高考数学一轮复习等比数列及其前n项和课件文
(2)也可利用性质a
2 3
＝a1·a5，a
2 5
＝a2·a8，直接求得a3，a5，进而
求得an.
解 因为a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，所以a23＋2a3a5＋a25＝25. 又an＞0，所以a3＋a5＝5. 又a3与a5的等比中项为2，所以a3a5＝4， 而q∈(0,1)，所以a3＞a5. 所以a3＝4，a5＝1，q＝12，a1＝16. 所以an＝16×12n－1＝25－n.
1 an
，
{a2n}，{an·bn}，abnn仍是等比数列．
(4)公比不为－1的等比数列{an}的前n项和为Sn，则Sn，S2n－ Sn，S3n－S2n仍成等比数列，其公比为 qn. 5．等比数列的前n项和公式 等比数列{an}的公比为q(q≠0)，其前n项和为Sn， 当q＝1时，Sn＝na1； 当q≠1时，Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq.
5．(2011·广东)已知{an}是递增等比数列，a2＝2，a4－a3＝4， 则此数列的公比q＝________. 解析 由a4－a3＝a2q2－a2q＝2q2－2q＝4， 解得q＝2(q＞1)． 答案 2
考向一 等比数列基本量的计算 【例1】►(2011·全国)设等比数列{an}的前n项和为Sn，已知a2＝ 6,6a1＋a3＝30.求an和Sn. [审题视点] 列方程组求首项a1和公差d.
解得b1＝54. 所以{bn}是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为 bn＝54·2n－1＝5·2n－3.(6分)
(2)证明 数列{bn}的前n项和Sn＝5411－－22n＝5·2n－2－54，即Sn＋54 ＝5·2n－2. 所以S1＋54＝52，SSn＋n＋1＋5454＝55··22nn－－12＝2. 因此Sn＋54是以52为首项，公比为2的等比数列．(12分)
【示例】►(本题满分12分)(2011·湖北)成等差数列的三个正数的 和等于15，并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列 {bn}中的b3、b4、b5. (1)求数列{bn}的通项公式； (2)数列{bn}的前n项和为Sn，求证：数列Sn＋54是等比数列．
正确设等差数列的三个正数，利用等比数列的性质解出公差 d，从而求出数列{bn}的首项、公比；利用等比数列的定义可 解决第(2)问．
[尝试解答] (1)设{an}的公比为q，则b1＝1＋a，b2＝2＋aq， b3＝3＋aq2， 由b1，b2，b3成等比数列得(2＋aq)2＝(1＋a)(3＋aq2)， 即aq2－4aq＋3a－1＝0. 由a＞0得，Δ＝4a2＋4a＞0，故方程有两个不同的实根． 再由{an}唯一，知方程必有一根为0，将q＝0代入方程得a＝13.
证明一个数列为等比数列常用定义法与等比中项法，其他方 法只用于选择、填空题中的判定；若证明某数列不是等比数 列，则只要证明存在连续三项不成等比数列即可．
【训练2】 已知数列{an}的前n项和Sn＝2an＋1，求证：{an}是 等比数列，并求出通项公式． 证明 ∵Sn＝2an＋1，∴Sn＋1＝2an＋1＋1. ∴an＋1＝Sn＋1－Sn ＝(2an＋1＋1)－(2an＋1) ＝2an＋1－2an. ∴an＋1＝2an， 又∵S1＝2a1＋1＝a1，∴a1＝－1≠0. 又由an＋1＝2an知an≠0， ∴aan＋n 1＝2.∴{an}是等比数列． ∴an＝－1×2n－1＝－2n－1.
三种方法
等比数列的判断方法有：
(1)定义法：若
an＋1 an
＝q(非零常数且
n≥2)，则{an}是等比数列；
(2)中项公式法：在数列{an}中，an≠0且a
2 n＋1
＝an·an＋2(n∈N*)，
则数列{an}是等比数列；
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成an＝c·qn(c，q均是不为
【试一试】 (1)已知两个等比数列{an}，{bn}，满足a1＝a(a＞ 0)，b1－a1＝1，b2－a2＝2，b3－a3＝3，若数列{an}唯一，求a 的值； (2)是否存在两个等比数列{an}，{bn}，使得b1－a1，b2－a2，b3 －a3，b4－a4成公差不为0的等差数列？若存在，求{an}，{bn} 的通项公式；若不存在，说明理由．
2．已知{an}是等比数列，a2＝2，a5＝14，则公比q＝(
)．
A．－12
B．－2
C．2
1 D.2
解析 答案
由题意知：q3＝aa25＝18，∴q＝12. D
3．在等比数列{an}中，a4＝4，则a2·a6等于( )． A．4 B．8 C．16 D．32 解析 由等比数列的性质得：a2a6＝a24＝16. 答案 C
考向二 等比数列的判定或证明
【例2】►(2012·长沙模拟)已知数列{an}满足a1＝1，a2＝2，an＋2 ＝an＋2an＋1，n∈N*.
