第十章膨胀波和激波剖析
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膨胀波与激波ppt
1. 逆时针偏转，右伸膨胀波系 2. 套公式
21(M 2)(M 1)
3. 查表
-
例4-4 设平面超声速喷管出口处气流马赫数Ｍ1=1.4，压 强p1=1. 25×105Pa，外界大气压强pa=1×105Pa。求气流经 膨胀波后的M数及气流外折的角度，以及膨胀波角μ1和μ2。
用到附表1：一维等熵流气动 函数表
第四章 膨胀波与激波
赵瑞
-
主要内容
弱扰动的传播规律 普朗特-迈耶流动 弱压缩波 膨胀波的反射与相交 激波的形成及传播速度 斜激波中气体参数的基本关系式 激波的相交与反射
-
弱扰动在气流中的传播
-
膨胀波和激波是超声速气流特有的重要现象。 超声速气流在加速时要产生膨胀波，减速时一般
-
膨胀波 与亚声速有何不同？
如果超声速来流速度沿y方向不均分布：
当地马赫角随当地的Ma数变化，马赫线成曲线形状
二维超声速流场中的马赫线
-
普朗特—迈耶流动
-
膨胀波的形成及其特点
AODsin A d A OsD in d ()
无限小的折角
流管截面积增大
膨胀波：超声速气流流经由 微小外折角所引起的马赫波
普朗特-迈耶角：由普朗特－迈 耶函数表示的声速气流膨胀到 Ｍ数大于1时的气流折转角。
(M)1
max2(
k11) k1
右伸膨胀波
dV d
V M2 1
(M )1(M 1 ) C 2
v 与Ｍ 数之间的关系
21(M 2)(M 1)
2 1
-
超音速气流流过外凸壁流动
例4-1 一个马赫数为1.4的均匀空气流绕外凸壁膨 胀，气流逆时针方向转折20°，计算膨胀波系后 的最终马赫数。
21(M 2)(M 1)
3. 查表
-
例4-4 设平面超声速喷管出口处气流马赫数Ｍ1=1.4，压 强p1=1. 25×105Pa，外界大气压强pa=1×105Pa。求气流经 膨胀波后的M数及气流外折的角度，以及膨胀波角μ1和μ2。
用到附表1：一维等熵流气动 函数表
第四章 膨胀波与激波
赵瑞
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主要内容
弱扰动的传播规律 普朗特-迈耶流动 弱压缩波 膨胀波的反射与相交 激波的形成及传播速度 斜激波中气体参数的基本关系式 激波的相交与反射
-
弱扰动在气流中的传播
-
膨胀波和激波是超声速气流特有的重要现象。 超声速气流在加速时要产生膨胀波，减速时一般
-
膨胀波 与亚声速有何不同？
如果超声速来流速度沿y方向不均分布：
当地马赫角随当地的Ma数变化，马赫线成曲线形状
二维超声速流场中的马赫线
-
普朗特—迈耶流动
-
膨胀波的形成及其特点
AODsin A d A OsD in d ()
无限小的折角
流管截面积增大
膨胀波：超声速气流流经由 微小外折角所引起的马赫波
普朗特-迈耶角：由普朗特－迈 耶函数表示的声速气流膨胀到 Ｍ数大于1时的气流折转角。
(M)1
max2(
k11) k1
右伸膨胀波
dV d
V M2 1
(M )1(M 1 ) C 2
v 与Ｍ 数之间的关系
21(M 2)(M 1)
2 1
-
超音速气流流过外凸壁流动
例4-1 一个马赫数为1.4的均匀空气流绕外凸壁膨 胀，气流逆时针方向转折20°，计算膨胀波系后 的最终马赫数。
激波与膨胀波
激波
一、波阻 二、经过斜激波的气流折转角及激波曲线 三、锥面激波及乘波体飞行器 四、一些具体的超声速流动问题中的波系分析
2
一、波阻
物体受到一个与来流方向一致的力的作用，对物体来说，这个力是一个 阻力，它是由于激波存在而引起的，所以为波阻。 m（V2-V1）=Fe=-Dsh
3
二、经过斜激波的气流折转角及激波曲线
8
3.乘波体飞行器
所谓乘波体 (Waverider)，是指一种外形是流线形， 其所有的前缘 都具有附体激波的超音速或高超音速的飞行器。
乘波体构型的特点： 1）乘波体的上表面通常与自由流怕平行，使得乘波体的压差阻力较小。 2）来流经激波压缩后，沿着压缩面的流动被限制在前缘激波内，形成较 均匀的下表面高压流场，可以消除发动机进口的横向流动，利于提高吸 气式发动机的进气效率。 3）由于飞行器上、下表面间没有压力沟通，也就不存在流动的互相干扰 问题，因此上下表面可以分开处理，大大简化了飞行器的初步设计和计 算过程。
