2018版高中数学第二章数列2_1_1数列学案新人教B版必修5
2．1.1 数 列学习目标 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.对于比较简单的数列，会根据其前几项写出它的一个通项公式．知识点一 数列及其有关概念思考1 数列1,2,3与数列3,2,1是同一个数列吗？思考2 数列的记法和集合有些相似，那么数列与集合的区别是什么？梳理 (1)按照______________排列起来的__________称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的____．数列中的每一项都和它的序号有关，各项依次叫做这个数列的________________，__________，…，__________，….(2)数列的一般形式可以写成________________________________，简记为____________． (3)按项数分类，项数有限的数列叫做________数列，项数无限的数列叫做________数列． (4)按项的大小变化分类，从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列叫做________________；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列叫做____________；各项都相等的数列叫做__________．知识点二 通项公式思考1 数列1,2,3,4，…的第100项是多少？你是如何猜的？思考2 a n ＝(－1)n ＋1与a n ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋n π，n ∈N ＋是否表示同一个数列？梳理如果数列的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个函数式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．不是所有数列都能写出通项公式，若数列有通项公式，通项公式表达式不一定唯一．知识点三数列与函数的关系思考数列{a n}用表格形式给出如下：n 12345…a n112131415…在平面直角坐标系中描出点(n，a n)，n＝1,2,3,4,5.这些点都在哪个函数图象上？梳理如图，数列可以看成以正整数集N＋(或它的有限子集{1,2，…，n})为定义域的函数a n＝f(n)当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．不同之处是定义域，数列中的n必须是从1开始且连续的正整数，函数的定义域可以是任意非空数集．因此，数列除了用通项公式表示，也可以用图象、列表等方法来表示．类型一 由数列的前几项写出数列的一个通项公式例1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)1，－12，13，－14；(2)12，2，92，8，252；(3)9,99,999,9 999；(4)2,0,2,0.反思与感悟 要由数列的前几项写出数列的一个通项公式，只需观察分析数列中项的构成规律，看哪些部分不随序号的变化而变化，哪些部分随序号的变化而变化，确定变化部分随序号变化的规律，继而将a n 表示为n 的函数关系．跟踪训练1 写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数： (1)－11×2，12×3，－13×4，14×5；(2)22－12，32－13，42－14，52－15；(3)7,77,777,7 777.类型二数列通项公式的应用命题角度1 考查对应关系例2 已知数列{a n}的通项公式a n＝－1n n＋12n－12n＋1，n∈N＋.(1)写出它的第10项；(2)判断233是不是该数列中的项．引申探究对于例2中的{a n}．(1)求a n＋1；(2)求a2n.反思与感悟在通项公式a n＝f(n)中，a n相当于y，n相当于x.求数列的某一项，相当于已知x求y，判断某数是不是该数列的项，相当于已知y求x，若求出的x是正整数，则y是该数列的项，否则不是．跟踪训练2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1nn ＋2(n ∈N ＋)，那么1120是这个数列的第______项．命题角度2 考查单调性、最值 例3 已知函数f (x )＝x －1x，设a n ＝f (n )(n ∈N ＋)． (1)求证：a n <1；(2){a n }是递增还是递减数列？为什么？反思与感悟 数列是一种特殊的函数，可以用函数的知识求解数列中的最值，但要注意它的定义域是N ＋或它的子集{1,2，…，n }这一约束条件．跟踪训练3 数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)·(1011)n(n ∈N ＋)，写出数列的第7项，第8项，第10项，并求出数列中的最大项．1．下列叙述正确的是( )A．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B．数列0,1,2,3，…可以表示为{n} C．数列0,1,0,1，…是常数列D．数列{nn＋1}是递增数列2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( )A．a n＝n B．a n＝n＋1C．a n＝n＋2 D．a n＝2n3．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式：(1)1，－3,5，－7,9，…；(2)0.8,0.88,0.888，…；(3)0,1,0,1，….4．已知数列{a n}的通项为a n＝－2n2＋29n＋3，求数列{a n}中的最大项．1．数列的概念的理解(1)数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在定义域和值域上．数列可以看成是以正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数，即自变量的取值必须是正整数，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．(2)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(3)与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：①确定性：一个数在不在数列中，即一个数是不是数列中的项是确定的．②可重复性：数列中的数可以重复．③有序性：一个数列不仅与构成数列的“数”有关，而且与这些数的排列次序也有关．2．数列的通项公式(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集{1,2，…，n}为定义域的函数的表达式．(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1,2,3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是不是某数列中的项，如果是的话，是第几项．(3)像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．(4)有的数列的通项公式，形式上不一定唯一．(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列的通项公式并不唯一．答案精析问题导学 知识点一思考1 不是．顺序不一样．思考2 数列中的数讲究顺序，集合中的元素具有无序性；数列中可以出现相同的数，集合中的元素具有互异性．梳理 (1)一定次序 一列数 项 第1项(或首项) 第2项 第几项 (2)a 1，a 2，a 3，…，a n ，… {a n } (3)有穷 无穷(4)递增数列 递减数列 常数列 知识点二思考1 100.由前四项与它们的序号相同，猜第n 项a n ＝n ，从而第100项应为100. 思考2 是，它们都表示数列1，－1,1， －1，…. 知识点三 思考这些点都在y ＝1x的图象上．题型探究 类型一例1 解 (1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负， 所以它的一个通项公式为a n ＝－1n ＋1n，n ∈N ＋.(2)数列的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：12，42，92，162，252，…，所以它的一个通项公式为a n ＝n 22，n ∈N ＋.(3)各项加1后，变为10,100,1 000，10 000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n－1，n ∈N ＋.(4)这个数列的前4项构成一个奇数项是2，偶数项是0的数列，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1＋1，n ∈N ＋.跟踪训练1 解 (1)这个数列前4项的分母都是序号数乘以比序号数大1的数，并且奇数项为负，偶数项为正，所以，它的一个通项公式为a n ＝－1nn ×n ＋1，n ∈N ＋.(2)这个数列的前4项的分母都是比序号大1的数，分子都是比序号大1的数的平方减1，所以，它的一个通项公式为a n ＝n ＋12－1n ＋1，n ∈N ＋.(3)这个数列的前4项可以变为79×9，79×99，79×999，79×9 999，即79×(10－1)，79×(100－1)， 79×(1 000－1)，79×(10 000－1)， 即79×(10－1)，79×(102－1)， 79×(103－1)，79×(104－1)， 所以它的一个通项公式为a n ＝79×(10n－1)，n ∈N ＋.类型二 命题角度1例2 解 (1)a 10＝－110×1119×21＝11399.(2)令n ＋12n －12n ＋1＝233，化简得8n 2－33n －35＝0， 解得n ＝5(n ＝－78舍去)．当n ＝5时，a 5＝－233≠233.所以233不是该数列中的项．引申探究解 (1)a n ＋1＝－1n ＋1[n ＋1＋1][2n ＋1－1][2n ＋1＋1]＝－1n ＋1n ＋22n ＋12n ＋3.(2)a 2n ＝－12n2n ＋1[2×2n －1][2×2n ＋1]＝2n ＋14n －14n ＋1.跟踪训练2 10 命题角度2例3 (1)证明 因为a n ＝n －1n ＝1－1n，又因为n ∈N ＋， 所以1≥1n>0.因此a n <1.(2)解 {a n }是递增数列． 因为a n ＋1－a n ＝(1－1n ＋1)－(1－1n) ＝1n n ＋1，又因为n ＋1>n ≥1， 所以a n ＋1－a n >0， 即a n ＋1>a n ，所以{a n }是递增数列． 跟踪训练3解 ∵a n ＝(n ＋1)·(1011)n，∴a 7＝8·(1011)7，a 8＝9·(1011)8，a 10＝11·(1011)10，∴{a n }中每一项都是正数． 令a na n －1≥1(n ≥2)，百度文库 - 让每个人平等地提升自我 11 即n ＋1·1011n n ·1011n －1≥1，整理得n ＋1n ≥1110，解得n ≤10， 即a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10.令a n a n ＋1≥1，即n ＋1·1011n n ＋2·1011n ＋1≥1， 整理得n ＋1n ＋2≥1011， 解得n ≥9，∴a 9＝a 10>a 11>a 12>…，∴从第1项到第9项递增，从第10项起递减，即数列{a n }先递增，后递减．∴可知a 9＝a 10＝1010119最大． 当堂训练1．D 2.B3．解 (1)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，考虑(－1)n ＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)，n ∈N ＋.(2)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，所以该数列的一个通项公式为a n ＝89⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110n . (3)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 0 n 为奇数1 n 为偶数或a n ＝1＋－1n 2 (n ∈N ＋)或a n ＝1＋cos n π2(n ∈N ＋)． 4．a 7＝108。
2018版高中数学人教B版必修5课件：2.1.1 数列
3.数列的分类
(1)按数列的项数分为有穷数列和无穷数列. (2)按照项与项之间的大小关系,可以分为:递增数列、递减数列和常数列.
