数值分析第五章-矩阵分析基础1
x 1
x 1
定理
max A Bx max A B x
x 1
x 1
A B
相容性
设 是Rn中的向量范数，则 A 为Rnn上的矩阵范数
v
v
且满足 Ax A x
v
vv
矩阵范数与向量范
数的相容性
例5: 设A＝(aij)∈M. 定义
||
A ||
1 n2
n
| aij
i , j 1
|
证明：这样定义的非负实数不是相容的矩阵范数.
则称‖A‖为矩阵A的范数。
定义4 （矩阵的算子范数）
设x Rn , A Rnn , x 是向量范数(v=1,2,或), v
称矩阵的非负函数
A
Ax sup v sup Ay
= max Ay
v
x x
v
y v 1
v
y v 1
v
为矩阵A的算子范数.
由算子范数的定义，可由向量范数诱导出矩阵范数：
1）显然 A 0.若A 0,则 A max Ax 0. x 1 反之，若 A 0 Ax 0 Ax
(1) cond (A) A1 A A1 A I 1
(2) cond ( kA )= cond ( A ) , k 为非零常数;
(3)若 A， 1则
cond(A) A1
注: cond (A) 与 所取的范数有关
常用条件数有：
cond (A)1 =‖A‖1 ‖ A‖11
cond (A)
=‖A‖ ‖ A‖1
注：（1） || A||F tr(AT A)
（2） 矩阵的Frobenius范数不是算子范数。
3．矩阵的范数与特征值之间的关系
定义4：矩阵A 的诸特征值的最大绝对值称为A的谱半径，
记为：
( A)
max
1in
i
定理5：矩阵A 的谱半径不超过A的任一相容矩阵范数，即
(A) A
并且如果A为对称矩阵，则
lim
k
Xk
X*
0
向量序列依范数收敛与依坐标收敛是等价的。
2、矩阵范数
定义3
设对任意矩阵 A∈Rn×m，按一定的规则有一实数 与之对应，记为‖A‖，若‖A‖满足
1) A 0;当且仅当A 0时才有 A 0；(正定性)
2) cA | c | A ,c R;(齐次性) 3) A B A B ,(三角不等式) 4) AB A B , (相容性)
A 0.
正定性
2 ）对任意两个n阶方阵A和B，
A B max (A B)x max Ax Bx
x 1
x 1
max( Ax Bx ) max Ax max Bx
x 1
x 1
x 1
A B.
三角不等式
3）对任意n维非零向量x,
有 Ax A 即 Ax A x . x
故有 AB max ( AB)x max A(Bx)
三个常用的向量范数： 设X = (x1, x2,…, xn)T，则有
（1）
X
1
x1 x2
xn
（2） （3）
X 2
XTX
x12 x22 xn2
X
max
1in
xi
范数等价: 设‖·‖A 和‖·‖B是R上任意两种范数，若存在
常数 C1、C2 > 0 使得
, 则称
‖·‖A 和‖·‖B 等价。
定理1：定义在Rn上的向量范数 X 是变量X分量的 一致连续函数。 X f (X )
A 2
1
其中1为矩阵ATA的最大特征值。
（Ⅲ）与 x 相容的矩阵范数是
n
A
max i
aij
j 1
上述三种范数分别称为矩阵的1-范数、2-范数和∞-范数。
Frobenius范数: || A ||F
nn
| aij |2 (向量|| ·||2的直接推广)
i1 j1
可以证明, 对方阵 A Rnn 和 xRn ，有 || Ax ||2|| A ||F || x ||2
cond (A)2 max ( AT A) / min ( AT A)
特别地，若 A 对称，则
cond
( A)2
max | i | min | i |
§ 5.2 初等矩阵
初等矩阵对线性方程组的研究起着重要的作用，本节介绍 一般形式的初等矩阵，它是矩阵计算的基本工具。 5.2.1 初等矩阵
定理2：在Rn上定义的任一向量范数 X 都与范数 X 等价， 1 即存在正数 M 与 m ( M>m ) 对一切XRn，不等式
