基于布莱克-斯科尔斯模型的扩张期权案例
石油投资项目布莱克-斯科尔斯期权定价模型建立及应用
石油投资项 目 一般都是高投资和高风险项 目， 目的经济评价 ，可以将石油投资项 目的各个阶段 分别作为一个整体来考虑 ， 在每个 阶段结束后 ， 石 其主要风险来 自于石油储量 的不确定性以及石油 产品价格 的波动性 。从理论上讲 ， 石油投资具有多 油公司都可以决定是否继续投资 。 种期权特性 ， 即放弃期权 、 扩张期权和延迟期权 。 无论从上游的石油 的勘探开发 ， 中游的炼油化工、 实物期权是指一个投资方案的现金流量所创 造 的利润 ， 自于 目前所拥有资产的使用 ， 来 再加上 管道输送 以及下游的成品油销售等都存在着投资 对未来投资机会 的选择。即资产 的拥有者可 以取 的期权 特 征 。
（ ） 一 实物期 权
以勘探开发为例 ， 随着开发投资的开始 ， 投资 得一个权利 ，在未来以一定 的价格取得或者出售 项实物资产或者投资项 目，而取得此项权利的 方逐步获得包括地质信息、 市场价格等各种信息 ， 价格则可以使用期权定价公式计算 出来 。所 以实 如果地质信息显示储量并不如先前预测 ，投资方
石油投资项 目布莱克 一斯科尔斯期权定价模型建立及应用
吴剑 刚 ， 一 男 ， 军 ， 杜 高 陆 环
［ 摘 要 ］ 高投 资和 高风险特征的石油投 资项 目大多具有放 弃、 扩张和延迟 等多种期权特性 。 文章在介绍实物期权的
基础上 ， 对石 油投 资项 目期权特 征、 评价 思路 、 评价准则进 行分析 ， 立石 油投 资项 目 Ｂ ｃ － ｃｏｅ 看涨期权 、 建 ｈ ｋ Ｓｈ ｌ ｓ 推迟投资期 权、 放弃期权三种定价模 型 ， 并结合 实例进行应 用， Ｅ Ｅ 在 ＸＣ Ｌ中建立计算应用模 型 ， 实现与传统评价方法的比较。
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２０ 年第 ０ ０８ ６期 （ 总第 ９ ７期）
布莱克——斯科尔斯期权定价公式的推导及推广
期权定价理论的开创性 论文是 １ ０年法国数学 ９ ０
家 Ｂ ｃｅｅ． ． ａ ｌｒ 的博士学位论文 《 ｈｉ Ｌ 投资理论》 ，在这篇 论文中，Ｂ ｃｅｅ假设股票价格的动态过程为布朗运 ａ ｌｒ ｈｉ 动 ，股票收益为正态分布 ，得到不分红股票 的欧式买
二 、期权定价理论的早期发展 （ ）Ｂ ｃｄｅ公式 一 ａｈ ｉ ｒ
界的一场革命 ，尽 管该模 型 的一 些假设 与现实 不相 符 ，但是期权市场的价格与该公式的计算结果还是 比 较吻合 的。在该模 型 中，Ｂａｋ ｃｏ 和 Ｍ ｒｎ引 ｌ 、Ｓｈｌ ｃ ｓ ｅ ｅｏ ｔ 入了动态套期保值组合的概念 ，期权 的支付可以通过 基础资产的动态组合策略复制。在基础资产的价格过 程为对数正态分布的情况下 ，得到欧式期权公式的解 析解 。其实 ，期权定价理论的研究 可以追索到 Ｂ ｔｅ ａｈ—
Ｋｅ ｏｄ ：ｂ ｃ ｅｏ ｓ ｏｍｌ；Ｉ ｎａ ｐｒ ｃ ；￣ｋＢ ｏ ｏｏｍ ｔ ｄ ；ｅｕｉ ｕ ｐ ａｈ ． ｗ ｒｓ ｌ ｋ—ｓｈｌ ｒｕ ｙ ａ ｅ ｆ ａ ｇｌ ａｐ ａｈ ｅ ｏ ｌ８ｐｒ ｌ ｅ ｏｓ ｑｉｂ ｍ ａ ｒ ｃ ８ ｔｉ ｈ ｆ ｌｌ ｐ ｏ
一
、
引言
１ ＇ １ 理 的期 权 定 价 理 论 。在 此 之 后 ，Ｈ ｒｓｎ和 ＂ Ｏ引 ａｉ ｒｏ
Ｂａｋ ｃｏ 的期权 定价模 型是 金融 学 中广泛 ｌ —Ｓｈｌ ｃ ｓ ｅ 应用的模型之一 ，该模型的提 出是金融理论界和实践
