电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理
电磁场中的梯度和散度的物理意义
电磁场中的梯度和散度的物理意义梯度和散度是电磁场中的重要概念，它们在描述电场和磁场的变化率和分布特性方面起着关键作用。
在本文中，我们将深入探讨电磁场中梯度和散度的物理意义，并从简单到复杂地解释这些概念，以帮助读者更好地理解这一主题。
梯度和散度是在描述电磁场中场量分布的特性时经常使用的数学工具。
梯度表示的是场量变化最快的方向和速率，而散度则表示的是场量在某一点上的增减程度。
通过理解这两个概念，我们可以更好地掌握电磁场的分布特性和变化规律。
让我们从梯度开始。
在电磁场中，梯度表示的是场量在空间中的变化率和方向。
在电场中，梯度可以告诉我们电场强度在空间中变化的快慢和方向。
如果在某一点上电场的梯度值很大，那么就意味着电场在该点附近的变化很快，而梯度的方向则指示了变化最快的方向。
这对于我们理解电场的分布和变化规律非常重要。
因为电场在空间中的分布不均匀，梯度可以帮助我们找到电场变化最快的地方，并指示电场的变化方向，这对于电场的调控和应用具有重要意义。
接下来，让我们来看看散度的物理意义。
在电磁场中，散度表示的是场量在某一点上的增减程度。
举个具体的例子，在磁场中，散度可以告诉我们磁感线在某一点上的发散或聚拢程度。
如果在某一点上磁场的散度值为正，那么就意味着磁感线在该点附近呈发散状态，而如果散度值为负，就表示磁感线在该点附近呈聚拢状态。
这对于我们理解磁场的分布和特性非常重要，因为磁场的散度可以帮助我们找到磁感线的密集程度和分布规律，对于磁场的调控和利用具有重要意义。
电磁场中的梯度和散度是描述场量分布和变化规律的重要工具。
通过梯度，我们可以了解场量在空间中的变化率和方向，从而掌握场量的分布特性；而通过散度，我们可以了解场量在某一点上的增减程度，从而把握场量的变化规律。
这些概念对于我们理解和利用电磁场具有重要意义。
在撰写完整的文章之后，我对这个主题或概念的个人观点和理解是，梯度和散度是电磁场中非常重要的概念，它们帮助我们深入了解场量的分布特性和变化规律，有助于我们更好地应用和利用电磁场。
场的概念—散度
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
场的概念—散度
求 A
例
ˆ （ A xy 2 x -10 x,y 10）
A
Ax Ay Az y2 x y z
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
场的概念—散度
对于静电场 E 而言： E r 正比于 r 点处 E 的通量源密度， 即 r 点处的电荷密度。
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
场的概念—散度
7.有源(散)场和无源(散)场：
• 有源场（有散场）：
散度值不为零的矢量场，存在通量源，
矢量线有端点。 •无源场(无散场)：
正交曲线坐标系中：
( Fu2 h1h3 ) ( Fu3 h1h2 ) 1 Fu1 h 2 h 3 F h1h2 h3 u1 u2 u3
电磁场与电磁波
第1章 矢量分析
场的概念—散度
6.散度的物理意义： Ar 正比于 r 点处 A 的通量源密度
Fx Fy Fz 直角坐标系中： F x y z
柱坐标系中： 球坐标系中：
1 ( Fr r ) 1 F Fz F r r r z
1 ( r 2 Fr ) 1 ( F sin ) 1 F F 2 r r r sin r sin
n2
F
n1
V2
F dS F dS F dS F dS F dS
S S1 S2 V1 V2
x
o y
对区域V=V1+V2的外闭合表面的 高斯积分等于对 V1 、 V2 的外闭 合表面高斯积分的代数和.