mX X M X
1
1
成立。
推论：Rn上定义的任何两个范数都是等价的。
对常用范数，容易验证下列不等式：
1X X X
1
X X n X
1
X X nX
2
定义2：设给定Rn中的向量序列{ X k }，即 X0, X1, L Xk , L
第五章
矩阵分析基础
§5.1 向量和矩阵的范数
1．向量范数
定义1：设X R n，Ｘ 表示定义在Rn上的一个实值函数，
称之为X的范数，它具有下列性质：
(1) 非负性：即对一切X R n，X 0, Ｘ >0 (2) 齐次性：即对任何实数a R，X R n，
aX a X
（3）三角不等式：即对任意两个向量X、Y R n，恒有 X Y X Y
证明：设
A
1 1
1 1
,
B
1 1
1 1
2 2
AB
2
2
|| A ||1,|| B ||1,|| AB || 2
从而 || AB |||| A ||g|| B ||
定理4：设n 阶方阵A = (aij)nn，则
（Ⅰ）与 x相1 容的矩阵范数是
n
A 1
max j
i 1
aij
（Ⅱ）与 x相2 容的矩阵范数是
k
Ak
A
定理6 设B∈Rn×n，则由B的各幂次得到的
矩阵序列Bk, k=0,1,2…)收敛于零矩阵
（
lim）B的k 充0要条件
k
为
。(B) 1
4. 矩阵的条件数
定义5 设矩阵 A 为非奇异矩阵，则称
cond(A) A1 A
为矩阵A的条件数，其中 是矩阵的算子范数。
对矩阵 A 的任意一个算子范数 g 有
其中 X k x1(k) , x2(k) , , xn(k) T
若对任何i (i = 1, 2,…, n )都有
lim
k
xi(
k
)
xi*
则向量
X*
(x1* ,
,
x
* n
)
T
称为向量序列{ X k }的极限，或者说向量序列{ X k }
依坐标收敛于向量 X，* 记为
lim
k
X
k
X*
定理3：向量序列{Xk}依坐标收敛于X*的充要条件是
max
1in
i
A (谱范数） 2
注:Rn×n中的任意两个矩阵范数也是等价的。
定义5： 设|| ·||为Rn×n上的矩阵范数，A,B∈Rn×n 称 ||A-B||为A与B之间的距离。
定义6：设给定Rn×n中的矩阵序列{ Ak}，若
lim
k
Ak A
0
则称矩阵序列{ A}k收敛于矩阵A，记为
lim
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《矩阵分析》课件
方阵 行数和列数相等的矩阵称为方阵。
01
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的方阵称 为对角矩阵。
03
对称矩阵
设$A = (a_{ij})$为$n$阶方阵，若对任意$i, j$都有$a_{ij} = a_{ ji}$，则称$A$为对称矩
阵。
05
02
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零矩阵，记作 $O$。
04
非零行的首非零元所在列在上一行的 首非零元所在列的右边。
同一行的所有非零元均在首非零元的 右边。
线性无关组与基础解系
线性无关组：一组向量线性无关当且仅当它们不能 由其中的部分向量线性表示出来。换句话说，只有 当这组向量中任何一个向量都不能由其余向量线性 表示时，这组向量才是线性无关的。
基础解系中的解向量线性无关。
当B=I时，广义特征值问题退化为普通的特征值问题。此外，广义特征值问题可以通 过相似变换转化为普通的特征值问题进行求解。
06
CATALOGUE
矩阵函数与微分学在矩阵分析中应用
矩阵函数定义及性质
矩阵函数的性质 矩阵函数的转置、逆和行列式等运算也遵循相应的矩
阵运算规则。
矩阵函数的定义：设$A(t)=(a_{ij}(t))$是一个 $ntimes n$矩阵，其元素$a_{ij}(t)$是变量$t$ 的函数，则称$A(t)$为矩阵函数。
Gauss消元法原理
LU分解求解线性方程组
