高中数学-函数的奇偶性(二)
高一数学人教A版必修1课件1321函数的奇偶性
总结：(1)偶函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝f(x) ，那么函数 f(x)就叫做偶函数． (2)奇函数 一般地，如果对于函数 f(x)的定义域内 每 一个 x，都有 f(－x)＝－f(x) ，那么函数 f(x)就叫做奇函数．
【归纳提升】 (1)奇偶函数的定义域关于原点对称，如 果函数的定义域不关于原点对称，则此函数既不是奇函数也 不是偶函数．
(6)显然函数 f(x)的定义域关于原点对称． 当 x>0 时，－x<0，f(－x)＝x2－x＝－(x－x2)＝－f(x)， 当 x<0 时，－x>0，f(－x)＝－x－x2＝－(x2＋x)＝－f(x)， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴函数 f(x)为奇函数.
2 利用函数的奇偶性求解析式
学法指导：利用函数奇偶性求函数解析式 利用函数奇偶性求函数解析式的关键是利用奇偶函数的 关系式 f(－x)＝－f(x)或 f(－x)＝f(x)成立，但要注意求给定哪 个区间的解析式就设这个区间上的变量为 x，然后把 x 转化 为－x(另一个已知区间上的解析式中的变量)，通过适当推导， 求得所求区间上的解析式．
[例 2] 已知函数 y＝f(x)的图象关于原点对称，且当 x＞0 时，f(x)＝x2－2x＋3.试求 f(x)在 R 上的表达式，并画出它的图 象，根据图象写出它的单调区间．
[分析] 由函数图象关于原点对称可知 y＝f(x)是奇函 数．利用奇函数性质可求得解析式．
[解析] ∵函数 f(x)的图象关于原点对称． ∴f(x)为奇函数，则 f(0)＝0， 设 x＜0，则－x＞0，∵x>0 时，f(x)＝x2－2x＋3， ∴f(x)＝－f(－x)＝－(x2＋2x＋3)＝－x2－2x－3 于是有：
高中数学例题：判断函数的奇偶性 (2)
高中数学例题：判断函数的奇偶性例1. 判断下列函数的奇偶性：(1)()(f x x =+； (2)f(x)=x 2-4|x|+3 ；(3)f(x)=|x+3|-|x-3|； (4)()|2|-2f x x =+； (5)22-(0)()(0)x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨+<⎪⎩； (6)1()[()-()]()2f x g x g x x R =-∈ 【思路点拨】利用函数奇偶性的定义进行判断.【答案】（1）非奇非偶函数；（2）偶函数；（3）奇函数；（4）奇函数；（5）奇函数；（6）奇函数．【解析】(1)∵f(x)的定义域为(]-1,1，不关于原点对称，因此f(x)为非奇非偶函数；(2)对任意x ∈R ，都有-x ∈R ，且f(-x)=x 2-4|x|+3=f(x)，则f(x)=x 2-4|x|+3为偶函数 ；(3)∵x ∈R ，f(-x)=|-x+3|-|-x-3|=|x-3|-|x+3|=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(4)[)(]2-1x 11-x 0 x -1,00,1x 0x -4x+22≤≤⎧≥⎧∴∴∈⋃⎨⎨≠≠≠±⎩⎩且()(2)-2f x x x∴==+(-)-()f x f x ∴===，∴f(x)为奇函数； (5)∵x ∈R ，f(x)=-x|x|+x ∴f(-x)=-(-x)|-x|+(-x)=x|x|-x=-f(x)，∴f(x)为奇函数；(6)11(-){(-)-[-(-)]}[(-)-()]-()22f xg x g x g x g x f x ===，∴f(x)为奇函数. 【总结升华】判定函数奇偶性容易失误是由于没有考虑到函数的定义域.函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件，因此研究函数的奇偶性必须“坚持定义域优先”的原则，即优先研究函数的定义域，否则就会做无用功.如在本例（5）中若不研究定义域，在去掉|2|x +的绝对值符号时就十分麻烦.举一反三：【变式1】判断下列函数的奇偶性： (1)23()3x f x x =+； (2)()|1||1|f x x x =++-； (3)222()1x x f x x +=+； (4)22x 2x 1(x 0)f (x)0(x 0)x 2x 1(x 0)⎧+-<⎪==⎨⎪-++>⎩. 【答案】（1）奇函数；（2）偶函数；（3）非奇非偶函数；（4）奇函数．【解析】(1)()f x 的定义域是R ， 又223()3()()()33x x f x f x x x --==-=--++，()f x ∴是奇函数． （2）()f x 的定义域是R ，又()|1||1||1||1|()f x x x x x f x -=-++--=-++=，()f x ∴是偶函数．（3）22()()()11f x x x x x -=-+-+=-+()()()()f x f x f x f x ∴-≠--≠且，∴()f x 为非奇非偶函数．（4）任取x>0则-x<0，∴f(-x)=(-x)2+2(-x)-1=x2-2x-1=-(-x2+2x+1)=-f(x)任取x<0，则-x>0 f(-x)=-(-x)2+2(-x)+1=-x2-2x+1=-(x2+2x-1)=-f(x)x=0时，f(0)=-f(0) ∴x∈R时，f(-x)=-f(x) ∴f(x)为奇函数.【变式2】已知f(x)，g(x)均为奇函数，且定义域相同，求证：f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.证明：设F(x)=f(x)+g(x)，G(x)=f(x)·g(x)则F(-x)=f(-x)+g(-x)=-f(x)-g(x)=-[f(x)+g(x)]=-F(x)G(-x)=f(-x)·g(-x)=-f(x)·[-g(x)]=f(x)·g(x)=G(x)∴f(x)+g(x)为奇函数，f(x)·g(x)为偶函数.【变式3】设函数()f x和g(x)分别是R上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是（）.A．()f x-|g(x)|是奇函数f x+|g(x)|是偶函数 B．()C．|()f x|- g(x)是奇函数f x| +g(x)是偶函数 D．|()【答案】A例2.已知函数(),∈，若对于任意实数,a b都有f x x Rf x的奇偶性.+=+，判断()()()(f a b f a f b【答案】奇函数【解析】因为对于任何实数,a b ，都有()()()f a b f a f b +=+，可以令,a b 为某些特殊值，得出()()f x f x -=-.设0,a =则()(0)()f b f f b =+，∴(0)0f =.又设,a x b x =-=，则(0)()()f f x f x =-+，()()f x f x ∴-=-，()f x ∴是奇函数.【总结升华】判断抽象函数的单调性，可用特殊值赋值法来求解.在这里，由于需要判断()f x -与()f x 之间的关系，因此需要先求出(0)f 的值才行.举一反三：【变式1】 已知函数(),f x x R ∈，若对于任意实数12,x x ，都有121212()()2()()f x x f x x f x f x ++-=⋅，判断函数()f x 的奇偶性. 【答案】偶函数【解析】令120,,x x x ==得()()2(0)()f x f x f f x +-=，令210,,x x x ==得()()2(0)()f x f x f f x +=由上两式得：()()()()f x f x f x f x +-=+，即()()f x f x -= ∴()f x 是偶函数.。
函数的奇偶性教案 (2)
函数的奇偶性教案引言函数是数学中非常重要的概念之一，在高中数学课程中，我们经常会接触到各种类型的函数并学习相关的知识。
其中，函数的奇偶性是一个相对较为复杂的概念，需要进行较为深入的理解和掌握。
本教案将从奇函数和偶函数的定义、性质以及函数图像的对称性等方面，通过理论讲解和练习题的形式进行教学。
希望通过本教案的学习，学生能够清楚地理解函数的奇偶性概念，并能够熟练地应用到实际问题中去。
一、奇偶性的定义在学习函数的奇偶性之前，我们首先需要明确函数的定义。
1. 函数的定义函数是一种对应关系，它是一种将一个集合的元素映射到另一个集合的元素的规则。
函数可以用一个公式来表示，通常形式为：y = f(x)其中，x表示自变量，y表示因变量，f(x)表示函数。
2. 奇函数的定义奇函数是满足以下条件的函数：f(-x) = -f(x)换句话说，如果将函数的自变量取相反数，并且函数值取相反数后仍然相等，那么这个函数就是奇函数。
3. 偶函数的定义偶函数是满足以下条件的函数：f(-x) = f(x)换句话说，如果将函数的自变量取相反数，并且函数值保持不变，那么这个函数就是偶函数。
二、奇偶性的性质了解奇偶函数的性质对于理解和应用奇偶性概念非常重要。
1. 奇函数的性质奇函数具有以下性质：•奇函数关于原点对称，即对任意x，有f(-x) = -f(x)。
•奇函数的图像关于原点对称。
2. 偶函数的性质偶函数具有以下性质：•偶函数关于y轴对称，即对任意x，有f(-x) = f(x)。
•偶函数的图像关于y轴对称。
3. 注意事项•一个函数既可以是奇函数，又可以是偶函数。
例如，f(x) = 0既是奇函数也是偶函数。
•如果一个函数既不是奇函数，也不是偶函数，则称其为既非奇函数又非偶函数。
