专题培优——乘法公式的运用-2020春浙教版七年级数学下册
(推荐)浙教版七年级下用乘法公式分解因式2精选PPT
(2xy)26(2xy)9
a表示：m1 b表示：2 a表示：2y b表示：3x
a表示：2x+y b表示：3
之探索篇
1.填写下表〔若某一栏不适用，请填入不是，并说明理由）
多项式
是否是完 a 、b各 表示为： 全平方式 表示什么 a22ab b2
表示为 (a b)2 或(a b)2 形式
用完全平方式因式分解
之探索篇
完全平方式： 填写下表〔若某一栏不适用，请填入不是，并说明理由）
a 、b各表示什么
必做题：P146 A组
a2abb(ab) 2 2 或
形式
2、我们知道4x2+1不是完全平方式，有没有合适的项，你能给它补成完全平方式吗？
2
字母表达 ——完全平方式
观察第三列可发现a、b各表示什么？ a 、b各表示什么 例：把下列各式因式分解：
a表示：1 b表示：m
2
ab表 表示 示： ：23yx
122•1•(1m)(1m)2
22 (2y)22•(2y)•(3x)(3x)2
(1 1 m)2 2
(2y3x)2
(2xy)26(2xy)9 是
a表示：2x+y (2xy)22•(2xy)•332
b表示：3
(2xy3)2
之探索篇
2.观察第三列可发现a、b各表示什么？
a22abb2(ab)2
观察第ห้องสมุดไป่ตู้列可发现a、b各表示什么？
填写下表〔若某一栏不适用，请填入不是，并说明理由）
对下列多项式因式分解：
语言表述 3、有这两“项〞的2倍或-2倍
你可以不按题序回答你能解决的问题，也可以由小组合作讨论解决： 平方差公式法：适用于平方差形式的多项式
七年级数学下册 第三章 3.4 乘法公式(1)课件2浙教浙教级下册数学课件
12/9/2021
第九页，共十四页。
祝你成功！
利用(lìyòng)平方差公式计算: (2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(2-1)(2+1)(22+1)(24+1)(28+1)+1 =(22-1)(22+1)(24+1)(28+1)+1
=(24-1)(24+1)(28+1)+1
=(28-1)(28+1)+1 =216-1+1
No 发现。用自己的语言叙述你的发现。公式中的a,b可以是数,还可以是单项式或多项式。找出相等的
“项”和符号相反的“项”，然后应用公式．。=216-1+1。3.已知x2-y2=8，x-y=4，则x+y的值为___.
Image
12/9/2021
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(2)( 12/9/2021 ±2 +3a)( ±2-3a)= 4-9a2
第五页，共十四页。
口答下列(xiàliè)各题：
(l)(-a+b)(a+b)
(2)(a-b)(b+a)；
(3)(-a-b)(-a+b)； (4)(a-b)(-a-b)．
(5) ( - x + 2 ) ( - x - 2)
(6) ( x - 1 ) ( 1 + x )
= 9x2-25y2
(a + b)( a - b ) = a2 - b2
(2)(1ba)(1ba)
2
2
(3) (4a31)(4a31)
步骤：1、判断；2、调整；3、用公式。
乘法公式ppt2 浙教版
两数和与这两数差的积，等于它们的平方差。
平方差公式还可以用几何方法来验证
a a
b
a
2
b2
a
b 长方形的面积=(a+b)(a-b)
剩下的面积=a2-b2
练一练
算式
(x+5)(x-5) (2-3y)(2+3y) (-2x+3y)(2x+3y)
( a ba ) ( b ) a b
2
2
阅读算式，按要求填写下面的表格
1002-992+982-972…+22-12
小结
1. 本节课你学会了什么？它有什
么作用？ 2.利用公式计算需要注意什么？
3.今天哪个小组表现的最好啊？
欢迎指导
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平方差公 平方差公 写成“a2-b2” 式中a 式中b 的形式
x 2
5 3y
x 5
2
2
22-(3y)2
(3y)² -(2x)²
3y
2x
勇敢赛一赛
(1) (a+2)(a-2)= a2-4
(2) (a+2b)(a-2b)= a2-(2b)2 =a2-4b2 (3) (3x+5y)(3x-5y)= (3x)2-(5y)2 =9x2-25y2
浙教版《数学》七年级下册
§5.4
乘 法 公 式(一 )
2020春浙教版七年级数学下册课件：第3章 微专题四乘法公式的运用技巧 (共19张PPT)
(x－2 020)2＝16.
