生活中的一元一次方程应用

生活中的一元一次方程应用
数学来源于生活，生活中最基本的衣、食、住、行都含有数学元素. 随着社会的发展，生活中的科学化、经济活动中的最优化都需要人们运用数学知识、思想和方法. 一元一次方程虽简单，却是刻画和研究现实世界数量关系的有效模型.初中数学教学大纲上明文要求学生会利用数学去解决实际生活中所遇到的问题，并且将生活中的实际问题描述为具备实际意义的数学问题. 现就一元一次方程在实际生活中的应用，从比赛、商品销售、交通运输、电费水费等日常生活中的四个方面举一些常见例子.
一、比赛类
例1 （2015?云南）为有效开展阳光体育活动，云洱中学利用课外活动时间进行班级篮球比赛，每场比赛都要决出胜负，每队胜一场得2分，负一场得1分. 已知九年级一班在8场比赛中得到13分，问九年级一班胜、负场数分别是多少？
【分析】设胜了x场，那么负了（8-x）场，根据得分为13分可列方程求解.
解：设胜了x场，那么负了（8-x）场，根据题意得：2x+1×（8-x）=13，
解得：x=5，8-x=3.
答：九年级一班胜、负场数分别是5和3.
【方法提升】解比赛类应用题的关键是设出胜的场数，以总分数作为等量关系列方程求解.
二、商品销售类
例2 （2015?江苏泰州）某校七年级社会实践小组去商场调查商品销售情况，了解到该商场以每件80元的价格购进了某品牌衬衫500件，并以每件120元的价格销售了400件.商场准备采取促销措施，将剩下的衬衫降价销售.请你帮商场计算一下，每件衬衫降价多少元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标？
【分析】设每件衬衫降价x元，根据销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标，列出方程求解即可.
解：设每件衬衫降价x元，根据题意，得：
120×400+（120-x）×100=80×500×（1+45%），
解得：x=20.
答：每件衬衫降价20元时，销售完这批衬衫正好达到盈利45%的预期目标.
【方法提升】解商品销售类应用题的关键是弄清商品的进价、售价、利润、折扣、利润率等之间的数量关系，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列方程求解.
三、交通运输类
例3 甲乙两人骑自行车，同时从相距65千米的两地相向而行，甲的速度为17.5千米/小时，乙的速度为15千米/小时，经过几个小时甲乙两人相距32.5千米.
【分析】本题容易漏解，题中两人相距32.5千米存在两种情况，相遇前相距32.5千米或相遇后相距32.5千米，所以应进行分类讨论.
解：设经过x小时两人相距32.5千米，分两种情况讨论：（1）相遇前两人相距32.5千米，根据题意得：
17.5x+15x=65-32.5，
解得：x=1；
（2）相遇后两人相距32.5千米时，根据题意得：17.5x+15x=65+32.5，
解得：x=3.
答：经过1或3小时甲乙两人相距32.5千米.
【方法提升】解决实际问题时要正确理解题目中给的已知条件中的不确定的数量、结论等，为保证答案全面、完整，需要分情况解决.
四、电费水费类
例4 （2015?湖北省孝感）某市为提倡节约用水，采取分段收费. 若每户每月用水不超过20 m3，每立方米收费2元；若用水超过20 m3，超过部分每立方米加收1元. 小明家5月份交水费64元，则他家该月用水_______m3.
【分析】20立方米时交40元，题中已知五月份交水费64元，即已经超过20立方米，所以64元水费由两部分构成，列方程即可解答.
解：设该用户居民五月份实际用水x立方米，
根据题意，得：20×2+（x-20）×3=64，
解得：x=28.
故答案是：28.
【方法提升】在解水费电费分段收费类应用题时往往可以设其中一部分数量为x，然后表示出剩下的一部分数量，再根据水费电费数量关系列出方程求解.
五、古代数学问题
例5 （2015?浙江嘉兴）公元前1700年的古埃及纸草书中，记载着一个数学问题：“它的全部，加上它的七分之一，其和等于19.”此问题中“它”的值为_______.
【分析】设“它”为x，根据它的全部，加上它的七分之一，其和等于19列出方程，求出方程的解得到x的值，即可确定出“它”的值.
