平行关系课件
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平行线的性质ppt课件
(3) 移： 以关键点为起点作与移动方向平行且与移动距离相
等的线段，得到关键点的对应点；
(4) 连： 按原图顺次连结对应点 .
知4－讲
特别警示
确定一个图形平行移动后的位置需要三个条件：
(1)图形原来的位置；
(2)平行移动的方向；
(3)平行移动的距离.
这三个条件缺一不可.
知4－练
例4 如图 4.2-33，现要把方格纸(每个小正方形的边长均为
知1－讲
特别警示
1. 两条直线平行是前提，只有在这个前提下才
有同位角相等.
2. 按格式进行书写时，顺序不能颠倒，与判定
不能混淆.
知1－讲
3. 平行线的性质与平行线的判定的区别
(1) 平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线的位
置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位置关系得
到两角的数量关系；
又∵ EG 平分∠ BEF，∴∠ BEG=
∠
BEF=70° .
∵ AB ∥ CD， ∴∠ 2= ∠ BEG=70° ．
答案：A
知2－练
2-1. [中 考·烟 台]一杆 古 秤 在 称 物 时 的状 态 如 图
所 示，已 知∠ 1=102°，则 ∠ 2 的度数为
78°
______.
感悟新知
知识点 3 平行线的性质3
若是，可直接求出；若不是，还需要
通过中间角进行转化 .
知1－练
1-1. [中考·台州]用一张等宽的纸条折成如图所示的图
140° .
案，若∠ 1=20 ° ，则 ∠ 2的度数为_______
感悟新知
知识点 2 平行线的性质2
知2－讲
1. 性质 2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等 .
等的线段，得到关键点的对应点；
(4) 连： 按原图顺次连结对应点 .
知4－讲
特别警示
确定一个图形平行移动后的位置需要三个条件：
(1)图形原来的位置；
(2)平行移动的方向；
(3)平行移动的距离.
这三个条件缺一不可.
知4－练
例4 如图 4.2-33，现要把方格纸(每个小正方形的边长均为
知1－讲
特别警示
1. 两条直线平行是前提，只有在这个前提下才
有同位角相等.
2. 按格式进行书写时，顺序不能颠倒，与判定
不能混淆.
知1－讲
3. 平行线的性质与平行线的判定的区别
(1) 平行线的判定是根据两角的数量关系得到两条直线的位
置关系，而平行线的性质是根据两条直线的位置关系得
到两角的数量关系；
又∵ EG 平分∠ BEF，∴∠ BEG=
∠
BEF=70° .
∵ AB ∥ CD， ∴∠ 2= ∠ BEG=70° ．
答案：A
知2－练
2-1. [中 考·烟 台]一杆 古 秤 在 称 物 时 的状 态 如 图
所 示，已 知∠ 1=102°，则 ∠ 2 的度数为
78°
______.
感悟新知
知识点 3 平行线的性质3
若是，可直接求出；若不是，还需要
通过中间角进行转化 .
知1－练
1-1. [中考·台州]用一张等宽的纸条折成如图所示的图
140° .
案，若∠ 1=20 ° ，则 ∠ 2的度数为_______
感悟新知
知识点 2 平行线的性质2
知2－讲
1. 性质 2 两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等 .
直线与平面平行ppt课件
结
③由性质定理列条件，下结论。
求证：如果一条直线与一个平面平行，那么夹在这条直线和这个 平面间的平行线段相等。
已知：AB∥α, AC∥BD, AC∩α=C, BD∩α=D.
求证: AC = BD.
A
B
证明：∵AC∥BD
∴A,B,D,C四点在同一个平面内. 连接CD，
∵AB∥α，AB⊂面ABDC，
面ABDC∩α=CD
A.平行 B.相交且垂直 C.异面直线 D.相交成60°
C C
A
A
D
B(D)
B
解：选D.将上面的展开图还原成正方体，
点B与点D重合.容易知道AB=BC=CA，
从而△ABC是等边三角形.所以选D.
利用直线和平面平行的性质定理解题的步骤：
找
①找一个与已知平面相交且过该直线的平面；
定
②确定两平面的交线；
<m>
<m>
<m>
<m>
</m>
合作
应用
竞技
探究1. 如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与这个平面内的
直线有怎样的位置关系？
a
a
平行
异面
探究2. 如果一条直线a与平面α 平行，那么α 内的直线满足什么条件，才能
与直线a平行呢？
已知a∥α，a⊂β，α∩β = b. 求证：a∥b.