(1)令bn＝an＋1－an，证明：{bn}是等比数列；
(2)求{an}的通项公式．
[审题视点]
第(1)问把bn＝an＋1－an中an＋1换为
an－1＋an 2
关于等差(比)数列的基本运算，其实质就是解方程或方程 组，需要认真计算，灵活处理已知条件．容易出现的问题主要 有两个方面：一是计算出现失误，特别是利用因式分解求解方 程的根时，不注意对根的符号进行判断；二是不能灵活运用等 差(比)数列的基本性质转化已知条件，导致列出的方程或方程 组较为复杂，增大运算量．
在解决等比数列的有关问题时，要注意挖掘隐含条件，利用 性质 ，特别是性质“若m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq”，可以 减少运算量，提高解题速度．
【训练3】 (1)已知等比数列{an}中，有a3a11＝4a7，数列{bn}是 等差数列，且b7＝a7，求b5＋b9的值； (2)在等比数列{an}中，若a1a2a3a4＝1，a13a14a15a16＝8，求 a41a42a43a44. 解 (1)∵a3a11＝a27＝4a7，∵a7≠0，∴a7＝4，∴b7＝4， ∵{bn}为等差数列，∴b5＋b9＝2b7＝8.
解 设{an}的公比为q，由题设得a61aq1＝ ＋6a， 1q2＝30， 解得aq1＝＝23， 或aq1＝＝32.， 当a1＝3，q＝2时，an＝3·2n－1，Sn＝3·(2n－1)； 当a1＝2，q＝3时，an＝2·3n－1，Sn＝3n－1.
等比数列基本量的运算是等比数列中的一类基本问题，数列 中有五个量a1，n，q，an，Sn一般可以“知三求二”，通过列 方程(组)可迎刃而解．
[解答示范] (1)解 设成等差数列的三个正数分别为a－d，a， a＋d. 依题意，得a－d＋a＋a＋d＝15， 解得a＝5.(2分) 所以{bn}中的b3，b4，b5依次为7－d,10,18＋d. 依题意，有(7－d)(18＋d)＝100，解得 d＝2或d＝－13(舍去)．(4分) 故{bn}的第3项为5，公比为2， 由b3＝b1·22，即5＝b1·22，
一个推导 利用错位相减法推导等比数列的前n项和： Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－1， 同乘q得：qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn， 两式相减得(1－q)Sn＝a1－a1qn，∴Sn＝a111－－qqn(q≠1)．
两个防范 (1)由an＋1＝qan，q≠0并不能立即断言{an}为等比数列，还要验 证a1≠0. (2)在运用等比数列的前n项和公式时，必须注意对q＝1与q≠1 分类讨论，防止因忽略q＝1这一特殊情形导致解题失误．
考向三 等比数列的性质及应用
【例3】►在等比数列{an}中，an＞0(n∈N*)公比q∈(0,1)，且 a1a5＋2a3a5＋a2a8＝25，a3与a5的等比中项为2，求数列{an}的 通项公式．
[审题视点] (1)由已知条件可得a1与公比q的方程组，解出a1、
q，再利用通项公式即可得a3、a5，即而求出an.
0的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
注 前两种方法也可用来证明一个数列为等比数列．
双基自测
1．(人教A版教材习题改编)在等比数列{an}中，如果公比q＜
1，那么等比数列{an}是( )．
A．递增数列
B．递减数列
C．常数列
D．无法确定数列的增减性
解析 当a1＞0,0＜q＜1，数列{an}为递减数列， 当q＜0，数列{an}为摆动数列． 答案 D
【训练1】
等比数列{an}满足：a1＋a6＝11，a3·a4＝
32 9
，且公
比q∈(0,1)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若该数列前n项和Sn＝21，求n的值．
解 (1)∵a3·a4＝a1·a6＝392， 又a1＋a6＝11， 故a1，a6看作方程x2－11x＋392＝0的两根， 又q∈(0,1)∴a1＝332，a6＝13， ∴q5＝aa16＝312，∴q＝12， ∴an＝332·12n－1＝13·12n－6.
