换元法在解方程中的应用
初中数学 什么是换元法
初中数学什么是换元法换元法是一种在初中数学中常用的解题方法，特别适用于一些复杂的方程或不等式的求解过程。
通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，可以将原问题转化为更简单的形式，从而更容易求解。
下面我将为您详细介绍换元法的定义、原理以及应用方法。
一、换元法的定义换元法是指通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，将原问题转化为更简单的形式，从而更容易求解的解题方法。
通过将问题中的变量进行替换，可以改变问题的形式，使其更易于处理。
换元法在解方程、求不等式的最值、证明等问题中都有广泛的应用。
二、换元法的原理换元法的原理是通过引入一个新的未知数或进行一定的代换，将原问题转化为更简单的形式。
新的未知数或代换的选择通常是根据问题的特点和需要来确定的。
通过合理的选择，可以使问题的形式更简单，从而更容易求解。
三、换元法的应用方法换元法的应用方法可以根据具体问题的不同而有所变化。
下面我将分别介绍在解方程、求不等式的最值以及证明中的换元法应用方法。
1. 解方程：a. 对于一元一次方程，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。
例如，对于方程2x + 3 = 7，可以引入新的未知数y = 2x + 3，转化为y = 7，进而求得x的值。
b. 对于一元二次方程，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。
例如，对于方程x^2 + 3x + 2 = 0，可以引入新的未知数y = x + 1，转化为y^2 + 2 = 0，进而求得x的值。
2. 求不等式的最值：a. 对于一元一次不等式，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。
例如，对于不等式2x + 3 > 5，可以引入新的未知数y = 2x + 3，转化为y > 5，进而求得x的取值范围。
b. 对于一元二次不等式，可以通过引入新的未知数或进行代换，将其转化为更简单的形式。
例如，对于不等式x^2 - 4x + 3 > 0，可以引入新的未知数y = x - 2，转化为y^2 - 1 > 0，进而求得x的取值范围。
利用换元法解方程组
4
【解析】
试题分析:
这是一个根号里含有分式的无理方程，也可通过换元后求解，通过变形发现
xபைடு நூலகம்
与互为倒数，可设.1y,则原方程变形为y,无理方程化为有理方程
x
试题解析:
常用换元方法有局部换元、均值换元、倒数换元、常数换元等.
82，使方程变得易解，这是均值换元法
（四）本讲注重研究用换元法解方程的技能、技巧•拓宽学生知识面，培养学生学习和
研究数学的兴趣•
二、应用举例
类型一局部换元
（高次方程）
【例题1】解方程：X43x220
【答案】捲1，x21，x3、、2，x42
【解析】
【难度】较易
（分式方程）
【例题2】解方程：
【答案】x13
4
【解析】
试题分析：
括号里的分式相同，由这个特点，可以用换元法来解
试题解析：
解：设亠
x1
y，于
F是原方程变形为
2
y
5y60
解得y1
3,
y22
当y1
3时，
X3,
解得
X1
3
x1
4
当y2
2时，
X
2,
解得
X2
2
x1
3
经检验x1
3
,X2
4
2
2均为原方程的根•
第
、方法技巧
（一）换元法解方程是用新元代替方程中含有未知数的某个部分，达到化简的目的.