数列单调性的判断要始终把握“相邻项作比较” , 这一点与函数不同 . 一
般采用作差法、作商法或图象法来判断 . 类似于函数单调性的应用 , 由数 列的单调性可求数列中的最大项或最小项. 4.数列的周期性:在数列{an}中,如果存在正整数T,使得am+T=am,对于任意 的正整数m 均成立 , 则称数列 {an} 为周期数列 , 其中T叫做数列{an}的周期. 数列周期性的实质是每隔一定的项数,数列的项重复出现.
三、核心素养
1.多结合实例去理解数列的有关概念,多角度比较数列与函数之间的异
同,自觉地运用函数的思想方法去思考和解决数列问题,培养学生的直观 想象与数学运算素养. 2.采用对比学习,学习等差数列后,再学等比数列时,从等差数列研究过 的问题入手,再探求出等比数列的相应问题,两相对照加深对两种特殊数 列本质的理解. 3.要重视数学思想方法的学习,通过函数与方程思想、分类讨论思想、 化归思想的理解与应用,培养数学运算的数学素养与技能.
(4)一个数列的通项公式不一定是唯一的 ,对某些数列,通项公式可以写成一个式子,也 可 以 用 分 段 式 表 达 . 如 数 列 -1,1,-1,1,-1,1, … 的 通 项 公式 可 以 写 为 an=(-1) , 或 an=-sin
1, n为奇数 2n 1 π ,也可写为:an= . 1, n 为偶数 2
n
求数列的通项公式时 , 仅由前几项归纳出的数列通项公式不唯一 , 如数列
2,4,8,…通项公式可写为 :an=2n, 也可写为 an=n2-n+2.公式不同, 由公式写 出的后续项也就不同 , 因此 , 通项公式的归纳要注意观察数列中各项与其 序号的变化关系,在所给数列的前几项中,看看哪些部分是变化的,哪些是 不变的,再探索各项中变化部分与序号间的关系,由此归纳出规律,写出通 项公式.
高中数学人教B版必修五第2章《数列》word学案
本章回顾等差数列{a n } 等比数列{a n }定义 a n ＋1－a n ＝d (d 为常数) 等价形式a n ＋1＋a n －1＝2a n a n ＋1a n＝q (q ≠0)(q 为常数) 等价形式a n ＋1·a n －1＝a 2n (a n ≠0)通项公式 a n ＝a 1＋(n －1)d 变形：a n ＝a m ＋(n －m )da n ＝a 1·q n －1变形：a n ＝a m ·q n －m 中项 a ，A ，b 成等差数列⇔A ＝a ＋b2(A 称为a ，b 的等差中项) a ，G ，b 成等比数列⇔G ＝±ab (ab >0) (G 称为a ，b 的等比中项)前n 项和公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2q ＝1时，S n ＝na 1q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q基本性质若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋a q 若m ＋n ＝p ＋q ，则a m ·a n ＝a p ·a q若m ＋n ＝2p ，则a m ＋a n ＝2a p 若m ＋n ＝2p ，则a m ·a n ＝a 2p{a n }是常数列⇔d ＝0 {a n }是常数列⇔q ＝1{a n }递增⇔d >0 {a n }递增⇔⎩⎨⎧a 1>0q >1或⎩⎨⎧ a 1<00<q <1{a n }递减⇔d <0 {a n }递减⇔⎩⎨⎧a 1>00<q <1或⎩⎨⎧a 1<0q >1S m 、S 2m －S m 、S 3m －S 2m 成等差数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 成等比数列(q ≠－1或m 为奇数)若项的下标成等差数列，则相应的项成等差数列 若项的下标成等差数列，则相应的项成等比数列若{a n }，{b n }成等差数列，则{a n ＋b n }，{a n －b n }成等差数列{a n }，{b n }成等比数列，则⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ，⎩⎨⎧⎭⎬⎫b n a n ，{a n ·b n }成等比数列一、取倒数法和取对数法求通项例1 已知数列{a n }满足a n ＋1＝2n ＋1·a na n ＋2n 1，a 1＝2.求a n . 解 对a n ＋1＝2n ＋1a na n ＋2n ＋1两边取倒数得： 1a n ＋1＝a n ＋2n ＋12n ＋1a n，∴1a n ＋1＝1a n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1. 令b n ＝1a n，则b n ＋1＝b n ＋⎝⎛⎭⎫12n ＋1. ∴b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝⎝⎛⎭⎫121＋⎝⎛⎭⎫122＋⎝⎛⎭⎫123＋…＋⎝⎛⎭⎫12n ＝1－⎝⎛⎭⎫12n.∴a n ＝1b n ＝11－⎝⎛⎭⎫12n ＝2n2n －1.例2 在数列{a n }中，a n ＋1＝3a 2n ，a 1＝3.求a n .解 由已知，a n >0，对a n ＋1＝3a 2n 两边取常用对数得：lg a n ＋1＝2lg a n ＋lg 3. 令b n ＝lg a n .则b n ＋1＝2b n ＋lg 3. ∴b n ＋1＋lg 3＝2(b n ＋lg 3)． ∴{b n ＋lg 3}是等比数列， 首项是b 1＋lg 3＝lg 3＋lg 3＝2lg 3. ∴b n ＋lg 3＝2n －1·(b 1＋lg 3)＝2n lg 3. ∴b n ＝(2n －1)lg 3＝lg 32n －1＝lg a n .∴a n ＝32n －1.二、运用恒等变形求数列前n 项和例3 已知数列{a n }的各项均为正数，S n 为其前n 项和，对于任意的n ∈N *满足2S n ＝3a n －3.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设数列{b n }的通项公式是b n ＝1log 3a n ·log 3a n ＋1，前n 项和为T n ，求证：对于任意的正数n ，总有T n <1.(1)解 由已知得⎩⎪⎨⎪⎧2S n ＝3a n －3，2S n －1＝3a n －1－3(n ≥2)．故2(S n －S n －1)＝2a n ＝3a n －3a n －1， 即a n ＝3a n －1 (n ≥2)．故数列{a n }为等比数列，且q ＝3. 又当n ＝1时，2a 1＝3a 1－3，∴a 1＝3.∴a n ＝3n .(2)证明 b n ＝1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1.∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝1－1n ＋1<1.例4 已知数列{a n }的前n 项和S n ，对一切正整数n ，点(n ，S n )都在函数f (x )＝2x ＋2－4的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝a n ·log 2a n ，求数列{b n }的前n 项和T n .解 (1)由题意，S n ＝2n ＋2－4，n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋2－2n ＋1＝2n ＋1， 当n ＝1时，a 1＝S 1＝23－4＝4，也适合上式， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n ＋1，n ∈N *. (2)∵b n ＝a n log 2a n ＝(n ＋1)·2n ＋1，∴T n ＝2·22＋3·23＋4·24＋…＋n ·2n ＋(n ＋1)·2n ＋1，① 2T n ＝2·23＋3·24＋4·25＋…＋n ·2n ＋1＋ (n ＋1)·2n ＋2.