高中数学导数与函数的极值问题分析与解答
高中数学导数与函数的极值问题分析与解答
在高中数学中，导数与函数的极值问题是一个非常重要的内容，也是学生们经常遇到的难题之一。在本文中，我将通过具体的题目举例，分析和解答这类问题，并给出一些解题技巧和指导性建议。
一、导数的概念与求解
首先，我们需要了解导数的概念。导数可以理解为函数在某一点上的变化率，也可以看作是函数曲线在该点的切线的斜率。对于函数y=f(x)，其导数可以表示为f'(x)或dy/dx。
为了求解导数，我们可以使用求导法则，如常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等。这些法则可以帮助我们简化求导的过程，提高解题效率。
例如，考虑函数y=x^2+3x+2，我们可以使用幂函数法则求解其导数。根据幂函数法则，对于幂函数y=x^n，其导数为y'=nx^(n-1)。因此，对于函数
y=x^2+3x+2，我们可以得到导数y'=2x+3。
二、函数的极值与求解
函数的极值是指函数在某一区间内取得的最大值或最小值。在求解函数的极值时，我们可以通过导数的方法来进行分析。
首先，我们需要找到函数的驻点，即导数为零的点。对于函数y=f(x)，如果
f'(x)=0，则点(x,f(x))为函数的驻点。
接下来，我们需要判断驻点是极大值还是极小值。我们可以通过二阶导数的符号来判断。如果f''(x)>0，则驻点为极小值；如果f''(x)<0，则驻点为极大值。
例如，考虑函数y=x^3-3x^2+2x+1，我们可以先求解其导数y'=3x^2-6x+2。然后，我们再求解其二阶导数y''=6x-6。当二阶导数为零时，即6x-6=0，解得x=1。
因此，点(1,f(1))为函数的驻点。
接下来，我们计算二阶导数在驻点处的值，即f''(1)=6(1)-6=0。由于二阶导数
为零，我们无法通过二阶导数的符号来判断驻点的性质。在这种情况下，我们可以通过一阶导数的变化来判断。
在驻点的左侧，即x<1的区间，一阶导数由负变正，说明函数从下降变为上升，所以驻点为极小值。在驻点的右侧，即x>1的区间，一阶导数由正变负，说明函
数从上升变为下降，所以驻点为极大值。
三、解题技巧与指导性建议
在解决导数与函数的极值问题时，我们可以采用以下一些技巧和建议：
1. 注意函数的定义域：在求解函数的极值时，我们需要注意函数的定义域。有
时候，函数的极值可能出现在定义域的边界上。
2. 利用对称性：有些函数具有对称性，如奇函数或偶函数。在求解这类函数的
极值时，我们可以利用对称性来简化分析的过程。
3. 综合运用多种方法：在解决复杂的极值问题时，我们可以综合运用多种方法，如导数法、二阶导数法、图像法等。通过多种方法的分析，可以更全面地理解和解决问题。
4. 多做练习题：为了熟练掌握导数与函数的极值问题，我们需要多做练习题。
通过反复练习，可以提高解题的速度和准确性，同时加深对知识点的理解。
总结起来，导数与函数的极值问题是高中数学中的重要内容。通过对导数的概
念和求解方法的理解，以及对函数极值的分析和解答，我们可以更好地应对这类问题。同时，通过合理的解题技巧和指导性建议，我们可以提高解题的效率和准确性。
希望本文对高中学生和他们的父母有所帮助，使他们更好地理解和掌握导数与函数的极值问题。
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析
高三数学利用导数求最值和极值试题答案及解析 1.已知函数 (R)． (1)当时，求函数的极值； （2）若函数的图象与轴有且只有一个交点，求的取值范围． 【答案】（1）当时, 取得极大值为; 当时, 取得极小值为. （2）a的取值范围是． 【解析】（1）遵循“求导数，求驻点，讨论驻点两侧导数值符号，确定极值”. （2）根据= ，得到△= = . 据此讨论：①若a≥1，则△≤0， 此时≥0在R上恒成立，f（x）在R上单调递增 . 计算f（0），,得到结论. ②若a＜1，则△＞0，= 0有两个不相等的实数根，不妨设为．有． 给出当变化时，的取值情况表. 根据f（x 1）·f（x 2 ）＞0, 解得a＞．作出结论. 试题解析：（1）当时，， ∴. 令="0," 得. 2分 当时,, 则在上单调递增; 当时,, 则在上单调递减; 当时,, 在上单调递增. 4分 ∴当时, 取得极大值为; 当时, 取得极小值为. 6分 （2）∵= ， ∴△= = . ①若a≥1，则△≤0， 7分 ∴≥0在R上恒成立， ∴ f（x）在R上单调递增 . ∵f（0），, ∴当a≥1时，函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点． 9分 ②若a＜1，则△＞0， ∴= 0有两个不相等的实数根，不妨设为． ∴． 当变化时，的取值情况如下表： x x（x，x）x ++ 11分 ∵,
∴. ∴ = . 同理. ∴ . 令f（x 1）·f（x 2 ）＞0, 解得a＞． 而当时,, 13分 故当时, 函数f（x）的图象与x轴有且只有一个交点. 综上所述，a的取值范围是． 14分 【考点】应用导数研究函数的极值、单调性及函数的图象，分类讨论思想. 2.函数的极小值是 . 【答案】. 【解析】，令，解得，列表如下： 极大值极小值 故函数在处取得极小值，即. 【考点】函数的极值 3.已知a≤＋lnx对任意的x∈[，2]恒成立，则a的最大值为________． 【解析】令f(x)＝＋lnx，f′(x)＝，当x∈[，1)时，f′(x)<0，当x∈(1,2]时，f′(x)>0，∴f(x) min ＝f(1)＝0，∴a≤0，故a最大值为0. 4.已知函数,是函数的导函数，且有两个零点和(),则的最小值为() A．B．C．D．以上都不对 【答案】B 【解析】，由题意，当或时，，当时，，因此的最小值是，选B． 【考点】函数的极值与最值． 5.已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1,2)，则 ()． A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值
