金融工程 第八章 布莱克-斯科尔斯-莫顿模型
第八章 Black-Scholes 模型(金融衍生品定价理论讲义)
第八章 Black-Scholes 模型金融学是一门具有高度分析性的学科，并且没有什么能够超过连续时间情形。
概率论和最优化理论的一些最优美的应用在连续时间金融模型中得到了很好地体现。
Robert C. Merton ，1997年诺贝尔经济学奖得主，在他的著名教科书《连续时间金融》的前言中写到： 过去的二十年证明，连续时间模型是一种最具有创造力的多功能的工具。
虽然在数学上更复杂，但相对离散时间模型而言，它能够提供充分的特性来得到更精确的理论解和更精练的经验假设。
因此，在动态跨世模型中引入的真实性越多，就能够得到比离散时间模型越合理的最优规则。
在这种意义上来说，连续时间模型是静态和动态之间的分水岭。
直到目前为止，我们已经利用二项树模型来讨论了衍生证券的定价问题。
二项树模型是一种离散时间模型，它是对实际市场中交易离散进行的一种真实刻画。
离散时间模型的极限情况是连续时间模型。
事实上，大多数衍生定价理论是在连续时间背景下得到的。
与离散时间模型比较而言，尽管对数学的要求更高，但连续时间模型具有离散时间模型所没有的优势：（1）可以得到闭形式的解。
闭形式解对于节省计算量、深入了解定价和套期保值问题至关重要。
（2）可以方便的利用随机分析工具。
任何一个变量，如果它的值随着时间的变化以一种不确定的方式发生变化，我们称它为随机过程。
如果按照随机过程的值发生变化的时间来分，随机过程可以分为离散时间随机过程和连续时间随机过程。
如果按照随机过程的值所取的范围来分，随机过程可以分为连续变量随机过程和离散变量随机过程。
在这一章中，我们先介绍股票价格服从的连续时间、连续变量的随机过程：布朗运动和几何布朗运动。
理解这个过程是理解期权和其他更复杂的衍生证券定价的第一步。
与这个随机过程紧密相关的一个结果是Ito 引理，这个引理是充分理解衍生证券定价的关键。
In this chapter we study the best-known continuous time model, the Black-SCHOLES MODEL. This model, developed by Fischer Black and Myron Scholes in 1973, describes the value of a European option on an asset with no cash flows. The model has had a huge influence on the way that traders price and hedge options. It has also been pivotal to the growth and success of financial engineering in the 1980s and 1990s. The model requires only five inputs: the asset price, the strike price, the time to maturity, the risk-free rate of interest, and the volatility. The Black-Scholes model has becomes the basic benchmark model for pricing equity options and foreign currency options. It is also sometimes used, in a modified form, to price Eurodollar futures options, Treasury bond options, caps, and floors. We cannot say that we have mastered option pricing theory unless we understand the Black-Scholes formula. 本章的第二部分内容在连续时间下推导Black-Scholes 欧式期权定价公式，我们分别利用套期保值方法和等价鞅测度方法。
BS期权定价模型
Black-Scholes期权定价模型(重定向自Black—Scholes公式)Black-Scholes期权定价模型（Black-Scholes Option Pricing Model），布莱克-肖尔斯期权定价模型Black-Scholes 期权定价模型概述1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经济学奖授予了两位美国学者，哈佛商学院教授罗伯特·默顿(RoBert Merton)和斯坦福大学教授迈伦·斯克尔斯(Myron Scholes)。