规范解答10——怎样求解等差与等比数列的综合性问题 【问题研究】 等差数列和等比数列既相互区别，又相互联系， 高考作为考查学生综合能力的选拔性考试，将两类数列综合起 来考查是高考的重点.这类问题多属于两者基本运算的综合题以 及相互之间的转化. 【解决方案】 首先求解出两个数列的基本量：首项和公差及公 比，再灵活利用性质转化条件，以及利用等差、等比数列的相 关知识解决.
3．等比中项 若 G2＝a·b(ab≠0) ，那么G叫做a与b的等比中项．
4．等比数列的常用性质 (1)通项公式的推广：an＝am·qn－m，(n，m∈N＋)．
(2)若{an}为等比数列，且k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N＋)， 则 ak·al＝am·an .
(3)若{an}，{bn}(项数相同)是等比数列，则{λan}(λ≠0)，
4．设Sn为等比数列{an}的前n项和，8a2＋a5＝0，则SS52＝ ( )．
A．－11 B．－8 C．5 D．11 解析 设等比数列的首项为a1，公比为q.因为8a2＋a5＝0，所 以8a1q＋a1q4＝0. ∴q3＋8＝0，∴q＝－2， ∴SS52＝a111－－qq5·a111－－qq2 ＝11－－qq52＝1－1－－425＝－11. 答案 A
高考数学大一轮总复习 第五章 数列 5.3 等比数列及其前n项和课件 文 北师大版
【解析】 设数列{an}的公比为 q，由已知条件可得
aa121＋ q3＝a1q83，＝9，
a1＝8， 解得q＝12
或aq1＝＝21，，
因为{an}是递增的等比数列，所以aq1＝＝21。， 所以{an}是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，故 Sn＝2n－1。
(2)已知{an}是首项为 1 的等比数列，Sn 是{an}的前 n 项和，且 9S3＝S6，
解析 ∵an＋1＝2an，即aan＋n1＝2， ∴{an}是以 2 为公比的等比数列。 又 a1＝2，∴Sn＝211－－22n＝126。
∴2n＝64。∴n＝6。
R 热点命题 深度剖析
考点一 等比数列的基本运算
【例1】 (1)(2015·安徽卷)已知数列{an}是递增的等比数列，a1＋a4＝ 9，a2a3＝8，则数列{an}的前n项和等于_2_n_－__1___。
(ห้องสมุดไป่ตู้)等比中项：如果a，G，b成等比数列，那么_G____叫做a与b的等比 中项。即G是a与b的等比中项⇔a，G，b成等比数列⇒_G_2＝__a_b_____。
2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝__a_1_q_n_－_1 ______。
_n_a_1，q＝1， (2)前 n 项和公式：Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq，q≠1。
B．必要而不充分条件
C．充要条件
D．既不充分也不必要条件
解析
等
比
数
列
{an}
为
递
增
数
列
的
充
要
条
件
为
a1>0， q>1
或
a01<<q0<，1。 故“q>1”是“{an}为递增数列”的既不充分也不必要条件。
高考数学一轮复习第四章第三讲等比数列及其前n项和课件
解：(1)由题意，设等比数列{an}的公比为 q(q≠0)， 则由 a4＝8a1， 可得 q3＝aa41＝8，解得 q＝2， ∴S6＝a1(11－－226)＝63a1＝63，解得 a1＝1. ∴an＝1×2n-1＝2n-1，n∈N*.
(2)由(1)可得 bn＝1＋2log2an＝1＋2log22n-1＝1＋2·(n－1)， 故数列{bn}是以 1 为首项，2 为公差的等差数列， 设等差数列{bn}的前 n 项和为 Tn， 则 Tn＝n·1＋n(n2－1)·2＝n2. ∴b7＋b8＋b9＋…＋bk＋7＝Tk＋7－T6＝(k＋7)2－62＝k2＋14k＋ 13，
(1)证明：由 a1＝1 及 Sn＋1＝4an＋2，
有 a1＋a2＝S2＝4a1＋2.
∴a2＝5，∴b1＝a2－2a1＝3.
又SSnn＋ ＝1＝4a4na－n1＋ ＋22， (n≥2)，
① ②
①－②，得 an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，
∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2).