② ②－①得，T n ＝－23－23－24－25－…－2n ＋1＋(n ＋1)·2n ＋2 ＝－23－23(1－2n －1)1－2＋(n ＋1)·2n ＋2＝－23－23(2n －1－1)＋(n ＋1)·2n ＋2 ＝(n ＋1)·2n ＋2－23·2n －1＝(n ＋1)·2n ＋2－2n ＋2＝n ·2n ＋2.三、运用方程(组)的思想解数列问题例5 等差数列{a n }中，a 4＝10，且a 3，a 6，a 10成等比数列，求数列{a n }前20项的和S 20.解 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 4－d ＝10－d ，a 6＝a 4＋2d ＝10＋2d ， a 10＝a 4＋6d ＝10＋6d .由a 3，a 6，a 10成等比数列得a 3a 10＝a 26， 即(10－d )(10＋6d )＝(10＋2d )2，整理得10d 2－10d ＝0，解得d ＝0或d ＝1. 当d ＝0时，S 20＝20a 4＝200.当d ＝1时，a 1＝a 4－3d ＝10－3×1＝7.∴S 20＝20a 1＋20×192d ＝20×7＋190＝330.例6 已知数列{a n }和{b n }满足a 1＝m ，a n ＋1＝λa n ＋n ，b n ＝a n －2n 3＋49.(1)当m ＝1时，求证：对于任意的实数λ，数列{a n }一定不是等差数列；(2)当λ＝－12时，试判断数列{b n }是否为等比数列．(1)证明 当m ＝1时，a 1＝1，a 2＝λ＋1，a 3＝λ(λ＋1)＋2＝λ2＋λ＋2. 假设数列{a n }是等差数列，由a 1＋a 3＝2a 2， 得λ2＋λ＋3＝2(λ＋1)，即λ2－λ＋1＝0，Δ＝－3<0，∴方程无实根． 故对于任意的实数λ，数列{a n }一定不是等差数列．(2)解 当λ＝－12时，a n ＋1＝－12a n ＋n ，b n ＝a n －2n 3＋49.b n ＋1＝a n ＋1－2(n ＋1)3＋49＝⎝⎛⎭⎫－12a n ＋n －2(n ＋1)3＋49＝－12a n ＋n 3－29＝－12⎝⎛⎭⎫a n －2n 3＋49＝－12b n . 又b 1＝m －23＋49＝m －29，∴当m ≠29时，数列{b n }是以m －29为首项，－12为公比的等比数列；当m ＝29时，数列{b n }不是等比数列．四、运用函数的思想解数列问题例7 设b n ＝(1＋r )q n －1，r ＝219.2－1，q ＝12，求数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫log 2b n ＋1log 2b n 的最大项和最小项的值．解 log 2b n ＋1log 2b n ＝log 2[(1＋r )q n ]log 2[(1＋r )q n －1]＝log 2(1＋r )＋n log 2qlog 2(1＋r )＋(n －1)log 2q ＝1＋1n －20.2.记c n ＝log 2b n ＋1log 2b n，则c n ＝1＋1n －20.2.作出函数y ＝1x －20.2＋1的图象．易知：c 20<c 19<…<c 1<1，c 21>c 22>…>1. ∴最高点为(21，c 21)，最低点(20，c 20)．∴最大项为c 21，c 21＝2.25，最小项为c 20，c 20＝－4.五、构建数列模型解实际应用题例8 甲、乙两大超市同时开业，第一年的全年销售额为a 万元，由于经营方式不同，甲超市前n 年的总销售额为a2(n 2－n ＋2)万元，乙超市第n 年的销售额比前一年销售额多a ⎝⎛⎭⎫23n －1万元(1)求甲、乙两超市第n 年销售额的表达式；(2)若其中某一超市的年销售额不足另一超市的年销售额的50%，则该超市将被另一超市收购，判断哪一超市有可能被收购？如果有这种情况，将会出现在第几年？解 (1)设甲、乙两超市第n 年的销售额分别为a n ，b n . 则有：a 1＝a ，n ≥2时：a n ＝a 2(n 2－n ＋2)－a2[(n －1)2－(n －1)＋2]＝(n －1)a .∴a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ， n ＝1，(n －1)a ， n ≥2.b n ＝b 1＋(b 2－b 1)＋(b 3－b 2)＋…＋(b n －b n －1) ＝a ＋a ⎝⎛⎭⎫23＋a ⎝⎛⎭⎫232＋…＋a ⎝⎛⎭⎫23n －1 ＝⎣⎡⎦⎤3－2⎝⎛⎭⎫23n －1a ，(n ∈N *)． (2)易知b n <3a ，所以乙将被甲超市收购， 由b n <12a n 得：⎣⎡⎦⎤3－2⎝⎛⎭⎫23n －1a <12(n －1)a . ∴n ＋4⎝⎛⎭⎫23n －1>7，∴n ≥7.即第7年乙超市的年销售额不足甲超市的一半，乙超市将被甲超市收购．例9 某油料库已储油料a t ，计划正式运营后的第一年进油量为已储油量的25%，以后每年的进油量为上一年底储油量的25%，且每年运出b t ，设a n 为正式运营第n 年底的储油量．(1)求a n 的表达式并加以证明；(2)为应对突发事件，该油库年底储油量不得少于23a t ，如果b ＝724a t ，该油库能否长期按计划运营？如果可以请加以证明，如果不行请说明理由．(取lg 2＝0.30，lg 3＝0.48)．解 (1)依题意油库原有储油量为a t ，则a 1＝(1＋25%)a －b ＝54a －b ，a n ＝(1＋25%)a n －1－b ＝54a n －1－b (n ≥2，n ∈N *)，令a n －x ＝54(a n －1－x )，则a n ＝54a n －1－x4，于是b ＝x 4，即x ＝4b ，∴a n －4b ＝54(a n －1－4b )，∴数列{a n －4b }是公比为54，首项为54a －5b 的等比数列．a n －4b ＝(a 1－4b )⎝⎛⎭⎫54n －1＝⎝⎛⎭⎫54a －b －4b ⎝⎛⎭⎫54n －1 ＝⎝⎛⎭⎫54na －5b ·⎝⎛⎭⎫54n －1， ∴a n ＝⎝⎛⎭⎫54na ＋4b －5b ⎝⎛⎭⎫54n －1 ＝⎝⎛⎭⎫54na －4b ⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫54n －1. (2)若b ＝724a t 时，该油库第n 年年底储油量不少于23a t ，即⎝⎛⎭⎫54n a －⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫54n －1×4×724a ≥23a ，即⎝⎛⎭⎫54n ≤3，∴n ≤log 54 3＝lg 31－3lg 2＝0.481－3×0.3＝4.8，可见该油库只能在5年内运营，因此不能长期运营．1．等差数列性质多，三点共线可求和例1 在等差数列{a n }中，S 10＝20，S 50＝200，求S 2 010的值．解 由S n ＝An 2＋Bn ，知S nn＝An ＋B ，所以点⎝⎛⎭⎫n ，S n n 在直线y ＝Ax ＋B 上，于是点⎝⎛⎭⎫10，S 1010，⎝⎛⎭⎫50，S 5050，⎝⎛⎭⎫2 010，S 2 0102 010三点共线，∴S 5050－S 101050－10＝S 2 0102 010－S 50502 010－50成立． 把S 10＝20，S 50＝200代入上式，解得：S 2 010＝205 020.2．数列图象莫轻视，大题小作显神奇例2 设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1>0，S 12>0，S 13<0，指出S 1，S 2，…，S 12中哪一个值最大，并说明理由？解 ∵{a n }是等差数列，∴S n ＝d2n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n ， ∵S 12>0，S 13<0.∴a 13＝S 13－S 12<0， ∵a 1>0，a 13<0，∴d<0.∴点(n ，S n )分布在开口方向向下的抛物线y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的图象上．设二次函数y ＝d2x 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2x 的对称轴为n 0，则2n 0是二次函数的一个零点． ∵S 12>0，S 13<0， ∴12<2n 0<13，∴6<n 0<6.5.易知n ＝6对应的A 点(6，S 6)与对称轴的距离比n ＝7对应的B 点(7，S 7)与对称轴的距离更小．∴A 点为最高点，S 6最大．。
