2020届高考数学二轮复习专题《椭圆中与面积有关的取值范围问题》

专题37椭圆中与面积有关的取值范围问题取值范围类似于函数的值域，解析几何中几何量的取值范围问题，需要选择合适的变量构建出可解出范围的函数，是高中数学的传统难点．解决椭圆中的面积取值范围问题，关键在于找到构建面积的合理路径，设法简化表达式，将问题转化为常见的函数模型，从而求出取值范围.

如图37-1所示，已知椭圆C：x2

a2＋y2

b2＝1(a＞b＞0)的左焦点为F(－1,0)，左准线方程为x＝－2.

图37-1

(1)求椭圆C的标准方程；

(2)若A，B两点满足OA⊥OB(O为坐标原点)，求△AOB面积的取值范围．

求椭圆中某个三角形的面积的最值或范围问题，一般是从函数角度出发，本题也是如此，而构建函数是本题的关键，先是选择变量，条件OA⊥OB启示本题应选直线OA(或OB)的斜率k为变量，根据三角形的几何特征，通过代数计算建立三角形的面积关于k的函数，然后利换元法求出最终结果.

如图37-3所示，在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆E ：x 22＋y 2＝1，点A 是椭圆上异于长轴端点的任一点，F 为椭圆的右焦点，直线AF 与椭圆交于B 点，直线AO 与椭圆交于C 点，求△ABC 面积的最大值．

图37-3

设椭圆E ：x 216＋y 24＝1，P 为椭圆C ：x 24＋y 2＝1上任意一点，

过点P 的直线y ＝kx ＋m 交椭圆E 于A ，B 两点，射线PO 交椭圆E 于点Q .如图37-4所示．

图37-4

(1)求OQ OP 的值；

(2)求△ABQ 面积的最大值．

如图37-5所示，已知椭圆C ：x 22＋y 2＝1，设A 1，A 2分别为

椭圆C 的左、右顶点，S 为直线x ＝22上一动点(不在x 轴上)，直线A 1S 交椭圆C 于点M ，直线A 2S 交椭圆于点N ，设S 1，S 2分别为△A 1SA 2，

△MSN 的面积，求S 1S 2

的最大值．

图37-5

已知点A (0，－2)，椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的离心率为32，F 是椭圆E 的右焦点，直线AF 的斜率为233，

O 为坐标原点．如图37-6所示．

图37-6

(1)求E 的方程；

(2)设过点A 的直线l 与E 相交于P ，Q 两点，当△OPQ 的面积最大时， 求l 的方程．

(2020·无锡模拟)在平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2

a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的离心率为32，且过点(3，12)，点P 在第四象限，A 为左顶点，B 为上顶点，P A 交y 轴于点C ，PB 交x 轴于点D .如图37-7所示．

图37-7

(1)求椭圆C 的标准方程；

(2)求△PCD 面积的最大值．

(本小题满分14分)(2019·苏北七市三模)如图37-8所示，在

平面直角坐标系xOy 中，已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a >b >0)的上顶点为

A (0，3)，圆O ：x 2＋y 2＝a 24经过点M (0,1)．

图37-8

(1)求椭圆C 的方程；

(2)过点M 作直线l 1交椭圆C 于P ，Q 两点，过点M 作直线l 1的垂线l 2交圆O 于另一点N . 若△PQN 的面积为3，求直线l 1的斜率.

(1)x 24＋y 23＝1；(2)±12.

(1)因为椭圆C 的上顶点为A ()0 ， 3，所以b ＝3，又圆O : x 2＋y 2

＝14a 2经过点M ()0 ， 1，所以a ＝2. …………………………………………………………………………………………2分(求出a )

所以椭圆C 的方程为x 24＋y 2

3＝1. …………………………………………………4分(求出椭圆方程)

(2)若l 1的斜率为0，则PQ ＝463，MN ＝2，

所以△PQN 的面积为463，不合题意，所以直线l 1的斜率不为

0.