Ｋｅｓ ａ ｉ ｎ和 Ｐｉ ａ ｒ 、Ｈ ｒｓ ｐ ｒｏ ｌｋ 分别应 用鞅和随机积分给 出 ｓ 了期权定价公式 ，他们的一 系列文章奠定 了现代数理 金融的基础 。下面笔者 分别讨论 Ｂａｋ ｃｏ 公式 ｌ —Ｓｈｌ ｃ ｓ ｅ 及其推导。
布莱克—舒尔斯期权定价模型
布莱克—舒尔斯期权定价模型期权定价是现代金融学中一项非常重要的内容，同时也是一个比较复杂、难度较大的问题。
目前关于期权定价主要有两种方法：（1）二项式模式；（2）布莱克—舒尔斯期权定价模型（B-S 模型）。
较为适用的是布莱克—舒尔斯期权定价模型。
布莱克—舒尔斯期权定价模型是美国经济学家布莱克—舒尔斯于1973年提出来的。
这是现代金融学金融衍生工具研究领域的一个重大突破，布莱克—舒尔斯因此获得了1997年诺贝尔经济学奖。
1、 基本原理：（模型建立的基础）期权的完全套期保值功能，即期权具备完全消除股票投资组合中市场风险的套期保值功能。
2、 假设条件：（1） 市场是无摩擦的：即不计佣金费用，无交易成本，没有卖空限制，可以根据市场情况经常地调整套期保值的比率，调整期权与股票的比率。
（2） 在期权到期前，股票不支付股利。
（3） 在期权到期前，无风险利率r 和股票收益的方差2σ保持不变。
（4） 股票价格变化是连续的，不会发生突然及大的波动。
3、 基本公式：在上述原理及假设条件的基础上，布莱克—舒尔斯提出了这样一个公式：TTr X S T d d TTr X S d d N Xe d N S C rT σσσσσ)5.0()/ln()5.0()/ln()()(20122012100-+=-=++=-=-其中：其中：0C 为期权价格；0S 为股票当前的价格；)(d N 为服从于标准正态分布的随机变量小于d 的概率；即：}{)1,0(,N Y d y P -<X 为协定价格；e 为2.71828;r 为无风险利率（以连续复利计算） t 为距离到期日所剩的时间，单位为年 σ为股票收益率的标准差。
在这个公式中，)(1d N 、)(2d N 代表期权到期是处于实值的概率，也就是能够执行给投资者带来实质性收益的概率。
如果假定1)()(21==d N d N ，也就是看涨期权极其有可能被执行。
公式的解释：期权价值=内在价值+时间价值期权到期前处于三种状态，虚值—平价—实值时间价值虚值 协定 实值 价格（平价） 从这个图形可以看出，随着股价的进一步升高，期权到期被执行的可能性越来越大，相应地，期权的内在价值越来越大，其价格波动的可能性即时间价值越来越小。
bs模型 应用 方法
bs模型应用方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：BS模型是一种在金融领域广泛应用的定价模型，也被称为布莱克-斯科尔斯模型。
它是由费雪-布莱克-斯科尔斯三位学者于20世纪70年代提出的，被认为是期权定价理论的里程碑之一。
BS模型基于随机微分方程和对冲的思想，通过对资产价格的随机性建模，实现对期权价格的准确估计。
BS模型的应用范围广泛，可以用于股票、期权、债券等各种金融资产的定价和风险管理。
BS模型的核心思想是对冲，即通过在风险资产和无风险资产之间建立对冲组合，消除风险从而获得无风险收益。
BS模型通过建立对冲组合来合成一个复制品来估计期权价格，具有非常高的准确性。
在BS模型中，价格的波动被建模为布朗运动，通过这种方式，可以对未来价格的概率分布进行估计。