三、探索奇偶性的应用奇函数和偶函数的性质在实际问题中有广泛的应用。
下面是几个常见的例子：•对于奇函数，当已知函数在某个点的函数值时，我们可以利用奇函数的性质得到对称的另外一个点的函数值。
高中数学函数的奇偶性(解析版)
1．函数的奇偶性(1)奇偶性的定高中数学函数的奇偶性(解析版)义奇偶性定义图象特点偶函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝f (x )，那么函数f (x )是偶函数关于y 轴对称奇函数如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x ，都有f (－x )＝－f (x )，那么函数f (x )是奇函数关于原点对称(2)函数奇偶性常用结论结论1：如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有意义，那么f (0)＝0．结论2：如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (－x )＝f (|x |)．结论3：若函数y ＝f (x ＋b )是定义在R 上的奇函数，则函数y ＝f (x )关于点(b ，0)中心对称．结论4：若函数y ＝f (x ＋a )是定义在R 上的偶函数，则函数y ＝f (x )关于直线x ＝a 对称．结论5：已知函数f (x )是定义在区间D 上的奇函数，则对任意的x ∈D ，都有f (x )＋f (－x )＝0．特别地，若奇函数f (x )在D 上有最值，则f (x )max ＋f (x )min ＝0．推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ．推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c ．结论6：在公共定义域内有：奇±奇＝奇；偶±偶＝偶；奇±偶＝非奇非偶；奇)(÷⨯奇＝偶，偶)(÷⨯偶＝偶，奇)(÷⨯偶＝奇．结论7：若函数f (x )的定义域关于原点对称，则函数f (x )能表示成一个偶函数与一个奇函数的和的形式.记g (x )＝12[f (x )＋f (－x )]，h (x )＝12[f (x )－f (－x )]，则f (x )＝g (x )＋h (x )．结论8：奇函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相同的单调性；偶函数在其定义域内关于原点对称的两个区间上具有相反的单调性．结论9：偶函数在其定义域内关于原点对称的区间上有相同的最大(小)值，取最值时的自变量互为相反数；奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上的最值互为相反数，取最值时的自变量也互为相反数．结论10：复合函数y ＝f [g (x )]的奇偶性：内偶则偶，两奇为奇．结论11：指数型函数的奇偶性(1)函数f (x )＝a x ＋a －x (a >0且a ≠1)是偶函数；(2)函数f (x )＝a x －a －x (a >0且a ≠1)是奇函数；(3)函数f (x )＝a x ＋1a x －1(a >0且a ≠1)是奇函数；(4)函数f (x )＝a x －a －x a x ＋a －x ＝a 2x ＋1a 2x－1(a >0且a ≠1)是奇函数；结论12：对数型函数的奇偶性(1)函数f (x )＝log a m －x m ＋x (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a m ＋xm －x (a >0且a ≠1)是奇函数；(2)函数f (x )＝log a x －m x ＋m (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a x ＋mx －m (a >0且a ≠1)是奇函数；(3)函数f (x )＝log a mx －b mx ＋b (a >0且a ≠1)是奇函数；函数f (x )＝log a mx ＋bmx －b(a >0且a ≠1)是奇函数；(4)函数f(x)＝log a(1＋m2x2±mx)(a>0且a≠1)是奇函数．2．函数的对称性(奇偶性的推广)(1)函数的轴对称定理1：如果函数y＝f(x)满足f(x＋a)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a＋b2对称．推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(a－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称．推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＝f(－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝0（y轴）对称，就是偶函数的定义，它是上述定理1的简化．(2)函数的点对称定理2：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝2b，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．推论1：如果函数y＝f(x)满足f(a＋x)＋f(a－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称．推论2：如果函数y＝f(x)满足f(x)＋f(－x)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于原点(0，0)对称，就是奇函数的定义，它是上述定理2的简化．(3)两个等价关系若函数y＝f(x)关于直线x＝a轴对称，则以下三式成立且等价：f(a＋x)＝f(a－x)⇔f(2a－x)＝f(x)⇔f(2a＋x)＝f(－x)若函数y＝f(x)关于点(a，0)中心对称，则以下三式成立且等价：f(a＋x)＝－f(a－x)⇔f(2a－x)＝－f(x)⇔f(2a＋x)＝－f(－x)考点一判断函数的奇偶性【方法总结】判断函数的奇偶性：首先看函数的定义域是否关于原点对称；在定义域关于原点对称的条件下，再化简解析式，根据f(－x)与f(x)的关系作出判断．分段函数奇偶性的判断，要分别从x>0或x<0来寻找等式f(－x)＝f(x)或f(－x)＝－f(x)成立，只有当对称的两个区间上满足相同关系时，分段函数才具有确定的奇偶性．用函数奇偶性常用结论6或特值法可秒杀．【例题选讲】[例1](1)下列函数为偶函数的是()A．y＝B．y＝x2＋e|x|C．y＝x cos x D．y＝ln|x|－sin x答案B解析对于选项A，易知y＝tan B，设f(x)＝x2＋e|x|，则f(－x)＝(－x)2＋e|－x|＝x2＋e|x|＝f(x)，所以y＝x2＋e|x|为偶函数；对于选项C，设f(x)＝x cos x，则f(－x)＝－x cos(－x)＝－x cos x＝－f(x)，所以y＝x cos x为奇函数；对于选项D，设f(x)＝ln|x|－sin x，则f(2)＝ln2－sin 2，f(－2)＝ln2－sin(－2)＝ln2＋sin2≠f(2)，所以y＝ln|x|－sin x为非奇非偶函数，故选B．(2)下列函数中，既不是奇函数，也不是偶函数的是()A．y＝x＋sin2x B．y＝x2－cos x C．y＝2x＋12xD．y＝x2＋sin x 答案D解析对于A，定义域为R，f(－x)＝－x＋sin2(－x)＝－(x＋sin2x)＝－f(x)，为奇函数；对于B，定义域为R，f(－x)＝(－x)2－cos(－x)＝x2－cos x＝f(x)，为偶函数；对于C，定义域为R，f(－x)＝2－x＋12－x＝2x＋12x＝f(x)，为偶函数；对于D，y＝x2＋sin x既不是偶函数也不是奇函数．(3)设函数f(x)＝e x－e－x2，则下列结论错误的是()A．|f(x)|是偶函数B．－f(x)是奇函数C．f(x)|f(x)|是奇函数D．f(|x|)f(x)是偶函数答案D解析∵f(x)＝e x－e－x2，则f(－x)＝e－x－e x2＝－f(x)．∴f(x)是奇函数．∵f(|－x|)＝f(|x|)，∴f(|x|)是偶函数，∴f(|x|)f(x)是奇函数．(4)已知f(x)＝4－x2，g(x)＝|x－2|，则下列结论正确的是()A．h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数B．h(x)＝f(x)·g(x)是奇函数C．h(x)＝g(x)·f(x)2－x是偶函数D．h(x)＝f(x)2－g(x)是奇函数答案D解析h(x)＝f(x)＋g(x)＝4－x2＋|x－2|＝4－x2＋2－x，x∈[－2,2]．h(－x)＝4－x2＋2＋x≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．B．h(x)＝f(x)·g(x)＝4－x2|x－2|＝4－x2(2－x)，x∈[－2,2]．h(－x)＝4－x2(2＋x)≠h(x)，且h(－x)≠－h(x)，不满足函数奇偶性的定义，是非奇非偶函数．C．h(x)＝g(x)·f(x)2－x＝4－x2，x∈[－2，2)，定义域不关于原点对称，是非奇非偶函数．D．h(x)＝f(x)2－g(x)＝4－x2x，x∈[－2，0)∪(0，2]，是奇函数．(5)已知函数f(x)满足f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，则以下四个选项一定正确的是()A．