研究生 统计学讲义 第5讲 第5章 方差分析

(1－α)m
总的检验犯第一类错误的概率为 :
1－(1－α)m α值很小的时，1－ (1－α)m ≈ m×α
以Pmin代表m次t检验中的最小 P 值，以P校正代表校 正P 值，当P校正≈ m×Pmin时，总的检验水准近似是α 。所以，当总检验水准为α时，进行多组间两两比较 须坚持P校正 = m×Pmin≤α作为判断具有统计学意义的 界值；换言之,只有 m 次 t 检验中的
如果分别从两个正态总体N(μ1,σ1)和N(μ2,σ2)中，随机 抽取样本含量为n1，n 2的两个样本，算出样本均数和 2 ，则统计量 x 方差分别为 ，x s2 和 ， s 11 22
F
2 2 s1 /1 2 s2 2 / 2
(5.2)
服从自由度为df1 = n1－1，df2 = n2－1的F分布。
单因素方差分析（完全随机设计多个样本均数比 较的方差分析）检验统计量为 F 值：
F＝MS组间 / MS组内 (6.6)
如果F<Fα，则P>α，在α水平上不拒绝H0，认为多 个总体均数间差别无统计学意义， 如果F ≥Fα，则P ≤α，在α水平上拒绝H0，认为多个 总体均数间差别有统计学意义，但并不意味着任何两 总体均数有差别，只能说至少有两组有差别，可能有 的组间没有差别，要了解哪些组间有差别，哪些组间 没有差别，需要进一步作多个样本均数间的两两比较 。 二、多重比较 多重比较(multiple comparison)即多个样本均数间 的两两比较，由于涉及的对比组数大于2，若仍用t检 验作每两个对比组比较的结论，会使犯第一类错误的 概率α增大，即可能把本来无差别的两个总体均数判 为有差别。
年龄组 (岁 )
疗
中西医结 合
7 8 9 10 11
法
中 医
9 9 9 9 12
西医
10 10 12 12 14
20以下 20～ 30～ 40～ 50及以上
处理组 H0：μ1 =μ2 =μ3，即不同疗法治愈天数的总 体均数相等；H1：不同疗法治愈天数的总体均数有不 等或全不相等。α= 0.05
配伍组H0：不同年龄治愈天数的总体均数相等； H1：不同年龄的治愈天数的总体均数有不等或全不等 。α= 0.05
Analyze,→General Linear Models ,→ Univariate
Tests of Between-Subjects Effects Dependent Variable: 治愈天数
SS组 内

j 1 i 1
k
nj
( X ij X j ) 2

( n j 1) S 2 j
显然SS组内的大小还与各样本例数 nj 的多少有关， 确切地说与自由度df组内(df组内=Σnj - k)有关，所以计算 组内方差，称为组内均方(within group mean square ，记为MS组内，MS组内=SS组内 / df组内=[Σ(nj -1)sj2 ]/ (Σnj -k)。 (3) 组间变异(between groups variation)：四组间E-SFC 值的样本均数 x j 也大小不等，这种变异称为组间变异， 它反映了不同处理(中药)的影响，也包括了随机误差。 其大小可用各组均数分别与总均数之差的平方和(记为 SS组间)来表示，
Pmin