通过行变换将矩阵化为上三角矩阵， 从而解线性方程组。
将Ax=b转化为LUx=b，通过前向替 换和后向替换求解。
LU分解定义
将矩阵分解为一个下三角矩阵L和一个 上三角矩阵U的乘积。
QR分解原理及实现
QR分解定义
《数值分析》第五章实验报告
-2-
1.900 11.7479965 2.000 15.3982357 则有 i 1 5 6 9 10 ti 1.1 1.5 1.6 1.9 2.0 wi 0.2718282 3.1874451 4.6208178 11.7479965 15.3982357 y(ti) 0.345920 3.96767 5.70296 14.3231 18.6831
b)c)d)类似进行即可
EXERCISE SET 5.9 P322 2、方程组的 Runge-Kutta 算法 a) y' '2 y' y te t ,0 t 1, y(0) y' (0) 0, h 0.1
t
设 u1 (t ) y(t ), u2 (t ) y (t ) ，则将方程转换为方程组
'
-5-
u1' (t ) u2 (t )
' u2 (t ) 2u2 (t ) u1 (t ) t (et 1)
初始条件为
u1 (0) 0, u2 (0) 0
编写 MATLAB 程序 function[t,y] = Runge_Kutta4s(ydot_fun,t0,y0,h,N) %标准四阶Runge_Kutta公式，其中， %ydot_fun为一阶微分方程的函数； %t0为初始点； %y0为初始向量（列向量） ； %h为区间步长； %N为区间的个数； %t为Tn构成的向量； %y为Yn构成的矩阵。 t = zeros(1,N+1);y = zeros(length(y0),N+1); t(1) = t0;y(:,1) = y0; for n = 1 :N t(n+1) = t(n) + h; k1 = h * feval(ydot_fun,t(n),y(:,n)); k2 = h * feval(ydot_fun,t(n)+1/2 * h,y(:,n)+1/2 * k1); k3 = h * feval(ydot_fun,t(n)+1/2 * h,y(:,n)+1/2 * k2); k4 = h * feval(ydot_fun,t(n)+h,y(:,n)+k3); y(:,n+1) = y(:,n) + 1/6 * (k1 + k2 + k3 + k4); end 运行后有 >> odefun = inline('[y(2);2*y(2)-y(1)+t*(exp(t)-1)]','t','y'); >> [t,y] = Runge_Kutta4s(odefun,0,[0;0],0.1,10) t= Columns 1 through 9 0 0.8000 Columns 10 through 11 0.9000 1.0000 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000
1.900 11.7479965 2.000 15.3982357 则有 i 1 5 6 9 10 ti 1.1 1.5 1.6 1.9 2.0 wi 0.2718282 3.1874451 4.6208178 11.7479965 15.3982357 y(ti) 0.345920 3.96767 5.70296 14.3231 18.6831
b)c)d)类似进行即可
EXERCISE SET 5.9 P322 2、方程组的 Runge-Kutta 算法 a) y' '2 y' y te t ,0 t 1, y(0) y' (0) 0, h 0.1
t
设 u1 (t ) y(t ), u2 (t ) y (t ) ，则将方程转换为方程组
'
-5-
u1' (t ) u2 (t )
' u2 (t ) 2u2 (t ) u1 (t ) t (et 1)
初始条件为
