高中数学 第三章 函数 3.2 函数与方程、不等式之间的关系(第1课时)函数的零点、二次函数的零点及

第1课时函数的零点、二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系考点学习目标核心素养函数零点的概念理解函数零点的概念以及函数零点与方程的关系数学抽象二次函数的零点及其对应方程、不等式解集之间的关系结合二次函数的图像，会判断一元二次方程根的存在性及一元二次不等式的解法直观想象、数学运算问题导学预习教材P112－P114的内容，思考以下问题：1．函数零点的概念是什么？2．函数的零点与方程的根有什么关系？3．一元二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)的零点个数与判别式Δ之间有什么关系？1．函数的零点一般地，如果函数y＝f(x)在实数α处的函数值等于零，即f(α)＝0，则称α为函数y ＝f(x)的零点．■名师点拨(1)函数的零点不是一个点，而是一个实数，当自变量取该值时，其函数值为零．(2)依据零点的定义可知，求函数y＝f(x)的零点，实质上就是解方程f(x)＝0.2．二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系一般地，由一元二次方程解集的情况可知，对于二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)：(1)当Δ＝b2－4ac＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中有两个元素x1，x2，且x1，x2是f(x)的两个零点，f(x)的图像与x轴有两个公共点(x1，0)，(x2，0)；(2)当Δ＝b2－4ac＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0的解集中只有一个元素x0，且x0是f(x)唯一的零点，f(x)的图像与x轴有一个公共点；(3)当Δ＝b2－4ac＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0没有实数根，此时f(x)无零点，f(x)的图像与x 轴没有公共点．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)所有的函数都有零点．( )(2)若方程f (x )＝0有两个不等实根x 1，x 2，则函数y ＝f (x )的零点为(x 1，0)，(x 2，0)．( ) 答案：(1)× (2)×下列各图像表示的函数中没有零点的是( )答案：D函数f (x )＝x 2－5x 的零点是________． 答案：0，5函数y ＝x 3－64x 的零点个数是________． 解析：y ＝x 3－64x ＝x (x 2－64) ＝x (x －8)(x ＋8)＝0， 所以x ＝0或x ＝±8. 答案：3求函数的零点判断下列函数是否存在零点，如果存在，请求出． (1)f (x )＝－x 2－4x －4； (2)f (x )＝(x －1)(x 2－4x ＋3)x －3.【解】 (1)令－x 2－4x －4＝0，解得x ＝－2， 所以函数f (x )存在零点， 且零点为x ＝－2.(2)令(x －1)(x 2－4x ＋3)x －3＝0，解得x ＝1，所以函数f (x )存在零点，且零点为x ＝1.(1)求函数f (x )的零点就是求方程f (x )＝0的解，求解时注意函数的定义域． (2)已知x 0是函数f (x )的零点，则必有f (x 0)＝0.1．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ＜0，x 2－1，x ＞0的零点为________．解析：当x ＜0时，x ＋2＝0，则x ＝－2. 当x ＞0时，x 2－1＝0，则x ＝1，x ＝－1(舍)． 所以函数f (x )的零点为－2和1. 答案：－2和12．若2是函数f (x )＝x 2－m 的一个零点，则m ＝________． 解析：因为2是f (x )＝x 2－m 的一个零点，所以4－m ＝0，m ＝4. 答案：4二次函数的零点及其与对应方程、不等式解集之间的关系 角度一 解一元二次不等式解下列不等式： (1)2x 2＋5x －3＜0； (2)－3x 2＋6x ≤2； (3)4x 2＋4x ＋1＞0； (4)－x 2＋6x －10＞0.【解】 (1)Δ＝49＞0，方程2x 2＋5x －3＝0的两根为x 1＝－3，x 2＝12，作出函数y ＝2x 2＋5x －3的图像，如图①所示．由图可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－3＜x ＜12.(2)原不等式等价于3x 2－6x ＋2≥0，Δ＝12＞0，解方程3x 2－6x ＋2＝0，得x 1＝3－33，x 2＝3＋33，作出函数y ＝3x 2－6x ＋2的图像，如图②所示，由图可得原不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤3－33或x ≥3＋33.(3)因为Δ＝0，所以方程4x 2＋4x ＋1＝0有两个相等的实根x 1＝x 2＝－12.作出函数y ＝4x 2＋4x ＋1的图像如图③所示．由图可得原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x ≠－12，x ∈R .(4)原不等式可化为x 2－6x ＋10＜0，因为Δ＝－4＜0， 所以方程x 2－6x ＋10＝0无实根，所以原不等式的解集为∅.解一元二次不等式的一般步骤(1)通过对不等式变形，使二次项系数大于零； (2)计算对应方程的判别式；(3)求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实根； (4)根据函数图像与x 轴的相关位置写出不等式的解集． 