高考数学导函数极值最值问题-解析版
高考数学导函数极值最值问题 题型一：根据图像判断极值点情况 【例1】.函数f(x)的导函数f′(x)的图象如图所示，则() A．x=1是最小值点 B．x=0是极小值点 C．x=2是极小值点 D．函数f(x)在(1，2)上单调递增 【答案】C 【解析】由图象得：f(x)在(−∞，0)递增，在(0，2)递减，在(2，+∞)递增 ∴x=2是极小值点 故选 C 变式训练1.函数f(x)的定义域为开区间(a,b)，导函数f′(x)在(a,b)内的图象如图所示，则函数f(x)在开区间(a,b)内有极小值点 ()
A．1个B．2个C．3个D．4个 【答案】A 【解析】由f′(x)的图象可知，函数f(x)在区间(a,b)上的单调性依次是：增→减→增→减．由极小值点的定义可知，在区间(a,b)上有1个极小值点 【备注】利用导数研究函数的极值． 若在x0处函数的导数值为零，在x0左侧函数单减，右侧函数单增，则在x0处取得极小值． 变式训练2.( 尖子班 ) 如下图，直线y=ax+2与曲线y=f(x)交于A、B两点，其中A是切点，记ℎ(x)=f(x) ，g(x)=f(x)−ax，则下列判断正确的是() x A．ℎ(x)只有一个极值点
B．ℎ(x)有两个极值点，且极小值点小于极大值点 C．g(x)的极小值点小于极大值点，且极小值为−2 D．g(x)的极小值点大于极大值点，且极大值为2 【答案】D 【解析】设切点A的坐标为(x0，f(x0))，则由条件得f′(x0)=a 且当x
高中数学导数与函数的极值问题分析与解答
高中数学导数与函数的极值问题分析与解答 在高中数学中，导数与函数的极值问题是一个非常重要的内容，也是学生们经常遇到的难题之一。在本文中，我将通过具体的题目举例，分析和解答这类问题，并给出一些解题技巧和指导性建议。 一、导数的概念与求解 首先，我们需要了解导数的概念。导数可以理解为函数在某一点上的变化率，也可以看作是函数曲线在该点的切线的斜率。对于函数y=f(x)，其导数可以表示为f'(x)或dy/dx。 为了求解导数，我们可以使用求导法则，如常数法则、幂函数法则、指数函数法则、对数函数法则、三角函数法则等。这些法则可以帮助我们简化求导的过程，提高解题效率。 例如，考虑函数y=x^2+3x+2，我们可以使用幂函数法则求解其导数。根据幂函数法则，对于幂函数y=x^n，其导数为y'=nx^(n-1)。因此，对于函数 y=x^2+3x+2，我们可以得到导数y'=2x+3。 二、函数的极值与求解 函数的极值是指函数在某一区间内取得的最大值或最小值。在求解函数的极值时，我们可以通过导数的方法来进行分析。 首先，我们需要找到函数的驻点，即导数为零的点。对于函数y=f(x)，如果 f'(x)=0，则点(x,f(x))为函数的驻点。 接下来，我们需要判断驻点是极大值还是极小值。我们可以通过二阶导数的符号来判断。如果f''(x)>0，则驻点为极小值；如果f''(x)<0，则驻点为极大值。
例如，考虑函数y=x^3-3x^2+2x+1，我们可以先求解其导数y'=3x^2-6x+2。然后，我们再求解其二阶导数y''=6x-6。当二阶导数为零时，即6x-6=0，解得x=1。 因此，点(1,f(1))为函数的驻点。 接下来，我们计算二阶导数在驻点处的值，即f''(1)=6(1)-6=0。由于二阶导数 为零，我们无法通过二阶导数的符号来判断驻点的性质。在这种情况下，我们可以通过一阶导数的变化来判断。 在驻点的左侧，即x<1的区间，一阶导数由负变正，说明函数从下降变为上升，所以驻点为极小值。在驻点的右侧，即x>1的区间，一阶导数由正变负，说明函 数从上升变为下降，所以驻点为极大值。 三、解题技巧与指导性建议 在解决导数与函数的极值问题时，我们可以采用以下一些技巧和建议： 1. 注意函数的定义域：在求解函数的极值时，我们需要注意函数的定义域。有 时候，函数的极值可能出现在定义域的边界上。 2. 利用对称性：有些函数具有对称性，如奇函数或偶函数。在求解这类函数的 极值时，我们可以利用对称性来简化分析的过程。 3. 综合运用多种方法：在解决复杂的极值问题时，我们可以综合运用多种方法，如导数法、二阶导数法、图像法等。通过多种方法的分析，可以更全面地理解和解决问题。 4. 多做练习题：为了熟练掌握导数与函数的极值问题，我们需要多做练习题。 通过反复练习，可以提高解题的速度和准确性，同时加深对知识点的理解。 总结起来，导数与函数的极值问题是高中数学中的重要内容。通过对导数的概 念和求解方法的理解，以及对函数极值的分析和解答，我们可以更好地应对这类问题。同时，通过合理的解题技巧和指导性建议，我们可以提高解题的效率和准确性。
导数与函数的极值、最值-重难点题型精讲 高考数学(新高考地区专用)(解析版)
专题3.5 导数与函数的极值、最值 1．函数的极值与导数 条件 f ′(x 0)＝0 x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0 x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0 图象 极值 f (x 0)为极大值 f (x 0)为极小值 极值点 x 0为极大值点 x 0为极小值点 2．函数的最值 (1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值． (2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值．