已知 M＝29a－1，N＝a2－79a(a 为任意实数)，则 M，N 的大小关系为( A )
Байду номын сангаасA．M＜N
B．M＝N
C．M＞N
D．不能确定
【解析】 ∵M＝29a－1，N＝a2－79a(a 为任意实数)，
∴N－M＝a2－a＋1＝a－122＋34＞0，
∴N＞M，即 M＜N.故选 A.
[2019·杭州期中]按要求完成下列各题： (1)已知实数 a，b 满足(a＋b)2＝1，(a－b)2＝9，求 a2＋b2－ab 的值； (2)已知(2 019－a)(2 020－a)＝2 047，试求(a－2 019)2＋(2 020－a)2 的值． 解：(1)∵(a＋b)2＝1，(a－b)2＝9， ∴a2＋b2＋2ab＝1，a2＋b2－2ab＝9. ∴4ab＝－8，ab＝－2， ∴a2＋b2－ab＝(a－b)2＋ab＝9＋(－2)＝7； (2)原式＝(a－2 019＋2 020－a)2＋2(2 019－a)·(2 020－a) ＝1＋2×2 047＝4 095.
( D)
A．4
B．8
C．12
D．16
【解析】 ∵(x－2 019)2＋(x－2 021)2＝34，
∴(x－2 020＋1)2＋(x－2 020－1)2＝34，
(x－2 020)2＋2(x－2 020)＋1＋(x－2 020)2－2(x－2 020)＋1＝34，
2(x－2 020)2＋2＝34，2(x－2 020)2＝32，
解：原式＝a2＋b2－2a－4b＋1＋4＋3 ＝a2－2a＋1＋b2－4b＋4＋3 ＝(a－1)2＋(b－2)2＋3. ∵(a－1)2≥0，(b－2)2≥0， ∴(a－1)2＋(b－2)2＋3≥3， ∴a2＋b2－2a－4b＋8 的值是正数．
最新浙教版七年级下册第三章3.4乘法公式2课件(共16张PPT)
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15、最具挑战性的挑战莫过于提升自 我。。2 021年8 月下午 9时46 分21.8.2 21:46A ugust 2, 2021
•Hale Waihona Puke 16、业余生活要有意义，不要越轨。2 021年8 月2日 星期一9 时46分 39秒21 :46:392 August 2021
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17、一个人即使已登上顶峰，也仍要 自强不 息。下 午9时46 分39秒 下午9 时46分2 1:46:39 21.8.2
例4：
一花农有2块正方形茶花苗圃， 边长分别为30.1m，29.5m，现将这 2块苗圃的边长都增加1.5m，求各 苗圃的面积分别增加了多少m²。
生活在线：一花农有1块正方形茶
花苗圃，边长为am。现将这块苗圃 的边长都增加1.5m，求这块苗圃的面 积增加了多少m²。
1.5
(a+1.5)²-a²
=a²+3a+2.25-a²
学以致用：
例1：利用完全平方公式计算 (1) (x+2y)2 (2) (2a - 5)2
(3) (-2s+t)² (4) (- 3x- 4y)²
想一想： 如何利用完全平方公式进行计算呢？
让我们来做游戏 下面的计算中有些地方用纸牌盖上了，我 们来比一比谁能最快地说出纸牌下盖的是 什么式子。
(1)（3x+2y)2=99xx22+12xy+4y2
想一想
（1）我们利用拼图得出了（a+b)2的 结果，你能用多项式乘法法则说明理 由吗？
(a+b)2 = a2+ab +ab +b2 =a2+2ab+b2
（2）（a-b)2等于什么？你是怎么想的？
七年级数学下册第3章整式的乘除 乘法公式1第2课时教案新版浙教版
3.4乘法公式(1)教学目标：1．经历探索平方差公式的过程,会通过图形的拼接验证平方差公式,了解平方差公式的几何背景,并会运用所学的知识,进行简单的混合运算.2．通过创设问题情境,让学生在数学活动中建立平方差公式模型,通过探索规律,归纳出利用平方差公式,解决数字运算问题的方法,培养学生观察、归纳、应用能力. 3．了解平方差公式的几何背景,培养学生的数形结合意识.在探究学习中体会数学的现实意义,培养学习数学的信心. 教学重点与难点：重点：平方差公式的几何解释和广泛的应用．难点：准确地运用平方差公式进行简单运算,培养基本的运算技能． 教法及学法指导：有效的数学学习方法不能单纯地依赖模仿与记忆,我以问题为线索,让学生在动口、动手、动脑的活动中学习知识,让学生进一步理解“探索发现——归纳验证——应用拓展”这一学习与研究数学问题的方法．以探究体验的教学法为主,为学生创造一个良好的学习情境,指导学生深刻思考,细心观察,在解题时,一切从习题特点出发,根据习题特点寻找最佳解题方法,具体在运用公式计算时,要认清结构,找准a 、b ． 课前准备：多媒体课件,一张正方形纸板,剪刀． 教学过程:一、速算王的绝招师：在一次智力抢答赛中,主持人提供了两道题：1．2119?⨯= 2. 10397?⨯=主持人话音刚落,就立刻有一个学生刷地站起来抢答说：“第一题等于399,第二题等于9991。