7
2.超声速气ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ绕锥形体的流动特点：
1）锥面激波波后流场不均匀。 2）锥面激波下游流场中的气流参数是不均匀的，锥形体表面压力不等于 激波后流场中的静压。 3）在已知来流马赫数和锥形体半顶角的条件下，也不能像平面激波那样 直接利用半顶角来确定激波角。 4）在相同来流马赫数下，锥面激波开始脱体时的半顶角比平面激波大， 即其更不容易脱体，在半顶角相同的条件下，锥形体产生脱体激波的最 小马赫数小于楔形体的。
9
四、一些具体的超声速流动问题中的波系分析
进气道的作用是把迎面来流的速度降低、压强提高、使气流均匀、总压 损失尽可能小地进入压气机，以满足发动机在不同来流条件下所需要的 空气流量。 按照气流的压缩形式，超声速进气道可以分为皮托式、外压式、内压式 和混压式。 外压式进气道是在进气道外，通过激波将气流从超声速滞止为亚声速气 流。
一、波阻 二、经过斜激波的气流折转角及激波曲线 三、锥面激波及乘波体飞行器 四、一些具体的超声速流动问题中的波系分析
2
一、波阻
物体受到一个与来流方向一致的力的作用，对物体来说，这个力是一个 阻力，它是由于激波存在而引起的，所以为波阻。 m（V2-V1）=Fe=-Dsh
3
二、经过斜激波的气流折转角及激波曲线
8
3.乘波体飞行器
所谓乘波体 (Waverider)，是指一种外形是流线形， 其所有的前缘 都具有附体激波的超音速或高超音速的飞行器。
乘波体构型的特点： 1）乘波体的上表面通常与自由流怕平行，使得乘波体的压差阻力较小。 2）来流经激波压缩后，沿着压缩面的流动被限制在前缘激波内，形成较 均匀的下表面高压流场，可以消除发动机进口的横向流动，利于提高吸 气式发动机的进气效率。 3）由于飞行器上、下表面间没有压力沟通，也就不存在流动的互相干扰 问题，因此上下表面可以分开处理，大大简化了飞行器的初步设计和计 算过程。
7
2.超声速气ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ绕锥形体的流动特点：
1）锥面激波波后流场不均匀。 2）锥面激波下游流场中的气流参数是不均匀的，锥形体表面压力不等于 激波后流场中的静压。 3）在已知来流马赫数和锥形体半顶角的条件下，也不能像平面激波那样 直接利用半顶角来确定激波角。 4）在相同来流马赫数下，锥面激波开始脱体时的半顶角比平面激波大， 即其更不容易脱体，在半顶角相同的条件下，锥形体产生脱体激波的最 小马赫数小于楔形体的。
9
四、一些具体的超声速流动问题中的波系分析
进气道的作用是把迎面来流的速度降低、压强提高、使气流均匀、总压 损失尽可能小地进入压气机，以满足发动机在不同来流条件下所需要的 空气流量。 按照气流的压缩形式，超声速进气道可以分为皮托式、外压式、内压式 和混压式。 外压式进气道是在进气道外，通过激波将气流从超声速滞止为亚声速气 流。
《膨胀波与激波》课件
数学模型
膨胀波的数学模型通常使用偏微分方程来描述，这些方程描述了流体的 压力、密度、速度等物理量的变化规律。
激波的理论模型
概述
激波是另一种物理现象，通常出现在流体动力学中。它描述了流体在某个区域内的压力和 密度突然跃升的过程。
形成机制
激波的形成与流体的压缩性和速度变化有关。当流体的速度增加时，流体的压力和密度会 相应地减小。当流体的速度减小时，流体的压力和密度会相应地增加。
膨胀波的形成
当流体流经一个障碍物时 ，流速减缓，压力升高， 形成一个压力波向下游传 播。
膨胀波的特点
压力波向下游传播，流速 逐点
当流体流速增加到超过声速时，会产 生一个突然的、强烈的压力和速度的 跳跃，形成一个向前传播的冲击波。
冲击波向前传播，流体压力和速度发 生突然变化。
膨胀波与激波的不同之处
膨胀波是压力波，流速逐渐恢复；激波是冲 击波，流速和压力发生突然变化。
02
膨胀波与激波的形成机制
膨胀波的形成过程
总结词
描述膨胀波的形成过程
详细描述
当气体在高压下迅速扩张时，会形成膨胀波。在形成过程中，气体的压力和密 度迅速降低，而速度增加。这种波在传播过程中会对周围气体产生压缩效应， 使气体温度升高。
