北京航空航天大学概率统计邢家省第一章(第三,四节)

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随机过程（北航著）北京航空航天大学出版社第1章习题课后答案

第一章概论第1题某公共汽车站停放两辆公共汽车A 和B ，从t=1秒开始，每隔1秒有一乘客到达车站。

如果每一乘客以概率21登上A 车，以概率21登上B 车，各乘客登哪一辆车是相互统计独立的，并用j ξ代表t=j 时乘客登上A 车的状态，即乘客登上A 车则j ξ＝1，乘客登上B 车则jξ＝0，则,21}0{,21}1{====j j P P ξξ当t ＝n 时在A 车上的乘客数为n n j j n ηξη,1∑==是一个二项式分布的计算过程。

（1）求n η的概率，即;,...,2,1,0?}{n k k P n ===η（2）当公共汽车A 上到达10个乘客时，A 即开车（例如t ＝21时921=η，且t ＝22时又有一个乘客乘A 车，则t ＝22时A 车出发），求A 车的出发时间n 的概率分布。

解（1）：nn k n k P ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛==21}{η 解（2）：nn n n P P ⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎠⎞⎜⎝⎛⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−==−2191212191A)10n 9A 1-n (}n A {1名乘客登上车时刻第名乘客；在有时刻，车在开车在时刻车第2题设有一采用脉宽调制以传递信息的简单通信系统。

脉冲的重复周期为T ，每一个周期传递一个值；脉冲宽度受到随机信息的调制，使每个脉冲的宽度均匀分布于（0，T ）内，而且不同周期的脉宽是相互统计独立的随机变量；脉冲的幅度为常数A 。

也就是说，这个通信系统传送的信号为随机脉宽等幅度的周期信号，它是以随机过程)(t ξ。

图题1－2画出了它的样本函数。

试求)(t ξ的一维概率密度)(x f t ξ。

解：00(1)()()(){()}{()0}[(1),],(0,){()}{[(1),]}{[(1)]}1(1)(1)1({()0}1{()}t A A n n n Tt n T f x P x A P x P t A P P t P t n T nT n T P t A P t n T nT P t n T d TT t n T T nT t T t n Tt n T T t n P t P t A ξδδξξηξηηηξξ−−=−+====∈−∈==∈−+=>−−=−+−=−==−−−=−−−==−==∫是任意的脉冲宽度01)(1)()()()()(1)()t A T tn T Tf x P x A P x t t n x A n x T T ξδδδδ=−−∴=−+⎛⎞⎛⎞=−−+−−⎜⎟⎜⎟⎝⎠⎝⎠第3题设有一随机过程)(t ξ，它的样本函数为周期性的锯齿波。

概率统计各章节知识点总结

F( x) pk xk x 右连续
x
F ( x) f (t)dt 连续
概率分布
分布律：
X x1 pk p1
x2 xk
pk 1 概率密度：
f (t )dt 1
p2 pk
f (x)
概率1分布情况,直观
概率计算
pk
x
x1 x2 x
P( x1 X x2 )
pk
x1 xk x2
E(Y ) E[g( X )]
g( x) f ( x)dx
Z g( X ,Y ) E(Z ) E[g( X ,Y )]
g连续
g( xi , y j ) pij
j1 i1
E(Z ) E[g( X ,Y )]
g( x, y) f ( x, y)dxdy
D( X )
E[X E( X )]2
x
f
(t )dt
性质1、2
f (x) 0
f ( x)dx 1
性质3
P(x1 X x2 ) F(x2 ) F(x1)
x2 f (x)dx
x1
性质4 F( x) f ( x)
5
第三章
二维随机变量(X,Y)
(X,Y)离散型
(X,Y)连续型
(X,Y) 联合分布函数联合分布律
整体
F(x, y)
S 2
1 n1
n i 1
(Xi
X )2
X
Sn
~ t(n 1)
15
第六章
连续型随机变量及其分布
X ~ U(a,b)
X ~ E( )
f (x)
1 b a
a xb
0 其它
f
( x)