”其速度之快,简直就是脱口而出。
同学们,你知道他是如何计算的吗？（学生讨论,部分预习效果较好的同学能够体会其中的道理,仍有部分学生很困惑．）师：这其中的奥秘,其实我们已经接触过了,通过本节课的学习我们都能像速算王一样聪明,能够迅速得到结果,我们开始今天的学习吧．【教师板书课题：3.4乘法公式(1)】设计意图：通过“速算王的绝招”这一故事的情境创设,引发学生学习的兴趣,同时激发了学生的好奇心和求知欲,顺利引入新课。
二、一起来热身师：为了更好地解决本节课的内容,大家回顾一下上节课学习的平方差公式的内容,哪个同学来回答？生1：平方差公式：22()()a b a b a b +-=-．生2：两个数的和与这两个数差的积等于这两个数的平方差．生3：这个公式的结构特点是：左边是两个二项式的乘积,即两数和与这两数差的积； 右边是两数的平方差.师：大家回答的都很好.下面通过一组习题来复习一下大家的掌握情况. （多媒体出示习题） 利用平方差公式计算：（1）(23)(23)x y x y +-； （2）(2)(-2)x y y x --； （3）(5+8)(58)x x -； （4）2(3)(9)(3)x x x -++． （学生独立做题,师巡视.）【答案：（1）2249x y -；（2）224y x -；（3）22564x -；（4）481x -．】 师：在运用平方差公式时要注意什么？生：1．字母a 、b 可以是数,也可以是整式；2．注意计算过程中的符号和括号． 设计意图：通过习题训练功过上节课所学知识,为下面教学的展开做好铺垫． 三、数学是什么师：有人说,数学只是一些枯燥的公式、规定,没有什么实际意义！请问数学真的没有什么实际意义吗？ 请看下面的问题：师：请表示右图中阴影部分的面积. 生：a 2－b 2．师：你能将将阴影部分通过裁剪拼成一个长方形吗？如果能这个长方形的长和宽分别是多少？你能表示出它的面积吗？（学生动手操作,教师巡视指导,指定同学演示）生：我是把剩下的图形（即上图阴影部分)先剪成两个长方形(沿上图虚线剪开),上面的大长方形宽是(a －b ),长是a ；下面的小长方形长是(a －b ),宽是b ．我们可以将两个长方形拼成一个更大长方形,是由于大长方形的宽和小长方形的长都是(a －b ),我们可以将这两个边重合,这样就拼成了一个如下图所示的图形（阴影部分）,它的长和宽分别为(a +b )、(a －b )．师：比较前两问的结果,你有什么发现? （学生思考交流）生：这两部分面积应该是相等的,即(a +b )(a －b )=a 2－b 2．生：通过裁剪拼凑我们验证了上节课所学的平方差公式：(a +b )、(a －b )= a 2－b 2． 生：用拼图来验证平方差公式很直观,一剪一拼,利用面积相等就可推证． 师：由此我们对平方差公式有了更多的认识.这节课我们来继续学习平方差公式,也许你会发现它更“神奇”的作用．设计意图：设计几何解释,目的是使学生看到数学中的公式反映了实际问题中的客观关系,是看得见摸得着的,纠正 “数学只是一些枯燥的公式、规定,没有什么实际的意义。
浙教版七年级数学下册第三单元《整式的乘除》培优题
浙教版七年级数学下册第三单元《整式的乘除》培优题一．选择题（共7小题）1．=（）A．1 B．C．2D．2．已知x m=a，x n=b（x≠0），则x3m﹣2n的值等于（）A．3a﹣2b B．a3﹣b2C．a3b2 D．3．根据图中数据，计算大长方形的面积，通过不同的计算方法，你发现的结论是（）A．（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2B．（3a+b）（a+b）=3a2+4ab+b2C．（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2D．（3a+2b）（a+b）=3a2+5ab+2b24．使（x2+px+8）（x2﹣3x+q）的乘积不含x3和x2，则p、q的值为（）A．p=0，q=0 B．p=﹣3，q=﹣1 C．p=3，q=1 D．p=﹣3，q=15．已知2a﹣b=2，那么代数式4a2﹣b2﹣4b的值是（）A．6 B．4 C．2 D．06．设0＜n＜m，m2+n2=4mn，则的值等于（）A．3 B．C．D．27．为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22011+22012，则2S=2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S﹣S=22013﹣1，所以1+22+23+…+22012=22013﹣1．仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是（）A．52013﹣1 B．52013+1 C．D．8．若代数式x2+3x+2可以表示为（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，则a+b的值是．