在某些条件下，膨胀波和激波可以相互转化。当膨胀波传播到障碍物时，可能会转化为激波；反之，当激波遇到 合适的条件时，也可能转化为膨胀波。这种相互转化过程取决于多种因素，如气体的性质、障碍物的形状和位置 等。
03
膨胀波与激波的应用
膨胀波在燃烧学中的应用
燃烧学中，膨胀波的应用主要在于提高燃烧效率和控制污染物排放。通过利用膨胀波的特性，可以促进燃料与 空气的混合，提高燃烧速度，降低不完全燃烧的可能性，从而减少有害物质的产生。
膨胀波的数学模型通常使用偏微分方程来描述，这些方程描述了流体的 压力、密度、速度等物理量的变化规律。
激波的理论模型
概述
激波是另一种物理现象，通常出现在流体动力学中。它描述了流体在某个区域内的压力和 密度突然跃升的过程。
形成机制
激波的形成与流体的压缩性和速度变化有关。当流体的速度增加时，流体的压力和密度会 相应地减小。当流体的速度减小时，流体的压力和密度会相应地增加。
膨胀波的形成
当流体流经一个障碍物时 ，流速减缓，压力升高， 形成一个压力波向下游传 播。
膨胀波的特点
压力波向下游传播，流速 逐点
当流体流速增加到超过声速时，会产 生一个突然的、强烈的压力和速度的 跳跃，形成一个向前传播的冲击波。
冲击波向前传播，流体压力和速度发 生突然变化。
膨胀波与激波的不同之处
膨胀波是压力波，流速逐渐恢复；激波是冲 击波，流速和压力发生突然变化。
02
膨胀波与激波的形成机制
膨胀波的形成过程
总结词
描述膨胀波的形成过程
详细描述
当气体在高压下迅速扩张时，会形成膨胀波。在形成过程中，气体的压力和密 度迅速降低，而速度增加。这种波在传播过程中会对周围气体产生压缩效应， 使气体温度升高。
在某些条件下，膨胀波和激波可以相互转化。当膨胀波传播到障碍物时，可能会转化为激波；反之，当激波遇到 合适的条件时，也可能转化为膨胀波。这种相互转化过程取决于多种因素，如气体的性质、障碍物的形状和位置 等。
03
膨胀波与激波的应用
膨胀波在燃烧学中的应用
燃烧学中，膨胀波的应用主要在于提高燃烧效率和控制污染物排放。通过利用膨胀波的特性，可以促进燃料与 空气的混合，提高燃烧速度，降低不完全燃烧的可能性，从而减少有害物质的产生。
膨胀波与激波
根据已知条件，确定要计算的膨胀波的数目； 计算每一区间的M数 计算每条膨胀波的r值 勾画流线
2021/3/11
19
例４－５ 如图所示，设Ｍ１＝１的直匀流 （θ１＝０°）绕外凸壁折转－５°，求气流的流线 形状。
2021/3/11
20
弱压缩波
2021/3/11
21
弱压缩波：流管截面积变小，气流速度或马赫数 降低，压强增大，且温度和密度也将随之增大
17
流线形状 连续方程：
r**V*rsinV
rsin*V* 1
r*
V q(M)
1 1 [ 2 (1k1M2)k k] 1 1 q(M) M k1 2
sin 1
M
确定超声速气流沿外凸壁面流动的流线 2021/3/11
r [ 2 (1k1M2)]kk 11 r* k1 2
18
勾画流线的步骤
无限小的折角
流管截面积增大
膨胀波：超声速气流流经由 微小外折角所引起的马赫波
ＯＬ，气流加速，压强和密
度下降。
膨胀波的形成
2021/3/11
9
外折线上的膨胀波
1
sin1
1 M1
2
sin1
1 M2
2021/3/11
外凸曲线上的膨胀波示意图
M 1M 2M 3
123
10
有限折角
普朗特-迈耶流动：绕外钝角流 动
M(1k 1M2) 2
dV
dM2
V 2M2(1k1M2)
2
dV d
V
M2 1
k k 1 1 t g 1 k k 1 1 (M 2 1 ) t g 1 M 2 1 C 1
(M)C1
2021/3/11
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例４－５ 如图所示，设Ｍ１＝１的直匀流 （θ１＝０°）绕外凸壁折转－５°，求气流的流线 形状。
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20
弱压缩波
2021/3/11
21
弱压缩波：流管截面积变小，气流速度或马赫数 降低，压强增大，且温度和密度也将随之增大
17
流线形状 连续方程：
r**V*rsinV
rsin*V* 1
r*
V q(M)
1 1 [ 2 (1k1M2)k k] 1 1 q(M) M k1 2
sin 1
M
确定超声速气流沿外凸壁面流动的流线 2021/3/11
