布莱克-斯科尔斯模型
布莱克-斯科尔斯模型汇总
据此，我们可以将公式（５）表述如下：
2 St E[ln ] t r t 2 S0
12
这就是所要求解的平均收益μ的表达式。
在前述式（２）中，收益的标准差被定义为
t
将式（１０）和式（１１）合并，有
X P Pr ST X Pr 收益 ln( ) S0 X ln S 0 1 N
lnSt ~ lnS0 N t , t
（3） 其中S0是常数, ln(S0)=0.
ln1 loge e 0
0
• 由式（2），还可得到：
St N t , t ~e S0
以及预期收益：
4
St E[ln S 0
] t
5
S0 ln r X 2 d 2 d1 t t
2
t
16
期权定价两大问题的汇总
• 回顾一下，期权定价要解决的两大问题： １. 确定Ｐ－－即期权到期时溢价的概率。 ２. 确定E[ST|ST>X]－－ 即期权到期时溢 价的话，基础资产的期望值。
X P Pr S T X Pr 收益 ln( ) S0 其中， S 0－－基础资产的初始价 格 X－－期权执行价格
(10)
在正态分布条件下，变量Ｘ大于某种既定 值xc的概率可由下式表达：
xc Pr X xc 1 N 其中，
• 连续价格变动的刻度标示
67.03 74.08 81.87 90.48
100
110.52
122.14
134.99
布莱克斯科尔斯模型计算公式
布莱克斯科尔斯模型计算公式【原创版】目录1.布莱克斯科尔斯模型简介2.布莱克斯科尔斯模型计算公式概述3.布莱克斯科尔斯模型计算公式详解4.布莱克斯科尔斯模型计算公式的应用实例5.总结正文【1.布莱克斯科尔斯模型简介】布莱克斯科尔斯模型（Black-Scholes Model）是一种用于估算欧式期权价格的数学模型，由 Fisher Black 和 Myron Scholes 于 1973 年提出。
该模型基于假设：标的资产价格符合对数正态分布、市场无风险利率和波动率恒定等。
布莱克斯科尔斯模型为金融市场提供了一种较为准确的期权定价方法，被广泛应用于金融领域。
【2.布莱克斯科尔斯模型计算公式概述】布莱克斯科尔斯模型的计算公式较为复杂，包含多个变量和数学函数。
公式主要包括以下几个部分：标的资产价格、无风险利率、行权价格、到期时间、波动率和正态分布函数。
通过这些变量和函数的组合，可以计算出期权的理论价格。
【3.布莱克斯科尔斯模型计算公式详解】布莱克斯科尔斯模型的计算公式如下：C = S * N(d1) - X * e^(-r * T) * N(d2)P = X * e^(-r * T) * N(-d2) - S * N(-d1)其中，C 表示看涨期权的价格，P 表示看跌期权的价格，S 为标的资产价格，X 为行权价格，T 为到期时间，r 为无风险利率，e 为自然对数的底数，约等于 2.71828，N(d) 为正态分布函数，d1 和 d2 为中间变量，计算公式如下：d1 = (ln(S / X) + (r + σ^2 / 2) * T) / (σ * sqrt(T))d2 = d1 - σ * sqrt(T)其中，σ表示波动率，ln 表示自然对数函数。
【4.布莱克斯科尔斯模型计算公式的应用实例】假设某股票的当前价格为 100 元，行权价格为 105 元，无风险利率为 5%，波动率为 20%，到期时间为 1 年。
bs模型定价公式
bs模型定价公式一、布莱克 - 斯科尔斯（Black - Scholes，BS）模型定价公式概述。
1. 公式的基本形式。
- 对于欧式看涨期权的定价公式：C = S_0N(d_1)-Ke^-rtN(d_2)- 对于欧式看跌期权的定价公式：P = Ke^-rtN( - d_2)-S_0N( - d_1)- 其中：- S_0是标的资产的当前价格。
- K是期权的执行价格。
- r是无风险利率（连续复利）。
- t是期权的到期时间（以年为单位）。
- σ是标的资产价格的波动率。
- N(x)是标准正态分布的累积分布函数，x = d_1或者d_2。
