
R 叫做曲率半径,
D 叫做
曲率中心.
在点M 处曲率圆与曲线有下列密切关系:
(1) 有公切线;
(2) 凹向一致;
相应的曲率中心
曲率中心公式可看成渐
曲线 C 称为曲线 G 的渐伸线 .
屈线的参数方程(参数为x).
点击图中任意点动画开始或暂停
例4. 设一工件内表面的截痕为一椭圆, 现要用砂轮磨
削其内表面 , 问选择多大的砂轮比较合适?
解: 设椭圆方程为
由例3可知, 椭圆在
处曲率最大 ,
即曲率半径最小, 且为
显然, 砂轮半径不超过
又
曲率K 的计算公式
二阶可导,
设曲线弧
则由
说明:
(1) 若曲线由参数方程
给出, 则
(2) 若曲线方程为
则
例2. 我国铁路常用立方抛物线
作缓和曲线,
处的曲率.
点击图片任意处播放\暂停
说明:
铁路转弯时为保证行车
平稳安全,
求此缓和曲线在其两个端点
且 l << R.
其中R是圆弧弯道的半径, l 是缓和曲线的长度,
(3) 曲率相同 .
M 处作曲线的切线和法线,
的凹向一侧法线上取点 D 使
设曲线方程为
且
求曲线上点M 处的
曲率半径及曲率中心
设点M 处的曲率圆方程为
故曲率半径公式为
数学分析-平面曲线的弧长与曲率
解: 利用对称性
绕 x 轴旋转
星形线
星形线是内摆线的一种.
点击图片任意处 播放开始或暂停
大圆半径 R＝a
小圆半径
参数的几何意义
(当小圆在圆内沿圆周滚动
时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线)
内容小结
3. 平面曲线的弧长
曲线方程
参数方程方程
上
半圆为
下
它也反映了环面微元的另一种取法.
第三节、平面曲线的弧长与曲率
定义: 若在弧 AB 上任意作内接折线 ,
当折线段的最大
边长 →0 时,
折线的长度趋向于一个确定的极限 ,
此极限为曲线弧 AB 的弧长 ,
即
并称此曲线弧为可求长的.
定理: 任意光滑曲线弧都是可求长的.
则称
(1) 曲线弧由直角坐标方程给出:
弧长元素(弧微分) :
因此所求弧长
的弧长 .
解:
例12. 求阿基米德螺线
相应于 0≤≤2
一段的弧长 .
解:
第四节、旋转体的侧面积
设平面光滑曲线
求
积分后得旋转体的侧面积
它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 .
取侧面积元素:
例19. 计算圆
x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S .
解: 对曲线弧
应用公式得
当球台高 h＝2R 时, 得球的表面积公式
极坐标方程
弧微分:
直角坐标方程
注意: 求弧长时积分上下限必须上大下小
4. 旋转体的侧面积
侧面积元素为
(注意在不同坐标系下 ds 的表达式)
思考与练习
1.用定积分表示图中阴影部分的边界长 s .
曲线的弧微分与曲率半径
曲线的弧微分与曲率半径弧微分和曲率半径是微分几何中经常遇到的概念，它们可以帮助我们研究曲线的特性和性质。
在曲线上，弧微分是描述曲线长度的微小增量，而曲率半径则是曲线在某一点上的弯曲程度的度量。
本文将详细介绍曲线的弧微分和曲率半径的定义、计算方法以及它们在实际问题中的应用。
首先，我们来定义曲线的弧微分和曲率半径。
对于平面曲线上的一小段弧长 ds，它的微分 ds 称为弧微分。
弧微分是描述曲线长度的微小增量，可以用微积分中的微分概念来解释。
曲线的弧微分可以表示为ds = √[(dx/dt)² + (dy/dt)²] dt，其中 dx 和 dy 分别是曲线上一点的横纵坐标的微分，dt 是曲线参数 t 的微分。
曲率半径是曲线在某一点上的弯曲程度的度量。
在平面曲线上，曲率半径可以定义为两个单位切向量之间的夹角的倒数。
具体来说，单位切向量是指切线方向的单位向量，可以表示为 T = (dx/ds, dy/ds)，其中 dx 和 dy 是曲线在某一点的坐标变化，ds 是曲线弧长的微小增量。
曲率半径可以表示为曲率半径R = 1/κ，其中κ 是曲率，即曲线在某一点上的弯曲程度。
曲率可以用公式κ = |dT/ds| 来计算，其中 dT/ds 是单位切向量的变化率。
接下来，我们将探讨如何计算曲线的弧微分和曲率半径。
对于给定的曲线方程 y = f(x)，我们可以通过对参数 t 的选取来得到参数方程 x = g(t) 和 y = h(t)。
在这个参数方程中，参数 t 通常是曲线上的弧长。
我们可以使用微分几何的知识来计算曲线的弧微分和曲率半径。
首先，我们计算曲线的弧微分。
根据曲线的参数方程，dx/dt = g'(t)和 dy/dt = h'(t)。
代入弧微分的定义公式，我们可以得到ds = √[(dx/dt)²+ (dy/dt)²] dt = √[g'(t)² + h'(t)²] dt。
曲率
§6 曲 率
弧微分 曲率
曲率半径、曲率圆、曲率中心
导数的另一方面的应用——研究曲线的弯曲程度。 梁或轴因受外力作用而弯曲变形，火车转弯时， 为了安全，需要了解铁轨在弯道处的情况等等。
曲率
曲线弯曲的程度
例如，铁轨的曲率就是个关键问题：
一. 弧微分
1. 曲线方程：y f ( x )
y
单调增函数
s s( x ).
