高中数学选修2-2 同步练习 专题2.3 数学归纳法(原卷版)
第二章 推理与证明
2.3 数学归纳法
一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．用数学归纳法证明“凸n 边形的内角和S ＝(n －2)π对于n ≥n 0的正整数n 都成立”时,第一步证明中的起始值n 0应取 A ．2 B ．3 C ．4
D ．5
2．已知为正偶数，用数学归纳法证明
时，若
已假设，且为偶数时命题为真，则还需要用归纳假设再证 A ．时等式成立 B ．时等式成立
C ．
时等式成立
D ．时等式成立 3．用数学归纳法证明“”,则当
时,应当在
时对应的等式的两
边加上 A ．
B ．
C ．
D ．
4．设()()
*111122f n n n n n
=++⋅⋅⋅+∈++N ，那么()()1f n f n +-= A ．1
21
n + B ．1
22n +
C ．
11
2122
n n +
++ D ．
11
2122
n n -
++ 5．当是正整数时，用数学归纳法证明从
到
等号左边需要增加的代数式为 A ． B ． C ．
D ．
二、填空题：请将答案填在题中横线上． 6．用数学归纳法证明：()22
3
1
1111n n c c c c c
c c
++-+++++=≠-，当1n =时，左边为__________．
7．对于不等式<n+1(n ∈N *),某同学用数学归纳法证明的主要过程如下:
（1）当n =1时,
<1+1 ,不等式成立;
（2）假设当n =k (k ∈N *)时,不等式成立,有<k+1,即k 2+k <(k+1)2, 则当n =k+1时,=
<
=
=(k+1)+1,所以当n =k+1
时,不等式也成立.
则下列说法中正确的有__________.(填出所有正确说法的序号) ①证明过程全部正确;②n =1的验证不正确;
③n =k 的归纳假设不正确;④从n =k 到n =k+1的推理不正确. 8．用数学归纳法证明不等式()*1111223
212
n
n
n n +
+++
>≥∈-N ，的过程中，由“”到“”
时，左边增加了__________项
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 9．求证:++…+=1-(其中n ∈N *).
10．证明：.
11．求证：n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除.
12．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*),并用数学归纳法证明你的结论.
13．在数列中，，其中.
（1）计算的值；
（2）猜想数列的通项公式，并用数学归纳法加以证明.。
最新人教版选修2-2高中数学第二章 推理与证明2.3数学归纳法习题课 同步习题及答案
习题课 数学归纳法明目标、知重点1．进一步掌握数学归纳法的实质与步骤，掌握用数学归纳法证明等式、不等式、整除问题、几何问题等数学命题．2．掌握证明n ＝k ＋1成立的常见变形技巧：提公因式、添项、拆项、合并项、配方等．1．归纳法归纳法是一种由特殊到一般的推理方法，分完全归纳法和不完全归纳法两种，而不完全归纳法得出的结论不具有可靠性，必须用数学归纳法进行严格证明． 2．数学归纳法(1)应用范围：作为一种证明方法，用于证明一些与正整数n 有关的数学命题； (2)基本要求：它的证明过程必须是两步，最后还有结论，缺一不可； (3)注意点：在第二步递推归纳时，从n ＝k 到n ＝k ＋1必须用上归纳假设．题型一 用数学归纳法证明不等式思考 用数学归纳法证明不等式的关键是什么？答 用数学归纳法证明不等式，首先要清楚由n ＝k 到n ＝k ＋1时不等式两边项的变化；其次推证中可以利用放缩、比较、配凑分析等方法，利用归纳假设证明n ＝k ＋1时的结论．例 1 已知数列{b n }的通项公式为b n ＝2n ，求证：对任意的n ∈N *，不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n >n ＋1都成立． 证明 由b n ＝2n ，得b n ＋1b n ＝2n ＋12n ，所以b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n.下面用数学归纳法证明不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n＝32·54·76·…·2n ＋12n>n ＋1成立． (1)当n ＝1时，左边＝32，右边＝2，因为32>2，所以不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥1且k ∈N *)时不等式成立， 即b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ＝32·54·76·…·2k ＋12k>k ＋1成立． 则当n ＝k ＋1时，左边＝b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b k ＋1b k ·b k ＋1＋1b k ＋1＝32·54·76·…·2k ＋12k ·2k ＋32k ＋2 >k ＋1·2k ＋32k ＋2＝(2k ＋3)24(k ＋1)＝4k 2＋12k ＋94(k ＋1)>4k 2＋12k ＋84(k ＋1)＝4(k 2＋3k ＋2)4(k ＋1)＝4(k ＋1)(k ＋2)4(k ＋1)＝k ＋2＝(k ＋1)＋1. 所以当n ＝k ＋1时， 不等式也成立． 由(1)、(2)可得不等式b 1＋1b 1·b 2＋1b 2·…·b n ＋1b n ＝32·54·76·…·2n ＋12n>n ＋1对任意的n ∈N *都成立．反思与感悟 用数学归纳法证明不等式时要注意两凑：一凑归纳假设；二凑证明目标．在凑证明目标时，比较法、综合法、分析法都可选用．跟踪训练1 用数学归纳法证明122＋132＋142＋…＋1n 2<1－1n (n ≥2，n ∈N *)．证明 当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12，因为14<12，所以不等式成立．假设n＝k(k≥2，k∈N*)时，不等式成立，即122＋132＋142＋…＋1k2<1－1k，则当n＝k＋1时，1 22＋132＋142＋…＋1k2＋1(k＋1)2<1－1k＋1(k＋1)2＝1－(k＋1)2－kk(k＋1)2＝1－k2＋k＋1k(k＋1)2<1－k(k＋1)k(k＋1)2＝1－1k＋1，所以当n＝k＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．题型二利用数学归纳法证明整除问题例2 求证：a n＋1＋(a＋1)2n－1能被a2＋a＋1整除，n∈N*.证明(1)当n＝1时，a1＋1＋(a＋1)2×1－1＝a2＋a＋1，命题显然成立．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，a k＋1＋(a＋1)2k－1能被a2＋a＋1整除，则当n＝k＋1时，a k＋2＋(a＋1)2k＋1＝a·a k＋1＋(a＋1)2·(a＋1)2k－1＝aa k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a＋1)2(a＋1)2k－1－a(a＋1)2k－1＝aa k＋1＋(a＋1)2k－1]＋(a2＋a＋1)(a＋1)2k－1.由归纳假设，上式中的两项均能被a2＋a＋1整除，故n＝k＋1时命题成立．由(1)(2)知，对任意n∈N*，命题成立．反思与感悟证明整除性问题的关键是“凑项”，先采用增项、减项、拆项和因式分解等手段，凑成n＝k时的情形，再利用归纳假设使问题获证．跟踪训练2 证明x2n－1＋y2n－1(n∈N*)能被x＋y整除．证明(1)当n＝1时，x2n－1＋y2n－1＝x＋y，能被x＋y整除．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，命题成立，即x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除．那么当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1＝x2k＋1＋y2k＋1＝x2k－1＋2＋y2k－1＋2＝x2·x2k－1＋y2·y2k－1＋x2·y2k－1－x2·y2k－1＝x2(x2k－1＋y2k－1)＋y2k－1(y2－x2)．∵x2k－1＋y2k－1能被x＋y整除，y2－x2＝(y＋x)(y－x)也能被x＋y整除，∴当n＝k＋1时，x2(k＋1)－1＋y2(k＋1)－1能被x＋y整除．由(1)，(2)可知原命题成立．题型三利用数学归纳法证明几何问题思考用数学归纳法证明几何问题的关键是什么？答用数学归纳法证明几何问题的关键是“找项”，即几何元素从k个变成k＋1个时，所证的几何量将增加多少，还需用到几何知识或借助于几何图形来分析，实在分析不出来的情况下，将n＝k＋1和n＝k分别代入所证的式子，然后作差，即可求出增加量，然后只需稍加说明即可，这也是用数学归纳法证明几何命题的一大技巧．例3 平面内有n(n∈N*，n≥2)条直线，其中任何两条不平行，任何三条不过同一点，证明：交点的个数f(n)＝n(n－1)2.证明(1)当n＝2时，两条直线的交点只有一个，又f(2)＝12×2×(2－1)＝1，∴当n＝2时，命题成立．(2)假设n＝k(k>2)时，命题成立，即平面内满足题设的任何k条直线交点个数f(k)＝12k(k－1)，那么，当n＝k＋1时，任取一条直线l，除l以外其他k条直线交点个数为f(k)＝12k(k－1)，l与其他k条直线交点个数为k，从而k＋1条直线共有f(k)＋k个交点，即f(k＋1)＝f(k)＋k＝12k(k－1)＋k＝12k(k－1＋2)＝12k(k＋1)＝12(k＋1)(k＋1)－1]，∴当n＝k＋1时，命题成立．由(1)(2)可知，对任意n∈N*(n≥2)命题都成立．反思与感悟用数学归纳法证明几何问题时，一要注意数形结合，二要注意有必要的文字说明．跟踪训练3 有n个圆，其中每两个圆相交于两点，并且每三个圆都不相交于同一点，求证：这n个圆把平面分成f(n)＝n2－n＋2部分．证明(1)n＝1时，分为2块，f(1)＝2，命题成立；(2)假设n＝k(k∈N*)时，被分成f(k)＝k2－k＋2部分；那么当n＝k＋1时，依题意，第k＋1个圆与前k个圆产生2k个交点，第k＋1个圆被截为2k段弧，每段弧把所经过的区域分为两部分，所以平面上净增加了2k个区域．