9．有足够多的长方形和正方形的卡片，如图．如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．（1）请画出如图这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．这个长方形的代数意义是．（2）小明想用类似的方法拼成了一个边长为a+3b和2a+b的矩形框来解释某一个乘法公式，那么小明需用2号卡片张，3号卡片张．10．4个数a，b，c，d排列成，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：=ad﹣bc．若=12，则x=．11．若x=2m﹣1，y=1+4m+1，用含x的代数式表示y为．12．若m1，m2，…m2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若m1+m2+…+m2015=1525，（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2015﹣1）2=1510，则在m1，m2，…m2015中，取值为2的个数为．13．已知a是大于1的实数，且有a3+a﹣3=p，a3﹣a﹣3=q成立．（1）若p+q=4，求p﹣q的值；（2）当q2=22n+﹣2（n≥1，且n是整数）时，比较p与（a3+）的大小，并说明理由．14．归纳与猜想：（1）计算：①（x﹣1）（x+1）=；②（x﹣1）（x2+x+1）=；③（x﹣1）（x3+x2+x+1）=；（2）根据以上结果，写出下列各式的结果．①（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=；②（x﹣1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=；（3）（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x2+x+1）=（n为整数）；（4）若（x﹣1）•m=x15﹣1，则m=；（5）根据猜想的规律，计算：226+225+…+2+1．15．杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（a+b）n（此处n=0，1，2，3，4，5…）的计算结果中的各项系数．杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．（a+b）0=1（a+b）1=a+b（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…上面的构成规律聪明的你一定看懂了！（1）请直接写出（a+b）6的计算结果中a2b4项的系数是；（2）利用上述规律直接写出27=；杨辉三角还有另一个特征：（3）从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为121）都是上一行的数与的积．（4）由此你可以写出115=．（5）由第行可写出118=．浙教版七年级数学下册第三单元《整式乘除》参考答案与试题解析一．选择题（共7小题）1．（2012秋•南陵县期末）=（）A．1 B．C．2D．【分析】根据x a•y a=（xy）a，进行运算即可．【解答】解：原式=（×）2004×=．故选B．【点评】此题考查了同底数幂的乘法运算，属于基础题，注意式子：x a•y a=（xy）a的运用．2．（2001•乌鲁木齐）已知x m=a，x n=b（x≠0），则x3m﹣2n的值等于（）A．3a﹣2b B．a3﹣b2C．a3b2 D．【分析】利用同底数幂的除法和幂的乘方的性质的逆运算计算即可．【解答】解：∵x m=a，x n=b（x≠0），∴x3m﹣2n=x3m÷x2n=．故选D．【点评】本题考查了同底数幂的除法，幂的乘方的性质，逆用性质是解题的关键．3．（2016春•苏州期中）根据图中数据，计算大长方形的面积，通过不同的计算方法，你发现的结论是（）A．（a+b）（a+2b）=a2+3ab+2b2B．（3a+b）（a+b）=3a2+4ab+b2C．（2a+b）（a+b）=2a2+3ab+b2D．（3a+2b）（a+b）=3a2+5ab+2b2【分析】大长方形的长为3a+2b，宽为a+b，表示出面积；也可以由三个边长为a的正方形，2个边长为b的正方形，以及5个长为b，宽为a的长方形面积之和表示，即可得到正确的选项．【解答】解：根据图形得：（3a+2b）（a+b）=3a2+5ab+2b2．故选：D．【点评】此题考查了多项式乘多项式，弄清题意是解本题的关键．4．（2016秋•简阳市期中）使（x2+px+8）（x2﹣3x+q）的乘积不含x3和x2，则p、q的值为（）A．p=0，q=0 B．p=﹣3，q=﹣1 C．p=3，q=1 D．p=﹣3，q=1【分析】根据多项式乘多项式的法则计算，然后根据不含x2项和x3项就是这两项的系数等于0列式，求出p和q的值，从而得出．