1005010333-王艳丽-论复变函数中支点的地位与作用
复变函数ppt课件
•复数z 的实部 Re(z) = x ; 虚部 Im(z) = y . (real part) (imaginary part)
• 复数的模 | z | x2 y2 0
• 判断复数相等 z1 z2 x1 x2 , y1 y2 , 其 中z1 x1 iy1 , z2 x2 iy2 z 0 Re(z) Im( z) 0
一般, 任意两个复数不能比较大小。
2. 代数运算
•四则运算 定义 z1=x1+iy1与z2=x2+iy2的和、差、积和商为：
z1±z2=(x1±x2)+i(y1±y2)
z1z2=(x1+iy1)(x2+iy2)=(x1x2-y1y2)+i(x2y1+x1y2)
z
z1 z2
x1 x2 y1 y2 | z2 |2
1i
1i i 1 i
§2 复数的表示方法
1. 点的表示 2. 向量表示法 3. 三角表示法 4. 指数表示法
1. 点的表示
易见，z x iy 一对有序实数( x, y), 在 平 面 上 取 定 直 角 坐 标系 ， 则 任意点P( x, y) 一对有序实数( x, y) z x iy 平面上的点P( x, y) 复数z x iy可用平面上坐标为( x，y)的点P表示. 此时，x轴 — 实轴 y轴 — 虚轴
3.共轭复数
定义 若z=x+iy , 称z=x-iy 为z 的共轭复数.
•共轭复数的性质
(complex conjugate)
(1) (z1 z2 ) z1 z2 (2) z z
(z1z2 ) z1z2
(4)z z 2 Re(z)
复变函数 支割线
缘起：为什么把支点连在一起不定是支割线？相信很多同学把这个疑问带到课后。
那么，我们分析下这个问题。
预备知识1. 如何作出支割线?课堂上我们知道, 支割线由支点连接而成, 但连接支点的曲线不一定都是支割线. 如考虑函数()w f z = 容易判断它的支点为0,1,2及∞, 考虑正实轴,ox 它把全部支点都连在一起, 但它是不是支割线呢?支割线本质特点是支割线上的点在两侧有不同的函数值, 例如负实轴作为()f z argz =的支割线, 同一点处上沿值为,π下沿值为,π-沿任意一条曲线γ穿过支割线时函数值的变化为20.argz γπ∆=±≠为此, 我们考察正实轴上的一段区间[]1,2进行分析:Z γ图1如图, 在[]1,2内任意取定一点, 它沿图中闭曲线绕行一周后回到原来位置, 这时辐角的变化为[]1rg ()arg arg(1)arg(2)2A f z z z z γ∆=+-+-[]12202ππ=++2,π= 记0()s f z 为开始时()f z 在0z 的函数值, 0()e f z 为动点z 沿着闭曲线γ绕行一周后回到0z 的函数值, 易见0arg ()()()000()()(),s i f z Argf z i Argf z e s f z f z e f z e γγ⎡⎤+∆∆⎣⎦== (1)对()f z 来说, 相当于作了一个旋转变换, 只是回到起点时, ()f z 没有改变, 而辐角改变了. 因此, 我们有()00()()1()2,0,1,2,i Argf z e s f z f z e Argf z k k γγπ∆=⇔=⇔∆==±± (2)于是由(2)我们可知图1中的点回到原来位置时()2Argf z γπ∆=并未改变出发时刻的函数值, 因此, []1,2上的点不可能是支割线上的点. 从而正实轴不可能作为支割线. 教材第32页给出了其中一条支割线, 见教材例1.由(1), (2)我们得到下面结论:O 1 2 xFact 若C 是连接函数()w f z =支点的割线, 则C 是()w f z =支割线⇔对去掉C 后的平面区域内的任何闭曲线γ, 都有()0.f z γ∆=我们可以用上述结论来判断连接支点的曲线是否为支割线.★2. 如何计算某个解析分支()k k w w f z ==在指定点z 的函数值?类似于微分方程的初始条件问题, 我们也把这类问题无妨记为0()()k k k w w f z f z w ==⎧⎨=⎩ 结合习题2之18题, 我们给出解决此类问题的通法:Step1 求出所有的支点, 确定某一条支割线.