∴f(k＋1)＝f(k)＋2k＝k2－k＋2＋2k＝(k＋1)2－(k＋1)＋2，即n＝k＋1时命题成立，由(1)(2)知命题成立．呈重点、现规律]1．数学归纳法证明与正整数有关的命题，包括等式、不等式、数列问题、整除问题、几何问题等．2．证明问题的初始值n0不一定，可根据题目要求和问题实际确定n0.3．从n＝k到n＝k＋1要搞清“项”的变化，不论是几何元素，还是式子；一定要用到归纳假设.一、基础过关1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n＋3)(n＋4)2(n∈N*)，验证n＝1时，左边应取的项是( )A．1 B．1＋2C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4答案 D解析等式左边的数是从1加到n＋3.当n＝1时，n＋3＝4，故此时左边的数为从1加到4.2．用数学归纳法证明“2n>n2＋1对于n≥n0的自然数n都成立”时，第一步证明中的起始值n0应取( )A．2 B．3C．5 D．6答案 C解析当n取1、2、3、4时2n>n2＋1不成立，当n＝5时，25＝32>52＋1＝26，第一个能使2n>n2＋1的n值为5，故选C.3．已知f(n)＝1＋12＋13＋…＋1n(n∈N*)，证明不等式f(2n)>n2时，f(2k＋1)比f(2k)多的项数是( )A．2k－1项B．2k＋1项C．2k项D．以上都不对答案 C解析观察f(n)的表达式可知，右端分母是连续的正整数，f(2k)＝1＋12＋…＋12k，而f(2k＋1)＝1＋12＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2＋…＋12k＋2k.因此f(2k＋1)比f(2k)多了2k项．4．用数学归纳法证明不等式1n＋1＋1n＋2＋…＋12n>1124(n∈N*)的过程中，由n＝k递推到n＝k＋1时，下列说法正确的是( )A．增加了一项12(k＋1)B．增加了两项12k＋1和12(k＋1)C．增加了B中的两项，但又减少了一项1 k＋1D．增加了A中的一项，但又减少了一项1 k＋1答案 C解析当n＝k时，不等式左边为1k＋1＋1k＋2＋…＋12k，当n＝k＋1时，不等式左边为1k＋2＋1k＋3＋…＋12k＋12k＋1＋12k＋2，故选C.5．用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开( )A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3答案 A解析假设当n＝k时，原式能被9整除，即k3＋(k＋1)3＋(k＋2)3能被9整除．当n＝k＋1时，(k＋1)3＋(k＋2)3＋(k＋3)3为了能用上面的归纳假设，只需将(k ＋3)3展开，让其出现k3即可．6．已知数列{a n}的前n项和为S n，且a1＝1，S n＝n2a n(n∈N*)．依次计算出S1，S2，S3，S4后，可猜想S n的表达式为________________．答案S n＝2n n＋1解析S1＝1，S2＝43，S3＝32＝64，S4＝85，猜想S n＝2nn＋1.7．已知正数数列{a n}(n∈N*)中，前n项和为S n，且2S n＝a n＋1an，用数学归纳法证明：a n＝n－n－1.证明(1)当n＝1时，a1＝S1＝12(a1＋1a1)，∴a21＝1(a n>0)，∴a1＝1，又1－0＝1，∴n＝1时，结论成立．(2)假设n＝k(k∈N*)时，结论成立，即a k＝k－k－1. 当n＝k＋1时，a k＋1＝S k＋1－S k＝12(a k＋1＋1ak＋1)－12(a k＋1ak)＝12(a k＋1＋1ak＋1)－12(k－k－1＋1k－k－1)＝12(a k＋1＋1ak＋1)－k.∴a2k＋1＋2ka k＋1－1＝0，解得a k＋1＝k＋1－k(a n>0)，∴n＝k＋1时，结论成立．由(1)(2)可知，对n∈N*都有a n＝n－n－1.二、能力提升8．对于不等式n2＋n≤n＋1 (n∈N*)，某学生的证明过程如下：①当n＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．②假设n＝k (n∈N*)时，不等式成立，即k2＋k≤k＋1，则n＝k＋1时，(k＋1)2＋(k＋1)＝k2＋3k＋2<k2＋3k＋2＋(k＋2)＝(k＋2)2＝(k＋1)＋1，所以当n＝k＋1时，不等式成立，上述证法( )A．过程全部正确B．n＝1验证不正确C．归纳假设不正确D．从n＝k到n＝k＋1的推理不正确答案 D解析从n＝k到n＝k＋1的推理中没有使用归纳假设，不符合数学归纳法的证题要求．9．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n＋1)2>12－1n＋2.假设n＝k时，不等式成立．则当n＝k＋1时，应推证的目标不等式是__________________________．答案122＋132＋…＋1k2＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋3解析观察不等式中的分母变化知，122＋132＋…＋1k2＋1(k＋1)2＋1(k＋2)2>12－1k＋3.10．证明：62n－1＋1能被7整除(n∈N*)．证明(1)当n＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．(2)假设当n＝k(k∈N*)时，62k－1＋1能被7整除．那么当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1＝62k－1＋2＋1＝36×(62k－1＋1)－35.∵62k－1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴当n＝k＋1时，62(k＋1)－1＋1能被7整除．由(1)，(2)知命题成立．11．求证：1n＋1＋1n＋2＋…＋13n>56(n≥2，n∈N*)．证明(1)当n＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>56，不等式成立．(2)假设当n＝k(k≥2，k∈N*)时命题成立，即1k＋1＋1k＋2＋…＋13k>56.则当n＝k＋1时，1 (k＋1)＋1＋1(k＋1)＋2＋…＋13k＋13k＋1＋13k＋2＋13(k＋1)＝1k＋1＋1k＋2＋…＋13k＋(13k＋1＋13k＋2＋13k＋3－1k＋1)>56＋(13k＋1＋13k＋2＋13k＋3－1k＋1)>56＋(3×13k＋3－1k＋1)＝56，所以当n＝k＋1时不等式也成立．由(1)和(2)可知，原不等式对一切n≥2，n∈N*均成立．12．已知数列{a n }中，a 1＝－23，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋1S n＋2(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明． 解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n＋2.∴S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)． 则有：S 1＝a 1＝－23，S 2＝－1S 1＋2＝－34，S 3＝－1S 2＋2＝－45，S 4＝－1S 3＋2＝－56，由此猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)．用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，S 1＝－23＝a 1，猜想成立．(2)假设n ＝k (k ∈N *)猜想成立，即S k ＝－k ＋1k ＋2成立，那么n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2＝－k ＋2k ＋3＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2. 即n ＝k ＋1时猜想成立．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，猜想结论均成立． 三、探究与拓展13．已知递增等差数列{a n }满足：a 1＝1，且a 1，a 2，a 4成等比数列．(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若不等式(1－12a 1)·(1－12a 2)·…·(1－12a n )≤m 2a n ＋1对任意n ∈N *，试猜想出实数m 的最小值，并证明．解 (1)设数列{a n }公差为d (d >0)，由题意可知a 1·a 4＝a 22，即1(1＋3d )＝(1＋d )2，解得d ＝1或d ＝0(舍去)．所以a n ＝1＋(n －1)·1＝n .(2)不等式等价于12·34·56·…·2n －12n ≤m 2n ＋1， 当n ＝1时，m ≥32；当n ＝2时，m ≥358； 而32>358，所以猜想，m 的最小值为32. 下面证不等式12·34·56·…·2n －12n ≤322n ＋1对任意n ∈N *恒成立． 下面用数学归纳法证明： 证明 (1)当n ＝1时，12≤323＝12，命题成立． (2)假设当n ＝k 时，不等式，12·34·56·…·2k －12k ≤322k ＋1成立， 当n ＝k ＋1时，12·34·56·…·2k －12k ·2k ＋12k ＋2≤322k ＋1·2k ＋12k ＋2， 只要证322k ＋1·2k ＋12k ＋2≤ 322k ＋3， 只要证2k ＋12k ＋2≤12k ＋3，只要证2k ＋12k ＋3≤2k ＋2， 只要证4k 2＋8k ＋3≤4k 2＋8k ＋4，只要证3≤4，显然成立．1 2·34·56·…·2n－12n≤322n＋1恒成立．所以，对任意n∈N*，不等式。
人教a版数学【选修2-2】练习：2.3数学归纳法(含答案)
