生物统计学教案(3)

生物统计学教案

第三章几种常见的概率分布律

教学时间：3学时

教学方法：课堂板书讲授

教学目的：重点掌握正态分布，掌握二项分布，了解泊松分布，中心极限定律。

讲授难点：正态分布、二项分布

3.1 二项分布（重点）

3.1.1 二项分布的概率函数

满足二项分布的条件：

1、在一随机试验中，每次试验都有两种不同的结果。

2、两种结果是互不相容的。

3、每一种结果在每次试验中都有恒定的概率。

4、试验间应是独立的。

独立地将此试验重复n次，求在n此试验中，一种结果出现x次的概率是多少？

例：从雌雄各半的100只动物中抽样，抽样共进行10次，问

其中包括3只雄性动物的概率是多少？包括3只及3只以下的概率是多少？即求P （X＝3）和P（X≤3）

该例符合二项分布的条件。规定以下一组符号：

n＝试验次数

x ＝在n次试验中事件A出现的次数

φ＝事件A发生的概率（每次试验都是恒定的） 1－φ＝事件A发生的概率

p(x) = x的概率函数＝P（X＝x）

（累积分布函数） F (x ) = P ( X ≤x )

上例中：n =10 x =3 φ=0.5 求p (3) 和F (3)。在一次抽样中抽到的结果为：mmmfffffff ，它的概率为

P （mmmfffffff ）=φ3(1-φ) 7

抽到3雄7雌的数目相当于从10个元素中抽出3个元素的组合数

对于任意n 和x 有以下通式：

()()

1,0,1,2,,n x

x x

n

p x C x n ??-=-=???

上式称为二项分布的概率函数。该式正是二项展开式的第x +1项,因而产生“二项分布”这一名称。因为φ＋（1－φ）＝1，所以

将x ＝0，1，2，3，代入二项分布概率函数，可以得出出现0，1，2，3只雄性动物

的概率。

P （0）＝ 0.0009766 P （1）＝ 0.0097656 P （2）＝ 0.0439453 P （3）＝ 0.1171876 抽到3只和3只以下雄性动物的概率为：

F （3）＝P （0）＋P （1）＋P （2）＋P （3） ＝0.1718751

3.1.2 服从二项分布的随机变量的特征数

平均数： μ＝n φ 或 μ＝φ 方差： σ2＝n φ（1-φ） 或

3.1.3 二项分布应用实例

例1 以杂合基因型Wvwv 的小鼠为父本，隐性纯合子小鼠wvwv 为母本杂交（wv 波浪毛，Wv 直毛），后代两种基因型的数目应各占一半。实验只选每窝8只的，多于

()()7

33

1013??-=C p ()()[]

1

10

=-+=∑

=n

n

x x p ??()

n

??σ

-=

12

8只和少于8只的都淘汰。结果列在下表中。 直毛后代数 观测频数

（x ） （f ） fx fx 2 p (x ) Np (x )

0 0 0 0 0.003906 0.124992 1 1 1 1 0.031250 1.000000 2 2 4 8 0.109375 3.500000 3 4 12 36 0.218750 7.000000 4 12 48 192 0.273437 8.749984 5 6 30 150 0.218750 7.000000 6 5 30 180 0.109375 3.500000 7 2 14 98 0.031250 1.000000 8 0 0 0 0.003906 0.124992 总数 N ＝32 139 665 0.999999 31.99968 样本平均数、总体平均数；样本方差、总体方差如下：

例2 遗传学中单因子杂交RR ×rr ，F 1代为Rr ，F 1自交，F 2基因型比符合二项分布。在F 2中P （R ）＝φ＝1/2，P （r ）＝1－φ＝1/2，n ＝2。展开二项式：

()()()2

1974798.131

321396651

000000

.4218343750

.432

139

2

2

2

2

2=-==-

=

--

=

=??

?