证明：∵ α∩β = b
∴ b⊂α
β
a
∵ a∥α
∴ a与b不相交
又a⊂β,b⊂β ∴ a与b不异面
b
α
∴ a∥b .
直线与平面平行的性质定理：
一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与已知平面相交， 那么该直线与交线平行。
空间向量与平行关系 课件
[证明] 法一：如图5所示，以D为原点，DA、DC、 DD1所在直线分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标 系，设正方体的棱长为1，则可求得
图5
M(0,1，12)，N(12，1,1)， D(0,0,0)，A1(1,0,1)，B(1,1,0)， 于是M→N＝(12，0，12)，D→A1＝(1,0,1)， D→B＝(1,1,0)， 设平面 A1BD 的法向量是 n＝(x，y，z)，
x－2y－4z＝0， 2x－4y－3z＝0，
解得 z＝0 且 x＝2y，
令 y＝1，则 x＝2.
∴平面 α 的一个法向量为 n＝(2,1,0)．
[点评] 求平面法向量的方法与步骤： (1)选向量 求平面的法向量时，要选取两 相交向量A→C、A→B. (2)设坐标 设平面法向量的坐标为 n＝ (x，y，z)．
图 11
解：以D为原点，分别以DA、DC、DD1所在直线 为x、y、z轴，建立空间直角坐标系，
法三：∵M→N＝C→1N－C→1M＝12D→A－12D→1D
＝12(D→B＋B→A)－12(D→1A1＋A→1D)
＝12D→B＋12B→A－12D→1A1－12A→1D
＝12D→B＋12D→A1＋12(B→A－D→A)
＝12D→B＋12D→A1＋12B→D
＝12D→A1
＋
→ 0DB.
即M→N 可用D→A1 与D→B线性表示 ， 故M→N 与D→A1 、D→B是共面向量 ． 又 MN⊄平面 A1BD， DA1，DB⊂平面 A1BD，且 DA1∩DB＝D， ∴MN∥平面 A1BD.
①u＝(1，－1,2)，v＝(3,2，－12)； ②u＝(0,3,0)，v＝(0，－5,0)； ③u＝(2，－3,4)，v＝(4，－2,1)．
空间向量与平行关系 课件
探究点三 利用空间向量证明平行关系 问题 怎样利用向量证明空间中的平行关系？
答案 可以按照下列方法证明空间中的平行关系. 线线 设直线 l1、l2 的方向向量分别是 a、b，则要证明 平行 l1∥l2，只需证明 a∥b，即 a＝kb (k∈R) ①设直线 l 的方向向量是 a，平面 α 的法向量是 线面 u，则要证明 l∥α，只需证明 a⊥u，即 a·u＝0； 平行 ②根据线面平行判定定理在平面内找一个向量 与已知直线的方向向量是共线向量即可；
则有 D(0,0,0)，A(2,0,0)，C(0,2,0)，C1(0,2,2)， E(2,2,1)，F(0,0,1)，B1(2,2,2)， 所以F→C1＝(0,2,1)，D→A＝(2,0,0)，A→E＝(0,2,1)． 设 n1＝(x1，y1，z1)是平面 ADE 的法向量， 则 n1⊥D→A，n1⊥A→E，
∴平面 ABC 的一个法向量为 n＝(1,1,1)．
例 1 根据下列条件，判断相应的线、面位置关系： (1)直线 l1，l2 的方向向量分别是 a＝(1，－3，－1)， b＝(8,2,2)； (2)平面 α，β 的法向量分别是 u＝(1,3,0)，v＝(－3，－9,0)； (3)直线 l 的方向向量，平面 α 的法向量分别是 a＝(1， －4，－3)，u＝(2,0,3)； (4)直线 l 的方向向量，平面 α 的法向量分别是 a＝(3,2,1)， u＝(－1,2，－1)．
因为 p·v＝(xa＋yb)·v＝xa·v＋yb·v＝0， 即平面 β 的法线与平面 α 内任一直线垂直． 所以平面 β 的法向量也是平面 α 的法向量，即 u∥v. 因此，α∥β.
小结 在“平面与平面平行的判定定理”的证明过程中突 出了直线的方向向量和平面的法向量的作用．以后我们用 向量证明有关结论时，直线的方向向量和平面的法向量是 重要的工具．
平行线的性质 课件(共22张PPT)
3
∴∠2=∠3（两直线平行，同位角相等）,
∵∠1=∠3（对顶角相等）,
∴∠1=∠2（等量代换）.