(1)中已讨论, 不再赘述.Step2 由初始条件00()k f z w =确定解析分支的表达式, 一般确定k 值即可.Step3 计算分支()k k w w f z ==在指定点z 的函数值, 即0arg ()()().i w Argf z e f z f z e γ⎡⎤+∆⎣⎦= (3) 这里, γ是以0z 为起始点, z 为终点的任意一条简单连续曲线, ()Argf z γ∆表示()f z 沿着曲线γ自始点至终点的辐角的增量.习题2第 18题解Step1 支点为0,1,2±及∞, 按(1)方法确定其中一条支割线K, 如图图2[]1,2{0},K iy y =-⋃>由分解定理, ()w f z ==在被K 割破以后的平面区域\G C K =内可以分解为3个单值解析分支 []2arg(1)arg(1)arg(2)arg 33(),0,1,2.i k z z z z i k k w w f z e k π++-+--====-1 0 1 2 3i γ zStep2 由初始条件(3)0,k f w =>得0k =, 即主值分支:[]arg(1)arg(1)arg(2)arg 300(),i z z z z w w f z ++-+--===Step3 计算00()w f i =的值. 由于指定点i 正好在支割线K 上, 因此, 在左右两侧同一分支应该有两个值, 记为 0,l w 0r w 区分i 左右的值. 00()()w i f i == 0a r g (3)0,w = 下计算(),Argf z γ∆ 如图2, 任意选取从3到i 的右侧的曲线γ, 则()(1)(1)(2)arg r r r r r Argf z arg z arg z arg z z γγγγγ∆=∆++∆-+∆--∆ 1311311arctan cot ;4422222arctg arc ππππππ=++--=-=+ 同理, 取一条从3至i 左侧的曲线γ, 可得最后带入公式(3), 得出00()w w f z ==在指定点i 的函数值:03111arctan (arctan )arctan arg (3)322322320123(),i i i i ar i cctg w r w i e ππππ⎡⎤⎡⎤⎡⎤-+-+-⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦=⋅==1(arctan )320().i lw i π-+=-匆忙之中写出的解答, 感兴趣的同学阅读后若发现有错误, 可联系我. 何老师. 2017.3.27 51()arctan 22lArgf z γπ∆=--。
复变函数-第1章
(5) z = z , z = z , zz = z .
2
z1 z1 z 2 z1 z 2 (6) = = ( z 2 ≠ 0). 2 z2 z2 z2 z2
2. 复数的几何意义与极坐标表示
y
复平面
一一对应
b
Z = ( a, b)
复数的模与辐角
z = x + iy 的模 r = z = x 2 + y 2
模可以比较大小，并且 z = 0 ⇔ z = 0 三角不等式： x ≤ z , y ≤ z , z ≤ x + y
z1 − z 2 ≤ z1 ± z 2 ≤ z1 + z 2
上一页
z1 + L + z n ≤ z1 + L + z n
Argτ z : τ < Argτ z ≤ τ + 2π , Arg −π z = arg z. (arg z ) k : α + 2kπ < (arg z ) k ≤ α + 2(k + 1)π (k = 0,±1,±2...) Argα z = (arg z ) 0 : α < (arg z ) 0 ≤ α + 2π
•Cauchy建立了复变函数的积分理论（如第3章） 。 •Weierstrass建立了复变函数的级数理论 （如第4章） 。 •Riemann建立了复变函数的几何理论（如第6章） 。
这三部分构成了复变函数的理论基础。
小结：
16世纪解方程 x2+1=0 1777欧拉（Euler）系统建立了复数理论, 发现复指数函数与三角函数之间的关系.