【题型1 根据函数图象判断极值】 【方法点拨】 由图象判断函数y＝f(x)的极值，要抓住两点： (1)由y＝f′(x)的图象与x轴的交点，可得函数y＝f(x)的可能极值点； (2)由导函数y＝f′(x)的图象可以看出y＝f′(x)的值的正负，从而可得函数y＝f(x)的单调性．两者结合可得极值点. 【例1】（2022春•杨浦区校级期末）已知函数y＝f（x）（a＜x＜b）的导函数是y＝f'（x）（a＜x＜b），导函数y＝f'（x）的图象如图所示，则函数y＝f（x）在（a，b）内有（） A．3个驻点B．4个极值点 C．1个极小值点D．1个极大值点 【解题思路】由题意结合导函数图像即可确定函数的性质． 【解答过程】解：由导函数的图象可知，原函数存在4个驻点，函数有3个极值点，其中2个极大值点，1个极小值点． 故选：C． 【变式1-1】（2022春•纳雍县期末）已知函数f（x）的导函数的图像如图所示，则下列结论正确的是（） A．﹣1是f（x）的极小值点 B．曲线y＝f（x）在x＝2处的切线斜率小于零 C．f（x）在区间（﹣∞，3）上单调递减
2023年新高考数学一轮复习4-3 应用导数研究函数的极值、最值(知识点讲解)解析版
专题4.3 应用导数研究函数的极值、最值（知识点讲解） 【知识框架】 【核心素养】 1.考查利用导数求函数的极值、最值，凸显数学运算、逻辑推理的核心素养． 2.考查利用导数研究函数的图象，凸显直观想象、数学运算、逻辑推理的核心素养． 3.考查利用导数解决生活中的优化问题，凸显数学建模、数学运算的核心素养． 【知识点展示】 （一）导数与函数的极值 1．函数的极小值： 函数y ＝f(x)在点x ＝a 的函数值f(a)比它在点x ＝a 附近其它点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x ＝a 附近的左侧f′(x)＜0，右侧f′(x)＞0，则点a 叫做函数y ＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y ＝f(x)的极小值． 2．函数的极大值： 函数y ＝f(x)在点x ＝b 的函数值f(b)比它在点x ＝b 附近的其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x ＝b 附近的左侧f′(x)＞0，右侧f′(x)＜0，则点b 叫做函数y ＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y ＝f(x)的极大值． 极小值点，极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称为极值． 3.特别提醒： (1)函数f (x)在0x 处有极值的必要不充分条件是f ′(0x )＝0，极值点是f ′(x)＝0的根，但f ′(x)＝0的根不都是极值点(例如()3 f x x ＝，f ′(0)＝0，但x ＝0不是极值点)． (2)极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画的是函数的局部性质．极值点是函数在区间内部的点，不会是端点． （二）导数与函数的最值(1)在闭区间[a ，b]上连续的函数f(x)在[a ，b]上必有最大值与最小值． (2)若函数f(x)在[a ，b]上单调递增，则f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最大值；若函数f(x)在[a ，b]上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值．
2021届高考数学(理)考点复习：导数与函数的极值、最值(含解析)
2021届高考数学（理）考点复习 导数与函数的极值、最值 1．函数的极值与导数 条件 f ′(x 0)＝0 x 0附近的左侧f ′(x )>0，右侧f ′(x )<0 x 0附近的左侧f ′(x )<0，右侧f ′(x )>0 图象 极值 f (x 0)为极大值 f (x 0)为极小值 极值点 x 0为极大值点 x 0为极小值点 2.函数的最值 (1)在闭区间[a ，b ]上连续的函数f (x )在[a ，b ]上必有最大值与最小值． (2)若函数f (x )在[a ，b ]上单调递增，则f (a )为函数的最小值，f (b )为函数的最大值；若函数f (x )在[a ，b ]上单调递减，则f (a )为函数的最大值，f (b )为函数的最小值． 概念方法微思考 1．对于可导函数f (x )，“f ′(x 0)＝0”是“函数f (x )在x ＝x 0处有极值”的________条件．(填“充要”“充分不必要”“必要不充分”) 提示 必要不充分 2．函数的最大值一定是函数的极大值吗？ 提醒 不一定，函数的最值可能在极值点或端点处取到． 1．（2019•新课标Ⅱ）已知函数()(1)1f x x lnx x =---．证明： （1）()f x 存在唯一的极值点； （2）()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 【解析】（1）函数()(1)1f x x lnx x =---． ()f x ∴的定义域为(0,)+∞， 11 ()1x f x lnx lnx x x -'= +-=-，