他们创立和发展的布莱克——斯克尔斯期权定价模型(Black Scholes Option Pricing Model)为包括股票、债券、货币、商品在内的新兴衍生金融市场的各种以市价价格变动定价的衍生金融工具的合理定价奠定了基础。
斯克尔斯与他的同事、已故数学家费雪·布莱克(Fischer Black)在70年代初合作研究出了一个期权定价的复杂公式。
与此同时，默顿也发现了同样的公式及许多其它有关期权的有用结论。
结果，两篇论文几乎同时在不同刊物上发表。
所以，布莱克—斯克尔斯定价模型亦可称为布莱克—斯克尔斯—默顿定价模型。
默顿扩展了原模型的内涵，使之同样运用于许多其它形式的金融交易。
瑞典皇家科学协会(The Royal Swedish Academyof Sciencese)赞誉他们在期权定价方面的研究成果是今后25年经济科学中的最杰出贡献。
[编辑]B-S期权定价模型(以下简称B-S模型)及其假设条件[编辑](一)B-S模型有7个重要的假设1、股票价格行为服从对数正态分布模式；2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是恒定的；3、市场无摩擦，即不存在税收和交易成本，所有证券完全可分割；4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；5、该期权是欧式期权，即在期权到期前不可实施。
6、不存在无风险套利机会；7、证券交易是持续的；8、投资者能够以无风险利率借贷。
金融工程学第八章ppt课件
明N ，d1
时的
f
是 构造无风险组合
∆S，是复制投资组SN合中d1 股票的数量，
就是股票的市值。而
则
是复Xe制rT交t易N 策d2略 中负债的价值。
由于主要参数都是时变的，因此这种复制策略是 动态复制策略，必须不断调整相关头寸数量。
(iii) 从金融工程的角度来看，欧式看涨期权可 以分拆成或有资产看涨期权多头和 X 份或有现金 看涨期权空头之和。
1、布朗运动（Brownian Motion）：起源于英
国植物学家布朗对水杯中的花粉粒子的运动轨迹
的描述。在数学中，我们用维纳过程描述布朗运
动。 t
对于标准布朗运动来说，设 代表一个小的
z
t
时间间隔长度， 代表变量z在
时间内的
变化，遵循标准布朗z运动的
具有两种特征：
z t 特征1： 和
的关系z 满 t
x 漂移 a；
bdz 是随机项，代表着对 x 的时间趋势过程所
添加的噪音，使变量 x 围绕着确定趋势上下随机
波动，且这种噪音是由维纳过程的 b 倍给b出2 的，
称为方差率，b 称为波动率。
精品课件
普通布朗运动的离差形式为x at b t
∆x 具有正态分布特征，其均值a为t
，
标准b 差为t
b2t，方差为
令G ln S
，则运用伊藤引理可得 G
所遵循的随机过程为
dG
d
ln
S
2
2
dt
dz
练习：若无收益标的资产S服从几何布朗运动， 则该标的资产的期货价格F遵循怎样的随机过程？
精品课件
6、股票价格的变化过程
股票价格服从几何布朗运 dS Sdt Sdz
金融工程布莱克斯科尔斯莫顿模型.pptx
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基本思路
• 我们为了给股票期权定价，必须先了解股票本身的走势。因为股票期权是其标的资 产（即股票）的衍生工具，在已知执行价格、期权有效期、无风险利率和标的资产 收益的情况下，期权价格变化的唯一来源就是股票价格的变化，股票价格是影响期 权价格的最根本因素。
• 要研究期权的价格，首先必须研究股票价格的变化规律。在 了解了股票价格的规律 后，我们试图通过股票来复制期权，并以此为依据给期权定价。
4
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13.2收益率的分布 The distribution of the rate
of return 若 x代表从0~T之间以连续复利的收益率,则
ST S0 exT
x = 1 ln ST
T S0
x
m
s2 2
,
s2 T
5
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6
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13.3 预期收益率 The expected return
• 其在一个小的时间间隔△t中，S的变化值△S:
DS mSDt sSDz
• 设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f一定是S和t的函数，根据伊藤引理 可得：
•
在一
：
个小