- d_1=frac{ln(S_0 / K)+(r+frac{σ^2}{2})t}{σ√(t)}- d_2 = d_1-σ√(t)2. 公式中各参数的意义。
- 标的资产当前价格S_0- 这是在当前时刻标的资产（如股票、期货等）的市场价格。
它是确定期权价值的基础，如果标的资产价格上涨，看涨期权价值可能增加，看跌期权价值可能减少（在其他条件不变的情况下）。
- 执行价格K- 是期权合约中规定的，在到期日时可以按照该价格买入（对于看涨期权）或卖出（对于看跌期权）标的资产的价格。
执行价格与标的资产当前价格的相对关系对期权价值有重要影响。
当S_0> K（对于看涨期权）时，期权处于实值状态，有更大的内在价值。
- 无风险利率r- 无风险利率反映了资金的时间价值。
在BS模型中，无风险利率越高，执行价格的现值Ke^-rt越低，对于看涨期权价值有正向影响，对看跌期权价值有反向影响（因为看涨期权持有者希望以更低的现值购买资产，而看跌期权持有者希望以更高的现值出售资产）。
- 到期时间t- 期权距离到期日的剩余时间。
一般来说，到期时间越长，期权的价值越高（在其他条件不变的情况下）。
对于看涨期权，较长的到期时间给予标的资产更多的时间上涨超过执行价格；对于看跌期权，给予更多时间下跌低于执行价格。
- 标的资产价格的波动率σ- 波动率衡量了标的资产价格的波动程度。
布莱克斯科尔斯期权定价模型
•布莱克-斯科尔斯模型，简称BS模型，是一种为期权或权证等衍生性金融商品定价的数学模型，它是由美国经济学家迈伦·斯科尔斯与费雪·布莱克率先提出来的，用这个模型没能推导出布莱克-舒尔斯公式，这个公式还能够估算出欧式期权的理论价格。
除此之外，B-S模型还有7个比较重要的假设，如下所示：
1、股票价格行为服从对数正态分布模式；
2、在期权有效期内，无风险利率和金融资产收益变量是不会发生改变
的；
3、市场是没有摩擦的，也就是没有税收和交易成本，所有证券完全可分
割；
4、金融资产在期权有效期内无红利及其它所得(该假设后被放弃)；
5、该期权是欧式期权，也就是在期权到期前不可以进行实施。
6、没有任何无风险套利机会；
7、证券交易是持续的；
8、投资者可以以无风险利率借贷。
【财务成本管理知识点】BS模型
（三）布莱克-斯科尔斯期权定价模型（BS模型）1.假设（1）在期权寿命期内，买方期权标的股票不发放股利，也不做其他分配；（2）股票或期权的买卖没有交易成本；（3）短期的无风险利率是已知的，并且在期权寿命期内保持不变；（4）任何证券购买者能以短期的无风险利率借得任何数量的资金；（5）允许卖空，卖空者将立即得到所卖空股票当天价格的资金；（6）看涨期权只能在到期日执行；（7）所有证券交易都是连续发生的，股票价格随机游走。
2.公式C0=S0[N（d1）]-X[N（d2）]或=S0[N（d1）]-PV（X）[N（d2）]其中：d1={ln（S0/X）+[]t}/或=ln[S0/PV（X）]/+（/2）d2=d1-式中：C0-看涨期权的当前价值；S0-标的股票的当前价格；N（d）-标准正态分布中离差小于d的概率；X-期权的执行价格；e-自然对数的底数，约等于2.7183；r c-连续复利的年度的无风险报酬率；t-期权到期日前的时间（年）；In（S0÷X）-的自然对数；-连续复利的以年计的股票回报率的方差。
【手写板】3.参数估计（1）无风险利率的估计①期限要求：无风险利率应选择与期权到期日相同的国库券利率。
如果没有相同时间的，应选择时间最接近的国库券利率。
②这里所说的国库券利率是指其市场利率（根据市场价格计算的到期收益率），而不是票面利率。
③模型中的无风险利率是按连续复利计算的利率，而不是常见的年复利。
连续复利假定利息是连续支付的，利息支付的频率比每秒1次还要频繁。
【手写板】如果用F表示终值，P表示现值，r c表示连续复利率，t表示时间（年）；则：【手写板】前【教材例7-13】沿用[例7-10]的数据，某股票当前价格50元，执行价格52.08元，期权到期日前的时间为0.5年。
每年复利一次的无风险利率4%，相当连续复利的无风险利率r c=ln（1.04）=3.9221%。