m
才推断差异在总检验水准为α下具有统计学意义， 这就是Bonferroni标准，利用Bonferroni标准进行多组 比较的方法，称为Bonferroni校正法。 例5.3 已知表5-1资料满足方差分析的应用条件，试分 析四种用药情况对小白鼠细胞免疫机能的影响是否相 同。
本例资料一个研究因素，满足方差分析的应用条件 ，比较各组总体均数相等用单因素方差分析法。 H0:μ1=μ2=μ3=μ4即各总体均数相等, H1:各总体均数 不全不等;α=0.05
SS组 间
n (X
j j 1
k
i
X 总)
同样，组间变异SS组间的大小还与其自由度df组间(df组间 =k-1)有关，所以计算组间方差，称为组间均方(between groups mean square，记为MS组间)，
MS组间=SS组间 /df组间=
SS组间 k 1
SS总=SS组间+SS组内，且df总=df组间 + df组内 H0:μ1=μ2=μ3=μ4，F＝MS组间 / MS组内 >1 F 要大于1 多少才有统计意义呢？可查F 界值表( 见附表6)得 P 值，按 P 值的大小作出推断结论。
查附表6，界值F0.01(3，5) =12.1，df1=3，df2=5时， P (F >12.1) =0.01，P (F <12.1) = 0.99
查附表6, F0.01(3，5) =12.1 , df1=3 , df2=5时 , P (F >12.1) =0.01 , P (F <12.1) = 0.99 ; 查附表6 ,F0.025(7，2) = 39.36， df1=7，df2= 2时，P(F >39.36) = 0.025 , P (F <39.36) =0.975。
3.方差分析的优点 方差分析的优点有：① 不受对比的 组数之限制；② 可同时分析多个因素的作用；③ 可分 析因素间的交互作用。
第二节
ห้องสมุดไป่ตู้
完全随机设计资料的多个样本均数比较
一、完全随机设计资料的方差分析 单因素方差分析(one-way ANOVA) H0:μ1=μ2=……=μn ，H1:μ1,μ2 ,…,μn不等或不全等； α=0.05。
第5章 方差分析 analysis of variance，ANOVA 方差分析目的是利用变异的关系来判别多组资料 的总体平均值是否有差别。基本思想是：先假设（H0 ）各总体均数全相等；将总变异SS总，按设计和资料 分析的需要分为两个或多个组成部分，其自由度也相 应地分为几个部分，以随机误差为基础，按F分布的 规律作统计推断。 预备知识
多个实验组分别与一个对照组比较常用Dunnett法 。每两个均数的比较常用最小显著差值（LSD）、 SNK（Student-Newman-Keuls）法，又称 q 检验；也 常用Tukey法、Bonferroni校正法、 Duncan的多重极 差检验 。 Bonferroni校正法的思想是考虑到若以 m 代表 t 检 验次数, 每次使用α水平进行比较, m 次比较均不犯Ⅰ类 错误的概率为:
本例方差分析的F=2.96；根据组间自由度df组间＝k-1 ＝3-1＝2，组内自由度df组内=N-k=30-3=27，F 界值 F0.05(2,27)=3.35，F<F0.05，P > 0.05，所以，正确的结果 应当是三组之间差异并无统计学意义。
多个样本均数比较一般有两种情况：一种是在研究 设计阶段未预先考虑或未预料到，经数据结果的提示 后，才决定用多个均数间的两两比较，常见于探索性 研究，这种情况下，往往涉及到任意两个均数的比较 。另一种是在设计阶段就根据研究目的或专业知识而 决定的某些均数间的两两比较，常见于事先有明确假 设的证实性实验研究，例如多个处理组分别与一个对 照组的比较，处理后不同时间分别与处理前的比较等 。
因一般都按组成统计量F的分子大于分母计算F值。 所以附表6中 F 界值都大于1。方便方差分析时用。 F分布具有倒数性质：
F1 ( df 1,df 2 )
1 F ( df 2 ,df1 )
例如，查附表6，F0.05(2，5) =5.7861，F 界值表中没有 列出F0.95(5，2) ，利用F分布的倒数性质可得F0.95(5，2) =1/F0.05(2，5) =1/5.7861 = 0.1728 。 下面的性质是F分布用于方差分析和两样本比较时 的方差齐性检验的重要依据：
第二节 方差分析的思路
1. 方差分析的分析思路是将全部观察值之间的变异 即总变异 (SS总)按设计和资料以及分析需要分为两个 组成部分，以随机误差为基础，计算F值，按F分布 的规律作统计推断。
下面我们以完全随机设计资料为例，进一步说明方 差分析的基本思想。 例5.1 研究单味中药对小白鼠细胞免疫机能的影响， 把39只小白鼠随机分为四组，雌雄尽量各半，用药15 天后，进行E-玫瑰花结形成率（E-SFC）测定，结果 如表 对照 组 淫羊 藿组 党参 组 黄芪 组 14 35 10 27 12 33 16 29 13 31 14 40 10 35 13 30 9 28 36
21
24
24
20
18
22
17
18
22
17
19
21
18
18
23
22
20
19
18
23
本例属于完全随机设计资料，从表5-1资料可以看到 三种性质不同的变异（用离均差平方和表示变异）： (1) 总变异(total variation)：
SS总
k nj