模型中的参数包括标的资产价格、期权行权价、无风险利率、资产价格的波动率和期限等，通过这些参数的组合，可以计算出期权的理论价格。
BS模型在金融实践中有着广泛的应用，比如在期权交易中通过估计期权价格进行交易决策。
投资者可以根据BS模型计算出的期权价格，进行买入或卖出操作，以实现风险对冲或套利。
BS模型还可以应用于股票、债券等金融资产的风险管理，帮助投资者更好地控制风险，并提高投资收益。
除了期权定价之外，BS模型还可以用于其他金融领域的问题，比如风险管理和投资组合优化。
通过对资产价格的波动性进行建模，可以更好地评估不同投资工具的风险和回报，从而帮助投资者做出更明智的投资决策。
在实际应用中，BS模型需要对参数进行估计，比如波动率可以通过历史数据进行计算得出。
模型还需要不断调整参数来适应市场的变化，以保持模型的准确性。
还需要对模型的假设进行检验，确保模型的有效性和适用性。
BS模型是一种非常有用的金融工具，可以帮助投资者更好地理解金融市场并做出明智的投资决策。
随着金融市场的不断发展和变化，BS模型也在不断演进和完善，为投资者提供更准确的定价和风险管理工具。
熟练掌握BS模型的应用方法对于金融从业者来说非常重要，可以帮助他们在市场竞争中脱颖而出。
7 布莱克--斯克尔斯期权定价模型
S 2 ln( ) (r g )T 2 d1 T d2 K T
2 外币期权
rf代表国外利率。则： Ｃ=Ｓe- rf T· Ｎ(ｄ1)-K· -rＴ· ｅ Ｎ(ｄ2)
S 2 ln( ) (r rf )T K 2 d1 T
S 2 ln( ) (r rf )T K 2 d2 d1 T T
1997年10月10日，第二十九届诺贝尔经 济学奖授予了两位美国学者,哈佛商学院 教授罗伯特· 默顿(ＲｏｂｅｒｔＭｅｒ ｔｏｎ)和斯坦福大学教授迈伦· 斯克尔 斯(ＭｙｒｏｎＳｃｈｏｌｅｓ)。他们 创立和发展的布莱克———斯克尔斯期 权定价模型(Ｂｌａｃｋ-Ｓｃｈｏｌｅ ｓＯｐｔｉｏｎＰｒｉｃｉｎｇＭｏｄ ｅｌ)
2、如果ＳＴ<K,则期权所有人放弃购买权力, 期权以虚值(Ｏｕｔ-ｏｆ-ｔｈｅ-ｍｏｎｅｙ) 失效,且有: ｍａｘ(ＳＴ-K,0)=0
从而:
Ｅ[ＣＴ]=Ｐ×[Ｅ(ＳＴ|ＳＴ>K)-K]+(1-Ｐ)× Ｏ=Ｐ×[Ｅ(ＳＴ|ＳＴ>K)-K)]
其中: Ｐ—(ＳＴ>K)的概率 Ｅ[ＳＴ|ＳＴ>K]—既定(ＳＴ>K)下ＳＴ的期望值将 Ｅ[CT]按有效期无风险连续复利ｒＴ贴现,得 期权初始合理价格: Ｃ=ｐ×ｅ-ｒＴ×(Ｅ[ＳＴ|ＳＴ>K]-K)(*) 这样期权定价转化为确定Ｐ和Ｅ[ＳＴ|ＳＴ>K]。
①求ｄ1: ②求ｄ2: ③查标准正态分布函数表 ④求Ｃ:
因此理论上该期权的合理价格 为5.78。如果该期权市场实际价 格是5.25,那么这意味着该期权 有所低估。在没有交易成本的 条件下,购买该看涨期权有利可 图。
(三)看跌期权定价公式的推导 Ｂ-Ｓ模型是看涨期权的定价公式,根 据售出—购进平价理论(ｐｕｔ-ｃａｌ ｌｐａｒｉｔｙ)可以推导出看跌期权的 定价模型: P=-S×N(-d1)+K×N(-d2) ×e(-rT)
布莱克_斯科尔斯期权定价模型分析
３６ 时代金融
理论与实践
定价模型（以下简记为 Ｂ－Ｓ 模型）是如何对期权进行定价的？它
期权定价的最基本原则是无套利定价原则。
的推导过程是怎样的？它的贡献究竟体现在哪些方面？本文将
三、Ｂ－Ｓ 模型的推导
针对上述问题做出或具体或简明的回答。
任何理论模型的提出都有其自身的前提条件，Ｂ－Ｓ 模型也