【教材例7-14】假设t=1年，F=104元，P=100元，则：r c=ln（104/100）÷1=ln（1.04）÷1=3.9221%【提示】严格来说，期权估值中使用的利率都应当是连续复利，包括二叉树模型和BS模型。
bs模型 应用 方法
bs模型应用方法全文共四篇示例，供读者参考第一篇示例：BS模型是一种在金融领域广泛应用的定价模型，也被称为布莱克-斯科尔斯模型。
它是由费雪-布莱克-斯科尔斯三位学者于20世纪70年代提出的，被认为是期权定价理论的里程碑之一。
BS模型基于随机微分方程和对冲的思想，通过对资产价格的随机性建模，实现对期权价格的准确估计。
BS模型的应用范围广泛，可以用于股票、期权、债券等各种金融资产的定价和风险管理。
BS模型的核心思想是对冲，即通过在风险资产和无风险资产之间建立对冲组合，消除风险从而获得无风险收益。
BS模型通过建立对冲组合来合成一个复制品来估计期权价格，具有非常高的准确性。
在BS模型中，价格的波动被建模为布朗运动，通过这种方式，可以对未来价格的概率分布进行估计。
模型中的参数包括标的资产价格、期权行权价、无风险利率、资产价格的波动率和期限等，通过这些参数的组合，可以计算出期权的理论价格。
BS模型在金融实践中有着广泛的应用，比如在期权交易中通过估计期权价格进行交易决策。
投资者可以根据BS模型计算出的期权价格，进行买入或卖出操作，以实现风险对冲或套利。
BS模型还可以应用于股票、债券等金融资产的风险管理，帮助投资者更好地控制风险，并提高投资收益。
除了期权定价之外，BS模型还可以用于其他金融领域的问题，比如风险管理和投资组合优化。
通过对资产价格的波动性进行建模，可以更好地评估不同投资工具的风险和回报，从而帮助投资者做出更明智的投资决策。
在实际应用中，BS模型需要对参数进行估计，比如波动率可以通过历史数据进行计算得出。
模型还需要不断调整参数来适应市场的变化，以保持模型的准确性。
还需要对模型的假设进行检验，确保模型的有效性和适用性。
BS模型是一种非常有用的金融工具，可以帮助投资者更好地理解金融市场并做出明智的投资决策。
随着金融市场的不断发展和变化，BS模型也在不断演进和完善，为投资者提供更准确的定价和风险管理工具。
熟练掌握BS模型的应用方法对于金融从业者来说非常重要，可以帮助他们在市场竞争中脱颖而出。
布莱克斯克尔斯期权定价模型
2
当时，该模型是为了解决金融衍生品，特别是期 权定价的问题而建立的。
3
金融衍生品是一种金融合约，其价值取决于其他 金融资产或指标。
模型发展历程
布莱克斯克尔斯模型的发展得益于许多重要的突破，其 中包括
无套利原则：模型利用无套利原则，这意味着在市场上 不能通过买卖资产来赚取无风险利润。
欧式期权定价：该模型适用于欧式期权，即只能在到期 日行使的期权。
THANKS
感谢观看
研究前景展望
随着金融市场的不断发展和全球化进程的加速，布莱克斯克尔斯期权定价模型的应用前景将更加广泛 。例如，在跨境资本流动、国际金融市场分析以及企业风险管理等领域，布莱克斯克尔斯模型都有着 广泛的应用前景。
随着金融创新和科技进步的不断推进，未来的研究也可以探索将布莱克斯克尔斯模型与其他金融理论 和模型相结合，以得到更加全面和准确的金融市场分析和风险管理方法。例如，可以将布莱克斯克尔 斯模型与风险管理、投资组合优化等理论相结合，以得到更加全面和实用的金融解决方案。
与随机波动率模型的比较
总结词
考虑了波动率随机性，但模型更加复杂。
详细描述
相比于随机波动率模型，布莱克斯克尔斯模型能够更好地刻画波动率的随机性和 自相关性，从而更准确地预测金融衍生品价格的变动。但是，这也使得模型的数 学表达式更加复杂，需要更多的计算资源和更精细的数值计算技术。
与跳跃扩散模型的比较
总结词
考虑了价格跳跃，但跳跃参数难以确定。
详细描述
跳跃扩散模型相比于布莱克斯克尔斯模型，能够更好地刻画金融衍生品价格的 跳跃行为，从而更准确地预测价格变动。但是，跳跃扩散模型的参数更加难以 确定，需要更多的历史数据和更精细的统计方法。
06
Black-Scholes模型综述
( j !(n j)!) p (1 p)
j j 0
n
n!