分布函数列的一致收敛性

分布函数列的一致收敛性邢家省;杨义川【摘要】研究了函数列的一致收敛性问题.对狄尼定理的另一种形式的结果给出了证明,并将此结果应用于随机变量序列的分布函数列的一致收敛性研究,指出了中心极限定理的深刻结果,时t-分布的随机变量序列的极限分布给出了2种直接的证明方法.【期刊名称】《吉首大学学报（自然科学版）》【年(卷),期】2018(039)002【总页数】4页(P1-4)【关键词】一致收敛性;狄尼定理;t-分布;极限分布【作者】邢家省;杨义川【作者单位】北京航空航天大学数学与系统科学学院,北京100191;北京航空航天大学数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100191;北京航空航天大学数学与系统科学学院,北京100191;北京航空航天大学数学、信息与行为教育部重点实验室,北京100191【正文语种】中文【中图分类】O211.3判断函数列的一致收敛性是经典数学分析中的重要课题.奥斯古德定理和狄尼定理是判断函数列一致收敛的一个充分条件，在数学分析中是常用定理.狄尼定理的另一种形式在数学分析中一般不作为定理，人们在使用它时不得不重复证明.笔者将对狄尼定理的另一种形式的结果给出证明，并将此结果应用于分布函数列的一致收敛性研究.对于随机变量序列的分布函数列的收敛性，以往仅着重于弱收敛性，而对于一致收敛性的重视不够.在实际应用中，分布函数列的一致收敛性是需要的，特别是要为近似计算提供理论依据.1 狄尼定理的另一种形式定理1[1-7] 设函数序列{fn(x)}在[a,b]上逐点收敛于函数f(x),若f(x)在[a,b]上连续，且对于每个n,fn(x)都是[a,b]上的单调函数,则 {fn(x)}在[a,b]上一致收敛于f(x).证明因为f(x)在[a,b]上连续，所以f(x)在[a,b]上一致连续.对于∀ε>0，存在δ(δ>0)，当x,y∈[a,b]，|x-y|<δ时，|f(x)-f(y)|<ε.取正整数J充分大，使得记xi=a+i(i=0,1,…,J).因为所以对于上述ε，存在正整数N，当n>N时，|fn(xi)-f(xi)|<ε(i=0,1,…,J).又因为对于每个n，fn(x)都是[a,b]上的单调函数,所以|fn(x)-fn(xi)|≤|fn(xi+1)-fn(xi)|(x∈[xi,xi+1]，i=0,1,…,J).对于∀x∈[a,b]，存在i，使得x∈[xi,xi+1]，|fn(x)-f(x)|≤ |fn(x)-fn(xi)|+|fn(xi)-f(xi)|+|f(xi)-f(x)|≤|fn(xi+1)-fn(xi)|+2ε≤|fn(xi+1)-f(xi+1)|+|f(xi+1)-f(xi)|+|f(xi)-fn(xi)|+2ε<5ε，即{fn(x)}在[a,b]上一致收敛于f(x).2 随机变量序列的分布函数列的一致收敛性定理2[8-12] 设随机变量Xn的分布函数为Fn(x)，随机变量X的分布函数为F(x)，若在(-∞,+∞)上连续，则{Fn(x)}在(-∞,+∞)上一致收敛于F(x).证明已知Fn(x)是单调递增函数，且0≤Fn(x)≤1.因为F(x)是单调递增函数，且所以对于∀ε>0，可找到M(M>0)，使得当x≥M时1-F(x)<ε，当x≤-M时F(x)<ε.又因为所以存在正整数N1，使得当n>N1时，|Fn(-M)-F(-M)|<ε，|Fn(M)-F(M)|<ε，于是Fn(-M)≤|Fn(-M)-F(-M)|+F(-M)<2ε，1-Fn(M)=1-F(M)+F(M)-Fn(M)<2ε.因此，对于x<-M，若n≥N1，则|Fn(x)-F(x)|≤|Fn(x)|+F(x)≤Fn(-M)+F(-M)<3ε.同样地，对于x>M，若n>N1，则|Fn(x)-F(x)|=|(1-Fn(x))-(1-F(x))|≤|1-Fn(x)|+|1-F(x)|≤1-Fn(M)+1-F(M)<3ε.已知F(x)在[-M,M]上连续，由于Fn(x)都是[-M,M]上的单调递增函数，因此由定理1可知{Fn(x)}在[-M,M]上一致收敛于F(x).对于上述ε，存在正整数N(N>N1)，当n>N时，对于∀x∈[-M,M]，|Fn(x)-F(x)|<ε.综上所述，{Fn(x)}在(-∞,+∞)上一致收敛于F(x).3 中心极限定理结果的进一步表述中心极限定理是概率论中的重要结果，但往往仅表述为“分布函数列的点点收敛”，这对于近似计算理论是不够用的，应表述为“分布函数列的一致收敛”这样的深刻结果，才能为近似计算提供严密的理论依据.定理3[8-12] 设随机变量X1,X2,…,Xn,…独立同分布,且存在有限的数学期望和方差分别为E(Xi)=μ,D(Xi)=σ2≠0(i=1,2,…).记为Yn的标准化，又记则对于任意实数且在(-∞,+∞)上一致收敛于Φ(x).由定理3可知对于∀故4 t-分布的随机变量序列的极限分布直接证明方法t-分布的随机变量序列的极限分布是正态分布，这个结果是熟知的且有多种证明方法，但某些证明方法利用的知识较多，过于复杂.现给出2种直接证明方法.定理4[8-17] 设随机变量Xn的概率密度为为常数，又设Xn的分布函数为Fn(x)(n=1,2,…),则证明记易知，对于∀A>0，{gn(x)}在[-A,A]上一致收敛于于是显然收敛.由广义积分控制收敛定且关于x∈(-∞,+∞)是一致的.由于 1= fn(x)dx=Cngn(x)dx=Cn gn(x)dx,因此于是关于x∈(-∞,+∞)是一致的.定理5 设随机变量X～N(0,1)，Yn～χ2(n)，记则{Tn}以概率收敛于X，{Tn}的分布函数列{Fn(x)} 在(-∞,+∞)上一致收敛于Φ(x).证明由Yn～χ2(n)可知E(Yn)=n,D(Yn)=2n.对于∀以概率收敛于1.利用不等式可得⊂由此可得以概率收敛于1，进而可得以概率收敛于1，于是以概率收敛于X.由以概率收敛必以分布收敛定理[8-12]，{Tn}的分布函数列{Fn(x)} 在(-∞,+∞)上一致收敛于Φ(x).5 随机变量序列收敛实例例1 设随机变量Xn的概率密度为则证明记则又收敛，显然对于∀A>0，{gn(t)}在[-A,A]上一致收敛于0.由广义积分控制收敛定于是例2 设随机变量X的概率密度为常数k,α>0，则证明于是即由f(x)的表达式及f(x)dx=1可知例3 设随机变量Xn的概率密度为常数kn>0,分布函数为Fn(x)，求解由fn(x)的表达式及fn(x)dx=1可知于是且在(-∞,0)和(0,+∞)上是内闭一致收敛的.又收敛，由广义积分控制收敛定理，且{Fn(x)}在(-∞,+∞)上一致收敛于参考文献：[1] 黄玉民,李成章.数学分析(下册)[M].2版.北京:科学出版社,2007:518-556.[2] 华罗庚.高等数学引论(第二册)[M].王元,校.北京:科学出版社,2009:129-133.[3] 裴礼文.数学分析中的典型问题与方法[M].北京:高等教育出版社,2002:819-831.[4] 常庚哲,史济怀.数学分析教程(下册) [M].北京:高等教育出版社,2003:344-359.[5] 陈纪修,於崇华,金路.数学分析(下册)[M].2版.北京:高等教育出版社,2003:379-405.[6] 菲赫金哥尔茨.微积分学教程(第二卷)[M].8版.北京:高等教育出版社,2006:578-617.[7] 卓里奇.数学分析(第二卷)[M].4版.北京:高等教育出版社,2006:373-380.[8] 梁之舜,邓集贤,杨维权,等.概率论及数理统计(上册)[M].北京:高等教育出版社,2002:282-315.[9] 魏宗舒.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,1983:193-219.[10] 李贤平.概率论基础[M].北京:高等教育出版社,1987:251-323.[11] 茆诗松,程依明,濮哓龙.概率论与数理统计教程[M].北京:高等教育出版社,2004:218-239.[12] 邢家省,马健.概率统计教程[M].北京:机械工业出版社,2015:197-189.[13] 李录书.t-分布以标准正态分布为极限的一个证明[J].零陵师专学报(自然科学版),1985(1):4-6.[14] 杨洁,李兆庚.关于t分布的极限分布为标准正态分布的证明[J].石油化工高等学校学报,1994,7(3):78-80.[15] 斯日古楞.t—分布收敛于标准正态分布的几种证明方法[J].内蒙古师大学报(自然科学(汉文)版),2001,30(4):303-306.[16] 王娟.t分布密度函数之性质[J].淮阴工学院学报,2007,16(5):15-21.[17] 曾珍,张宇.χ2分布、t分布、F分布与正态分布间的关系[J].湖北师范学院学报(自然科学版),2015,35(3):62-66.[18] 邢家省,杨义川,王拥军.函数列的广义积分的极限定理及其应用[J].吉首大学学报(自然科学版),2016,37(6):1-9.[19] 邢家省,杨义川,王拥军.函数列的黎曼积分的极限定理及其应用[J].四川理工学院学报(自然科学版),2017,30(3):73-78.[20] 高建全,邢家省,杨义川.两无穷区间上广义积分交换次序定理[J].河南科学,2017,35(6):845-851.。