【变式训练】 1.(多选题)设等比数列{an}的公比为 q，则下列说法正确的是 ()
A.数列{anan＋1}是公比为q2的等比数列 B.数列{an＋an＋1}是公比为q的等比数列 C.数列{an－an＋1}是公比为q的等比数列 D.数列a1n是公比为1q的等比数列
解析：对于 A，由aanna－n1＋ a1n＝q2(n≥2)知数列{anan＋1}是公比为 q2 的等 比数列，A 正确；对于 B，当 q＝－1 时，数列{an＋an＋1}的项中有 0， 不是等比数列，B 错误；对于 C，当 q＝1 时，数列{an－an＋1}的项中
第三讲 等比数列及其前n项和
1.理解等比数列的概念. 2.掌握等比数列的通项公式与前 n 项和公式. 3.能在具体的问题情境中识别数列的等比关系，并能用等比数 列的有关知识解决相应的问题. 4.了解等比数列与指数函数的关系.
高考数学一轮复习第六章数列第三节等比数列及其前n项
d 1, d 3, (舍去)或 q 2. q 0
因此{bn}的通项公式为bn=2n-1. (2)由b1=1,T3=21得q2+q-20=0. 解得q=-5或q=4. 当q=-5时,由①得d=8,则S3=21. 当q=4时,由①得d=-1,则S3=-6.
an1 表示,定义的表达式为 =q(n∈N*). an
2.等比数列的通项公式
等比数列{an}的通项公式为an=⑤ a1qn-1 .
3.等比中项
若⑥ G2=ab(ab≠0) ,则G叫做a与b的等比中项.
4.等比数列的常用性质
(1)通项公式的推广:an=am· ⑦ qn-m (n,m∈N*). (2)若{an}为等比数列,且k+l=m+n(k,l,m,n∈N*),则⑧ akal=aman .
考点突破
考点一 等比数列的基本运算
典例1 (2017课标全国Ⅱ,17,12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn,等 比数列{bn}的前n项和为Tn,a1=-1,b1=1,a2+b2=2. (1)若a3+b3=5,求{bn}的通项公式; (2)若T3=21,求S3.
解析 设{an}的公差为d,{bn}的公比为q,
2 4
2.在等比数列{an}中,已知a7a12=5,则a8a9a10a11= ( B )
A.10 B.25 C.50 D.75
答案 B பைடு நூலகம்a7a12=5,∴a8a9a10a11=(a8a11)(a9a10)=(a7a12)2=25.
2023版高考数学一轮总复习：等比数列及其前n项和课件文
.
• 考向扫描
• 考向1 • 等比数列的判定与证明
• 1. 典例 [2019全国卷Ⅱ]已知数列{an}和{bn}满足
a1=1,b1=0,4an+1=3an-bn+4,4bn+1=3bn-an-4.
• (1)证明:{an+bn}是等比数列,{an-bn}是等差数列.
• 3.等比数列的通项公式及其变形
n-1
a
=
a
·
q
• 通项公式: n 1
,其中a1是首项,q是公比.
• 通项公式的变形:an=am·qn-m.
• 考点1 • 等比数列
• 4.等比数列与指数函数的关系
•
1 n
当q>0且q≠1时,an= ·q 可以看成函数y=cqx,其表示一个不为0的常数
与指数函数的乘积.因此等比数列{an}各项所对应的点都在函数y=cqx的
• (2)求{an}和{bn}的通项公式.
• 考向1 • 等比数列的判定与证明
• 考向1 • 等比数列的判定与证明
• 方法技巧
等比数列的判定与证明常用的方法
定义法
等比中项法
通项
若数列{an}的通项公式可写成an=c·qn-1(c,q均为非零常数),
公式法
则{an}是等比数列
前n项和
若数列{an}的前n项和Sn=k·qn-k(k为非零常数,q≠0且q≠1),
数列.
等比
注意 当q=-1且k为偶数时,Sk,S2k-Sk, S3k-S2k,…不是等比数列
.
•
2 3
(3)若a1·a2·…·an=Tn,则Tn, , ,…成等比数列.
高考数学一轮总复习 第5章 数列 第三节 等比数列及其前n项和课件 文 新人教A版
项．即：G 是 a 与 b 的等比中项⇔a，G，b 成等比数列
⇒ G2＝ab .
2．等比数列的有关公式
(1)通项公式：an＝ a1qn－1 . na1 ，q＝1，
(2)前 n 项和公式：Sn＝a111－－qqn＝a11－－aqnq，q≠1.