（二）运用换元法解方程，主要有三种类型：分式方程、无理方程、整式（高次）方程 解分式方程、无理方程、整式（高次）方程的基本思想是将分式方程化为整式方程、 无理方程化为有理方程、整式（高次）方程逐步降次
知识点142换元法解分式方程(解答)
1、（2010•）解方程：．考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：换元法。
分析：方程的两个分式具备平方关系，设=t，则原方程化为t2﹣t﹣2=0．用换元法转化为关于t的一元二次方程．先求t，再求x．解答：解：令=t，则原方程可化为t2﹣t﹣2=0，解得，t1=2，t2=﹣1，当t=2时，=2，解得x1=﹣1，当t=﹣1时，=﹣1，解得x2=，经检验，x1=﹣1，x2=是原方程的解．点评：换元法是解分式方程的常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法求解的分式方程的特点，寻找解题技巧．2、（2010•）（1）解不等式：3x﹣2＞x+4；（2）解方程：+=2．考点：换元法解分式方程；解一元一次不等式。
分析：（1）按解一元一次不等式的步骤进行；（2）方程的两个部分具备倒数关系，设y=，则原方程另一个分式为．可用换元法转化为关于y的分式方程．先求y，再求x．结果需检验．解答：解：（1）3x﹣2＞x+4，3x﹣x＞4+22x＞6x＞3；（2）设=y，则原方程化为y+=2．整理得，y2﹣2y+1=0，解之得，y=1．当y=1时，=1，此方程无解．故原方程无解．点评：（1）移项时注意符号的变化．（2）用换元法解分式方程时常用方法之一，它能够把一些分式方程化繁为简，化难为易，对此应注意总结能用换元法解的分式方程的特点，寻找解题技巧．3、（2008•）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
专题：计算题；换元法。
分析：本题考查用换元法解分式方程的能力．观察方程由方程特点设=y，则可得：=y2．然后整理原方程化成整式方程求解．解答：解：设=y，则=y2，所以原方程可化为2y2+y﹣6=0．解得y1=﹣2，y2=．即：=﹣2或=．解得x1=2，．经检验，x1=2，是原方程的根．点评：换元法解分式方程可将方程化繁为简，化难为易，是解分式方程的常用方法之一，换元法的应用要根据方程特点来决定，因此要注意总结能够应用换元法解的分式方程的特点．4、（2008•）解方程：考点：换元法解分式方程；解一元二次方程-因式分解法。
换元法在初中数学解题中的应用
换元法在初中数学解题中的应用作者：聂勋林来源：《速读·上旬》2016年第02期摘要：换元法是一种用辅助元素进行替代的方法，其特点是通过使用新的变量将分散的条件结合到一起，使隐含条件表现出来，从而将复杂的形式转换成简单明了的形式。
换元法的实质就是化归与转换的数学思想。
它的关键点在于设元和造元，目的是将较为复杂的问题转为化简单的问题去研究。
本文结合实际教学经验，对数学解题过程中换元法的应用做出浅析。
关键词：换元法;因式分解;解方程;化简根式换元法作为一种重要的数学解题方法，可以通过变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，将非标准型问题标准化、复杂问题简单化。
使用换元法，很多问题往往会迎刃而解。
一、换元法的基本概念换元法这种引辅助未知元素解题的方法我们称为换元法。
解数学问题时，如果直接解决原问题有困难，或原问题不易下手，或由原问题的条件难以直接得出结论时，往往需要引入一个或若干个“新元”代换问题中原来的“元”，使以“新元”为基础的问题求解比较容易，解决以后将结果恢复为原来的元，即可得原问题的结果。
这种解决问题的方法称为换元法。
又称变量代换法或辅助元素法。
换元的实质就是转化，它是用一种变数形式去取代另一种变数形式，使问题得到简化的一种解题方法。
换元法的基本思想是通过变量代换，使原问题化繁为简、化难为易，使问题发生有利的转化，从而达到解题目的。
数学新课程“标准”中明确指出，学习数学的首要目标是“获得必要的数学基础知识和基本技能，理解基本的数学概念、数学结论的本质，了解概念、结论等产生的背景、应用，体会其中所蕴涵的数学思想和方法，以及它们在后续学习中的作用。