y lnx =单调递增，1 y x = 单调递减，()f x ∴'单调递增， 又f '（1）10=-<，f '（2）1412022 ln ln -=- =>， ∴存在唯一的0(1,2)x ∈，使得0()0f x '=． 当0x x <时，()0f x '<，()f x 单调递减， 当0x x >时，()0f x '>，()f x 单调递增， ()f x ∴存在唯一的极值点． （2）由（1）知0()f x f <（1）2=-， 又22()30f e e =->， ()0f x ∴=在0(x ，)+∞内存在唯一的根x a =， 由01a x >>，得 01 1x a <<， 1111()()(1)10f a f ln a a a a a =---==， ∴ 1 a 是()0f x =在0(0,)x 的唯一根， 综上，()0f x =有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数． 2．（2019•江苏）设函数()()()()f x x a x b x c =---，a ，b ，c R ∈，()f x '为()f x 的导函数． （1）若a b c ==，f （4）8=，求a 的值； （2）若a b ≠，b c =，且()f x 和()f x '的零点均在集合{3-，1，3}中，求()f x 的极小值； （3）若0a =，01b <，1c =，且()f x 的极大值为M ，求证：427 M ． 【解析】（1）a b c ==，3()()f x x a ∴=-， f （4）8=，3(4)8a ∴-=， 42a ∴-=，解得2a =． （2）a b ≠，b c =，设2()()()f x x a x b =--． 令2()()()0f x x a x b =--=，解得x a =，或x b =． 2()()2()()()(32)f x x b x a x b x b x b a '=-+--=---．
高中数学导数与函数的极值、最值 (含解析)
限时规范训练(限时练·夯基练·提能练) A级基础夯实练 1．(2018·聊城二模)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是() A．y＝x3B．y＝ln(－x) C．y＝x e－x D．y＝x＋2 x 解析：选D.由题可知，B，C选项中的函数不是奇函数；A选项中，函数y＝x3单调递增(无极值)；D选项中的函数既为奇函数又存在极值． 2．函数f(x)＝x2－5x＋2e x的极值点所在的区间为() A．(0，1) B．(－1，0) C．(1，2) D．(－2，－1) 解析：选A.∵f′(x)＝2x－5＋2e x为增函数，f′(0)＝－3＜0，f′(1)＝2e－3＞0， ∵f′(x)＝2x－5＋2e x的零点在区间(0，1)上，∴f(x)＝x2－5x＋2e x 的极值点在区间(0，1)上． 3．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(e x－1)(x－1)k(k＝1，2)，则() A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极小值 B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取得极大值 C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极小值 D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取得极大值
解析：选C.当k ＝1时，f ′(x )＝e x ·x －1，f ′(1)≠0， ∴x ＝1不是f (x )的极值点． 当k ＝2时，f ′(x )＝(x －1)(x e x ＋e x －2)， 显然f ′(1)＝0，且在x ＝1附近的左侧f ′(x )＜0， 当x ＞1时，f ′(x )＞0， ∴f (x )在x ＝1处取得极小值．故选C. 4．设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ，b ，c ∈R)．若x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，则下列图象不可能为y ＝f (x )图象的是( ) 解析：选D.因为[f (x )e x ]′＝f ′(x )e x ＋f (x )(e x )′＝[f (x )＋f ′(x )]e x ，且x ＝－1为函数f (x )e x 的一个极值点，所以f (－1)＋f ′(－1)＝0；选项D 中，f (－1)＞0，f ′(－1)＞0，不满足f ′(－1)＋f (－1)＝0. 5．(2018·山东临沂模拟)已知y ＝f (x )是奇函数，当x ∈(0，2)时， f (x )＝ln x －ax ? ?? ??a ＞12，当x ∈(－2，0)时，f (x )的最小值为1，则a ＝( )
高中数学中的导数与函数的极值问题
高中数学中的导数与函数的极值问题 在高中数学中，导数与函数的极值问题是一个重要的概念和应用。导数是函数 在某一点的变化率，而函数的极值则是函数在某一区间内的最大值或最小值。导数与函数的极值问题紧密相关，它们在数学和实际问题中有着广泛的应用。 一、导数的概念与计算方法 导数的概念可以理解为函数在某一点的瞬时变化率。对于函数f(x)，在点x处 的导数可以表示为f'(x)或df(x)/dx。导数的计算方法有很多，常见的有基本导数公 式和导数的四则运算法则。 基本导数公式包括常数函数、幂函数、指数函数、对数函数和三角函数等。例如，对于常数函数f(x)=c，其导数为f'(x)=0；对于幂函数f(x)=x^n，其中n为常数，其导数为f'(x)=nx^(n-1)。导数的四则运算法则包括求和、差、积和商的导数。例如，对于函数f(x)=u(x)+v(x)，其中u(x)和v(x)分别为函数u和v，其导数为 f'(x)=u'(x)+v'(x)。 二、导数与函数的极值 函数在某一区间内的最大值或最小值称为极值。极值分为极大值和极小值两种 情况。导数与函数的极值问题的关键在于找到函数的驻点和拐点。 驻点是函数的导数为零或不存在的点。在驻点处，函数的斜率为零或不存在， 这意味着函数在该点附近变化趋势的转折点。通过求解导数为零的方程，可以找到函数的驻点。对于函数f(x)，如果f'(x)=0，则x为f(x)的驻点。 拐点是函数的导数变化趋势发生突变的点。在拐点处，函数的曲线由凸转为凹 或由凹转为凸。通过求解导数的二阶导数为零的方程，可以找到函数的拐点。对于函数f(x)，如果f''(x)=0，则x为f(x)的拐点。 三、应用举例