(2)中项公式法：若数列{an}中，an≠0 且 an2＋1＝an·an＋2(n∈ N*)，则数列{an}是等比数列．
(3)通项公式法：若数列通项公式可写成 an＝c·qn－1(c，q 均 是不为 0 的常数，n∈N*)，则{an}是等比数列．
(4)前 n 项和公式法：若数列{an}的前 n 项和 Sn＝k·qn－k(k 为常数且 k≠0，q≠0,1)，则{an}是等比数列．
常见的命题角度有： (1)求首项 a1，公比 q 或项数 n； (2)求通项或特定项； (3)求前 n 项和．
[题点全练]
角度一：求首项 a1，公比 q 或项数 n
1．(2015·济南二模)已知等比数列{an}的公比为正数，且 a3a9＝2a25，
a2＝2，则 a1＝
()
1 A.2 C. 2
2 B. 2 D．2
解析：∵a，b，c 成等比数列，∴b2＝a·c＝(5＋2 6)(5－2 6) ＝1.又 b＞0，∴b＝1. 答案：1
1．特别注意 q＝1 时，Sn＝na1 这一特殊情况． 2．由 an＋1＝qan，q≠0，并不能立即断言{an}为等比数列，
还要验证 a1≠0. 3．在运用等比数列的前 n 项和公式时，必须注意对 q＝1 与
解：由 an＋2＝p·aa2n＋n1，得aann＋＋12＝p·aan＋n 1.
令 cn＝aan＋n 1，则 c1＝a，cn＋1＝pcn.
高考数学一轮复习第六章数列第三节等比数列及其前n项和课件文
B.31
C.63
D.64
a4 a5 a8 a1 q 3 a2 q 3 a5 q 3 q 3 (a1 a2 a5 ) 3 ∵ = = =q =8, a1 a2 a5 a1 a2 a5 a1 a2 a5
答案 B ∵a7a12=5,∴a8a9a10a11=(a8a11)(a9a10)=(a7a12)2=25.
a4 a5 a8 4.(2016北京丰台一模)已知等比数列{an}中a1=1,且 =8,那么S5 a1 a2 a5
的值是 ( B ) A.15 答案 B ∴q=2. 又∵a1=1,
如果一个数列从① 第二项 起,每一项与前一项的比等于② 同一个常数 ,
那么这个数列就叫做等比数列,这个常数叫做等比数列的③ 公比 ,通常用字
n 1 母④ q 表示,定义的表达式为 =q(n∈N*).
a an
2.等比数列的通项公式
等比数列{an}的通项公式为an=⑤ a1qn-1 .
3.等比中项
公比不为-1的等比数列{an}的前n项和为Sn,则Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数 列,其公比为
与等比数列有关的结论 (1)an=am· qn-m,an+m=anqm=amqn(m,n∈N*). (2)a1a2a3…am,am+1am+2…a2m,a2m+1a2m+2…a3m,…成等比数列(m∈N*). (3)若等比数列的项数为2n(n∈N*),公比为q,奇数项之和为S奇,偶数项之
6.(2017北京朝阳期中)各项均为正数的等比数列{an}的前n项和为Sn,若a3=2, S4=5S2,则a1的值为 答案
2024年高考数学一轮复习课件(新高考版) 第6章 §6.3 等比数列
2024年高考数学一轮复习课件（新高考版）第六章 数 列§6.3 等比数列考试要求1.理解等比数列的概念.2.掌握等比数列的通项公式与前n项和公式.3.了解等比数列与指数函数的关系.内容索引第一部分第二部分第三部分落实主干知识探究核心题型课时精练第一部分1.等比数列有关的概念(1)定义：如果一个数列从第 项起，每一项与它的前一项的比都等于 常数，那么这个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的，公比通常用字母q (q ≠0)表示.(2)等比中项：如果在a 与b 中间插入一个数G ，使 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项，此时，G 2＝ .2同一个公比a ，G ，b ab2.等比数列的通项公式及前n项和公式a1q n－1(1)若等比数列{a n}的首项为a1，公比是q，则其通项公式为a n＝.(2)等比数列通项公式的推广：a n＝a m q n－m.(3)等比数列的前n项和公式：当q＝1时，S n＝na1；当q≠1时，S n＝________＝ .3.等比数列性质(1)若m ＋n ＝p ＋q ，则，其中m ，n ，p ，q ∈N *.特别地，若2w ＝m ＋n ，则 ，其中m ，n ，w ∈N *.(2)a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…仍是等比数列，公比为 (k ，m ∈N *).a m a n ＝a p a q q mS2n－S n S3n－S2n(4)等比数列{a n}的前n项和为S n，则S n，，仍成等比数列，其公比为q n.