通过不同形式的自主学习、探究活动，体验数学发现和创造的历程”。
学习掌握换元法，有助于学生拓宽自己的思路，开创自己的创新思维。
二、换元法在初中数学解题中的应用1.换元法在因式分解中的应用例1.将[（x2+2x+4）（x2+2x+8）+4]分解因式。
用换元法解二元一次方程组课件
换元法适用于难以直接消元或代 入的二元一次方程组，尤其在方 程组系数复杂或无线性关系时更
具优势。
优点
简化计算过程，降低计算的复杂度 ，有时可以化难为易，快速找到答 案。
缺点
需要一定的技巧来选择合适的换元 方式，且对于初学者可能较难理解 和掌握。
06 练习题与答案解析
练习题
01
02
03
题目1
例题1
解方程组$left{ begin{array}{l} x + y = 7 xy = 10 end{array} right.$
例题2
解方程组$left{ begin{array}{l} x - y = 3 x^{2} - y^{2} = 9 end{ar意事项
在二元一次方程组中，换元法通常用 于消去一个变量，将方程组转化为一 个一元一次方程，从而求解。
换元法的应用场景
当二元一次方程组中存在两个未知数，且其中一个未知数的系数相同或互为相反 数时，可以使用换元法简化求解过程。
当二元一次方程组中存在一个未知数的系数相同或互为相反数时，也可以使用换 元法简化求解过程。
01
02
03
04
技巧1
选择新变量时要考虑消元的效 果，尽量选择系数较大的变量
作为新变量。
技巧2
在代回原方程求解时，要注意 验证解的合理性，避免出现不
符合原方程的解。
注意事项1
换元法适用于系数较为简单的 方程组，对于系数复杂或无解 的情况，需要采用其他方法。
注意事项2
在解题过程中要细心，避免计 算错误导致解不正确。
解方程组$left{ begin{array}{l} x + y = 7 xy = 10 end{array} right.$
待定系数法、换元法、转换法是运用函数与方程思想方法解题过程中的三大法宝-解析版
待定系数法、换元法、转换法是运用函数与方程思想方法解题过程中的三大法宝在运用函数与方程思想解题的过程中,在确定函数、方程、不等式的参变数的值时需要运用待定系数法,而构造法又常常与待定系数法紧密相联,换元法往往可以使较为复杂的问题变为基本题型,许多数学问题就是在不断转换的过程中加以解决的.如函数问题可以转换为方程问题求解,方程问题可以转换为函数问题通过图像结合不等式知识求解,善于转换是数学核心素养的体现.典型例题1设抛物线y =ax 2+bx +c 过点A 1,2 和B -2,-1 .(1)试用a 表示b 和c ;(2)对于任意非零实数a ,抛物线都不过点P m ,m 2+1 ,试求m 的值.【分析】对本题题意的理解是关键,什么是抛物线都不过某点呢?换一种说法是:将该点的坐标代入所给的抛物线方程,方程无实数解,所以本题体现了一种等价转换的思想以及待定系数法在研究函数与方程问题中的应用.【解析】1 依题意,a +b +c =2,4a -2b +c =-1, 解得b =1+a ,c =1-2a .(2)y =ax 2+1+a x +1-2a ,将m ,m 2+1 代人,得am 2+1+a m +1-2a =m 2+1,整理得m 2+m -2 a =m 2-m .由题意,关于a 的方程无非零实数解,由m 2+m -2=0,m 2-m ≠0, 得m =-2;由m 2+m -2≠0,m 2-m =0, 得m =0.故所求的值为m =-2或m =0.2(1)已知数列a n 中,a 1=10,且a n =15a n -1+2⋅5n ,求这个数列的通项公式;(2)已知数列a n 中,a 1=3,a 2=5,a n =a n -2+4n -3n ≥3 ,求通项公式a n .法构造新的特殊数列,从而使问题获解;第2 问,一般解法是设待定系数A ,即由a n +An 2=a n -2+An 2+4n -3配方,得a n +An 2=a n -2+A (n -2)2+4A +4 n -4A -3,令4A +4=0,解得A =-1,从而构造等差数列.当然,如果直接对递推关系变形很难看出解题者的数学核心素养.【解析】(1)先对递推式进行变形,a n 5n =15a n -15n +2.即a n 5n =3⋅a n -15n -1+2.