2018版高中数学人教B版必修五学案：第二章 章末复习提
1．数列的概念及表示方法(1)定义：按照一定顺序排列着的一列数．(2)表示方法：列表法、图象法、通项公式法和递推公式法．(3)分类：按项数有限还是无限分为有穷数列和无穷数列；按项与项之间的大小关系可分为递增数列、递减数列、摆动数列和常数列． 2．求数列的通项(1)数列前n 项和S n 与通项a n 的关系：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.(2)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用累加法求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)． (3)当已知数列{a n }中，满足a n ＋1a n＝f (n )，且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用累积法求数列的通项a n ，常利用恒等式a n ＝a 1·a 2a 1·a 3a 2·…·a na n －1.(4)构造新数列法：对由递推公式给出的数列，经过变形后化归成等差数列或等比数列来求通项．(5)归纳、猜想、证明法．3．等差数列、等比数列的判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＋1a n ＝q (q 为常数，q ≠0)⇔{a n }是等比数列．(2)中项公式法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2⇔{a n }是等差数列；a 2n ＋1＝a n ·a n ＋2(a n ≠0)⇔{a n }是等比数列． (3)通项公式法：a n ＝an ＋b (a ，b 是常数)⇔{a n }是等差数列；a n ＝c ·q n (c ，q 为非零常数)⇔{a n }是等比数列．(4)前n 项和公式法：S n ＝an 2＋bn (a ，b 为常数，n ∈N ＋)⇔{a n }是等差数列；S n ＝aq n －a (a ，q 为常数，且a ≠0，q ≠0，q ≠1，n ∈N ＋)⇔{a n }是等比数列． 4．求数列的前n 项和的基本方法(1)公式法：利用等差数列或等比数列前n 项和S n 公式； (2)分组求和：把一个数列分成几个可以直接求和的数列．(3)裂项相消法：有时把一个数列的通项公式分成两项差的形式，相加过程消去中间项，只剩有限项再求和．(4)错位相减：适用于一个等差数列和一个等比数列对应项相乘构成的数列求和． (5)倒序相加：例如，等差数列前n 项和公式的推导．题型一 方程的思想解数列问题在等差数列和等比数列中，通项公式a n 和前n 项和公式S n 共涉及五个量：a 1，a n ，n ，d (或q )，S n ，其中首项a 1和公差d (或公比q )为基本量，“知三求二”是指将已知条件转换成关于a 1，a n ，n ，d (或q )，S n 的方程组，通过方程的思想解出需要的量．例1 设{a n }为等差数列，S n 为数列{a n }的前n 项和，已知S 7＝21，S 15＝－75，T n 为数列{S n n }的前n 项和，求T n 的最大值． 解 设等差数列{a n }的公差为d ，则 S n ＝na 1＋12n (n －1)d .∵S 7＝21，S 15＝－75，∴⎩⎪⎨⎪⎧ 7a 1＋21d ＝21，15a 1＋105d ＝－75，即⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋3d ＝3，a 1＋7d ＝－5，解得a 1＝9，d ＝－2.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝9n －(n 2－n )＝10n －n 2.则S nn ＝10－n .∵S n ＋1n ＋1－S n n＝－1， ∴数列{S nn }是以9为首项，公差为－1的等差数列．则T n ＝n ·[9＋(10－n )]2＝－12n 2＋192n＝12(n －192)2＋3618. ∵n ∈N ＋，∴当n ＝9，或n ＝10时，T n 有最大值45.跟踪演练1 记等差数列{a n }的前n 项和为S n ，设S 3＝12，且2a 1，a 2，a 3＋1成等比数列，求S n .解 设数列{a n }的公差为d ，依题设有⎩⎪⎨⎪⎧2a 1(a 3＋1)＝a 22，a 1＋a 2＋a 3＝12，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 21＋2a 1d －d 2＋2a 1＝0，a 1＋d ＝4.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝8，d ＝－4. 因此S n ＝12n (3n －1)或S n ＝2n (5－n )．题型二 转化与化归思想求数列通项由递推公式求通项公式，要求掌握的方法有两种，一种求法是先找出数列的前几项，通过观察、归纳猜想出通项，然后证明；另一种是通过变形转化为等差数列或等比数列，再采用公式求出．例2 在数列{a n }中，a 1＝5且a n ＝2a n －1＋2n －1 (n ≥2且n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3的值；(2)是否存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由．(3)求通项公式a n .解 (1)∵a 1＝5，∴a 2＝2a 1＋22－1＝13，a 3＝2a 2＋23－1＝33.(2)假设存在实数λ，使得数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋λ2n 为等差数列．设b n ＝a n ＋λ2n ，由{b n }为等差数列，则有2b 2＝b 1＋b 3.∴2×a 2＋λ22＝a 1＋λ2＋a 3＋λ23，13＋λ2＝5＋λ2＋33＋λ8.解得λ＝－1.此时，b n ＋1－b n ＝a n ＋1－12n 1－a n －12n＝12n ＋1[(a n ＋1－2a n )＋1]＝12n ＋1[(2n ＋1－1)＋1]＝1. 又b 1＝a 1＋λ2＝2.综上可知，存在实数λ＝－1，使得数列{a n ＋λ2n }为首项是2、公差是1的等差数列．(3)由(2)知，数列{a n －12n }为首项是2，公差为1的等差数列．∴a n －12n＝2＋(n －1)×1＝n ＋1， ∴a n ＝(n ＋1)2n ＋1.跟踪演练2 设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)． (1)求a 2，a 3的值；(2)求证：数列{S n ＋2}是等比数列．(1)解 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)，∴当n ＝1时，a 1＝2×1＝2； 当n ＝2时，a 1＋2a 2＝(a 1＋a 2)＋4，∴a 2＝4； 当n ＝3时，a 1＋2a 2＋3a 3＝2(a 1＋a 2＋a 3)＋6，∴a 3＝8. (2)证明 ∵a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝(n －1)S n ＋2n (n ∈N ＋)， ①∴当n ≥2时，a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋(n －1)a n －1 ＝(n －2)S n －1＋2(n －1)．