【解答】解：（x2+px+8）（x2﹣3x+q），=x4+（p﹣3）x3+（8﹣3p+q）x2+（pq﹣24）x+8q，∵（x2+px+8）（x2﹣3x+q）的展开式中不含x2项和x3项，∴解得：．故选：C．【点评】本题考查了多项式乘多项式的运算法则，根据不含哪一项就是让这一项的系数等于0列式是解题的关键．5．（2015春•房山区期末）已知2a﹣b=2，那么代数式4a2﹣b2﹣4b的值是（）A．6 B．4 C．2 D．0【分析】根据完全平方公式，可得平方差公式，根据平方差公式，可得答案．【解答】解：4a2﹣b2﹣4b=4a2﹣（b2+4b+4）+4=（2a）2﹣（b+2）2+4=[2a+（b+2）][2a﹣（b+2）]+4=（2a+b+2）（2a﹣b﹣2）+4当2a﹣b=2时，原式=0+4=4，故选：B．【点评】本题考查了完全平方公式，利用完全平方公式得出平方差公式是解题关键．6．（2012•宁波模拟）设0＜n＜m，m2+n2=4mn，则的值等于（）A．3 B．C．D．2【分析】已知等式变形后利用完全平方公式化简得到关系式，代入所求式子计算即可得到结果．【解答】解：m2+n2=4mn变形得：（m﹣n）2=2mn，（m+n）2=6mn，∵0＜n＜m，∴m﹣n＞0，m+n＞0，∴m﹣n=，m+n=，∴原式===2．故选D．【点评】此题考查了完全平方公式，以及平方差公式，熟练掌握公式是解本题的关键．7．（2014•金水区校级模拟）为了求1+2+22+23+…+22011+22012的值，可令S=1+2+22+23+…+22011+22012，则2S=2+22+23+24+…+22012+22013，因此2S﹣S=22013﹣1，所以1+22+23+…+22012=22013﹣1．仿照以上方法计算1+5+52+53+…+52012的值是（）A．52013﹣1 B．52013+1 C．D．【分析】根据题目所给计算方法，令S=1+5+52+53+…+52012，再两边同时乘以5，求出5S，用5S﹣S，求出4S的值，进而求出S的值．【解答】解：令S=1+5+52+53+ (52012)则5S=5+52+53+…+52012+52013，5S﹣S=﹣1+52013，4S=52013﹣1，则S=．故选D．【点评】本题考查了同底数幂的乘法，利用错位相减法，消掉相关值，是解题的关键．二．填空题（共5小题）8．（2012•泰州）若代数式x2+3x+2可以表示为（x﹣1）2+a（x﹣1）+b的形式，则a+b的值是11．【分析】利用x2+3x+2=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b，将原式进行化简，得出a，b的值，进而得出答案．【解答】解：∵x2+3x+2=（x﹣1）2+a（x﹣1）+b=x2+（a﹣2）x+（b﹣a+1），∴a﹣2=3，∴a=5，∵b﹣a+1=2，∴b﹣5+1=2，∴b=6，∴a+b=5+6=11，故答案为：11．【点评】此题主要考查了整式的混合运算与化简，根据已知得出x2+3x+2=x2+（a ﹣2）x+（b﹣a+1）是解题关键．9．（2012•杭州模拟）有足够多的长方形和正方形的卡片，如图．如果选取1号、2号、3号卡片分别为1张、2张、3张，可拼成一个长方形（不重叠无缝隙）．（1）请画出如图这个长方形的草图，并运用拼图前后面积之间的关系说明这个长方形的代数意义．这个长方形的代数意义是a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）．（2）小明想用类似的方法拼成了一个边长为a+3b和2a+b的矩形框来解释某一个乘法公式，那么小明需用2号卡片3张，3号卡片7张．【分析】（1）画出相关草图，表示出拼合前后的面积即可；（2）得到所给矩形的面积，看有几个b2，几个ab即可．【解答】解：（1）如图所示：故答案为：a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）；（2）（a+3b）（2a+b）=2a2+ab+6ab+3b2=2a2+7ab+3b2，需用2号卡片3张，3号卡片7张．故答案为：a2+3ab+2b2=（a+b）（a+2b）；3；7．【点评】考查多项式与多项式相乘问题；根据面积的不同表示方法得到相应的等式是解决本题的关键．10．（2015•崇左）4个数a，b，c，d排列成，我们称之为二阶行列式．规定它的运算法则为：=ad﹣bc．若=12，则x=1．【分析】利用题中的新定义化简已知等式，求出解即可得到x的值．【解答】解：利用题中新定义得：（x+3）2﹣（x﹣3）2=12，整理得：12x=12，解得：x=1．故答案为：1．【点评】此题考查了整式的混合运算，弄清题中的新定义是解本题的关键．11．（2014春•苏州期末）若x=2m﹣1，y=1+4m+1，用含x的代数式表示y为y=4（x+1）2+1．【分析】将4m变形，转化为关于2m的形式，然后再代入整理即可【解答】解：∵4m+1=22m×4=（2m）2×4，x=2m﹣1，∴2m=x+1，∵y=1+4m+1，∴y=4（x+1）2+1，故答案为：y=4（x+1）2+1．