r [ 2 (1k1M2)]kk 11 r* k1 2
18
勾画流线的步骤
无限小的折角
流管截面积增大
膨胀波：超声速气流流经由 微小外折角所引起的马赫波
ＯＬ，气流加速，压强和密
度下降。
膨胀波的形成
2021/3/11
9
外折线上的膨胀波
1
sin1
1 M1
2
sin1
1 M2
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外凸曲线上的膨胀波示意图
M 1M 2M 3
123
10
有限折角
普朗特-迈耶流动：绕外钝角流 动
M(1k 1M2) 2
dV
dM2
V 2M2(1k1M2)
2
dV d
V
M2 1
k k 1 1 t g 1 k k 1 1 (M 2 1 ) t g 1 M 2 1 C 1
(M)C1
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九、膨胀波和激波
膨胀波和激波9－1 空气稳定地流过一等截面管，在某截面处，气流的参数Pa p 689301=，K T 6701=，s m V /9151=，求发生在状态1处的正激波后的压强、温度和速度。
[Pa 237620, K 1050, s m /399]9－2 气体在管道中作绝热流动并产生一个正激波。
已知在激波上游截面处，K T 2781＝，s m V /6681＝，kPa P 651=；激波下游截面处，K T 4692＝。
试求激波下游截面处的2V 、2ρ、2p 并与上游截面处的值进行比较。
[s m /250，3/117.2m kg ，kPa 57.366]9－3气流通过一正激波。
设波前物理参数为：1p 、1a M ；波后为：2p ，2a M ；试证明：11121121222112+--+=++=k k M k k kM kM p p a a a 。
9－4压强为1p 、温度为K T 2931=、密度为1ρ的空气通过一正激波后，其密度变为121.3ρρ=。
试求：（1）来流空气的速度1V ；（2）激波后的速度气流速度2V ；（3）激波前后的压强比21p p 。
[s m /793，s m /256，1803.0]9－5 空气流在管道中发生正激波。
已知波前的马赫数5.21=a M ，压强kPa p 301=，温度K T 2981=。
试求波后的马赫数2a M 、压强2p 、温度2T 和速度2V 。
[513.0，kPa 24.170，K 26.424，s m /212]9－6 一火箭发动机喷管。
其喉部直径cm d 41=、出口直径cm d e 8=、扩张半角︒=15θ，入口处的气流的滞止压强kPa p 2500=，背压kPa p b 100=。
试求：（1）发生激波处的截面积与喉部截面积之比；（2）激波发生处到喉部的距离x 。
[326.0，cm 6.5] 9－7 一拉瓦尔喷管出口面积与喉部面积之比4/1=cr A A 。
飞行速度范围—高速气流特性和激波、膨胀波
正激波和斜激波 β
β
β 90 β 90
正激波 斜激波
正激波的波阻大，空气 被压缩很厉害，激波后 的空气压强、温度和密 度急剧上升，气流通过 时，空气微团受到的阻 滞强烈，速度大大降低， 动能消耗很大，这表明 产生的波阻很大。
斜激波波阻较小，倾斜 的越厉害，波阻就越小。
3.气流通过正激波后,压力、密度和温度都突然升高,且流速()
1.飞机飞行时对周围大气产生的扰动情况是( )
A.扰动产生的波面是以扰动源为中心的同心圆。 B.产生的小扰动以音速向外传播。 C.只有马赫锥内的空气才会受到扰动。
D.如果不考虑扰动波的衰减,只要时间足够长周围的空气都会受到扰动。
答案：B
超音速气流经过凹曲面的情况
激波
激波是气流以超音速流过带有内折角物体表面时， 受到强烈压缩而形成的强扰动波
声速的定义 小扰动在空气中的传播速度
空气压缩性与音速a的关系
音速大小唯一取决于空气的温度 温度越低，空气越易压缩，音速越小。
a ΔP Δρ
a 20.1 t 273 米/秒
2 马赫数M
M
a
马赫数M是真速与音速之比。
M数越大，空气被压缩得越厉害。
低速飞行(马赫数M<0.3) 可忽略压缩性的影响
由压力变化带来的密度变化小于5%，从工程角度来 看，对结果影响小于5%的因素可以被忽略。
高速飞行(马赫数M>0.3) 必须考虑空气压缩性的影响