f(x－1)＋1是偶函数B．f(x－1)－1是奇函数C．f(x＋1)＋1是偶函数D．f(x＋1)－1是奇函数答案－12解析法一：因为f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，所以f(x)＋f(2－x)＝2，所以函数y＝f(x)的图象关于点(1，1)中心对称，而函数y＝f(x＋1)－1的图象可看作是由y＝f(x)的图象先向左平移1个单位长度，再向下平移1个单位长度得到，所以函数y＝f(x＋1)－1的图象关于点(0，0)中心对称，所以函数y＝f(x＋1)－1是奇函数，故选D．法二：由f(x＋1)＋f(－x＋1)＝2，得f(x＋1)－1＋f(－x＋1)－1＝0，令F(x)＝f(x＋1)－1，则F(x)＋F(－x)＝0，所以F(x)为奇函数，即f(x＋1)－1为奇函数，故选D．【对点训练】1．下列函数为奇函数的是()A．f(x)＝x3＋1B．f(x)＝ln1－x1＋xC．f(x)＝e x D．f(x)＝x sin x1．答案B解析对于A，f(－x)＝－x3＋1≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于B，f(－x)＝ln1＋x1－x＝－ln 1－x 1＋x＝－f(x)，所以其是奇函数；对于C，f(－x)＝e－x≠－f(x)，所以其不是奇函数；对于D，f(－x)＝－x sin(－x)＝x sin x＝f(x)，所以其不是奇函数．故选B．2．函数f(x)＝9x＋13x的图象()A．关于x轴对称B．关于y轴对称C．关于坐标原点对称D．关于直线y＝x对称2．答案B解析因为f(x)＝9x＋13x＝3x＋3－x，易知f(x)为偶函数，所以函数f(x)的图象关于y轴对称．3．下列函数中既不是奇函数也不是偶函数的是()A．y＝2|x|B．y＝lg(x＋x2＋1)C．y＝2x＋2－x D．y＝lg1x＋13．答案D解析对于D项，1x＋1>0，即x>－1，其定义域关于原点不对称，是非奇非偶函数．4．已知f(x)＝x2x－1，g(x)＝x2，则下列结论正确的是()A．f(x)＋g(x)是偶函数B．f(x)＋g(x)是奇函数C．f(x)g(x)是奇函数D．f(x)g(x)是偶函数4．答案A解析令h(x)＝f(x)＋g(x)，因为f(x)＝x2x－1，g(x)＝x2，所以h(x)＝x2x－1＋x2＝x·2x＋x2(2x－1)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．因为h(－x)＝－x·2－x－x2(2－x－1)＝x(1＋2x)2(2x－1)＝h(x)，所以h(x)＝f(x)＋g(x)是偶函数，令F(x)＝f(x)g(x)＝x22(2x－1)，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)．所以F(－x)＝(－x)22(2－x－1)＝x2·2x2(1－2x)，因为F(－x)≠F(x)且F(－x)≠－F(x)，所以F(x)＝g(x)f(x)既不是奇函数也不是偶函数．5．设f(x)＝e x＋e－x，g(x)＝e x－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是() A．|g(x)|是偶函数B．f(x)g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是偶函数D．f(x)＋g(x)是奇函数5．答案D解析f(－x)＝e－x＋e x＝f(x)，f(x)为偶函数．g(－x)＝e－x－e x＝－g(x)，g(x)为奇函数．|g(－x)|＝|－g(x)|＝|g(x)|，|g(x)|为偶函数，A正确；f(－x)g(－x)＝f(x)[－g(x)]＝－f(x)g(x)，所以f(x)g(x)为奇函数，B正确；f(－x)|g(－x)|＝f(x)|g(x)|，所以f(x)|g(x)|是偶函数，C正确；f(x)＋g(x)＝2e x，f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠－(f(x)＋g(x))，且f(－x)＋g(－x)＝2e－x≠f(x)＋g(x)，所以f(x)＋g(x)既不是奇函数也不是偶函数，D错误，故选D．6．设函数f(x)，g(x)的定义域都为R，且f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论中正确的是() A．f(x)g(x)是偶函数B．|f(x)|g(x)是奇函数C．f(x)|g(x)|是奇函数D．|f(x)g(x)|是奇函数6．答案C解析对于A：令h(x)＝f(x)·g(x)，则h(－x)＝f(－x)·g(－x)＝－f(x)·g(x)＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，A错．对于B：令h(x)＝|f(x)|g(x)，则h(－x)＝|f(－x)|g(－x)＝|－f(x)|·g(x)＝|f(x)|g(x)＝h(x)，∴h(x)是偶函数，B错．对于C：令h(x)＝f(x)|g(x)|，则h(－x)＝f(－x)|g(－x)|＝－f(x)·|g(x)|＝－h(x)，∴h(x)是奇函数，C正确．对于D：令h(x)＝|f(x)·g(x)|，则h(－x)＝|f(－x)·g(－x)|＝|－f(x)·g(x)|＝|f(x)·g(x)|＝h(x)，∴h(x)是偶函数，D错．考点二已知函数的奇偶性，求函数解析式中参数的值【方法总结】已知函数的奇偶性求函数解析式中参数的值：常常利用待定系数法，由f(x)±f(－x)＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或对方程求解．对于选填题可用特值法进行秒杀．【例题选讲】[例2](1)若函数f(x)＝x ln(x＋a＋x2)为偶函数，则a＝________．答案1解析f(x)为偶函数，则y＝ln(x＋a＋x2)为奇函数，所以ln(x＋a＋x2)＋ln(－x＋a＋x2)＝0，则ln(a＋x2－x2)＝0，∴a＝1．(2)已知函数f(x)＝2×4x－a2x的图象关于原点对称，g(x)＝ln(ex＋1)－bx是偶函数，则log a b＝()A．1B．－1C．－12D．14答案B解析由题意得f(0)＝0，∴a＝2.∵g(1)＝g(－1)，∴ln(e＋1)－b＝ln(1e＋1)＋b，∴b＝12，∴log212＝－1．故选B．(3)若函数f(x)－1，0<x≤2，1，－2≤x≤0，g(x)＝f(x)＋ax，x∈[－2，2]为偶函数，则实数a＝答案－12解析因为f (x )－1，0<x ≤2，1，－2≤x ≤0，所以g (x )＝f (x )＋ax －1，－2≤x ≤0，1＋a )x －1，0<x ≤2，因为g (x )－1，－2≤x ≤0，＋a )x －1，0<x ≤2为偶函数，所以g (－1)＝g (1)，即－a －1＝1＋a －1＝a ，所以2a ＝－1，所以a ＝－12．(4)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R )是奇函数，则函数f (x )的值域为()A ．(－1，1)B ．(－2，2)C ．(－3，3)D ．(－4，4)答案A解析法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x ＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1．因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1，1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1．因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1，1)．(5)已知f (x )是奇函数，且当x ＜0时，f (x )＝－e ax ，若f (ln 2)＝8，则a ＝________．答案－3解析当x ＞0，－x ＜0，f (－x )＝－e－ax．因为f (x )是奇函数，所以当x ＞0时，f (x )＝－f (－x )＝e－ax，所以f (ln 2)＝e－a ln2＝(e ln 2)－a ＝2－a ＝8．解得a ＝－3．【对点训练】7．若f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，则a ＝________.7．答案－32解析函数f (x )＝ln(e 3x ＋1)＋ax 是偶函数，故f (－x )＝f (x )，即ln(e－3x＋1)－ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，化简得ln(1＋e 3x )－ln e 3x －ax ＝ln(e 3x ＋1)＋ax ，即－3x －ax ＝ax ，所以2ax ＋3x ＝0恒成立，所以a ＝－328．若函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，则a 的值为________．8．答案12解析解法1：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－x )＝f (x )，即(－x )3(12－x －1＋a )＝x 3(12x －1＋a )，所以2a ＝－(12－x －1＋12x －1)，所以2a ＝1，解得a ＝12.