??====

=

∑∑∑??σ

?μn N N

fx fx s

n N fx x ()[]

()()

()()()rr Rr RR 4

12141

21212122111212

2

2

2

2

++=

?

?

? ??+??? ????? ??+??

? ??=-+-+=-+????

??

对于两对因子，n ＝4

在为人类或动物遗传学研究中，为了保证实验顺利完成，在制定试验计划时，首先要以指定概率求出所需样本含量n 。

例3 用棕色正常毛（bbRR ）的家兔和黑色短毛（BBrr ）兔杂交，F 1代为黑色正

常毛长的家兔（BbRr ）, F 1代自交，F 2代表型比为：9/16B_R_ : 3/16B_rr : 3/16bbR_ :

1/16bbrr 。问最少需要多少F 2代家兔，才能以99％的概率得到一个棕色短毛兔？ 答： φn ＝（15/16）n ＝ 0.01 n （lg15－lg16）＝ lg0.01 -0.02803n ＝－2.00000 n ＝71.4 3.2 泊松分布

3.2.1 泊松分布的概率函数

在二项分布中，当某事件出现的概率特别小（φ→0），而样本含量又很大（n

→∞）时，二项分布就变成泊松分布了。泊松分布是描述在一定空间、长度、面积、体积或一定时间间隔内，点子散布状况的理想化模型。泊松分布的概率函数为：

3.2.2 服从泊松分布的随机变量的特征数

泊松分布的平均数： μ＝ μ

可见，泊松分布的平均数就是泊松分布概率函数中的μ。

泊松分布的方差： σ2＝ μ

概率函数中的μ不但是它的平均数，而且是它的方差。 3.2.3 泊松分布应用实例

()[]16

1164166164161212121421216212142114

322344++++=?

??

??+??? ????? ??+??? ????? ??+??? ????? ??+??? ??=-+??()?

??==

,2,1,0,!x e

x x p x

μ

μ

例1 在麦田中，平均每10m 2有一株杂草，问每100m 2麦田中，有0株、1株、2株、…杂草的概率是多少？

解： 先求出每100m 2麦田中，平均杂草数μ μ＝ 100/10＝ 10株

将μ代入泊松分布的概率分布函数中， p (x ) = 10x /x !e 10,

即可求出x ＝ 0，1，2，… 时所相应的概率。结果如下：

x ≤5 6 7 8 9 10

p (x ) 0.0671 0.0631 0.0901 0.1126 0.1251 0.1251 11 12 13 14 ≥15 0.1137 0.0948 0.0729 0.0521 0.0835

例2 绘制遗传连锁图时，制图函数是通过泊松分布推演出的。在一对同源染色体之间交换的出现是服从泊松分布的，将x ＝0代入泊松分布的概率函数中,

得出两基因座之间无交换出现的概率。两基因座之间至少出现一次交换的概率P(x ≥1) = 1－e -μ。从遗传学理论可知，在两基因座之间大于等于1的任何有限次交换其重组频率恒等于50％。因此重组率

解出两基因座之间的平均交换次数

μ= －ln （1－2RF ）

两基因座之间平均交换一次，其图距为50m.u.，从而可以得出图距 MD ＝－50ln （1－2RF ）

3.4 正态分布（重点）

()μ

μμ--==

e e p !

000

()

μ--=

e RF 12

1

3.4.1 正态分布的密度函数和分布函数

对于平均数是μ，标准差是σ的正态分布，其密度函数为：

正态分布密度函数的图象称为正态曲线

正态分布曲线

以符号N （μ，σ2）表示平均数为μ，标准差为σ2的正态分布。 随机变量X 的值落在任意区间（a ，b ）内的概率

累积分布函数

3.4.2 标准正态分布

当μ＝0，σ＝1时的正态分布称为标准正态分布，标准正态分布记为N (0,1)。标准正态分布的密度函数为：

标准正态分布的分布曲线如下图

()()0

,,21

2

22

>∞<<∞-=

--

σπ

σσμx e

x f x ()(

)()2

2

21

x b

b

a

a

P a X b f x dx e

dx

μσ--

<<=

=

?

