2地下水渗流基本方程及数学模型
渗流力学-第二章
dp pe p w 1 C 1 Re r dr r ln Rw
从此式中可看出，越靠近井，压力梯度越大，单位长度上的压力变化 越大，所以在渗流场图中等压线越靠近井越密集。压力分布的这个特性使
得供给边缘和井底之间的压差绝大部分消耗在井底附近地区，这个结论很
重要，为用酸化、压裂方法提定渗流规律
第四节
本节要点
井的不完善性
1. 了解井不完善性的概念、类型 2. 掌握表皮系数和折算半径
25
第二章 单相不可压缩流体的稳定渗流规律
1. 井的不完善性
井底结构和井底附近地区油层性质发生变化的井称为“水 动力学不完善井”，实际油井绝大多数是不完善井。 不完善井的井底结构类型很多，但可归纳为以下三种类型。 （一）打开程度不完善。
5. 渗透率发生变化时渗流特征
渗 流 数 学 方 程
1 d dp1 r 0,0 r R1 r dr dr dp Q r 1 dr r 0 2K 1 h
1 d dp2 r 0, R1 r Re r dr dr p2 r R pe e
第二章 单相不可压缩流体的稳定渗流规律
本章要点
第一、掌握三种基本流动状态（单向、平面径向、 球形径向）的数学模型及渗流特征。 第二、了解井的不完善性，弄清表皮系数、折算 半径，了解稳定试井的内容。
1
第二章 单相不可压缩流体的稳定渗流规律
第一节
本节要点
1.掌握单向刚性稳定渗流渗流规律 ：速度、 压力分布；产量公式。
pw
14
第二章 单相不可压缩流体的稳定渗流规律
令： p(r) A Blnr = C（常数） 从中可看出，凡是r值相等的点，压力均相等，因此平面径 向流等压线是一组与井轴同心的同心“圆族”。即平面径向流 流线是向井点汇聚或从井点向外发散的“射线” 。
地下水动力学(第一章 渗流理论基础-2-专)
∂2H ∂2ψ ∂2H ∂2ψ −K = ; −K =− 2 ∂x∂y ∂y2 ∂y∂x ∂x
二、流网及其性质
流网：在渗流场内，取一组流线和一组等势线 组成的网格。 流网的性质： 流网的性质： 1. 在各向同性介质中，流线与等势线处处垂直， 故流网为正交网格。 证明：等水头线和流线的梯度为：
gradH = ∇H = ∂H ∂H i+ j ∂x ∂y
一般地下水流都为Darcy流。 思考题
§1—3 岩层透水特征分类和渗透系数张量 一、岩层透水特征分类 据岩层透水性随空间坐标的变化情况，将岩层 分为均质的和非均质的两类。 均质岩层：在渗流场中，所有点都具有相同的 渗透系数。 非均质岩层：在渗流场中，不同点具有不同的 渗透系数。 非均质岩层有两种类型：一类透水性是渐变的， 另一类透水性是突变的。 均质、非均质:指 与空间坐标的关系 与空间坐标的关系， 均质、非均质 指K与空间坐标的关系，即不同位 是否相同； 置K是否相同； 是否相同
K1M1 + K2M2 M1 + M2 Kp − Kv = − M1 M2 M1 + M2 + K1 K2 M1M2 = >0 (K1M1 + K2M2 )(M1 + M2 )
(K1 − K2 )
2
渗流模型知识点总结图
渗流模型知识点总结图渗流模型是描述地下水流动和传输的数学模型，它可以帮助我们理解和预测水在地下的流动情况。
渗流模型可以应用于地下水资源管理、地下水污染治理、水文地质等领域，具有重要的实用价值。
下面是关于渗流模型的一些重要知识点总结。
1. 渗流方程渗流模型的数学描述基于渗流方程，它描述了地下水在多孔介质中的流动规律。
渗流方程通常采用达西定律和杜安-卡丁方程进行描述，它们可以用来描述地下水的渗流速度、渗透率、孔隙度等参数之间的关系。
2. 边界条件在渗流模型中，边界条件是描述模型边界上的地下水流动情况的重要参数。
常见的边界条件包括：Dirichlet边界条件、Neumann边界条件和混合边界条件。
这些边界条件可以帮助我们对地下水流动的边界条件进行准确描述，是渗流模型计算的基础。
3. 初始条件渗流模型中的初始条件是指模型开始计算时的地下水流动情况。
初始条件通常是指地下水位和地下水流动速度的初始数值，它们是模型计算的起点。