电磁场与电磁波公式整理
电磁场与电磁波公式整理第一章A：矢量恒等式()()()A B C B C A C A B ×=×=×i i i ()()()A B C B A C C A B ××=−i i ()uv u v v u ∇=∇+∇ ()uA u A A u ∇=∇+∇i()0U ∇×∇=()0A ∇∇×=i 2()U U ∇∇=∇i2()()A A A ∇×∇×=∇∇−∇iVSAdV A dS ∇=∫∫i iVCAdS A dl ∇×=∫∫in V S AdV AdS e ∇×=×∫∫ n V S udV udS e ∇=∫∫n S C udS udl e ×∇=∫∫ 2)V S u v u dV udSnv v ∂+∇∇=∇∂∫∫i22(()VSuu v v dV uv dS n nv u ∂∂−=−∇∇∂∂∫∫ B：三种坐标系的积分元以及梯度、散度、旋度、和拉普拉斯运算⑴直角坐标系位置矢量微分元：x y z dr dx dy dz e e e =++面积元：,,x y z d dydz d dxdz d dxdy s s s === 体积元：dv dxdydz = x y z u u uu e e e x y z ∂∂∂∇=++∂∂∂ y x z A A A A x y z∇=∂∂∂++∂∂∂i x yz A x y z A A A x yz e ee∂∂∂∇×=2222222u u u u x y z ∇∂∂∂=++∂∂∂()uA u A u A ∇×=∇×+∇×()A B B A A B∇×=∇×−∇×i i i ()()()A B A B B A A B B A ∇=∇×+∇+×∇×+×∇×i i i ()()()()A B A B B A B A A B ∇××=∇−∇+∇−∇i i i i⑵圆柱坐标系位置矢量微分元：z dr d d dz e e e ρφρρφ=++面积元：,,z d d dz d d dz d d d s s s ρφρφρρρφ=== 体积元：dv d d dz ρρφ=z u u u u z e e e ρφρρφ∂∂∂∇=++∂∂∂ ()()()11A A A z A z ρρρφρρρφ∂∂∂∇=++∂∂∂i1z e e e A z A A Az ρφρρφρρφ∂∂∂∇×=∂∂∂22222211()u u u u z ρρρρρφ∂∂∂∂=++∇∂∂∂∂⑶球坐标系位置矢量微分元：sin r r r dr dr d d e e e θφθθφ=++面积元：2sin ,sin ,r d d d d r drd d rdrd r s s s θφθθφθφθ=== 体积元：2sin dv drd d r θθφ=1sin ru u u u r r r e e e θφθθφ∂∂∂∇=++∂∂∂22111()(sin )sin sin r A r r r r rA r A A φθθθθθφ∂∂∂∇=++∂∂∂i2sin 1sin sin re re r e A r ArrA r A r θφθθφθθθφ∂∂∂∇×=∂∂∂ 22222222111()(sin sin sin u u uu r r r r r r θθθθφθ∇∂∂∂∂∂=++∂∂∂∂∂ C：几个定理散度定理：v s FdV F dS ∇=∫∫i i斯托克斯定理：s c F dS F dl∇×=∫∫i i亥姆霍茨定理：()()()F r u r A r =−∇+∇×格林定理：n V S FdV F dS e ∇=∫∫i i高斯定理和环路定理：第二章表一：电荷和电流的三种密度表二：电场和磁场表四：介质中的电（磁）场感应强度:电磁感应定律S in B dS d d dt dt ϕε=−=−∫i in C in E dl ε=∫i S C S d Bd dt tE dl ∂∂=−∫∫i i 积分形式 1.如果回路静止则有：S C S Bd tE dl ∂∂=−∫∫i BE t∂∇×=−∂ 2.导体以速度v 在磁场中运动 ： ()CC v B dl E dl ×=∫∫i i3.导体在时变场中运动：()CS S B d tC v B dl E dl ∂∂−×=+∫∫∫i i i表五：麦克斯韦方程组：。
电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理yPPT课件