角度二 根据一元二次不等式的解集求参数(1)若不等式ax 2＋bx ＋2＞0的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，则a ＋b 的值为( )A ．14B ．－10C ．10D ．－14(2)已知一元二次不等式x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，求不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集．【解】 (1)选 D.由已知得，ax 2＋bx ＋2＝0的解为－12，13，且a ⎩⎪⎨⎪⎧－b a ＝－12＋13，2a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12×13，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，b ＝－2，所以a ＋b ＝－14. (2)因为x 2＋px ＋q ＜0的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜13，所以x 1＝－12与x 2＝13是方程x 2＋px ＋q ＝0两个实数根，由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧13－12＝－p ，13×⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝q ，解得⎩⎪⎨⎪⎧p ＝16，q ＝－16.所以不等式qx 2＋px ＋1＞0即为－16x 2＋16x ＋1＞0，整理得x 2－x －6＜0，解得－2＜x ＜3.即不等式qx 2＋px ＋1＞0的解集为{x |－2＜x ＜3}．(1)一元二次不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(a ≠0)的解集的端点值是一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0的根，也是函数y ＝ax 2＋bx ＋c 与x 轴交点的横坐标．(2)二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的图像在x 轴上方的部分，是由不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的x 的值构成的；图像在x 轴下方的部分，是由不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的x 的值构成的，三者之间相互依存、相互转化．1．若不等式f (x )＝ax 2－x －c ＞0的解集为(－2，1)，则函数y ＝f (x )的图像为( )解析：选B.因为不等式f (x )的解集为(－2，1)，所以a ＜0，排除C 、D ，又f (x )与坐标轴交点的横坐标为－2，1，故选B.2．已知不等式ax 2＋bx ＋c ＞0的解集为{x |2＜x ＜3}，求不等式cx 2－bx ＋a ＞0的解集．解：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝－ba，2×3＝c a，a ＜0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5a ，c ＝6a ，a ＜0.代入不等式cx 2－bx ＋a ＞0，得6ax 2＋5ax ＋a ＞0(a ＜0)． 即6x 2＋5x ＋1＜0，解得－12＜x ＜－13，所以所求不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－12＜x ＜－13.一元二次方程根的分布问题已知关于x 的一元二次方程x 2＋2mx ＋2m ＋1＝0.(1)若方程有两根，其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，求m 的取值X 围；(2)若方程有两个不相等实根均在区间(0，1)内，求m 的取值X 围．【解】 (1)令f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1，依题意得函数f (x )＝x 2＋2mx ＋2m ＋1的图像与x 轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出图像如图所示：由图像得⎩⎪⎨⎪⎧f (－1)＝2＞0，f (0)＝2m ＋1＜0，f (1)＝4m ＋2＜0，f (2)＝6m ＋5＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＜－12，m ＜－12，m ＞－56，所以－56＜m ＜－12，即m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－56，－12.(2)根据函数图像与x 轴的两个交点均在区间(0，1)内，画出图像如图所示：由图像得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，0＜－m ＜1，f (0)＞0，f (1)＞0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＞1＋2或m ＜1－2，－1＜m ＜0，m ＞－12，m ＞－12，所以－12＜m ＜1－2，即m 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1－2.(1)解此类问题一般从四个方面考虑： ①抛物线的开口方向； ②一元二次方程根的判别式；③对应区间端点函数值的符号；④抛物线的对称轴与区间端点的位置关系．