国赛数学建模A题优秀论文

葡萄酒的评价模型之樊仲川亿创作海军航空工程学院(烟台) 史成巍许志鹏王鑫指导教师司守奎专家点评：本文格式基本规范，表达较清晰。

解决问题一方法适当，结论正确；问题二以相关系数筛选出与葡萄酒质量相关性较大的理化指标与葡萄酒质量一起作为评估葡萄质量的评价指标，进行聚类分析，思路简明，结论较合理。

问题三进行理化指标的相关性分析，切入准确，但对结果的说明不敷充分。

缺乏之处是在问题二到问题四中没有充分考虑芳香类物质的使用，问题四中对如何判定“葡萄和葡萄酒的理化指标是否能用来评价葡萄酒”时方法略有不当，导致结论不当。

点评人：济南大学数学科学学院许振宇副教授摘要：本文主要针对葡萄酒的评价问题建立了相关数学模型。

在对两组评酒员的评价是否存在显著性差别的问题中，首先验证了两组评酒员的评价结果服从正态分布，并通过方差分析法对两组评酒员的评价结果进行了分析，发现两组评酒员对于红葡萄酒和白葡萄酒的评价结果均存在显著性差别，由于第二组评酒员的评分方差更小，故评价结果均衡度更好,其结果可信度更大。

在对酿酒葡萄进行分级的问题中，首先以相关系数衡量葡萄理化指标与葡萄酒质量的相似性程度，然后筛选出与葡萄酒质量相关性较大的理化指标与葡萄酒质量一起作为评估葡萄质量的评价指标，利用筛选出的评价指标对酿酒葡萄进行聚类分析，将红葡萄和白葡萄均分成了四类。

最后以每类中对应葡萄酒质量评分的均值作为该类葡萄的分数，从而定出四类的级别，以对应国家葡萄酒的四级分类尺度。

在分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标间的联系问题中，本文采取偏最小二乘回归分析法对指标间的联系进行了分析计算，发现葡萄酒中的某些理化指标与葡萄的某些理化指标存在较强的相关性，比方白葡萄中的总糖和还原糖对白葡萄酒中顺式白藜芦醇苷和顺式白藜芦醇以及反式白藜芦醇的影响较大。

在判断葡萄与葡萄酒的理化指标与葡萄酒的质量间关系的问题中，首先对葡萄和葡萄酒的理化指标与葡萄酒的质量进行了相关性分析，发现某些理化指标与葡萄酒的质量相关性很大。

然后筛选出这些相关性较大的指标，用偏最小二乘回归分析法进一步定量分析了这些指标与葡萄酒质量的关系，建立了葡萄酒质量的评价模型，经过检验，利用建立的评价模型对葡萄酒评价结果与专家组的评价结果误差普遍小于5%，这同时论证了用葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒进行评价是基本可行的。

关键字：显著性检验；聚类分析；偏最小二乘回归分析法1 问题的重述确定葡萄酒质量时一般是通过聘请一批有资质的评酒员进行品评。

每个评酒员在对葡萄酒进行品尝后对其分类指标打分，然后求和得到其总分，从而确定葡萄酒的质量。

酿酒葡萄的好坏与所酿葡萄酒的质量有直接的关系，葡萄酒和酿酒葡萄检测的理化指标会在一定程度上反映葡萄酒和葡萄的质量。

建立数学模型讨论下列问题：（1）分析两组评酒员的评价结果有无显著性差别，哪一组结果更可信？（2）根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对这些酿酒葡萄进行分级。

（3）分析酿酒葡萄与葡萄酒的理化指标之间的联系。

（4）分析酿酒葡萄和葡萄酒的理化指标对葡萄酒质量的影响，并论证能否用葡萄和葡萄酒的理化指标来评价葡萄酒的质量？2 问题的分析对于问题（1），两组评酒员分别对27种红葡萄酒和28种白[1],然后利用方差分析对两组评酒员的评价结果进行显著性分析。

一个较好的评价组应是本着客观的原则进行评价，因此评价结果通常较为均匀，据此，可以分别计算出各组评酒员评价结果的方差，方差越大标明组内成员的评价差别越大，可信度就越低。