高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析
高二数学利用导数求最值和极值试题答案及解析 1.若函数在[－1,1]上有最大值3，则该函数在[－1,1]上的最小值是__________ 【答案】 【解析】令得或,当时, ,当时, ,因此当时, ,所以,当时, ,当时, ,因此,答案为. 【考点】导数与最值 2.已知函数，其中。 （1）若，求函数的极值点和极值； （2）求函数在区间上的最小值。 【答案】（1）极小值点为，极小值为；极大值点为，极大值为；（2） 【解析】（1）把代入原函数，求出的导函数，令导函数等于求出根即可得 极值点，把极值点代入原函数得极值。（2）因为，所以把分两种情况来讨论，当时，函数在区间为单调递增函数，最小值为，当时，求出函数的导函数，并 令得增区间，令得减区间，最后得出的最小值。 试题解析：解：（1）当时，。 2分 令，得或。 所以，在区间上，，函数是增函数；在区间上，，函数是减 函数；在区间上，，函数是增函数。 4分[ 所以，函数的极小值点为，极小值为；极大值点为，极大值为。8 分 （2）当时，是R上的增函数， 在区间上的最小值为。 10分 当时，。 在区间上是减函数，在区间上，是增函数。 12分 所以，在区间上的最小值为， 13分 。 14分 综上，函数在区间上的最小值为。 【考点】导数在求极值及最值中的应用； 3.已知函数. （1）求曲线在点（1，0）处的切线方程； （2）设函数，其中，求函数在上的最小值.(其中为自然对数的 底数) 【答案】（1） （2）当时，的最小值为0； 当时，的最小值为； 当时，的最小值为． 【解析】利用导数的几何意义求曲线在点处的切线方程，注意这个点的切点.（2）解决类似 的问题时，注意区分函数的最值和极值.求函数的最值时，要先求函数在区间内使的点，再计算函数在区间内所有使的点和区间端点处的函数值，最后比较 即得.（3）分类讨论是学生在学习过程中的难点，要找好临界条件进行讨论. 试题解析：（1）由，得切线的斜率为． 又切线过点，所以直线的方程为 4分 （2），则 令，得；令，得， 所以在上单调递减，在上单调递增
中学数学 利用导数研究函数的极值和最值(含答案)
专题4 利用导数研究函数的极值和最值 专题知识梳理 1.函数的极值 （1）函数极值定义:一般地，设函数在点附近有定义，如果对附近的所有的点，都有，就说是函数的一个极大值，记作y 极大值 =,是极大值点。如果对附近的所有的点，都 有.就说是函数的一个极小值，记作y 极小值 =，是极小值点。极大值与极 小值统称为极值. (2)判别f (x 0)是极大、极小值的方法: 若满足，且在的两侧的导数异号，则是的极值点，是极值，并且如果在两侧满足“左正右负”，则是的极大值点，是极大值；如果在两侧满足“左负右正”，则是的极小值点，是极小值. (3)求可导函数f (x )的极值的步骤: ①确定函数的定义区间，求导数 ; ①求出方程的定义域内的所有实数根； ①用函数的导数为的点，顺次将函数的定义域分成若干小开区间，并列成表格.标出在方程根左右的值的符号，如果左正右负，那么f (x )在这个根处取得极大值；如果左负右正，那么f (x )在这个根处取得极小值；如果左右不改变符号，那么f (x )在这个根处无极值。 ①根据表格下结论并求出需要的极值。 2. 函数的最值 （1）定义：若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有,则称为函数的最大值，记作;若在函数的定义域内存在,使得对于任意的,都有 ,则称为函数的最小值，记作; （2）在闭区间上图像连续不断的函数在上必有最大值与最小值． （3）求函数在上的最大值与最小值的步骤： ①求在内的极值； ①将的各极值与比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值, 从而得出函数 在上的最值。 考点探究 )(x f x 0x 0f (x )
高中数学根据导数求函数的最值问题解题技巧总结
高中数学根据导数求函数的最值问题解题技 巧总结 在高中数学中，根据导数求函数的最值是一个常见的考点。这类问题要求我们通过求函数的导数，找到函数的极大值或极小值点，从而确定函数的最值。下面我将总结一些解题技巧，帮助高中学生和他们的父母更好地应对这类问题。 一、寻找函数的极值点 在解决根据导数求函数最值问题时，首先需要找到函数的极值点。一般来说，函数的极值点就是函数的导数等于零的点，即函数的驻点。我们可以通过以下步骤来找到函数的极值点： 1. 求函数的导数。根据问题给出的函数，我们可以先对其求导数。例如，对于函数f(x)，我们可以求得它的导函数f'(x)。 2. 解方程f'(x) = 0。将求得的导函数f'(x)置零，解方程求得函数的驻点。这些驻点就是函数的极值点。 需要注意的是，有时候函数的极值点可能还存在于函数的定义域的边界处，所以我们还需要将边界处的点也考虑进去。 二、判断极值点的性质 找到函数的极值点后，我们需要进一步判断这些点的性质，即确定它们是极大值点还是极小值点。这里有两种常见的方法： 1. 使用导数的符号表。我们可以通过绘制导数的符号表来判断极值点的性质。具体做法是，在函数的定义域上选择几个代表性的点，代入导数f'(x)的值，然后根据导数的正负确定函数在这些点附近的增减性。如果导数从正变负，那么这个点就是极大值点；如果导数从负变正，那么这个点就是极小值点。