你发现了什么？
两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等． 简写成：两直线平行，内错角相等． 表达方式：如图，
∵a∥b(已知)，
∴∠1＝∠2(两直线平行，内错角相等)．
如图，直线a∥b,直线a、b被直线c所截
试一试
翻开你的数学练习横格本，每一页上都有许多如图所示的互 相平行的横线条，随意画一条斜线与这些横线条相交， 找出其中 任意一对同位角.观察或用量角器度量这对同位角，你有什么发现？
∠1＝∠2
那么，一般情况下，如图，如果直线a与直线b平行，直线l与 直线a、b分别交于点O和点P，其中的同位角∠1与∠2也必定相等吗？
A.65°
B.55°
C.45°
D.35°
课堂小结
知识点 平行线的性质
1.两直线平行,同位角 相等 . 2.两直线平行,内错角 相等 . 3.两直线平行,同旁内角 互补 .
已知
同位角相等 内错角相等 同旁内角互补
得到
判定 性质
得到 两直线平行
已知
(2)从∠1=110o可以知道 ∠3是多少度？为什么？
(3)从 ∠1=110 o可以知道∠4 是多少度？为什么？B
D
解：（1）∠2=110o 理由：两直线平行，内错角相等；
（2）∠3=110o 理由：两直线平行,同位角相等；
（3）∠4=70o 理由：两直线平行,同旁内角互补.
C 2E 43
2.如图,直线a∥b,∠1=50°,∠2=40°,则∠3的度数为 ( B )
例3 将如左图所示的方格图中的图形向右平行移动4格，再向上 平行移动3格，画出平行移动后的图形.
两条直线平行ppt课件
例2 求过点A(－3,4)，且与直线l：3x－4y＋29＝0平行的直线方程.
方法二 已知直线l的一个法向量n＝(3，－4)，所求直线平行于l，因 而有同样的法向量n＝(3，－4)，故可设其一般式方程为3x－4y＋C＝0. 将点A(－3,4)的坐标代入上述方程得3×(－3)－4×4＋C＝0，解得C＝ 25. 因此，所求直线的方程为3x－4y＋25＝0.
练习
1.已知直线l1的倾斜角为30°，直线l1∥l2，则直线l2的斜率为
√
练习
2.若直线x＋ay－7＝0与直线(a＋1)x＋2y－14＝0平行，则a的值是
A.1
√B.－2
C.1或－2
D.－1或2
由已知，得a(a＋1)－2＝0，解得a＝－2或a＝1. 当a＝1时，两直线重合，∴a＝－2.
练习 3.已知过点A(－2，m)和B(m,4)的直线与直线2x＋y－1＝0平行，则m的值
√为
A.－8
B.0
C.2
D.10
经检验，直线AB与2x＋y－1＝0不重合，符合题意.
练习 4.过点(5,0)且与x＋2y－2＝0平行的直线方程是
A.2x＋y＋5＝0
√C.x＋2y－5＝0
B.2x＋y－5＝0 D.x＋2y＋5＝0
由题意可设所求直线方程为x＋2y＋c＝0(c≠－2). 因为(5,0)在该直线上，所以5＋2×0＋c＝0，得c＝－5， 故该直线方程为x＋2y－5＝0.