对于问题（2），题目要求根据酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量对酿酒葡萄进行分级，首先就必须从这些指标中找到与酿酒葡萄分级有关的指标。

考虑到酿酒葡萄的用途是酿制葡萄酒，因此葡萄酒的质量可以作为衡量酿酒葡萄质量的重要指标。

而那些与葡萄酒质量相似性程度较大的酿酒葡萄理化指标也应作为酿酒葡萄的评估价指标。

采取计算相关系数的方法计算两者间相似性程度，选定合适的相关系数为界线即得出酿酒葡萄质量评价指标。

在酿酒葡萄质量指标确认后，采纳聚类分析的方法对酿酒葡萄进行分类。

分类后，各类中葡萄酿制葡萄酒的质量得分即作为各类分数，从而分出酿酒葡萄的级别。

对于问题（3），要求对葡萄与葡萄酒的理化指标的联系进行分析，葡萄的二级理化指标有50多种，葡萄酒的理化指标有15种左右，而且各个指标间可能存在较大的关联度，研究两组多重相关变量间的关系问题，可以考虑用偏最小二乘回归分析法。

对于问题（4），首先利用问题(2)中相关性分析法和聚类分析法，筛选出与葡萄酒质量关联度较大的一些关键指标。

经过去除掉对葡萄酒质量影响较小的指标，不但可以简化计算，而且在实际研究中，工作人员只需丈量这些关键指标即可，减少了工作量。

然后利用偏最小二乘回归分析法，分析筛选后的指标与葡萄酒质量的函数关系，进而得到对葡萄酒质量的评价模型。

为检验所建评价模型的准确性，可以考虑将样本数据分成两部分，一部分数据用于分析计算评价模型，然后利用另一部分数据对模型进行检验。

如果说误差较小，则说明所建评价模型较为满意，同时也论证了用理化指标对葡萄酒的质量进行评价的可行性。

3 模型的假设（1）酿酒葡萄的酿造水平与酿造环境相同；（2）酿制同一种酒使用的葡萄是相同的；4 符号说明5 模型的建立与求解5.1 两组评酒员评价结果的差别分析5.1.1 数据的处理与准备根据题意，共有两组评酒员，每组有十个成员，每个评酒员在评价任意一种酒时，均考虑了四项一级指标和十项二级指标，每种酒的评价满分为100分，其中各个指标所占分值如表1所示。

为方便计，将各个二级指标依照表1中从左至右的顺序依次编为1—10号。

评分和白葡萄酒的总评分，现以第1号红葡萄酒为例，分析两组评酒员评价结果的分布情况。

20个评酒员对第1号酒的评分依次为70，79，91，68，97，82，69，80，81，76，68，71，80 ，52 ，53 ，76，71，73，70，67。

以10分为间距，统计落入各个区间数据的个数，结果见表2.可以看出，20号红葡萄酒的评分结果呈现出两头少[1]检验评价结果是否服从大似然估计值分别是计算出落入50.1,0.2,0.4,0.2,0.1.经过查20个评酒员对1号红葡萄酒样品的评分可视为服从正态分布。

类似地，其他54种酒的评价结果经检验均服从正态分布。

5.1.2 两组评价结果分析计算出两组评酒员对各种酒的评分情况，见图1.图1 两组最终评分均值通过图1总结出，两组评酒员对于55种酒的评分走势大致相酒，两组评酒员的评分尺度可能分歧，主观性较大。