A
M
N T R
设 M ( x , y ), N ( x x , y y ), 如图，
MN 2 (x )2 (y )2
( MN ) y 2 1 ( x ) x
2 2
o
x0
x
x x
x
当 x 充分小时，如果 f ( x ) 具有连续导数，可用弧 长代替弦长，
3a 2 (1 cos ) K 2 2a 3 (1 cos )3/2
3 2 . 4a 1 cos
例7. 求椭圆
在何处曲率最大?
a sin t ; 解: x y b cos t ;
故曲率为
x a cos t y b sin t
3 2 2
.
b 显然, 当x 时, k最大 . 2a b b2 4ac 又 ( , )为抛物线的顶点 , 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率 最大.
例4. 设函数 y y( x ) 有二阶导数，证明曲线 y y( x ) d sin 在点 M 处的曲率为 ，其中 是曲线在点 dx M 处的切线的倾角； 证明： y tan , ( , ) 2 2 y sin y cos 1 y 2
曲率及其应用
MN MN MT NT 当x 0时,
AM x0 x
N T R
x x x
MN (x)2 (y)2 1 ( y )2 x 1 y2 dx , x
MN s ds ,
MT (dx)2 (dy)2 1 y2 dx ,
NT y dy 0, 故 ds 1 y2 dx . 弧微分公式
注意:
1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数.
即 1,k 1 . k
2.曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
3.曲线上一点处的曲率圆弧可近似代替该点附 近曲线弧(称为曲线在该点附近的二次近似).
例3 飞机沿抛物线 y x2
S
M M 切线转角为 .
. M0 S M
)
定义
o
x
弧段MM的平均曲率为K .
s
曲线C在点M处的曲率 K lim s0 s
在 lim d 存在的条件下, K d .
s0 s ds
ds
2.曲率的计算公式
设y f ( x)二阶可导, tan y,
有 arctan y,
d
y 1 y2
t , 3 此时k 最大，
22
谢谢
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解 y 2ax b, y 2a,
k
2a 3.
[1 (2ax b)2 ]2
显然, 当x b 时, k最大. 2a
又( b , b2 4ac)为抛物线的顶点, 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率最大.
例2 铁轨由直道转入圆弧弯道时，若接头处
的曲率突然改变,容易发生事故，为了行驶平 稳，往往在直道和
s s( x)为单调增函数, 故 ds 1 y2dx.