(n为偶数且q＝－1除外)增减常用结论1.等比数列{a n}的通项公式可以写成a n＝cq n，这里c≠0，q≠0.2.等比数列{a n}的前n项和S n可以写成S n＝Aq n－A(A≠0，q≠1,0).3.数列{a n}是等比数列，S n是其前n项和.判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)三个数a ，b ，c 成等比数列的充要条件是b 2＝ac .( )(2)当公比q >1时，等比数列{a n }为递增数列.( )(3)等比数列中所有偶数项的符号相同.( )(4)数列{a n }为等比数列，则S 4，S 8－S 4，S 12－S 8成等比数列.( )√×××1.设a，b，c，d是非零实数，则“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的A.充分不必要条件√B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件若a，b，c，d成等比数列，则ad＝bc，数列－1，－1,1,1.满足－1×1＝－1×1，但数列－1，－1，1,1不是等比数列，即“ad＝bc”是“a，b，c，d成等比数列”的必要不充分条件.2.设等比数列{a n}的前n项和为S n.若S2＝3，S4＝15，则S6等于√A.31B.32C.63D.64根据题意知，等比数列{a n}的公比不是－1.由等比数列的性质，得(S4－S2)2＝S2·(S6－S4)，即122＝3×(S6－15)，解得S6＝63.3.已知三个数成等比数列，若它们的和等于13，积等于27，则这三个数1,3,9或9,3,1为____________.∴这三个数为1,3,9或9,3,1.第二部分例1 (1)(2022·全国乙卷)已知等比数列{a n}的前3项和为168，a2－a5＝42，则a6等于√A.14B.12C.6D.3方法一 设等比数列{a n}的公比为q，易知q≠1.所以a6＝a1q5＝3，故选D.方法二 设等比数列{a n}的公比为q，所以a6＝a1q5＝3，故选D.(2)(2023·桂林模拟)朱载堉(1536～1611)是中国明代一位杰出的音乐家、数学家和天文历算家，他的著作《律学新说》中阐述了最早的“十二平均律”.十二平均律是目前世界上通用的把一组音(八度)分成十二个半音音程的律制，各相邻两律之间的频率之比完全相等，亦称“十二等程律”.即一个八度13个音，相邻两个音之间的频率之比相等，且最后一√设第一个音的频率为a ，相邻两个音之间的频率之比为q ，那么a n ＝aq n －1，根据最后一个音的频率是最初那个音的2倍，得a 13＝2a ＝aq 12，即q ＝ ，1122思维升华等比数列基本量的运算的解题策略(1)等比数列中有五个量a1，n，q，a n，S n，一般可以“知三求二”，通过列方程(组)可迎刃而解.(2)解方程组时常常利用“作商”消元法.(3)运用等比数列的前n项和公式时，一定要讨论公比q＝1的情形，否则会漏解或增解.跟踪训练1 (1)设正项等比数列{a n}的前n项和为S n，若S2＝3，S4＝15，则公比q等于√A.2B.3C.4D.5∵S2＝3，S4＝15，∴q≠1，(2)在1和2之间插入11个数使包含1和2的这13个数依次成递增的等比数列，记插入的11个数之和为M，插入11个数后这13个数之和为N，则依此规则，下列说法错误的是A.插入的第8个数为B.插入的第5个数是插入的第1个数的倍C.M>3√D.N<7设该等比数列为{a n}，公比为q，则a1＝1，a13＝2，插入的第5个数为a6＝a1q5，插入的第1个数为a2＝a1q，112112-要证M >3，即证－1－ >3，112112-112121-即证 >4，1122N ＝M ＋3.1122112121 所以 >5，所以－1－ >4，即M >4，112112 所以N ＝M ＋3>7，故D 错误.例2 已知数列{a n}的各项均为正数，记S n为{a n}的前n项和，从下面①②③中选取两个作为条件，证明另外一个成立.①数列{a n}是等比数列；②数列{S n＋a1}是等比数列；③a2＝2a1.注：如果选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.选①②作为条件证明③：设S n＋a1＝Aq n－1(A≠0)，则S n＝Aq n－1－a1，当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝Aq n－2(q－1)，解得q＝2，所以a2＝2a1.