为检验两组评酒员的评价结果是否存在显著性差别，可进一步对两组评价结[1]。

度为9则95%18酒的评价结果差别显著。

经过上述计算，两组评酒员对27中红葡酒和28种白葡萄酒的评价差别结果如表3所示（其中，1暗示两组评价结果不显著差别，0暗示显著差别）。

表3 各种酒的评价差别性两组评酒员对于55种酒的评价，总计有37种存在显著性差别，占总数的67.3%。

其中红葡萄酒17种，占红葡萄酒总数的63.0%，白葡萄酒20种，占白葡萄酒总数的71.4%，差别性略高于红葡萄酒。

因此，两组评酒员对于这些酒的评价普遍存在显著性差别，为了得到更为准确客观的评价结果，必须分别对各组评酒员的评价结果进一步分析，比较两组评价的可靠性。

一个好的评价组在评价某种酒时，每一个成员应当本着客观性的评价原则对酒的各项指标进行评分，尽量防止主观影响。

因此好的评价组对于同一种酒的评价结果通常更为均衡，不会出现高分和低分居多，而中等分数偏少的现象。

所以，组员评价结果的均衡度在很大程度上表征了该评价组评价结果的可信度，而表示均衡度大小的数据就是评价样本的方差，方差越大，均衡度越则根据上式依次分别计算出，两组评酒员对27种红葡萄酒和28种白葡萄酒评价结果的方差，结果见图2.图2 两组组评酒员评价结果方差通过图2,可以看出，第一组评酒员对于各种酒评价结果的方差绝大部分大于第二组，这说明第一组评酒员在评价同一种酒时，组内成员的尺度或认识差别较大，评价结果过于离散，均衡度较差，可信度也就较低，因此可以断定，第二组评酒员的评价结果更可信。

5.2酿酒葡萄分级模型欲对酿酒葡萄进行分级，首先应当确定适当的分级指标。

然而对于题目要求的酿酒葡萄的理化指标和葡萄酒的质量这些指标中既可能存在指标间存在较强的相关性的情况，又可能存在一些指标与酿酒葡萄的分级关系微小。

因此，有需要对所给指标进行分析。

题目提供的酿酒葡萄的理化指标中的部分指标具有二级指标，为了更为细致准确的分析各指标与葡萄酒质量的关系，对于有二级指标的一级指标，只考虑其二级指标，将该一级指标去55565由相关系数确定评估葡萄质量指标因为酿酒葡萄是用来酿葡萄酒的，因此，酿成葡萄酒的质量也就成为了判别酿酒葡萄的最重要指标。

题目提供了酿酒葡萄的50多种指标，然而对于这些指标未必每项都对酿制的酒有影响，或者说发生的影响是可以忽略的。

所以有需要对酿酒葡萄的理化指标与酿酒质量进行相似性度量，从而找出与酿酒质量相关程度较大的指标。

下面通过计算相关系数衡量这些指标间的相似程度。

计算得红葡萄理化指标与红葡萄酒质量相关系数见图3。

图3 相关系数散点图从图中可以看出，只有部分指标与葡萄酒的质量的相关系数超出0.5，与葡萄酒质量具有较大的相似性。

其中，还有些指标是与葡萄酒的质量具有较大的负相关系数，也就是会抑制葡萄酒质量的提高，因此这样的指标也必须被作为评估酿酒葡萄的指标。

下面对红葡萄以正负0.5、正负0.4为界，对白葡萄以正负0.4、正负0.3为界筛选指标，筛选情况见表4.经过筛选后的指标不但与葡萄酒的质量有了较大的相关性，同时也大幅度降低了指标的数量，因而无需再对筛选后的指标间的相似程度进行计算以去掉相似程度过高指标。

如果指标数量较多，可以采取R型聚类分析对指标进行聚类从而去掉可归为一类的指标。

聚类分析主要包含样底细似性度量，类与类间相似性度量两个步调。

（1）样本的相似性度量在对样本进行聚类分析时，首先要确定样本的相似性度量，经常使用的样底细似性度量有马氏距离、车比雪夫距离、欧式距件：这一距离的定义满足正定性、对称性和三角不等式。

在聚类（2法、重心法、类平均法等方法度量它们之间的距离。

下面介绍本个数。

下面根据由5.2.1示样品的数量和指标的数量。

样本间相似性采取欧式距离度量，类间距离的计算选用类平均法。

此外国际上和国内都是将葡萄酒按质量分为四个等级，其中，我国葡萄酒质量划分为优质特级葡萄酒、产区优质葡萄酒、产区优良葡萄酒以及佐餐酒四个级别[8]。

故将酿酒葡萄分为对应的四个等级能够便于对酿酒葡萄的收购以及应用。

得到葡萄样品分类结果为界线降低并没有对分类结果发生较大的影响，但为了包管分类结果与酿酒质量的相关性，这里采取界线取得较高的两组分类结果。