(2)对一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a＞0)的根的分布总结如下表(其中f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，对于a＜0的情况可依照a＞0的情况列出)：根的分布(m＜n＜p，m，n，p图像满足的条件为常数)x1≤x2＜mm＜x1≤x2x1＜m＜x2f(m)＜0m＜x1≤x2＜nm＜x1＜n＜x2＜p在(m ，n )内有且仅有一个根f (m )·f (n )＜0或(3)一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)，有两个正根的条件为⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2＝－b a ＞0，x 1·x 2＝ca＞0；有两个负根的条件为⎩⎪⎨⎪⎧Δ≥0，x 1＋x 2＝－b a ＜0，x 1·x 2＝ca＞0；有一个正根一个负根的条件为x 1·x 2＝ca＜0.设二次函数f (x )＝x 2＋ax ＋a ，方程f (x )－x ＝0的两根x 1和x 2满足0＜x 1＜x 2＜1，某某数a 的取值X 围.解：令g (x )＝f (x )－x ＝x 2＋(a －1)x ＋a ，则由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧Δ＞0，0＜1－a 2＜1，g (1)＞0，g (0)＞0，所以0＜a ＜3－2 2.故实数a 的取值X 围是(0，3－22).f (x )＝x 2－x －1的零点有( )个 个 个D.无数个解析：选C.Δ＝(－1)2－4×1×(－1)＝5＞0，所以方程x 2－x －1＝0有两个不相等的实根，故函数f (x )＝x 2－x －1有2个零点.2.函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是( ) A.－12，－1B.12，1C.12，－1 D.－12，1解析：选B.方程2x 2－3x ＋1＝0的两根分别为x 1＝1，x 2＝12，所以函数f (x )＝2x 2－3x ＋1的零点是12，1.3.函数y ＝x 2－bx ＋1有一个零点，则b 的值为( ) A.2 B.－2C.±解析：选C.因为函数有一个零点，所以Δ＝b 2－4＝0，所以b ＝±2.4.已知二次函数y ＝－x 2＋2x ＋m 的部分图像如图所示，则关于x 的一元二次不等式－x 2＋2x ＋m ＜0的解集为.解析：由图可知，对称轴为直线x ＝1.所以此二次函数图像与x 轴的另一个交点坐标为(－1，0)， 所以－x 2＋2x ＋m ＜0的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞). 答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)[A 基础达标]1.下列说法中正确的个数是( )①f (x )＝x ＋1，x ∈[－2，0]的零点为(－1，0)； ②f (x )＝x ＋1，x ∈[－2，0]的零点为－1；③y ＝f (x )的零点，即y ＝f (x )的图像与x 轴的交点； ④y ＝f (x )的零点，即y ＝f (x )的图像与x 轴交点的横坐标.数零点的定义，f (x )＝x ＋1，x ∈[－2，0]的零点为－1，也就是函数y ＝f (x )的零点，即y ＝f (x )的图像与x ，只有说法②④正确，故选B.2.函数f (x )＝x 3－4x 的零点为( )A.(0，0)，(2，0)B.(－2，0)，(0，0)，(2，0)C.－2，0，2，2f (x )＝0，得x (x －2)(x ＋2)＝0，解得x ＝0或x ＝±2，故选C.3.函数f (x )＝(x 2－1)x 2－4的零点个数是( ) A.1 C.3，则x 2－4≥0，即x 2≥4，x ≥2或x ≤－2.由f (x )＝0得x 2－4＝0或x 2－1＝0(不成立舍去). 即x ＝2或x ＝－2， B.4.不等式mx 2－ax －1>0(m >0)的解集可能是( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x <－1或x >14B.RC.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪－13<x <32D.∅解析：选A.因为Δ＝a 2＋4m >0，所以函数y ＝mx 2－ax －1的图像与x 轴有两个交点，又m >0，所以原不等式的解集不可能是B 、C 、D 选项.5.若关于x 的不等式ax －b ＞0的解集是(1，＋∞)，则关于x 的不等式(ax ＋b )(x －3)＞0的解集是( )A.(－∞，－1)∪(3，＋∞)B.(－1，3)C.(1，3)D.(－∞，1)∪(3，＋∞)解析：选A.由题意，知a ＞0，且1是ax －b ＝0的根，所以a ＝b ＞0，所以(ax ＋b )(x －3)＝a (x ＋1)(x －3)＞0，所以x ＜－1或x ＞3，因此原不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞).6.函数f (x )＝2 019x ＋1的零点为. 解析：令f (x )＝0，则x ＝－12 019.答案：－12 019 7.若二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＜0)的图像与x 轴的两个交点为(－1，0)和(3，0)，则不等式ax 2＋bx ＋c ＜0的解集是.解析：根据二次函数的图像知所求不等式的解集为(－∞，－1)∪(3，＋∞).答案：(－∞，－1)∪(3，＋∞)8.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋2x ，x ≥0，－x 2＋2x ，x ＜0.若f (a )≤3，则a 的取值X 围是. 