P
6
3) 在广义坐标系中V的梯度为：
dV ( V)dl
dV
V l1
dl1
V l2
dl2
V l3
dl3
dl aˆu1dl1 aˆu2dl2 aˆu3dl3 aˆu1 (h1du1)aˆu2 (h2du2)aˆu3 (h3du3)
dV
V (
l1
aˆu1
V
l2
aˆu2
V
l3
aˆu3
)(aˆu1dl1
5
即：
dV GradV dn an
于是
沿着 dl 的方向导数为：
dV dV dn dV cos
dl dn dl dn
V n
aˆn aˆl
V
aˆl
该式表示V沿着al方向的空间增长 率等于V的梯度在该方向上的投影 （分量），也可写成：
dV ( V)dl
V
dV dn
an
l
nˆ
dn cos dl
直角坐标系
divAA=Ax Ay Az x y z
15
柱坐标系
divA
A=1 r
(rrAr
)
A
(rAz z
)
1 (rAr) 1 A Az
r r r z
球坐标系
divAA=R2s1in(ARR R 2sin)(A Rsin)(RA) =R 12(R 2 RAR)Rs1in(Asin)Rs1inA
aˆu2dl2
aˆu3dl3)
(V l1
aˆu1
V l2
aˆu2
V l3
aˆu3
)dl
V
V l1
aˆu1
V l2
aˆu2
04第二章散度与旋度
s in 0
e
e cos cos
图解法证明例pp41图2-1
一、奥一高公式的简写
奥一高公式：
P Q R x y z v d
P dydz Q dzdx R dxdy
V
构造一个矢量函数:
五．高斯散度定理及其应用
Ad
v
v
A ds
面积分与体积分的相互转换 可以双向应用
电磁场与电磁波 —散度与旋度2
微波教研室
本节内容：旋 度
矢量函数的旋度
斯托克斯公式
一、斯托克斯公式的简写
斯托克斯公式的简写 ：
Pdx Q dy Rdz
电磁场与电磁波第四讲 —散度与旋度
微波教研室
本节内容：散
度
矢量函数的散度 高斯散度定理
首先复习上节：导数和梯度
单位矢量对坐标变量的偏导数
用解析法证明（例）：
ex
e
c o s e s in
e e c o s .........(1 )
混合积:
A B C Bx Cx
Ax
Ay By Cy
Az Bz Cz
一、斯托克斯公式的简写
斯托克斯公式：
R Q Q R P P P dx Q dy R dz y z dydz z x dzdx x y dxdy S S
圆柱坐标系中 :
e 1 A
e
电磁场与电磁波第4讲梯度散度散度定理
19
柱坐标系
1 (rAr ) A (rAz ) divA A= r r z 1 (rAr ) 1 A Az r r r z
球坐标系
1 divA A= 2 R sin
( AR R 2 sin ) ( A R sin ) ( RA ) R 1 ( R 2 AR ) 1 ( A sin ) 1 A = 2 R R R sin R sin
C为常数
梯度运算符合以下规则：
C 0 C C ( ) ( ) ( / ) ( ) / 2 F ( ) F ' ( )
10
Example 2-16(P30)
11
12
例 3
2) 梯度 (dv/dn)an
标量的梯度定义为一矢量，其大小为标量的空间最大变化率，其方 向为标量增加率最大的方向。
6
记为
GradV
dV an dn
习惯记为： V
dV an dn
沿dl 的方向导数是
dV dV dn dV cos dl dn dl dn V ˆn a ˆl V a ˆl a n
div A
V 0
lim
S
A dS v
分子表示流出的净通量，它是对包围该体积的整个表面S的积分。式 子是对div A的一般定义，它是一个标量，当A本身变化时，其大小 可能随点的位置而变化。该定义对任何坐标系都适用，当然div A的 表达式取决于所选的坐标系。
17
S
A dS
a source and a sink
电磁场与电磁波第四课后思考题答案第四版全谢处方饶克谨高等教育出版社
电磁场与电磁波第四课后思考题答案第四版全谢处⽅饶克谨⾼等教育出版社2.1点电荷的严格定义是什么？点电荷是电荷分布的⼀种极限情况，可将它看做⼀个体积很⼩⽽电荷密度很的带电⼩球的极限。
当带电体的尺⼨远⼩于观察点⾄带电体的距离时，带电体的形状及其在的电荷分布已⽆关紧要。