的时
间
间
隔
中
，
fd的f
变 (化Sf值m△S
f为f:t
1 2
2 f S 2
s
2S
2 )dt
f S
sSdz
Df ( f mS f 1 2 f s 2 S 2 )Dt f sSDz
t S 2
S 2
**这就是著名的布莱克——舒尔斯微分分程，
它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有
期权定价模型
期权定价模型期权定价模型是金融衍生品定价领域的重要模型之一，它通过考虑期权的各项特性，将期权的价值与其相关的标的资产、行权价格、到期时间、波动率、无风险利率等一系列因素联系起来，从而确定期权的公平价格。
在期权定价模型中，常用的模型有布莱克-斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）和它的改进模型，如布莱克-斯科尔斯-默顿模型（Black-Scholes-Merton Model）。
这些模型基于一些假设，包括市场无摩擦、无风险利率不变、标的资产价格服从几何布朗运动等。
布莱克-斯科尔斯模型是最早的期权定价模型之一，它将期权价格视为标的资产价格的函数，通过假设标的资产价格服从几何布朗运动，并应用风险中性估计，推导出了一个偏微分方程，即著名的布莱克-斯科尔斯方程。
利用该方程可以计算出欧式看涨/看跌期权的价格。
然而，布莱克-斯科尔斯模型在实际应用中存在一些限制，例如假设市场无摩擦和无风险利率不变的条件，并且假设标的资产价格服从几何布朗运动，这些假设在现实市场中并不总是成立。
因此，为了更准确地定价期权，学者们提出了一系列改进的模型。
其中，布莱克-斯科尔斯-默顿模型是对布莱克-斯科尔斯模型的一个重要改进。
该模型引入了对标的资产价格波动率的估计，通过蒙特卡洛模拟或数值方法，可以计算出更加准确的欧式期权价格。
此外，还有许多其他的改进模型，如跳跃扩散模型、随机波动率模型等，针对不同的市场和期权特性提供了更加精确的定价方法。
总之，期权定价模型是金融衍生品定价领域的重要工具，它通过考虑期权的各项特性和相关因素，计算出期权的公平价格。
布莱克-斯科尔斯模型和其改进模型是常用的期权定价模型，但也存在一些假设和限制。
为了更精确地定价期权，学者们提出了一系列改进模型，以适应不同市场和期权特性的需求。
在期权定价领域，除了布莱克-斯科尔斯模型和其改进模型外，还有许多其他的期权定价模型被广泛应用。
这些模型包括跳跃扩散模型、随机波动率模型、二叉树模型等等，它们分别在不同的金融市场和期权类型中发挥着重要的作用。
金融工程中的期权定价模型
金融工程中的期权定价模型一、期权定义期权是金融工具中的一种，是指在未来某个时间，按照约定的价格、数量和期限，有权买入或者卖出某种标的资产的一种金融合约。
通过买入期权，持有人可以在未来某个时间以约定的价格买进标的资产；通过卖出期权，交易人可以获得期权费用，承担未来某个时间按照约定价格进行买卖的义务。
期权的本质是对未来的权利，是一种寄予了未来的期望和信心。
二、期权定价方法期权定价是指通过计算期权价格，来实现期权交易的方法或模型。
期权定价的理论基础主要包括两个主流模型：布莱克-斯科尔斯模型和考克斯-鲁宾斯坦模型。
下面我们分别来介绍一下这两种期权定价模型。
1. 布莱克-斯科尔斯模型布莱克-斯科尔斯模型，是由弗兰克-布莱克和梅伦-斯科尔斯在1973年提出的一种期权定价模型。
这个模型的核心思想是将期权看作是一种债券和股票组成的投资组合，通过对这个投资组合的定价，来推导出期权的价格。
布莱克-斯科尔斯模型的核心公式如下：C = SN(d1) - Xe^(-rt)N(d2)P = Xe^(-rt)N(-d2) - SN(-d1)其中，C表示看涨期权的价格，P表示看跌期权的价格；S表示标的资产的价格，X表示行权价格；N()表示标准正态分布函数的值，其中d1和d2分别表示如下：d1 = [ln(S/X) + (r + σ^2/2)t] / σ√td2 = d1 - σ√t这个模型中，需要考虑的参数有标的资产的价格S、行权价格X、波动率σ、存续期t、无风险利率r。
其中，波动率是最重要的参数，它的大小决定了标的资产的风险水平，因此，布莱克-斯科尔斯模型中的波动率是需要通过历史数据或者其他方法进行计算和估算的。
2. 考克斯-鲁宾斯坦模型考克斯-鲁宾斯坦模型，是由约翰-考克斯和斯蒂芬-鲁宾斯坦在1979年提出的一种期权定价模型。
这个模型的最大特点是引入了离散时间的概念，将连续时间的布莱克-斯科尔斯模型离散化，以适应实际的市场需求。
布莱克-斯科尔斯-默顿期权模型
13
The Derivation of the Black-Scholes Differential Equation continued