选修2-2第二章 2.3一、选择题1．用数学归纳法证明1＋12＋13＋,＋12n－1<n(n∈N*，n>1)时，第一步应验证不等式()A．1＋12<2B．1＋12＋13＜2C．1＋12＋13＜3 D．1＋12＋13＋14＜3[答案] B[解析]∵n∈N*，n＞1，∴n取第一个自然数为2，左端分母最大的项为122－1＝13，故选B.2．(2014·秦安县西川中学高二期中)用数学归纳法证明1＋a＋a2＋,＋a n＋1＝1－a n＋2 1－a(n∈N*，a≠1)，在验证n＝1时，左边所得的项为()A．1 B．1＋a＋a2C．1＋a D．1＋a＋a2＋a3[答案] B[解析]因为当n＝1时，a n＋1＝a2，所以此时式子左边＝1＋a＋a2.故应选 B.3．设f(n)＝1n＋1＋1n＋2＋,＋12n(n∈N*)，那么f(n＋1)－f(n)等于()A．12n＋1B．12n＋2C．12n＋1＋12n＋2D．12n＋1－12n＋2[答案] D[解析]f(n＋1)－f(n)＝1n＋1＋1＋1n＋1＋2＋,＋12n＋12n＋1＋12n＋1－1n＋1＋1n＋2＋,＋12n＝12n＋1＋12n＋1－1n＋1＝12n＋1－12n＋2.4．某个命题与自然数n有关，若n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得n＝k＋1时该命题也成立．现在已知当n＝5时，该命题不成立，那么可推得()A．当n＝6时该命题不成立B．当n＝6时该命题成立C．当n＝4时该命题不成立D．当n＝4时该命题成立[答案] C[解析]原命题正确，则逆否命题正确．故应选 C.5．用数学归纳法证明命题“当n是正奇数时，x n＋y n能被x＋y整除”，在第二步的证明时，正确的证法是()A．假设n＝k(k∈N*)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立B．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立C．假设n＝k(k是正奇数)时命题成立，证明n＝k＋2时命题也成立D．假设n＝2k＋1(k∈N)时命题成立，证明n＝k＋1时命题也成立[答案] C[解析]∵n为正奇数，当n＝k时，k下面第一个正奇数应为k＋2，而非k＋1.故应选C.6．凸n边形有f(n)条对角线，则凸n＋1边形对角线的条数f(n＋1)为()A．f(n)＋n＋1 B．f(n)＋nC．f(n)＋n－1 D．f(n)＋n－2[答案] C[解析]增加一个顶点，就增加n＋1－3条对角线，另外原来的一边也变成了对角线，故f(n＋1)＝f(n)＋1＋n＋1－3＝f(n)＋n－1.故应选 C.二、填空题7．(2014·湖北重点中学高二期中联考)用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2),(n＋n)＝2n·1·3,(2n－1)(n∈N*)时，从“n＝k到n＝k＋1”左边需增乘的代数式为() A．2k＋1 B．2(2k＋1)C．2k＋1k＋1D．2k＋3k＋1[答案] B[解析]n＝k时，等式为(k＋1)(k＋2),(k＋k)＝2k·1·3·,·(2k－1)，n＝k＋1时，等式左边为(k＋1＋1)(k＋1＋2),(k＋1＋k＋1)＝(k＋2)(k＋3),(2k)·(2k＋1)·(2k＋2)，右边为2k＋1·1·3·,·(2k－1)(2k＋1)．左边需增乘2(2k＋1)，故选 B.8．已知数列11×2，12×3，13×4，,，1n n＋1，通过计算得S1＝12，S2＝23，S3＝34，由此可猜测S n＝________.[答案]n n＋1[解析]解法1：通过计算易得答案．解法2：S n＝11×2＋12×3＋13×4＋,＋1n n＋1＝1－12＋12－13＋13－14＋,＋1n－1n＋1＝1－1n＋1＝nn＋1.9．用数学归纳法证明：1－12＋13－14＋,＋12n－1－12n＝1n＋1＋1n＋2＋,＋12n，第一步应验证的等式是________．[答案]1－12＝12[解析]当n＝1时，等式的左边为1－12＝12，右边＝12，∴左边＝右边．三、解答题10．(2013·大庆实验中学高二期中)数列{a n}满足S n＝2n－a n(n∈N*)．(1)计算a1、a2、a3，并猜想a n的通项公式；(2)用数学归纳法证明(1)中的猜想．[证明](1)当n＝1时，a1＝S1＝2－a1，∴a1＝1；当n＝2时，a1＋a2＝S2＝2×2－a2，∴a2＝3 2；当n＝3时，a1＋a2＋a3＝S3＝2×3－a3，∴a3＝7 4 .由此猜想a n＝2n－12n－1(n∈N*)(2)证明：①当n＝1时，a1＝1结论成立，②假设n＝k(k≥1，且k∈N*)时结论成立，即a k＝2k－1 2k－1，当n＝k＋1时，a k＋1＝S k＋1－S k＝2(k＋1)－a k＋1－2k＋a k＝2＋a k－a k＋1，∴2a k＋1＝2＋a k∴a k＋1＝2＋a k2＝2k＋1－12k，∴当n＝k＋1时结论成立，于是对于一切的自然数n∈N*，a n＝2n－12n－1成立．一、选择题11．用数学归纳法证明1＋2＋3＋,＋n2＝n4＋n22，则当n＝k＋1时左端应在n＝k的基础上加上()A．k2＋1 B．(k＋1)2C．k＋14＋k＋122D．(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋,＋(k＋1)2[答案] D[解析]n＝k时，左边＝1＋2＋3＋,＋k2，n＝k＋1时，左边＝1＋2＋3＋,＋k2＋(k2＋1)＋(k2＋2)＋,＋(k＋1)2，故选 D.12．设凸k边形的内角和为f(k)，则凸k＋1边形的内角和f(k＋1)＝f(k)＋________.() A．2π B．πC．π2D．π3[答案] B[解析]将k＋1边形A1A2,A k A k＋1的顶点A1与A k相连，则原多边形被分割为k边形A1A2,A k与三角形A1A k A k＋1，其内角和f(k＋1)是k边形的内角和f(k)与△A1A k A k＋1的内角和π的和，故选 B.13．(2014·揭阳一中高二期中)用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被9整除”，要利用归纳假设证n＝k＋1时的情况，只需展开() A．(k＋3)3B．(k＋2)3C．(k＋1)3D．(k＋1)3＋(k＋2)3[答案] A[解析]因为从n＝k到n＝k＋1的过渡，增加了(k＋1)3，减少了k3，故利用归纳假设，只需将(k＋3)3展开，证明余下的项9k2＋27k＋27能被9整除．14．(2014·合肥一六八中高二期中)观察下列各式：已知a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，,，则归纳猜测a7＋b7＝()A．26 B．27C．28 D．29[答案] D[解析]观察发现，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11,7＋11＝18,11＋18＝29，∴a7＋b7＝29.二、填空题15．用数学归纳法证明“2n＋1≥n2＋n＋2(n∈N*)”时，第一步的验证为________．[答案]当n＝1时，左边＝4，右边＝4，左≥右，不等式成立[解析]当n＝1时，左≥右，不等式成立，∵n∈N*，∴第一步的验证为n＝1的情形．16．对任意n∈N*,34n＋2＋a2n＋1都能被14整除，则最小的自然数a＝________.[答案] 5[解析]当n＝1时，36＋a3能被14整除的数为a＝3或5，当a＝3时且n＝3时，310＋35不能被14整除，故a＝5.三、解答题17．在平面内有n条直线，其中每两条直线相交于一点，并且每三条直线都不相交于同一点．求证：这n条直线将它们所在的平面分成n2＋n＋22个区域．[证明](1)n＝2时，两条直线相交把平面分成4个区域，命题成立．(2)假设当n＝k(k≥2)时，k条直线将平面分成k2＋k＋22块不同的区域，命题成立．当n＝k＋1时，设其中的一条直线为l，其余k条直线将平面分成k2＋k＋22块区域，直线l与其余k条直线相交，得到k个不同的交点，这k个点将l分成k＋1段，每段都将它所在的区域分成两部分，故新增区域k＋1块．从而k＋1条直线将平面分成k2＋k＋22＋k＋1＝k＋12＋k＋1＋22块区域．所以n＝k＋1时命题也成立．由(1)(2)可知，原命题成立．18．试比较2n＋2与n2的大小(n∈N*)，并用数学归纳法证明你的结论．[分析]由题目可获取以下主要信息：①此题选用特殊值来找到2n＋2与n2的大小关系；②利用数学归纳法证明猜想的结论．解答本题的关键是先利用特殊值猜想．[解析]当n＝1时，21＋2＝4>n2＝1，当n＝2时，22＋2＝6>n2＝4，当n＝3时，23＋2＝10>n2＝9，当n＝4时，24＋2＝18>n2＝16，由此可以猜想，2n＋2>n2(n∈N*)成立下面用数学归纳法证明：(1)当n＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1，所以左边>右边，所以原不等式成立．当n＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4，所以左边>右边；当n＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9，所以左边>右边．(2)假设n＝k时(k≥3且k∈N*)时，不等式成立，即2k＋2>k2.那么当n＝k＋1时，2k＋1＋2＝2·2k＋2＝2(2k＋2)－2>2·k2－2.又因：2k2－2－(k＋1)2＝k2－2k－3＝(k－3)(k＋1)≥0，即2k2－2≥(k＋1)2，故2k＋1＋2>(k＋1)2成立．根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．。
苏教高一下数学选修2-2 第二章 2.3数学归纳法练习题课件
(2)猜想
a
的表达式，并用数学归纳法证明．
n
解
(∴令令1令)nn∵＝＝na＝341 ＝，，2，得得16 得a，a1＋前1a＋1an＋a项22＋＋a和2aa＝3s3＋n＝3＝aa624an，＝(3n，∴120∴a1a)2＝4aa，3n＝12∴，21a0a1＝4＝1.31120..
2.3 数学归纳法
刷基础
题型3 归纳——猜想——证明
(2)猜想
a
n＝（n
1 1)( n
2)
，下面用数学归纳法给出证明．
①当n＝1时，结论成立；
1
②假设当n＝k(k∈N*，k≥1)时，结论成立，即 ak =（k 1)(k 2)
则当n＝k＋1时，sk =
k(k 1) 2
ak
=
k, （2 k 2）
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＋ 2k 1＋ 2k ＝
＝ 2k 1 －1，所以n＝k＋1时等式也成立．
由(1)(2)知，对任意的正整数n命题都成立．
判断以上评述( B )
A．命题、证明都正确
B．命题正确、证明不正确
C．命题不正确、证明正确
D．命题、证明都不正确
解析 证明不正确，错在证明n＝k＋1时，没有用到假设n＝k的结论．命题由等比数列求和公式知 正确，故选B.
2
(k 1（) k 2)
解析 当n＝k时，假设成立的等式为
当n＝k＋1时，要证明的等式为
左边需要添加的项为
故选D.
刷基础
时，由n＝k到
2.3 数学归纳法
刷基础
题型3 归纳——猜想——证明
7.