复变函数第四象限的点幅角
复变函数第四象限的点幅角复变函数第四象限的点幅角是复数在复平面中的位置和角度，是复数理论中的重要概念。
在复数理论中，复变函数是指将复数作为自变量的函数，其定义域和值域都是复数集合。
复数可以用直角坐标系中的点表示，也可以用极坐标系中的幅角表示。
在第四象限内的复数，其实部和虚部都是负数，表示在直角坐标系中位于第四象限的点。
复数可以表示为z = x + yi的形式，其中x为实部，y为虚部，i为虚数单位。
在复平面中，复数z对应于点(x, y)，并且可以用极坐标形式表示为z = r(cosθ + isinθ)，其中r为复数的模，θ为幅角。
在第四象限内的复数，其幅角θ在π/2到π之间。
复变函数的第四象限的点幅角对于分析和理解复变函数的性质和行为具有重要意义。
在复平面内，复数的幅角决定了其在平面内的方向和位置，而模则决定了其到原点的距离。
通过分析复变函数在第四象限内的点幅角，可以帮助我们理解复变函数的奇偶性、周期性和对称性，对于绘制函数图像、求解方程和积分等具有重要作用。
在复变函数的研究中，第四象限的点幅角还可以引申出许多重要的概念和定理，例如复数的共轭、幂函数的性质、指数函数的图像等。
通过深入研究复变函数的第四象限的点幅角，可以更好地理解复数理论的内涵和复杂性，为解决实际问题提供有力的数学工具。
从个人的观点和理解来看，复变函数第四象限的点幅角是复数理论中的重要概念，对于理解和运用复变函数具有重要意义。
通过对复变函数第四象限的点幅角进行深入分析，可以更好地理解复数的性质和行为，为数学建模、信号处理和物理问题的求解提供有力支持。
在总结回顾本文内容时，需要强调复变函数第四象限的点幅角在复数理论中的重要性，以及对复数性质和行为的影响。
并且强调复变函数第四象限的点幅角对于解决实际问题具有重要意义，可以为数学建模、信号处理和物理问题的求解提供有力支持。
总结回顾时还要提到本文强调了对复变函数第四象限的点幅角进行深入分析的重要性，以及通过深入研究可以更好地理解和运用复数理论，为数学建模和实际问题的求解提供重要支持。
复函数支点的判断方法_陈龙伟
2000年9月 思茅师范高等专科学校学报 Sep .2000 第16卷 第3期 Journal of Simao Teachers 'College Vol .16 No .3 复函数支点的判断方法①陈龙伟(思茅师范高等专科学校 数理系,云南 思茅 665000)摘要:根据支点的定义给出了求复函数支点的简单方法.关键词:复函数;支点;闭曲线 在复变函数中,支点及分支是一重要概念,然而在众多教材中均没有给出判断复平面上一点是否是复函数的支点的具体方法,现归纳如下.定义 Zo 称为复函数w =f (Z )的支点;若变点Z 绕Zo 一周时,f (Z )从一支变到另一支,即当变点回到原来的位置时,函数值与原来的值相异,则称Zo 为f (Z )的支点.[1]命题1 设Zo (≠∞)为w =f (Z )的孤立奇点,C 为包含Zo 的闭曲线,f (Z )在C 所围区域D -{Zo }解析.当Z 从C 上某点开始沿C 转一周时(如图1),则(1)f (Z )的值发生改变时,Zo为f (Z )的支点;(2)f (Z )的值不改变时,Zo 不是f (Z )的支点.命题2 设Z =∞为f (Z )的孤立奇点,Zo ,Z 1,…Z n (有限个)为w =f (Z )的有限支点,C 为包含Z 1,Z 2,…Z n 的闭曲线,(如图2),则当变点Z 绕C 一周时,(1)f (Z )的值改变,Z =∞为f (Z )的支点;(2)f (Z )的值不改变,∞不是f (Z )的支点. 命题1及命题2都可以根据定义证,在此从略.根据命题1及命题2可得如下推论.推论1 设f (Z )=nP (Z ),其中P (Z )为任意N 次多项式P (Z )=A (Z -a 1)α1(Z -a 2)α2…(Z -a m )αm a 1,a 2,…a m 为P (Z )的一切相异零点,α1,α2,…αm 分别为它们的重数,合于α1+α2+…αn =N 则(a )f (Z )=P (Z )可能的支点是a 1,a 2,…,a n ,∞;(b )当且仅当n 不能整除αi 时,a i 为nP (Z )的支点;(c )当且仅当n 不能整除N 时,∞为f (Z )的支点.此结论可以根据f (Z )=nP (Z )的幅角变化情况由命题1,2推出.例 考察函数f (Z )=3z (1-z )的支点.解27①收稿日期:2000-03-03如图3～6.