② ①－②得na n ＝(n －1)S n －(n －2)S n －1＋2＝n (S n －S n －1)－S n ＋2S n －1＋2＝na n －S n ＋2S n －1＋2. ∴－S n ＋2S n －1＋2＝0，即S n ＝2S n －1＋2， ∴S n ＋2＝2(S n －1＋2)．∵S 1＋2＝4≠0，∴S n －1＋2≠0，∴S n ＋2S n －1＋2＝2，故{S n ＋2}是以4为首项，2为公比的等比数列． 题型三 函数思想求解数列问题数列是一种特殊的函数，在求解数列问题时，若涉及参数取值范围，最值问题或单调性时，均可考虑采用函数的思想指导解题．值得注意的是数列定义域是正整数集或其真子集，这一特殊性对问题结果可能造成影响．例3 已知等差数列{a n }的首项a 1＝1，公差d >0，且第二项、第五项、第十四项分别是一个等比数列的第二项、第三项、第四项．(2)设b n ＝1n (a n ＋3) (n ∈N ＋)，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，是否存在t ，使得对任意的n 均有S n >t36总成立？若存在，求出最大的整数t ；若不存在，请说明理由．解 (1)由题意得(a 1＋d )(a 1＋13d )＝(a 1＋4d )2，整理得2a 1d ＝d 2.∵d >0，a 1＝1，∴d ＝2. ∴a n ＝2n －1(n ∈N ＋)．(2)b n ＝1n (a n ＋3)＝12n (n ＋1)＝12(1n －1n ＋1)，∴S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝12[(1－12)＋(12－13)＋…＋(1n －1n ＋1)]＝12(1－1n ＋1)＝n2(n ＋1).假设存在整数t 满足S n >t 36总成立，又S n ＋1－S n ＝n ＋12(n ＋2)－n 2(n ＋1)＝12(n ＋2)(n ＋1)>0，∴数列{S n }是单调递增的．∴S 1＝14为S n 的最小值，故t 36<14，即t <9.又∵t ∈Z ，∴适合条件的t 的最大值为8. 跟踪演练3 已知函数f (x )＝2x ＋33x ，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝f (1a n)，n ∈N ＋， (1)求数列{a n }的通项公式；(2)令T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1，求T n . 解 (1)∵a n ＋1＝f (1a n )＝2a n ＋33a n ＝2＋3a n 3＝a n ＋23，∴{a n }是以23为公差的等差数列．又a 1＝1，∴a n ＝23n ＋13.(2)T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…－a 2n a 2n ＋1 ＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2n (a 2n －1－a 2n ＋1) ＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2n )＝－43·n (53＋4n 3＋13)2＝－49(2n 2＋3n )．题型四 数列的交汇问题数列是高中代数的重点内容之一，它始终处在知识的交汇点上，如数列与函数、方程、不等式等其他知识有较多交汇处．它包涵知识点多、思想丰富、综合性强，已成为近年高考的一大亮点．例4 已知单调递增的等比数列{a n }满足a 2＋a 3＋a 4＝28，且a 3＋2是a 2，a 4的等差中项．(2)若b n ＝a n log 12a n ，S n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，对任意正整数n ，S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0恒成立，试求m的取值范围．解 (1)设等比数列{a n }的首项为a 1，公比为q .依题意，有2(a 3＋2)＝a 2＋a 4，代入a 2＋a 3＋a 4＝28，得a 3＝8.∴a 2＋a 4＝20，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1q ＋a 1q 3＝20，a 3＝a 1q 2＝8， 解得⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝12，a 1＝32.又{a n }单调递增，∴⎩⎪⎨⎪⎧q ＝2，a 1＝2.∴a n ＝2n .(2)b n ＝2n ·log 122n ＝－n ·2n ，∴－S n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，① ∴－2S n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n －1)×2n ＋n ×2n ＋1， ②①－②，得S n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝2(1－2n )1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－n ×2n ＋1－2.由S n ＋(n ＋m )a n ＋1<0，得2n ＋1－n ×2n ＋1－2＋n ×2n ＋1＋m ×2n ＋1<0对任意正整数n 恒成立，∴m ·2n ＋1<2－2n ＋1，即m <12n －1对任意正整数n 恒成立．∵12n －1>－1，∴m ≤－1，即m 的取值范围是(－∞，－1]． 跟踪演练4 在数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝4a n －3n ＋1， n ∈N ＋.(1)证明：数列{a n －n }是等比数列； (2)求数列{a n }的前n 项和S n ；(3)证明：不等式S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N ＋皆成立． (1)证明 由题设a n ＋1＝4a n －3n ＋1得 a n ＋1－(n ＋1)＝4(a n －n )，n ∈N ＋.又a 1－1＝1，∴{a n －n }是首项为1，公比为4的等比数列．(2)解 由(1)可知a n －n ＝4n －1，于是数列{a n }的通项公式为a n ＝4n －1＋n ，∴数列{a n }的前n 项和S n ＝4n －13＋n (n ＋1)2.(3)证明 对任意的n ∈N ＋.S n ＋1－4S n ＝4n ＋1－13＋(n ＋1)(n ＋2)2－4[4n －13＋n (n ＋1)2]＝－12(3n 2＋n －4)≤0.∴不等式S n ＋1≤4S n 对任意n ∈N ＋皆成立．1．等差数列与等比数列是高中阶段学习的两种最基本的数列，也是高考中经常考查并且重点考查的内容之一，这类问题多从数列的本质入手，考查这两种基本数列的概念、基本性质、简单运算、通项公式、求和公式等问题．2．数列求和的方法：一般的数列求和，应从通项入手，若无通项，先求通项，然后通过对通项变形，转化为与特殊数列有关或具备某种方法适用特点的形式，从而选择合适的方法求和．。
高中数学 第二章 数列 2.1.1 数列课堂探究学案 新人教B版必修5