(1)如果直线l1，l2的斜率都存在
直线化为斜截式方程l1：y＝k1x＋b1和l2：y＝k2x＋b2，
k1=k2 b1= b2 l1与l2平行
k1=k2 b1 b2 l1与l2重合
k1 k2
l1与l2相交
例1 已知直线l1：3x＋2y－6＝0，l2：6x＋4y－10＝0，试判断直线l1与l2是否平行. 将直线l1：3x＋2y－6＝0化为斜截式，
直线与平面平行判定公开课课件
a
b
第4页/共12页
探究问题，归纳结论
如图，平面 外的直线 a平行于平面
内的直线b。
（1）这两条直线共面吗？
共面
（2）直线 a与平面相交吗？ 不可能相交
（3）直线 a与平面平行吗？ 平行
a
b
第5页/共12页
直线与平面平行判定定理
直线与平面平行的判定定理——平面外一条直线与 此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
a
（1）若平面外一条直线a与直 线b平行α，则直线a//平面（α×；）
a
//
线a与注// 平意b 面：平证行明，直三
（2）若平面外直线a与平面内
一条直线b平行α ，则直线
a//平面α ；
（ √）
个a条件必 须具备， 才b能得到 线面a平// 行 的a结// 论b ．
（3）直线a在平面外，直线b在平面
a //
a // b
【例1】 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。
A
已知：空间四边形ABCD中，E，F
E
F
分别为AB，AD的中点
D
C
求证：EF∥平面BCD
B
第9页/共12页
已知：空间四边形ABCD中，E，F
A
分别为AB，AD的中点
求证：EF∥平面BCD
EF
证明：连结BD. 因为AE=EB,AF=FD
实例感受
将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封 面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的 位置关系？
A
A
B
B
第2页/共12页
直线与平面平行 下图中的直线 a 与平面α平行吗？
a
b
第4页/共12页
探究问题，归纳结论
如图，平面 外的直线 a平行于平面
内的直线b。
（1）这两条直线共面吗？
共面
（2）直线 a与平面相交吗？ 不可能相交
（3）直线 a与平面平行吗？ 平行
a
b
第5页/共12页
直线与平面平行判定定理
直线与平面平行的判定定理——平面外一条直线与 此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平行．
a
（1）若平面外一条直线a与直 线b平行α，则直线a//平面（α×；）
a
//
线a与注// 平意b 面：平证行明，直三
（2）若平面外直线a与平面内
一条直线b平行α ，则直线
a//平面α ；
（ √）
个a条件必 须具备， 才b能得到 线面a平// 行 的a结// 论b ．
（3）直线a在平面外，直线b在平面
a //
a // b
【例1】 求证：空间四边形相邻两边中点的连线平行于经过另外两边所在的平面。
A
已知：空间四边形ABCD中，E，F
E
F
分别为AB，AD的中点
D
C
求证：EF∥平面BCD
B
第9页/共12页
已知：空间四边形ABCD中，E，F
A
分别为AB，AD的中点
求证：EF∥平面BCD
EF
证明：连结BD. 因为AE=EB,AF=FD
实例感受
将一本书平放在桌面上，翻动书的硬皮封面，封 面边缘AB所在直线与桌面所在平面具有什么样的 位置关系？
A
A
B
B
第2页/共12页
直线与平面平行 下图中的直线 a 与平面α平行吗？
a
《空间图形平行关系》课件
电子产品的设计
在电子产品设计中，空间图形平 行关系的应用也十分重要。例如 ，在电路板的设计中，平行关系 的运用可以确保电子元件的精确 安装和信号传输的稳定性。
物理学中的应用
力学研究
在物理学中，空间图形平行关系在力学研究中具有重要意义。例如，在研究物 体的运动规律时，平行关系的运用可以帮助我们更好地理解力和运动的关系， 探究物体运动的规律和原理。
平行直线的传递性
如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。
01
空间图形平行关系 的实际应用
建筑学中的应用
建筑设计中的空间布局
空间图形平行关系在建筑设计中有着广泛的应用，如建筑物的平面布局、立面设计和室内装饰等。通过合理运用平行 关系，可以创造出舒适、美观和功能合理的建筑空间。
建筑结构的稳定性
电磁学研究
在电磁学研究中，空间图形平行关系的应用也十分广泛。例如，在研究电磁波 的传播和辐射时，平行关系的运用有助于我们更好地理解电磁场的分布和变化 规律。
01
空间图形平行关系 的习题与解析
基础习题
总结词
考察基础概念和性质的理解
详细描述
包括判断两条直线是否平行、判断平面是否平行等基础题目，旨在帮助学生掌握 空间图形平行关系的基本概念和性质。
02
平行平面之间的角度不变
两个平行平面被一个垂线所截，所形成的同位角是相等的。
03
平行平面的传递性
如果两个平面都与第三个平面平行，那么这两个平面也互相平行。
平行直线的性质定理
平行直线具有相同的方向
两条平行直线具有相同的方向，即它们都是沿着同一方向无限延伸的。
平行直线之间的距离是固定的
两条平行直线之间的距离是固定的，不受其他图形的影响。
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栏目导引
如图所示，平面 α∥平面 β，A、C∈α，B、D∈β，点 E、F 分别在 线段 AB、CD 上，且 AE CF ＝ ，求证：EF∥平面 β. EB FD
工具
第七章
立体几何
栏目导引
证明： 当 AB 和 CD 在同一平面内时， α∥β 可知 AC∥BD， 由 ABDC 是梯形或平行四边形． 由 AE CF ＝ ，得 EF∥BD.又 BD β，所以 EF∥β. EB FD
点E在PD上，且PE∶ED＝2∶1，在棱PC上是否存在一点F，使BF∥平
面AEC？证明你的结论？
工具
第七章
立体几何
栏目导引
解析： 当F是棱PC的中点时，BF∥平面AEC.
