线性离散系统的分析

§10-4 线性离散系统的分析前面讨论了线性离散系统的数学模型：一种是输入输出模型，一种是状态空间模型。

本节将要根据这些数学模型来分析线性离散系统的特性，例如稳定性、能控性和能观测性。

一、稳定性稳定性是动力学系统的一个十分重要的性质。

本节只讨论线性定常系统的稳定性，而时变系统的稳定性问题是比较复杂的。

有两大类的稳定性分析方法。

一类是分析离散系统极点在z 平面内的位置。

一个闭环系统是稳定的充分必要条件是其特征方程的全部根都必须分布在z 平面内以原点为圆心的单位圆内。

当然，我们可以用直接的方法求出特征方程，然后再求出其根（例如用贝尔斯特-牛顿叠代法）。

但是在工程上希望不经过解特征方程而找到一些间接的方法，例如代数判据法，基于频率特性分析的奈奎斯特法，或通过双线性变换把z 平面问题变成s 平面的问题，再用连续系统的稳定判据。

另一类研究稳定性的方法是李雅普诺夫第二方法，它规定了关于稳定性的严格定义和方法。

本节只介绍代数判据法。

Routh 、Schur 、Cohn 和Jury 都研究过相类似的稳定判据。

如果已知一个系统的特征多项式()n n na za z a z A +++=- 110 (10.87)Jury 把它的系数排列成如下的算表：11110a a a a a a a a a a nn n nn n =--α―――――――――――――――――――10111101211111110-------------=n n n n n n n n n n n n n a a aaaa a a α――――――――――――――――――――――――――――――――――――――10111110a a a a 10111a a =α―――――――――――――――――――0a 其中kk i k kik k k i k i a a a a a a 01=-=--α表中第一行和第二行分别是(10.87)中的系数按正序和倒序排列的。

这两行的最后两个元素相除而得到0a a n n =α。

第一行的各元素分别减去第二行的相应元素乘以n α，这就得到第三行的各元素。

显然，第三行的最后一个元素为零，即第三行比前两行少一个元素。

第四行的元素是第三行的元素反过来排列的。

这样一直做下去，直到第12+n 行，即此行只剩下一个元素为止。

于是有 Jury 稳定性判据 如果00>a ，方程(10.87)的根全在单位圆内的充分必要条件是：算表中所有奇数行的第一个元素都是正数。

如果这些元素中有的为负数，则负元素的个数代表(10.87)中含有在单位圆以外根的个数。

[例10-17] 已知特征方程为0)(212=++=a z a z z A写出Jury 算表为222122211222121222212211)1(111)1()1(111a a a a a a a a a a a a a a a a a +---+=----=αα如果要求特征方程的根全在单位圆内，则必须满足0])1[(110121222222>-++->-a a a a a 即12122111a a a a a -->+-><系数2a 和1a 使此二阶系统稳定的区间如图10-17所示。

图10-17二、能控性在现代控制理论中有两个基本的概念，一个是讨论是否有可能把一个系统从任何初始状态控制到任何其它状态；另一个是讨论通过测量动力学系统的输入和输出能否确定其状态。

这就是卡尔曼在1960年提出的能控性和能观性的概念。

1. 定义我们现在来讨论线性定常系统)()()()()1(k CX k Y k U k X k X =Γ+Φ=+ (10.88)的能控性问题。

对此系统，如能找到控制序列 ),1(),0(U U ，把系统(10.88)从任意初始状态0X ，在有限时间内控制到０，则此系统是能控的。

对系统(10.88)，如能找到控制序列 ),1(),0(U U ，把系统从任意初始状态0X ，在有限时间内控制到任一状态1X ，则此系统是能达的或完全能控的。

能控并不意味着就能达。

这一点是很容易理解的，因为如果有0)0(=ΦX n，则此系统即使不加控制，在n 步内也能达到零状态。

此系统是能控的，但不一定能达。

对线性定常系统来说，如Φ是可逆的，能控与能达是等价的。

2. 能控性定理定理：系统(10.88)的能控性矩阵为[]ΓΦΦΓΓ=-1n c W (10.89)(10.88)的状态完全能控的充分必要条件是矩阵c W 的秩等于n ，即n rankWc = (10.90)这个定理的证明是很容易的。

由(10.88)，有)1()2()0()0( )1()2()2( )1()1()(12-Γ+-ΦΓ+⋅⋅⋅+ΓΦ+Φ=-Γ+-ΦΓ+-Φ=-Γ+-Φ=-n U n U U X n U n U n X n U n X n X n n或写成[]UW U n U n U X n X C n n ⋅=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--ΓΦΦΓΓ=Φ-⋅⋅-ˆ)0()2()1()0()(1 要使1)(X n X =，这里1X 是任一要求达到的状态，则要由下列方程求出U01X X U W n c φ-=它的解存在的条件是c W 的秩为n 。

但要注意如果控制作用不是单输出情形，这解将不是唯一的。

这里要对能控性定理作简要的讨论： 1）如果n rankW c <，从定理看出在n 步内不可能把系统从状态0X 控制到1X ，而且再增加几步也不能控制到1X 。

例如再增加一步控制，则能控性阵的秩仍小于n ，即[]n rank n n <ΓΦΓΦΦΓΓ-1由Cayley-Hamiltom 定理I a a a n n n n -Φ-⋅⋅⋅Φ-=Φ--111其中i a (n i ,2,1=)是Φ的特征方程的系数。