[山东烟台2018高二期中]已知数列{a
}满足
n
a1＝
苏教版数学高二-数学苏教版选修2-2 2.3 数学归纳法 同步检测(2)
2.3《数学归纳法》同步检测（2）一、基础过关1．用数学归纳法证明等式1＋2＋3＋…＋(n ＋3)＝(n ＋3)(n ＋4)2(n ∈N *)，验证n ＝1时，左边应取的项是________．2．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n ≥n 0的自然数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取________．3．若f (n )＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1(n ∈N *)，则f (1)＝________. 4．已知f (n )＝1＋12＋13＋…＋1n (n ∈N ＋)，证明不等式f (2n )>n 2时，f (2k ＋1)比f (2k )多的项数是________．5．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 1＝1，S n ＝n 2a n (n ∈N *)．依次计算出S 1，S 2，S 3，S 4后，可猜想S n 的表达式为________________．二、能力提升6．用数学归纳法证明“5n －2n 能被3整除”的第二步中，当n ＝k ＋1时，为了使用归纳假设，应将5k ＋1－2k ＋1变形为______________．7．k (k ≥3，k ∈N *)棱柱有f (k )个对角面，则(k ＋1)棱柱的对角面个数f (k ＋1)＝f (k )＋________.8．对于不等式n 2＋n ≤n ＋1 (n ∈N *)，某学生的证明过程如下：①当n ＝1时，12＋1≤1＋1，不等式成立．②假设n ＝k (n ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k ≤k ＋1，则n ＝k ＋1时，(k ＋1)2＋(k ＋1)＝k 2＋3k ＋2<k 2＋3k ＋2＋(k ＋2)＝(k ＋2)2＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时，不等式成立，上述证明说法正确的是________．①过程全部正确②n ＝1验证不正确③归纳假设不正确④从n ＝k 到n ＝k ＋1的推理不正确9．用数学归纳法证明122＋132＋…＋1(n ＋1)2>12－1n ＋2.假设n ＝k 时，不等式成立．则当n ＝k ＋1时，应推证的目标不等式是____________________________________________．10．证明：62n －1＋1能被7整除(n ∈N *)．11．求证：1n ＋1＋1n ＋2＋…＋13n >56(n ≥2，n ∈N *)． 12．已知数列{a n }中，a 1＝－23，其前n 项和S n 满足a n ＝S n ＋1S n＋2(n ≥2)，计算S 1，S 2，S 3，S 4，猜想S n 的表达式，并用数学归纳法加以证明．三、探究与拓展13．试比较2n ＋2与n 2的大小(n ∈N *)，并用数学归纳法证明你的结论．答案1．1＋2＋3＋42．53.1164．2k5．S n ＝2n n ＋16．5(5k －2k )＋3×2k7．k －18．④9.122＋132＋…＋1k 2＋1(k ＋1)2＋1(k ＋2)2>12－1k ＋310．证明 (1)当n ＝1时，62－1＋1＝7能被7整除．(2)假设当n ＝k (k ∈N *)时，62k －1＋1能被7整除．那么当n ＝k ＋1时，62(k ＋1)－1＋1＝62k －1＋2＋1＝36(62k －1＋1)－35.∵62k －1＋1能被7整除，35也能被7整除，∴当n ＝k ＋1时，62(k ＋1)－1＋1能被7整除．由(1)，(2)知命题成立．11．证明 (1)当n ＝2时，左边＝13＋14＋15＋16>56， 不等式成立．(2)假设当n ＝k (k ≥2，k ∈N *)时命题成立，即1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k >56. 则当n ＝k ＋1时，1(k ＋1)＋1＋1(k ＋1)＋2＋…＋13k ＋13k ＋1＋13k ＋2＋13(k ＋1)＝1k ＋1＋1k ＋2＋…＋13k ＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)>56＋(13k ＋1＋13k ＋2＋13k ＋3－1k ＋1)>56＋(3×13k ＋3－1k ＋1)＝56， 所以当n ＝k ＋1时不等式也成立．由(1)和(2)可知，原不等式对一切n ≥2，n ∈N *均成立．12．解 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝S n ＋1S n＋2. ∴S n ＝－1S n －1＋2(n ≥2)． 则有：S 1＝a 1＝－23， S 2＝－1S 1＋2＝－34，S 3＝－1S 2＋2＝－45， S 4＝－1S 3＋2＝－56， 由此猜想：S n ＝－n ＋1n ＋2(n ∈N *)． 用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，S 1＝－23＝a 1，猜想成立． (2)假设n ＝k (k ∈N *)猜想成立，即S k ＝－k ＋1k ＋2成立， 那么n ＝k ＋1时，S k ＋1＝－1S k ＋2＝－1－k ＋1k ＋2＋2 ＝－k ＋2k ＋3＝－(k ＋1)＋1(k ＋1)＋2. 即n ＝k ＋1时猜想成立．由(1)(2)可知，对任意正整数n ，猜想结论均成立．13．证明 当n ＝1时，21＋2＝4>n 2＝1， 当n ＝2时，22＋2＝6>n 2＝4，当n ＝3时，23＋2＝10>n 2＝9，由n ＝4时，24＋2＝18>n 2＝16，由此可以猜想，2n ＋2>n 2(n ∈N *)成立．下面用数学归纳法证明：(1)当n ＝1时，左边＝21＋2＝4，右边＝1， 所以左边>右边，所以原不等式成立．当n ＝2时，左边＝22＋2＝6，右边＝22＝4， 所以左边>右边；当n ＝3时，左边＝23＋2＝10，右边＝32＝9， 所以左边>右边．(2)假设n ＝k (k ≥3且k ∈N *)时，不等式成立， 即2k ＋2>k 2.那么当n ＝k ＋1时，2k ＋1＋2＝2·2k ＋2＝2(2k ＋2)－2>2·k 2－2.又因为2k 2－2－(k ＋1)2＝k 2－2k －3＝(k －3)(k ＋1)≥0， 即2k 2－2≥(k ＋1)2，故2k ＋1＋2>(k ＋1)2成立．根据(1)和(2)，原不等式对于任何n∈N*都成立．。
人教新课标A版选修2-2数学2.3数学归纳法同步练习(II)卷
人教新课标 A 版选修 2-2 数学 2.3 数学归纳法同步练习（II）卷姓名:________班级:________成绩:________一、 选择题 (共 15 题；共 30 分)1. （2 分） 用数学归纳法证明(n＋1)(n＋2)(n＋3)…(n＋n)＝2n·1·3·…·(2n－1)(n∈N*)时，从 n＝k 到 n＝k＋1，左端需要增加的代数式为（ ）A . 2k＋1B . 2(2k＋1)C.D. 2. （2 分） 用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3 ， (n∈N＋)能被 9 整除”，要利用归纳法假设证 n ＝k＋1 时的情况，只需展开（ ）． A . (k＋3)3 B . (k＋2)3 C . (k＋1)3 D . (k＋1)3＋(k＋2)33. （2 分） 已知{an}为等差数列，若 ＜﹣1，且它的前 n 项和 Sn 有最大值，那么当 Sn 取得最小正值时，n 的值为（ ）A . 24 B . 23 C . 22 D . 11第 1 页 共 10 页4. （2 分） 某个命题与自然数 n 有关，若 n＝k(k∈N*)时，该命题成立，那么可推得 n＝k＋1 时该命题也成 立．现在已知当 n＝5 时，该命题不成立，那么可推得（ ）A . 当 n＝6 时该命题不成立 B . 当 n＝6 时该命题成立 C . 当 n＝4 时该命题不成立 D . 当 n＝4 时该命题成立5. （2 分） 用数学归纳法证明 A . k2+1 B . （k+1）2，则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础上增加（ ）C. D . （k2+1）+（k2+2）+（k2+3）+…+（k+1）26. （2 分） 对于不等式，某学生的证明过程如下：⑴当时，，不等式成立．⑵假设时，不等式成立，即，则时，，∴当时，不等式成立，上述证法（ ）A . 过程全都正确B.验证不正确C . 归纳假设不正确D.从到的推理不正确第 2 页 共 10 页7. （2 分） 用数学归纳法证明 式左端应增加的式子为（ ）时，由到，不等A.B.C.D. 8. （2 分） 如果命题 p(n) 对 n=k 成立，那么它对 n=k+2 也成立，又若 p(n) 对 n=2 成立，则下列结论正 确的是（ ） A . p(n) 对所有自然数 n 成立 B . p(n) 对所有正偶数 n 成立 C . p(n) 对所有正奇数 n 成立 D . p(n) 对所有大于 1 的自然数 n 成立9. （2 分） (2018 高二下·重庆期中) 用数学归纳证明：从到时，左边应添加的式子是 （ ）A.B.时，C.D.10. （2 分） 用数学归纳法证明 上（ ），则当 n=k+1 时左端应在 n=k 的基础上加第 3 页 共 10 页A . （3k+2） B . （3k+4） C . （3k+2）+（3k+3） D . （3k+2）+（3k+3）+（3k+4）11. （2 分） (2018 高二下·西湖月考) 证明： 式子等于（ ）A.1，当时，中间B.C.D.12. （2 分） 用数学归纳法证明 的代数式是（ ）A. B. C.时，从到，左边需增添D.13. （2 分） 用数学归纳法证明“n3＋(n＋1)3＋(n＋2)3(n∈N*)能被 9 整除”，要利用归纳假设证 n＝k＋1 时的情况，只需展开（ ）A . (k＋3)3B . (k＋2)3C . (k＋1)3第 4 页 共 10 页D . (k＋1)3＋(k＋2)314. （2 分） (2018 高二下·河南月考) 用数学归纳法证明“等式成立，推证时，左边应增加的项数是（ ）A.B.C.D.15.（2 分）用数学归纳法证明，当A.B.”时，由不时，左端应在的基础上加上（ ）C. D.二、 填空题 (共 5 题；共 5 分)16. （1 分） (2018 高二下·邗江期中) 利用数学归纳法证明“”时，在验证成立时，左边应该是 ________．