证明：取PE的中点M，连结FM，则FM∥CE.① 由EM＝PE＝ED，知E是MD的中点． 连结BM、BD，设BD∩AC＝O，则O为BD的中点，连OE， 所以BM∥OE.② 由①、②知，平面BFM∥平面AEC. 又BF平面BFM， 所以BF∥平面AEC.
第3课时 平行关系
工具
第七章
立体几何
栏目导引
工具
第七章
立体几何
栏目导引
1．直线与平面行的判定与性质 (1)定义：如果直线a与平面α 记作 a∥α . 无 公共点，则直线a与平面α平行，
(2)判定定理
平面外一条直线与此平面内的一条直线 平行 ，则该直线与此平
面平行．
用符号表示为：a α，bα，且 a∥b ⇒a∥α.
图(2)
工具
第七章
立体几何
栏目导引
1．直线和平面平行时，注意把直线和平面的位置关系转化为直线 和直线的位置关系，直线和平面平行的性质在应用时，要特别注意“一 条直线平行于一个平面，就平行于这个平面的一切直线”的错误结论． 2．以求角为背景考查两个平行平面间的性质，也可以是已知角利
用转化和降维的思想方法求解其他几何参量．
)
工具
第七章
立体几何
栏目导引
2．若直线m面α，则条件甲：直线l∥α，是条件乙：l∥m的 ( A．充分不必要条件 C．充要条件 解析： B．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件 )
∵l∥α时l与m并不一定平行，而l∥m时，l与α也不一定平
行，有可能lα，∴条件甲是条件乙的既不充分也不必要条件．
∴AC⊥平面BCC1B1且BC1平面BCC1B1.
∴AC⊥BC1.
工具
第七章
立体几何
栏目导引
(2)设CB1与C1B的交点为E，连接DE. ∵D是AB的中点，E是BC1的中点， ∴DE∥AC1. ∵DE平面CDB1，AC1 平面CDB1，
∴AC1∥平面CDB1.
工具
第七章
立体几何
栏目导引
证明线线平行常用方法 (1)利用定义：证明两线共面且无公共点； (2)利用公理4，证两线同时平行于第三条直线；
工具
第七章
立体几何
栏目导引
证明面面平行的方法
(1)面面平行的定义； (2)面面平行的判定定理：如果一个平面内有两条相交直线都平行 于另一个平面，那么这两个平面平行； (3)利用垂直于同一条直线的两个平面平行； (4)两个平面同时平行于第三个平面，那么这两个平面平行； (5)利用“线线平行”、“线面平行”、“面面平行”的相互转
∴EF∥平面PAD.6分
工具
第七章
立体几何
栏目导引
(2)连接 AE，AC，EC，过 E 作 EG∥PA 交 AB 于点 G， 1 则 EG⊥平面 ABCD，且 EG＝ PA.8 分 2 在△PAB 中，AP＝AB，∠PAB＝90° ，BP＝2， ∴AP＝AB＝ 2，EG＝ 2 .10 分 2
1 1 ∴S△ABC＝ AB· BC＝ × 2×2＝ 2， 2 2 1 1 2 1 ∴VE－ABC＝ S△ABC· EG＝ × 2× ＝ .12 分 3 3 2 3
又B1D1∩HD1＝D1，BD∩BF＝B，
所以平面BDF∥平面B1D1H.
工具
第七章
立体几何
栏目导引
面面平行的性质定理的应用问题，往往涉及面面平行的判定、线面 平行的判定与性质的综合应用．解题时，要准确地找到解题的切入点， 灵活地运用相关定理来解决问题，注意三种平行关系之间的相互转化．
工具
第七章
立体几何
(3)利用线面平行的性质定理把证线线平行转化为证线面平行，转
化思想在立体几何中，贯穿始终，转化的途径是把空间问题转化为平面
问题．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
如图，已知四边形ABCD是平行四边形，点P是平面ABCD外一点，
M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH. 求证：AP∥GH.