(a )当z 沿包含0点,不包含1的闭曲线C O转一周时(如图3)■C 0arg f (Z )=13[■C 0arg Z +■C 0arg (1-Z )]=13[2π+0]=23π(b )当z 沿包含1但不包含0的闭曲线C O 转一周时(如图4)■C 1arg f (Z )=13[■C 1arg Z +■C 1arg (1-Z )]=13[0+2π]=23π(c )当z 沿着含z O (≠0,1)点,不包含0,1的闭曲线C 2一周时(如图5)■C 2arg f (Z )=13[■C 2argz +■C 2arg (1-z )]=13[0,+0]=0(d )当Z 沿着包含0及1的闭曲线C 一周时(如图6) ■c arg f (Z )=13[■c ar g Z +■c ar g (1-Z )]=13[2π+2π]=43π函数值的改变是■f =ρi ■c arg f (Z ),(f (Z )=f (Z )·■f )(a ),(b ),(d )发生改变,(c )没有改变;故0,1,∞为支点,Z 0不是支点.推论2 设f (Z )=L n P (Z ),其中P (Z )=A (Z -a 1)α1(Z -a 2)α2…(Z -a m )αm a 1,a 2,…,a n 为P (Z )的相异零点,则a 1,a 2,…,a m ,∞均为f (Z )的支点.证明:(a )当Z 沿包含αK 但不包含a j (j ≠k )的闭曲线C 0一周(如图7)■c arg (Z -Z K )=2π■c arg f (Z )=2παk 从而f (Z )的值改变了2παki ,故a k (k =1,2,…,m )均为支点.(b )当Z 沿包含a 1,a 2,…,a m 的闭曲线C 1一周时(如图8)■C 1 arg (Z -a k )=2π(k =1,2,…,m )■C 1 arg =2π∑mk =1αk故∞为f (Z )的支点.[参考文献][1] 钟玉泉.复变函数论.北京:高等教育出版社,1988.5[2] 夏宗伟.应用数学基础,西安:西安交通大学出版社,1989.11The Method of Complex Valued FunctionBranch PointCHE N Long -wei(Department of Mathmatics and Physics ,Simao Teachers 'College ,665000 Simao ,China )A bstract :The method of complex valued function branch point is given according to the definition of branch pointKey words :complex valued function ;branch point ;closed curve 28思茅师范高等专科学校学报。
论复变函数在工程中的应用
复变函数与积分变换学院：电气工程学院专业班级：电气工程及其自动化1303班学号： 131502131学生姓名：王丁指导教师：丁蕾辅导员：鲁力鹏2014年12月论复变函数在工程中的应用1、利用复变函数研究平面向量场的有关问题。
以静电场为例。
我们知道，场内没有其他带电物体的平面静电场即使无源场也是无场。
我们可以利用复变函数中的解析函数构造场E的复势。
因为E为无源场，所以divE=+=0。
从而我们知道在B内−dx+E x dy是某二元函数u(x,y)的全微分，即：du x,y=−dx+E x dy由于等值线u(x,y)=c1上任一点处电场强度E的方向与等值线在该点处的切线方向相同，等值线就是向量线，也就是场E的电力线。
因此称u(x,y)为该场的力函数。
又因为场E为无旋场，所以−=0。
从而我们知道在B内−Exdx−Eydy也是某二元函数v(x,y)的全微分，即：dv x,y=−E x dx−E y dy所以v(x,y)是场E的势函数，等值线v(x,y)=c2就是等势线。
综上所述，不难看出如果E是单连域B内无源无旋场，那么u与v也满足C-R方程，并且它们具有连续偏导数，所以，函数w=f(z)=u(x,y)+iv(x,y)是B内的一个解析函数，成为静电场E的复势。
利用静电场的复势可以统一研究力函数和势函数，讨论电力线和等势线的分布，描绘出静电场的图像。
以上便是复变函数在静电场中最初步研究的一些浅显的应用。
显而易见，复变函数的一些基本性质（如解析函数、C-R条件等）在其中发挥着举足轻重的作用。