…………………………………………………………………………………5分(检验l 1

的斜率为0是否合理)

设直线l 1的方程为y ＝kx ＋1，由??? x 24＋y 2

3＝1，y ＝kx ＋1)消y ，得(3＋4k 2)x 2＋8kx －8＝0，

设P ()x 1 ， y 1，Q ()x 2 ， y 2，

则x 1＝－4k －26·2k 2＋13＋4k 2，x 2＝－4k ＋26·2k 2＋13＋4k 2

， 所以|PQ |＝(x 1－x 2)2＋(y 1－y 2)2

＝1＋k 2||x 1－x 2＝461＋k 2·2k 2＋13＋4k 2

.…………………8分(利用弦长公式求出PQ )

直线l 2的方程为y ＝－1k x ＋1，即x ＋ky －k ＝0，

圆心到直线的距离d ＝|k |1＋k

2 ，所以|MN |＝21－k 21＋k 2

＝21＋k 2

. …………………………………………………………………11分(由| MN |＝2 r 2－d 2 容易求得MN )

所以△PQN 的面积S ＝12|PQ |·|MN |＝12

×461＋k 2·2k 2＋13＋4k 2·21＋k

2＝3， 解得k ＝±12，即直线l 1的斜率为±12.

…………………………………………………………14分(将求得的PQ ，MN 代入面积公式求出l 1的斜率)

答题模板 第一步：由圆O 过点M ，求出a ；

第二步：求出椭圆的方程；

第三步：检验l 1的斜率为0时，题设是否成立；

第四步：联立方程，由弦长公式求出PQ ；

第五步：由圆心到直线的距离和半径求出圆的弦长MN ； 第六步：将求出的PQ ，MN 代入S △PQN ＝3求得斜率k .

作业评价

点P 为椭圆x 25＋y 2

4＝1上的动点，F 1，F 2是左右焦点，若∠F 1PF 2＝30°，则△F 1PF 2的面积是_________．

若椭圆x 24＋y 2

b 2＝1(0

椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1()a >b >0的长轴端点为A ，B ，短轴端点为C ，

D ，动点P 满足P A PB ＝2，△P AB 面积的最大值为163，△PCD 面积的最

小值为23，则此椭圆的离心率为_________．

已知A ，B 分别为椭圆x 2a 2＋y 2

b 2＝1(a ＞b ＞0)的右顶点和上顶点，直线y ＝kx (k ＞0)与椭圆交于C ，D 两点，若四边形ACBD 的面积最大值为3b 2，则椭圆的离心率为________．

过椭圆x 216＋y 2

4＝1上一点P 作圆x 2＋y 2＝2的两条切线，切点分别为M ，N ，若直线MN 与x 轴、y 轴分别交于点A ，B ，则△OAB 面积的最小值为________．

椭圆两焦点分别为F 1(－4,0)，F 2(4,0)，P 为椭圆上的动点，直线PF 2与椭圆的交点为Q ，若△PF 1Q 面积的最大值为15，则该椭圆的标准方程为________．

如图37-10所示，点A (1，3)为椭圆x 22＋y 2

n ＝1上一定点，过点A 引两直线与椭圆分别交于B ，C 两点．

(1)求椭圆的标准方程；

(2)若直线AB ，AC 与x 轴围成的是以点A 为顶点的等腰三角形． ①求直线BC 的斜率；

②求△ABC 的面积的最大值，并求出此时直线BC 的方程．

图37-10

如图37-11所示，在平面直角坐标系xOy 中，椭圆E ：x 2a 2＋y 2

b 2

＝1(a＞b＞0)的左顶点为A，与x轴平行的直线与椭圆E交于B，C 两点，过B，C两点且分别与直线AB，AC垂直的直线相交于点D.

已知椭圆E的离心率为

5

3，右焦点到右准线的距离为

45

5.

(1)求椭圆E的标准方程；

(2)证明点D在一条定直线上运动，并求出该直线的方程；

(3)求△BCD面积的最大值．

图37-11