解析：当a ≥0时，a 2＋2a ≤3，所以0≤a ≤1；当a ＜0时，－a 2＋2a ≤3，所以a ，a 的取值X 围是(－∞，1].答案：(－∞，1]9.已知函数f (x )＝x 2－bx ＋3.(1)若f (0)＝f (4)，求函数f (x )的零点.(2)若函数f (x )的一个零点大于1，另一个零点小于1，求b 的取值X 围.解：(1)由f (0)＝f (4)得3＝16－4b ＋3，即b ＝4，所以f (x )＝x 2－4x ＋3，令f (x )＝0，即x 2－4x ＋3＝0得x 1＝3，x 2＝1.所以f (x )的零点是1和3.(2)因为f (x )的零点一个大于1，另一个小于1，如图.需f (1)<0，即1－b ＋3<0，所以b >4.故b 的取值X 围为(4，＋∞).10.已知函数f (x )＝－3x 2＋2x －m ＋1.(1)当m 为何值时，函数有两个零点、一个零点、无零点；(2)若函数恰有一个零点在原点处，求m 的值.解：(1)函数有两个零点，则对应方程－3x 2＋2x －m ＋1＝0有两个不相等的实数根，易知Δ＞0，即4＋12(1－m )＞0，可解得m ＜43；由Δ＝0，可解得m ＝43； 由Δ＜0，可解得m ＞43. 故当m ＜43时，函数有两个零点；当m ＝43时，函数有一个零点； 当m ＞43时，函数无零点. (2)由已知得，0是对应方程的根，有1－m ＝0，可解得m ＝1.[B 能力提升]11.不等式x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，则实数a 的取值X 围是( )A.(－∞，－4)∪(4，＋∞)B.(－4，4)C.(－∞，－4]∪[4，＋∞)D.[－4，4] x 2＋ax ＋4<0的解集不是空集，即不等式x 2＋ax ＋4<0有解，所以Δ＝a 2－4×1×4>0，解得a >4或a <－4.12.一元二次方程x 2－5x ＋1－m ＝0的两根均大于2，则实数m 的取值X 围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－214，＋∞ B.(－∞，－5) C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－214，－5 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－214，－5 解析：选 C.关于x 的一元二次方程x 2－5x ＋1－m ＝0的两根均大于2，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝25－4＋4m ≥0，4－10＋1－m ＞0，52＞2，解得－214≤m ＜－5. 故选C.13.已知f (x )＝(x －a )(x －b )＋2(a ＜b )，且α，β(α＜β)是方程f (x )＝0的两根，则α，β，a ，b 的大小关系是( )A.a ＜α＜β＜bB.a ＜α＜b ＜βC.α＜a ＜b ＜βD.α＜a ＜β＜b解析：选A.因为α，β为f (x )＝0的两根，所以α，β为f (x )＝(x －a )(x－b )＋2与xa ，b 为(x －a )(x －b )＝0的根，令g (x )＝(x －a )(x －b )，所以a ，b 为g (x )与xf (x )图像可由g (x )图像向上平移2个单位得到，由图知选A.14.若函数f (x )＝2ax 2＋x －12在(0，1)内有零点，某某数a 的取值X 围. 解：当a ＝0时，f (x )＝x －12，零点x ＝12∈(0，1)，符合题意. 当a ≠0时，①若2ax 2＋x －12＝0在(0，1)内有两个相等实根，则⎩⎪⎨⎪⎧Δ＝1＋4a ＝0，0＜－14a ＜1，此时不等式组无解，②若方程2ax 2＋x －12＝0在(0，1)内只有一个实根，当f (1)＝2a ＋12≠0，即a ≠－14时，有f (0)·f (1)＝－12⎝ ⎛⎭⎪⎫2a ＋1－12＜0，解得a ＞－14，即此时a ＞－14，且a ≠0； 当f (1)＝0，即a ＝－14时，方程为－12x 2＋x －12＝0，解得x 1＝x 2＝1∈/(0，1)，不合题意. ③若方程2ax 2＋x －12＝0在(0，1)内有两个不等实根，即f (x )在(0，1)内有两个零点，因为f (0)＝－12，所以此时函数f (x )的图像开口向下，则有⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＝1＋4a ＞0，0＜－14a ＜1，f (0)·f (1)＞0.此时不等式组无解. 综上可知，实数a 的取值X 围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞. [C 拓展探究]15.若函数f (x )为R 上的奇函数，且当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ＋3.(1)求f (x )在R 的解析式；(2)若a ∈R ，g (x )＝f (x )－a ，试讨论a 取何值时，g (x )零点的个数最多？最少？ 解：(1)当x ＝0时，f (0)＝0；当x ＜0时，－x ＞0，根据定义可知，f (x )＝－f (－x )＝－(x 2＋4x ＋3)＝－x 2－4x －3， 故f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－4x ＋3，x ＞0，0，x ＝0，－x 2－4x －3，x ＜0.(2)在坐标系中，作出函数f (x )的图像.当a＝0时，g(x)＝f(x)－a有5个零点；当0＜a＜1或－1＜a＜0时，g(x)有4个零点；当a＝±1时，g(x)有3个零点；当1＜a＜3或－3＜a＜－1时，g(x)有2个零点；当a＜－3或a＞3时，g(x)有1个零点；故a＝0时，g(x)＝f(x)－a零点的个数最多；a＜－3或a＞3时，g(x)零点的个数最少.。