The value of the portfolio is given by ƒ ƒ S S The change in its value in time Dt is given by ƒ D Dƒ DS S
We can form a portfolio consisting of the stock and the option which eliminates this source of uncertainty
The portfolio is instantaneously riskless and must instantaneously earn the risk-free rate This leads to the Black-Scholes differential equation
m – s2/2 not m
This is because
ln[E(ST / S0 )]
are not the same
and
E[ln(ST / S0 )]
Options, Futures, and Other Derivatives, 7th Edition, Copyright © John C. Hull 2008
ƒ ƒ 1 2 2 2 ƒ rS s S rf 2 2 t S S
Options, Futures, and Other Derivatives, 7th Edition, Copyright © John C. Hull 2008
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The Differential Equation
布莱克_斯科尔斯期权定价模型分析
３６ 时代金融
理论与实践
定价模型（以下简记为 Ｂ－Ｓ 模型）是如何对期权进行定价的？它
期权定价的最基本原则是无套利定价原则。
的推导过程是怎样的？它的贡献究竟体现在哪些方面？本文将
三、Ｂ－Ｓ 模型的推导
针对上述问题做出或具体或简明的回答。
任何理论模型的提出都有其自身的前提条件，Ｂ－Ｓ 模型也
其他条件相同时，标的资产价格 Ｓｔ 越高，则看涨期权价值越高。 ｐｒｏｃｅｓｓ，是物理学中布朗运动在数学上的描述，其变量与正态
（二）执行价格 X
分布相关），其一般的数学描述式②为：
如上所述，看涨期权的内在价值体现为期权合同执行时， 标的资产市场价格超过执行价格的部分，则执行价格 Ｘ 越高，
dS=adt+bdx=adt+bΦ 姨dt （其中 Φ 是服从标准正态分布的随机变量，ａ、ｂ 为常数）
（一）标的资产价格 St
其次，由公式①及相关经验、知识（股票价格受大量独立因
看涨期权的内在价值体现为期权合同执行时，标的资产市场 素影响，则其服从正态分布）可得出股票价格的变化服从一种
价格超过执行价格的部分。由于执行价格 Ｘ 是事先确定的量，在 更为特殊的运动过程，即维纳过程 （Ｂｒｏｗｎ ｍｏｔｉｏｎ＆Ｗｉｅｎｅｒ
代价，其大小是由市场交易双方决定的；而价值则是该商品（如 （μ,坠2）
金融资产期权）的实际价值，即所谓的理论价值或公平价值。我
２．期权有效期内，无风险利率 ｒ 和金融资产收益的变动 σ
们在讨论期权定价时，这里的“价”指的是期权的理论价值，而 是恒定的（为常数）；
不是期权的市场价格。当然，期权费作为价格由交易双方确定，
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金融工程 第八章 12
14.5 布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程的概念
背景：1973年，美国芝加哥大学教授 Fischer Black & Myron Scholes提出了著名的B-S定价模型，用于确定欧式股票期权价格， 在学术界和实务界引起了强烈反响；同年，Robert C. Merton独立 地提出了一个更为一般化的模型。斯科尔斯和默顿由此获得了 1997年的诺贝尔经济学奖。我们将循序渐进，尽量深入浅出地介 绍布莱克-斯科尔斯-默顿期权定价模型（下文简称B-S-M模型）， 并由此导出衍生证券定价的一般方法。
14.3 预期收益率µ
股价在T时刻的期望值为S0eT；
在一个短期Dt内股票价格变化百分比的期望值是Dt；
在所有数据覆盖的区间上，股票的连续复利收益率的期望为 – 2/2；
Dt =E(DSi/S)，在每个小区间上股票价格的平均收益率。
E(x )=E( 1 T
ln
ST S
0
)=-
2
2
金融工程 第八章 9
金融工程 第八章 13
基本思路：构建无风险交易组合
构建：可由期权与标的股票所组成的无风险组合，组合收益率等于 无风险利率r。
原因：
①股票价格和期权价格均受到同一种不定性因素（股价变动）的影响； ②在任意短时期内，衍生品价格与股价完全相关性； ③在短时间内，股票盈亏可抵消期权带来的盈亏；