北京航空航天大学概率统计邢家省第一章习题课复习课程

例5 已知事件C B A ,,相互独立,3.0)(=A P ,4.0)(=B P ,8.0)(=C P , 求)}({B A C P --.解 )}({B A C P -- }{B A C P -=}{B A C P = )}({B A C P +=}{CB A C P += )(}{}{CB A C P CB P A C P -+=)()()()()()()(C P B P A P B P C P A P C P -+= )()()()()(A P B P C P A P C P +=()]()()(1)[(A P B P A P C P +-= )]()(1)[(B P A P C P -=)656.03.04.08.07.08.0=⨯⨯+⨯= .或)}({B A C P --)}({B A C C P --=}{B CA C P -= )()(B CA P C P -= )()()()(B P A P C P C P -= )]()(1)[(B P A P C P -=656.082.08.0]6.03.01[8.0=⨯=⨯-=.或)}({B A C P --}{B A C P -=}{B A C P =)}({B A C P +=)()(B A P C P += )](1)[(B A P C P +-=)](1)[(B A P C P -= )]()(1)[(B P A P C P -=656.082.08.0]6.03.01[8.0=⨯=⨯-=.注意: B A C B A C +-≠--)()(.例 6 设某型号的高射炮,每一门炮发射一发炮弹而击中飞机的概率是0.5。