【方法提升】解古代数学问题时要抓住题目中出现的关键词、能够体现其数量关系的句子，将其转化成数学语言，构建出数学模型，列出方程.
【试一试】
1. （2015?厦门）某商店举办促销活动，促销的方法是
将原价x元的衣服以
x-10元出售，则下列说法中，能正确表达该商店促销方法的是（）.
A. 原价减去10元后再打8折
B. 原价打8折后再减去10元
C. 原价减去10元后再打2折
D. 原价打2折后再减去10元
2. 学校组织一次有关世博的知识竞赛共有20道题，每
一题答对得5分，答错或不答都倒扣1分，小明最终得76分，那么他答对_______题.
3. 父子俩在同一单位工作，父亲从家到单位需用30 min，儿子走这段路只用了20 min，若父亲比儿子早出发5 min，
则儿子追上父亲需要_______min. 4. 爷爷与孙子下
了12盘棋（未出现和棋）后，得分相同，爷爷赢一盘记1分，孙子赢一盘记3分，则爷爷赢了_______盘，孙子赢了
_______盘.
5. （2015?怀化）小明从今年1月初起刻苦练习跳远，
每个月的跳远成绩都比上一个月有所增加，而且增加的距离相同. 2月份、5月份他的跳远成绩分别为4.1 m、4.7 m. 请
你算出小明1月份的跳远成绩以及每个月增加的距离.
6. 民航规定：乘坐飞机普通舱旅客一人最多可免费携带20千克行李，超过部分每千克按飞机票价的1.5%购买行李
票. 一名旅客带了40千克行李乘机，机票连同行李费共付1 170元. 机票的价钱是多少？
7. 请根据图中给出的信息，求出大量筒中水的高度.
8. 古代数学问题：
巍巍古寺在山林，不知寺内几多僧；
三百六十四只碗，看看用尽不差争；
三人共食一碗饭，四人共吃一碗羹；
请问先生明算者，算来寺内几多僧？
9. （2015?深圳）右表为深圳市居民每月用水收费标准.（单位：元/m3）
（1）某用户用水10立方米，共交水费23元，求a的值；
（2）在（1）的前提下，该用户5月份交水费71元，请问该用户用水多少立方米？
10. 王刚到书店帮同学们买书，售货员告诉他，如果花20元钱办理会员卡，将享受八折优惠.
（1）王刚预计要到书店买80元书，他是否值得办卡？
（2）在什么情况下，办会员卡与不办会员卡买书的费用一样？
（3）当王刚买标价共计200元的书时，怎么做合算，能省多少钱？
【参考答案】
1. B
2. 16
3. 10
4. 9 3
5. 解：设小明1月份的跳远成绩为x m，根据题意，得：4.7-4.1=3（4.1-x），解得：x=3.9. 则每个月的增加距离是
4.1-3.9=0.2（m）.
答：小明1月份的跳远成绩是3.9 m，每个月增加的距
离是0.2 m.
6. 解：设该旅客机票票价为x元，根据题意，得：x+（40-20）×1.5%x=1 170，
解得：x=900.
答：该旅客的机票价为900元.
7. 设大量筒中水的高度为x cm，根据题意，得：π×52x=π×42（x+6），解得：x=10.
答：大量筒中水的高度为10 cm.
8. 分析：山林中有一个古寺，寺里共有364个碗，平均三个僧人共用一个碗吃饭，四个僧人共用一个碗喝汤，试问寺中有多少个僧人？
等量关系：吃饭用的碗+喝汤用的碗=364，
解：设寺中有x个僧人，根据题意，得
+=364 ，解得：x=624.
答：寺中有624个僧人.
9. 解：（1）a=2.3.
（2）设该用户用水量为x立方米.
∵用水22立方米时，水费为22×2.3=50.622，∴22×2.3+（x-22）×（2.3+1.1）=71，
解得：x=28.
答：该用户用水28立方米.
10. （1）不值得办卡；
（2）当买标价为100元的书时，办会员卡与不办会员卡买书的费用一样；
（3）当王刚买标价共计200元的书时，办会员卡合算，能省20元.
（作者单位：江苏省如皋市实验初级中学）。