在模型计算中，初始条件的准确性对计算结果具有重要影响。
4. 离散化方法为了解决渗流方程，通常需要将其离散化。
常见的离散化方法包括有限差分法、有限元法和边界元法等。
这些方法可以将连续的渗流方程转化为离散的问题，通过计算机进行数值计算，得到地下水流动的数值解。
5. 模型验证渗流模型的验证是指利用现场观测数据来验证模型的准确性和可靠性。
验证通常包括比对模型计算结果和现场观测数据，评估模型的拟合程度，以及对模型参数的敏感性分析等。
模型验证可以帮助我们了解模型的适用范围和局限性，提高模型的预测准确性。
6. 模型应用渗流模型在地下水资源管理、地下水污染治理、水文地质和地下水开采等领域有着广泛的应用。
通过渗流模型，我们可以模拟地下水流动过程，预测地下水位和地下水流向，并为地下水资源的合理开发和保护提供科学依据。
此外，渗流模型也可以帮助我们理解地下水污染的传播规律，优化地下水治理方案。
总的来说，渗流模型是描述地下水流动和传输的重要工具，它可以帮助我们理解地下水资源的分布和变化规律，为地下水资源管理和保护提供科学依据。
渗流立方定律
渗流立方定律渗流立方定律是渗流理论中的一项基本定理，也称为达西定律。
它描述了流体通过孔隙介质的速率与孔隙直径的关系。
渗流立方定律的名称源于其方程的形式，即渗流速率与孔隙直径的立方成正比。
在此文中，我们将详细介绍渗流立方定律及其应用。
1. 渗流立方定律的原理和表达式渗流立方定律反映了渗透流动的速度与介质孔隙结构的特征有关，其数学表达式为：Q=kH^3ΔP/μL其中，Q表示单位时间内通过介质的液体（气体）体积，k表示孔隙介质渗透系数，H表示介质厚度，ΔP表示单位长度介质压力差，μ表示介质的动力黏度，L表示介质中液体（气体）通过的距离。
渗流立方定律反映了孔隙介质中液体渗透速率与渗透孔隙的物理结构性质之间的关系。
具体来说，渗透速率随着孔隙直径的增加而增加，并呈现出孔隙直径的立方次幂关系，即Q∝d^3。
因此，该定理也被称为“孔隙方肆立定律”。
渗流立方定律是地下渗透流动理论的基础，广泛应用于水文地质、土壤力学、石油勘探等领域。
下面列举几个应用：(1) 水文地质学。
渗流立方定律可以用于描述地下水的渗透速率。
在地下水资源开发中，可以根据渗流立方定律确定不同孔隙介质的渗透系数，以评估地下水资源的开采潜力和水文地质条件。
(2) 土壤力学。
渗流立方定律可以用于研究土壤中水分的输运规律和渗透特性，对土壤侵蚀、滑坡和沉降等问题有重要意义。
(3) 石油勘探。
渗流立方定律可以用于预测油气藏中的渗透能力和产能。
通过测量油气藏中不同孔隙介质的孔隙直径和自然渗透试验，可以计算得到渗透系数，从而预测油田的产量和石油资源的分布。
地下水渗流基本方程及数学模型总结
常可忽略。
（二）含水层的状态方程
含水层弹性存储的概念： 弹性储存：当地下水水头（水压）降低（或升高）时， 含水层、弱透水层释放（或储存）地下水的性质。 含水层弹性存储的物理意义：
（承压含水层）弹性储存与（潜水）重力储存不同；
第一步：化简方程左端项： 当渗流满足达西定律，且取坐标与各向异性主轴方向一致，有：
H v x K xx x
H v y K yy y
H v z K zz z
( v x ) H H H ( K xx ) [ K xx (K xx )] x x x x x x x
§5 描述地下水运动的数学模型及解算方法
一、各向异性含水层中地下水三维流的基本微 分方程的推导 二、地下水运动微分方程的各种形式 三、地下水运动数学模型的建立及求解
§5 描述地下水运动的数学模型及解算方法
一、各向异性含水层中地下水三维流基本微分方程的推导 为反映含水层地下水运动的普遍规律，研究选定在各向 异性多孔介质中建立地下三维不稳定流动连续性方程。 水均衡的基本思想，对某一研究对象：
描述地下水运动的数学模型及解算方法二地下水运动微分方程的各种形式zzyyxxzzyyxx使潜水面边界处理的简单化直接近似地在微分方程中处理dsdh此时1潜水面比较平缓等水头面呈铅直水流基本水平可忽略渗流速度的垂直分量v2隔水底板水平铅垂剖面上各点的水头都相等各点的水力坡度和渗流速度都相等sin可以近似地用tg代替此即著名的dupuit假设
