概率论与数理统计：赌徒模型
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xa P(B | (0) a)
赌徒输光问题
3/5
xi P(B | (0) i) (0 i c)
xi jSxPi1 B q (xi(11) 令di PxBi | xi(11，) r
jS
p j)
j，q
p
| (p0)xi ixi1 (，0)得 idPi
p xi1 q q xi
赌徒输光问题
2/5
设 (n)赌博进行了n 局之后，甲拥有的总赌本. (0) a
设 B 为事件“最终是甲先输光”
对任意的 i(0 i c)
记 xi 为初始赌本为 i 时，甲最终输光0 的概率，即
xi P(B | (0) i).
则有： x0 ?1 xc ?0 对任意的 i(0 i c) xi ? 要求的概率是 ?
r(1)di1j | (0) i
边由所概则xPPa界P此x以率有P1i当B{条得1dB当 为：Bxa|(dp|件q到xa|：n0ip(为(差1d(11)xqx1a))(xcr：)i分q，1cqp11时id方)ii即(iajp(dd，x程(|11x100a， 1q， 0r即(：()nqpdrcxrdxqx赌)1x2(ci)a10(10c时0d1)博1)d.)i0P)}，ix1不r， i(2ia有xB1i(公1xx01d|dqapqcP，， 平P， ， dc01x(r0若 若 若112时其 c0x)r(ix1(r1，jjja1他 1a1i)1)id1甲2情 d0piii)rd0ir1最ic形0111(0， 1，x终1或 1.0c0p||r输1rjc(((ii光0x0xdci)r)c的0c1cc)； ；1cii； xdc0)
赌徒输光问题
1/5
甲、乙两人进行一系列赌博. 在每局赌博中， 甲赢的概率为 p ，乙赢的概率为q 1 p.每局 赌博后，输者付给赢者一元钱.设每局赌博的 结果都是相互独立的.假设在赌局开始时，甲 有初始赌博为 a 元，乙有初始赌本为 b 元. 赌博一直进行到一个人输光为止.求甲输光的 概率. (c a b)
p
p ，当 p q 时；
1 ( q )c
p
b， ab
当 p q 时.
初始赌本 对方初始赌本 每局赢的概率最终输光的概率
90
10
0.5
0?.1
90
10
0.45
0.8?66
90
10
0.40
0.9?83
99
1
0.40
0.3?33
ra rc
rap rc
1 r d0 1 rc
赌徒输光问题
4/5
当 p q 时，即 r 1，此时赌博是公平的，有
di di1 di2 d0
1 x0 xc (x0 x1) (x1 x2 ) (xc1 xc )
d0 d1 d2 dc1
c d0
d0
1 c
所以甲最终输光的概率是：xa xa xa xc (xa xa1) (xa1
b xaa2b)
wenku.baidu.com
(xc1 xc )
当赌博是公 平da 赌 d博a1时，赌 d徒c1最终输光的概率与
其拥有的赌 (本c 成a正)d0比.
ca b
c ab
赌徒输光问题
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综上可知，甲最 终输光的概率是
( q )a ( q )c
赌徒输光问题
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xi P(B | (0) i) (0 i c)
xi jSxPi1 B q (xi(11) 令di PxBi | xi(11，) r
jS
p j)
j，q
p
| (p0)xi ixi1 (，0)得 idPi
p xi1 q q xi
赌徒输光问题
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设 (n)赌博进行了n 局之后，甲拥有的总赌本. (0) a
设 B 为事件“最终是甲先输光”
对任意的 i(0 i c)
记 xi 为初始赌本为 i 时，甲最终输光0 的概率，即
xi P(B | (0) i).
则有： x0 ?1 xc ?0 对任意的 i(0 i c) xi ? 要求的概率是 ?
r(1)di1j | (0) i
边由所概则xPPa界P此x以率有P1i当B{条得1dB当 为：Bxa|(dp|件q到xa|：n0ip(为(差1d(11)xqx1a))(xcr：)i分q，1cqp11时id方)ii即(iajp(dd，x程(|11x100a， 1q， 0r即(：()nqpdrcxrdxqx赌)1x2(ci)a10(10c时0d1)博1)d.)i0P)}，ix1不r， i(2ia有xB1i(公1xx01d|dqapqcP，， 平P， ， dc01x(r0若 若 若112时其 c0x)r(ix1(r1，jjja1他 1a1i)1)id1甲2情 d0piii)rd0ir1最ic形0111(0， 1，x终1或 1.0c0p||r输1rjc(((ii光0x0xdci)r)c的0c1cc)； ；1cii； xdc0)
赌徒输光问题
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甲、乙两人进行一系列赌博. 在每局赌博中， 甲赢的概率为 p ，乙赢的概率为q 1 p.每局 赌博后，输者付给赢者一元钱.设每局赌博的 结果都是相互独立的.假设在赌局开始时，甲 有初始赌博为 a 元，乙有初始赌本为 b 元. 赌博一直进行到一个人输光为止.求甲输光的 概率. (c a b)
p
p ，当 p q 时；
1 ( q )c
p
b， ab
当 p q 时.
初始赌本 对方初始赌本 每局赢的概率最终输光的概率
90
10
0.5
0?.1
90
10
0.45
0.8?66
90
10
0.40
0.9?83
99
1
0.40
0.3?33
ra rc
rap rc
1 r d0 1 rc
赌徒输光问题
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当 p q 时，即 r 1，此时赌博是公平的，有
di di1 di2 d0
1 x0 xc (x0 x1) (x1 x2 ) (xc1 xc )
d0 d1 d2 dc1
c d0
d0
1 c
所以甲最终输光的概率是：xa xa xa xc (xa xa1) (xa1
b xaa2b)
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(xc1 xc )
当赌博是公 平da 赌 d博a1时，赌 d徒c1最终输光的概率与
其拥有的赌 (本c 成a正)d0比.
ca b
c ab
赌徒输光问题
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综上可知，甲最 终输光的概率是
( q )a ( q )c