例：假设△c=0.4△S，可构造无风险交易组合：
： f (
S f
1 2 f 2 S 2 )Dt f
SDz
S
t 2 S 2
S
金融工程 第八章 17
14.6 布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程的推导
（3）为了消除维纳过程（风险源）△z ，可以构建一个包括一单
14.4 波动率 volatility
股票的波动率是用来度量股票提供收益的不确定性； 股票价格的波动率可以被定义为股票在1年内按连续复利所提供收
益率的标准差。 在Dt时间内股票价格百分比变化（收益率）的标准差为： Dt 如果股价为$50 ，波动率为 30% ，对应于每周价格百分比变化的
标准差近似地等于：
第14章 Black-Scholes-Merton 模型
金融工程
内容提纲
股票价格和收益的分布性质 波动率 布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程 风险中性定价 布莱克-斯科尔斯定价公式 隐含波动率 股息对期权定价的影响
金融工程 第八章 2
维纳过程：布朗运动
➢ 假设股票价格的波动为布朗运动（维纳过程），在离散情况下，则
金融工程 第八章 16
14.6 布莱克-斯科尔斯-默顿微分方程的推导
（1）由于股票价格S遵循几何布朗运动，在一个小的时间间隔 △t中，S的变化值△S：
DS SDt SDz
（2）设f是依赖于S的衍生证券的价格，则f是S和t的函数，根 据伊藤引理可得，在一个小的时间间隔中，f的变化值△f为：
Df
叠的dt内，变化量dz相互之间独立（方差可加）。
金融工程 第八章 3
马尔科夫过程与维纳过程
性质1， dz本身服从正态分布，并且dz的期望值=0， dz的方差 =dt；性质2意味着变量z服从马尔科夫过程。
马尔科夫过程：只有标的变量的当前值与未来的预测有关，变量 的历史以及变量从过去到现在的演变方式与未来的预测无关。
马尔科夫过程与弱有效市场一致：股票的当前价格包含过去价格 的所有信息。
金融工程 第八章 4
14.1 股价的对数正态分布性质
令股价为S
定义： 为股票每年的收益率期望；为股票价格每年的波 动率
在 Dt时间段股票收益(DS/S)的均值为 Dt，标准差
为 Dt ，股票收益服从正态分布：
DS
S
为随机游走序列。
➢
dS Sdt Sdz
dS dt dz
S
➢ dS：股票价格在一个很短的时间内的变化。
➢ μ：股票的年收益率期望 ； σ：股价的年波动率。
➢ dz基本维纳过程 ：(1) dz dt ，其中dz代表影响股票价格变
化的随机因素 ~ N (0,1) 标准正态分布 ；(2)在任何两个不相重
~ Dt, 2Dt
m, v 代表期望为m，方差为v的正态分布。
5
金融工程 第八章
ln
ST S
0
Байду номын сангаасor
ln ST
ln S 0 ~
2
2
T
,
2T
ln ST ~
ln
S 0
2
2
T
,
2T
对数正态分布：如果一个随机变量的对数服从正态分布，那么 我态们分就布定，义则这ST个服随从机对变数量正本态身分服布从。对数正态分布：lnST 服从正
s
n
1
1
n
(ui
i 1
u )2
s
n
1
n
1 i 1 ui2
1
n(n
n
( 1) i 1
ui )2
4、由（14-2）得： ui的标准差 为 t
，因此有：
ˆ
s t
金融工程 第八章 11
14.4.2 交易日天数与日历天数
交易所开盘交易时的波动率比关闭时的波动率要高； 因此，由历史数据计算波动率或期权期限时，采用的是交易
0.4只股票的多头； 一个看涨期权的空头；
金融工程 第八章 14
金融工程 第八章 15
假设：
1、股票价格遵循几何布朗运动，其中 u 和 为常数； 2、可以卖空证券，并且可以完全使用所得收入； 3、无交易费用和税收，所有证券均可无限分割； 4、在期权期限内，股票不支付股息； 5、不存在无风险套利机会； 6、证券交易为连续进行； 7、短期无风险利率r为常数，并对所有期限都是相同的。
50 * (30 * 1 / 52 ) 50 * 4.16% 2.08美元
金融工程 第八章 10
14.4.1 历史数据法
1、在时间长度为t年内，每个区间结束时，观察到股价为
S1， . . .，Sn 。
S0，
2、计算第i个区间结束时的股票收益率:
ui
ln
Si
Si 1
3、计算ui的标准差 s;
金融工程 第八章 6
对数正态分布
E(ST ) S0 e T var(ST ) S02e2T(e 2T 1)
例14-2 P212
金融工程 第八章 7
14.2 收益率的分布
若 x代表从0~T之间以连续复利计的收益率，则
ST S 0 e xT
x=
1
T
ln
ST S0
x ~
2
2
,
2
T
金融工程 第八章 8