u1 (0) 0, u2 (0) 0
编写 MATLAB 程序 function[t,y] = Runge_Kutta4s(ydot_fun,t0,y0,h,N) %标准四阶Runge_Kutta公式，其中， %ydot_fun为一阶微分方程的函数； %t0为初始点； %y0为初始向量（列向量） ； %h为区间步长； %N为区间的个数； %t为Tn构成的向量； %y为Yn构成的矩阵。 t = zeros(1,N+1);y = zeros(length(y0),N+1); t(1) = t0;y(:,1) = y0; for n = 1 :N t(n+1) = t(n) + h; k1 = h * feval(ydot_fun,t(n),y(:,n)); k2 = h * feval(ydot_fun,t(n)+1/2 * h,y(:,n)+1/2 * k1); k3 = h * feval(ydot_fun,t(n)+1/2 * h,y(:,n)+1/2 * k2); k4 = h * feval(ydot_fun,t(n)+h,y(:,n)+k3); y(:,n+1) = y(:,n) + 1/6 * (k1 + k2 + k3 + k4); end 运行后有 >> odefun = inline('[y(2);2*y(2)-y(1)+t*(exp(t)-1)]','t','y'); >> [t,y] = Runge_Kutta4s(odefun,0,[0;0],0.1,10) t= Columns 1 through 9 0 0.8000 Columns 10 through 11 0.9000 1.0000 0.1000 0.2000 0.3000 0.4000 0.5000 0.6000 0.7000
矩阵分析第5章课件
例：取n维线性空间的分量全为1的向量 e=(1,…,1)T为例. 易见 ‖e‖=1; ‖e‖2=n; ‖e‖1=n. 它们之间的大小关系是: ‖e‖<‖e‖2<‖e‖1. 命题:对n维线性空间的任意向量x成立 ‖x‖ ‖x‖2 ‖x‖1 n‖x‖ n‖x‖2 n‖x‖1 n2‖x‖ … 证:‖x‖= max{|x1|,…,|xn|} (i=1n|xi|2)1/2 = ‖x‖2 ((|x1|+…+|xn|)2)1/2 = ‖x‖1 n max{|x1|,…,|xn|} = n‖x‖
第五章 向量与矩阵范数 前言
• 向量与矩阵范数是向量与矩阵的一个重要数 字特征---用它可以建立向量集或矩阵集的 拓扑结构,从而便于研究向量或矩阵序列,向 量或矩阵级数的收敛性质.因此,这一章的理 论在数值分析及其它领域中十分有用. • 本章是本课程重点内容之一.所有5节都要认 真学好.最后一节(矩阵幂级数)是研究矩阵 函数的重要工具.
Holder不等式与Minkowski不等式
• 下面两个不等式对本章的理论推导十分有用 • Holder不等式:对任意给定p>1和q=p/(p-1) (>1,即(1/p)+(1/q)=1)及任意ak,bk0成立 k=1nakbk (k=1nakp)1/p(k=1nbkp)1/p. (C-S不等式为其(p=2时)特例) • Minkowski不等式:对任意给定p1成立 (k=1n|ak+bk|p)1/p (k=1n|ak|p)1/p+(k=1n|bk|p)1/p
ACmn 定义 ‖A‖= maxi,k|aik| 则‖A‖显然是向量范数(向量的无穷大范数),但它 不是矩阵范数,反例如下:
1 1 1 1 1 2 A 1 1 , B 0 1 , AB 1 2
第五章 向量与矩阵范数 前言
• 向量与矩阵范数是向量与矩阵的一个重要数 字特征---用它可以建立向量集或矩阵集的 拓扑结构,从而便于研究向量或矩阵序列,向 量或矩阵级数的收敛性质.因此,这一章的理 论在数值分析及其它领域中十分有用. • 本章是本课程重点内容之一.所有5节都要认 真学好.最后一节(矩阵幂级数)是研究矩阵 函数的重要工具.