问至少需要几门高射炮同时射击（每炮只射一发）才能以99%的把握击中来犯的一架敌机。

解设需要n 门高射炮同时射击才能以99%的把握击中来犯的一架敌机，令=i A 第i 门炮击中敌机，=A 敌机被击中,则∑==+++=ni i n A A A A A 121Λ,)(1)()(11∑∑==-==ni i n i i A P A P A P )(121n A A A P Λ-= )()()(121n A P A P A P Λ-=99.0)5.0(1≥-=n , 于是得 n 5.001.0≥,n ⋅≥5.0lg 01.0lg ,644.65.0lg 01.0lg ≈≥n ,取7=n .故至少需要7门高射炮同时射击. 例7 甲乙丙三人向同一飞机射击,设击中的概率分别是0.4,0.5,0.7,若只一人击中,则飞机被击落的概率是0.2;若有二人击中,则飞机被击落的概率是0.6; 若有三人击中,则飞机一定被击落.求飞机被击落的概率.解设=A 飞机被击落,=i B 飞机被i 个人击中,=i A 第i 个人射击击中飞机,3,2,1=i ,由题设条件知,4.0)(1=A P ,5.0)(2=A P ,7.0)(3=A P , 321,,A A A 相互独立,2.0)|(1=B A P ,6.0)|(2=B A P ,1)|(3=B A P , 3213213211A A A A A A A A A B ++=, 3213213212A A A A A A A A A B ++=,3213A A A B =,由概率的可加性和事件的独立性得)()()()(3213213211A A A P A A A P A A A P B P ++= )()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++= 36.0=,)()()()(3213213212A A A P A A A P A A A P B P ++= )()()()()()()()()(321321321A P A P A P A P A P A P A P A P A P ++= 41.0=,)()(3213A A A P B P =)()()(321A P A P A P =14.07.05.04.0=⨯⨯=,由全概率公式)|()()(31i i i B A P B P A P ∑==114.06.041.02.036.0⨯+⨯+⨯=458.0= .例8 将4只有区别的球随机放入编号为5~1的五个盒中(每盒容纳球的数量不限).求(1)至多两个盒子有球的概率;(2)空盒不多于2个的概率.解方法一设=A 至多两个盒子有球,=B 空盒不多于2个,=i A 恰有i 个空盒,4,3,2,1=i ,则21A A B +=,且21,A A 互不相容,41515!4)(⋅=C A P ,4242525!3)(C C A P ⋅=, 768.012596)()()(21==+=A P A P B P , =B 空盒多于2个= 至少有三个空盒= 至多两个盒子有球A =,232.0)(1)()(=-==B P B P A P .方法二设=A 至多两个盒子有球,=B 空盒不多于2个,=i B 恰有i 个盒子有球,4,3,2,1=i ,则21B B A +=,且21,B B 互不相容,A B = ,41515)(C B P =,425242533142521)(A C A C C B P +=,(把4个球分成两组,一种是1个和3个,另一种是从4个球中取出2个球在一起和余下2个球自然在一起,(考虑到对称性,不分组顺序),例如设四个球分别为d c b a ,,,,两只球在一起,分组为)},(),,{(d c b a ,)},(,),,{(d b c a ,)},{(),,{(c b d a ;)},(),,{(.d a c b ,)},(),,{(c a d b ,)},).(,{(b a d c ,但是后三个与前三个是实为一样的). 232.012529)()()(21==+=B P B P A P , 768.0)(1)()(=-==A P A P B P .例9 在除去大小王的一副54张扑克牌中,随机抽取2张,求恰取到2张不同花且最大点数为7的概率.解设=A 恰取到2张不同花且最大点数为7,方法一:17125152136)()(25222161224=⨯⨯=+=C C C C C A P ,(先取两色,只一个7或两个7)方法二:17125152672)(2522411814=⨯+=+=C C C C A P(取出一张花色的7,然后从其它三种花色的6~1中任取一张,或直接取出两个花色的7).方法三:17125152136)162()67()(252242522224=⨯⨯=+⨯=-=C C C C A P ,(先取两色,从每色的7~1取出一张,去掉不含7的)(如果171262825152214)(25212114⋅=⨯⨯==C C C A P , 则错了,错在何处,这种想法是从4色中取出一个7,其它三色的7~1中取出一个.这样算有重复的,如先取出红桃7,再取出方砖7与先取出方砖7,再取出红桃7,是一样的)方法四:17151267825152684)(2522412114=⨯=⨯-=-=C C C C A P . 例10 从5双不同的鞋子中任取 4只,求下列事件的概率,(1) 没有成对的鞋子;(2) 至少2只配成一双.解设=A 没有成对的鞋子,=B 至少2只配成一双,A B = ,方法一 218)()(41041245==C C C A P , (从5双中任取4双,再从每双中任取一只),21132181)(1)()(=-=-==A P A P B P .方法二218)(410141618110==A C C C C A P , (第一次从10只中任取一只,第二次从其它4双中任取一只, 第三次从其它3双中任取一只, 第四次从其它2双中任取一只.) 