，（ ）17. （1 分） 用数学归纳法证明“ n3+5n 能被 6 整除”的过程中，当 n=k+1 时，式子(k+1)3+5(k+1) 应变形 为________．18. （1 分） 用数学归纳法证明命题： 两边应同时加上________．，从“第 k 步到 k+1 步”时，19. （1 分） 用数学归纳法证明“ 应取________．对于的自然数 都成立”时，第一步证明中的起始值第 5 页 共 10 页20. （1 分） (2018 高二下·邗江期中) 用数学归纳法证明“时，式子应变形为________三、 解答题 (共 5 题；共 40 分)能被 整除”的过程中，当21. （10 分） (2018 高二下·龙岩期中) 已知函数，设为的导数，.（1） 求、、、的表达式;（2） 猜想的表达式，并证明你的结论.22. （10 分） (2018 高二下·湛江期中) 已知数列 的前 n 项和．（1） 计算 ， ， ， ； （2） 猜想 的表达式，并用数学归纳法证明你的结论．23. （10 分） (2016·嘉兴模拟) 已知数列（1） 若，对于任意，不等式恒成立，求 的取值范围（2） 求证：（）24. （5 分） (2017·嘉兴模拟) 已知数列 满足，（I）；（II）；，求证：（III）.25. （5 分） 设 0<a<1，定义 a1＝1＋a，,求证：对任意 n∈N＋ ， 有第 6 页 共 10 页一、 选择题 (共 15 题；共 30 分)1-1、 2-1、 3-1、 4-1、 5-1、 6-1、 7-1、 8-1、 9-1、 10-1、 11-1、 12-1、 13-1、 14-1、 15-1、参考答案第 7 页 共 10 页二、 填空题 (共 5 题；共 5 分)16-1、 17-1、 18-1、 19-1、 20-1、三、 解答题 (共 5 题；共 40 分)21-1、21-2、第 8 页 共 10 页22-1、 22-2、 23-1、23-2、第 9 页 共 10 页24-1、 25-1、第 10 页 共 10 页。
苏教版高中数学选修2-2同步训练数学归纳法
2.3 数学归纳法1、“111111111()234212122n N n n n n n*-+-++-=+++∈-++L L ,在用数学归纳法证明上述恒等式的过程中,由(,1)n k k N k *=∈≥推导到1n k =+时,等式的右边增加的式子是( ) A.12(1)k +B.112122k k +++ C.112(1)1k k -++D.111212(1)1k k k +-+++ 2、用数学归纳法证明"223122221n n +++++⋯+=-",验证1n =时,左边计算所得的式子为( ) A. 1 B. 12+ C. 2122++ D. 231222+++3、已知()231123334333n n n na b c -+⨯+⨯+⨯++⨯=-+L 对一切*n N ∈都成立,那么,,a b c 的值为( )A. 12a =,14b c == B. 14a b c ===C. 0a =,14b c ==D.不存在这样的,,a b c 4、用数学归纳法证明不等式“()11113212224n n n n ++⋅⋅⋅+>>++”时的过程中,由n k =到1n k =+时,不等式的左边( )A.增加了一项()121k +B.增加了两项()112121k k +++ C.增加了两项()112121k k +++,又减少了11k + D.增加了一项()121k +,又减少了一项11k +5、设1111,1232k S k k k k=+++⋯++++则1k S += ( ) A. ()121k S k ++B. ()112121k S k k ++++ C. ()112121k S k k +-++ D. ()112121k S k k +-++6、用数学归纳法证明“52n n -”能被3整除”的第二步中1n k =+时,为了使用假设,应将1152k k ++-变形为( )A. ()52452k k k k -+⨯- B. ()55232k k k -+⨯ C. ()()5252k k -- D. ()55235k k k --⨯7、若命题()()*A n n N ∈在()*n k k N =∈时命题成立,则有1n k =+时命题成立.现知命题对()*00n n n N =∈时命题成立,则有( )A.命题对所有正整数都成立B.命题对小于0n 的正整数不成立,对大于或等于0n 的正整数都成立C.命题对小于0n 的正整数成立与否不能确定,对大于或等于0n 的正整数都成立D.以上说法都不正确8、设平面内有k 条直线,其中任何两条不平行,任何三条不共点,设k 条直线的交点个数为(),f k 则()1f k +与()f k 的关系是( )A. ()()11f k f k k +=++B. ()()11f k f k k +=+-C. ()()1f k f k k +=+D. ()()12f k f k k +=++ 9、设()()111231*,31f n N n n =+++⋯∈-+那么()()1f n f n +-等于( ) A.132n + B. 11331n n ++ C. 113132n n +++ D. 11133132n n n ++++ 10、凸n 边形有()f n 条对角线,则凸1n +边形有对角线条数()1f n +为( ) A. ()1f n n ++ B. ()f n n + C. ()1f n n +- D. ()2f n n +- 11、用数学归纳法证明11112321n n ++++<-L ”时,由()1n k k =>不等式成立,推证1n k =+时,左边应增加的项数是__________项;12、用数学归纳法证明: ()221*11,11n n a a a a n N a a++-+++⋯+=∈≠-,在验证1n =成立时,左边所得的项为__________.13、用数学归纳法证明“对于足够大的自然数n ,总有32n n >”时,验证第一步不等式成立所取的第一个值0n 最小应当是__________. 14、用数学归纳法证明()2221111123221n n ++⋅⋅⋅+>-++.假设n k =时,不等式成立,则当1n k =+时,应推证的目标不等式是__________.15、已知某数列的第一项为1,并且对所有的自然数2n ≥,数列的前n 项之积为2n . 1.写出这个数列的前5项2.写出这个数列的通项公式并加以证明.答案以及解析1答案及解析： 答案：D 解析：2答案及解析： 答案：D解析：左边的指数从0开始,依次加1,直到2n +,所以当1n =时,应加到32,故选D.3答案及解析： 答案：A解析：令1,2,3n =,得()()()31,{927,27334,a b c a b c a b c -+=-+=-+=解得12a =,14b c ==.经验证此时等式对一切*n N ∈均成立.4答案及解析： 答案：C解析：本题考查的知识点是数学归纳法,观察不等式“()11113212224n n n n ++⋅⋅⋅+>>++左边的各项,他们都是以11n +开始,以12n项结束,共n 项,当由n k =到1n k =+时,项数也由k 变到1k +时,但前边少了一项,后面多了两项,分析四个答案,即可求出结论.n k =时,左边11112k k k k=++⋅⋅⋅++++, 1n k =+时,左边()()()()111111211k k k k =++⋅⋅⋅++++++++111111121212k k k k k k k ⎛⎫=++⋅⋅⋅+-++ ⎪++++++⎝⎭。
人教新课标版数学高二选修2-2课时卷2.3数学归纳法
课时提升卷(十九)数学归纳法（45分钟 100分）一、选择题(每小题6分,共30分)1.用数学归纳法证明1+a+a2+…+a n+1=(n∈N*,a≠1),在验证n=1时,左边所得的项为( )A.1B.1+a+a2C.1+aD.1+a+a2+a32.(2012·临沂高二检测)在用数学归纳法证明(n+1)(n+2)…(n+n)=2n·1·2·3·…·(2n-1)(n∈N*)时,从k到k+1,左端需要增加的代数式是( )A.2k+1B.2(2k+1)C. D.3.(2013·洋浦高二检测)已知f(n)=++++…+,则 ( )A.f(n)中共有n项,当n=2时,f(2)=+B.f(n)中共有n+1项,当n=2时,f(2)=1+++C.f(n)中共有n2-n+2项,当n=2时,f(2)=1+++D.f(n)中共有n2-n+1项,当n=2时,f(2)=1+++4.(2013·咸宁高二检测)已知一个命题P(k),k=2n(n∈N),若n=1,2,…,1 000时,P(k)成立,且当n=1 000+1时它也成立,下列判断中,正确的是( )A.P(k)对k=2 013成立B.P(k)对每一个自然数k成立C.P(k)对每一个正偶数k成立D.P(k)对某些偶数可能不成立5.对于不等式<n+1(n∈N*),某同学应用数学归纳法证明的过程如下:(1)当n=1时,<1+1,不等式成立.(2)假设当n=k(k∈N*,且k≥1)时,不等式成立,即<k+1,则当n=k+1时,=<==(k+1) +1,所以当n=k+1时,不等式也成立.根据(1)和(2)可知,对任何n∈N*,<n+1都成立.则上述证法( )A.过程全部正确B.n=1验证不正确C.归纳假设不正确D.从n=k到n=k+1的推理不正确二、填空题(每小题8分,共24分)6.用数学归纳法证明1++++…+≥时,从“n=k”到“n=k+1”左边要增添的代数式是.7.已知1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c对一切n∈N*成立,那么a= ,b= ,c= .8.(2013·无锡高二检测)已知一个关于正整数n的命题P(n)满足“若n=k(k∈N*)时命题P(n)成立,则n=k+1时命题P(n)也成立”.有下列判断:(1)当n=2 013时命题P(n)不成立,则n≥2 013时命题P(n)不成立.(2)当n=2 013时命题P(n)不成立,则n=1时命题P(n)不成立.(3)当n=2 013时命题P(n)成立,则n≥2 013时命题P(n)成立.(4)当n=2 013时命题P(n)成立,则n=1时命题P(n)成立.其中正确判断的序号是.(写出所有正确判断的序号)三、解答题(9～10题各14分,11题18分)9.已知n∈N*,求证:1·22-2·32+…+(2n-1)·(2n)2-2n·(2n+1)2=-n(n+1)(4n+3).10.(2013·衡水高二检测)试比较2n+2与n2的大小(n∈N*),并用数学归纳法证明你的结论.11.(能力挑战题)设数列{a n}的前n项和为S n,且对任意n∈N*都有:(S n-1)2=a n S n.(1)求S1,S2,S3.(2)猜想S n的表达式并证明.答案解析1.【解析】选B.因为当n=1时,此时式子的左边=1+a+a2.故应选B.2.【解析】选 B.