?

()()()()dz

e

dz z f x X P x F x

z x

?

?

∞

---

∞

-=

=

<=2

2221

σ

μπ

σ()∞

<<∞-=

-

u e

u u ,212

2

π

?

标准正态分布曲线

累积分布函数分布图如下：

标准正态分布的累积分布曲线

标准正态分布有以下特性：

1、在u ＝0时φ(u )达到最大值。

2、当u 不论向哪个方向远离0时，φ(u )的值都减小。

3、曲线两侧对称。

4、曲线在u ＝－1和u ＝1处有两个拐点。

5、曲线与横轴所夹面积等于1。

6、累积分布曲线围绕点（0，0.5）对称。 3.4.3 正态分布表的查法

()()dv

e

u U

P u u

v ?

∞

--

=

<

=2

221π

φ

为了简化计算，随机变量（U ）的值（u ）落在区间（a ,b ）内的概率，根据标准正态累积分布函数，已经把不同u 值的Ф(u )值列成表（附表2），称为正态分布表。根据以下关系式可以扩展正态分布表的使用范围。

例1 查u ＝－0.82及u ＝1.15时的Ф(u )值。

解：Ф(-0.82)＝0.20611

Ф(1.15)＝0.87493

例2 随机变量U 服从正态分布N （0，1），问随机变量的值落在0，1.21间的概率是多少？落在－1.96，1.96间的概率是多少？ 解：

1) P (0

= Ф(1.21)-0.5 =0.88686-0.5000 =0.38686 2)

P (|U |

=1-2Ф(-u )

()()()()

(

)()()()

()()()

122

12125.00u u u U u P u u U

P u u U

P u u U P u u U P φφφφφφ-=<<--=<

-=>-=>-=<

<

=1-Ф(-1.96) =1-0.05000 =0.95000

对于服从N （μ，σ2）的随机变量X ，首先要进行标准化变换，使之变为标准正态分布，再按上述方法查表。变换的方法是：

对于随机变量X

在对x 进行标准化变换后，即可从正态分布表中查出相应的概率值。

例3 已知高粱品种“三尺三”的株高X 服从正态分布N （156.2，4.822），求：1)X <161厘米的概率；2)X >164厘米的概率；3)X 在156－162厘米间的概率。

解：

3.4.4 正态分布的单侧临界值

附表3给出了满足P (U > u α) =α时的u α值。即曲线右侧尾区一定面积(α)下，所对应的u 值u α，u α称为α的上侧临界值。

对于左侧尾区，满足P (U <－u α) =α时的－u α值，称为α的下侧临界值。

σ

μ

-

=

x u ()?

?

?

??-=??? ??-<=<σμφσμx x U P x X P ()()()()

()()()69278

.019251.088493.087.02.182.42.15615282.42.156162162152)

305262

.094738.0162.1182.42.1561641164)

284314

.0182.42.156161161)1=

-=--=?

?? ??--??

?

??-=<<=-=-=??

?

??--=>==???

??-=<φφφ

φφφφφX P X P X P

将α平分到两个尾区，每一尾区的曲线下面积只有α/2，满足P (|U|> uα/2) =α时的uα/2称为α的双侧临界值。

正态分布的单侧（上侧）和双侧临界值

3.6 中心极限定理

假设所研究的随机变量X可以被表示为许多相互独立的随机变量X i的和，如果X i的数量很大，而且每一个别的X i对于X所起的作用很小，则可以认为X服从或近似地服从正态分布。

推理：若已知总体平均数为μ，标准差为σ，那么，不论该总体是否正态分布，对于从该总体所抽取的含量为n的样本，当n充分大，其平均数渐近服从正态分布N(μ,σ2/n)。