Holder不等式与Minkowski不等式
• 下面两个不等式对本章的理论推导十分有用 • Holder不等式:对任意给定p>1和q=p/(p-1) (>1,即(1/p)+(1/q)=1)及任意ak,bk0成立 k=1nakbk (k=1nakp)1/p(k=1nbkp)1/p. (C-S不等式为其(p=2时)特例) • Minkowski不等式:对任意给定p1成立 (k=1n|ak+bk|p)1/p (k=1n|ak|p)1/p+(k=1n|bk|p)1/p
ACmn 定义 ‖A‖= maxi,k|aik| 则‖A‖显然是向量范数(向量的无穷大范数),但它 不是矩阵范数,反例如下:
1 1 1 1 1 2 A 1 1 , B 0 1 , AB 1 2
数值分析Ch5.1
单位向量
k
定义2 u lk 0 0 mk1 mn ，v ek 0 1 0 0 ，
1，称E
(
l
k
,
e
k
,1)
k
I
lk
e
T k
Lk (lk )
指标为k初等下三角阵。
0
1
k
Lk (lk )
I
lk ekT
I
0
mk
1
0
k 1
0
0
1 mk1
1
k行，
mn
mn
1
1
0
1
I ij
。
1
0 Leabharlann 1 2.3 初等反射阵（称为境面反射阵或Householder变换）
1、定义
定义4 设向量 w Rn，且wT w 1（模或范数等于1)， 2，
称矩阵 E(w, w,2) I 2wwT H (w) 为初等反射阵。 2、性质 定理2 设H (w) I 2wwT ,其中wT w 1 ，为初等反射阵，则
（1）H是对称阵，即 H T H;
（2）H是正交阵，即 H 1 H T ;
（3）设A为对称矩阵，那么A1 H 1 AH HAH 亦是对称阵。 证明：（1）H T (I 2ww T )T I 2(wT )T wT I 2wwT H；
（2）H T H HHT H 2 (I 2wwT )( I 2wwT )
1)
||2 ，
于是由定理3
存在H变换：
记
u
x
e1
w (u1 ,
|| u2
x e1 ，使 x e1 ||2
,, un )T，于 是
HxHyI12||2u||u||ue22u1|， T|22
数值分析第五章线性方程组-数值分析课件
(1) 1n ( 2) 2n (1) 1 ( 2) 2
即
(1) (1) (1) (1) a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 ( 2) ( 2) ( 2) a 22 x 2 a 2 n x n b2 (n) (n) a x b nn n n
3.2 解线性方程组的直接法（高斯消去法） 3.2.1 高斯消去法的基本思想 先用一个简单实例来说明Gauss法的基本思想 例3.1 解线性方程组
2 x1 x 2 3 x3 1 4 x1 2 x 2 5 x 3 4 x 2x 7 2 1
① ② ③
解: 该方程组的求解过程实际上是将一个方程乘或 除以某个常数,然后将两个方程相加减,逐步减少方 程中的未知数,最终使每个方程只含有一个未知数, 从而得出所求的解。整个过程分为消元和回代两个 部分。
( 3.3 )
解线性方程组（3.1）的高斯（Gauss）消去法的消元 过程就是对( 3.3 )的增广矩阵进行初等行变换。将例 3.1中解三阶线性方程组的消去法推广到一般的 n n 阶线性方程组并记 (1) aij aij , bi(1) bi (i, j 1,2,, n)
则高斯消去法的算法构造归纳为：
需要(n-1)2次乘法运算及(n-1)2次加减法运
算,
第k 步
1 2 3 … n-1 合计
加减法次 数 (n-1)2 (n-2)2 (n-3)2 … 1 n(n-1) (2n-1)/6
乘法次数
(n-1)2 (n-2)2 (n-3)2 … 1 n(n-1) (2n-1)/6
除法次数
(n-1) (n-2) (n-3) … 1 n(n-1)/2
(k ) 只要 akk 0 ,消元过程就可以进行下去,直到 经过n-1次消元之后，消元过程结束，得到与 原方程组等价的上三角形方程组,记为 A(n) x b 1) 11
即
(1) (1) (1) (1) a11 x1 a12 x 2 a1n x n b1 ( 2) ( 2) ( 2) a 22 x 2 a 2 n x n b2 (n) (n) a x b nn n n
3.2 解线性方程组的直接法（高斯消去法） 3.2.1 高斯消去法的基本思想 先用一个简单实例来说明Gauss法的基本思想 例3.1 解线性方程组
