2018版高中数学第二章数列2_1_1数列学案新人教B版必修5

2．1.1 数 列

学习目标 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．

知识点一 数列及其有关概念

思考1 数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？

思考2 数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？

梳理 (1)按照______________排列起来的__________称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的____．数列中的每一项都和它的序号有关，各项依次叫做这个数列的________________，__________，…，__________，….

(2)数列的一般形式可以写成________________________________，简记为____________． (3)按项数分类，项数有限的数列叫做________数列，项数无限的数列叫做________数列． (4)按项的大小变化分类，从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做________________；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做____________；各项都相等的数列叫做__________．

知识点二 通项公式

思考1 数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？

思考2 a n ＝(－1)n ＋1

与a n ＝sin ? ??

??－π2＋n π，n ∈N ＋是否表示同一个数列？

梳理如果数列的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个函数式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．不是所有数列都能写出通项公式，若数列有通项公式，通项公式表达式不一定唯一．

知识点三数列与函数的关系

思考数列{a n}用表格形式给出如下：

n 12345…

a n11

2

1

3

1

4

1

5

…

在平面直角坐标系中描出点(n，a n)，n＝1,2,3,4,5.这些点都在哪个函数图象上？

梳理如图，数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．

不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．

因此，数列除了用通项公式表示，也可以用图象、列表等方法来表示．

类型一 由数列的前几项写出数列的一个通项公式

例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)1，－12，13，－14；(2)12，2，92，8，25

2；

(3)9,99,999,9 999；(4)2,0,2,0.

反思与感悟 要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将a n 表示为n 的函数关系．

跟踪训练1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)－11×2，12×3，－13×4，1

4×5；

(2)22

－12，32

－13，42

－14，52

－15；

(3)7,77,777,7 777.

类型二数列通项公式的应用命题角度1 考查对应关系

例2 已知数列{a n}的通项公式a n＝

－1n n＋1

2n－12n＋1

，n∈N＋.

(1)写出它的第10项；

(2)判断2

33

是不是该数列中的项．

引申探究

对于例2中的{a n}．

(1)求a n＋1；(2)求a2n.

反思与感悟在通项公式a n＝f(n)中，a n相当于y，n相当于x.求数列的某一项，相当于已知x求y，判断某数是不是该数列的项，相当于已知y求x，若求出的x是正整数，则y是该数列的项，否则不是．

跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n

n ＋2(n ∈N ＋)，那么1

120

是这个数列的第______项．

命题角度2 考查单调性、最值 例3 已知函数f (x )＝x －1

x

，设a n ＝f (n )(n ∈N ＋)． (1)求证：a n <1；

(2){a n }是递增还是递减数列？为什么？

反思与感悟 数列是一种特殊的函数，可以用函数的知识求解数列中的最值，但要注意它的定义域是N ＋或它的子集{1,2，…，n }这一约束条件．

跟踪训练3 数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)·(1011)n

(n ∈N ＋)，写出数列的第7项，第8项，

第10项，并求出数列中的最大项．

1．下列叙述正确的是( )

A．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B．数列0,1,2,3，…可以表示为{n} C．数列0,1,0,1，…是常数列

D．数列{n

n＋1

}是递增数列

2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )

A．a n＝n B．a n＝n＋1

C．a n＝n＋2 D．a n＝2n

3．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：

(1)1，－3,5，－7,9，…；

(2)0.8,0.88,0.888，…；

(3)0,1,0,1，….

4．已知数列{a n}的通项为a n＝－2n2＋29n＋3，求数列{a n}中的最大项．

1．数列的概念的理解

(1)数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在定义域和值域上．数列可以看成是以正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数，即自变量的取值必须是正整数，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．

(2)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.