方法三2113)()(410252122415=+=C C C C C B P , (恰两只成一双另两只来自不同双,或恰成两双)方法四2113)21()(41025161815=+⋅=C C C C C B P , 方法五2113)(410252815=-=C C C C B P ,(从5双中任取一双,然后从其它4双鞋中任取两只,其中成两双鞋的次数计了两次,去掉).先下手为强例11甲、乙两人的射击水平相当,于是约定比赛规则:双方对同一目标轮流射击,若一方失利,另一方可以继续射击,直到有人命中目标为止.命中一方为该轮比赛的优胜者.你认为先射击者是否一定沾光？为什么？解设甲、乙两人每次命中的概率均为p ,失利的概率为q)1,10(=+<<q p p ,令}{次射击命中目标第i A i =,(Λ,2,1=i ).假设甲先发第一枪,则=)(甲胜P)(543213211Λ+++A A A A A A A A A P Λ+++=)()()(543213211A A A A A P A A A P A PΛ+++=p q p q p 42)1(42Λ+++=q q p211q p -=q +=11 ,又可得)(1)(甲胜乙胜P P -=q +-=111q q +=1,因为10<<q ,所以)()(乙胜甲胜P P >. 注：之所以在比赛时经常要用抽签来决定谁“先下手”,原因在于“先下手”就是沾便宜.(当然是在实力相当的条件下),“狭路相逢勇者胜”.今天的学习评比,求职,工作等竞争事项,也是要抢先一步,采取积极主动,才能取的预期目标.被动就会挨打,失去战机,导致失败.机会光顾那些有时刻准备,并抢先一步的人.例12 甲袋中装有4只红球,2只白球,乙袋中装有2只红球,3只白球.从甲袋中任取2只球放入乙袋中,然后再从乙袋中任意取出一只是红球.试求甲袋中取出的2只全是红球的概率.解设=A 从乙袋中任意取出一只是红球,=i B 从甲袋取出的2只球中有i 只红球,2,1,0=i ,根据题设条件知 26224)(C C C B P i i i -=, 1712)|(C C B A P i i +=,2,1,0=i ,利用贝叶斯公式得所求概率为 2512)|()()|()()|(20222==∑=i ii B A P B P B A P B P A B P .例13 已知100只集成电路中不合格品数从3~0是等可能的.从中任意取出4只,经检测均为合格品,求此100只集成电路没有不合格品的概率.解设=A 取出4只均为合格品,=i B 100只集成电路中有i 只不合格品,3,2,1,0=i ,根据题设条件知41)(=i B P ,41004100)|(C C B A P i i -= ,3,2,1,0=i ,利用贝叶斯公式得所求概率为2656.0)|()()|()()|(30000==∑=i ii B A P B P B A P B P A B P .例14 工厂生产的产品合格率是0.96.为确保出厂产品质量,需要进行检查,由于直接检查带有破坏性,因此使用一种非破坏性的但不完全准确的简化检查法.经试验知一个合格品用简化检查而获准出厂的概率是0.98, 而一个废品用简化检查而获准出厂的概率是0.05.求使用这种简化检查法时,获得出厂许可的产品是合格品的概率及未获得出厂许可的产品是废品的概率.解设=A 产品获准出厂, =A 产品未获准出厂,=B 产品是合格品,=B 产品是不合格品 ,根据题设条件知96.0)(=B P , 04.0)(=B P ,98.0)|(=B A P , 05.0)|(=B A P ,利用贝叶斯公式得所求概率为)|()()|()()|()()|(B A P B P B A P B P B A P B P A B P += 9979.005.004.098.096.098.096.0=⨯+⨯⨯=;)|()()|()()|()()|(B A P B P B A P B P B A P B P A B P += 6643.002.096.095.004.095.004.0=⨯+⨯⨯= . 例15 设B A ,为任意事件, 证明|)()()(|B P A P AB P -2121))](1)(([))](1)(([B P B P A P A P --≤ .证明若0)()()(≥-B P A P AB P , 由于)()()()()()(B P A P A P B P A P AB P -≤- ))(1)((B P A P -=,)()()()()()(B P A P B P B P A P AB P -≤-))(1)((A P B P -=，综合这两个不等式,得2)]()()([B P A P AB P -))(1)((B P A P -≤))(1)((A P B P -⋅,即得|)()()(|B P A P AB P -2121))](1)(([))](1)(([B P B P A P A P --≤ ;若0)()()(≤-B P A P AB P ,由1)()()()(≤+=-+B A P AB P B P A P ,得)()(1)(B P A P AB P --≤-,由此得)()()(0AB P B P A P -≤)()(1)()(B P A P B P A P --+≤))(1))((1(B P A P --=,显然)()()(0AB P B P A P -≤)()(B P A P ≤, 综合这两个不等式,得2)]()()([AB P B P A P -))(1))((1(B P A P --≤)()(B P A P ⋅,即得|)()()(|B P A P AB P -2121))](1)(([))](1)(([B P B P A P A P --≤, 证毕.。

