不等式(组)与方案设计

不等式（组）与方案设计 一元一次不等式（组）在现实生活中有着广泛的应用．利用一元一次不等式（组）的有关知识可以解决在某些经济活动中进行具体的方案设计类的问题．这类试题新颖灵活，具有较强的时代气息，是近年中考的热点题型，是一个提出问题、分析问题和解决问题的复杂过程．其方法可归纳如下：从实际问题中获取必要的信息——分析处理有关信息——将实际问题转化为数学问题——建立不等式（组）模型——解决这个数学问题．现以2005年中考题为例予以说明．
一、商品销售中的方案设计问题
例1（2005年哈尔滨）双蓉服装老板到厂家选购A 、B 两种型号的服装，若购进种A 型号服装9件， B 种型号服装10件，需要1810元；若购进A 种型号服装12件， B 种型号服装8件，需要1880元．（1）求A 、B 型号的服装每件分别为多少元？（2）若销售1件A 型服装可获利18元，销售1件B 型服装可获利30元，根据市场需求，服装店老板决定，购进A 型服装数量要比购进B 型服装的数量的2倍还多4件，且A 型服装最多可购进28件，这样服装全部售出后，可使总的获利不少于699元，问有几种进货方案？如何进货？
分析：（1）利用题中两个等量关系：9件A 型号服装所花钱数＋ 10件B 种型号服装所花钱数=1810元，12件A 型号服装所花钱数＋ 8件B 种型号服装所花钱数=1880元，构建方程组便可求解．（2）通过题中两个关键词语“最多”、“不少于”可得到如下两个不等关系：A 型服装的数量（B 型服装的数量的2倍还多4件）≤28；A 型号服装所获利＋B 型服装所获利≥699元．设未知数列不等式组，通过求它的整数解来确定进货方案．
解：（1）设A 种型号的服装每件x 元，B 种型号的服装每件y 元．根据题意，得⎩⎨⎧=+=+.,18808121810109y x y x 解得⎩⎨⎧==.
,10090y x 答：两种型号的服装每件分别为90元，100元．
（2）设B 型服装购进m 件，则A 型服装购进（2m ＋4）件．根据题意，得()⎩⎨⎧≤+≥++.
,2842699304218m m m 解不等式组，得921≤m ≤12． ∵m 为正整数，∴m =10，11，12，2m ＋4=24，26，28．
答：有三种进货方案：B 型服装购买10件，A 型服装购买24件；
或B型服装购买11件，A型服装购买26件；B型服装购买12件，A型服装购买28件．
二、美化环境中的方案设计问题
例2（05青岛实验区）为美化青岛，创建文明城市，园林部门决定利用现有的3600盆甲种花卉和2900盆乙种花卉搭配两种园艺造型共50个，摆放在迎宾大道两侧，搭配每个造型所需要花卉情况如右表所示：
造型甲乙
A 90盆30盆
B 40盆100盆
给合上述信息，解答下列问题：（1）符合题意的搭配方案有哪几种？（2）若搭配一个种造型的成本1000元，搭配一个种造型的成本为1200元，试说明选用（1）中哪种方案成本最低？
分析：（1）本题要设计符合题意的搭配方案，其中隐含着条件：搭配A种造型所需的甲种花卉的盆数＋搭配B种造型所需的甲种花卉的盆数≤甲种花卉的总盆数3600，搭配A种造型所需的乙种花卉的盆数＋搭配B 种造型所需的乙种花卉的盆数≤乙种花卉的总盆数2900，于是可通过构造不等式组求解；（2）根据每种造型的成本价，可计算出（1）中所设计的各种搭配方案的成本价，从而确定最优方案．
解：（1）设需要搭配x个种A造型，则需要搭配（50－x）个B种
造型．由题意，得
()
()
⎩
⎨
⎧
≤
-
⨯
+
≤
-
⨯
+
.
,
2900
50
100
30
3600
50
40
90
x
x
x
x
解得：30≤x≤32，其正整
数解为：x=30，31或32，因此符合题意的搭配方案有3种，分别为：方案一：A造型30个，B种造型20个；方案二：A造型31个，B种造型19个；方案三：A造型32个，B种造型18个．
（2）由题意，得三种方案的成本分别为：方案一：30×1000＋20×1200=54000；方案二：31×1000＋19×1200=53800；方案三：31×1000＋18×1200=53600；所以第三种方案成本最低．
三、交通运输中的方案设计问题
例3（05年广东省茂名实验区）今年6月份，我市某果农收获荔枝30吨，香蕉13吨，现计划租用甲、乙两种货车共10辆将这批水果全部运往深圳，已知甲种货车可装荔枝4吨和香蕉1吨，乙种货车可装荔枝、香蕉各2吨；
（1）该果农安排甲、乙两种货车时有几种方案？请你帮助设计出来．（2）若甲种货车每辆要付运输费2000元，乙种货车每辆要付运输费1300元，则该果农应选择哪种方案？使运费最少？最少运费是多少元？
分析：（1）由题意知，甲种货车可装荔枝的吨数＋乙种货车可装荔枝
的吨数≥果农收获荔枝的总产量30吨；甲种货车可装香蕉的吨数＋乙种货车可装香蕉的吨数≥果农收获香蕉的总产量30吨，因此也可通过构造不等式组求解；（2）根据每种货车每辆要付运输费，可计算出（1）中所设计的各种方案中的运费，进而确定运费最少的方案．
解：（1）设安排甲种货车x 辆，则安排乙种货车（10－x ）辆，依题
意，得 ⎩⎨⎧≥-+≥-+.)(,)(131********x x x x 解这个不等式组，得 ⎩
⎨⎧≤≥.,75x x 所以75≤≤x ．由于x 是整数， 故x 可取5、6、7，即安排甲、乙两种货车有三种方案：
方案一：甲种货车5辆，乙种货车5辆；方案二：甲种货车6辆，乙
种货车4辆；方案三：甲种货车7辆，乙种货车3辆；
（2）方法一：由于甲种货车的运费高于乙种货车的运费，两种货车共10辆，所以当甲种货车的数量越少时，总运费就越少，故该果农应选择方案一运费最少，最少运费是16500元；
方法二：方案一需要运费2000×5+1300×5=16500（元），
方案二需要运费2000×6+1300×4=17200（元），
方案三需要运费2000×7+1300×3=17900（元），故该果农应选择方案一运费最少，最少运费是16500元．。