二、高速飞行中，空气状态参数的变化
速度增加时，压力、密度、温度、声速都减小， Ma增加；部分压力能和内能转变为动能
速度减小时，压力、密度、温度、声速都增大， Ma减小；部分动能转换为压力能和内能
John Gay拍摄
《气体动力学》课件-膨胀波与激波
及波AB、BC、A’B、B’C 的波角
气体动力学基础_1
29
3.5 弱波的反射与相交
膨胀波在自由边界的反射
自由边界：运动介质和其它介质之间的切向交界面
边界特性：接触面两边的压强相等
C’
A’
⑤
p2 p3 pa p4 pa p5 p6 pa
Ma1
②
max
()
2
k k
1 1
1
Ma=1 O
k 1.4, max 13027
气体动力学基础_1
20
13027
3.3 弱波的普朗特-迈耶流动解
Prandtl-Meyer 流动——超声速气流流过外凸壁
右伸波： (Ma) C2
(Ma) 1 (Ma1 ) C2
➢ 对于任意两个马赫数Ma1和Ma2 的膨胀过程，有
➢ 超声速气流每经过一步微弱的膨胀，气流的流动方向、马赫 数和压强等诸气流参数都将产生微小的变化
➢ 把原来的连续膨胀分得愈细，数目愈多，计算出来的结果就
气体愈动准力学确基础_1
27
3.5 弱波的反射与相交
膨胀波在直固壁上的反射
B
①
i
②
Ma1
Ma2
1 2
③
Ma3
3
A
C
➢ 膨胀波在固壁上反射为膨胀波，一般反射角 γ 并不等于入射角i
7
3.1 弱扰动的传播规律
4. 气流运动——超声速
➢马赫角 μ 的大小，反映了受扰
4c
动区域的大小
V>c
3c 2c c
sin1 1
Ma
O
O1
O2
O3
O4
Vn Vt
V
第十章 膨胀波和激波
h1 +
状态方程：p1 = ρ1RT1 , p2 = ρ 2 RT2 借助于上面这个一维流的气体动力学方 程组，可以得到关于激波参数计算的四组公 式。 它们分别是：Prandtl激波关系式；波前 波后气流参数关系；Ranking-Hugioniut关系； 总压损失关系式(或称熵增关系式)。
2
= h2 +
δ = ν (M 2 ) − ν (M 1 )
㈣如果壁面转折是朝上的，膨胀波将沿逆时 针方向，此时普郎特-梅耶角是正数。否则为 负数。 ㈤当最终马赫数为∞，达到普郎特-梅耶角的 最大可能值
ν max π ⎛ γ +1 ⎞ ⎟ = ⎜ ⎜ γ − 1 − 1⎟ 2⎝ ⎠
但这只是一个理论值，因为早在达到这个速 度前，气流就会冷凝了。
可以当作气流从音速来流经过膨胀波后，转 折角与波后气流的马赫数的关系。把这个角 度称为普郎特-梅耶角。
从这个角度出发，令
ν (M ) = γ +1 γ −1 2 (M − 1) − arctg M 2 − 1 arctg γ −1 γ +1
称为Prandtl-Mayer函数，或称为Prandtl-Mayer 角。它表示对于来流马赫数为1时，经过膨胀 后气流速度达到M时，所能偏转的角度。这个 式子已经制成表格，在知道M数和 ν (M )后，从 这个表格中可以查到另一个值。 (三)对于来流马赫数为M1而最后速度为M2，气 流总偏转角为：
假设第一道马赫线处的气流马赫数为M1， 经过第一道马赫线后气流转折角为δ1；在最 后一道马赫线处的气流马赫数为M2，马赫线 后气流转折角为δ2；则积分上式得到：
γ +1 γ −1 2 (M 2 − 1) + arctg M 22 − 1 δ 2 − δ1 = − arctg γ −1 γ +1
状态方程：p1 = ρ1RT1 , p2 = ρ 2 RT2 借助于上面这个一维流的气体动力学方 程组，可以得到关于激波参数计算的四组公 式。 它们分别是：Prandtl激波关系式；波前 波后气流参数关系；Ranking-Hugioniut关系； 总压损失关系式(或称熵增关系式)。
2
= h2 +
δ = ν (M 2 ) − ν (M 1 )
㈣如果壁面转折是朝上的，膨胀波将沿逆时 针方向，此时普郎特-梅耶角是正数。否则为 负数。 ㈤当最终马赫数为∞，达到普郎特-梅耶角的 最大可能值
ν max π ⎛ γ +1 ⎞ ⎟ = ⎜ ⎜ γ − 1 − 1⎟ 2⎝ ⎠
但这只是一个理论值，因为早在达到这个速 度前，气流就会冷凝了。
可以当作气流从音速来流经过膨胀波后，转 折角与波后气流的马赫数的关系。把这个角 度称为普郎特-梅耶角。