2、相量法分析线性电路的正弦稳态响应。
相量法（phaser method），分析正弦稳态电路的便捷方法。
它用称为相量的复数代表正弦量，将描述正弦稳态电路的微分（积分）方程变换成复数代数方程，从而简化了电路的分析和计算。
相量可在复平面上用一个矢量来表示。
它在任何时刻在虚轴上的投影即为正弦量在该时刻的瞬时值。
引入相量后，两个同频率正弦量的加、减运算可以转化为两个相应相量的加、减运算。
复变函数的微分中值定理及其应用
复变函数的微分中值定理及其应用郑利凯【摘要】研究整函数的微分中值定理,得到一个新的复变函数微分中值定理.给出了复变函数微分中值定理在定理证明和计算复变函数不定式极限方面的应用.【期刊名称】《湖北民族学院学报（自然科学版）》【年(卷),期】2013(031)001【总页数】5页(P38-42)【关键词】微分中值定理;整函数;高阶导数定理;不定式极限【作者】郑利凯【作者单位】内蒙古民族大学数学学院,内蒙古通辽028000【正文语种】中文【中图分类】O174.52我们知道实分析中有完整的微分中值定理，包括罗尔定理，拉格朗日定理，柯西中值定理等.但是实分析中的微分中值定理不能简单地推广到复变函数上来［1－3］.例如:设，但对任何θ∈［0，2π］，总有eiθ(2π －0) ≠ 0.但如果中值点不限制在区间上，而是限制在一个圆形邻域内，实分析中的微分中值定理就可以推广到复变函数上来.主要的结论有:文献［4］中得到以下结果:引理1 设函数f(x)在区域A内解析，a为A内任意一点，那么对于点a的某邻域G⊂A，及任意点b∈G\{a}，存在满足条件引理2 设函数f(x)，g(x)在区域A内解析，a为A内任意一点，那么对于点a的某邻域G⊂A，在G内有g(n+1)(x)≠0，则对任意点b∈G\{a}，存在满足条件的点 z，使得:引理3 设函数f(x)，g(x)在区域A内解析，a为A内任意一点，那么对于点a的某邻域G⊂A，在G内有g'(x)≠0，则对任意点b∈G\{a}，存在满足条件的点 z，使得:文献［5］中得到以下结果:引理4 设函数f(x)在区域A内解析，a为A内任意一点，那么对于点a的某邻域G⊂A，对任意点b∈G\{a}，存在满足条件的点 z，使得:因为常见的函数大都是整函数，下面将这些解析函数中值定理的结论应用到整函数上，得到整函数的微分中值定理.1 整函数的微分中值定理根据上面的结论，可以推得以下定理:定理1 设函数f(x)为整函数，a为复平面内任意一点，那么对于复平面内任意点b≠a，存在满足条件证明因为f(x)为整函数，所以f(x)在全平面内解析.a，b为复平面内任意两点，所以存在原点O的某邻域U(0;δ)，使得 a，b∈U(0;δ).f(x)在U(0;δ)内解析，根据引理 1 可知，存在满足条件定理2 设函数f(x)，g(x)为整函数，a为复平面内任意一点，对于点a的某邻域G⊂A，在G内有g(n+1)(x)≠0，则对任意点b∈G\{a}，存在满足条件的点z，使得:2 一个新的复变函数微分中值定理故F(z)，G(z)在点a的某邻域U(a)内解析，所以F(z)，G(z)在U(a)内存在任意阶导数.又F(a)=F'(a)=F″(a)= … =F(n)(a)=0，G(a)=G'(a)=G″(a)= … =G(n－1)(a)=0，G(n)(a)=n!.对F(z)，G(z)连续运用定理5，总共n次，得到:3 复变函数微分中值定理的应用复变函数的微分中值定理有着广泛而灵活的应用，下面就定理证明和计算复函数不定式极限两个方面加以论述.3.1 定理的证明解析函数的高阶导数定理是复变函数理论中一个及其重要的定理，一般著作都以积分不等式估计积分模的上限加以证明，下面用复变函数的微分中值定理来证明. 解析函数的高阶导数定理(柯西积分公式的推广)［6］设函数f(z)在简单闭曲线C 所围成的闭区域D内解析，而在=D∪C上连续，则f(z)的各阶导函数均在D内解析，对D内任一点z，有:证明考虑n=1的情形.根据柯西积分公式有:对上式右端的积分值，作如下估计:因f(ζ)在C上连续，可设M1是|f(ζ)|在C上的最大值，又设δ为点z到 C 上的最短距离，于是当ζ在 C 上时，有|ζ－z|≥δ，先取则有:由此可得:即n=1时命题成立.现假设n=k时命题成立，下面来推证n=k+1时命题也成立.3.2 计算不定式极限运用新得到的两个复变函数微分中值定理，即定理5，定理6，可以方便快捷地计算复变函数不定式的极限.参考文献:［1］李颖.复变函数的中值定理(英文)［J］.湘潭大学自然科学学报，1999(4):125－129.［2］曾韧英.关于复变函数的中值定理［J］.重庆师范大学学报:自然科学版，1998，S1:46－47.［3］李晓玲.微分中值定理在复数域内的推广［J］.佳木斯大学学报:自然科学版，2009(5):791－792.［4］蒋润荣.Grace定理的推广［J］.数学杂志，1991(1):61－63.［5］苏子安.复函数的微分中值公式［J］.数学的实践与认识，1992(4):90－92. ［6］钟玉泉.复变函数论［M］.3版.北京:高等教育出版社，2004:132－147.。