曲线的弧微分和曲率分析
曲线的弧微分和曲率分析曲线是我们日常生活中常见的概念，指的是由一系列的点或者坐标连接而成的连续性图形。
学习曲线是计算机科学、数学、物理、工程学等领域必须掌握的基础知识。
本文将介绍曲线的弧微分和曲率分析，让大家更深入理解曲线中的形态和特征。
一、弧微分在学习曲线之前，我们需要了解一下微积分中的概念：导数。
导数是描述一个函数在某点处变化率的概念，计算导数的过程就叫做微分。
对于曲线，由于它特殊的连续性，我们可以在不断微分的基础上得到它的弧长，进而求得弧微分。
设曲线为 $f(x)$，$a\leq x\leq b$，则曲线从 $a$ 到 $x$ 的长度为$L(x)=\int_a^x\sqrt{1+(f'(t))^2}dt$对 $L(x)$ 进行微分，即可求出弧微分 $\Delta s$：$$\Delta s=\sqrt{1+(f'(x))^2}\Delta x$$二、曲率分析曲率是描述曲线形态的重要指标，它的概念是指曲线在某一点处形成的圆的半径，半径越小曲线越弯曲，反之曲线越平滑。
计算曲率的过程就叫做曲率分析。
设曲线为 $f(x)$，$a\leq x\leq b$，曲线上某一点的坐标为$(x_0,f(x_0))$，则通过一系列的推导，可以得到它在该点处的曲率为：$$K(x_0)=\frac{|f''(x_0)|}{[1+(f'(x_0))^2]^{3/2}}$$在计算曲率时，需要首先求出曲线的二阶导数，也就是 $f''(x)$。
对于不同类型的曲线，计算曲率的方法略有不同，但其本质是类似的。
比如对于圆弧，由于其表现为标准的圆形，曲率计算非常简单。
三、弧微分和曲率的重要意义曲线的弧微分和曲率是描述曲线特征的重要概念，它们不仅在计算机科学、物理、工程学等领域有着广泛的应用，而且在医学影像、地理信息科学等人文领域也有着重要的应用。
通过对曲线特征的描述和分析，可以更好地理解曲线的形态和变化，从而为人们提供更好的分析和决策基础。
弧微分与曲率
弧微分与曲率
曲率与微分：弧微分是一种在几何和数学领域中应用较为广泛的一种数学工具。
它可用来计算曲线某点的曲率，以及曲率的变化。
广泛应用于几何学中的曲率的测试，问题的判定和弧长的求解，也用来解决实际物理现象中的曲率问题。
弧微分定义：弧微分定义为求取曲线某点的曲率的一种方法。
它根据构成曲线的函数参数以及两个极限值来计算曲线的曲率，曲率大小取决于参数和极限值的变化。
弧微分应用：弧微分在几何学，物理学，数学等诸多领域中都有应用，是几何学，机械工程及物理学中最常用的数学工具之一。
在几何学中，弧微分用来测试几何图形的曲率，计算曲面的曲率，用来求解弧长等等问题，是非常重要的几何计算工具。
在机械工程领域，弧微分可以用来计算运动轨迹及其变化，从而用于机械设计，航空、汽车和其他机械产品的开发。
在物理学中，弧微分被广泛用来解决各种曲率问题，如重力、磁场和电场等实际物理现象中曲率分布的研究。
总结：弧微分是在几何和数学领域中广泛应用的一种数学工具，它可以用来计算曲线某点的曲率，以及曲率的变化。
弧微分的应用范围很广，几何学，机械工程及物理学中各有其用。
它能够有效地解决几何图形的曲率，计算曲面的曲率，求解弧长等问题，并广泛用于解决实际物理现象中的曲率问题。
它是非常重要的几何数学工具，是研究几何曲率及其变化最为重要的数学工具。
曲率
证 如图
x的负半轴表示直道， OA是缓冲段, AB是圆弧轨道.
y
R
l
A( x0 , y0 ) C ( x 0 ,0 )
在缓冲段上,
1 2 y x , 2 Rl 1 y x. Rl
o
在x 0处, y 0, y 0, 故缓冲始点的曲率 k0 0.
实际要求 l x0 ,
o
y
D 1 k
M
y f ( x)
1 . 以 D 为圆心, 为半径 k 作圆(如图), 称此圆为曲线在点 M 处的曲率圆.
D 曲率中心,
曲率半径.
注意: 1.曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数. 1 1 即 ,k . k
3 t , 2 2
3 2
此时 k 最大，
y 2a ,
.
b 显然, 当x 时, k最大. 2a 2 b b 4ac 又 ( , )为抛物线的顶点, 2a 4a
抛物线在顶点处的曲率 最大.
例2 铁轨由直道转入圆弧 弯 道时，若接头处
的曲率突然改变, 容易发生事故，为了行 驶平 稳，往往在直道和弯道之间接 入一段缓冲段, 1 使曲率连续地由零过渡到 ( R为圆弧轨道的 R 半径).
2
2
NT y dy 0,
故 ds 1 y 2 dx . 弧微分公式
2 故 ds 1 y dx . s s( x )为单调增函数,
二、曲率及其计算公式
1.曲率的定义
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量。
1
M2
M1
2
S 2
M3
M
S1
N
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Example 3. yax2 bxc上哪一点处的曲?率最
并求出该点处的径 曲. 率半
Solution. y 2 a b x ,y 2 a ,
2a K[1(2axb)2]32.