m d( )
m
1 d d ( )
地下水运动基本定律、基本微分方程和数学模型
第二节 数学模型
导水系数T
当水力坡度为1时，通过整个含水层上 的单位宽度流量。即：
T=K·M
第二节 数学模型
水的状态方程 对于给定质量的水体积，增加一个压力
dPw，水体积产生一定的压缩，根据质量守 恒定律：
ρVw=常数 取全微分有：
ρdVw+Vwdρ=0
由于dPw=dH
第二节 数学模型
达西定律的实质是水流在流动过程中消耗的 能量与流速和渗流长度成正比，与含水层的 渗透系数成反比。
HH1H2
vL K
达西定律的适用范围
Re ud
第一节 达西定律
当雷诺数Re<100时，适用； 当雷诺数Re>100时，不适用； 在天然情况下，绝大多数地下水运动服从达西定律。
第二节 数学模型
地下水渗流连续性方程 表示：在渗流场中的 任何局部，都必须满足质量守恒和能量守恒。
第二节 数学模型
对于稳定渗流，且假定n、ρ不变，则为地
下水稳定流的连续性方程：
x(K x H x) y(K y H y) z(K z H z) 0
第二节 数学模型
形式相似，意义有所差别
x(Tx H x) y(Ty H y)* H t
承压水二维流的微分方程：
第二节 数学模型
当水头变化很小时，即ΔH<0.1h时，对均质 各向同性的潜水有
2xH2 2yH2 T THt
T=Kh h为潜水含水层平均厚度
第二节 数学模型
H(x,y),t0 z,H t0(x,y),z
第二节 数学模型
注：对于稳定流来说，定解条件中没有初始条 件，因为地下水作稳定流时其运动要素是不随 时间而变化的。
渗流模型知识点总结
渗流模型知识点总结一、渗流模型概述渗流模型是研究地下水运动及地下水资源管理的一种数学工具。
地下水是地球上水资源的重要组成部分，渗流模型的研究对于有效管理和可持续利用地下水资源具有重要意义。
渗流模型通过数学方法描述地下水在多孔介质中的流动过程，可以预测地下水位、地下水流速、地下水补给和排泄等重要参数，为地下水资源的管理和保护提供科学依据。
二、渗流模型的分类根据模型所涉及的方程和假设的不同，渗流模型可以分为不同的类型。
常见的渗流模型包括：1. 饱和渗流模型：描述地下水在孔隙中完全饱和的情况下的流动规律。
2. 非饱和渗流模型：描述地下水在孔隙中部分饱和或完全不饱和的情况下的流动规律。
3. 二维渗流模型：描述地下水在平面内的流动规律。
4. 三维渗流模型：描述地下水在空间内的流动规律。
根据模型的时间跨度，渗流模型又可以分为：1. 静态渗流模型：描述地下水在静态条件下的分布情况。
2. 动态渗流模型：描述地下水在时间上的变化规律。
渗流模型还可以根据所使用的计算方法不同来进行分类，主要包括有限元模型、有限差分模型、边界元模型等。
三、渗流模型的基本方程1. 边界条件：渗流模型中通常需要给定一定的边界条件，常见的包括恒定头水边界条件、恒定流量边界条件等。
2. 连续方程：描述地下水流线和水位分布的方程，通常为黎曼－莱布尼茨方程。
3. 速度场方程：描述地下水在多孔介质中的流速分布，通常为达西定律或理想渗流方程。
4. 保温方程：描述地下水的运动过程中能量守恒的方程。
5. 变渗透率方程：描述多孔介质中渗透率随深度和位置变化的方程。
以上方程是渗流模型中最基本的方程，通过这些方程可以描述地下水在多孔介质中的流动规律。
四、渗流模型的建立和求解建立一个合适的渗流模型是研究地下水运动的关键。
渗流模型的建立通常需要以下几个步骤：1. 收集地下水数据：包括地下水位、渗透率、孔隙度等信息。
2. 建立地下水模型：通过建立连续方程、速度场方程和边界条件等方程，构建地下水的数学模型。
从水力学的角度归纳渗流问题的计算
渗流计算水利水电工程的论文1渗流分析的基本理论1．1达西定律法国工程师Darcy经过渗透实践验证，渗流量q不只同截面面积a成正比例，还与水头耗损(h1－h2)正比，与渗径尺寸l成反比，带入土粒构造与流体特性的定性常数k。