解法2：因为函数f (x )＝x 3(12x －1＋a )为偶函数，所以f (－1)＝f (1)，所以(－1)3×(12－1－1＋a )＝13×(121－1＋a )，解得a ＝12，经检验，当a ＝12时，函数f (x )为偶函数．9．函数f (x )＝(x ＋1)(x ＋a )x 3为奇函数，则a ＝________．9．答案－1解析由题意得f (－1)＋f (1)＝0，即2(a ＋1)＝0，解得a ＝－1，经检验，a ＝－1时，函数f (x )为奇函数．10．已知奇函数f (x )x ＋a ，x ＞0，－2－x，x ＜0，则实数a ＝________．10．答案－4解析因为函数f (x )为奇函数，则f (－x )＝－f (x )，f (－1)＝－f (1)，所以4－21＝－(21＋a )，解得a ＝－4．11．已知f (x )＝3ax 2＋bx －5a ＋b 是偶函数，且其定义域为[6a －1，a ]，则a ＋b ＝()A ．17B ．－1C ．1D ．711．答案A解析因为偶函数的定义域关于原点对称，所以6a －1＋a ＝0，所以a ＝17.又因为f (x )为偶函数，所以b ＝0，即a ＋b ＝17．故选A ．12．若函数f (x )＝ax ＋b ，x ∈[a －4，a ]的图象关于原点对称，则函数g (x )＝bx ＋ax ，x ∈[－4，－1]的值域为________．12．答案－2，－12解析由函数f (x )的图象关于原点对称，可得a －4＋a ＝0，即a ＝2，则函数f (x )＝2x ＋b ，其定义域为[－2，2]，所以f (0)＝0，所以b ＝0，所以g (x )＝2x ，易知g (x )在[－4，－1]上单调递减，故值域为[g (－1)，g (－4)]，即－2，－12．考点三已知函数的奇偶性，求函数的值【方法总结】已知函数的奇偶性求函数值：将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解．【例题选讲】[例3](1)已知函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，则f (2)＝____．答案12解析∵x ∈(－∞，0)时，f (x )＝2x 3＋x 2，且f (x )在R 上为奇函数，∴f (2)＝－f (－2)＝－[2×(－2)3＋(－2)2]＝12．(2)设f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，f (x )＝2x ＋2x ＋b (b 为常数)，则f (1)＝________．答案52解析由题意知f (0)＝20＋2×0＋b ＝0，解得b ＝－1．所以当x ≤0时，f (x )＝2x ＋2x －1，所以f (1)＝－f (－1)＝－[2－1＋2×(－1)－1]＝52(3)设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )3(x ＋1)，x ≥0，(x )，x <0，，则g (－8)＝()A ．－2B ．－3C ．2D ．3答案A解析法一当x <0时，－x >0，且f (x )为奇函数，则f (－x )＝log 3(1－x )，所以f (x )＝－log 3(1－x )．因此g (x )＝－log 3(1－x )，x <0，故g (－8)＝－log 39＝－2．法二由题意知，g (－8)＝f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2．【对点训练】13．若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝()A ．2B ．4C ．－2D ．－413．答案C解析根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2．14．已知函数f (x )是偶函数，当x ＞0时，f (x )＝ln x ，则21(())f f e 的值为________．14．答案ln 2解析由已知可得21(f e ＝ln 1e 2＝－2，所以21((f f e＝f (－2)．又因为f (x )是偶函数，所以21(())f f e ＝f (－2)＝f (2)＝ln 2．15．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m (m 为常数)，则f (－log 35)＝()A ．－6B ．6C ．4D ．－415．答案D解析因为f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝3x ＋m ，所以f (0)＝1＋m ＝0⇒m ＝－1，则f (－log 35)＝－f (log 35)＝－(3log 35－1)＝－4．16．设函数f (x )是定义在R 上的奇函数，且f (x )3x ＋1，x ≥0，x ，x ＜0，则g (f (－8))＝()A ．－1B ．－2C ．1D ．216．答案A解析因为f (x )为奇函数，所以f (－8)＝－f (8)＝－log 39＝－2，所以g (f (－8))＝g (－2)＝f (－2)＝－f (2)＝－log 33＝－1．考点四已知函数的奇偶性，求函数的解析式【方法总结】已知函数的奇偶性求解析式：将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求出，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．对于奇函数可在x 以及解析式前同时加负号，对于偶函数可在x 前加负号进行秒杀．【例题选讲】[例4](1)设f (x )为奇函数，且当x ≥0时，f (x )＝e x －1，则当x ＜0时，f (x )＝()A ．e －x －1B ．e －x ＋1C ．－e －x －1D ．－e －x ＋1答案D 解析通解：依题意得，当x <0时，f (x )＝－f (－x )＝－(e －x －1)＝－e －x ＋1，选D ．优解：依题意得，f (－1)＝－f (1)＝－(e 1－1)＝1－e ，结合选项知，选D ．(2)已知f (x )为偶函数，当x ≤0时，f (x )＝e －x －1－x ，则f (x )＝________．答案－x －1－x ，x ≤0x －1＋x ，x ＞0解析当x ＞0时，－x ＜0，则f (－x )＝e x －1＋x ，又f (－x )＝f (x )，因此f (x )＝e x －1＋x ．所以f (x )－x －1－x ，x ≤0x －1＋x ，x ＞0．(3)若定义在R 上的偶函数f (x )和奇函数g (x )满足f (x )＋g (x )＝e x ，则g (x )＝()A ．e x －e －xB ．12(e x ＋e －x )C ．12(e －x －e x )D ．12(e x －e －x )答案D解析因为f (x )＋g (x )＝e x ，所以f (－x )＋g (－x )＝f (x )－g (x )＝e －x ，所以g (x )＝12(e x －e －x )．【对点训练】17．已知f (x )是奇函数，且x ∈(0，＋∞)时的解析式是f (x )＝－x 2＋2x ，若x ∈(－∞，0)，则f (x )＝________．17．答案x 2＋2x解析由题意知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ∈(－∞，0)时，－x ∈(0，＋∞)，所以f (－x )＝－(－x )2＋2×(－x )＝－x 2－2x ＝－f (x )，所以f (x )＝x 2＋2x ．18．函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝()A ．－2xB ．2－xC ．－2－xD ．2x18．答案C解析当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x ．∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x ．19．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ＞0时，f (x )＝x 2－4x ，则f (x )＝________．19．答案2－4x ，x ＞0x 2－4x ，x ≤0解析∵f (x )是定义在R 上的奇函数，∴f (0)＝0．又当x ＜0时，－x ＞0，∴f (－x )＝x 2＋4x ．又f (x )为奇函数，∴f (－x )＝－f (x )，即f (x )＝－x 2－4x (x ＜0)，∴f (x )2－4x ，x ＞0，x 2－4x ，x ≤0.20．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________．20．答案14解析法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x ．又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14．法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x －14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14．