答案： D
工具
第七章
立体几何
栏目导引
3．已知α∥β，aα，B∈β，则在β内过点B的所有直线中( A．不一定存在与a平行的直线 B．只有两条与a平行的直线 C．存在无数条与a平行的直线 D．存在唯一一条与a平行的直线 解析： 的直线．
)
因为a与B确定一个平面，该平面与β的交线即为符合条件
答案： D
化．
工具
第七章
立体几何
栏目导引
如图所示，三棱柱ABC－A1B1C1 ，D是BC上一点，且A1B∥平面
AC1D，D1是B1C1的中点，求证：平面A1BD1∥平面AC1D.
证明： 连接A1C交AC1于点E， ∵四边形A1ACC1是平行四边形， ∴E是A1C的中点，连接ED， ∵A1B∥平面AC1D，
平面A1BC∩平面AC1D＝ED，
工具
第七章
立体几何
栏目导引
【变式训练】
1.如图，在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC＝3，BC
＝4，AB＝5，AA1＝4，点D是AB的中点，求证： (1)AC⊥BC1； (2)AC1∥平面CDB1. 证明： (1)在直三棱柱ABC－A1B1C1中，底面三边长AC＝3，BC＝
4，AB＝5，∴AC⊥BC. 又AC⊥CC1，∵BC∩CC1＝C，
2
∴截面面积为 EC1· 1C＝ C
答案： 5 2 a 2
5 2 a. 2
工具
第七章
立体几何
栏目导引
工具
第七章
立体几何
栏目导引
判定直线与平面平行的三种方法 (1)利用定义(常用反证法)． (2)利用判定定理：关键是找平面内与已知直线平行的直线．可先 直观判断平面内是否已有，若没有，则需作出该直线，常考虑三角形的
∴A1B∥ED.
工具
第七章
立体几何
栏目导引
∵E是A1C的中点，∴D是BC的中点． 又∵D1是B1C1的中点， ∴BD1∥C1D，A1D1∥AD， 又A1D1∩BD1＝D1， ∴平面A1BD1∥平面AC1D.
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第七章
立体几何
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【变式训练】
3.如图，已知E、F、G、H分别是正方体ABCD－
A1B1C1D1的棱BC、CC1、C1D1、AA1的中点．
则这两个平面平行．
用符号表示为：aβ，bβ，a∩b＝P， a∥α，b∥α ⇒
α∥β.
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(3)性质定理：如果两个平行平面同时和第三个平面相交，那么它
们的交线
平行． . a∥b
用符号表示为：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b⇒
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1．两条直线a、b满足a∥b，bα，则a与平面α的关系是( A．a∥α C．a与α不相交 答案： C B．a与α相交 D．aα
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(3)性质定理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平
面与此平面的交线与该直线 平行．
用符号表示为：a∥α，aβ，β∩α＝l⇒ 2．平面与平面平行的判定与性质 (1)定义：如果平面α与平面β 记作 α∥β .
a∥l
.
无 公共点，则平面α与平面β平行，
(2)判定定理：一个平面内的两条相交直线与另一个平面 平行 ，
∴MN∥平面 BCD.
答案： 平行
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5．正方体ABCD－A1B1C1D1中，棱长为a，E为A1B1中点，过E、C1、
C作一截面，则截面的面积为________．
解析： 设截面与 AB 的交点为 F， 由题意可知截面 EFCC1 为一矩形， 且 EC1＝
a2 5 ＝ a，C1C＝a. a＋2 2
【阅后报告】 本题考查了线面的平行及体积计算，第(1)问利用线 线平行转化为线面平行，而学生易忽略 AD 平面 PAD，EF⃘ 这一条件导致失分．该题体现了转化思想． 平面 PAD
证明： 如图，连接AC，设AC交BD于O，连接MO.
∵四边形ABCD是平行四边形， ∴O是AC的中点． 又∵M是PC的中点，∴MO∥PA. 又∵MO平面BDM、PA⃘平面BDM， ∴PA∥平面BDM. 又经过PA与点G的平面交平面BDM于GH，
∴AP∥GH.
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【变式训练】 2.如图，在底面是平行四边形的四棱锥P－ABCD中，
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从近两年的高考试题来看，直线与平面平行的判定，以及平面与平
面平行的判定是高考的热点，题型既有选择题、填空题，也有解答题，
难度为中等偏高；本节主要考查线面平行的判定，考查线∥线⇌线∥面 ⇌面∥面的转化思想，并且考查学生的空间想象能力以及逻辑推理能 力．
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(本小题满分12分)如图，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，
3．线面平行和面面平行的判定和性质
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