2 x1 x 2 3 x3 1 4 x1 2 x 2 5 x 3 4 x 2x 7 2 1
① ② ③
解: 该方程组的求解过程实际上是将一个方程乘或 除以某个常数,然后将两个方程相加减,逐步减少方 程中的未知数,最终使每个方程只含有一个未知数, 从而得出所求的解。整个过程分为消元和回代两个 部分。
( 3.3 )
解线性方程组（3.1）的高斯（Gauss）消去法的消元 过程就是对( 3.3 )的增广矩阵进行初等行变换。将例 3.1中解三阶线性方程组的消去法推广到一般的 n n 阶线性方程组并记 (1) aij aij , bi(1) bi (i, j 1,2,, n)
则高斯消去法的算法构造归纳为：
需要(n-1)2次乘法运算及(n-1)2次加减法运
算,
第k 步
1 2 3 … n-1 合计
加减法次 数 (n-1)2 (n-2)2 (n-3)2 … 1 n(n-1) (2n-1)/6
乘法次数
(n-1)2 (n-2)2 (n-3)2 … 1 n(n-1) (2n-1)/6
除法次数
(n-1) (n-2) (n-3) … 1 n(n-1)/2
(k ) 只要 akk 0 ,消元过程就可以进行下去,直到 经过n-1次消元之后，消元过程结束，得到与 原方程组等价的上三角形方程组,记为 A(n) x b 1) 11
数值分析第五版第5章习题答案
第5章
）矩阵行列式的值很小。
）矩阵的范数小。
）矩阵的范数大。
（7）奇异矩阵的范数一定是零。
答：错误，
∞
•可以不为0。
（8）如果矩阵对称，则|| A||1 = || A||∞。
答：根据范数的定义，正确。
（9）如果线性方程组是良态的，则高斯消去法可以不选主元。
答：错误，不选主元时，可能除数为0。
（10）在求解非奇异性线性方程组时，即使系数矩阵病态，用列主元消去法产生的误差也很小。
答：错误。
对于病态方程组，选主元对误差的降低没有影响。
（11）|| A ||1 = || A T||∞。
答：根据范数的定义，正确。
（12）若A是n n的非奇异矩阵，则
)
(
cond
)
(
cond1-
=A
A。
答：正确。
A是n n的非奇异矩阵，则A存在逆矩阵。
根据条件数的定义有：
1
111111 cond()
cond()()
A A A
A A A A A A A
-
------
=•
=•=•=•
习题
如有侵权请联系告知删除，感谢你们的配合！。
矩阵分析知识点总结
矩阵分析知识点总结一、矩阵的基本概念1.1 矩阵的定义矩阵是由数个数排成的矩形阵列。
矩阵可以用大写字母表示。
1.2 矩阵的基本要素- 元素：矩阵中的每一个数称为矩阵的元素。
- 维数：矩阵的行数和列数称为矩阵的维数。
行和列的个数分别称为行数和列数。
1.3 矩阵的类型- 方阵：行数等于列数的矩阵称为方阵。
- 零矩阵：所有元素都是 0 的矩阵称为零矩阵。
- 对角矩阵：除了主对角线上的元素外，其它元素都是 0 的矩阵称为对角矩阵。
1.4 矩阵的表示- 横标法：按行标的顺序把元素排列成一串数，两个 4× 3 的矩阵可以表示为 12 个数。
- 纵标法：按纵标的顺序把元素排列成一串数。
1.5 矩阵的运算- 矩阵的加法- 矩阵的数乘- 矩阵的乘法1.6 矩阵的转置- 行变列，列变行，得到的新矩阵称为原矩阵的转置。
- 性质： (AT)T = A1.7 矩阵的逆- 若矩阵 A 有逆矩阵 A-1, 则 A × A-1 = A-1 × A = E- 矩阵 A 有逆矩阵的充分必要条件是 A 是可逆的。
- 克拉默法则：若一个 n 阶矩阵可逆，且 Ax = b，则 x = A-1b1.8 矩阵的秩- 行最简形矩阵都是行等价的。
其秩等于不为零的行数。
- 同样列最简形矩阵都是列等价的。
其秩等于不为零的列数。
- 行秩等于列秩。
1.9 矩阵的特征值和特征向量- 特征值：如果数λ和非零向量 x ,使得Ax = λx 成立，则称λ 是矩阵 A 的特征值。
非零向量x 称为特征值λ 对应的特征向量。
- 矩阵 A 所有特征值的集合称为 A 的谱。
- 若λ1，λ2，···，λn 互不相同，相应的特征向量组 x1，x2，···，xn 线性无关，则它们构成一组 A 的特征向量基。
1.10 矩阵的奇异值- 奇异值：对于矩阵A(λ1, λ2, ···, λn)，λ1，λ2，···,λn称为矩阵 A 的奇异值。
数值分析(05) 矩阵代数基础
1
2 2 4
2
2 4 2
0
(1) 由 A E 2 2
2 7
得 1 2 2, 3 7.