浅谈＂支点法＂教学在宏观经济学课程中的应用
是 ｌ １ 年来 的最高值 。 而造成美 国 Ｇ Ｄ Ｐ数值惊动全球 的原 因则 比较 复杂。先看
少数有 数学天赋 的学生 ， 其余 多 数大学 新生 面对 排 山倒海 般 的理论 与模 型往往头大如斗 ， 更 不用说 进入财经 、 经 贸或工 商 管理 专业 就读的大一学生 中还有不少文科生 。
若 干 建设 性 意 见 。 关键 词 ：“ 支 点 法” 教 学 ；宏 观 经济 学 ；教 学 理念
一
、
宏 观 经 济 学 课 堂 教 学 中 的 宏 观 经 济 学 课 程 中 的应 用 策 略
１ ． 找 寻 真 实客 观 的 “ 支点 ”
“ 心” ， 由此 便 可激 发学 生 的学 习兴 趣 。兴 趣 是最 好 的老 师 。
一
切卓有成效 的教 育无一不是在学生 兴味盎然 的基础 之上取
得事半功倍 的教育结果 。借着 “ 支点 ” 的引导 与辅 助 ， 学生不
仅 可 以重 新 燃 起 学 习 宏 观 经 济 学 的 热 情 ， 更 能一改 畏难 、 疲 乏 甚 至 敷 衍 了事 的 错 误 心 态 ， 从 相 对 被 动 的 强 迫 式 学 习 转 为 更 加 积 极 主 动地 融 人 教 学 过 程 。 自然 ， 这 种 良性 的 教 学 环 境 无 疑 能 够 更 好 地 实现 教 学 目标 。
费 欲 望 … …
正如物理“ 杠杆原理 ” 具 有 以小搏 大的 特性一 样 ， 在宏 观 经济学课程 中找到一个个“ 支点 ” 就如同找到 了突破 传统 陈旧
教 学 痼 疾 的 端 口 。“ 支点 ” 的生动 、 灵 活甚 至趣 味性能 够让学 生 发 现 一 门 纯 理 论 科 学 的 僵 硬 外 表 下 其 实 也 有 一 颗 灵 动 的
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毕业论文（设计）题目：论复变函数中支点的地位和作用学生姓名：王艳丽学号：1005010333所在院系：数学与计算科学系专业名称：数学与应用数学专业届次：2014 届指导教师：霍玉洪淮南师范学院本科毕业论文（设计）诚信承诺书1.本人郑重承诺：所呈交的毕业论文（设计），题目《》是本人在指导教师指导下独立完成的，没有弄虚作假，没有抄袭、剽窃别人的内容；2.毕业论文（设计）所使用的相关资料、数据、观点等均真实可靠，文中所有引用的他人观点、材料、数据、图表均已注释说明来源；3. 毕业论文（设计）中无抄袭、剽窃或不正当引用他人学术观点、思想和学术成果，伪造、篡改数据的情况；4.本人已被告知并清楚：学院对毕业论文（设计）中的抄袭、剽窃、弄虚作假等违反学术规范的行为将严肃处理，并可能导致毕业论文（设计）成绩不合格，无法正常毕业、取消学士学位资格或注销并追回已发放的毕业证书、学士学位证书等严重后果；5.若在省教育厅、学院组织的毕业论文（设计）检查、评比中，被发现有抄袭、剽窃、弄虚作假等违反学术规范的行为，本人愿意接受学院按有关规定给予的处理，并承担相应责任。
学生（签名）：日期：年月日目录引言 (1)1预备知识 (2)1.1支点的定义 (2)1.2无穷远点（∞的引入） (2)2支点在多值函数中的作用 (4)2.1在多值函数中的作用 (4)2.1.1支点在作可单值分支中的作用 (4)2.1.2 支点在单值解析分支中的作用 (6)2.2有限支点在复变函数中的地位及作用 (9)2.3无穷远点在复变函数中的地位与作用 (12)2.3.1 有关无穷远点的规定 (12)2.3.2 无穷远点在解析函数奇点中的作用及地位 (14)2.4支点在留数中的作用与地位 (15)2.4.1无穷远点∞留数的计算方法 (16)2.4.2 支点在多值函数的积分中的应用 (19)结论 (23)参考文献 (23)淮南师范学院2014届本科毕业论文论复变函数中支点的地位与作用学生：王艳丽（指导老师：霍玉洪）（淮南师范学院数学与计算科学系）摘要：本文先对支点的定义进行介绍，再介绍无穷远点的引入及其相关知识点并结合例题加以说明支点在复变函数中的地位与作用。