考点五与奇函数相关的函数的求值【方法总结】对于可表示成奇函数加常数的函数，如果已知一个数的函数值，求它的相反数的函数值或求两个相反数的函数值的问题，可用奇函数的结论5的推论1：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (－x )＋g (x )＝2c ，如果是涉及到函数的最大值与最小值的问题则可用推论2：若函数f (x )是奇函数，且g (x )＝f (x )＋c ，则必有g (x )max ＋g (x )min ＝2c 进行秒杀．【例题选讲】[例5](1)已知函数f (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＋1，则f (lg 2)＋1(lg )2f 等于()A ．－1B ．0C ．1D ．2答案D解析设g (x )＝ln(1＋9x 2－3x )＝f (x )－1，g (－x )＝ln(1＋9x 2＋3x )＝ln11＋9x 2－3x＝－g (x )．∴g (x )是奇函数，∴f (lg 2)－1＋1(lg 2f －1＝g (lg 2)＋1(lg )2g ＝0，因此f (lg 2)＋1(lg 2f ＝2．(2)已知函数f (x )＝ln(1＋x 2－x )＋1，f (a )＝4，则f (－a )＝________．若g (10)＝2019，则g (－10)的值为()A ．－2219B ．－2019C ．－1919D ．－1819答案D解析由题意，因为f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )，∴f (0＋0)＝f (0)＋f (0)＝f (0)，即f (0)＝0，令y ＝－x ，则有f (x －x )＝f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0，即f (－x )＝－f (x )，即f (x )是奇函数，若g (x )＝f (x )＋sin x ＋x 2，g (10)＝2019，则g (10)＝f (10)＋sin 10＋100＝2019，则g (－10)＝f (－10)－sin 10＋100＝－f (10)－sin 10＋100，两式相加得200＝2019＋g (－10)，得g (－10)＝200－2019＝－1819，故选D(4)已知函数f (x )＝a sin x ＋b ln 1－x1＋x＋t ，若1()2f ＋1()2f ＝6，则实数t ＝()A ．－2B ．－1C ．1D ．3答案D 解析令g (x )＝a sin x ＋b ln1－x1＋x ，则易知g (x )为奇函数，所以1(2g ＋1()2g -＝0，则由f (x )＝g (x )＋t ，得1()2f ＋1()2f -＝1()2g ＋1(2g -＋2t ＝2t ＝6，解得t ＝3．故选D ．(5)已知函数f (x )＝2|x |＋1＋x 3＋22|x |＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m 等于()A ．0B ．2C ．4D ．8答案C解析易知f (x )的定义域为R ，f (x )＝2·(2|x |＋1)＋x 32|x |＋1＝2＋x 32|x |＋1，设g (x )＝x 32|x |＋1，则g (－x )＝－g (x )(x ∈R )，∴g (x )为奇函数，∴g (x )max ＋g (x )min ＝0．∵M ＝f (x )max ＝2＋g (x )max ，m ＝f (x )min ＝2＋g (x )min ，∴M ＋m ＝2＋g (x )max ＋2＋g (x )min ＝4，故选C ．【对点训练】21．已知函数f (x )＝x ＋1x－1，f (a )＝2，则f (－a )＝________．21．答案－4解析法一：因为f (x )＋1＝x ＋1x ，设g (x )＝f (x )＋1＝x ＋1x ，易判断g (x )＝x ＋1x故g (x )＋g (－x )＝x ＋1x －x －1x＝0，即f (x )＋1＋f (－x )＋1＝0，故f (x )＋f (－x )＝－2．所以f (a )＋f (－a )＝－2，故f (－a )＝－4．法二：由已知得f (a )＝a ＋1a －1＝2，即a ＋1a ＝3，所以f (－a )＝－a －1a －11＝－3－1＝－4．22．已知函数f (x )＝x 3＋sin x ＋1(x ∈R )，若f (a )＝2，则f (－a )的值为()A ．3B ．0C ．－1D ．－222．答案B解析设F (x )＝f (x )－1＝x 3＋sin x ，显然F (x )为奇函数，又F (a )＝f (a )－1＝1，所以F (－a )＝f (－a )－1＝－1，从而f (－a )＝0．故选B ．23．对于函数f (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ＋1(a ，b ，c ∈R )，选取a ，b ，c 的一组值计算f (1)，f (－1)，所得出的正确结果可能是()A ．2和1B ．2和0C ．2和－1D ．2和－223．答案B解析设g (x )＝a sin x ＋bx 3＋cx ，显然g (x )为定义域上的奇函数，所以g (1)＋g (－1)＝0，所以f (1)＋f (－1)＝g (1)＋g (－1)＋2＝2，只有B 选项中两个值的和为2．24．已知函数f (x )＝ax 3＋b sin x ＋4(a ，b ∈R )，f (lg(log 210))＝5，则f (lg(lg2))＝()A ．－5B ．－1C ．3D ．424．答案C解析设g (x )＝ax 3＋b sin x ，则f (x )＝g (x )＋4，且函数g (x )为奇函数．又lg(lg2)＋lg(log 210)＝lg(lg2·log 210)＝lg1＝0，所以f (lg(lg2))＋f (lg(log 210))＝2×4＝8，所以f (lg(lg2))＝3．故选C ．25．已知f (x )，g (x )分别是定义在R 上的偶函数和奇函数，且f (x )－g (x )＝x 3＋x 2＋1，则f (1)＋g (1)＝()A ．－3B ．－1C ．1D ．325．答案C解析用“－x ”代替“x ”，得f (－x )－g (－x )＝(－x )3＋(－x )2＋1，化简得f (x )＋g (x )＝－x 3＋x 2＋1，令x ＝1，得f (1)＋g (1)＝1．故选C ．26．设函数f (x )＝(x ＋1)2＋sin xx 2＋1的最大值为M ，最小值为m ，则M ＋m ＝________．26．答案2解析显然函数f (x )的定义域为R ，f (x )＝(x ＋1)2＋sin x x 2＋1＝1＋2x ＋sin x x 2＋1，设g (x )＝2x ＋sin xx 2＋1，则g (－x )＝－g (x )，∴g (x )为奇函数，由奇函数图象的对称性知g (x )max ＋g (x )min ＝0，∴M ＋m ＝[g (x )＋1]max＋[g(x)＋1]min＝2＋g(x)max＋g(x)min＝2．27．设函数f(x)＝(e x＋e－x)sin x＋t，x∈[－a，a]的最大值和最小值分别为M，N．若M＋N＝8，则t＝() A．0B．2C．4D．827．答案4解析设g(x)＝(e x＋e－x)sin x，x∈[－a，a]，因为g(x)是奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0，所以M＋N＝g(x)max＋g(x)min＋2t＝2t＝8，所以t＝4．28．若定义在[－2020，2020]上的函数f(x)满足：对任意x1∈[－2020，2020]，x2∈[－2020，2020]都有f(x1＋x2)＝f(x1)＋f(x2)－2019，且x＞0时有f(x)＞2019，f(x)的最大值、最小值分别为M，N，则M＋N ＝()A．2019B．2020C．4040D．403828．答案D解析令x1＝x2＝0得f(0)＝2f(0)－2019，所以f(0)＝2019，令x1＝－x2得f(0)＝f(－x2)＋f(x2)－2019＝2019，所以f(－x2)＋f(x2)＝4038，令g(x)＝f(x)－2019，则g(x)max＝M－2019，g(x)min＝N －2019，因为g(－x)＋g(x)＝f(－x)＋f(x)－4038＝0，所以g(x)是奇函数，所以g(x)max＋g(x)min＝0，即M－2019＋N－2019＝0，所以M＋N＝4038．29．已知函数f(x)＝(x2－2x)·sin(x－1)＋x＋1在[－1，3]上的最大值为M，最小值为m，则M＋m＝() A．4B．2C．1D．029．答案A解析f(x)＝[(x－1)2－1]sin(x－1)＋x－1＋2，令t＝x－1，g(t)＝(t2－1)sin t＋t，则y＝f(x)＝g(t)＋2，t∈[－2，2]．显然M＝g(t)max＋2，m＝g(t)min＋2．又g(t)为奇函数，则g(t)max＋g(t)min＝0，所以M＋m＝4，故选A．30．若关于x的函数f(x)＋cos xt≠0)的最大值为a，最小值为b，且a＋b＝2，则t＝____．30．答案1解析f(x)＋cos x t＋t sin x＋x2x2＋cos x，设g(x)＝t sin x＋x2x2＋cos x，则g(x)为奇函数，g(x)max＝a－t，g(x)min＝b－t．∵g(x)max＋g(x)min＝0，∴a＋b－2t＝0，即2－2t＝0，解得t＝1．。
高中数学(人教B版)函数的奇偶性(2)
课堂小结
二. 函数运算与奇偶性:
1
∵−1 ∈而1 ∉ ,
－1
O 1
P
∴ 是非奇非偶函数.