其他条件相同时，标的资产价格 Ｓｔ 越高，则看涨期权价值越高。 ｐｒｏｃｅｓｓ，是物理学中布朗运动在数学上的描述，其变量与正态
（二）执行价格 X
分布相关），其一般的数学描述式②为：
如上所述，看涨期权的内在价值体现为期权合同执行时， 标的资产市场价格超过执行价格的部分，则执行价格 Ｘ 越高，
dS=adt+bdx=adt+bΦ 姨dt （其中 Φ 是服从标准正态分布的随机变量，ａ、ｂ 为常数）
（一）标的资产价格 St
其次，由公式①及相关经验、知识（股票价格受大量独立因
看涨期权的内在价值体现为期权合同执行时，标的资产市场 素影响，则其服从正态分布）可得出股票价格的变化服从一种
价格超过执行价格的部分。由于执行价格 Ｘ 是事先确定的量，在 更为特殊的运动过程，即维纳过程 （Ｂｒｏｗｎ ｍｏｔｉｏｎ＆Ｗｉｅｎｅｒ
代价，其大小是由市场交易双方决定的；而价值则是该商品（如 （μ,坠2）
金融资产期权）的实际价值，即所谓的理论价值或公平价值。我
２．期权有效期内，无风险利率 ｒ 和金融资产收益的变动 σ
们在讨论期权定价时，这里的“价”指的是期权的理论价值，而 是恒定的（为常数）；
不是期权的市场价格。当然，期权费作为价格由交易双方确定，
布莱克-斯科尔斯期权定价模型的应用及适用性的扩展
布莱克-斯科尔斯期权定价模型的应用及适用性的扩展布莱克-斯科尔斯期权定价模型的应用及适用性的扩展摘要:期权交易是一种金融衍生的交易形式，B-S模型的产生对金融也产生了较大的影响，在此根底上业界不断对其进行完善，在应用的根底上进行适应性改良，从获得最正确的期权定价方式。
关键词:期权定价B-S模型应用分析适应性拓展一、布莱克-斯科尔斯模型的假设条件(一)期权定价期权定价和投资组合问题一直是金融资产风险控制的核心问题，期权作为重要的金融衍生物，其定价在很早的时候就成为了业界关注的焦点。
在上世纪末，布莱克-斯科尔斯等经济学家经过研究确定了期权定价方程，为现代金融的期权定价奠定了理论与实践根底。
当期的金融市场上，期权合约就是赋予期权的购置者在规定的期限内或者规定期，按照合约定价购置或者出售一定数量的某种金融产品的权利的合约。
在期权合约中规定的是双方的执行价格，合约规定的这个期限的最后一天是到期日。
(二)布莱克-斯科尔斯假设条件分析布莱克-斯科尔斯在实际的应用中我们将其简化称之为“B-S模型〞，这个模型在实际的应用中需要在一定的假设环境下进行对期权进行定价，其主要依据的是七个条假设条件：第一在期权到最后期限前，标的资产无任何回报的时候，即没有红利、利息等。
于是标的资产的价格出现的变化是连续的，且处在均匀曲线上没有跳空上涨，也没有下跌。
第二存在一个固定的无风险的概率，投资者可以借助利率无限制的条件下进行贷出或者借入。
第三不存在任何影响收益的外部因素对过程产生影响，如缴税、交易本钱支出、交易保证金等。
此时持有标的物的投资者的收益完全来自于市场价格的变动。
第四所有的证券可以进行无限制的细分。
第五投资者可以对证券进行卖空操作。
第六环境中没有无风险的套利条件。
第七标的物的变动符合相应的几何布朗定律，在公式ds =μsdt+σsdz，ds所代表的是无穷小的标的物价格变化值；dt是针对与时间的参数代表无穷小变化值；μ是标的资产在每一个无穷小的变化区间内的平均收益情况；σ是标的资产的价格浮动的波动率，即标的资产在每一个时间段内的平均收益率的差异值；dz那么是0dt与方差为1dt在无穷小条件下的随机变量。
Black—Scholes模型及其在新型期权定价中的应用