数值分析
数值分析
将 1 2 2代入 A 1 E 0, 得方程组
x1 2 x2 2 x3 0 2 x1 4 x2 4 x3 0 2x 4x 4x 0 1 2 3
| aii | | aij |
j 1 ji n
i 1,2,...,n
反证法：若 A奇 异 ， 则 Ax 0有 非 零 解 设 为x ( x1 , x2 ,..., xn )T 0
不妨设 xi 0， 且xi 1, x j 1, j 1,...n, 则aii aij x j 0
1
A E .
数值分析
数值分析
定理2 n阶矩阵A与对角矩阵相似(即A能对角化) 的充分必要条件是A有n个线性无关的特征向量. 证明 假设存在可逆阵 P , 使P 1 AP 为对角阵,
由 P 1 AP , 得AP P ,
把 P 用其列向量表示为P p1 , p2 ,, pn .
1
n
P15
数值分析
A有n个 (1) 线性无关的特征向量 0
* ... * A的特征值都为实的特征值 (2) * : * ... ... ... ... : : (3) : A的特征值有复特征值 :
属于特征值 0 2的一个特 p1 0 , 1 征向量取为
数值分析
数值分析
当 2 3 1时, 解方程( A E ) x 0.由 2 1 0 1 0 1 A E 4 2 0 ~ 0 1 2 , 1 0 1 0 0 0 r ( A E ) 2, 特 征 值 1的 几 何 重 数 是 3 2 1,
矩阵分析课件精品PPT
典型例题解析
例1
求矩阵A的特征值和特征向量，其中A=[[3,1],[2,2]]。
例2
已知矩阵A的特征值为λ1=2, λ2=3，对应的特征向量为 α1=[1,1]T, α2=[1,-1]T，求矩阵A。
解析
首先求出矩阵A的特征多项式为f(λ)=(λ-1)(λ-4)，解得特 征值为λ1=1, λ2=4。然后分别将特征值代入(A-λI)x=0求 解对应的特征向量。
应用举例
通过克拉默法则求解二元、三元线性方程组，并验证解的正确性 。
典型例题解析
01
例题1
求解三元线性方程组，通过高斯消元 法得到增广矩阵的上三角形式，然后 回代求解未知数列向量x。
02
03
例题2
例题3
判断四元线性方程组的解的情况，通 过计算系数矩阵的行列式|A|以及替换 列向量后的矩阵行列式|Ai|，根据克 拉默法则判断方程组的解是唯一解、 无解还是无穷多解。
特殊类型矩阵介绍
01
02
03
04
方阵
行数和列数相等的矩阵称为方 阵。
零矩阵
所有元素都是零的矩阵称为零 矩阵。
对角矩阵
除主对角线外的元素全为零的 方阵称为对角矩阵。
单位矩阵
主对角线上的元素全为1，其 余元素全为0的方阵称为单位 矩阵。
矩阵性质总结
Байду номын сангаас
01
结合律
02
交换律
03 分配律
04
数乘结合律
数乘分配律
• 对于每一个特征值m，求出齐次线性方程组(A-mI)x=0的一个基础解系，则A对应于特征值m的全部特征向量（其中I是与A 同阶的单位矩阵）。
特征值和特征向量求解方法
数值分析矩阵分析基础
1in
i
A(谱 范 数 ） 2
注:Rn×n中的任意两个矩阵范数也是等价的。
定义5： 设|| ·||为Rn×n上的矩阵范数，A,B∈Rn×n 称 ||A-B||为A与B之间的距离。
定义6：设给定Rn×n中的矩阵序列{ A k }，若
lim
k
Ak
A
0
则称矩阵序列{ A}k收敛于矩阵A，记为
lim
k
Ak
v y v1
v y v1
v
为矩阵A的算子范数.
