第1章行列

可以做
所以
故，方程组(1.4)的解是惟一的。
证明完毕。
例1用克拉默法则解线性方程组
解该方程组的系数行列式为
因为 ，所以该方程组有惟一解。
又由于
所以
， ， ，
克拉默法则给出了线性方程组的解与其系数、常数项之间的重要关系。但它只适用于方程个数与未知量个数相等，且系数行列式不等于零的线性方程组。
当线性方程组(1.4)的常数项全为零时，有
4．x1=0，x2=1，x3=2
5．(1) (2)
6．当 时， ，此时方程组有非零解。且非零解为
例2计算行列式
解通过观察发现行列式的第2行恰为第1行与第3行之和，所以
1
1.3.1
定义1.8在n阶行列式中，划去元素 所在的行和列，余下的元素按原来的相对位置不变构成的行列式称为 的余子式，记作 。
在 前面冠以符号 后，称为 的代数余子式，记作 。
即
例1设
求出元素 ， 的余子式和代数余子式。
解元素 的余子式和代数余子式分别为
称为三阶行列式，它代表
这一算式，即
(1.3)
它由三行三列的32个元素组成。其中从左上角到右下角这条对角线称为主对角线，从右上角到左下角这条对角线称为次对角线(或副对角线)。
由此可以看出，对于二阶行列式的值，恰好为主对角线上两元素之积减去次对角线上两元素之积。
三阶行列式如图1.1所示。
图1.1 三阶行列式
由推论1与性质2可得：
推论3如果行列式中有两行(列)的元素对应成比例，那么该行列式等于零。
性质4如果行列式的某一行(列)的元素为两组数的和，那么该行列式可以分成两个行列式之和。而且这两个行列式除这一行(列)以外的其他元素与原行列式的对应元素一样。
即
性质5如果以数k乘以行列式中的某一行(列)的所有元素然后加到另一行(列)的对应元素上去，所得行列式的值不变。
即
说明今后在进行行列式计算时，为了简明的表达解题过程，也为了便于检查，我们约定，用
(1) 表示第 行。
(2) 表示第 列。
(3) 表示将第 行(列)乘以k加到第 行(列)上去。
(4) 表示将第 行(列)与第 行(列)交换位置。
例1计算行列式
解通过观察发现行列式的第2列与第3列对应元素成比例，由性质3的推论3可知
例2讨论下列方程组解的情况
解因为
所以，当 时， ，此时方程组有非零解；当 时， ，此时方程组有惟一的零解。
1.5
1．二阶、三阶行列式的定义及其计算
二阶行列式：
三阶行列式：
学习中要掌握对角线算法，进行二阶、三阶行列式的运算。
2．n阶行列式的定义
称为n阶行列式，它是由n行n列的n2个元素组成，用字母 表示该行列式，则
证明(1)解的存在性
首先，以行列式 为基础构造一个新的n+1阶行列式
显然， ，将 按第一行展开，可得
所以有
即
(i=1，2，…，n)
因此，方程组(1.4)至少存在一组解：
， ，…，
(2)解的惟一性
假设(e1，e2，…，en)也是方程组(1.4)的一组解，那么
(i=1，2，…，n)
为了证明
(j=1，2，…，n)
每条实线上的三个元素之积前加正号，每条虚线上的三个元素之积前加负号，最后各项相加就是三阶行列式的值。
这种计算方法称为对角线法。
例1计算行列式：
(1) (2)
解(1) =
(2)
1.1.2
从三阶行列式(1.3)的形式可以看出该式右端各项的行标均为1，2，3，而列标的情况恰为1，2，3三个数的各种排列情况，有 个。另一方面，每一乘积项前面都带有一定的符号，而这符号又是由什么所决定的呢？为解决这一问题首先引入排列与逆序数的概念。
元素 的余子式和代数余子式分别为
定理1.1拉普拉斯(Pierre-simon Laplace，法国，1749~1827)展开定理
n阶行列式 等于其任意一行(列)中的各元素与其代数余子式的乘积之和。即
(i=1，2，…，n)
或
(j=1，2，…，n)
(证明略)。
这个定理称为拉普拉斯定理，利用此定理可以进行降阶运算。但在计算行列式时，直接利用此定理进行行列式展开并不一定能简化运算，而当行列式中某一行或某一列中含有较多零时，运用此定理将会非常简便。
如：4213中，4排在2的左边，因而构成一个逆序，同样4与1；4与3；2与1也都构成逆序，于是4213的逆序数为4。排列j1j2…jn的逆序数记为
定义1.5逆序数为偶数的排列称为偶排列；逆序数为奇数的排列称为奇排列。
如：4213是一个偶排列，321是一个奇排列。
下面分析一下每个乘积项所带符号与该乘积项元素的列标排列情况的关系，如表1.1所示。
当 时，有
(1.2)