j 1 i 1
( X ij X 总 ) 2
例如有4个样本均数间的两两比较有Ｃ42 =4！/［2 ！(4-2)！］＝6 种情况，即可有 6 次对比，若每次比较 的检验水准α=0.05，则每次比较不犯第一类错误的概 率为0.95，按概率的乘法定理，6 次比较均不犯第一类 错误的概率为(1-0.05)6，这时，总的检验犯第一类错误 的概率为1- 0.956＝0.2649，比0.05大多了。 例5.2 曾经有人观察甲、乙两种性激素对成四种中 药纤维细胞生长的影响，以安慰剂为对照，三组样本 含量均为10，结果是甲组为36±4，乙组为39±3，安 慰剂组为40±4。按检验水准α=0.05，使用 t 检验作两 两比较，结论：甲组与乙组组比较 t =1.897，P>0.05 ，差异无统计学意义；乙组与安慰剂组比较，t=0.632 ，P>0.05，差异无统计学意义；甲组与安慰剂组比较 ，t=2.236，P≈0.04，差异有统计学意义。显然在逻辑 上是矛盾的。
方差分析首先要进行F 检验，统计量为F，我们先 介绍其统计量的分布─F分布。
定义：如果随机变量X1、X2分别服从自由度为df1 ，df2的2分布，则称随机变量
X 1 / df1 F X 2 / df2
服从自由度为df1, df2的F分布(Fdistribution)。
F0.05(5 ,10) =3.33, P (F >3.33) = 0.05;P (F<3.33) = 0.95；
2.方差分析的应用条件 (1) 各样本是相互独立的随机样本。 (2) 正态性(normality)，各样本来自正态分布总体。方 差分析的这一应用条件是对样本含量较小时的资料而言 ，对于样本含量较大的资料来说，则样本不论来自什么 总体，方差分析都是强有力的分析方法。因为当各组的 样本含量较大时，样本均数近似正态分布。 (3) 各比较组总体方差相等(σ12=σ22=…=σk2)，称为方差 齐性（homogeneity of variance）。方差分析的这一应 用条件主要是对完全随机设计资料而言，注意：无重 复数据的方差分析，如配伍设计、交叉设计、正交设 计的方差分析，因每个单元格子中只有一个观察数据 ，不需考虑正态性和方差齐性的要求。
输出结果
第三节
配伍组设计资料的方差分析及多重比较
一、配伍组设计资料的方差分析
配伍组设计的多个样本均数比较，符合方差分析 条件时，可用无重复数据的两因素方差分析(Two-way ANOVA)。两因素是指主要的处理因素和配伍因素。 配伍组设计试验的结果按处理和配伍两个因素纵横排 列构成多行多列资料，每个格子中仅有一个数据，故 称无重复数据。 例5.4 为了控制年龄因素对治愈某病所需时间的影响 ，采用了配伍组设计，选定5个年龄组，每组3个病人 ，随机分配到不同的处理组中去，资料如表6-2，试分 析三种疗法治愈某病所需时间是是否相等。
显然SS总 还与总例数N(=∑nj)的多少有关，确切地说 与总的自由度df总(df总=N－1)有关。 (2) 组内变异(within group variation)：四个样本组各组 内部E-SFE值也大小不等，这种变异称为组内变异。它 反映了E-SFC的随机误差(包括个体差异以及观测误差)， 其大小可用四样本内部每个观察值 xij 与自已所在样本 组均数 x j 之差的平方和(记为SS组内)来表示，