设b n =a n 5n n ∈N * ,则b n =3b n -1+2.(1)引人待定系数α,β,使α,β满足b n -β=αb n -1-β .展开得b n =αb n -1-αβ+β.(2)对照(1)式和(2)式,可得方程组α=3,-αβ+β=2,解得α=3,β=-1. 即数列b n +1 是以b 1+1=a 15+1=3为首项,3为公比的等比数列,所以b n +1=3⋅3n -1=3n ,b n =3n -1.于是,b n =a n 5n =3n -1,a n =15n -5n n ∈N * .(2)由条件可得a n -n 2=a n -2-(n -2)2+1n ≥3 .令b n =a n -n 2,则数列b n 可化为两类等差数列,其中b 2n -1 是以b 1=a 1-1=2为首项,d =1为公差;b 2n 是以b 2=a 2-22=1为首项,d =1为公差.因此,b 2n -1=2+n -1 ,b 2n =1+n -1 .所以a 2n -1=(2n -1)2+n +1,a 2n =(2n )2+n .故a n =122n 2+n +3(n 为奇数)122n 2+n(n 为偶数) 可简化为a n =122n 2+n +341+(-1)n +1 .3设a 为实数,函数f x =a 1-x 2+1+x +1-x 的最大值为g a .(1)设t =1+x +1-x ,求t 的取值范围,并把f x 表示为t 的函数m t ;(2)求g a ;(3)试求满足g a =g 1a的所有实数.【分析】本例是一道苐进式的综合题,主要考查函数、方程等基础知识,考查分类与整合以及函数与方程的思想方法和综合运用数学知识分析问题、解决问题的能力,难度上循序渐进,第(1)问考查变量代换的技巧,难点在新变量范围的确定,可以有不同的方法求解;第(2)问是含参函数在区间上最大值的求法.分类与整合并结合函数单调性是解答的关键;第3 问实质是解方程,由于g a 是分段的,对于方程g a =g 1a 解的讨论更要分类全面、环环相扣.正如罗素所言:“数学不仅拥有真理,而且还拥有至高的美一种冷峻而严肃的美,正像雕塑所具有的美一样⋯⋯”本题的解决过程不仅能显示解题者的数学功力,也展现了“一种冷峻而严肃的美”.【解析】(1) 【解法一】 (代数法)令t =1+x +1-x ,要使t 有意义,必须1+x ≥0,1-x ≥0,即-1≤x ≤1.∵t 2=2+21-x 2,x ∈-1,1 ,t ≥0(1)∴t 的取值范围是2,2 ,由(1)式得1-x 2=12t 2-1,故m t =a 12t 2-1 +t =12at 2+t -a ,t ∈2,2 .【解法二】(三角换元法)令x =sin2θ,θ∈-π4,π4.t =1+x +1-x =1+sin2θ+1-sin2θ=sin θ+cos θ +sin θ-cos θ=sin θ+cos θ-sin θ+cos θ=2cos θ,a 1-x 2=a 1-sin 22θ=a cos2θ由于θ∈-π4,π4 ,所以cos θ∈22,1,即t ∈2,2 ,f x =m t =a cos2θ+t ,又cos2θ=2cos 2θ-1=2×t 24-1=t 22-1故m t =a 12t 2-1 +t =12at 2+t -a ,t ∈2,2 .(2)由题意知g a 即为函数m t =12at 2+t -a ,t ∈2,2 的最大值.注意到直线t =-1a 是抛物线m t =12at 2+t -a 的对称轴,故分以下几种情况讨论.①当a >0时,函数y =m t ,t ∈2,2 的图像是开口向上的一段抛物线,∵t =-1a <0,知m t 在2,2上单调递增,∴g a =m2 =a+2.②当a=0时,∵m t =t,t∈2,2,∴g a =2.③当a<0时,函数y=m t ,t∈2,2的图像是开口向下的一段抛物线.若t=-1a∈0,2.即a≤-22,则g a =m2=2;若t=-1a∈2,2,即-22<a≤-12,则g a =m-1a=-a-12a;若t=-1a∈2,+∞,即-12<a<0,则g a =m2 =a+2.综上可得:g a =a+2a>-12-a-12a-22<a≤-122 a≤-22(3)①当a<-2时,1a >-12,此时g a =2,g1a=1a+2.由2+1a=2,解得a=-1-22,与a<-2矛盾.②当-2≤a<-2时,-22<1a≤-12.