常微分方程教学大纲-北京航空航天大学

《概率统计B》教学大纲课程编号：A09B204B课程中文名称：概率统计B课程英文名称：Probability Theory and Mathematical Statistics学时/学分：32/2开课学期：□√秋季先修课程：高等数学，或工科数学分析；线性代数，或工科高等代数执笔人：邢家省一、课程教学目标概率统计是工科大学的一门基础课。

本课程的任务是使学生获得概率论、数理统计的基本理论方法和基本运算技能，学会对随机问题进行定量分析，培养学生分析随机问题、解决随机问题的能力。

本课程具有独特的科学认识方法意义，并且能为后续课提供必要的数学理论基础，为培养创新人才提供必要的知识结构和思想方法。

2、教学内容及基本要求第1章随机事件的概率(4学时)随机事件与样本空间；概率的公理化定义与性质；条件概率与乘法公式；全概率公式与贝叶斯公式；事件的独立性。

基本要求:1．理解随机事件和样本空间的概念，掌握事件之间的关系与运算；2．理解并熟练掌握概率的古典定义，会作计算；3．了解几何概率，了解概率的统计定义、公理化定义；4．熟练掌握概率的基本性质，会用于计算；5．理解并掌握条件概率的定义，掌握乘法公式、全概率公式与贝叶斯公式；6．理解并会运用事件独立性的概念。

第二章随机变量及其分布(4学时)随机变量；随机变量的分布函数；离散型随机变量及其概率分布；两点分布，二项分布，泊松（Poisson）分布；连续型随机变量及其概率密度；均匀分布，指数分布，正态分布。

基本要求：1．理解随机变量的概念；2．理解并熟练掌握分布函数、分布律、概率密度等概念及其性质，掌握分布函数与分布律，分布函数与概率密度的关系；3．掌握两点分布、二项分布、泊松分布、均匀分布、指数分布，熟练掌握正态分布，会查标准正态分布表。

第三章二维随机变量的分布(4学时)二维随机变量及其联合分布；边沿分布函数；边沿分布律与条件分布律；边沿概率密度与条件概率密度；相互独立的随机变量。

北京航空航天大学：应用统计学电子教案

（1）总体参数的假设检验—单个总体均值、两个总体均值之差；单个总体比率，两个总体比率之差；单个总体方差
（2）观察到的显著性水平：P-值
2、使学生掌握非参数统计的特点和适用场合，拟合优度检验和独立性检验的统计思想和过程。
⑴非参数统计的特点与功效
⑵拟合优度检验：检验总体是否服从假设的概率分布的检验
⑶独立性检验：检验两个变量是否相互关联
⑴数据集中趋势的位置平均数—众数、中位数、分位数
⑵数据集中趋势的数值平均数—算术平均数、几何平均数、调和平均数
⑶数据离散趋势值—极差、方差、标准差、变异系数
⑷经验规则与Z值法
主
要授Leabharlann 课内容第三章统计数据分布特征的描述
3.1数据分布的集中趋势
3.2数据分布的离散程度
3.3集中趋势与离散程度的综合运用
3.4数据分布的偏度与峰度
重点与
难
点
（1）中心极限定理在统计推断中的重要作用
（2）几种常用的统计量分布的适用问题：Z分布、t分布、χ2分布、F分布
（3）点估计的评价准则
授
课
方
式
1．教学方法
主要采用讲授、分析、讨论、举例的方法，介绍各类指标的统计意义和计算方法。
2．教学手段
多媒体教学（教学课件），辅助必要的板书。
作业和思考题
思考题：
⑴区间估计的基本概念
⑵已知总体方差，求总体均值的置信区间
⑶大样本的总体均值置信区间
（4）未知总体方差，,求总体均值的置信区间
（5）总体比率的置信区间
（6）两个总体均值之差的区间估计
（7）总体方差的置信区间
主
要
授
课
内
容
第四章参数估计

北京航空航天大学概率统计各章试题概率统计与随机过程各章试题

第1章随机事件的概率一、事件关系：1、设B A ,为任意两事件,则下列关系成立的是( C ).(A) A B B A =-+)( ; (B) ()A B AB A +-= ;(C) ()()A B AB B A A B -++-=+ ; (D) A B B A =+-)(.1、设A 、B 为试验E 的两个事件,且1)(0<<B P ，则下列各式中成立的是( D )。

(A) )(1)|(A P B A P -=； (B) )|()|(B A P B A P =；(C) )()()(B P A P AB P =； (D) )|()()(B A P B P B A P = 。

二、古典概率：2、一盒内装有5个红球和15个白球,从中不放回取10次,每次取一个球,则第5次取球时得到的是红球的概率是（ B ）。

（A ）15；（B ）14；（C ）13 ；（D ）12。

三、（9分）从9~0这十个数码中任意取出4个排成一行数码,求： (1) 所取4个数码恰排成四位偶数的概率;(2) 所取4个数码恰排成四位奇数的概率;(3)没排成四位数的概率.解(1) 设=A 排成四位偶数, (末尾是2,4,6,8之一,或末尾是0), 9041)(4101139142818=+=A C A C A C A P ; (2) 设=B 排成四位奇数, 9040)(410152818==A C A C B P ; (3)设=C 没排成四位数, 101909)(4103911===A A A C P 6、从9~0这十个数码中任意取出4个排成一串数码,则数码恰成四位偶数的概率为：(A)（A ）4190 ;（B ）12；（C ）4090；（D ）3290 。