从这个角度出发，令
ν (M ) = γ +1 γ −1 2 (M − 1) − arctg M 2 − 1 arctg γ −1 γ +1
称为Prandtl-Mayer函数，或称为Prandtl-Mayer 角。它表示对于来流马赫数为1时，经过膨胀 后气流速度达到M时，所能偏转的角度。这个 式子已经制成表格，在知道M数和 ν (M )后，从 这个表格中可以查到另一个值。 (三)对于来流马赫数为M1而最后速度为M2，气 流总偏转角为：
假设第一道马赫线处的气流马赫数为M1， 经过第一道马赫线后气流转折角为δ1；在最 后一道马赫线处的气流马赫数为M2，马赫线 后气流转折角为δ2；则积分上式得到：
γ +1 γ −1 2 (M 2 − 1) + arctg M 22 − 1 δ 2 − δ1 = − arctg γ −1 γ +1
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㈢如果只是一条马赫线，不足以使气流产生很 大的转角，只能是一个微小偏转。这是小扰 动的特点。
因此在经过
一个有限转角
处，势必会发
出一系列
膨胀波。
㈣膨胀波束是由一系列马赫线所组成。气流经过 每道马赫线，速度上升一点，压力温度下降一 点，这个过程近似是等熵的过程。所以经过膨 胀波后，气流的总温总压是不变的。
[例2]拉瓦尔喷管的出口处，Me=1.2 ，气流出 口处的总压为3个大气压，问：
①出口处气流是膨胀还是压缩？
②膨胀或者压缩的气流偏转角多大？绝热指数 取1.4。
[解] ①根据拉瓦尔喷管的出口总压和马赫数， 可求得出口气流的静压为：
pe
p
1.237 (大气压)
1
1 2
M
2 e
1
因为这个压力比环境压力高，所以气流必须
d
1
M2 1
1 M 2
2
dM M
这是最后的用M数表示的气流转角公式。
假设第一道马赫线处的气流马赫数为M1，
经过第一道马赫线后气流转折角为δ1；在最
后一道马赫线处的气流马赫数为M2，马赫线
后气流转折角为δ2；则积分上式得到：
2 1
1arctg 1
1 1
M
2 2
1
arctg
㈤如果来流均匀，马赫线就是直线，膨胀波束就 是一个扇形。这样的膨胀波扇称为普郎特-梅耶 膨胀波(Prandtl-Mayer expansion wave)。
㈥除了物体形状变化处会产生膨胀波，由于压 力的不同也会产生膨胀波。
2、普郎特-梅耶膨胀波的计算
如图，O点的转折角为δ，超音速气流将发 生连续膨胀。
角为这样2 ，8.9从87音 速20的 来2流8.9膨87胀 到M2的总偏转 再查表或计算得到M2=2.096。
因为气流经过膨胀波是绝能等熵的，所 以总温总压不变，借此可以计算出波后静压 和静温。
㈥在连续转折或凸曲面处的膨胀波。
不论多道转折，还是曲面转折，在已知来 流马赫数后，只要知道气流膨胀之后的马赫 数、或者总的折转角，便可求得另一个。
M
2 2
1
1arctg 1
1 1
M
2 1
1
arctg
M12 1
这就是气流从M1膨胀到M2所产生的转折角。
㈡但是气流经过第一道马赫线后气流的转折角 1 和马赫数都无法知道；因此常这样处理：假 设来流马赫数正好是1，则气流经过第一道马 赫线是不会有偏转的。即：M1时 1 =0。
这样
1arctg 1 M 2 1 arctg M 2 1
从马赫线OD开始连续变到马赫线OE为止。 中间存在无穷多条马赫线，组成一膨胀波组。 压 化力 可由 看p成1下无降穷到多p个2，微速小度变由化Vd1p上和升dV到的V合2，成其。变在 膨胀区DOE中的流线是弯曲的，各马赫线与流 线之间的角度
沿着气流方向
逐渐变小。
先来建立经过一条马赫线的偏转计算。 按照顺时针转角为负的原则，向下的转角 为 。把来流速度V沿着与马赫线垂直与相切 的方向进行分解。
继续膨胀减压。
②为了求得气流膨胀后的转角，必须求得气流
膨胀后的马赫数M2。根据膨胀波是绝能等熵 的过程，而膨胀后气流压力必须达到环境压
力，因此可以求出气流膨胀后的马赫数为：
M2
kபைடு நூலகம்
2 1
p* pa
k 1
k
1
1.365
因此气流偏转角为：
M2 M1 8 330 430
[说明]拉瓦尔喷管的作用是依靠气流加速产生 推力的，当出口处产生膨胀时，表明气流在 喷管内膨胀不足，因此这个工作状态下，喷 管是损失掉能量了。常说这是喷管被截短了。