此时g a =2⋅g1a=-1a-a2.2=-1a-a2,解得a=-2与a<-2矛盾.③当-2≤a≤-22时,-2≤1a≤-22,此时g a =2=g1a,所以-2≤a≤-2 2④当-22<a≤-12时,-2≤1a<-2,此时g a =-a-12a,g1a= 2.由g a =g1a 即得-a-1 2a = 2.解得a=-22与a>-22矛盾.⑤当-12<a<0时,1a<-2,此时g a =a+2,g1a=2.由g a =g1a即得a+2=2,解得a=2-2与a>-12矛盾.(6)当a>0时,1a >0,此时g a =a+2,g1a=1a+2.由g a =g1a即得a+2=1a+2.解得a=±1,由a>0得a=1.综上可得,满足g a =g1a的所有实数a为-2≤a≤-22或a=1.4如图3-3所示,设直线l与椭圆x22+y2=1相切,切点为P,点M是坐标原点O在直线l上的正投影,求MP的最大值和最小值.【分析】本例的解答分3步:第一步,求出切线l 的方程和直线OM 的方程;第二步,求出点M 的坐标用点P x 0,y 0 的坐标表示,运用两点间距离公式求得|MP |2关于y 20的函数关系式;第三步,进入求MP 最值的流程,然而函数解析式太复杂了,可通过换元法变为基本函数求最值问题,当然新元的取值范围一定要紧紧㧓住!【解析】设P x 0,y 0 ,则-1≤y 0≤1,x 20=21-y 20 (点P 在椭圆上),切线l 的方程为x 0x +2y 0y =2(已知切点求䢶圆的切线方程),由OM ⊥l 得直线OM 的方程为2y 0x -x 0y =0.联立两直线方程,求得点M x ,y 的坐标为x =2x 0x 20+4y 20=2x 021-y 20 +4y 20=x 01+y 20x 20=2(1- y 20) ，y =4y 0x 20+4y 20=2y 01+y 20∴|MP |2=x -x 0 2+y -y 0 2=y 201+y 20 2x 20y 20+1-y 20 2 =y 201-y 20 1+y 200≤y 20≤1 设y 20=t 0≤t ≤1 ,则|MP |2=g t =t 1-t 1+t =-t +2-21+t =3-t +1+2t +1≤3-22(由基本不等式求得).当且仅当t +1=2t +1,即t =2-1时等号成立.∵0<2-1<1.∴函数g t 在区间0,1 上有最大值3-22,最小值0.即MP 的最大值和最小值分别为MP |max =3-22=2-1, MP |min =0.。
浅谈换元法在解方程组中的巧用
令
( x - 2) ( x - 32) +
= u
②
5
①+ ②
( x - 2) ( x - 32) =
5
u +1
2
u - 1
③ ④
在形式上的联系 , 即
① - ②
( x - 1) ( x - 33) = u +1
5
5 5 ③ - ④
2
( u + 1) 5 - ( u - 1) 2 u + 2 u - 99 = 0 ,
Rt △A EF 中 , B E2 = AB ・ B F , 因为 B E = B C ,
2
<
x2 + y2
2
<
x2 + y2 < x. x + y
证明 在上图中 , 设 B C = a , AC = b ,
AB = c ;
所以 DB = B F.
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98 .
y
21 19 x - x 2 19 x - x 19 ( x + 1) + x + = = 19 . x +1 x +1 x +1
又由原方程变形得 xy ( x + y ) = 84 .
= xy + ( x + y ) = 19 . x + y = 12 , x + y = 7, xy = 7 ; x1 = 6 + y1 = 6 -
5 5
t = 49 ±20 6 ,
2019-2020学年人教版九年级上册人教版思维特训(三) 换元法在解方程中“四两拨千斤”(PDF版)