【点评】本题考查幂的乘方的性质，解决本题的关键是利用幂的乘方的逆运算，把含m的项代换掉．12．（2015•雅安）若m1，m2，…m2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数，若m1+m2+…+m2015=1525，（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2015﹣1）2=1510，则在m1，m2，…m2015中，取值为2的个数为510．【分析】通过m1，m2，…m2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数，（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2015﹣1）2=1510从而得到1的个数，由m1+m2+…+m2015=1525得到2的个数．【解答】解：∵（m1﹣1）2+（m2﹣1）2+…+（m2015﹣1）2=1510，∵m1，m2，…，m2015是从0，1，2这三个数中取值的一列数，∴m1，m2，…，m2015中为1的个数是2015﹣1510=505，∵m1+m2+…+m2015=1525，∴2的个数为（1525﹣505）÷2=510个．故答案为：510．【点评】此题考查完全平方的性质，找出运算的规律．利用规律解决问题．三．解答题（共3小题）13．（2015秋•厦门期末）已知a是大于1的实数，且有a3+a﹣3=p，a3﹣a﹣3=q成立．（1）若p+q=4，求p﹣q的值；（2）当q2=22n+﹣2（n≥1，且n是整数）时，比较p与（a3+）的大小，并说明理由．【分析】（1）根据已知条件可得a3=2，代入可求p﹣q的值；（2）根据作差法得到p﹣（a3+）=2﹣n﹣，分三种情况：当n=1时；当n=2时；当n≥3时进行讨论即可求解．【解答】解：（1）∵a3+a﹣3=p①，a3﹣a﹣3=q②，∴①+②得，2a3=p+q=4，∴a3=2；①﹣②得，p﹣q=2a﹣3==1．（2）∵q2=22n+﹣2（n≥1，且n是整数），∴q2=（2n﹣2﹣n）2，∴q2=22n+2﹣2n，又由（1）中①+②得2a3=p+q，a3=（p+q），①﹣②得2a﹣3=p﹣q，a﹣3=（p﹣q），∴p2﹣q2=4，p2=q2+4=（2n+2﹣n）2，∴p=2n+2﹣n，∴a3+a﹣3=2n+2﹣n③，a3﹣a﹣3=2n﹣2﹣n④，∴③+④得2a3=2×2n，∴a3=2n，∴p﹣（a3+）=2n+2﹣n﹣2n﹣=2﹣n﹣，当n=1时，p＞a3+；当n=2时，p=a3+；当n≥3时，p＜a3+．【点评】考查了负整数指数幂：a﹣p=（a≠0，p为正整数），关键是加减消元法和作差法的熟练掌握．14．归纳与猜想：（1）计算：①（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；②（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；③（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4﹣1；（2）根据以上结果，写出下列各式的结果．①（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x7﹣1；②（x﹣1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x10﹣1；（3）（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x2+x+1）=x n﹣1（n为整数）；（4）若（x﹣1）•m=x15﹣1，则m=x14+x13+x12+…+x2+x+1；（5）根据猜想的规律，计算：226+225+…+2+1．【分析】（1）运用乘法公式以及多项式乘多项式的法进行计算即可；（2）根据（1）中的计算结果的变换规律进行判断即可；（3）根据（1）（2）中的计算结果总结变换规律即可；（4）根据（3）中的规律，直接求得m的表达式即可；（5）根据（3）中的规律列出等式进行变形，求得226+225+…+2+1的值．【解答】解：（1）①（x﹣1）（x+1）=x2﹣1；②（x﹣1）（x2+x+1）=x3﹣1；③（x﹣1）（x3+x2+x+1）=x4+x3+x2+x﹣x3﹣x2﹣1=x4﹣1；（2）①（x﹣1）（x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x7﹣1；②（x﹣1）（x9+x8+x7+x6+x5+x4+x3+x2+x+1）=x10﹣1；（3）（x﹣1）（x n﹣1+x n﹣2+x n﹣3+…+x2+x+1）=x n﹣1（n为整数）；（4）∵（x﹣1）•m=x15﹣1，∴m=x14+x13+x12+…+x2+x+1；（5）∵（2﹣1）（226+225+224+…+22+2+1）=227﹣1，∴226+225+…+2+1=227﹣1．