就可将带电体所带电荷看成集中在带电体的中⼼上。
即将带电体抽离为⼀个⼏何点模型，称为点电荷。
2.2 研究宏观电磁场时，常⽤到哪⼏种电荷的分布模型？有哪⼏种电流分布模型？他们是如何定义的？常⽤的电荷分布模型有体电荷、⾯电荷、线电荷和点电荷；常⽤的电流分布模型有体电流模型、⾯电流模型和线电流模型，他们是根据电荷和电流的密度分布来定义的。
2,3点电荷的电场强度随距离变化的规律是什么？电偶极⼦的电场强度⼜如何呢？点电荷的电场强度与距离r 的平⽅成反⽐；电偶极⼦的电场强度与距离r 的⽴⽅成反⽐。
2.4简述和所表征的静电场特性表明空间任意⼀点电场强度的散度与该处的电荷密度有关，静电荷是静电场的通量源。
表明静电场是⽆旋场。
2.5 表述⾼斯定律，并说明在什么条件下可应⽤⾼斯定律求解给定电荷分布的电场强度。
关，即在电场（电荷）分布具有某些对称性时，可应⽤⾼斯定律求解给定电荷分布的电场强度。
2.6简述和所表征的静电场特性。
表明穿过任意闭合⾯的磁感应强度的通量等于0，磁⼒线是⽆关尾的闭合线，表明恒定磁场是有旋场，恒定电流是产⽣恒定磁场的漩涡源 2.7表述安培环路定理，并说明在什么条件下可⽤该定律求解给定的电流分布的磁感应强度。
如果电路分布存在某种对称性，则可⽤该定理求解给定电流分布的磁感应强度。
2.8简述电场与电介质相互作⽤后发⽣的现象。
在电场的作⽤下出现电介质的极化现象，⽽极化电荷⼜产⽣附加电场2.9极化强度的如何定义的？极化电荷密度与极化强度⼜什么关系？单位体积的点偶极矩的⽮量和称为极化强度，P 与极化电荷密度的关系为极化强度P 与极化电荷⾯的密度2.10电位移⽮量是如何定义的？在国际单位制中它的单位是什么电位移⽮量定义为其单位是库伦/平⽅⽶（C/m 2）2.11 简述磁场与磁介质相互作⽤的物理现象？ερ/=??E 0=??E ερ/=??E 0=??E ??V S ε00=??B JB 0µ=??0=??B JB 0µ=??CP =-p ρnsp e ?=P ρEP E D εε=+=0在磁场与磁介质相互作⽤时，外磁场使磁介质中的分⼦磁矩沿外磁场取向，磁介质被磁化，被磁化的介质要产⽣附加磁场，从⽽使原来的磁场分布发⽣变化，磁介质中的磁感应强度B 可看做真空中传导电流产⽣的磁感应强度B 0 和磁化电流产⽣的磁感应强度B ’ 的叠加，即 2.12 磁化强度是如何定义的？磁化电流密度与磁化强度⼜什么关系？单位体积内分⼦磁矩的⽮量和称为磁化强度；磁化电流体密度与磁化强度：磁化电流⾯密度与磁化强度： 2.13 磁场强度是如何定义的？在国际单位制中它的单位是什么？2,14 你理解均匀媒质与⾮均匀媒质，线性媒质与⾮线性媒质，各向同性与各向异性媒质的含义么？均匀媒质是指介电常数或磁介质磁导率处处相等，不是空间坐标的函数。
电磁场与电磁波--矢量场的散度及旋度
evz Fz
v F
1.4 矢量场的通量和散度
散度的表达式：
直角坐标系
v F
Fx
Fy
Fz
x y z
圆柱坐标系
v F
1 h h hz
h hz F
h hz F
z
h h Fz
1( F ) 1FFz z球坐标系
v F
1 hr h h
r
(h h Fr )
(hr h F
)
F
(hr
h
F
)
1 r2
方向相反大小 相等结果抵消
n
S
C
图 1.曲5.5 面曲面的的剖划分分
1.5 矢量场的环流与旋度
4. 散度和旋度的区别
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
v
v
F 0; F 0
1.5 矢量场的环流与旋度
例1 .5 点电荷q在离其 rv处产生的电场强度为
1.4.4 散度定理
从散度的定义出发，可以得到矢量场在空间任意闭合曲面的通量等 于该闭合曲面所包含体积中矢量场的散度的体积分，即
vv
v
ÑS F dS V FdV
高斯（散度）定理
散度定理是闭合曲面积分与体积分之间的一个变换关系，在电磁 理论中有着广泛的应用。
1.4 矢量场的通量和散度
vv
v div F
r div F 0
1.4 矢量场的通量和散度
直角坐标系下散度表达式的推导
不失一般性，令包围P点的 微体积V 为一直平行六面 体，如图所示。则
蜒S Fv
v dS
S
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标量场变化最大，及其最大值（梯度的方向及大小）；而且可