思维特训(三) 换元法在解方程中“四两拨千斤”方法点津 ·1．换元法是指在解决数学问题时，通过引入一个或几个新的变量代替原来的某些变量 (或代数式)，对新的变量求出结果之后，返代回去求原变量的结果的方法．．解方程时，把方程中的某些部分看成一个整体，用新字母代替(即换元)，从而把复 2杂方程化为简单方程，通过解简单方程，实现对方程的求解．典题精练 ·类型一 用换元法解一元二次方程1．下面是昊昊用换元法解方程 2(x ＋1)2＋3(x ＋1)(x －2)－2(x －2)2＝0 的解答过程，请 你判断是否正确．若有错误，请按这种思路求出正确答案．解：设 x ＋1＝m ，x －2＝n ，则原方程可化为 2m 2＋3mn －2n 2＝0，则 a ＝2，b ＝3n ，c ＝ －2n 2，m ＝3 n ± 9n 2－4×2（－2n 2） 3n±5n ＝ ， ∴ 2 2即 m ＝4n ，m ＝－n ， 1 2∴ x ＋1＝4(x －2)或 x ＋1＝－(x －2)，1 2∴ x ＝3，x ＝ . 1 2 类型二 用换元法解含有绝对值的一元二次方程2．阅读下面的例题，解方程 x 2－|x|－2＝0.解：原方程化为|x|2－|x|－2＝0.令 y ＝|x|，则化成 y 2－y －2＝0.解得 y ＝2，y ＝－1. 1 2当|x|＝2 时，x ＝±2；当|x|＝－1 时，不符合题意，舍去．∴ 原方程的解是 x ＝2，x ＝－2.1 2 请模仿上面的方法解方程：(1)x 2－2|x|＝0；(2)(x －1)2－5|x －1|－6＝0；(3)x 2－2x －4|x －1|＋5＝0.类型三 用换元法解一元高次方程3．阅读下面的例题： 解方程：x 4－7x 2＋12＝0.解：设 x 2＝y ，则 x 4＝y 2，原方程可化为 y 2－7y ＋12＝0，①解得 y ＝3，y ＝4. ∴ 1 2当 y ＝3 时，x 2＝3，x ＝± 3；当 y ＝4 时，x 2＝4，x ＝±2.∴ 原方程有四个根：x ＝ 3，x ＝－ 3，x ＝2，x ＝－2.1 2 3 4 以上方法叫换元法，它起到了降次的作用，体现了数学的转化思想，运用上述方法解答下列问题：(1)解方程：①(x 2＋x)2－4(x 2＋x)－12＝0；(x 2＋x －2)(x 2＋x －3)＝2. ②(2)已知 a ，b ，c 是 Rt △ABC 的三边长(c 为斜边长)，S △ABC ＝6，且 a ，b 满足(a 2＋b 2)2 －21(a 2＋b 2)－100＝0，试求 Rt △ABC 的周长．类型四 用换元法解可化为一元二次方程的分式方程或无理方程4．解方程时，把某个式子看成一个整体，用一个新的未知数去代替它，从而使方程得 到简化，这种方法叫换元法．先阅读下面的解题过程，再回答问题：例：解方程：2 x －3＝0.解：设 x ＝t(t ≥0)．3 2 3 2∴ ∴ 原方程化为 2t －3＝0，∴t ＝ ，而 t ＝ ＞0， 3 9 x ＝ ，∴x ＝ . 2 4请利用上面的方法，解出下面两个方程：(1)x ＋2 x －8＝0；(2)x ＋ x －4－6＝0.5．按照下面的步骤解方程： x ＋1 2x － ＝1. x ＋1xx x ＋1解：设 y ＝ ，则原方程可化为关于 y 的方程________． 请你将后面的过程补充完整．类型五 均值换元法6．阅读下面的范例，按要求解答问题． 3 2例：已知实数 a ，b ，c 满足 a ＋b ＋2c ＝1，a 2＋b 2＋6c ＋ ＝0，求 a ，b ，c 的值． 解：∵a ＋b ＋2c ＝1，∴a ＋b ＝1－2c. 设 a ＝1 －2c 2 ＋t ，b ＝ 1－2c －t.① 23 2 将①代入 a 2＋b 2＋6c ＋ ＝0，得 (1 －2c 2 ＋t)2＋( 1－2c －t)2＋6c ＋ ＝0， 3 2 2整理，得 t 2＋(c 2＋2c ＋1)＝0，即 t 2＋(c ＋1)2＝0，∴t ＝0，c ＝－1.3 2 3 2将 t ，c 的值代入①，可得 a ＝ ，b ＝ ， 3 2∴ a ＝b ＝ ，c ＝－1. m 2以上解法采用了“均值换元法”．一般地，若实数 x ，y 满足 x ＋y ＝m ，则可设 x ＝ ＋ m 2t ，y ＝ －t ，合理运用这种换元技巧，可顺利解决一些问题．现请你根据上述方法试解决下 面的问题：已知实数 a ，b ，c 满足 a ＋b ＋c ＝6，a 2＋b 2＋c 2＝12，求 a ，b ，c 的值．典题讲评与答案详析1 ．解：该解答有错误．