㈦气流绕凹曲面等熵压缩是膨胀波的逆过程， 也可以用普郎特-梅耶膨胀波理论解决。
参见课本例题2。
需要特别指出，等熵压缩也称为微弱压 缩，而且等熵压缩波最后会汇总在一起，形 成强烈的压缩，那里
(三)对于来流马赫数为M1而最后速度为M2，气 流总偏转角为：
M2 M1
㈣如果壁面转折是朝上的，膨胀波将沿逆时 针方向，此时普郎特-梅耶角取正数。否则为 负数。(也可以理解为取绝对值。)
㈤当最终马赫数为∞，达到普郎特-梅耶角的 最大可能值
max
2
1 1
1
但这只是一个理论值，因为早在达到这个速 度前，气流就会冷凝了。
因为气流沿切线方向的速度是不会改变的， 这是从沿切向的动量定理知道的。这样波前波 后切向速度相等：
V cos
V dV cos d
因为cos d cos cosd sin sin d
cos d sin
所以 dV tgd d
V
M2 1
即 d M 2 1 dV
V
这就是经过一条马赫线后，气流的偏转角。
1
1
这是气流从音速来流经过膨胀波后，转折角 与波后气流的马赫数的关系。
从这个角度出发，令
M 1arctg 1 M 2 1 arctg M 2 1
1
1
称为Prandtl-Mayer函数，或Prandtl-Mayer角。 它表示对于来流马赫数为1时，经过膨胀后气 流速度达到M时，所能偏转的角度。这个式子 已经制成表格，在知道M数或 M 后，从这个 表格中可以查到另一个值。
注意，此式中的负号是对于向下偏转的，如果 是向上偏转的，则变为正号。
为了得出经过膨胀波扇的总偏转角，需要
把上式积分。但是首先需要把速度和马赫数联 系起来。
由V2=M2c2=M2kRT，得
V
2
kRT*M 2 1 k 1M
2
2
微分此式，得
dV V
1
k
1 1 M 2
dM M
2
代入一条马赫线的微偏转角，得到：
[例1]马赫数1.4的空气，绕一外钝角偏转了20o。 已知来流的初始静压和静温分别是 p1=101325N/m2，T1=288K，求 膨胀后气流的 马赫数、静压和静温。
[P解ra]n由dt来l-M流a马ye赫r角数求M得1，1 可 8以.98查7 ，表这或个者角根度据表示 音速的来流经过膨胀后气流马赫数为M1后的 偏转角。
第十章 膨胀波和激波
§10.1 膨胀波 1、膨胀波的形成 ㈠定常二维平面超音速流绕外钝角的流动
壁面转折点对超音速来流是一个扰动源。 在此扰动源产生的扰动向下游传播，是按马赫 锥传播的，马赫锥是以马赫线为标志的。马赫 线与均匀
来流的夹角
是马赫角。
㈡气流经过马赫线后，要偏转一定的角度。偏 转后，气流流通截面扩大，因此气流加速 （因为这是超音速流动），压力、温度等下 降。因此称为膨胀波。
因此在经过
一个有限转角
处，势必会发
出一系列
膨胀波。
㈣膨胀波束是由一系列马赫线所组成。气流经过 每道马赫线，速度上升一点，压力温度下降一 点，这个过程近似是等熵的过程。所以经过膨 胀波后，气流的总温总压是不变的。
[例2]拉瓦尔喷管的出口处，Me=1.2 ，气流出 口处的总压为3个大气压，问：
①出口处气流是膨胀还是压缩？
②膨胀或者压缩的气流偏转角多大？绝热指数 取1.4。
[解] ①根据拉瓦尔喷管的出口总压和马赫数， 可求得出口气流的静压为：
pe
p
1.237 (大气压)
1
1 2
M
2 e
1
因为这个压力比环境压力高，所以气流必须
d
1
M2 1
1 M 2
2
dM M
这是最后的用M数表示的气流转角公式。
假设第一道马赫线处的气流马赫数为M1，
经过第一道马赫线后气流转折角为δ1；在最
后一道马赫线处的气流马赫数为M2，马赫线
后气流转折角为δ2；则积分上式得到：
2 1
1arctg 1
1 1
M
2 2
1
arctg
㈤如果来流均匀，马赫线就是直线，膨胀波束就 是一个扇形。这样的膨胀波扇称为普郎特-梅耶 膨胀波(Prandtl-Mayer expansion wave)。
㈥除了物体形状变化处会产生膨胀波，由于压 力的不同也会产生膨胀波。
2、普郎特-梅耶膨胀波的计算
如图，O点的转折角为δ，超音速气流将发 生连续膨胀。
角为这样2 ，8.9从87音 速20的 来2流8.9膨87胀 到M2的总偏转 再查表或计算得到M2=2.096。
因为气流经过膨胀波是绝能等熵的，所 以总温总压不变，借此可以计算出波后静压 和静温。