2. 使用二阶导数。二阶导数可以帮助我们更准确地判断极值点的性质。具体做 法是，求得函数的二阶导数f''(x)，然后将极值点代入二阶导数。如果二阶导数大 于零，那么这个点就是极小值点；如果二阶导数小于零，那么这个点就是极大值点。 三、举一反三 根据导数求函数的最值问题不仅仅局限于求解极值点，还可以应用到其他类型 的函数中。下面举一个例子来说明。 例题：求函数f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x的最大值和最小值。 解析：首先，我们求得函数f(x)的导数f'(x) = 3x^2 - 6x + 2。然后，我们令f'(x) = 0，解方程得到x = 1和x = 2。这两个点就是函数的极值点。 接着，我们使用导数的符号表来判断这两个点的性质。选择x = 0、x = 1.5和x = 3这三个点代入导数f'(x)的值，根据导数的正负确定函数在这些点附近的增减性。我们可以得到以下结果： x = 0时，f'(x) < 0，函数减小； x = 1.5时，f'(x) > 0，函数增大； x = 3时，f'(x) > 0，函数增大。 由此可见，x = 1是函数的极小值点，x = 2是函数的极大值点。我们可以代入 函数f(x)计算出最小值和最大值： f(1) = 0，即最小值为0； f(2) = 2，即最大值为2。 通过这个例子，我们可以看到，根据导数求函数的最值问题可以应用于不同类 型的函数，只需根据具体函数的表达式进行求导和解方程即可。
导数与函数的极值、最值(经典导学案及练习答案详解)
§3.3导数与函数的极值、最值 学习目标 1.借助函数图象，了解函数在某点取得极值的必要和充分条件. 2.会用导数求函数的极大值、极小值. 3.会求闭区间上函数的最大值、最小值． 知识梳理 1．函数的极值 (1)函数的极小值 函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0；而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，则a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)函数的极大值 函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0；而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，则b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值． 2．函数的最大(小)值 (1)函数f(x)在区间[a，b]上有最值的条件： 如果在区间[a，b]上函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，那么它必有最大值和最小值． (2)求y＝f(x)在区间[a，b]上的最大(小)值的步骤： ①求函数y＝f(x)在区间(a，b)上的极值； ②将函数y＝f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 常用结论 对于可导函数f(x)，“f′(x0)＝0”是“函数f(x)在x＝x0处有极值”的必要不充分条件． 思考辨析 判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”) (1)函数f(x)在区间(a，b)上不存在最值．(×) (2)函数的极小值一定是函数的最小值．(×) (3)函数的极小值一定不是函数的最大值．(√) (4)函数y＝f′(x)的零点是函数y＝f(x)的极值点．(×)
高中数学 第1章 导数及其应用 1.3 导数在研究函数中的作用 1.3.2 极大值与极小值讲义(含解
1．3.2 极大值与极小值 [对应学生用书P16] 极值 已知y＝f(x)的图象(如图)． 问题1：当x＝a时，函数值f(a)有何特点？ 提示：在x＝a的附近，f(a)最小，f(a)并不一定是y＝f(x)的最小值． 问题2：当x＝b时，函数值f(b)有何特点？ 提示：在x＝b的附近，f(b)最大，f(b)并不一定是y＝f(x)的最大值． 1．观察下图中的函数图象，发现函数图象在点P处从左侧到右侧由“上升”变为“下降”(函数由单调递增变为单调递减)，这时在点P附近，点P的位置最高，亦即f(x1)比它附近点的函数值都要大，我们称f(x1)为函数f(x)的一个极大值． 2．类似地，上图中f(x2)为函数的一个极小值． 3．函数的极大值、极小值统称为函数的极值． 极值与导数的关系 观察图(Ⅰ)． 问题1：试分析在函数取得极大值的x1的附近左右两侧导数的符号有什么变化？ 提示：左侧导数大于0，右侧导数小于0. 问题2：试分析在函数取得极小值的x2的附近左右两侧导数的符号有什么变化？ 提示：左侧导数小于0，右侧导数大于0.
1．极大值与导数之间的关系如下表： x x 1左侧 x 1 x 1右侧 f ′(x ) f ′(x )>0 f ′(x )＝0 f ′(x )<0 f (x ) 增 极大值f (x 1) 减 2．极小值与导数之间的关系如下表： x x 2左侧 x 2 x 2右侧 f ′(x ) f ′(x )<0 f ′(x )＝0 f ′(x )>0 f (x ) 减 极小值f (x 2) 增 1．极值是一个局部概念，它只是某个点的函数值与它附近的函数值比较是最大或最小，并不意味着它在整个定义域内是最大或最小． 2．函数的极值并不惟一(如图所示)． 3．极大值和极小值之间没有确定的大小关系，如图所示，f (x 1)是极大值，f (x 4)是极小值，而f (x 4)>f (x 1)． [对应学生用书P17] 求函数的极值 [例1] (1)f (x )＝x 3 －3x 2 －9x ＋5； (2)f (x )＝ln x x . [思路点拨]按求函数极值的步骤求解，要注意函数的定义域． [精解详析](1)函数f (x )＝x 3 －3x 2 －9x ＋5的定义域为R ，且f ′(x )＝3x 2 －6x －9.解方程3x 2 －6x －9＝0，得x 1＝－1，x 2＝3.
