布洛赫定理及它的指导意义

JISHOU UNIVERSITY

《固体物理》期末

考核报告

布洛赫定理及它的指导意义

布洛赫波因其提出者美籍瑞士裔物理学家菲利克斯·布洛赫（Felix Bloch ）而得名。

布洛赫波由一个平面波和一个周期函数u （r ）（布洛赫波包）相乘得到。其中u （r ）与势场具有相同周期性。布洛赫波的具体形式为：

式中k 为波矢。上式表达的波函数称为布洛赫函数。当势场具有晶格周期性时，其中的粒子所满足的波动方程的解ψ存在性质：

这一结论称为布洛赫定理（Bloch's theorem ），其中

为晶格周期矢量。可以看出，具有上式性质的波函数可以写成布洛赫函数的形式。

平面波波矢k（又称“布洛赫波矢”，它与约化普朗克常数的乘积即为粒子的晶体动量）表征不同原胞间电子波函数的位相变化，其大小只在一个倒易点阵矢量之内才与波函数满足一一对应关系，所以通常只考虑第一布里渊区内的波矢。对一个给定的波矢和势场分布，电子运动的薛定谔方程具有一系列解，称为电子的能带，常用波函数的下标n以区别。这些能带的能量在k的各个单值区分界处存在有限大小的空隙，称为能隙。在第一布里渊区中所有能量本征态的集合构成了电子的能带结构。在单电子近似的框架内，周期性势场中电子运动的宏观性质都可以根据能带结构及相应的波函数计算出。

上述结果的一个推论为：在确定的完整晶体结构中，布洛赫波矢k是一个守恒量（以倒易点阵矢量为模），即电子波的群速度为守恒量。换言之，在完整晶体中，电子运动可以不被格点散射地传播（所以该模型又称为近自由电子近似），晶态导体的电阻仅仅来自那些破坏了势场周期性的晶体缺陷。

从薛定谔方程出发可以证明，哈密顿算符（Hamiltonian）与平移算符（translation）的作用次序满足交换律，所以周期势场中粒子的本征波函数总是可以写成布洛赫函数的形式。更广义地说，本征函数满足的算符作用对称关系是群论中表示理论的一个特例。

布洛赫波的概念由菲利克斯·布洛赫在1928年研究晶态固体的导电性时首次提出的，但其数学基础在历史上却曾由乔治·威廉·希尔（George William Hill，1877年），加斯东·弗洛凯（Gaston Floquet，1883年）和亚历山大·李雅普诺夫（Alexander Lyapunov，1892年）等独立地提出。因此，类似性质的概念在各个领域有着不同的名称：常微分方程理论中称为弗洛凯理论（也有人称“李雅普诺夫-弗洛凯定理”）；一维周期性波动方程则有时被称为希尔方程（Hill's equation）。

在量子力学建立以后，布洛赫( F.Bloch )和布里渊( Brillouin )等人就致力于研究周期场中电子的运动问题。他们的工作为晶体中电子的能带理论奠定了基础，下面我们作些简单介绍。

一个在周期场中运动的电子的波函数应具有什么特点？布洛赫定理指出了在周期场中运动的电子波函数的特点。

我们知道，在一维情形下，周期场中运动的电子能量E ( k ) 和波函数必须满足定态薛定谔方程

k——波数，表示电子波的波数

U ( x ) ——周期性的势能函数，它满足

a——晶格常数

n——任意整数

布洛赫定理：

满足（1）式的定态波函数必定具有如下的特殊形式

（2）

式中是以晶格常数a为周期的周期函数，即

具有（2）式形式的波函数称为布洛赫波函数，或布洛赫函数。

布洛赫定理说明了一个在周期场中运动的电子的波函数为：一个自由电子波函数e ikx与一个具有晶体结构周期性的函数u k(x) 的乘积。

从布洛赫定理，我们认识到下面几点：

周期场中运动的电子波是行波，它受到以晶格周期a为周期的函数u k(x) 的调制。

这在物理上反映了晶体中的电子既有共有化的倾向，又有受到周期性排列的离子影响的特点。

只有在u k(x) 等于常数时，在周期场中运动的电子的波函数才完全变为自由电子的波函数。

因此，布洛赫函数是比自由电子波函数更接近实际情况的波函数。