以求出任意方向
v l
的方向导数，这只要求出梯度与该方向单位
矢量 eˆ l 的标积就行了。总而言之，梯度场是源于标量场的一个
矢量场，它全面地刻画了标量场的空间变化特征。
9
②梯度的计算
直角坐标系 G r a d f a ˆx x f a ˆy f y a ˆz f z= a ˆx x a ˆy y a ˆz z f
5
1). 方向导数
f(x ,y ,z ) lim f(x x ,y ,z ) f(x ,y ,z )
x x 0
x
f(x,y,z)lim f(x,y y,z)f(x ,y,z)
y y 0
y
y
Q
Vy
P
x
x
标 量 场 f(x ,y ,z )延 l v 方 向 的 方 向 导 数 表 示 f 沿 该 方 向 的 变 化 率
18
2) 散度计算方法
直角坐标系
divA vA v=Ax Ay Az x y z
柱坐标系
divAv Av=1r (rrAr)
A
(rAz z
)
1 (rAr) 1 A Az
r r r z
球坐标系 divA vA v=R2s1in(ARR R 2sin)(A Rsin)(RA)
广义坐标系
=1(R2AR) 1 (Asin) 1 A R2 R Rsin Rsin
标量场在某点的梯度的大小等于该点的最大方向导数， 梯度的方向为该点具有最大方向导数的方向（与等值面 垂直，且指向标量场增大的方向）。
GradV
V n
a)n
沿任意方向的方向导数（变化率）？
V V n V cos l n l n
V n
eˆn geˆl
GradV geˆl
标量函数在任意方向l上的变化 率等于梯度在该方向的投影。
aˆx
xaˆy
yaˆz
z
▽称为“del”算子
Gradf f
圆柱坐标系
f aˆr
fraˆrfaˆz
f z
球坐标系
fa ˆR R fa ˆR fa ˆRsi nf
广义坐标系
f a ˆ u 1 l f 1 a ˆ u 2 l f 2 a ˆ u 2 l f 3 a ˆ u 1 h 1 f u 1 a ˆ u 2 h 2 f u 2 a ˆ u 2 h 3 f u 3
u v
V g F d v 4k(R 2 3 R 1 3 )
u v u vu v
VdivA dvÑ SA gdS
23
Example:
v
example：For vector function , Aa ˆrr2a ˆz2z
verify the divergence theorem for the circular cylindrical region enclosed by
l x y z
标量场在某点的方向导数表示标量场自该点沿某一方向上的变化率。
6
2). 梯度
V q 4 0R
标 量 f(x,y,z) 等 于 常 数 的 空 间曲面称为标量场的等值 面。函数值相等的点构成 的曲面。
Q
1
v l1
v ln
Q
v Q2
P l2
电势V沿ln方向的方向导数最大
7
①梯度的概念
那么在（2，1，3）处的梯度为
G rad 4a ˆx10a ˆya ˆz
其模为
117
因此，在（2，1，3）处方向导数的最大值为（117）1/2
12
例2
f aˆ f aˆfaˆz fz
13
例3
设标量 =xy2+yz3, 矢量
v A2a ˆx2a ˆya ˆz
试求标量函数在点（2，-1，1）处沿矢量A的方向上的方向导数。
d iv A v A v h 1 h 1 2 h 3 (h 2 h u 3 1 A u 1 ) (h 1 h u 3 2 A u 2 ) (h 1 h u 2 3 A u 3 )
19
散度运算规则
uv uv uv uv
g(A B) gAgB
uv
uv
g(CA) CgA
uv
uv uv
20
例 求到任一点的位置矢量的散度。 解
u v Axa ˆxya ˆyza ˆz
divA v A v=A xA yA z1 1 13 x y z
uv A RaˆR
d iv A v A v = R 1 2 ( R 2 R A R ) R s 1 in ( A s in ) R s 1 in A 3
Field and Wave Electromagnetic 电磁场与电磁波
2019. 09.16
1
作业情况
1班：人 2班：人 合计：人 情况:
2
Review
u v
任意矢量 A:
A A xa ˆxA u y u a rˆyA za ˆz
位置矢量:
p(x1, y1, z1) o px1 a ˆxy1 a ˆyz1 a ˆz
v Bx By Bz d l d l x a ˆ x d l y a ˆ y d l z a ˆ z d x a ˆ x d y a ˆ y d z a ˆ z
微分体积 :
dvdxdydz
微分面积:
dsvdsa ˆsa ˆxdsxa ˆydsya ˆzdsz
a ˆxdydza ˆydxdza ˆzdxdy
3
Main topic 梯度和散度
1. 标量场的梯度 2. 矢量场的散度 3. 散度定理
4
1. 标量场的梯度
We now address the method for describing the space rate of change of a scalar field at a given time. As the rate of change may be different in different directions, a vector is needed to define the space rate of change of a scalar field at a given point and at a given time.
10
梯度运算符合以下规则：
C 0
C为常数
C C
( )
( )
( / ) ( ) / 2
F ( ) F '( )
11
例1 已知标量场 (x,y,z)x2yy2z1 求（2，1，3）处方向导数的最大值。
解 根据梯度的定义
Grad=aˆx
xaˆy
yaˆz
z
2xyaˆx (x22yz)aˆyy2aˆz
v
l
nˆ
n cos
l
P
8
某点的梯度的性质： （1）垂直于给定函数的等值面。 （2）指向给定函数在某位置变化最快的方向。 （3）它的大小等于给定函数每单位距离的最大变化率。 （4）一个函数在某点任意方向的方向导数等于此函数的梯度与 该方向单位矢量的点积（标积）。
可以看出：掌握了某一点的梯度，可以知道标量场沿什么方向
z 源点 P’ (x’,y’,z’)
rv '
u R v(rvrv')
rv 场点 P (x, y, z)
O
y
1 R
eˆx
x
1 R
eˆy
y
1 R
eˆz
z
1 R
同理可得
v
1 Rv3
[(x
x
')eˆx
(
y
y
')eˆy
(z
z
')eˆz
]
'
1 R
R R3
R R3
15
2. 矢量场的散度
d svtop aˆ z r d r d
d svb o tto m aˆ z r d r d
d svside aˆ r r d d z
u v u vu v
VdivA dVÑ SA g dS
A
B
矢量场
通量线 or 流线 矢量的通量
vv
AgdS
电力线
S vv
Ñ 源 and 汇（洞） AgdS S
净通量
16
如： 真空中的电场强度E通过任一闭合曲面的通量等于该闭合面 包围的自由电荷的电荷量q与真空介电常数0之比：
uv v
ÑS EgdS
q
0
高斯定理
闭合曲面内的电量为正、负、零时的通量······
外 表 面 u F v g du S v0 2 0 (kR 2)R 2 2sindd4kR 2 3 外 表 面 u F v g d u S v 0 2 0 (k R 1 )R 1 2sindd 4k R 1 3
Ñ u vu v
SF g d S 4k(R 2 3 R 1 3)
gu F vR 12R(R2FR)3k
f lim f(ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ x ,y y ) f(x ,y ) l x 2 y 2 ， 二 维
l l 0
l
flim f(x x,y y,z z)f(x,y,z) l x2 y2 z2 ， 三 维
l l 0
l
数 学 上 可 以 证 明 （ 三 维 ） f fco s fco s fco s
r=5,z=0,and z=4
z4 r 5 z0
v gF
1
(rFr )
1
F
Fz
r r r z
v
A aˆ r r 2 aˆ z 2 z d sv d s aˆ s aˆ r d s r aˆ d s aˆ z d s z