专题2.12 导数-极值、最值问题(解析版)
专题2.12 导数-极值、最值问题 1．可导函数y ＝f (x )在点x 0处取得极值的充要条件是0()0f x '=，且在x 0左侧与右侧()f x '的符号不同．若f (x )在(a ，b )内有极值，那么f (x )在(a ，b )内绝不是单调函数，即在某区间上单调增或减的函数没有极值． 2．利用导数求解函数最值的思路 （1）若所给的闭区间[],a b 不含参数，则只需对()f x 求导，并求()0f x '=在区间[],a b 内的根，再计算使导数等于零的根的函数值，把该函数值与()(),f a f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值； （2）若所给的区间[],a b 含有参数，则需对()f x 求导，通过对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数()f x 的最值． 3．用导数求函数的单调区间或判断函数的单调性问题时应注意如下几方面： （1）在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域； （2）不能随意将函数的2个独立的单调递增（或递减）区间写成并集形式； （3）利用导数解决含参函数的单调性问题时，一般将其转化为不等式恒成立问题，解题过程中要注意分类讨论和数形结合思想的应用． 4．对于极值点偏移问题，处理类似于12x x a +>（12,x x 为()0f x =的两根）的问题的基本步骤如下： （1）求导确定()f x 的单调性，得到12,x x 的范围； （2）构造函数()()()F x f x f a x =--，求导后可得()F x 恒正或恒负； （3）得到()1f x 与()1f a x -的大小关系后，将()1f x 置换为()2f x ； （4）根据2x 与1a x -所处的范围，结合()f x 的单调性，可得到2x 与1a x -的大小关系，由此证得结论． 1．已知函数()ln 2f x x x ax =-+(a 为实数)．
导数与函数的极值、最值问题(解析版)
【高考地位】 导数在研究函数的极值与最值问题是高考的必考的重点内容，已由解决函数、数列、不等式问题的辅助工具上升为解决问题的必不可少的工具，特别是利用导数来解决函数的极值与最值、零点的个数等问题，在高考中以各种题型中均出现，对于导数问题中求参数的取值范围是近几年高考中出现频率较高的一类问题，其试题难度考查较大. 【方法点评】 类型一利用导数研究函数的极值 使用情景：一般函数类型 解题模板：第一步计算函数()f x 的定义域并求出函数()f x 的导函数'()f x ； 第二步求方程'()0f x =的根； 第三步判断'()f x 在方程的根的左、右两侧值的符号； 第四步利用结论写出极值. 例1已知函数x x x f ln 1 )(+= ，求函数()f x 的极值. 【答案】极小值为1，无极大值. 【点评】求函数的极值的一般步骤如下：首先令'()0f x =，可解出其极值点，然后根据导函数大于0、小于0即可判断函数()f x 的增减性，进而求出函数()f x 的极大值和极小值． 【变式演练1】已知函数322()f x x ax bx a =+++在1x =处有极值10，则(2)f 等于（） A ．11或18B ．11C ．18D ．17或18 【答案】C 【解析】 试题分析：b ax x x f ++='23)(2 ,⎩⎨⎧=+++=++∴1010232 a b a b a ⎩⎨⎧-==⇒⎩⎨⎧=----=⇒114012232b a a a a b 或⎩ ⎨⎧=-=33b a ．?
当⎩⎨⎧=-=33b a 时,∴≥-=',0)1(3)(2x x f 在1=x 处不存在极值．?当⎩⎨⎧-==11 4b a 时， )1)(113(1183)(2-+=-+='x x x x x f ，0)(),1,3 11 (<'- ∈∴x f x ；0)(),,1(>'+∞∈x f x ,符合题意． 所以⎩⎨⎧-==114b a ．181622168)2(=+-+=∴f ．故选C ． 考点：函数的单调性与极值． 【变式演练2】设函数()21 ln 2 f x x ax bx =--，若1x =是()f x 的极大值点，则a 的取值范围为 （） A ．()1,0- B ．()1,-+∞ C ．()0,+∞ D ．()(),10,-∞-+∞ 【答案】B 【解析】 考点：函数的极值． 【变式演练3】函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-=在)4,0(上无极值，则=m _____. 【答案】3 【解析】 试题分析：因为x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= ， 所以()()2'()(1)2(1)21f x x m x m x x m =-++-=--+，由()'0f x =得2x =或1x m =-，又因为函数x m x m x x f )1(2)1(2 1 31)(23-++-= 在)4,0(上无极值， 而()20,4∈，所以只有12m -=，3m =
高中数学 第一章1.3.2 函数的极值与导数讲解与例题 新
1.3.2 函数的极值与导数 问题导学 一、求函数的极值 活动与探究1 求下列函数的极值： (1)f (x )＝x 3 －12x ； (2)f (x )＝2x x 2＋1 －2． 迁移与应用 求函数f (x )＝ln x x 2的极大值．