Black—Scholes模型及其在新型期权定价中的应用作者：苏旻旸来源：《时代金融》2013年第36期【摘要】虽然Black-Scholes模型成功解决了在有效市场下的期权定价问题，但由于它是在一定的假设条件下建立的，在实际的交易实施中，投资者会在得到一定的股票红利同时忽视了交易成本。
Black-Scholes模型是近年来在期权定价方面应用的重要模型之一，极大推动了期权市场的革命性变化。
本文围绕着Black-Scholes模型的期权定价，对其在新型期权定价中的应用进行了分析，并给出了一些自己的看法和建议。
【关键词】Black-Scholes模型期权定价期权市场欧式期权美式期权一、Black-Scholes模型基本原理期权是为了套期保值而创造出来的一种金融衍生工具，在Black-Scholes模型中，理论上只要人们通过合理的手段选择手中持有的证券和其衍生工具，就可以获得套期保值并无风险收益。
在Black-Scholes模型中，主要基于资产价格的运动服务产品组合从而消除了模型中的随机变量，获得了风险条件下的期权定价模型。
在该模型下，主要存在以下几个假设：第一，无风险利率r为常数，且对于任何到期日均为相同；第二，标的资产价格S服从对数正态分布；第三，在期权有效期内，无红利支付；第四，在套期保值中无交易成本；第五，无套利机会，标的资产可以实现连续交易。
由于标的资产的价格&=µS dt+σSdZ，由此可以得出S和t的函数G遵循测过程为：在此S和G都受到同一个不确定性来源dz的影响。
对此过程应用于标的资产价格的对数变化。
同时，由于期权都是其对应的标的资产和时间的代表函数，假设f是基于某种看涨期权或其他衍生的价格，那么，变量f一定是S和t的函数。
因此，根据Ito引理就有：在构造标的资产和对应期权的证券组合以期望消除在上述过程中的不确定性为d，根据以上公式，我们可以选择证券组合为：卖空一份期和买入标的资产，并由此定义组合证券价值为：则有：，次方程就消除随机项目，又因风险中性假设为前提，使得证券组合的收益和它的短期无风险收益率相同。
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800 800 800 800 800 0.8333 0.6944 0.5787 0.4823 0.4019 666.67 555.56 462.96 385.80 321.50
1384.54 2392.49 1502.63 2000 -118.09
的年度的无风险利率；t：期权到期日前的时间（年）；σ：股票报酬率
采用传统的折现现金流量法，计算出两期的净现值均小于零，
的年波动率；N（d）：正态分布下的累积概率，即正态分布变量小于 d 即两期方案均不可取，但这是在没有考虑期权价值的情况下得出的
的累计概率[7]。
结论。实际上，决策者在第一期投产后，可以根据市场发展状况再决
2 扩张期权的案例分析
定是否上马二期项目。
designs the Black-Scholes Model （for short as B -S Model）.Through contrasting the demonstration shows that deriving the value of the investment of
expanding option via B-S Model is more reasonable than traditional discount-cash-flow model.