选①③作为条件证明②：因为a2＝2a1，{a n}是等比数列，所以公比q＝2，选②③作为条件证明①：设S n＋a1＝Aq n－1(A≠0)，则S n＝Aq n－1－a1，当n＝1时，a1＝S1＝A－a1，所以A＝2a1；当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝Aq n－2(q－1)，因为a2＝2a1，所以A(q－1)＝A，解得q＝2，所以当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝Aq n－2(q－1)＝A·2n－2＝a1·2n－1，所以{a n}为等比数列.思维升华(3)前n项和公式法：若数列{a n}的前n项和S n＝k·q n－k(k为常数且k≠0，q≠0,1)，则{a n}是等比数列.跟踪训练2 在数列{a n}中，＋2a n＋1＝a n a n＋2＋a n＋a n＋2，且a1＝2，a2＝5.(1)证明：数列{a n＋1}是等比数列；所以(a n＋1＋1)2＝(a n＋1)(a n＋2＋1)，因为a1＝2，a2＝5，所以a1＋1＝3，a2＋1＝6，所以数列{a n＋1}是以3为首项，2为公比的等比数列.(2)求数列{a n}的前n项和S n.由(1)知，a n＋1＝3·2n－1，所以a n＝3·2n－1－1，√∵a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的两根，∴a1＋a13＝13，a1·a13＝9，又数列{a n}为等比数列，等比数列奇数项符号相同，可得a7＝3，(2)已知正项等比数列{a n}的前n项和为S n且S8－2S4＝6，则a9＋a10＋a1124＋a12的最小值为______.由题意可得S8－2S4＝6，可得S8－S4＝S4＋6，由等比数列的性质可得S4，S8－S4，S12－S8成等比数列，则S4(S12－S8)＝(S8－S4)2，当且仅当S4＝6时等号成立.综上可得，a9＋a10＋a11＋a12的最小值为24.思维升华(1)等比数列的性质可以分为三类：一是通项公式的变形，二是等比中项的变形，三是前n项和公式的变形，根据题目条件，认真分析，发现具体的变化特征即可找出解决问题的突破口.(2)巧用性质，减少运算量，在解题中非常重要.跟踪训练3 (1)(2023·六安模拟)在等比数列{a n}中，若a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，则a7＋a8等于√A.40B.36C.54D.81在等比数列{a n}中，a1＋a2，a3＋a4，a5＋a6，a7＋a8成等比数列，∵a1＋a2＝16，a3＋a4＝24，(2)等比数列{a n}共有奇数个项，所有奇数项和S奇＝255，所有偶数项和S偶＝－126，末项是192，则首项a1等于√A.1B.2C.3D.4∵a n＝192，√∵a1a2…a8＝16，∴a1a8＝a2a7＝a3a6＝a4a5＝2，第三部分1.(2023·岳阳模拟)已知等比数列{a n}满足a5－a3＝8，a6－a4＝24，则a3等于√A.1B.－1C.3D.－3设a n＝a1q n－1，∵a5－a3＝8，a6－a4＝24，2.数列{a n}中，a1＝2，a m＋n＝a m a n，若a k＋1＋a k＋2＋…＋a k＋10＝215－25，则k等于√A.2B.3C.4D.5令m＝1，则由a m＋n＝a m a n，得a n＋1＝a1a n，所以a n＝2n，所以a k＋1＋a k＋2＋…＋a k＋10＝2k (a1＋a2＋…＋a10)＝215－25＝25×(210－1)，解得k＝4.3.若等比数列{a n}中的a5，a2 019是方程x2－4x＋3＝0的两个根，则log3a1＋log3a2＋log3a3＋…＋log3a2 023等于√。
高中一轮复习文数通用版课件：第六章第三节等比数列及其前n项和
[全练题点]
5 5 1．已知等比数列{an}的前 n 项和为 Sn，且 a1＋a3＝ ，a2＋a4＝ ， 2 4 Sn 则a ＝ n A．4n
－1
( B．4n－1 D．2n－1
)
C．2n－1
解析：设{an}的公比为 q， 5 5 2 ⅰ a1＋a3＝2， a1＋a1q ＝2， ∵ ∴ a2＋a4＝5， a1q＋a1q3＝5， ⅱ 4 4 1＋q2 1 由(ⅰ)(ⅱ)可得 ＝2，∴q＝ ，代入(ⅰ)得 a1＝2， 2 q＋q3 1 1－ n 2 × 1 － 1 4 Sn 2 n 1 ∴ an ＝ 2× 2 ＝ n ， ∴ Sn ＝ ＝ 4 1－2n ， ∴ a ＝ 2 1 n 1－ 2 1 41－2n 答案：D ＝2n－1，选 D. 4 2n
2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：an＝
a1qn－1 .
na 1 ，q＝1， n a1－anq a 1 － q (2)前 n 项和公式： Sn＝ 1 1－q 1－q ＝
，q≠1.