n j
max[0, u j d n jS K ]] / r n
a na
假设存在最小的 a,使得当股票价格上涨次数为 a,而下跌次数为 n-a 时， u d
n
S K >0 成立。可以解出
a 是大于 log(K/ Sd ) / log(u/ d) 的最小整数。接下来我们可以改写定价公式为：
X t X 0e
1 (r 2 ) t Bt 2
，注意到 Bt / t 是正态分布，那么可以改写④为：
1 (r 2 )(T t) BT t 2
C (X, t) E[e
r (T t)
g(xe
)] e
r (T t)
g (xe
1 (r 2 )(T t) T t z 2
Cu Cd ， (u d)S
B
uCd dCu ⑥ ( u d ) r
由无套利条件，该组合与期权 C 在期末价值相同，则期初价值也应该相同，即 C=ΔS+B。把⑥代入，得
r d ur ) Cu ( ) Cd ] / r ud ud r d 简记为 C [ p Cu (1 p) Cd ] / r ，其中 p 。 ud C [(
一、 B-S 模型简介
首先，在建立 Black-Scholes 模型时，我们用到了如下假设： 资产价格遵从随机微分方程： 不限制卖空。 无交易费用和税收。 不存在套利机会。 证券交易为连续进行。 短期无风险利率 r 是常数。 在期权期限内，股票不支付股息。
dSt dt dB(t) ，其中 和 为常数。 St
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S1 100 e
0 e
价格回到初始水平。
100
• 收益通常符合正态分布。 例如，投资者以100元的价格买入一种股票， 投资收益增长10%的可能性或概率，与收益 减少-10%的可能性同样存在。所以，收益 符合正态分布的特征。
收益正态分布
ECT P (ST ST X X ) 1 P 0
8
其中， E[ST|ST>X]－－ 当ST >X时，ST的期望 值。 P－－ ST >X的概率。
• 上式（８）就是看涨期权到期时的期望值。那么， 在期权交易之初的合理价格就是对式（８）的贴现 值。 • 于是，期权的价格表达如下：
lnSt ~ lnS0 N t , t
（3） 其中S0是常数, ln(S0)=0.