只2 有 a x b 当 0 ,即 xb时 ,K 最 ;此大 时 y4acb2.
代入曲率的计算公式可得:
(t)(t)(t)(t)
K
3.
[2(t)2(t)]2
三.曲率圆与曲率半径
1. 曲率半径 设曲 C:y线 f(x)上一 M 处 点的曲 K(0 率 ), 为
则 1称M 为 点处的,曲 记率 为 1半 . 径
K
K
2. 曲率圆
yN
在曲线 C : y f ( x)上点 M处,
作曲线的法线 MN , 在其凹侧
1[((tt))]2(t)dt
d s[(t)2 ] [(t)2 ] d.t
Example 2. 设有 r曲 r()求 ,线 d.s
Solution. xyrr(())scions,
d dx r()co sr()sin , d dy r()sin r()co ,s
d s[r()2] [r()2 d ].
2 a
4a
所求 (点 b,4a为 cb2). 2a 4a
且该点处的曲率半 1径为 1 .
K 2a The end
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则弧长s函 s(x)数 是单调递 . 增函数
2. 弧长函数的导数与微分
y
M
用导数定义求得, 如图所示.
当 x x 由 x 时 ,曲 M 线 M . 由 M 0 M
T R
则 s M 0 M M 0 M M M o x 0 x xx x
x s2M M x2M M M M 2
M M 2
二.曲率及其计算公式 1. 曲率定义
曲率是描述曲线局部性质（弯曲程度）的量. 曲线的切线转过的角度称为转角.
1 2 M 2 S2 M 3 S1
M1
弧长相同时,弧段弯 曲程度越大转角越大
M
S1
M
N S2 N
转角相同时,弧段 越短弯曲程度越大
定义: 设 M M s,由 M 到 M 的切线 ,转角
(1) K 称为平均曲 ; 率
s
(2)若 lim 存,称 在此极M 限 处值 的为 . 曲
s 0s
记为 Kdlim .
ds s 0s
y
C
M.
M0
S
S
.M )
o
注意: (1) 直线的曲率处处为零;
(2) 圆上各点处的曲率等于半径 的倒数,且半径越小曲率越大. x
2. 曲率的计算公式
设yf(x)二阶可 ,则导 其上任一点 为处的
44弧微分与曲率
一.弧微分
二.曲率及其计算公式 三.曲率圆与曲率半径
பைடு நூலகம்
一.弧微分
1. 弧长函数 设函数 f(x)在区间 (a,b) 内具有连续.导数 基:点 A (x0,y0), M(x, y)为任意一, 点
y
AM
N
T R
o x 0 x xx x
规定：(1)曲线的正x增 向大 与的方向 ; 一致
(2)AM s,当AM的方向与曲线正向 一致,时 s取正,号 相反,时 s取负.号
1
dy2 dx
又s=s(x)是单增函数,
ds dx
1ddxy2
1y2 1[f(x)2]
从而 d s 1y2dx 弧微分公式
Example 1. 设有 x y 曲 ((tt))线 (t为参 )求 ,d.数 s Solution. d x(t)d,t
d y(t)dt
ds 1(dy)2dx dx
取D点使 MD 1 ,以D为
K
o
圆心, 为半径作圆 ,此圆即为
D 1
k
M
yf(x)
x
M点处的曲率圆 , D为曲率中心 .
注意:
(1)曲线上一点处的曲率半径与曲线在该点处的 曲率互为倒数.
即 1,K 1. K
(2)曲线上一点处的曲率半径越大,曲线在该点 处的曲率越小(曲线越平坦);曲率半径越小,曲 率越大(曲线越弯曲).
y
K (1
y2)3
2
.
Proof. K d , 且ds 1y2d.x
ds
又ytan ,
yse2cd(1y2)d
dx
dx
d1yy2dx.
Kdds(1yy2)32.
若曲线方程为参数方程:
x (t ),
y
(t
),
则dy(t), dx (t)
d d22 yx(t)[( t)(t )3 ](t)(t),
x2
2
MM MM
x2 y2 x2
MM MM
21xy2
s x
M MM M 21 xy2
lim M M lim M M 1, limy y x 0M M M MM M x0x
lx i0 m x s lx i0 m M M M M 2 1 x y 2