当n=k+1时,左端=(k+1)(k+2)…(k+k)(k+k+1)(k+1+k+1),所以左端增加的代数式为(k+k+1)(k+1+k+1)=2(2k+1),故选B.3.【解析】选C.由条件可知,f(n)共有项数为n2-(n-1)+1=n2-n+2项,且n=2时,f(2)=+++.故选C.4.【解析】选D.由已知中命题P(k),这里k=2n(n∈N*),当n=1,2,…,1 000时, P(k)成立,并且当n=1 000+1时它也成立,可得P(k)对于1～2 002内的偶数均成立,而对于其他数不一定成立,据此判断四个答案的真假即可.5.【解题指南】从数学归纳法的步骤进行分析.【解析】选D.n=1的验证及归纳假设都正确,但从n=k到n=k+1的推理中没有使用归纳假设,而通过不等式的放缩法直接证明,不符合数学归纳法的证题要求.故应选D.6.【解析】当n=k+1时,左边=1++++…++++…+, 故需添的项为:++…+.答案:++…+【误区警示】本题容易出现增加这一项的错误.【变式备选】用数学归纳法证明“2n+1≥n2+n+2(n∈N*)”时,第一步的验证为.【解析】当n=1时,左边≥右边,不等式成立.因为n∈N*,所以第一步的验证为n=1的情形.答案:当n=1时,左边=4,右边=4,左≥右,不等式成立7.【解题指南】利用n=1,2,3时,分别建立三个等式,通过解方程组可求得.【解析】把n=1,2,3代入1+2×3+3×32+4×33+…+n·3n-1=3n(na-b)+c,可得整理并解得答案:【变式备选】设a n=1+++…+(n∈N*),猜想关于n的整式g(n)= 时,使得等式a1+a2+…+a n-1=g(n)(a n-1)对于大于1的一切自然数n 都成立.【解析】假设g(n)存在,探索g(n).当n=2时,有a1=g(2)(a2-1),即1=g(2)(1+-1),解得g(2)=2.当n=3时,有a1+a2=g(3)(a3-1),即1+1+=g(3)(1++-1),解得g(3)=3.当n=4时,同样可解得g(4)=4.由此猜想g(n)=n(n∈N*,且n≥2).答案:n8.【解析】关于正整数n的命题P(n)满足“若n=k(k∈N*)时命题P(n)成立,则n=k+1时命题P(n)也成立”,所以当n=2 013时命题P(n)成立,则n≥2 013时命题P(n)成立,n<2 013时,P(n)不一定成立;当n=2 013时命题P(n)不成立,则n≥2 013时命题P(n)不一定成立,n=2 012时命题P(n)不成立,n=2 011时命题P(n)不成立,…,n=1时命题P(n)不成立,故正确的命题有(2)(3).答案:(2)(3)9.【证明】①当n=1时,左边=4-18=-14=(-1)×2×7=右边.②假设当n=k(k∈N*,k≥1)时,等式成立,即1·22-2·32+…+(2k-1)·(2k)2-2k·(2k+1)2=-k(k+1)(4k+3).当n=k+1时,1·22-2·32+…+(2k-1)·(2k)2-2k·(2k+1)2+(2k+1)·(2k+2)2-(2k+2)·(2k+3)2=-k(k+1)(4k+3)+(2k+2)[(2k+1)(2k+2)-(2k+3)2]=-k(k+1)(4k+3)+2(k+1)(-6k-7)=-(k+1)(k+2)(4k+7)=-(k+1)[(k+1)+1][4(k+1)+3],即当n=k+1时成立.综上所述,对一切n∈N*,等式成立.【拓展提升】证明恒等式成立的问题①验证是基础,找准起点,奠基要稳,有些问题中验证的初始值不一定为1.②递推是关键,正确分析由n=k到n=k+1时式子项数的变化,关键是弄清等式两边的构成规律,弄清由n=k到n=k+1时,等式的两边会增加多少项,增加怎样的项.③利用假设是核心,在第二步证明中一定要利用归纳假设,这是数学归纳法证明的核心,否则这样的证明就不是数学归纳法的证明.10.【解题指南】首先选用特值找到2n+2与n2的大小关系,然后作出猜想,再用数学归纳法证明猜想的结论.【解析】当n=1时,21+2=4>n2=1,当n=2时,22+2=6>n2=4,当n=3时,23+2=10>n2=9,当n=4时,24+2=18>n2=16,由此可以猜想,2n+2>n2(n∈N*)成立.下面用数学归纳法证明:(1)当n=1时,左边=21+2=4,右边=1,所以左边>右边,所以原不等式成立.当n=2时,左边=22+2=6,右边=22=4,所以左边>右边;当n=3时,左边=23+2=10,右边=32=9,所以左边>右边.不等式成立.(2)假设当n=k(k≥3,且k∈N*)时,不等式成立, 即2k+2>k2,那么当n=k+1时,2k+1+2=2·2k+2=2(2k+2)-2>2k2-2.又因:2k2-2-(k+1)2=k2-2k-3=(k-3)(k+1)≥0,即2k2-2≥(k+1)2,故2k+1+2>(k+1)2成立.原不等式成立.根据(1)和(2)知,原不等式对于任何n∈N*都成立.11.【解析】(1)(S n-1)2=(S n-S n-1)S n,所以S n=.又(S 1-1)2=,所以S1=,S2=,S3=.(2)猜想S n=.下面用数学归纳法证明:①当n=1时,S 1=,=,猜想正确;②假设当n=k时,猜想正确,即S k=,那么,n=k+1时,由S k+1===,猜想也成立, 综上知,S n=对任意n∈N*均成立.。
人教B版选修22高中数学231《数学归纳法》同步练习
数学归纳法应用举例一、选择题1.分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使结论成立的（ ) Ａ.充分条件 Ｂ.必要条件 Ｃ.充要条件 Ｄ.等价条件 答案:2.结论为：n n x y +能被x y +整除,令1234n =，，，验证结论是否正确，得到此结论成立的条件可以为( )Ａ.n *∈N Ｂ。
n *∈N 且3n ≥ Ｃ。
n 为正奇数 Ｄ.n 为正偶数答案:Ｃ3。
在ABC △中,sin sin cos cos A C A C >,则ABC △一定是（ ） Ａ.锐角三角形 Ｂ.直角三角形 Ｃ.钝角三角形 Ｄ。
不确定答案:Ｃ4。
在等差数列{}n a 中,若0n a >,公差0d >,则有4637a a a a >··,类经上述性质，在等比数列{}n b 中，若01n b q >>，，则4578b b b b ，，，的一个不等关系是( ) Ａ。
4857b b b b +>+ Ｂ。
5748b b b b +>+ Ｃ。
4758b b b b +>+ Ｄ。
4578b b b b +>+ 答案:Ｂ5.(1)已知332p q +=，求证2p q +≤，用反证法证明时，可假设2p q +≥,(2）已知a b ∈R ，，1a b +<,求证方程20x ax b ++=的两根的绝对值都小于1.用反证法证明时可假设方程有一根1x 的绝对值大于或等于1，即假设11x ≥,以下结论正确的是( ) Ａ。
(1)与(2)的假设都错误 Ｂ。
(1)与(2)的假设都正确Ｃ.(1)的假设正确；(2)的假设错误 Ｄ.(1)的假设错误;(2)的假设正确 答案：Ｄ 6.观察式子:213122+<，221151233++<,222111712344+++<,，则可归纳出式子为( ）Ａ.22211111(2)2321n n n ++++<-≥ Ｂ.22211111(2)2321n n n ++++<+≥ Ｃ。
苏教版数学高二- 选修2-2试题 2.3数学归纳法
2.3 数学归纳法一、填空题1．若f(n)＝1＋12＋13＋…＋12n ＋1，则当n ＝1时f(n)为________． 【解析】 当n ＝1时，f(n)＝1＋12＋13＝116. 【答案】 1162．用数学归纳法证明“2n >n 2＋1对于n≥n 0的正整数n 都成立”时，第一步证明中的起始值n 0应取值________．【解析】 ∵当n ＝1时，21＝12＋1，由n ＝2时，22<22＋1，当n ＝3时，23<32＋1，当n ＝4时，24<42＋1，当n≥5时，2n >n 2＋1恒成立．∴n 0＝5.【答案】 53．用数学归纳法证明某不等式时，其左边＝1－12＋13－14＋…＋12n －1－12n，则从“n ＝k 到n ＝k ＋1”应将左边加上________．【解析】 当n ＝k(k≥1，k ∈N *)时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k，当n ＝k ＋1时，左边＝1－12＋13－14＋…＋12k －1－12k ＋12k ＋1－12k ＋2. 比较以上两式发现，从“n ＝k 到n ＝k ＋1”应将左边加上12k ＋1－12k ＋2. 【答案】 12k ＋1－12k ＋24．数列{a n }满足a 1＝12，a n ＋1＝1－1a n，则a 2 014＝________． 【解析】 a 2＝1－2＝－1，a 3＝1＋1＝2，a 4＝1－12＝12， ∴以3为一个周期，∴a 2 014＝a 1＝12. 【答案】 125．用数学归纳法证明a n ＋b n 2≥(a ＋b 2)n (a ，b 是非负实数，n ∈N *)时，假设n ＝k 命题成立之后，证明n ＝k ＋1时命题也成立的关键是两边同乘以________．【解析】 要想办法出现a k ＋1＋b k ＋1，两边同乘以a ＋b 2，右边也出现了要证的(a ＋b 2)k ＋1.【答案】 a ＋b 26．用数学归纳法证明：n ∈N *，34n ＋2＋52n＋1一定能被14整除时，当n ＝k ＋1时，对于34(k ＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1应变形为________．【解析】 34(k＋1)＋2＋52(k ＋1)＋1＝34k ＋2·34＋52k ＋1·52＝81×34k ＋2＋25×52k ＋1＝25(34k ＋2＋52k ＋1)＋14×4×34k ＋2. 【答案】 25(34k ＋2＋52k ＋1)＋14×4×34k ＋27．对于不等式n 2＋n ＜n ＋1(n ∈N *)，某学生证明过程如下：(1)当n ＝1时，12＋1＜1＋1，不等式成立；(2)假设n ＝k(k ∈N *)时，不等式成立，即k 2＋k ＜k ＋1(k ∈N *)，则当n ＝k ＋1时，（k ＋1）2＋（k ＋1）＝k 2＋3k ＋2＜（k 2＋3k ＋2）＋（k ＋2）＝（k ＋2）2＝(k ＋1)＋1，所以当n ＝k ＋1时命题成立．上述证法的错误在于________．【解析】 在(2)中，不是由n ＝k 命题成立推证n ＝k ＋1时命题成立．【答案】 没用归纳假设8．用数学归纳法证明：凸n 边形对角线的条数f(n)＝12n(n －3)(n≥4)时，f(k ＋1)与f(k)的关系是________．【解析】 假设n ＝k(k≥4，k ∈N *)时成立，则f(k)＝12k(k －3)， 当n ＝k ＋1时，多出一条边，实际上增加的对角线条数为k ＋1－2＝k －1条，所以f(k ＋1)＝f(k)＋k －1.