1．2渗流连续方程渗流连续方程通常以质量守恒定律为基础，考虑可压缩土体的渗流加以引证，即渗流场中水在某一单元体内的增减速率等于进出该单元体流量速率之差。
对于每一个流动的过程而言，皆是在特定的空间流场之中发生的，沿着其边界发挥支配功能的条件，成为边界条件。
在开始进行研究的时候，在流场之内，流动的状态与其支配条件，成为初始条件。
边界条件与初始条件合称定解条件。
定解条件普遍是由室外测量数据或实验得出的，其对流动过程有着决定性功用。
找寻某个函数(假如水头)，让其在微分方程的条件下，又可以适应定解条件的便可认为是定解问题。
2渗流计算2．1计算目的坝体(堤身)浸润线的位置。
渗透压力、水力坡降和流速。
通过坝体(堤身)或坝(堤)基的渗流量。
坝体(堤身)整体和局部渗流稳定性分析。
2．2渗流计算的主要方法渗流计算求解方法一般可分为以下四种类型。
流体力学的解决方案:是一个严谨的解决方案，在边界条件符合定解时，能够算出渗流场中随便一点的值。
然而，解答的过程十分繁杂，并且适用范围窄，在现实运用上受到很多的制约。
水力学的解决方案:这种解法跟流体力学的解法有点相似。
就是根据某种假设，针对某种特殊的边界条件的进行的流体力学计算。
同样在实际工程应用上受到较多的制约。
模拟测试:根据以上那二种方式的劣势，对于现实中的.项目，原本常常经过水力学模拟测试来解答渗流问题。
数值模拟计算分析:通过计算机，在确定物理模型的情况下，第一步要求建立一个数学模型，然后利用相关模型对于具体问题进行求解，这有时也称为数值法，包括有限差分法和有限元法。
现在，以上这些渗流的计算手段里面水力学求解与有限元法在水利工程里面经常使用。
3水力学解法在水利水电工程上的运用对于上述问题利用水力学的方法进行求解，也就是利用流体力学的计算方法，进行一些边界条件的假设基础上进行，根据相关流体力学的要求，对于实际工况进行简化处理，还包括底层的渗透系数的简化处理等。
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Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型
地下水动力学
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*范围值：n×10-3~ n×10-5； 范围值：0.05~ 0.30。实际测出的值往往小于理论值。
上述两参数之间的不同，还在于潜水含水层存在滞后疏干现象。 弹性释水与重力给水: 对于含水层而言，由于受埋藏条件的限制，抽水时，水的给 出存在着不同。 潜水含水层在抽水过程中，大部分水在重力作用下排出，疏干作用于水位变动带（
为反映含水层地下水运动的普遍规律，我们选定在各向异性多孔介 质中建立地下三维不稳定流动连续性方程。
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由于渗流场中各点的渗流速度大小、方向都不同，为了反映液体运动的 质量守恒关系，需要在三维空间中建立微分方程形式表达的连续性方程。
则有：
即：
将
代入整理得：
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所以有
上式为三维流微分方程，也可写成：
物理意义：渗流空间内任一单位体积含水层在单位时间内流入与流出该体 积含水层中的弹性水量的变化量，即单位体积含水层的水量均衡方程。
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= =
由含水层状态方程，
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因为 则可得到： 所以有 ，Z为定值，则
于是连续性方程变为：
又 则
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令 根据连续性原理有： 则
起来的。
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§2-2 渗流基本微分方程