2.1.1 数列课堂探究一、对数列通项公式的理解剖析：(1)数列的通项公式实际上是一个以自然数或它的有限子集{1，2，…，n }为定义域的函数表达式．(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1，2，3，…去替代公式中的n 就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的项，如果是的话，是第几项．(3)与所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．如2的不足近似值，精确到1，0．1，0．01，0．001，0．000 1，…，所构成的数列1，1．4，1．41，1．414，1．414 2，…就没有通项公式．(4)有的数列的通项公式，在形式上不一定是唯一的，正如数列：－1，1，－1，1，－1，1，…，它可以写成a n ＝(－1)n，也可以写成a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n 为奇数，1，n 为偶数，还可以写成a n ＝(－1)n＋2(n ＝1，2，3，…)等，这些通项公式，形式上虽然不同，但都表示同一个数列． (5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出数列的通项公式并不唯一．二、函数思想在数列中的应用剖析：数列是一种特殊的函数，判断数列的单调性，求数列的最值、周期等都可以利用函数的思想来解决．(1)数列是一种特殊的函数，其定义域为正整数集(或它的有限子集)，值域是数列中的项的集合．(2)数列的通项公式是项a n 与项数n 的等量关系式．从函数的思想看，就是函数值a n与自变量n 的等量关系式．利用通项公式求数列中的项的问题，从函数的观点看就是已知函数解析式求函数值的问题．因此，用函数的思想解决数列问题可使问题变得更简单．(3)数列中求数列最大(小)项的问题也是常见题目，就是用函数的思想求函数的最值问题，可利用函数求最值的方法求数列中的最大(小)项问题，如图象法等，可使问题简单化．(4)数列中求数列的单调性问题也是常见题目．就是用函数的思想求数列的单调性问题，可利用函数单调性的定义求数列的单调性，又使问题函数化了．总之，在函数中研究的函数性质在数列中都有可能利用到，利用函数的思想解决数列的有关问题可达到事半功倍的效果．三、教材中的“思考与讨论”是否存在一个各项都小于5的无穷递增数列？如果存在，请写出一个这样的数列的通项公式．(提示：先定义一个在(0，＋∞)上，且函数值都小于5的函数)剖析：存在这样的数列，如a n ＝－1n ，a n ＝5－2n等均满足条件．题型一 数列的概念【例1】 下列哪些表示数列？哪些不表示数列？(1){1，5，2，3，6，7}；(2)方程x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)＝0的解；(3)f (x )＝x 2－x ＋2的函数值f (－1)，f (0)，f (1)，f (2)； (4)当x ＝1时，x ，x ＋1，x －2，x 2，2x的值； (5)－3，－1，1，x ，5，7，y ，11．分析：由数列的定义，抓住两点：(1)是否是一列数；(2)是否按照一定的顺序排列，即可判断出是否为数列．解：(1){1，5，2，3，6，7}表示的是一个数集，而不是数列； (2)表示的是方程的解，虽然是数，却没有一定的顺序，不能叫数列； (3)f (－1)，f (0)，f (1)，f (2)是有顺序的一列数，是数列；(4)当x ＝1时，x ，x ＋1，x －2，x 2，2x 都是一些数，而且具有顺序，故是数列； (5)当x ，y 表示数时为数列；当x ，y 中有一个不代表数时，便不是数列．反思：运用数列的定义判断一组元素是否为数列的一般步骤是：(1)判断这组元素是否都是数；(2)判断这组元素是否按照一定的顺序排列．注意：按一定顺序不表示该数列具有规律性，即数列中的每一项可以是有规律的，也可以是无规律的． 题型二 根据通项公式求项【例2】 根据下面数列的通项公式，写出它们的前5项．(1)a n ＝n2n ＋1；(2)a n ＝3n ＋2n．分析：已知数列的通项公式，依次用1，2，3，…代替公式中的n ，便可以求出数列的各项．解：(1)在通项公式a n ＝n2n ＋1中，依次取n ＝1，2，3，4，5，得到数列的前5项为a 1＝12×1＋1＝13，a 2＝22×2＋1＝25，a 3＝32×3＋1＝37，a 4＝42×4＋1＝49，a 5＝52×5＋1＝511．(2)在通项公式a n ＝3n ＋2n中，依次取n ＝1，2，3，4，5，得到数列的前5项为a 1＝3×1＋21＝5，a 2＝3×2＋22＝10，a 3＝3×3＋23＝17，a 4＝3×4＋24＝28，a 5＝3×5＋25＝47．反思：数列的通项公式给出了第n 项a n 与它的位置序号n 之间的关系，只要用序号代替公式中的n ，便可以求出相应的各项，实际上相当于已知函数的定义域和解析式，求函数值．题型三 由数列的前几项写通项公式 【例3】 分别写出下列数列的一个通项公式：(1)－114，329，－5316，7425，－9536，…；(2)4，－52，2，－74，…；(3)5，55，555，5 555，…； (4)1，1，57，715，931，…；(5)3，3，15，21，33，…．分析：从前几项中观察出项与序号之间的规律，用一个式子表达出来即可． 解：(1)因为数列的各项是负正项交替出现的，所以用(－1)n来调节，数列各项的绝对值可以分成整数、分数的分子和分母三部分，整数部分是1，3，5，7，9，为奇数，分数的分子是1，2，3，4，5，正好是序号，分母是4，9，16，25，36，正好是平方数，这样我们可以归纳出数列的通项公式为a n ＝(－1)n⎣⎢⎡⎦⎥⎤(2n －1)＋n(n ＋1)2．(2)将数列前4项改写成分数的形式：41，－52，63，－74，可得该数列的通项公式a n＝(－1)n ＋1n ＋3n． (3)由于9，99，999，9 999，…的通项公式是10n－1，所以将题中数列各项改写可得：5＝59×9，55＝59×99，555＝59×999，5 555＝59×9 999，可得该数列的通项公式a n ＝59(10n －1)．(4)原数列可写成：11，33，57，715，931，…，得该数列的通项公式为a n ＝2n －12n －1．(5)原数列可写成3×1，3×3，3×5，3×7，3×9，…，得该数列的通项公式为a n ＝3×(2n －1)． 反思：常见数列的通项公式如下：①数列－1，1，－1，1，…的通项公式是a n ＝(－1)n； ②数列1，2，3，4，…的通项公式是a n ＝n ； ③数列1，3，5，7，…的通项公式是a n ＝2n －1； ④数列2，4，6，8，…的通项公式是a n ＝2n ；⑤数列1，2，4，8，…的通项公式是a n ＝2n －1；⑥数列1，4，9，16，…的通项公式是a n ＝n 2； ⑦数列11，12，13，14，…的通项公式是a n ＝1n ；⑧数列1，3，6，10的通项公式是a n ＝n (n ＋1)2．题型四 判断数列的增减性【例4】 已知函数f (x )＝x －1x．数列{a n }满足f (a n )＝－2n ，且a n ＞0．(1)求数列{a n }的通项公式； (2)判断数列{a n }的增减性．分析：先根据已知条件解方程求a n ，然后利用作差或作商法判断数列{a n }的增减性． 解：(1)∵f (x )＝x －1x，f (a n )＝－2n ，∴a n －1a n＝－2n ，即a 2n ＋2na n －1＝0， 解得a n ＝－n ±n 2＋1， ∵a n ＞0，∴a n ＝n 2＋1－n ． (2)解法一(作差法)：∵a n +1－a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)－(n 2＋1－n ) ＝(n ＋1)2＋1－n 2＋1－11＝(n ＋1)＋n(n ＋1)2＋1＋n 2＋1－1， 又(n ＋1)2＋1＞n ＋1，n 2＋1＞n ， ∴(n ＋1)＋n(n ＋1)2＋1＋n 2＋1＜1． ∴a n +1－a n ＜0，即a n +1＜a n ． ∴数列{a n }是递减数列． 解法二(作商法)： ∵a n ＞0，∴a n ＋1a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)＜1． ∴a n +1＜a n ．∴数列{a n }是递减数列． 