利用导数求函数极值的步骤： (1)求导数f′(x)； (2)求方程f′(x)＝0的所有实数根； (3)考察在每个根x0附近，从左到右导函数f′(x)的符号如何变化． ①如果f′(x)的符号由正变负，则f(x0)是极大值； ②如果由负变正，则f(x0)是极小值； ③如果在f′(x)＝0的根x＝x0的左右侧f′(x)的符号不变，则不是极值点．二、函数极值的逆应用 活动与探究2 已知函数f(x)＝ax3＋bx＋2在x＝1处取得极值，且极值为0． (1)求a，b的值； (2)求f(x)的另一个极值．
迁移与应用 1．若x＝－2与x＝4是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点，则有( ) A．a＝－2，b＝4 B．a＝－3，b＝－24 C．a＝1，b＝3 D．a＝2，b＝－4 2．已知函数y＝－x3＋6x2＋m有极大值13，则m的值为________． (1)已知函数极值情况，逆向应用确定函数的解析式，进而研究函数性质时，注意两点： ①常根据极值点处导数为0和已知极值(或极值之间的关系)列方程组，利用待定系数法求解． ②因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性． (2)对于可导函数f(x)，若它有极值点x0，则必有f′(x0)＝0，因此函数f(x)有极值的问题，往往可以转化为方程f′(x)＝0有根的问题，从而可借助方程的知识进行求解． 三、有关函数极值的综合问题
高中数学选择性必修二 5 3 2 函数的极值与导数(含答案)
课时同步练 5.3.2 函数的极值与导数 一、单选题 1．函数 32()391f x x x x =--+有（ ） A ．极大值1-，极小值3 B ．极大值6，极小值3 C ．极大值6，极小值26- D ．极大值1-，极小值26- 【答案】C 【解析】根据题意，2'()3693(1)(3)f x x x x x =--=+-，故当(,1)x ∈-∞-时，'()0f x >； 当(1,3)x ∈-时，'()0f x <；当(3,)x ∈+∞时，'()0f x >.故 ()f x 在1x =-处取得极大值 (1)6f -=；在3x =处取得极小值(3)26f =-， 故选C. 2．函数 ()262x f x x x e =-+的极值点所在的区间为（ ） A ． ()0,1 B ． ()1,0- C ． ()1,2 D ． ()2,1-- 【答案】A 【解析】∵ ()262x f x x x e =-+， ∴ ()262x f x x e =-+'，且函数()f x '单调递增． 又()()0 06240,1420f e f e ''=-+=-=-+， ∴函数 ()f x '在区间()0,1内存在唯一的零点，
即函数 ()f x 的极值点在区间()0,1内． 故选A ． 3．函数()ln x f x x = ，则（ ） A ．x e =为函数 ()f x 的极大值点 B ．x e =为函数 ()f x 的极小值点 C ．1 e x = 为函数()f x 的极大值点 D ．1 e x = 为函数()f x 的极小值点 【答案】A 【解析】()2 11'nx f x x -= ，故当0x e <<时函数单调递增， 当x e >时，函数单调递减，故x e =为函数的极大值点． 故选A 4．函数f (x )的定义域为R ，导函数f′(x )的图象如图所示，则函数f (x )（ ） A ．无极大值点、有四个极小值点 B ．有一个极大值点、两个极小值点 C ．有两个极大值点、两个极小值点 D ．有四个极大值点、无极小值点 【答案】C 【解析】设导函数f′(x )的图象与x 轴的交点从左到右依次为x 1，x 2，x 3，x 4， 所以函数f （x ）的单调增区间为（−∞,x 1),(x 2,x 3),(x 4，+∞），单调减区间为(x 1,x 2),(x 3,x 4)， 所以函数有两个极大值点x 1，x 3，两个极小值点x 2，x 4. 故选C
导数与极值题型总结(含答案)
导数与极值 一．知识梳理 知识点一函数的极值点和极值 思考观察函数y＝f(x)的图象，指出其极大值点和极小值点及极值． 梳理(1)极小值点与极小值 若函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，f′(a)＝0，而且在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，就把点a叫做函数y＝f(x)的极小值点，f(a)叫做函数y＝f(x)的极小值． (2)极大值点与极大值 若函数y＝f(x)在点x＝b的函数值f(b)比它在点x＝b附近其他点的函数值都大，f′(b)＝0，而且在点x＝b附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，就把点b叫做函数y＝f(x)的极大值点，f(b)叫做函数y＝f(x)的极大值． (3)极大值点、极小值点统称为极值点；极大值、极小值统称为极值． 知识点二函数极值的求法与步骤 (1)求函数y＝f(x)的极值的方法 解方程f′(x)＝0，当f′(x0)＝0时， ①如果在x0附近的左侧函数单调递增，即f′(x)>0，在x0的右侧函数单调递减，即f′(x)<0，那么f(x0)是极大值； ②如果在x0附近的左侧函数单调递减，即f′(x)<0，在x0的右侧函数单调递增，即f′(x)>0，那么f(x0)是极小值． (2)求可导函数f(x)的极值的步骤 ①确定函数的定义区间，求导数f′(x)； ②求方程f′(x)＝0的根； ③列表； ④利用f′(x)与f(x)随x的变化情况表，根据极值点左右两侧单调性的变化情况求极值． 知识点三 1．极小值点与极小值 (1)特征：函数y＝f(x)在点x＝a的函数值f(a)比它在点x＝a附近其他点的函数值都小，并且f′(a)＝0. (2)符号：在点x＝a附近的左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0.