Q
－1
x
1 − 2
(4) =
;
3− − 3
2
1
−
≥ 0, 得定义域 = −1,0 ⋃ 0,1 ,
解 (4)由
3− − 3 ≠ 0
∴∀ ∈, − ∈.
1 − 2
由定义域, =
=−
3− − 3
∴ − = −
∀ ∈ , − ∈, 且 − = , 则 为偶函数.
例 1 判断下列函数是否具有奇偶性:
(1) = + 1 − − 1 ;
(2) = 1;
2 − 1
3 =
− 1;
−1
1 − 2
(4) =
;
3− − 3
(5) =
1− ,
本题小结 对于复合函数 ,
1. 和 都是奇函数时, 为奇函数;
2. 与 一个是偶函数,另一个是奇或偶函数时, 为偶函数.
例 6 已知对于任意, ∈, 有 + + − = 2 , 且 0 ≠ 0,
综上, ∀ ∈, 都有 − = − ,
∴ 为奇函数.
1x＝－2x＝ Nhomakorabea1
2
x
小结 用定义法 判断函数 奇偶性:
(1)看定义域 D 是否关于原点对称;
(2)看 − 与 的关系.
注: ①在定义域关于原点对称的前提下, 可先化简解析式再判断;
②分段函数, 分段讨论.
例 2 判断下列函数是否具有奇偶性:
第二章-4.1-函数的奇偶性高中数学必修第一册北师大版
−1 = 1 − ，
则 −1 + 1 = 2 ≠ 0， −1 − 1 = −2 ≠ 0，
即 −1 ≠ − 1 , −1 ≠ 1 ,则函数 既不是奇函数也不是偶函数.
综上所述，当 ≠ 0时，函数 既不是奇函数也不是偶函数；当 = 0时，函数
为偶函数.
【解析】对于A，由奇函数的图象特征知，A正确；
对于B，例如 =
1
为奇函数，但其图象不过原点，故B错误；（【巧解题】只有奇函
数在 = 0处有定义时，其图象才过原点）
对于C，由偶函数的图象特征知，C正确；
对于D，例如 =
1
为偶函数，但其图象与（【注意】在
2
轴不相交，故D错误．
= 0处无定义）
−
=
=
=
1+2 −−1
1+2 −+1
1+2 +−1
1+2 ++1
1+ 2 −−1
1+ 2 ++1
1+ 2 −+1
1+ 2 +−1
1+ 2 − +1 2
1+ 2 − −1 2
= −1,
∴ − = − ，
∴ 为奇函数.
【学会了吗|变式题】
=
1+ 2 −+1
1+ 2 ++1
−2+2
1+ 2 −+1
1+ 2 ++1
= 0,
∴ − = − ,∴ 为奇函数.
方法2 当 = 0时， = 0.（【注意】函数的奇偶性是整体性质，是对整个定义域
《函数的奇偶性》说课教案2
《函数的奇偶性》说课教案2《函数的奇偶性》说课教案凌源市第二高级中学李冬禄一、教材分析1．本节教材的地位和作用《函数的奇偶性》内容出现在人教版B版教材数学1第二章§2.1.4，它是在学过函数概念、函数的表示方法、函数的单调性的基础上再来学习的。
函数的奇偶性是考查函数性质时的又一个重要方面，利用函数的这一性质，可为我们研究函数的求值、定义域、值域、单调性、图象的绘制等问题提供方便。
2．课时安排1课时 3．教学目标知识目标理解奇函数、偶函数的概念及奇偶函数图象的对称性，学会运用定义判断函数的奇偶性。
能力目标在奇偶性概念的形成过程中培养学生的观察、归纳能力，同时渗透数形结合的数学思想及由特殊到一般的数学思想。
情感目标通过组织学生分组讨论、培养学生主动交流的合作精神，使学生学会认识事物的特殊性与一般性之间的关系，培养学生善于探索的思维品质。
4．教学重点、难点、关键重点：函数的奇偶性的概念。
重点突破：利用由特殊到一般的认知规律，通过数形结合，设置问题情境观察、归纳、形成函数奇偶性的概念。
难点：函数奇偶性的判断。
难点突破：采用讲练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固。
关键：深刻理解函数的奇偶性概念，使学生体会奇函数、偶函数图象的对称性，理解如果一个函数具有奇偶性前提是定义域关于原点对称，从而达到掌握函数奇偶性的判断方法，达到突破重点和难点。
二、教法分析本节课采用观察、归纳、启发探究相结合的教学方法，运用现代化多媒体教学手段，进行教学活动。
首先按照由特殊到一般的认知规律，由形及数、数形结合，通过设置问题引导学生观察、归纳，形成概念，使学生在独立思考的基础上进行合作交流，在思考、探索和交流的过程中获得对函数奇偶性的全面的体验和理解。
对于奇偶性的应用采取讲练结合的方式进行处理，使学生边学边练，及时巩固，同时设计问题，探究问题，深化对概念的理解。
三、学法指导丰富学生的学习方式、改进学生的学习方法是高中数学课程追求的基本理念，为此在教学中要贯彻独立思考、自主探究、动手实践、合作交流等学习数学的重要方式，关注学生的主体参与、师生互动，引导学生发现规律、总结规律。
高中数学高考重点难点讲解奇偶性与单调性(二)
难点8 奇偶性与单调性(二)函数的单调性、奇偶性是高考的重点和热点内容之一，特别是两性质的应用更加突出.本节主要帮助考生学会怎样利用两性质解题，掌握基本方法，形成应用意识.●难点磁场(★★★★★)已知偶函数f (x )在(0，+∞)上为增函数，且f (2)=0,解不等式f ［log 2(x 2+5x +4)］≥0.●案例探究［例1］已知奇函数f (x )是定义在(－3，3)上的减函数，且满足不等式f (x －3)+f (x 2－3)<0,设不等式解集为A ，B =A ∪{x |1≤x ≤5},求函数g (x )=－3x 2+3x －4(x ∈B )的最大值.命题意图：本题属于函数性质的综合性题目，考生必须具有综合运用知识分析和解决问题的能力，属★★★★级题目.知识依托：主要依据函数的性质去解决问题.错解分析：题目不等式中的“f ”号如何去掉是难点，在求二次函数在给定区间上的最值问题时，学生容易漏掉定义域.技巧与方法：借助奇偶性脱去“f ”号，转化为x cos 不等式，利用数形结合进行集合运算和求最值.解：由⎩⎨⎧<<-<<⎩⎨⎧<-<-<-<-66603333332x x x x 得且x ≠0,故0<x <6,又∵f (x )是奇函数，∴f (x －3)<－f (x 2－3)=f (3－x 2),又f (x )在(－3，3)上是减函数，∴x －3>3－x 2,即x 2+x －6>0,解得x >2或x <－3,综上得2<x <6,即A ={x |2<x <6},∴B =A ∪{x |1≤x ≤5}={x |1≤x <6},又g (x )=－3x 2+3x －4=－3(x －21)2－413知：g (x )在B 上为减函数，∴g (x )max =g (1)=－4.［例2］已知奇函数f (x )的定义域为R ，且f (x )在［0，+∞)上是增函数，是否存在实数m ,使f (cos2θ－3)+f (4m －2m cos θ)>f (0)对所有θ∈［0,2π］都成立？若存在，求出符合条件的所有实数m 的范围，若不存在，说明理由.命题意图：本题属于探索性问题，主要考查考生的综合分析能力和逻辑思维能力以及运算能力，属★★★★★题目.知识依托：主要依据函数的单调性和奇偶性，利用等价转化的思想方法把问题转化为二次函数在给定区间上的最值问题.