现在来分析一下这两个结果的分子与分母，分母 正好是原方程组中两未知量的系数的乘积之差，即①式中第一个未知量的系数与②式中第二个未知量的系数之积减去①式中第二个未知量的系数与②式中第一个未知量的系数之积。写成数表的形式，即为
由此，引入行列式的概念。
定义1.1符号
称为二阶行列式，它代表 这个算式，即
推论1行列式中某一行(列)的所有元素的公因子，可以提到行列式符号外面。
推论2如果行列式中有一行(列)全为零，那么该行列式等于零。
推论3如果行列式中有两行(列)的元素对应成比例，那么该行列式等于零。
性质4如果行列式的某一行(列)的元素为两组数的和，那么该行列式可以分成两个行列式之和。而且这两个行列式除这一行(列)以外全与原行列式的对应元素一样。
定义1.7设有n阶行列式
将 的第1，2，…，n行依次变为第1，2，…，n列，得到的新行列式称为 的转置行列式，记为 ，即
显然 。
性质1行列式经转置以后其值不变，即 。
此性质说明在行列式中行与列具有相同的地位，凡是有关行的性质，对于列也同样成立。
性质2交换行列式中任意两行(列)的位置，行列式改变符号。
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
3．证明下列等式：
(1) (2)
4．求解下列方程：
5．求解下列线性方程组：
(1) (2)
6．当 为何值时，齐次线性方程组
有非零解？
1.7
1．(1) (2) (3) (4)
(5) (6)
2．(1) (2) (3) (4)
(5) (提示：按第一列展开)(6)
3．证明略。
例2求下列行列式的值：
(1) (2)
解
(1)
=5×1×1×1×1=5
(2)
=
例3解方程
解因为
所以
方程的解为
x1，2=0，x3=2，x4=-2
1
我们已经知道二元线性方程组的解与行列式有着密切相关的联系，本节主要介绍n元线性方程组的解的公式，这是行列式理论的一个非常重要的应用。
设含有n个未知量，n个方程的线性方程组为
5．了解克拉默法则，了解线性方程组解的情况及其判定。
注意运用克拉默法则时有以下两个前提条件：
(1)方程个数与未知量个数相等。
(2)系数行列式不等于零。
当一个线性方程组满足这两个条件时，它的解存在且是惟一的。
1．用对角线算法计算下列行列式：
(1) (2)
(3) (4)
(5) (6)
2．计算下列行列式：
定义1.3由n个数字1，2，3，…，n所排成的任一有序数组，称为一个n级排列。
如：4213是一个4级排列，321是一个三级排列。
常用j1j2…jn表示一个n级排列，其中j1是该排列的第1个数，jn是该排列的第n个数。由排列知识可知，n级排列的总数为n!个。
定义1.4在一个排列中，如果一对数的前后位置与大小顺序相反，即前面的数大于后面的数，则称这两个数构成一个逆序。一个排列中逆序的总数，称为该排列的逆序数。
表
乘 积 项
列标所成排列
排列的奇偶性
乘积项前的符号
符号与逆序数的关系
123
0
偶
＋
( 1)0
231
2
偶
＋
( 1)2
312
2
偶
＋
( 1)2
321
3
奇
－
( 1)3
213
1
奇
－
( 1)1
132
1
奇
－
( 1)1
从此表中可以看出，乘积项 前的符号与列标 排列有关，即 前的符号为 。
因此三阶行列式(1.3)可以写成
即上三角形行列式等于主对角线上元素的乘积。
与此相类似，下三角形行列式(此类型的行列式主对角线上侧的元素全为零)
作为特例，可得对角形行列式
n阶行列式的计算是一个重要的问题，当n较大时，n！是一个相当大的数，直接利用定义来计算行列式几乎是不可能的。本节将继续讨论行列式的性质，利用其性质来简化行列式的计算。
由于行列式中很多元素为零，所以展开式中有很多项为零。显然，如果 ，则 ，从而相应乘积项为零，因此只须考虑 对应的项，同理可知，也只有 ， ， 时所对应项才不为0，故行列式中不为零的项只有一项。
即
＝
例3计算上三角形行列式(此类型的行列式主对角线下侧的元素全为零)
解从1至n行依次取a11，a12，…，ann做成连乘积 ，且此项 为正。其余的所有项中每一项至少含有一个零项，故乘积均为零。所以
推论如果行列式中有两行(列)的对应元素完全相同，那么该行列式等于零。
如
性质3把行列式的某一行(列)的所有元素同乘以数k，等于以数k乘以该行列式。
即
由性பைடு நூலகம்3可得以下推论：
推论1行列式中某一行(列)的所有元素的公因子，可以提到行列式符号外面。
当性质3中的 ＝0时，就有