由 算 子 范 数 的 定 义 ， 可 由 向 量 范 数 诱 导 出 矩 阵 范 数 ：
1）显然A0.若A0,则AmaxAx 0. x1 反之，若A0Ax 0Ax
A0.
正定性
2 ）对任意两个n阶方阵A和B，
AB max (AB)x max AxBx
定理1：定义在Rn上的向量范数 X 是变量X分量的 一致连续函数。 X f (X )
定理2：在Rn上定义的任一向量范数 X 都与范数 X 等价， 1 即存在正数 M 与 m ( M>m ) 对一切XRn，不等式
mXXMX
1
1
成立。
推论：Rn上定义的任何两个范数都是等价的。
对常用范数，容易验证下列不等式：
2)cA |c|A , c R ;(齐次 ) 性 3)ABAB,(三角不 ) 等式 4)AB AB, (相容 ) 性
则称‖A‖为矩阵A的范数。
定义4 （矩阵的算子范数）
设xRn, ARnn, x 是向量范数(v=1,2,或), v
称矩阵的非负函数
A
Ax sup v sup Ay来自=max Ayv
x x
( 1 )c o n d ( A ) A 1A A 1 A I 1
i
A(谱 范 数 ） 2
注:Rn×n中的任意两个矩阵范数也是等价的。
定义5： 设|| ·||为Rn×n上的矩阵范数，A,B∈Rn×n 称 ||A-B||为A与B之间的距离。
定义6：设给定Rn×n中的矩阵序列{ A k }，若
lim
k
Ak
A
0
则称矩阵序列{ A}k收敛于矩阵A，记为
lim
k
Ak
v y v1
v y v1
v
为矩阵A的算子范数.
由 算 子 范 数 的 定 义 ， 可 由 向 量 范 数 诱 导 出 矩 阵 范 数 ：
1）显然A0.若A0,则AmaxAx 0. x1 反之，若A0Ax 0Ax
A0.
正定性
2 ）对任意两个n阶方阵A和B，
AB max (AB)x max AxBx
定理1：定义在Rn上的向量范数 X 是变量X分量的 一致连续函数。 X f (X )
定理2：在Rn上定义的任一向量范数 X 都与范数 X 等价， 1 即存在正数 M 与 m ( M>m ) 对一切XRn，不等式
mXXMX
1
1
成立。
推论：Rn上定义的任何两个范数都是等价的。
对常用范数，容易验证下列不等式：
2)cA |c|A , c R ;(齐次 ) 性 3)ABAB,(三角不 ) 等式 4)AB AB, (相容 ) 性
则称‖A‖为矩阵A的范数。
定义4 （矩阵的算子范数）
设xRn, ARnn, x 是向量范数(v=1,2,或), v
称矩阵的非负函数
A
Ax sup v sup Ay来自=max Ayv
x x
( 1 )c o n d ( A ) A 1A A 1 A I 1