【点评】本题主要考查了多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另外一个多项式的每一项，再把所得的积相加．计算时按一定的顺序进行，必须做到不重不漏．15．（2014春•泰兴市校级期末）杨辉三角形是一个由数字排列成的三角形数表，一般形式如图所示，其中每一横行都表示（a+b）n（此处n=0，1，2，3，4，5…）的计算结果中的各项系数．杨辉三角最本质的特征是，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．（a+b）0=1（a+b）1=a+b（a+b）2=a2+2ab+b2（a+b）3=a3+3a2b+3ab2+b3（a+b）4=a4+4a3b+6a2b2+4ab3+b4（a+b）5=a5+5a4b+10a3b2+10a2b3+5ab4+b5…上面的构成规律聪明的你一定看懂了！（1）请直接写出（a+b）6的计算结果中a2b4项的系数是15；（2）利用上述规律直接写出27=128；杨辉三角还有另一个特征：（3）从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为121）都是上一行的数与11的积．（4）由此你可以写出115=161051．（5）由第9行可写出118=214358881．【分析】观察图表寻找规律：三角形是一个由数字排列成的三角形数表，它的两条斜边都是数字1组成，而其余的数则是等于它“肩”上的两个数之和．【解答】解：（1）请直接写出（a+b）6的计算结果中a2b4项的系数是15；（2）利用上述规律直接写出27=128；杨辉三角还有另一个特征：（3）从第二行到第五行，每一行数字组成的数（如第三行为121）都是上一行的数与11的积．（4）由此你可以写出115=161051．（5）由第9行可写出118=214358881．故答案为：15，128，11，161051，9，214358881．【点评】考查了学生解决实际问题的能力和阅读理解能力，找出本题的数字规律是正确解题的关键．。
4.3 乘法公式2 教案-2020-2021学年七年级下学期数学浙教版
教师备课笔记
上课日期月日星期
教学课题 4.3 用乘法公式分解因式（2）课型新课堂形式纵横□ / 小组□ / 马蹄□ / 其它□人数
教学目标
知识
与
技能
1、会用完全平方公式分解因式，能综合运用提取公因式法、公式法因式分解
2、掌握因式分解的一般步骤
过程
与
方法
1、培养学生换元的思想，养成严密的思维习惯，进一步培养学生观察能力。
分析能力和概括能力
2、培养学生主动探索，敢于实践，勇于发现，合作交流的精神。
情感态度
与
价值观
1、通过对形式不同的问题解答，激发学生的学习兴趣，使全体学生积极参
与，体验到成功的喜悦。
2、引导学生在课堂活动中感悟知识的生成，发展和变化。
重
点
运用完全平方公式分解因式
难
点
综合运用提取公因式法和公式法分解因式
板
书
设
计
教学辅助ppt
过程教学内容学生活动教师活动备注
一、复习引入
1、分解因式：（1）ax4－ax2（2）16m4－n4
2、我们学过的乘法公式除了平方差公式，还有什么公式？
（学生板演完全平方公式）
序号
过程教学内容学生活动教师活动备注。
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专题培优——乘法公式的运用
思维导图
1. 熟悉乘法公式里的a、b的结构特征；
2. 适当变形，灵活转变乘法公式；
3. 分析情况、合理选用乘法公式；能够适当地创造条件，巧用公式．专题典例
例1 对a、b的正确运用
计算：（-2+3x）（-2-3x）．
例2 适当变形，灵活运用
计算：（2x+y-z+5）（2x-y+z+5）．
例3 创造条件，巧妙应用
计算：（5a+3b-2c）（5a-3b+6c）．
例4 明确联系，综合运用
乘法公式的主要变式有：
①a2+b2=（a+b）2-2ab=（a-b）2+2ab；
②（a+b）2+（a-b）2=2（a2+b2）；
③（a+b）2-（a-b）2=4ab；
④a3+b3=（a+b）3-3ab（a+b）．
熟悉这些变形公式，明确它们之间的联系，综合运用，常可简化解题过程．
已知：a+b=5，ab=2，求：（a-b）2的值．
专题巩固
一、运用公式简化计算及多项式乘法
1．下列各式中，不能用平方差公式计算的是（）
A．（x-2y）（2y+x）B．（x-2y）（-x-2y）
C．（x+2y）（-x-2y）D．（2y-x）（-x-2y）
2．下列运算中，错误的运算有（）
①（2x+y）2=4x2+y2②（a-3b）2=a2-9b2
③（-x-y）2=x2-2xy+y2④（x-）2=x2-2x+
A．1个B．2个C．3个D．4个
3. 形如a2+2ab+b2和a2-2ab+b2的二次三项式称为完全平方式，如果x2-kx+16是一个完全平方式，则k的值是.