反思：数列{a n }增减性的判定方法：(1)作差比较法①若a n +1－a n ＞0恒成立，则数列{a n }是递增数列； ②若a n +1－a n ＜0恒成立，则数列{a n }是递减数列； ③若a n +1－a n ＝0恒成立，则数列{a n }是常数列． (2)作商比较法【例5】 设函数f (x )＝log 2x －log x 4(0<x <1)，数列{a n }的通项a n 满足f (2a n )＝2n (n ∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式．(2)数列{a n }中有没有最小的项？若有最小项，试求出此项和相应的项数；若没有最小项，请说明理由．分析：第(1)问可用代入法求得a n 的关系式，再通过解方程求得a n ．第(2)问可利用函数的单调性来判断．解：(1)由已知，得log 22n a－log 2a n 4＝2n ，即a n －2a n＝2n ，即a 2n －2na n －2 ＝0，解得a n ＝n ±n 2＋2．又0<x <1，∴0<2n a<1． 故a n <0(n ∈N ＋)，∴a n ＝n －n 2＋2(n ∈N ＋)．(2)有．∵a n ＋1a n ＝(n ＋1)－(n ＋1)2＋2n －n 2＋2 ＝n ＋n 2＋2n ＋1＋(n ＋1)2＋2<1， 又a n <0，∴a n ＋1>a n (n ∈N ＋)， 即a 1<a 2<a 3<…<a n <a n ＋1<…，∴数列的最小项为第1项，a 1＝1－3．反思：本题(1)可运用方程思想，(2)可运用函数思想，数列实质上是定义在正整数集(或它的有限子集{1，2，3，…，n })上的函数，判断数列随n 增大而变化的规律的方法与判断函数的单调性相同． 题型六 易错辨析【例6】 已知在数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N ＋)，且{a n }单调递增，则k 的取值范围是( )A ．(－∞，2]B ．(－∞，3)C ．(－∞，2)D ．(－∞，3]错解：因为a n 是关于n 的二次函数，其定义域为正整数集，故若{a n }递增，则必有k2≤1，故k ≤2．故选A ．错因分析：函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调，关键原因在于数列是一个定义域为正整数集N ＋(或它的有限子集{1，2，3，…，n })的特殊函数，故对于数列的单调性的判断一般要通过比较a n +1与a n 的大小来判断：若a n +1＞a n ，则数列为递增数列；若a n +1＜a n ，则数列为递减数列．正解：a n +1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k ．由于{a n }单调递增，故应有a n +1－a n ＞0，即2n ＋1－k ＞0恒成立，所以k ＜2n ＋1，故只需k ＜3即可．故选B ． 答案：B。
高中数学第二章数列2-1数列同步导学案新人教B版必修5
高中数学第二章数列2-1数列同步导学案新人教B 版必修5课程要求了解数列的概念，体会数列是一种特殊函数，能根据数列的前几项写出简单数列的通项公式.类比函数理解数列的几种表示方法（列表、图象、通项公式等），能根据项数多少、数列的性质对数列分类.了解递推公式是给出数列的一种方法.掌握根据递推公式写出数列的前项的技巧.会利用一些简单的递推公式求出数列的通项.n 基本概念1．叫做数列，叫做这个数列的项.2．就叫做这个数列的通项公式.3．数列可用图象来表示，在直角坐标系中，以来表示一个数列，图象是一些，它们位于.4．根椐数列的项数可以把数列分为和.根据数列中项与项的大小关系可以把数列分为、、和.5．那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.6．若数列的前项和记为，即则{}n a n nS ,321n n a a a a S ++++=概念深化1．数列的通项公式实际上是一个以正整数集或它的有限子集为定义域的函数的表达式；+N {}n ,,2,12．如果知道了数列的通项公式，那么依次用去替代公式中的就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是否是某数列中的一项，如果是的话，是第几项； ,3,2,1n3．像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式.如的不足近似值，精确到所构成的数列就没有通项公式.2 ,0001.0,001.0,01.0,1.0,1 ,4142.1,414.1,41.1,4.1,14．有的数列的通项公式，在形式上不一定是唯一的，例如数列：,1,1,1,1,1,1---它可以写成也可以写成,)1(n n a -=⎩⎨⎧-=.,1,,1为偶数为奇数n n a n还可以写成等.这些通项公式，形式上虽然不同，但都表示同一个数列.2)1(+-=n n a5．有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列通项公式并不唯一.典例精析题型一 根据数列的前几项，写出数列的通项公式.{}n a例1 写出下列数列的一个通项公式：(1)；（2）； ,33,17,9,5,3 ,544,433,322,211 （3）；（4） ,777,,7777,777,77,7.,1337,1126,917,710,1,32 --- 命题意图：寻求规律，写出通项公式.。
2018版高中数学人教B版必修五学案：第二章 2-1-1 数列
2.1数列2.1.1数列[学习目标] 1.理解数列及其有关概念.2.理解数列的通项公式，并会用通项公式写出数列的任意一项.3.了解数列与函数的关系，会根据数列的前几项写出它的通项公式．[知识链接]下列四个结论正确的有________．(1)任何一个函数都对应着一个映射，任何一个映射也对应着一个函数．(2)任何一个函数都有一个确定的函数表达式；(3)函数的表示方法有：列表法、解析法、图象法；(4)对于函数f(x)，x1，x2为函数f(x)定义域内任意两个值，当x1>x2时，f(x1)<f(x2)，则f(x)是增函数．答案(3)解析函数是非空数集A到非空数集B的一个映射，而映射中的A、B并非是数集，故(1)错；某地区的某天的温度y是时间t的函数，这个函数只能用列表法表示，不能用表达式表示，故(2)错；(3)显然正确；(4)中的函数为减函数，故不正确．[预习导引]1．数列的概念按照一定次序排列起来的一列数叫做数列．数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列的表示数列的一般形式可以写成a1，a2，a3，…，a n，….其中a n是数列的第n项，叫做数列的通项，常把一般形式的数列简记作{a n}．3．数列的通项如果数列的第n项a n与n之间的关系可以用一个函数式a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．4．数列与函数的关系数列可以看作一个定义域为正整数集N ＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的函数．数列的通项公式也就是相应函数的解析式．它的图象是相应的曲线(或直线)上横坐标为正整数的一些孤立的点． 5．数列的分类(1)数列按项数可分为有穷数列和无穷数列，项数有限的数列叫做有穷数列，项数无限的数列叫做无穷数列．(2)按后一项和前一项的大小关系可分为递增数列、递减数列、常数列和摆动数列．(3)从第二项起，每一项都大于它的前一项的数列，叫做递增数列；从第二项起，每一项都小于它的前一项的数列，叫做递减数列；各项相等的数列叫做常数列.要点一 数列的概念及通项例1 根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)－1,7，－13,19，…； (2)12，2，92，8，252，…； (3)0.8,0.88,0.888，…；(4)12，14，－58，1316，－2932，6164，…； (5)32，1，710，917，…. 解 (1)符号问题可通过(－1)n 或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为a n ＝(－1)n (6n －5)． (2)统一分母为2，则有12，42，92，162，252，…，因而有a n ＝n 22.