【答案】 f(k ＋1)＝f(k)＋k －1 二、解答题9．设n ∈N *，利用数学归纳法证明：f(n)＝(2n ＋7)·3n ＋9是36的倍数．【证明】 (1)当n ＝1时，f(1)＝(2＋7)×3＋9＝36，结论显然成立．(2)假设n ＝k 时，f(k)能被36整除，即f(k)＝(2k ＋7)·3k ＋9能被36整除；那么，当n ＝k ＋1时，有f(k ＋1)＝·3k ＋1＋9＝3＋18(3k －1－1)．由于3k －1－1是2的倍数，故18(3k －1－1)能被36整除．这就是说，当n ＝k ＋1时，f(n)也能被36整除．由(1)(2)可知对一切n ∈N *，都有f(n)＝(2n ＋7)·3n ＋9是36的倍数．10．用数学归纳法证明：122＋132＋142＋…＋1n 2＜1－1n(n≥2，n ∈N *)． 【证明】 (1) 当n ＝2时，左式＝122＝14，右式＝1－12＝12. 因为14＜12，所以不等式成立． (2)假设n ＝k(k≥2，k ∈N *)时，不等式成立． 即122＋132＋142＋…＋1k 2＜1－1k， 则当n ＝k ＋1时，122＋132＋142＋…＋1k 2＋1（k ＋1）2＜1－1k ＋1（k ＋1）2＝1－k 2＋k ＋1k （k ＋1）2＜1－k （k ＋1）k （k ＋1）2＝1－1k ＋1， 所以当n ＝k ＋1时，不等式也成立．综上所述，对任意n≥2的正整数，不等式都成立．11．已知数列{a n }满足a n ＋1＝12－a n ，a 1＝0.试猜想{a n }的通项公式，并用数学归纳法证明．【解】 由a n ＋1＝12－a n ，a 1＝0，得 a 2＝12－0＝12，a 3＝12－12＝23，a 4＝12－23＝34， a 5＝12－34＝45，…. 归纳上述结果，可得猜想a n ＝n －1n (n ＝1，2，3，…)． 下面用数学归纳法证明这个猜想：(1)当n ＝1时，猜想显然成立．(2)假设当n ＝k 时猜想成立，即a k ＝k －1k， 那么，当n ＝k ＋1时，a k ＋1＝12－a k ＝12－k －1k ＝k k ＋1＝（k ＋1）－1k ＋1， 即当n ＝k ＋1时，猜想也成立．根据(1)和(2), 可知猜想a n ＝n －1n对所有正整数都成立，即为数列{a n }的通项公式．。
【创新设计】高中数学苏教版选修2-2练习：2.3数学归纳法(含答案解析)
明目标、知要点 1.认识数学概括法的原理.2.能用数学概括法证明一些简单的数学命题．1．数学概括法(1)假如当 n 取第一个值 n0(比如 n0＝1,2 等 )时结论正确；(2) 假定当 n＝ k(k ∈ N*n＝k＋ 1 时结论也正确．那么，命题，且 k≥n)时结论正确，证明当关于从 n0开始的所有正整数n 都建立．2．应用数学概括法时应注意几点(1) 用数学概括法证明的对象是与正整数n 相关的数学命题．(2)在用数学概括法证明中，两个基本步骤缺一不行．(3) 步骤②的证明一定以， k∈N*“假定当 n＝ k(k ≥n0)时结论建立”为条件．[ 情境导学 ]多米诺骨牌游戏是一种用木制、骨制或塑料制成的长方形骨牌，玩时将骨牌按必定间距摆列成行，保证随意两相邻的两块骨牌，若前一块骨牌倒下，则必定致使后一块骨牌倒下．只需推倒第一块骨牌，就必定致使第二块骨牌倒下；而第二块骨牌倒下，就必定致使第三块骨牌倒下，最后无论有多少块骨牌都能所有倒下．请同学们思虑所有的骨牌都一一倒下蕴涵如何的原理？研究点一数学概括法的原理思虑 1多米诺骨牌游戏给你什么启迪？你以为一个骨牌链能够被成功推倒，靠的是什么？答 (1) 第一张牌被推倒； (2) 随意相邻两块骨牌，前一块倒下必定致使后一块倒下．结论：多米诺骨牌会所有倒下．所有的骨牌都倒下，条件 (2)给出了一个递推关系，条件 (1) 给出了骨牌倒下的基础．思虑 2 关于数列 {a n} ，已知 a1＝ 1，a n＋1＝a n，试写出 a1，a2，a3，a4，并由此作出猜想．请1＋ a n问这个结论正确吗？如何证明？答 a 1＝ 1， a 2＝1， a 3＝ 1， a 4＝ 1，2341 *)．猜想 a n ＝ (n ∈ Nn以下为证明过程：1(1) 当 n ＝ 1 时， a 1 ＝ 1＝ 1，所以结论建立．(2) 假定当 n ＝ k(k ∈N *)时，结论建立，即 a k ＝ 1，k 则当 n ＝ k ＋ 1 时 a k ＋1＝ a k (已知 )1＋ a k 1k＝(代入假定 )11＋ k1 k＝ k ＋ 1(变形 )k1＝ k ＋ 1(目标 )，即当 n ＝ k ＋ 1 时，结论也建立．由 (1)(2) 可得，对随意的正整数n 都有 a n ＝1建立．n思虑 3 你可否总结出上述证明方法的一般模式？答 一般地，证明一个与正整数n 相关的命题 P(n) ，可按以下步骤进行：(1)( 概括奠定 )证明当 n 取第一个值 n 0(n 0∈ N * )时命题建立；， k ∈ N *)时命题建立，证明当n ＝ k ＋ 1 时命题也建立．(2)( 概括递推 )假定当 n ＝ k(k ≥n 0 只需达成这两个步骤，就能够判定数题对从 n 0 开始的所有正整数 n 都建立．上述证明方法叫做数学概括法．思虑 4 用数学概括法证明 1＋3＋ 5＋ ＋ (2n － 1)＝ n 2，如采纳下边的证法，对吗？若不对请更正．证明： (1)n ＝ 1 时，左侧＝ 1，右侧＝ 12＝ 1，等式建立．(2) 假定 n ＝ k 时等式建立，即 1＋ 3＋5＋ ＋ (2k － 1)＝ k 2，(k ＋ 1) ×[1＋ (2k ＋ 1)]2则当 n ＝ k ＋ 1 时， 1＋ 3＋ 5＋ ＋ (2k ＋ 1)＝＝ (k ＋ 1) 等式也建立．由 (1) 和(2) 可知对任何 n ∈ N *等式都建立．答证明方法不是数学概括法，由于第二步证明时，未用到概括假定．从形式上看这类证法，用的是数学概括法，本质上不是，由于证明n＝ k＋ 1 正确时，未用到概括假定，而用的是等差数列乞降公式．研究点二用数学概括法证明等式例 1用数学概括法证明12＋22＋＋n2＝n(n＋1)(2n＋1)(n∈N*)．62证明(1)当 n＝1 时，左侧＝ 1 ＝ 1，6等式建立．(2)假定当 n＝ k(k ∈N * )时等式建立，即12＋22＋＋k2＝k(k＋1)(2k＋1)，6那么， 12＋ 22＋＋ k2＋ (k＋ 1)2＝ k(k ＋ 1)(2k ＋ 1)＋(k＋1)262＝ k(k ＋ 1)(2k ＋ 1)＋ 6(k＋ 1)2＝ (k＋ 1)(2k ＋ 7k＋ 6)＝(k＋ 1)(k＋ 2)(2k ＋ 3)6＝(k＋ 1)[(k ＋ 1)＋ 1][2(k ＋1)＋ 1]， 6即当 n＝ k＋ 1 时等式也建立．依据 (1)和 (2)，可知等式对任何n∈ N*都建立．反省与感悟用数学概括法证明与正整数相关的一些等式命题，要点在于“先看项”，弄清等式两边的组成规律，等式的两边各有多少项，项的多少与n 的取值能否相关．由n＝ k 到 n ＝ k＋ 1 时，等式的两边会增添多少项，增添如何的项．追踪训练 1求证： 1－1＋1－1＋＋ 1 － 1 ＝ 1 ＋ 1＋＋1*2 3 42n－ 12n n＋ 1 n＋ 22n(n∈ N ) ．证明当 n＝ 1 时，左侧＝ 1－1＝1，221右侧＝2，所以等式建立．假定 n＝ k(k∈ N * )时，1－1＋1－1＋ ＋ 1 －12 342k － 12k＝ 1 ＋ 1 ＋ ＋ 1 建立．k ＋ 1 k ＋ 2 2k 那么当 n ＝k ＋ 1 时，1 － 1 ＋ 1 － 1 ＋ ＋ 2k 1 － 1 ＋ 1 － 1 ＝ 1 ＋1＋＋ 1 ＋ 1 －2 3 4 － 1 2k 2(k ＋ 1)－1 2(k ＋ 1) k ＋ 1 k ＋ 2 2k 2k ＋ 11 2(k ＋ 1)＝1＋1＋＋1＋1＋[1－1k ＋ 2 k ＋ 3 2k 2k ＋ 1 k ＋ 1 2(k ＋ 1)]＝ 1 ＋ 1 ＋ ＋ 1 ＋1 ，2(k ＋ 1)(k ＋ 1)＋ 1 (k ＋ 1)＋ 2 (k ＋ 1)＋ k所以 n ＝ k ＋ 1 时，等式也建立．*综上所述，关于任何n ∈ N ，等式都建立．例 2已知数列1 ， 1 ，1， ，1， ，计算 S ，S ，S ，S ，依据计1×4 4×7 7×10(3n －2)(3n ＋ 1) 1234算结果，猜想 S n 的表达式，并用数学概括法进行证明．11解 S 1＝ 1×4＝ 4；S 2＝ 1＋ 1 ＝2；44×7 7S 3＝ 2＋1 ＝ 3； 77×10 10 S 4＝ 3＋1 ＝ 4. 1010×13 13能够看出，上边表示四个结果的分数中，分子与项数n 一致，分母可用项数n 表示为 3n ＋1.n于是能够猜想S n＝3n ＋ 1.下边我们用数学概括法证明这个猜想．(1) 当 n ＝ 1 时，左侧＝ S 1＝ 1，4n11右侧＝＝ ＝ ，猜想建立．(2) 假定当 n ＝ k(k ∈N * )时猜想建立，即1 ＋ 1 ＋ 1 ＋ ＋ 1＝ k ， 1×4 4×7 7×10 (3k － 2)(3k ＋ 1) 3k ＋ 1那么，1＋1＋1 ＋＋1＋11×4 4×77×10(3k － 2)(3k ＋ 1)[3(k ＋ 1)－ 2][3(k ＋ 1)＋ 1]＝k＋13k ＋ 1(3k ＋ 1)(3k ＋ 4)＝3k2＋ 4k＋1(3k ＋ 1)(3k ＋ 4)＝(3k＋ 1)(k ＋ 1)(3k ＋ 1)(3k ＋ 4)k＋ 1，＝3(k ＋ 1)＋ 1所以，当 n＝ k＋ 1 时猜想也建立．依据 (1)和 (2)，可知猜想对任何 n∈ N*都建立．反省与感悟概括法分为不完整概括法和完整概括法，数学概括法是“完整概括”的一种科学方法，关于无量尽的案例，常用不完整概括法去发现规律，得出结论，并想法赐予证明，这就是“概括——猜想——证明”的基本思想．追踪训练 2 数列 {a n} 知足 S n＝ 2n－ a n(S n为数列 {a n} 的前 n 项和 )，先计算数列的前 4 项，再猜想a n，并证明．解由 a1＝ 2－ a1，得 a1＝ 1；由 a1＋ a2＝ 2×2－ a2，得 a2＝3；2由 a1＋ a2＋ a3＝ 2×3－ a3，得 a3＝7；4由 a1＋ a2＋ a3＋ a4＝ 2×4－ a4，15得 a4＝8 .n2 － 1下边证明猜想正确：(1)当 n＝ 1 时，由上边的计算可知猜想建立．(2)假定当 n＝ k 时猜想建立，2k－ 1则有 a k＝2k－1，当 n＝ k＋1 时， S k＋ a k＋1＝ 2(k＋ 1)－ a k＋1，1∴ a k ＋ 1＝ 2[2(k ＋ 1)－S k ]12k － 1＝ k ＋ 1－2(2k － 2k － 1 )2 k ＋1－ 1＝ (k ＋ 1)－ 1，2所以，当 n ＝ k ＋ 1 时，等式也建立．由 (1) 和(2) 可知， a n ＝2n － 1n 都建立．2n －1 对随意正整数1．若命题 A(n)(n ∈N * )在 n ＝ k(k ∈ N * )时命题建立， 则有 n ＝ k ＋ 1 时命题建立． 