4. 用乘法公式计算：
（1）203×197；
（2）99.82.
5. 化简：
（1）（2a-3b）2-2a（a-b）；
（2）4（a-b）2-（2a+b）（-b+2a）.
6．已知x2-4x-1=0，求代数式（2x-3）2-（x+y）（x-y）-y2的值.
7. 阅读下面的解题过程.
利用乘法公式计算：
（1）（a-b+1）（a+b-1）；
（2）（a+b+c）2.
解：（1）原式=[a-（b-1）][a+（b-1）]
=a2-（b-1）2
=a2-（b2-2b+1）
=a2-b2+2b-1.
（2）原式=[（a+b）+c]2
=（a+b）2+2（a+b）·c+c2
=a2+2ab+b2+2ac+2bc+c2.
请根据上述解题思想，利用乘法公式计算下列各题：（1）（x-2y+1）（x-2y-1）；
（2）（2a-3b-c）2.
二、运用公式变形求值
8. 若代数式x2＋3x＋2可以表示为（x－1）2＋a（x－1）＋b的形式，则a＋b的值是．
9.（1）已知a＋b＝4，a－b＝3，则a2－b2＝；
（2）已知a2＋b2＝12，ab＝－3，则（a-b）2＝；
（3）已知ab＝2，a＋b＝3，则a－b的值为.
10. 有两个正方形A，B，现将B放在A的内部得图甲，将A，B并列放置后构造新的正方形得图乙. 若图甲和图乙中阴影部分的面积分别为2和13，则正方形A，B的面积之和为.
11. 已知x，y满足x2+y2= ，xy=-，求下列各式的值.
（1）（x+y）2；
（2）x4+y4；
（3）x2-y2.
12. 公式的探究与应用：
（1）如图1所示，可以求出阴影部分的面积是多少（写成两数平方差的形式）？
（2）若将图1的阴影部分裁剪下来，重新拼成一个如图2所示的长方形，求此长方形的面积（写成多项式乘法的形式）；
（3）比较两图阴影部分的面积，可以得到一个公式：；
（4）运用公式计算：（1-）（1-）（1-）…（1-）（1-）.
答案
【专题典例】
例1 解析：两个因式中的-2完全相同，而3x与-3x互为相反数，因而可运用平方差公式计算，-2是公式中的a，3x是公式中的b．
原式=（-2）2-（3x）2=4-9x2．
例2 解析：两个因式中2x和5完全相同，而y和z的符号分别相反，故可适当分组，再用平方差公式计算．
原式=[（2x+5）+（y-z）]·[（2x+5）-（y-z）]=（2x+5）2-（y-z）2=4x2+20x+25-y2+2yz-z2．
例3 解析：从表面上看本题不能使用乘法公式．但注意到两个因式中有一项完全相同，另一项互为相反数，又因-2c=2c-4c，6c=2c+4c，故可先拆项，后仿例2计算．
原式=（5a+3b+2c-4c）（5a-3b+2c+4c）=[（5a+2c）+（3b-4c）]·[（5a+2c）-（3b-4c）]=（5a+2c）2-（3b-4c）2=25a2+20ac+4c2-9b2+24bc-16c2=25a2-9b2-12c2+20ac+24bc．
例4 由完全平方公式得（a+b）2-（a-b）2=4ab，则（a-b）2=（a+b）2-4ab．∵a+b=5，ab=2，∴（a-b）2=52-4×2=17．
【专题巩固】
1—2 CD 3. ±8
4.（1）39991；
（2）9960.04.
5.（1）2a2-10ab+9b2；
（2）5b2-8ab；
6. 原式=4x2-12x+9-x2+y2-y2=3x2-12x+9=3（x2-4x+3）. ∵x2-4x=1，∴原式=12.
7. （1）x2-4xy+4y2-1
（2）4a2+9b2+c2-12ab-4ac+6bc
8. 11
9. （1）12
（2）18
（3）±1
10. 15
11.
12. （1）a2－b2
（2）长方形的长为（a＋b），宽为（a－b），∴长方形的面积为（a＋b）（a－b）.
（3）a2－b2＝（a＋b）（a－b）
（4）原式＝（1-）（1+）（1-）（1+）（1-）（1+）…（1-）（1+）
（1-）（1+）。