紧接着介绍支点在多值函数中的应用和有限支点在复变函数中的作用，最后再通过相关定理及例题说明支点在留数中的应用。
关键词:支点；有限点；无穷远点；留数The position and role of the functions of a complexvariable fulcrumStudent: Yanli Wang (Faculty Adviser: Yuhong Huo) (Department of Mathematics and Computational Science, Huainan Normal University) Abstract: The paper introduce defines of fulcrum firstly, and then introduce the infinite point and related knowledge. Soon afterwards it combineswith examples to illustrate the fulcrum in complex status and function. Andthen introduce the fulcrum in the application of multi value functionand limited fulcrum in the complex variable function. In the end, it adoptsthe relevant theorems and examples to illustrate the application of thefulcrum in the residue.Keywords: fulcrum; the finite point; infinite point; residue引言如果把实数域中的初等函数推广到复数域中，那么这些初等函数的性质也ln都变成了会跟着其发生相应的一些变化，譬如根式函数w=n z和对数函数w=z多值函数。
在多值函数的复平面上，如果用简单曲线把该多值函数的全部支点依次连接起来并沿着它割破z平面，那么割破了的z平面就构成了一个以这条割论复变函数中支点的地位与作用线为边界的区域，记作G，因此在G内就可以分出该多值函数的单值解析分支。
然而我们在G内任意选取一点z0，并指定z的一个辐角值，那么在G内任意的点z,均可由z的辐角，连续变化而唯一确定z的辐角。
当把数学分析中的初等函数的解析推广到复数域时,然而就会有些单值函数(譬如xln)随之派生出多值函数，而那些原本应该属于实数域中的多值函数就会随之变为复数域中的多值函数，由此可以看出，当且仅当在复数域内讨论这些多值函数才可以真正的体现出它们的真实本质。
因此在复变函数论中，多值函数的讨论占有重要位置，可见支点在复数函数中的重要性和地位。
1预备知识1.1支点的定义定义：若存在一点a（可以是∞），设多值函数f(z)在该点的某一充分小的去心邻域G-{a}内有定义,如果对于G-{a}中的任意一条不包含a的简单封闭曲线L，当变点z从L上一点出发，绕简单闭曲线L连续变动一周而回到其出发点时，此时f(z)的函数值没有发生变化，反之，若总存在一条包围点a的简单闭曲线L，使得当变点z绕a点旋转一圈时，使多值函数f(z)从其一支变为另一支,也就是说，当变点z回到其出发点的位置时，函数值与原来值相异，那么我们就称点a为f(z)的一个支点[1]。
1.2 无穷远点（∞的引入）我们都知道，复数有一种几何表示法, 即任何一个复数都可以用复平面上的一个点来表示，如果借用地图制图学中将地图投影到坐标平面上的测地投影法,可以建立复平面与球面上的点的对应[2]。
故，我们就用这种对应关关来说明复变函数中引入∞的合理性。
淮南师范学院2014届本科毕业论文图1 引入∞的示意图如上图1所示，取一个与z平面相切并且过原点O的球面,现过点O作一条垂直于z平面的直线且与球面相交于一点N，任取z平面上的一点z与点N相连而成一条直线段,那么，此线段必交球面于一点，记为P(z)。
因此,复平面上的点与球面上的点(点N除外)建立起一个一一对应关系。
z平面上一个以原点O为中心的圆周C对应球面上一个圆周。