[ 基本能力]
1．判断题 (1)满足 an＋1＝qan(n∈N *，q 为常数)的数列{an}为等比数列． ( × ) (2)G 为 a，b 的等比中项⇔G2＝ab. ( ×)
第三节
等比数列及 其前n项和
本节主要包括 3 个知识点： 1.等比数列基本量的计算； 2.等比数列的性质； 3.等比数列的判定与证明.
01 02
03 04
突破点(一) 等比数列基本量的计算
突破点(二) 等比数列的性质
突破点(三) 等比数列的判定与证明
全国卷5年真题集中演练——明规律
05
课时达标检测
2．(2018· 赣州摸底)Sn 是等比数列{an}的前 n 项和，若 S4，S3， S5 成等差数列，则{an}的公比 q 的值为 1 A. 2 B．2 ( )
2025届高中数学一轮复习课件《等比数列》ppt
高考一轮总复习•数学
第13页
题型
等比数列基本量的计算
典例 1(1)(2023·全国甲卷，理)已知正项等比数列{an}中，a1＝1，Sn 为{an}的前 n 项和，
S5＝5S3－4，则 S4＝( )
A．7
B．9
C．15
D．30
(2)(2023·全国甲卷，文)记 Sn 为等比数列{an}的前 n 项和．若 8S6＝7S3，则{an}的公 转化为基本量 a1，q 的方程．高考试题的设计也常以基本量的计算为主．
第26页
对点练 2(1)在等比数列{an}中，a1，a17 是方程 x2－14x＋9＝0 的两根，则a2aa916的值为 ()
A. 14
B．3
C．± 14
D．±3
(2)在各项都为正数的等比数列{an}中，已知 0<a1<1，其前 n 项之积为 Tn，且 T12＝T6， 则 Tn 取得最小值时，n 的值是____9____．
率之比相等，且最后一个音的频率是最初那个音的 2 倍．设第二个音的频率为 f1，第八个
音的频率为 f2，则ff21等于(
)
A.11 26
B.8 2
12 C. 2
D．412 2
答案
高考一轮总复习•数学
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(2)在 1 和 2 之间插入 11 个数使包含 1 和 2 的这 13 个数依次成递增的等比数列，记插 入的 11 个数之和为 M，插入 11 个数后这 13 个数之和为 N，则依此规则，下列说法错误的 是( )
高考一轮总复习•数学
第24页
解析：(1)a11＋a12＋…＋a18＝a1a＋1aa8 8＋aa2＋2a7a7＋a3a＋3aa6 6＋a4a＋4aa5 5. 巧妙应用积的对称性，把两个条件代入求值，此法只适用于偶数项的情形．若奇数项呢？
高考数学一轮复习 5.3等比数列及其前n项和课件 文 湘教版
n 成等差数列，且 am－1，as－1，an－1 成等比数列？ 如果存在，请给以证明；如果不存在，请说明理由．
a
9
(1)证明：因为 1 2 1
an1 3 3an
所以
. 1 1 1
an1
3an
1313a1n1
又因为
1 1 a1
≠0，所以
1 1 an
≠0(n∈N*)，
所以数列
1
a
n
(2)由(1)可得
【解析】∵{an}是公比为2的等比数列，且a3－a1＝6，
∴4a1－a1＝6，即a1＝2，∴an＝2·2n－1＝2n，∴ 1
即数列
1
a
2 n
是首项为
1 4
1
，公比为
4
a
2 n
的等比数列，
1 n 4
∴
1 a12
a122
... a1n2
1411141n13141n
4
【答案】2
1 3
1
1 4n
N*），则{an}是等比数列.
（4）前 n 项和公式法:若数列{an}的前 n 项和 Sn=k·qn-k（k 为常数且 k≠0，q≠0，1），
则{an}是等比数列.
【提醒】 （1）前两种方法是证明等比数列的常用方法,而后两种方法常用于选择、
填空中的判定.
（2）若要判定一个数列不是等比数列，则只需判定存在连续三项不成等比即可.
列，且 b7 ＝ a7 ，则 b6b8 等于
()
A.2
B.4
C.8
D.16
【解析】由题意可知， b6b8 ＝ b72 ＝ a72 ＝2( a3 a11)＝4 a7 .
∵2 a3－ a72 ＋2 a11＝0,4 a7 a72 =0.∵ a7 ≠0，∴ a7 ＝4，∴b6b8 =16.