一、承压水运动的基本微分方程
基本假设： （1）单元体体积无限小，为承压含水层；
（2）含水层侧向受到限制，x、y为常量,z为变量,存在垂向压缩，水的密 度、孔隙度n和随压力p而变化；
*——贮水系数（storativity）。 *=sM
贮水系数*和贮水率s都是表示含水层弹性释水能力的参数，在地下水 动力学计算中具有重要的意义。
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贮水率 表示含水层水头变化一个单位时，从单位体积含
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积分（p→p0，V→V0）改写得：
体积：
密度：
按Taylor级数展开，得到近似方程：
和
因
（质量守恒），故有
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2 、多孔介质的状态方程 多孔介质压缩系数（Coefficient of compressibility）表示多孔介质在 压强变化时的压缩性的指标，用表示。
在渗流场中任意取一点P(x, y, z)，以P为中心沿直角坐标轴取一微小的 六面体，体积为 ，称为特征单元体，设单元体无限小，但保证单元 体穿过介质骨架和空隙。
设vx，vy，vz分别为该点在X、Y、
Z方向上的渗流速度。
Abcd面中点 沿X轴方向流入： 。
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适用于潜水含水层。 贮水率是描述地下水三维非稳定流或剖面二维流中的水文地质参数，既适
用于承压水也适用于潜水。对于平面二维非稳定流地下水运动，当研究整
个含水层厚度上的释水情况时，用贮水系数来体现。
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在水位下降为Δ H时，有
即作用于固体骨架上的力增加了H。
。
作用于骨架上力的增加会引起含水层的压缩，而水压力的减少将导 致水的膨胀。
含水层本来就充满了水，骨架的压缩和水的膨胀都会引起水从含水 层中释出，前者就象用手挤压充满了水的海绵会挤出水—样。
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饱水带）和包气带两部分，由于包气带的存在，使得饱水带中水的释放存在延滞和滞后 现象。
当水头下降时，可引起二部分水的排出。在上部潜水面下降部位引起重力排水，用 给水度表示重力排水的能力；在下部饱水部分则引起弹性释水，用贮水率* 表示这 一部分的释水能力。 必须区分两者之间的不同，潜水含水层还存在滞后疏干现象。
Ch2 地下水渗流微分方程及数学模型
思考题 1、在松散层覆盖的岩溶地区，建立高楼群时，出现地表塌陷，如何解释这一现象？
2、一列火车经过一个松散含水层附近的观测孔，该孔水位如何变化？
3、我国不同地区因开地下水引起的地面沉降如何理解？
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Vv＝nVb；Vs＝(1-n)Vb
式中 ——多孔介质固体颗粒压缩系数，表示多孔介质中固 体颗粒本身的压缩性的指标，s<<p； ——多孔介质中孔隙压缩系数 （Compressibility of the pores of a porous medium），表示多孔介质中孔 隙的压缩性的指标。 n——多孔介质的孔隙度。 因 ，故 。
（3）由引起的变化 远小于单元体内液体质量的变化量（含） ，可忽略不计； （4）水流服从Darcy’s Law；
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（5）K不因 的变化而变化； （6）s和K也不受n变化（由于骨架变形）的影响。 流体的质量： 由于含水层的侧向受到限制，可假设x、y为常量，只考虑垂向压缩 。于是，只有水的密度.孔隙度n和单元体高度z三个量随压力而变化， 于是有：