正确解答如下：设x＋1＝m，x－2＝n，则原方程可化为 2m2＋3mn－2n2＝0，则a＝2，b＝3n，c＝－2n2，∴∴m＝－3n±9n2－4×2（－2n2）－3n±5n＝，2 ×2 41m ＝n，m ＝－2n，1 2 212∴∴x＋1＝(x－2)或x＋1＝－2(x－2)，x ＝－4，x ＝1.1 22 ．解：(1)原方程可化为|x|2－2|x|＝0.设|x|＝y，则y2－2y＝0.解得y ＝0，y ＝2.1当y＝0 时，|x|＝0，解得x＝0；当y＝2 时，|x|＝2，解得x＝±2.2∴原方程的解是x ＝0，x ＝－2，x ＝2.1 2 3(2)原方程可化为|x－1|2－5|x－1|－6＝0.令y＝|x－1|，原方程可化为y2－5y－6＝0.解得y ＝6，y ＝－1.1 2当|x－1|＝6 时，x－1＝±6，解得x ＝7，x ＝－5.1 2当|x－1|＝－1 时(舍去)．则原方程的解是x ＝7，x ＝－5.1 2(3)原方程可化为|x－1|2－4|x－1|＋4＝0.设|x－1|＝y，则y2－4y＋4＝0，解得y ＝y ＝2.1 2即|x－1|＝2，解得x ＝－1，x ＝3.1 2∴原方程的解是x ＝－1，x ＝3.1 23 ．解：(1)①设x2＋x＝y，则原方程可化为y2－4y－12＝0，解得y ＝6，y ＝－2.1 2由x2＋x＝6，得x ＝－3，x ＝2.1 2由x2＋x＝－2，得方程x2＋x＋2＝0，Δ＝1－4×2＝－7＜0，此时方程无实数根．∴②∴原方程的解为x ＝－3，x ＝2.1 2设x2＋x－3＝y，则x2＋x－2＝y＋1，原方程可化为(y＋1)·y＝2，即y2＋y－2＝0，解得y ＝－2，y ＝1.1 2当y＝－2 时，x2＋x－3＝－2，即x2＋x－1＝0，－1－ 52 5－1 2解得x ＝，x ＝；1 2当y＝1 时，x2＋x－3＝1，即x2＋x－4＝0，－1－172 －1＋17解得x ＝，x ＝.3 4 2原方程的解是 x ＝－1－ 5 ，x ＝ 5－1 2，x ＝ －1－ 17 ，x ＝ －1＋ 17 . ∴ 1 2 2 3 2 4 2 (2)设 a 2＋b 2＝x ，∴ 原方程可化为 x 2－21x －100＝0，解得 x ＝25，x ＝－4(不符合题意，舍去)． 1 2∵ a ，b ，c 是 Rt △ABC 的三边(c 为斜边)，S △ABC ＝6，∴a ，b ，c 均为正数， c 2＝a 2＋b 2＝25，ab ＝12，∴ ∴ ∴ a ＋b ＝ a 2＋b 2＋2ab ＝7，c ＝5，Rt △ABC 的周长为 a ＋b ＋c ＝7＋5＝12.4 ．解：(1)设 x ＝t ，则原方程转化为 t 2＋2t －8＝0，解得 t ＝2，t ＝－4， 1 2而 t ＝2＞0，t ＝－4＜0， 1 2∴ x ＝2，∴x ＝4.(2)设 x －4＝t (t ≥0)，原方程可化为 t 2＋t －2＝0，解得 t ＝1，t ＝－2， ∴ 1 2而 t ＝1＞0，t ＝－2＜0， 1 2∴ x －4＝1，∴x ＝5.x 1 y 5 ．解：设 y ＝ ，则原方程可化为关于 y 的方程 －2y ＝1. x ＋1两边同乘 y ，得 1－2y 2＝y ，1 2解得 y ＝－1，y ＝ . 1 2 1 2经检验，y ＝－1，y ＝ 是该方程的解． 1 2 x 1 2 当 y ＝－1 时，有－1＝ ，解得 x ＝－ . x ＋11 2经检验，x ＝－ 是该方程的解． 1 2 1 2 x 当 y ＝ ，有 ＝ ，解得 x ＝1. x ＋1经检验，x ＝1 是该方程的解．1 2 综上所述，原方程的解为 x ＝－ ，x ＝1. 1 26 ．解：∵a ＋b ＋c ＝6，∴ a ＋b ＝6－c . 设 a ＝6 ＋t ，b ＝ －c 2 6－c 2－t . ∵ a 2＋b 2＋c 2＝12，(6 ＋t )2＋( －c 2 6－c 2－t )2＋c 2＝12. ∴ 整理，得 3c 2－12c ＋4t 2＋12＝0. 配方，得 3(c －2)2＋4t 2＝0， ∴ ∴ ∴ c ＝2，t ＝0，a ＝2，b ＝2，a ＝b ＝c ＝2.。
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换元法在解方程中的应用
换元法在解方程中是一种常用的方法，特别是解特殊方程中经常能产生事半功倍的效果，下面介绍解特殊方程时应用换元法的几种常见的方法。
一、单个换元：
主要是根据方程的特点进行换元，换元后一般只留下单个未知数。