ln1 loge e 0
0
• 由式（2），还可得到：
St N t , t ~e S0
以及预期收益：
4
St E[ln S 0
] t
5
• 在现实金融市场上，绝大多数的金融产品 如价格、利率等的变化，都呈对数正态分 布。B－S模型就是以此假定作为基础。 • 假定： 投资者以100元的价格买入某种股票，如果 股价一开始上升10%，然后又下跌10%，股 价是否回到初始状态100元呢？最终结果是 99元，而不是100元。
• 计算结果如下： 价格上涨10%：100×10%＝10, S1=100+10=110 价格下降10%：110×（－10％） ＝11, S2=110 - 11=99 结果：价格小于初始水平。
• 连续价格变动的刻度标示
67.03 74.08 81.87 90.48
100
110.52
122.14
134.99
149.18
连续价格递减
连续价格递增
• 从上述分析可知，价格的分布将是扭曲的 正态分布，称之为对数正态分布。价格上 涨时，分布呈扩张型态；价格下跌时，分 布呈压缩型态。
价格对数正态分布
随机密度
收益
• 现在，我们求证价格分布的特征。 设：价格每年上涨10%，四年内价格分别如 下： 100; 110.52; 122.14; 134.99; 149.18。 后一年的价格变动幅度大于前一年的价格变 动幅度。 再看： 价格每年下降10%,四年内价格分别如下： 100; 90.48; 81.87; 74.08; 67.03。 后一年的价格变动幅度小于前一年的价格变 动幅度。
C Pe 其中，
rt
E ST ST X X
随机密度
价格
• 现在我们回到收益定义：“收益为相对价格 的对数”，由于收益呈正态分布，满足：
St ln S 0
~ N t ,
t
（2）
式中， μ－－均值，这里指年收益率 σ－－方差开根，这里指年收益标准差
• 由上式（2）可知，价格的对数（不仅相对 价格的对数）也是正态分布，因为：
• 期权到期时，基础资产价格有两种可能： 1. 如果
ST >X 期权到期时溢价，并且 max（ST－X,0）＝ST－X
2. 如果
ST <X 期权到期时损价，并且 max（ST－X,0）＝0
• 如果把P定义为ST>X的概率，那么（7）式 可以重新表达为：
P E ST ST X X
布莱克－斯科尔斯模型
B－S Model
一. 金融资产的价格特征
• 正态分布现象在自然界和社会中是一种常 见现象。那么，金融资产的价格是否也具 有正态分布的特点呢？
• 符合正态分布的变量一般可以取负值，金 融资产的价格就不可能取负值。因此价格 不符合正态分布的假设。 • 但收益却可以取负值，收益通常符合正态 分布的假设。
e
0.0101
0.99
与前一种方法计算结果相同。
• 在金融领域，采用相对价格的对数比采用 相对价格本身计算，应用更为广泛。 • 首先，将相对价格的对数定义为收益：
St 1 收益＝相对价格的对数 ＝ln S t
（1）
• 例如：当初始价格为100，第一期收益提高（＋ 10%），第二期收益下降（－10%），由式（1） 计算得到：
• 也可以将相对价格相乘而获得同样的 结果，即： 110/100=1.10 以及 99/110=0.90 相对价格的乘积为： 1.10×0.90=0.99 再将此结果乘以初始价格就是所得到结 果。
• 我们还可以取相对价格的对数之和计算： ln(110/100)＝0.0953 ln(99/110)＝－ 0.1054 根据两个数字的对数之和等于其乘积的对 数，有： ln [ (110/100)×(99/110) ]＝－0.0101 由于，
• 根据期望值的对数与对数的期望值之间的 关系，如果x是一随机变量，则有： ln [E(x)] = E [ ln(x)] + 0.5 var [ ln(x)] 其中:
E ln x t 1 2 0.5 varln x t 2
St x S0
• 所以，相对价格的期望就可以表达如下：
• 在连续分布条件下，某一范围的特定结果 的概率应由该段曲线以下的面积来表示。
• 根据看涨期权的定义，期权到期时的期望 值是：
E CT E maxST X ,0 其中，
7
E CT 看涨期权到期时的期望 值 ST 到期时的基础资产价格 X 期权的执行价格
t St E e S 0 2t
2
6
小结
• 利用相对价格的自然对数估算收益。 式（1） • 收益遵循正态分布。式（2） • 价格遵循对数正态分布。式（4） • 相对价格的期望表达式（6）。
二. 期权定价的B－S模型
• 金融资产的合理价格是这种资产的期望值。 这一原理同样适用于期权。 • 期权到期时的合理价格就是可能出现的每 一种价值与其概率的乘积之和。 • 期权可以取任意多的价值，所以应该采用 连续分布。