错解分析：考生不易运用函数的综合性质去解决问题，特别不易考虑运用等价转化的思想方法.技巧与方法：主要运用等价转化的思想和分类讨论的思想来解决问题.解：∵f (x )是R 上的奇函数，且在［0，+∞)上是增函数，∴f (x )是R 上的增函数.于是不等式可等价地转化为f (cos2θ－3)>f (2m cos θ－4m ),即cos2θ－3>2m cos θ－4m ,即cos 2θ－m cos θ+2m －2>0.设t =cos θ,则问题等价地转化为函数g (t )=t 2－mt +2m －2=(t －2m )2－42m +2m －2在［0，1］上的值恒为正，又转化为函数g (t )在［0，1］上的最小值为正.∴当2m <0,即m <0时，g (0)=2m －2>0⇒m >1与m <0不符；当0≤2m ≤1时，即0≤m ≤2时，g (m )=－42m +2m －2>0⇒4－22<m <4+22,4－22<m ≤2.当2m >1,即m >2时，g (1)=m －1>0⇒m >1.∴m >2综上，符合题目要求的m 的值存在，其取值范围是m >4－22.●锦囊妙计本难点所涉及的问题以及解决的方法主要有：(1)运用奇偶性和单调性去解决有关函数的综合性题目.此类题目要求考生必须具有驾驭知识的能力，并具有综合分析问题和解决问题的能力.(2)应用问题.在利用函数的奇偶性和单调性解决实际问题的过程中，往往还要用到等价转化和数形结合的思想方法，把问题中较复杂、抽象的式子转化为基本的简单的式子去解决.特别是：往往利用函数的单调性求实际应用题中的最值问题.●歼灭难点训练一、选择题1.(★★★★)设f (x )是(－∞,+∞)上的奇函数，f (x +2)=－f (x ),当0≤x ≤1时，f (x )=x ,则f (7.5)等于( )A.0.5B.－0.5C.1.5D.－1.52.(★★★★)已知定义域为(－1，1)的奇函数y =f (x )又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)<0,则a 的取值范围是( )A.(22，3)B.(3，10)C.(22，4)D.(－2，3)二、填空题3.(★★★★)若f (x )为奇函数，且在(0，+∞)内是增函数，又f (－3)=0,则xf (x )<0的解集为_________.4.(★★★★)如果函数f (x )在R 上为奇函数，在(－1，0)上是增函数，且f (x +2)=－f (x ),试比较f (31),f (32),f (1)的大小关系_________.三、解答题5.(★★★★★)已知f (x )是偶函数而且在(0，+∞)上是减函数，判断f (x )在(－∞,0)上的增减性并加以证明.6.(★★★★)已知f (x )=x x a 2112+-⋅ (a ∈R )是R 上的奇函数，(1)求a 的值；(2)求f (x )的反函数f －1(x );(3)对任意给定的k ∈R +,解不等式f －1(x )>lg kx +1.7.(★★★★)定义在(－∞,4］上的减函数f (x )满足f (m －sin x )≤f (m 21+－47+cos 2x )对任意x ∈R 都成立，求实数m 的取值范围. 8.(★★★★★)已知函数y =f (x )=cbx ax ++12 (a ,b ,c ∈R ,a >0,b >0)是奇函数，当x >0时，f (x )有最小值2，其中b ∈N 且f (1)<25. (1)试求函数f (x )的解析式；(2)问函数f (x )图象上是否存在关于点(1，0)对称的两点，若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由.参考答案难点磁场解：∵f (2)=0,∴原不等式可化为f ［log 2(x 2+5x +4)］≥f (2).又∵f (x )为偶函数，且f (x )在(0，+∞)上为增函数，∴f (x )在(－∞,0）上为减函数且f (－2)=f (2)=0∴不等式可化为log 2(x 2+5x +4)≥2 ① 或log 2(x 2+5x +4)≤－2 ② 由①得x 2+5x +4≥4∴x ≤－5或x ≥0 ③ 由②得0＜x 2+5x +4≤41得2105--≤x ＜－4或－1＜x ≤2105+- ④ 由③④得原不等式的解集为{x |x ≤－5或2105--≤x ≤－4或－1＜x ≤2105+-或x ≥0} 歼灭难点训练一、1.解析：f (7.5)=f (5.5+2)=－f (5.5)=－f (3.5+2)=f (3.5)=f (1.5+2)=－f (1.5)=－f (－0.5+2)= f (－0.5)=－f (0.5)=－0.5.答案：B2.解析：∵f (x )是定义在(－1，1）上的奇函数又是减函数，且f (a －3)+f (9－a 2)＜0. ∴f (a －3)＜f (a 2－9). ∴⎪⎩⎪⎨⎧->-<-<-<-<-9319113122a a a a ∴a ∈(22,3).答案：A二、3.解析：由题意可知：xf (x )＜0⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧><⇔0)(00)(0x f x x f x 或 ⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔⎩⎨⎧<>⎩⎨⎧-><⇔3030 )3()(0 )3()(0x x x x f x f x f x f x 或或 ∴x ∈(－3,0)∪(0,3)答案：(－3，0）∪(0，3）4.解析：∵f (x )为R 上的奇函数∴f (31)=－f (－31),f (32)=－f (－32),f (1)=－f (－1),又f (x )在(－1，0)上是增函数且－31> －32>－1. ∴f (－31)>f (－32)>f (－1),∴f (31)＜f (32)＜f (1). 答案：f (31)＜f (32)＜f (1) 三、5.解：函数f (x )在(－∞,0）上是增函数，设x 1＜x 2＜0,因为f (x )是偶函数，所以 f (－x 1)=f (x 1),f (－x 2)=f (x 2),由假设可知－x 1>－x 2>0,又已知f (x )(0，+∞)上是减函数，于是有f (－x 1)＜f (－x 2),即f (x 1)＜f (x 2),由此可知，函数f (x )在(－∞,0)上是增函数.6.解：(1）a =1.(2)f (x )=1212+-x x (x ∈R )⇒f －-1(x )=log 2xx -+11 (－1＜x ＜1). (3)由log 2xx -+11>log 2k x +1⇒log 2(1－x )＜log 2k ,∴当0＜k ＜2时，不等式解集为{x |1－k ＜x ＜1};当k ≥2时，不等式解集为{x |－1＜x ＜1}. 7.