1、设有n 个球,每个球都能以同样的概率N1落到N 个格子)(n N ≥的每一个格子中, 则恰有n 个格子中各有一个球的概率为 !!()()!n n N N n n n C n A N P B N N N N n ===- 。

北航概率统计试卷及答案解析

Detailed : T
x ~ N(, 2 ) n
x
0
~
N (0,1)
n
(n
1)s2 2
~
2 (n
1)
T

x s
0
~t
n
1
n
x 0

n (n 1)s2
2

x 0
s

x 0 s
n
n
(n 1)
2、设 X 为随机变量,且 EX 1, DX 0.1 ,则一定成立的是 B 。
7、设随机变量
X
的概率密度为
f
(x)

ex
a ex
,
x ,（常数 a 0 ），
A 卷 5 页-3
则 P{0 X ln 3}
。
A. 1 ； 6
B. ； C. 1 ； D. 2 。
ห้องสมุดไป่ตู้
6
12

ln 3 0
f
(x)dx

ln 3 0
ex
a e
x
dx
P(B) 0.2
2、设在试验 E 中事件 A发生的概率 P( A) ( 0 1),
n 把试验 E 独立地重复做下去, 令 Bn “在前次实验中事件 A至少发生一次”，
则
lim
n
P(Bn
)

。
Answer:一旦涉及到
lim
n
P(
X
)

?
的题时，后面的不是
0
就是
1，根据经验判断即可。
一、选择题，根据题目要求，在题下选项中选出一个正确答案（本题共 36 分，

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第一章随机事件的概率第三节条件概率与乘法公式一、条件概率的概念在随机事件的概率问题中，不仅需要研究事件A发生的概率()P A，这是在一般的样本空间的条件下考查事件A发生的概率()P A；有时还能在进一步获取一定信息的基础上再考查事件A发生的概率，即还需要考查在另一个“事件B已经发生”的条件下，事件A发生的概率。

一般地说，这两种概率未必相同。

为了区别起见，我们把后者叫做条件概率，记为)AP，读作：在条件B下事(B|件A的概率。

条件概率是概率论中一个既重要又实用的概念。

例 1 考察有两个小孩的家庭，其样本空间为{,,,}S bb bg gb gg =，其中b 代表男孩，g 代表女孩，bg 表示大的是男孩、小的是女孩。

其他样本点可类似说明。

在S 中4个样本点等可能情况下，我们来讨论如下一些事件的概率。

（1）设A =“家中至少有一个男孩”，显然3()4P A =；（1）若已知事件B =“家中至少有一个女孩”发生，再求事件A 发生的概率，2(|)3P A B = ；（3）3()4P B =，2()4P AB =，22()4(|)33()4P AB P A B P B === 。

为了合理地给出条件概率的定义，首先考察一个具体例子。

例1 设有某种产品50件，其中有40件合格品，而40件合格品中，有30件是一级品，10件是二级品。

在50件产品中任意取1件（设每件产品以同等可能被取到）。

试求（1）取得的是一级品的概率；（2）已知取得的是合格品，它又是一级品的概率。

解：令=A “取得的产品是一级品”,=B “取得的产品是合格品”。

（1）由于50件产品中有30件一级品，因此，按古典概率定义得 535030)(==A P ;（2）因为40件合格品中，一级品恰好有30件，故434030)|(==B A P , 可见 )()|(A P B A P ≠ .一般地，条件概率应该怎样定义呢？我们从分析上面的例1着手，先计算)(B P 与)(AB P 。

由于50件产品中有40件合格品，故545040)(==B P ; 因AB 表示“取得的产品是合格品并且是一级品”。

而50件产品中只有30件既是合格品又是一级品，故535030)(==AB P , 通过简单的运算可得)()(545343)|(B P AB P B A P === , 由上式的启发，我们定义条件概率如下：定义7 设B A ,为试验E 的两个事件，且0)(>B P ,则称)()()|(B P AB P B A P = , (1.6)为在事件B 发生的条件下，事件A 发生的条件概率。

条件概率也具有一般概率的性质。

记)|()(B A P A P B =，（F A ∈），则B P 也是定义在),(F S 上的一个概率测度函数（与B 有关）。

(,,)B S F P 也是一个概率空间。

例2 10件产品中有6件正品，4件次品。

从中任取4件，求至少取到1件次品时，取到的次品不多于2件的概率。

解：设 =A “取到的次品不多于2件”, =B “至少取到1件次品”, =i B “恰好取到i 件次品”，2,1,0=i ; 则所求概率为)()()|(B P AB P B A P =,而14131)(1)()(4104600=-=-==C C B P B P B P , 410464)(C C C B P i i i -= ,事件AB 表示所取4件产品中恰好有1件次品或恰好有2件次品，即有21B B AB +=,且∅=21B B ,故由概率的有限可加性及概率的古典定义得)()()(21B P B P AB P +=211721921841026244103614=+=+=C C C C C C , 于是，所求概率 )()()|(B P AB P B A P =393414132117== .二、乘法公式由条件概率的定义得若0)(>B P ,由)()()|(B P AB P B A P =,得)|()()(B A P B P AB P =,(0)(>B P ) (1.7)若0)(>A P ,由)()()|(A P AB P A B P =,得)|()()(A B P A P AB P =,(0)(>A P ) (1.8) 上述式(1.7)和式(1.8)均称为乘法公式。