现知命题对 n＝ n 0(n 0 ∈N * )时命题建立，则以下说法正确的选项是________．①命题对所有正整数都建立；②命题对小于 n 0 的正整数不建立，对大于或等于n 0 的正整数都建立；③命题对小于 n 0 的正整数建立与否不可以确立，对大于或等于 n 0 的正整数都建立．答案 ③分析 由已知得 n ＝n 0(n 0∈ N * )时命题建立，则有 n ＝n 0＋ 1 时命题建立； 在 n ＝ n 0＋ 1 时命题建立的前提下，又可推得n ＝ (n 0＋1)＋ 1 时命题也建立，依此类推，可知③正确．2n ＋222n ＋1＝ 1－a(a ≠ 1)．”在考证 n ＝ 1 时，左端计算所2．用数学概括法证明 “1＋ a ＋a ＋ ＋ a1－ a得项为 ________．答案1＋a ＋ a 2＋ a 33．用数学概括法证明1＋ 2＋ 22＋ ＋ 2n － 1＝ 2n － 1(n ∈ N * )的过程以下：(1) 当 n ＝ 1 时，左侧＝ 1，右侧＝ 21－ 1＝ 1，等式建立．(2) 假定当 n ＝ k(k ∈N * )时等式建立，即 1＋ 2＋ 22＋ ＋ 2k －1＝ 2k － 1，则当 n ＝ k ＋ 1 时， 1＋ 2k ＋12k －1k1－ 2k ＋ 1＋ 2 ＋＋ 2 ＋ 2 ＝＝ 2 － 1.所以当 n ＝ k ＋1 时等式也建立．由此可知关于任何n ∈ N *，等式都建立．上述证明的错误是 ________．答案 未用概括假定分析此题在由 n ＝k 建立，证 n ＝ k ＋1 建即刻，应用了等比数列的乞降公式，而未用上假定条件，这与数学概括法的要求不符．4．用数学概括法证明： 对全部大于1 的自然数， 不等式 (1＋ 1 )(1＋ 1) · ·＋(1 1)>2n ＋ 123 5 2n － 1 均建立．证明 (1)当 n ＝2 时，左侧＝ 1＋1 453＝3；右侧＝2.∵左侧 >右侧，∴不等式建立．(2) 假定 n ＝ k(k ≥2，且 k ∈N * )时不等式建立，即(1＋ 1 )(1＋ 1 ) · ·＋(1 12k ＋ 13 5 )> 2 .2k －1 则当 n ＝ k ＋ 1 时，(1＋ 1 )(1＋ 1 ) · ·＋(1 1)[1＋ 1 ]> 2k ＋ 1 2k ＋ 2 2k ＋ 22 · ＝2 2k ＋13 5 2k －1 2(k ＋1)－ 1 2k ＋ 1 ＝4k 2＋ 8k ＋44k 2＋ 8k ＋ 32>2 2k ＋12k ＋ 1＝2k ＋3 2k ＋1 ＝2(k ＋1) ＋1.2 2k ＋12∴当 n ＝ k ＋ 1 时，不等式也建立．由 (1)(2) 知，关于全部大于1 的自然数 n ，不等式都建立．[ 呈要点、现规律 ]在应用数学概括法证题时应注意以下几点：(1) 考证是基础：找准起点，奠定要稳，有些问题中考证的初始值不必定为1；(2) 递推是要点：正确剖析由 n ＝k 到 n ＝ k ＋ 1 时式子项数的变化是应用数学概括法成功证明问题的保障；(3) 利用假定是中心：在第二步证明中必定要利用概括假定，这是数学概括法证明的中心环节，不然这样的证明就不是数学概括法证明.一、基础过关1．用数学概括法证明：1 ＋1 ＋ ＋ 1 ＝2n时，由 n ＝k 到 n ＝ k ＋ 1 左侧需要增添的项1＋1＋2 1＋2＋3 1＋2＋ 3＋ ＋ n n ＋ 1是 ________________________________________________________________________ ．1答案1＋ 2＋3＋＋ k ＋ (k ＋ 1)2．一个与正整数 n 相关的命题，当 n ＝ 2 时命题建立，且由 n ＝ k 时命题建立能够推得 n ＝k＋ 2 时命题也建立，则以下说法正确的选项是 ________．①该命题关于 n>2 的自然数 n 都建立；②该命题关于所有的正偶数都建立；③该命题何时建立与 k 取值没关．答案 ②分析 由 n ＝ k 时命题建立能够推出n ＝ k ＋ 2 时命题也建立．且 n ＝ 2，故对所有的正偶数都建立．13．在应用数学概括法证明凸 n 边形的对角线为 2n(n － 3)条时，第一步考证n ＝ ________.答案 3分析由于是证凸 n 边形，所以应先考证三角形．1 11*4．若 f(n) ＝ 1＋ 2＋3＋ ＋ 2n ＋ 1(n ∈ N)，则 n ＝ 1 时 f(n) 是 ________．答案1＋1＋ 12 31 ＋ 1 ＋ 1 ＋ ＋ 15．已知 f(n)＝2，则 f(n) 共有 ________项，且 f(2) ＝ ________.n n ＋ 1 n ＋ 2 n21 1 1 答案n － n ＋ 1 2＋ 3＋4分析察看分母的首项为 n ，2最后一项为 n ，公差为 1，2∴项数为 n － n ＋ 1.6．在数列 {a n } 中， a 1＝ 2， a n ＋ 1＝a n *a 2， a 3 ， a 4，概括推断出 {a n } 的通＋ 1(n ∈ N )，挨次计算3a n项 a n ＝ ________. 答案26n － 5分析 a 1＝ 2，a 2＝ 2， a 3＝ 2 ， a 4＝ 2， ，7 13 192 可推断 a n ＝ 6n － 5.7．用数学概括法证明1111 2*(1－ 3)(1－ 4)(1 －5) (1－ n ＋ 2)＝ n ＋2(n ∈ N ) ．证明(1)当 n ＝1 时，左侧＝ 1－ 1＝2，右侧＝ 2 ＝2，等式建立．3 3 1＋ 2 3 (2) 假定当 n ＝ k(k ≥1，k ∈N * )时等式建立，即11 1 12(1－ 3)(1－ 4)(1 －5) (1－ k ＋ 2)＝ k ＋2，当 n ＝ k ＋1 时，11 1 11(1－ 3)(1－ 4)(1 －5) (1－ k ＋ 2) ·(1－ k ＋ 3)＝ 21 2(k ＋ 2) ＝2 ，k ＋ 2(1－k ＋ 3)＝(k ＋ 2)(k ＋ 3)k ＋ 3所以当 n ＝k ＋ 1 时等式也建立．由 (1)(2) 可知，关于随意 n ∈ N * 等式都建立．二、能力提高8．用数学概括法证明等式(n ＋ 1)(n ＋2) (n ＋ n)＝ 2n · 1· 3· ·－1)(n2n ∈N * )，从 k 到 k ＋1 左端需要增乘的代数式为________．答案2(2k ＋ 1)分析n ＝k ＋ 1 时，左端为 (k ＋ 2)(k ＋ 3)[(k ＋ 1) ＋ (k － 1)] ·[(k ＋ 1) ＋ k] ·(2k ＋ 2) ＝ (k ＋ 1)(k ＋ 2)(k ＋ k) ·(2k ＋1) ·2，∴应增乘 2(2k ＋ 1)．1 ＋1 ＋ ＋ 1*)，则 f(k ＋ 1)＝ ______________________.9.已知 f(n)＝ n ＋ 1 n ＋ 2 3n － 1(n ∈N1 1 1 1答案 f(k) ＋ 3k ＋ 3k ＋ 1 ＋ 3k ＋2 －k ＋ 110．证明：假定当 n ＝ k(k ∈ N * )时等式建立，即 2＋4＋ ＋ 2k ＝ k 2＋ k ，那么 2＋ 4＋ ＋ 2k＋ 2(k ＋ 1)＝ k 2＋ k ＋2(k ＋ 1)＝ (k ＋ 1)2＋ (k ＋ 1)，即当 n ＝ k ＋ 1 时等式也建立．所以关于任何 n ∈ N *等式都建立．以 上 用 数 学 归 纳 法 证 明 “2＋ 4 ＋＋ 2n ＝ n 2 ＋ n(n ∈ N * ) ”的 过 程 中 的 错 误 为________________________________________________________________________ ．答案 缺乏步骤概括奠定－1·n 2 －n(n ＋1).11．用数学概括法证明 12－ 22＋ 32－ 42＋ ＋ (－1) n ＝(－ 1) n 1· 2证明 (1)当 n ＝1 时，左侧＝1，1－11×2右侧＝ (－ 1) ×2 ＝1，结论建立．(2) 假定当 n ＝ k 时，结论建立．即 12－ 22＋ 32－ 42＋ ＋ (－ 1)k － 1k 2＝ (－ 1)k － 1·k(k ＋1)， 2那么当 n ＝k ＋ 1 时，12－ 22＋ 32－ 42＋ ＋ (－ 1)k－1k 2＋ (－ 1)k (k ＋1) 2＝(－1)k －1k(k ＋ 1) ＋(－1) k (k ＋ 1) 2·2－ k ＋ 2k ＋ 2＝ (－ 1)k ·(k ＋ 1) ·2＝(－1)k (k ＋ 1)(k ＋ 2).·2即 n ＝ k ＋1 时结论也建立．由 (1)(2) 可知，对全部正整数n 都有此结论建立．n 1＝5 且 S n －1＝ a n (n ≥2，n ∈ N *)， S n 为数列 {a n12.已知数列 {a } 的第一项 a } 的前 n 项和．(1) 求 a 2， a 3，a 4，并由此猜想 a n 的表达式；(2) 用数学概括法证明 {a n } 的通项公式．(1) 解 a 2 ＝S 1＝ a 1＝ 5， a 3＝ S 2＝ a 1＋ a 2＝ 10，a 4＝S 3＝ a 1＋ a 2＋ a 3＝ 5＋ 5＋10＝ 20，5(n ＝1)猜想a n ＝5×2n－2 ，(n ≥2， n ∈ N * ) .(2) 证明2－2＝ 5，公式建立．①当 n ＝ 2 时， a 2＝ 5×2 ②假定 n ＝k(k ≥2， k ∈ N * )时建立，即 a k ＝ 5×2k －2，当 n ＝ k ＋1 时，由已知条件和假定有a k ＋ 1＝ S k ＝ a 1＋ a 2＋ a 3＋ ＋ a k＝ 5＋ 5＋ 10＋ ＋ 5×2k －2.k －1＝5＋ 5(1－ 2 )＝ 5×2k－1. 1－ 2故 n ＝ k ＋1 时公式也建立．由①②可知，对 n ≥2， n ∈N * ，有 a n ＝ 5×2n － 2.所以数列 {a n } 的通项公式为5(n ＝ 1)a n ＝n －2*.5×2 ( n ≥2， n ∈N )三、研究与拓展13.已知数列 {a n } 的前 n 项和 S n ＝ 1－ na n (n ∈N * )．(1) 计算 a 1， a 2， a 3， a 4；(2) 猜想 a n 的表达式，并用数学概括法证明你的结论．1 1 1 1解 (1)计算得 a 1＝2； a 2＝ 6； a 3＝ 12；a 4＝ 20.1(2) 猜想： a n ＝n(n ＋ 1).【创新设计】高中数学苏教版选修2-2练习：2.3数学概括法(含答案分析)下边用数学概括法证明①当 n ＝ 1 时，猜想明显建立．*1 ②假定 n ＝k(k ∈ N )时，猜想建立，即a k ＝ . 那么，当 n ＝ k ＋ 1 时， S k ＋1＝ 1－ (k ＋ 1)a k ＋1 ，即 S k ＋ a k ＋ 1＝1－ (k ＋ 1)a k ＋ 1.又 S k ＝ 1－ ka k ＝k ，k ＋ 1 所以k ＋ a ＋ ＝ 1－(k ＋1)a ＋ ，k ＋ 1 k 1 k 1进而 a k ＋ 1＝ 1 ＝ 1. (k ＋ 1)(k ＋ 2) (k ＋ 1)[(k ＋1)＋ 1] 即 n ＝ k ＋1 时，猜想也建立．故由①和②，可知猜想建立．。