解：⎪⎩⎪⎨⎧++-≥++-≤-⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧+-+≥-≤+-+≤-1sin sin 4721sin 4 cos 4721sin 4cos 47214sin 222x x m m x m x m x m x m x m 即，对x ∈R 恒成立,⎪⎩⎪⎨⎧=≥≤∴21233m m m 或 ∴m ∈［23,3］∪{21}. 8.解：(1)∵f (x )是奇函数，∴f (－x )=－f (x ),即c bx c bx cbx ax c bx ax -=+⇒+-+-=++1122 ∴c =0,∵a >0,b >0,x >0,∴f (x )=bx x b a bx ax 112+=+≥22b a ，当且仅当x =a 1时等号成立，于是22b a =2,∴a =b 2,由f (1)＜25得ba 1+＜25即b b 12+＜25,∴2b 2－5b +2＜0,解得21＜b ＜2，又b ∈N ,∴b =1,∴a =1,∴f (x )=x +x1. (2)设存在一点(x 0,y 0)在y =f (x )的图象上，并且关于(1，0）的对称点(2－x 0,－y 0)也在y =f (x )图象上，则⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=-+-=+0020002021)2(1y x x y x x 消去y 0得x 02－2x 0－1=0,x 0=1±2.∴y =f (x )图象上存在两点(1+2,22),(1－2,－22)关于(1，0)对称.。
高中数学课件 第二章 《第4节 函数的奇偶性》
(3)依题设有f(4×4)=f(4)+f(4)=2. f(16×4)=f(16)+f(4)=3, ∵f(3x+1)+f(2x-6)≤3, 即f((3x+1)(2x-6))≤f(64).（*）
法一：∵f(x)为偶函数， ∴f(|(3x＋1)(2x－6)|)≤f(64). 又∵f(x)在(0，＋∞)上是增函数，
解析：由(x2－x1)(f(x2)－f(x1))＞0得f(x)在x∈(－∞，0] 为增函数.
又f(x)为偶函数，所以f(x)在x∈(0，＋∞)为减函数.
又f(－n)＝f(n)且0≤n－1＜n＜n＋1，∴f(n＋1)＜f(n)＜ f(n－1)，即f(n＋1)＜f(－n)＜f(n－1). 答案：C
1.下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是
当a＝0时，f(x)＝f(－x)，∴f(x)是偶函数；
当a≠0时，f(a)＝a2＋2，f(－a)＝a2－2|a|＋2. f(a)≠f(－a)，且f(a)＋f(－a)＝2(a2－|a|＋2) ＝2(|a|－ )2＋ ≠0， ∴f(x)是非奇非偶函数.
判断(或证明)抽象函数的奇偶性的步骤 (1)利用函数奇偶性的定义，找准方向(想办法出现f(－x)， f(x))； (2)巧妙赋值，合理、灵活变形配凑； (3)找出f(－x)与f(x)的关系，得出结论.
(3)∵f(4)＝1，∴f(8)＝f(4)＋f(4)＝2，
f(12)＝f(4＋8)＝f(4)＋f(8)＝3.
又∵f(3x＋1)＋f(2x－6)≤3， ∴f(3x＋1＋2x－6)≤f(12)， 即f(5x－5)≤f(12). 又∵f(x)在(0，＋∞)上为增函数，
f(x)为奇函数，∴f(x)在R上是增函数，
( A.y＝－x3，x∈R C.y＝x，x∈R B.y＝sinx，x∈R D.y＝( )x，x∈R )
2021_2022学年高中数学第1章集合与函数概念1.3.2奇偶性(第2课时)奇偶性的应用课件新人教
1．设偶函数 f(x)的定义域为 R，当 x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函 数，则 f(－2)，f(π)，f(－3)的大小关系是( )
A．f(π)＞f(－3)＞f(－2) B．f(π)＞f(－2)＞f(－3) C．f(π)＜f(－3)＜f(－2) D．f(π)＜f(－2)＜f(－3)
A [由偶函数与单调性的关系知，若 x∈[0，＋∞)时，f(x)是增函 数，则 x∈(－∞，0)时，f(x)是减函数，故其图象的几何特征是自变量 的绝对值越小，则其函数值越小，∵|－2|＜|－3|＜π，∴f(π)＞f(－3) ＞f(－2)，故选 A.]
()
(4) 若奇函数 f(x)在(0，＋∞)上有最小值 a，则 f(x)在(－∞，0)上
有最大值－a.
()
[答案] (1)× (2)√ (3)× (4)√
2．已知偶函数在(－∞，0)上单调递增，则( )
A．f(1)>f(2)
B．f(1)<f(2)
C．f(1)＝f(2)
D．以上都有可能
A [∵f(x)是偶函数，且在(－∞，0)上单调递增， ∴f(x)在(0，＋∞)上单调递减，∴f(1)>f(2)，故选 A.]
第一章 集合与函数概念
1.3 函数的根本性质 奇偶性
第2课时 奇偶性的应用
学习目标
核心素养
1．会根据函数奇偶性求函数值或 1．利用奇偶性求函数的解析式，
解析式．
培养逻辑推理素养．
2．能利用函数的奇偶性与单调性 2．借助奇偶性与单调性的应用提
分析、解决较简单的问题.
升逻辑推理、数学运算素养.
合作探究 提素养
求f（－x）
奇――函→数
得x<0时f（x）的解析式
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( ×) ( ×)
(√ )
2、设f(x) ax2005 bx 5，且f(-2) 1 则f(2) 9
3、设f(x) g(x) 2，其中g(x) 是奇函数， f(x) 在(2，6)上的最大值为3，则f(x) 在 (-6，- 2)上有最 小 (填大、小)值，且 最值是 1
例1、已知函数f (x)是定义在R上的奇函数， 且x 0时，f (x) x 1，求函数f (x)在R上 的解析式。
函数的奇偶性(二)
什么叫奇函数？偶函数？ 判断函数的奇偶性要注意些什么？
练习：1、下列判断是否正确
(1)f(x)=1既是奇函数又是偶函数 (× )
(2) f (x) x2 x 是奇函数 x 1
(3)f(x) (1－x)
1 x 是偶函数 1－x
(4)f(x) x2 - 2x 1是非奇非偶函数
f (x) x2 2x 2.
。
。
利用对称画函数图像
例3、如图为y f (x)的图象，求作 y f (x), y f (x), y | f (x) |, y f (| x |)的图像
常用结论：
y f (x)
y
f
(ห้องสมุดไป่ตู้)
y
f
(x)
y
f
(
x)
关于y轴对称 关于x轴对称 关于原点对称
x 1 (x 0)
y 0
(x 0)
-
-x 1(x 0)
练习：偶函数f(x)， 当x 0时，f(x) 1- x 1 x 1 x 则当x 0时，f(x) 1 x
利用对称求函数的解析式
例2、画出下列函数的图像：
(1) y x2 2 | x | (2) y x3
(3)定义域为R奇函数，且x 0时，
y f (| x |) 图像自身关于y轴对称
y | f (x) |
把x轴下方的图关于x轴翻折上去