它在概率的计算中有重要作用。

乘法公式可推广到任意有限多个事件的情形,即当0)(121>⋅⋅⋅-n A A A P 时,有)|()|()()(21312121A A A P A A P A P A A A P n ⋅⋅=⋅⋅⋅)|(121-⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n A A A A P , (1.9) 事实上)|()|()(213121A A A P A A P A P ⋅⋅)|(121-⋅⋅⋅⋅⋅⋅n n A A A A P)()()()()()()(12121213211211-⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅=n n A A A P A A A P A A P A A A P A P A A P A P)(21n A A A P ⋅⋅⋅=，（证毕）还成立如下形式的乘法公式：)|()|()()(213121321A A A P A A P A P A A A P ⋅⋅=， )|()|()|(12121B A A P B A P B A A P ⋅=， )|()|()|()|(213121321B A A A P B A A P B A P B A A A P ⋅⋅=。

例3 袋中有5个白球和4个红球。

从中作不放回抽取两次，每次任取一个球。

试求：（1）取到两个白球的概率；（2）取到两种颜色球的概率。

解：令=A “取到两个白球”,=B “取到两种颜色球”, =i A “第i 次取到白球”，（1）因为21A A A =，故由乘法公式得)|()()()(12121A A P A P A A P A P ⋅== 1858495=⨯= ,(或直接求1858945)(=⨯⨯=A P )（2）由于2121A A A A B +=，且21A A 与21A A 互不相容，故由概率性质及乘法公式得)()()(2121A A P A A P B P += )|()()|()(121121A A P A P A A P A P += 9585948495=⨯+⨯= .(或直接做95)(291415==C C C B P , 或95895445)(=⨯⨯+⨯=B P )例4 已知6.0)(=A P ，8.0)(=B P , 35.0)|(=B A P ,求)(A B P -和)|(B A P 解：由35.0)|(=B A P ,得65.0)|(1)|(=-=B A P B A P ,52.065.08.0)|()()(=⨯==B A P B P AB P , )(1)()()(B A P A B P A B P A B P +-=+==-)]()()([1AB P B P A P -+-=)]|(1)[()(1B A P B P A P ---= )|()()(1B A P B P A P --=12.028.04.035.08.06.01=-=⨯--=, (或)()()()(B A A P B A P A B P A B P -=-==- )()(B A P A P -= )|()()(1B A P B P A P --= 12.028.04.035.08.06.01=-=⨯--=) )()()()()|(B P AB A P B P B A P B A P -==4.02.052.06.0)(1)()(=-=--=B P AB P A P . 例设a A P =)(,)0(,)(>=b b B P , 试证 bb a B A P 1)|(-+≥. 证明由)()()()()(1AB P b a AB P B P A P B A P -+=-+=+≥, 得 1)(-+≥b a AB P ,于是bb a B P AB P B A P 1)()()|(-+≥= .第四节全概率公式与贝叶斯公式全概率公式和贝叶斯公式是概率论中的两个基本公式，在概率计算和理论推导中起着重要作用。

一、全概率公式定理一设事件组n B B B ,,,21⋅⋅⋅满足：（1）S B n i i =∑=1；（2）n B B B ,,,21⋅⋅⋅互不相容；（3）n i B P i ,,2,1,0)(⋅⋅⋅=>，则对任意事件A ，恒有)|()()(1i ni i B A P B P A P ∑==, (1.10) 式（1.10）称为全概率公式。

证：∑∑=====ni i n i i AB B A AS A 11)(, 由nB B B ,,,21⋅⋅⋅互不相容知n AB AB AB ,,,21⋅⋅⋅亦互不相容，故由概率的有限可加性及乘法公式得 )|()()()(11i n i i n i i B A P B P AB P A P ∑∑==== . 从形式上看，全概率公式似乎把问题复杂化了，其实不然。

在实际中，当事件A 比较复杂不容易计算其概率)(A P 时，如果)(i B P 和)|(i B A P 都比较容易计算，那么，应用全概率公式就容易把)(A P 计算出来。

运用全概率公式的关键往往在于找到满足定理中条件的事件组n B B B ,,,21⋅⋅⋅。

一般地说，事件组n B B B ,,,21⋅⋅⋅是可能导致事件A 发生的全部“原因”。

注:（1）定理一中的条件SB n i i =∑=1可减弱为A B n i i ⊇∑=1; （2）事件组可以是可列无穷多个事件:⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21n B B B .定理一＇设事件组⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21n B B B 满足：（1）1i i B S ∞==∑；（2）⋅⋅⋅⋅⋅⋅,,,,21n B B B 互不相容；（3）()0,1,2,,,i P B i n >=⋅⋅⋅ ，则对任意事件A ，恒有1()()(|)i i i P A P B P A B ∞==∑, (1.10) ＇式（1.10）＇称为全概率公式。