㈥在连续转折或凸曲面处的膨胀波。
不论多道转折，还是曲面转折，在已知来 流马赫数后，只要知道气流膨胀之后的马赫 数、或者总的折转角，便可求得另一个。
M
2 2
1
1arctg 1
1 1
M
2 1
1
arctg
M12 1
这就是气流从M1膨胀到M2所产生的转折角。
㈡但是气流经过第一道马赫线后气流的转折角 1 和马赫数都无法知道；因此常这样处理：假 设来流马赫数正好是1，则气流经过第一道马 赫线是不会有偏转的。即：M1时 1 =0。
这样
1arctg 1 M 2 1 arctg M 2 1
从马赫线OD开始连续变到马赫线OE为止。 中间存在无穷多条马赫线，组成一膨胀波组。 压 化力 可由 看p成1下无降穷到多p个2，微速小度变由化Vd1p上和升dV到的V合2，成其。变在 膨胀区DOE中的流线是弯曲的，各马赫线与流 线之间的角度
沿着气流方向
逐渐变小。
先来建立经过一条马赫线的偏转计算。 按照顺时针转角为负的原则，向下的转角 为 。把来流速度V沿着与马赫线垂直与相切 的方向进行分解。
继续膨胀减压。
②为了求得气流膨胀后的转角，必须求得气流
膨胀后的马赫数M2。根据膨胀波是绝能等熵 的过程，而膨胀后气流压力必须达到环境压
力，因此可以求出气流膨胀后的马赫数为：
M2
kபைடு நூலகம்
2 1
p* pa
k 1
k
1
1.365
因此气流偏转角为：
M2 M1 8 330 430
[说明]拉瓦尔喷管的作用是依靠气流加速产生 推力的，当出口处产生膨胀时，表明气流在 喷管内膨胀不足，因此这个工作状态下，喷 管是损失掉能量了。常说这是喷管被截短了。
㈦气流绕凹曲面等熵压缩是膨胀波的逆过程， 也可以用普郎特-梅耶膨胀波理论解决。
参见课本例题2。
需要特别指出，等熵压缩也称为微弱压 缩，而且等熵压缩波最后会汇总在一起，形 成强烈的压缩，那里
(三)对于来流马赫数为M1而最后速度为M2，气 流总偏转角为：
M2 M1
㈣如果壁面转折是朝上的，膨胀波将沿逆时 针方向，此时普郎特-梅耶角取正数。否则为 负数。(也可以理解为取绝对值。)
㈤当最终马赫数为∞，达到普郎特-梅耶角的 最大可能值
max
2
1 1
1
但这只是一个理论值，因为早在达到这个速 度前，气流就会冷凝了。
因为气流沿切线方向的速度是不会改变的， 这是从沿切向的动量定理知道的。这样波前波 后切向速度相等：
V cos
V dV cos d
因为cos d cos cosd sin sin d
cos d sin
所以 dV tgd d
V
M2 1
即 d M 2 1 dV
V
这就是经过一条马赫线后，气流的偏转角。
1
1
这是气流从音速来流经过膨胀波后，转折角 与波后气流的马赫数的关系。
从这个角度出发，令
M 1arctg 1 M 2 1 arctg M 2 1
1
1
称为Prandtl-Mayer函数，或Prandtl-Mayer角。 它表示对于来流马赫数为1时，经过膨胀后气 流速度达到M时，所能偏转的角度。这个式子 已经制成表格，在知道M数或 M 后，从这个 表格中可以查到另一个值。
注意，此式中的负号是对于向下偏转的，如果 是向上偏转的，则变为正号。
为了得出经过膨胀波扇的总偏转角，需要
把上式积分。但是首先需要把速度和马赫数联 系起来。
由V2=M2c2=M2kRT，得
V
2
kRT*M 2 1 k 1M
2
2
微分此式，得
dV V
1
k
1 1 M 2
dM M
2
代入一条马赫线的微偏转角，得到：
[例1]马赫数1.4的空气，绕一外钝角偏转了20o。 已知来流的初始静压和静温分别是 p1=101325N/m2，T1=288K，求 膨胀后气流的 马赫数、静压和静温。
[P解ra]n由dt来l-M流a马ye赫r角数求M得1，1 可 8以.98查7 ，表这或个者角根度据表示 音速的来流经过膨胀后气流马赫数为M1后的 偏转角。
第十章 膨胀波和激波
§10.1 膨胀波 1、膨胀波的形成 ㈠定常二维平面超音速流绕外钝角的流动
壁面转折点对超音速来流是一个扰动源。 在此扰动源产生的扰动向下游传播，是按马赫 锥传播的，马赫锥是以马赫线为标志的。马赫 线与均匀
来流的夹角
是马赫角。
㈡气流经过马赫线后，要偏转一定的角度。偏 转后，气流流通截面扩大，因此气流加速 （因为这是超音速流动），压力、温度等下 降。因此称为膨胀波。