当圆周C的半径越来越大时,圆周C就会越来越靠近于点N，故我们把点N看作是一个与z平面上的模为无穷大的假想点相对应,所以我们就把这个假想点叫做无穷远点，因此，在复平面加上无穷远点后，复平面就变成了扩充复平面,然而与其对应的就是整个球面,故我们称这个球面为复球面。
换句话说,这个扩充复平面的几何模型就是复球面，所以扩充复平面上的这个假想的无穷远点就会随之对应一个假想的复数。
我们称这个假想的复数为无穷。
在复变函数中，由于点和数不可区分,所以无穷和无穷远点就不可以区分,故都记作∞[3]。
定义1设在解析区域D内有一点a使复变函数f(z)在此点处的值为零，则称点ａ为解析函数f(z)的零点[4]。
定义2 若函数f(z)在点z0不解析，但在z的任一领域内总有f(z)的解析点，则称z为函数f(z)的奇点[5]。
论复变函数中支点的地位与作用定义3 设复变函数f(z)在点a 的去心邻域：０＜｜ｚ－ａ｜＜R 内解析点ａ为奇点，则称点a 为函数f(z)的孤立奇点[6]。
定义4 设有限点a 为复变函数f(z)的孤立奇点，即复变函数f(z)在点a 的去心邻域：０＜｜ｚ－ａ｜＜R 内解析,则称积分 12i π()f z dz Γ⎰（Γ:｜ｚ－ａ｜=ρ，0<ρ<R ）为复变函数f(z)在点a 的留数（residue ）记为Re z a s =f(z)[7].2支点在多值函数中的作用2.1 在多值函数中的作用为了说明支点在多值函数中的作用，下将分别以支点在可单值分支中的作用和支点在单值解析分支中的作用加以说明。
2.1.1支点在作可单值分支中的作用连接所有支点的Jor dan 曲线为支割线，将复平面沿支割线割开所得的区域为可单值分支区域。
在实际问题中，我们总是想使可单值分支区域更大一点，从而使取得得割线更短一些[8]。
例如：（1）log F （z ）的可单值分支区域如果函数F(z)可以分解为F(z) =F 1(z)F 2(z)（其中函数F 1(z)为一有理式，F 1(z)的分子分母次数相同且F 1(z)本身不能再作类似的分解），此时我们只需将F 1(z)的所有相关的支点（∞点除外）连接起来，就可以分出log F 1(z)的单值分支。
又因为log F （z ） = log F 1(z) +log F 2(z)，所以我们只需要考虑log F 2(z)的多值性。
利用以上的方法，再分解F 2(z)，如此进行下去，就可以得到 log F （z ）的最大可单值分支区域。
的可单值分支区域已知R 1（z ）为一有理式，且其分子次数与分母次数之差为n 的整数倍，而且R 1（z ）本身不能分解, 若存在R 2(z)使R(z)分解为R(z) = R 1（z ）R 2(z)，那么淮南师范学院2014届本科毕业论文的单支分支。
利用这个原则，再对R 2(z)支区域。
例1 求F （z ）解: 由（z-1)(z-3)(z-4)(z-5)=0得z = 1，3，4，5，即z = 1，3，4，5都是F （z ）的支点，可见，在复平面内沿实轴从z =1到z = 5做割线，那么所得到的区域D 即是可单值分支区域。
为了使割线尽量小，此时只需要考虑仅含两个支点的Jordan 曲线。
设C 是一条不通过z=1，3，4，5且仅内含z =1，3的Jordan 曲线，则∆c ∆c arg(1)z -+∆c arg(3z -）+∆c arg(4z -）+∆c arg(5z -）= 2π±2π±=4π±故由∆c 可得∆c ()arg z =2nk π(这里k 为任意整数，n 为自然数)。
从而有∆c F(z)=0，同理，若取C 是仅含有z=3,z=4的Jordan 曲线，亦有∆c F(z)=0.故连接z=3,z=4的直线段及连接z=1，z=5的直线段为割线所得的区域D 即为所求。
例2：讨论多值函数 F(z)=μβα---z z z ))((ln 的可单值分支区域。
解：易知，多值函数F(z)=μβα---z z z ))((ln的支点为ａ、β、μ、∞.又F(z)=μβα---z z z ))((ln =μβα---z z z ))((ln +]2)arg()arg()[arg(πμβαk z z z i +---+- （k ∈z ）由于在以连接ａ、β以及连接μ与∞的两条简单曲线为割线且互不相交的区域内取一条内部包含连接ａ、β的割线为简单闭曲线C ，当点z 沿着C 正方向旋转论复变函数中支点的地位与作用一周时，)arg(α-z 、)arg(β-z 各增加2π，而)arg(μ-z 的值没有发生变化，所以多值函数的值发生了变化，所以以连接ａ、β以及连接μ与∞的两条简单曲线为割线的区域不是可分单值分支区域。