它说明nΦ是)1,,2,1(-⋅⋅⋅=Φn i i的线性组合，于是ΓΦn 与其它列之间不是线性独立的，因而并不增加能控性矩阵的秩。

再增加几步控制，结果仍是一样。

因而在n 步内不能达到1X ，而且无论用多少步控制都不可能达到。

2) 能控性是系统的一个结构特点。

如果系统是不能控的，办法只有修改系统的结构或结构参数。

3) 如果要了解系统输出的能控性，而不是状态的能控性，用类似于状态能控性的定义和定理的办法就可以得到。

即如定义系统输出能控性阵[]ΓΦΦΓΓ-1n C C C后，如果要把系统从任意初始输出)(0k Y ，在有限时间内控制到任一输出)(1k Y 的充分必要条件是输出能控性矩阵的秩为m 。

这里m 是输出向量Y 的维数。

[例10-18] 两个质量块1m 和2m 用阻尼器μ相连，如果在一个质量块上施加外力，能不能控制两个质量块的位置和速度？此系统如图10-18所示。

图10-18 一个机械系统解：写出此系统的微分方程为μ22,v0)()(12222111=-+=-+x x xm F x x xm μμ设c mm m m ===μ,21和f mF=，可写出其状态方程为 f v v c c c c v v ⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡--=⎥⎦⎤⎢⎣⎡012121 能控性矩阵为⎥⎦⎤⎢⎣⎡-=c c Wc 01其秩为2，即在F 的作用下质量块1m 和2m 的状态1v 和2v 是完全能控的。

下面我们来判断此机械系统的位置能控性。

利用状态方程f x x v v c c c c xx v v⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡000100100001000021212121 及能控性矩阵[]⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡-----=ΓΦΓΦΦΓΓ22222232200210420421c c c c c c c c c c 其秩小于4，即在F 的作用下F 不能控制此系统的状态2x 。

如果不考虑2x ，则有f x v v c c c c x v v ⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡+⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡00100100121121 及[]⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎣⎡--=ΓΦΦΓΓc c c c c 102021222其秩为3，这三个状态是完全能控的。

三、能观测性对系统(10.88)来说，如果在有限时间内，能通过观测其输入和输出值，唯一地确定系统的初态0X ，则此时系统在0=k 是能观测的。

如果对任意初态0X 都能观测，则此系统是完全能观测的。

能观测性是一个很有用的概念。

一个系统如果能由其输出（它是一些能直接观测到的状态)，在最短时间内重构出那些不能被直接测量的状态，这对控制系统的设计是十分重要的。

如果系统是能控的和能观测的，才有可能实现最优控制。

1. 能观测性定理定理：系统(10.88)的能观测性阵为⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ΦΦ=-1..n o C C C W (10.91)(10.88)的状态完全能观测的充分和必要条件是矩阵o W 的秩等于n ，即n rankW o = (10.92)这个定理的证明也可以由(10.88)式直接得到，由)2(...)0(C 1......)0()1(0201-n 00-Γ++ΓΦ+Φ=-Γ+Φ==-n U C U C X )Y(n U C X C Y CX )Y(n可写成001202ˆ)()1()0()1()0(X W X C C C k U C n Y U C Y Y o n n k k n =⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ΦΦ=⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ΓΦ--Γ---=--∑(10.93) 如果要从0=k 到1-n 的输入和输出值计算出系统的初态0X ，则(10.93)中矩阵o W 的秩必须为n 。

满足能观测性的系统，能通过n 步的观测确定其初始状态0X 。

如果n C C C rank n <⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡ΦΦ-1 即使再多观测几步也不能确定其初态0X 。

例如再多观测几步，能观测性阵的秩仍小于n 。

即n C C C C rank n n <⎥⎥⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎢⎢⎣⎡ΦΦΦ-1其理由仍是nΦ可被表示成),,2,1(n i i =Φ的线性组合，于是n C Φ与其它行之间不是线性独立的，这就不能增加能观测性阵的秩。

再增加几步观测，结果也是这样。

因而一个系统由n 步的观测值不能确定0X ，无论用多少步观测都不可能。

[例10-19] 一个旋转刚体的动力学方程为M J =ϕ它有两个状态：转角ϕ和转速ϕ。

如果测量出ϕ ，经过若干步后可以计算出ϕ。

但是仅测量出ϕ，并不一定能确定ϕ (除非知道0ϕ和所有的ϕ )，因而ϕ是不能观测的。

原因如下。

选择状态变量121xx x ==ϕ则其状态方程为J M x x x x/1000102121⎥⎦⎤⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡ 离散化后，得)(2)()(101)1()1(22121k u T T k x k x T k x k x ⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡+⎥⎦⎤⎢⎣⎡⎥⎦⎤⎢⎣⎡=⎥⎦⎤⎢⎣⎡++ 如果只测量ϕ，即[]01=C ，则⎥⎦⎤⎢⎣⎡=T W o 101其秩为2，系统是能观测的。