关键词： 实物期权；布莱克-斯科尔斯期权定价模型；扩张期权
Key words: real option；Black-Scholes Model；option to expand
中 图 分 类 号 ：F0
文 献 标 识 码 ：A
文 章 编 号 ：1006-4311（2012）18-0141-02
0 引言
σ
姨 2
t
；d2 =d1 -σ 姨 t
；PV（X）=
X
姨1+RC
姨t
其中：C0：看涨期权的当前价值；S0：标的股票的当前价格；N（d）：
标准正态分布中离差小于 d 的概率；X：期权执行价格；Rc：连续复利
税后经营现金流量 折现率（20%） 各年经营 现金流量现值
经营现金流量现值 合计
投资（10%） 净现值
2.1 扩张期权的模型选择 项目持有者在投资一期项目时考虑
2.2.2 采用 B-S 模型
未来预期选择权，评价未来扩张选择权的价值为二期项目投资提供
①B-S 模型参数如下：
选择基础。扩张期权的决策原则为若一期项目本身的净现值+后续
该期权的标的资产价格 S0 为第二期现金流量的现值 1384.54
扩张选择权的价值＞0，则表明一期项目可行，通常运用 B-S 模型进 万元；
摘要： 本文首先介绍实物期权理论兴起的背景,在此基础上对实物期权进行分类。主要阐述了布莱克-斯科尔斯期权定价模型（简称 B-S 模
型）。通过实例对比说明使用 B-S 模型对投资的扩张期权进行估价比传统的折现现金流量法更合理。
Abstract: This article begins with the background of the rise of real option theory,and based on which,classifies real options. This paper mainly
增加，则投资者可以选择扩大投资项目的规模，这是扩张期权[5]；如果 市场状况恶化，投资项目的继续实施将给投资者带来重大损失时， 则选择放弃投资，这就是放弃期权[6]。
经营现金流量现值合计 投资 净现值
960.13 1000 -39.87
1.2 实物期权的定价模型 实物期权定价模型种类繁多，在实
表 3 硬盘项目第二期计划
Value Engineering
· 141 ·
基于布莱克-斯科尔斯模型的扩张期权案例分析
The Case Analysis of Expanding Option Based on Black-Scholes Model
王莉华 Wang Lihua；王彦明 Wang Yanming
（辽宁石油化工大学经济管理学院，抚顺 113001） （School of Economic Management，Liaoning University of Petroleum & Chemical Technology，Fushun 113001，China）
（单位：万元）
际应用中，由布莱克和斯科尔斯共同提出的 B-S 模型应用最为广
时间（年末）
2010 2013 2014 2015 2016 2017 2018
(d1)]-PV(X)[N(d2)] 其中
d1
=
In（S0 ÷PV（X））+ σ姨 t
目价值的完整信息。当投资对象是高不确定性项目时，传统净现值 为 20%。第二期投资的现值折现到零时点使用 10%的折现率，判断
法通常低估实际价值。实物期权考虑项目的机会选择权，从不确定 是否投资第一期项目。
性中寻求潜在的经济价值，是价值评估和战略性决策相结合的框架
2.2.1 采用传统的折现现金流量法，第一期项目和第二期项目
表 2 硬盘项目第一期计划
（单位：万元）
时间（年末） 税后经营现金流量
折现率（20%） 各年经营现金流量现值
2010
2011 200 0.8333 166.67
2012 300 0.6944 208.33
2013 400 0.5787 231.48
2014 400 0.4823 192.90
2015 400 0.4019 160.75
公司要求的最低投资报酬率为 20%，无风险利率为 10%。第二
实物期权理论的兴起源于学术界和实务界对传统项目评估方 期项目的决策必须在 2013 年底决定, 可比公司的股票价格标准差
法—— —净现值法的置疑[1]。传统的净现值法（NPV）往往不能提供项 为 35%，作为项目现金流量的标准差，税后经营现金流量的折现率
模型[2]。
的净现值如表 2、表 3。
1 实物期权的理论方法 1.1 实物期权的分类 夏普和特里杰奥吉斯指出，因不确定性 因素的存在，投资决策者往往具有机会选择权[3]。如果市场情况不明 朗，决策者可以推迟对项目的投资，等待市场情况确定后选择适当时 机再投资，这是延迟期权[4]；如果投资项目的市场状况良好，消费需求