例1. 解方程
12121524
222x x x x x x -+-+=-+。
分析：方程的分母都含有x x 22-
故可设y x x =-22， 然后整理可得34402y y --=，
解得y y y x x 12223
22=-==-，，代入中， 求出方程的解，并检验。
例2. 解方程x x x x x x x 222211221
196++++++++=。
分析：方程变形为 x x x x x x x x 2222211111
196++++++++++=()()， 即x x x x x x 22221111136
+++++++=， 方程可通过互为倒数关系换元：
设y x x x =+++2211
，然后整理得613602y y -+=， 可解得y y 122332
==，， 代入y x x x =+++2211
，求方程的解，并检验。
二、部分换元：
部分换元之后，一般方程还剩下两个未知数
例3. 解方程2211022x x x x x --+-+=
分析：方程变形： 31210222x x x x x x -+--+-=()，
方程可进行部分换元：
设y x x =
+-21，
方程整理可得32022x xy y --=，
可解得y x y x =-=3，， 再代入y x x =
+-21，求出方程的解并检验。
例4. 解方程
11181281138
0222x x x x x x +-++-+--=。
分析：设y x x =+-228 方程整理可得y xy x 224450--=，
解得y x y x =-=59，
再代入y x x =+-228中，
求出方程的解并检验。
三、系数对称方程换元
例5. 解方程：6538560432x x x x +-++=
分析：方程665543x x x 和，和的系数相等，上面方程的系数是对称的，可以通过变形后，换元：
变形：653856022x x x x +-+
+=， 61515002()()x x x x
+++-=， 设x x
y +=1， 得655002y y +-=，可解出方程。
四、高次方程的平均值换元法
例6. 解方程
()()()()x x x x -+++=214719。
分析：变形()()x x x x 22
51454190+-++-=， 设y x x x x x x =+-+++=+-222514542
550， ()()y y y y -+-=⇒=⇒=99190100102±，
把y y x x ==+-±代入10552中，可解出方程。
例7. 解方程()()()6734162x x x +++=。
分析：方程变形
()()()676866722x x x +++=
设y x x x x =+++++++()()()()676768664
=+67x
y y y y y y 24211727203()()+-=⇒--=⇒=±。
把y y x ==+±代入367中，可求解。
例8. 解方程()()x x +++=318244。
分析：设y x x x =+++=+312
2， 方程变为()()y y y y y ++-=⇒+-=⇒=-118264001044422（舍去）或y 24=
将y y x 242==+代入中，可求解。
五、多元换元
例9. 解方程
()()()()()x x x x x x x x x x 22222222323221321451-++-+--+--=-+。
分析：观察发现：
x x x x x x 22232321451-++--=-+。
设x x u x x v 2232321-+=--=，，
u uv v u v u v u 22200++=+⇒=⇒=()·，
v x x =⇒-+=03202
或32102113
121234x x x x x x --=⇒===-
=，，，。
六、数字换元
例10. 解方程 x x x 32233310+++-=。
分析：这是三次方程，且系数中含有无理数，不易求解，若反过来看把x 看作已知数，把3设为t ，则方程就变为关于t 的一元二次方程。
解：令3=t ，
原方程变为xt x t x 2232110+++-=()， 解得t x t x x x
=-=-++112或。
则31312=-=-++x x x x
，。
∴x 113=-， x 23412
1312,()=--±。