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§2-1 渗流连续方程
一、含水层的状态方程 含水层的状态方程主要包括地下水的状态方程和多孔介质的状态方程。 1、地下水的状态方程 Hooke定律：
式中：E——体积弹性系数（体积弹性模量），20℃时，
E=2.1×105N/cm2。其倒数为压缩系数。 等温条件下，水的压缩系数(coef. of compressibility)为
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流出：
利用Taylor级数展开，略去二阶导数以上的高次项，有：
= 同理
单元体本身水质量在Δt时间内的变化量 为液体密度。 由质量守恒定律,得到渗流的连续性方程:
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或 上式即为非稳定流的渗流连续方程，表明渗流场中任意体 积含水层流入、流出该体积含水层中水质量之差永远恒等于 该体积中水质量的变化量。它表达了渗流区内任何一个“局 部”所必须满足的质量守恒定律。
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二、 渗流连续方程
连续性方程就是质量守恒方程，也称为水均衡方程
水均衡的基本思想： 对某一研究对象，∑流入－ ∑流出＝ΔV
研究对象可以是大区域的，也可以是微分单元体。 大区域的水均衡计算经常用于区域的水资源评价。 本课程基于微分单元体做水均衡，推导渗流连续性方程。
若把含水层看作刚体，=constant，n不变，即水和介质
没有弹性变形或渗流为稳定流，则渗流连续性方程为
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上式表明，在同一时间内流入单元体的水体积等于流出的水体 积，即体积守恒。
连续性方程是研究地下水运动的基本方程，各种研究地下水运 动的微分方程都是根据连续性方程和反映质量守恒定律的方程建立
Terzaghi令 ，因此有：
=
称为有效应力（effective stress）。
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图1—1 一个可压缩的承压含水层（J. Bear）
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多孔介质压缩系数的表达式为：
式中，Vb＝Vs+Vv——多孔介质中所取单元体的总体积； Vs——单元体中固体骨架（solid matrix）体积；
Vv——为其中的孔隙（voids）体积。
——介质表面压强；
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与水体积膨胀所释放出的水量（dV）之和
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上述二者之和所释放出的水量为
或 式中 s ——贮水率[释水率]（specific storativity），量纲 [L-1]，为弹性 释水[贮水] ；
式中 M——含水层厚度(m)；
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基本微分方程(Basic Differential Equation)是研究承压含水层中地下水运动 的基础。它反映了承压含水层中地下水运动的质量守恒关系，表明单位时 间内流入、流出单位体积含水层的水量差（左端）等于同一时间内单位体 积含水层弹件释放(或弹性贮存)的水量（右端）。它还通过应用Darcy定律 反映了地下水运动中的能量守恒与转化关系。可见，基本微分方程表达了 渗流区中任何一个“局部”都必须满足质量守恒和能量守恒定律。 数学意义：表示渗流空间内任一点任一时刻的渗流规律。 在柱坐标系中，基本微分方程为：