(3)与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：

①确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．

②可重复性：数列中的数可以重复．

③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．2．数列的通项公式

(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集{1,2，…，n}为定义域的函数的表达式．

(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1,2,3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是不是某数列中的项，如果是的话，是第几项．

(3)像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．

(4)有的数列的通项公式，形式上不一定唯一．

(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列的通项公式并不唯一．

答案精析

问题导学 知识点一

思考1 不是．顺序不一样．

思考2 数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性．

梳理 (1)一定次序 一列数 项 第1项(或首项) 第2项 第几项 (2)a 1，a 2，a 3，…，a n ，… {a n } (3)有穷 无穷

(4)递增数列 递减数列 常数列 知识点二

思考1 100.由前四项与它们的序号相同，猜第n 项a n ＝n ，从而第100项应为100. 思考2 是，它们都表示数列1，－1,1， －1，…. 知识点三 思考

这些点都在y ＝1

x

的图象上．

题型探究 类型一

例1 解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负， 所以它的一个通项公式为a n ＝

－1

n ＋1

n

，n ∈N ＋.

(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，

所以它的一个通项公式为a n ＝n 2

2，

n ∈N ＋.

(3)各项加1后，变为10,100,1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n

，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n

－1，n ∈N ＋.

(4)这个数列的前4项构成一个奇数项是2，偶数项是0的数列，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)

n ＋1

＋1，n ∈N ＋.

跟踪训练1 解 (1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以，它的一个通项公式为a n ＝－1n

n ×n ＋1

，

n ∈N ＋.

(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所

以，它的一个通项公式为a n ＝n ＋12－1

n ＋1

，n ∈N ＋.

(3)这个数列的前4项可以变为79×9，79×99，79×999，7

9×9 999，

即79×(10－1)，7

9×(100－1)， 79×(1 000－1)，7

9×(10 000－1)， 即79×(10－1)，79×(102

－1)， 79×(103－1)，79

×(104

－1)， 所以它的一个通项公式为a n ＝79×(10n

－1)，n ∈N ＋.

类型二 命题角度1

例2 解 (1)a 10＝－110

×1119×21＝11

399.

(2)令

n ＋1

2n －1

2n ＋1＝2

33

，

化简得8n 2

－33n －35＝0， 解得n ＝5(n ＝－7

8舍去)．

当n ＝5时，a 5＝－233≠2

33.

所以2

33不是该数列中的项．

引申探究

解 (1)a n ＋1＝

－1n ＋1

[n ＋1＋1]

[2n ＋1－1][2n ＋1＋1]

＝

－1n ＋1

n ＋2

2n ＋1

2n ＋3

.

(2)a 2n ＝－12n

2n ＋1

[2×2n －1][2×2n ＋1]

＝

2n ＋1

4n －14n ＋1

.

跟踪训练2 10 命题角度2

例3 (1)证明 因为a n ＝n －1n ＝1－1

n

，又因为n ∈N ＋， 所以1≥1n

>0.

因此a n <1.

(2)解 {a n }是递增数列． 因为a n ＋1－a n ＝(1－1n ＋1)－(1－1

n

) ＝

1

n n ＋1

，

又因为n ＋1>n ≥1， 所以a n ＋1－a n >0， 即a n ＋1>a n ，

所以{a n }是递增数列． 跟踪训练3

解 ∵a n ＝(n ＋1)·(1011)n

，

∴a 7＝8·(1011

)7

，

a 8＝9·(1011)8，a 10＝11·(1011

)10，

∴{a n }中每一项都是正数． 令

a n

a n －1

≥1(n ≥2)，

即

n ＋1·

1011

n

n ·

1011

n －1

≥1，

整理得

n ＋1n ≥11

10

，解得n ≤10， 即a 1

a n ＋1≥1，即n ＋1·

10

11n

n ＋2·

10

11

n ＋1

≥1，

整理得

n ＋1n ＋2≥10

11

， 解得n ≥9，

∴a 9＝a 10>a 11>a 12>…，

∴从第1项到第9项递增，从第10项起递减，即数列{a n }先递增，后递减． ∴可知a 9＝a 10＝10

10

119最大．

当堂训练 1．D 2.B

3．解 (1)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，考虑(－1)n ＋1

具有转换符

号的作用，所以数列的一个通项公式为a n ＝(－1)

n ＋1

(2n －1)，n ∈N ＋.

(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，8

9

(1－0.001)，…，所以该数列的一个通项公式为

a n ＝8

9? ??

??1－

110n . (3)a n ＝???

??

n 为奇数1

n 为偶数

或a n ＝

1＋－1

n

2

(n ∈N ＋)

或a n ＝1＋cos n π2(n ∈N ＋)．

4．a 7＝108