(3)将数列变形为89(1－0.1)，89(1－0.01)，89(1－0.001)，…，∴a n ＝89(1－110n )．(4)各项的分母分别为21,22,23,24，…，易看出第2,3,4项的分子分别比分母小3.因此把第1项变为－2－32，至此原数列已化为－21－321，22－322，－23－323，24－324，…，∴a n ＝(－1)n·2n －32n .(5)将数列统一为32，55，710，917，…，对于分子3,5,7,9，…，是序号的2倍加1，可得分子的通项公式为b n ＝2n ＋1，对于分母2,5,10,17，…，联想到数列1,4,9,16，…，即数列{n 2}，可得分母的通项公式为c n ＝n 2＋1，∴可得原数列的一个通项公式为a n ＝2n ＋1n 2＋1.规律方法 此类问题虽无固定模式，但也有规律可循，主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法．具体方法为：①分式中分子、分母的特征；②相邻项的变化特征；③拆项后的特征；④各项的符号特征和绝对值特征；⑤化异为同．对于分式还可以考虑对分子、分母各个击破，或寻找分子、分母之间的关系．跟踪演练1 写出下列数列的一个通项公式： (1)3,5,9,17,33，…； (2)12，34，78，1516，3132，…； (3)23，－1，107，－179，2611，－3713，…. 解 (1)中3可看作21＋1,5可看作22＋1,9可看作23＋1,17可看作24＋1,33可看作25＋1，…. 所以a n ＝2n ＋1.(2)每一项的分子比分母小1，而分母组成数列为21,22,23,24，…，所以a n ＝2n －12n .(3)偶数项为负而奇数项为正，故通项公式必含因式(－1)n ＋1，观察各项绝对值组成的数列，从第3项到第6项可见，分母分别由奇数7,9,11,13组成，而分子则是32＋1,42＋1,52＋1,62＋1，按照这样的规律，第1,2两项可分别改写为12＋12＋1，－22＋12×2＋1，所以a n ＝(－1)n ＋1n 2＋12n ＋1. 要点二 数列通项公式的应用例2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝3n 2－28n . (1)写出数列的第4项和第6项；(2)问－49和68是该数列的项吗？若是，是第几项？若不是，请说明理由． 解 (1)根据a n ＝3n 2－28n ，a 4＝3×42－28×4＝－64，a 6＝3×62－28×6＝－60. (2)令3n 2－28n ＝－49，即3n 2－28n ＋49＝0，∴n ＝7或n ＝73(舍)．∴－49是该数列的第7项，即a 7＝－49. 令3n 2－28n ＝68，即3n 2－28n －68＝0， ∴n ＝－2或n ＝343.∵－2∉N ＋，343∉N ＋，∴68不是该数列的项．规律方法 (1)数列的通项公式给出了第n 项a n 与它的位置序号n 之间的关系，只要用序号代替公式中的n ，就可以求出数列的相应项．(2)判断某数值是否为该数列的项，先假设是数列的项，列出方程，若方程的解为正整数(项数)，则是该数列的项；若方程无解或解不是正整数，则不是数列的项． 跟踪演练2 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝1n (n ＋2)(n ∈N ＋)，那么1120是这个数列的第________项． 答案 10解析 ∵1n (n ＋2)＝1120，∴n (n ＋2)＝10×12，∴n ＝10.要点三 判断数列的单调性例3 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2n 2＋1，试判断该数列的单调性．解 ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2(n ＋1)2＋1－n 2n 2＋1＝(n ＋1)2(n 2＋1)－n 2[(n ＋1)2＋1][(n ＋1)2＋1](n 2＋1)＝2n ＋1[(n ＋1)2＋1](n 2＋1)，由n ∈N ＋，得a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n . ∴数列{a n }是递增数列．规律方法 单调性是数列的一个重要性质．判断数列的单调性，通常是运用作差或作商的方法判断a n ＋1与a n (n ∈N ＋)的大小，若a n ＋1>a n 恒成立，则{a n }为递增数列；若a n ＋1<a n 恒成立，则{a n }为递减数列．用作差法判断数列增减性的步骤为：①作差；②变形；③定号；④结论．跟踪演练3 判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 3n ＋1的增减性．解 ∵a n ＝n3n ＋1，∴a n ＋1＝n ＋13(n ＋1)＋1＝n ＋13n ＋4.方法一 a n ＋1－a n ＝n ＋13n ＋4－n3n ＋1＝(n ＋1)(3n ＋1)－n (3n ＋4)(3n ＋4)(3n ＋1)＝1(3n ＋4)(3n ＋1)，∵n ∈N ＋，∴a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 3n ＋1为递增数列．方法二 ∵n ∈N ＋，∴a n >0.∵a n ＋1a n ＝n ＋13n ＋4n 3n ＋1＝(n ＋1)(3n ＋1)(3n ＋4)n ＝3n 2＋4n ＋13n 2＋4n ＝1＋13n 2＋4n>1， ∴a n ＋1>a n ，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 3n ＋1为递增数列．方法三 令f (x )＝x3x ＋1(x ≥1)，则f (x )＝13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋1－13x ＋1＝13⎝⎛⎭⎫1－13x ＋1， ∴函数f (x )在[1，＋∞)上是增函数，∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫n 3n ＋1是递增数列．要点四 求数列的最大(小)项例4 已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－5n ＋4. (1)数列中有多少项是负数？(2)n 为何值时，a n 有最小值？并求出最小值． 解 (1)由n 2－5n ＋4<0，解得1<n <4. ∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3.∴数列中有两项是负数．(2)方法一 ∵{a n }的相应函数为f (x )＝x 2－5x ＋4＝(x －52)2－94，可知对称轴方程为x ＝52＝2.5.又∵n ∈N ＋，故n ＝2或3时，a n 有最小值，且a 2＝a 3，其最小值为22－5×2＋4＝－2.方法二 设第n 项最小，由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1得⎩⎪⎨⎪⎧n 2－5n ＋4≤(n ＋1)2－5(n ＋1)＋4，n 2－5n ＋4≤(n －1)2－5(n －1)＋4.解这个不等式组，得2≤n ≤3， 又∵n ∈N ＋，∴n ＝2,3. ∴a 2＝a 3且最小．∴a 2＝a 3＝22－5×2＋4＝－2.规律方法 求数列{a n }的最大项和最小项，一种方法是利用函数的最值法；另一种是不等式法，求最小项可由⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≤a n ＋1，a n ≤a n －1.来确定n ，求最大项可由⎩⎪⎨⎪⎧a n ≥a n ＋1，a n ≥a n －1.来确定n .若数列是单调的，也可由单调性来确定最大或最小项．跟踪演练4 已知数列{a n }的通项公式a n ＝(n ＋1)(1011)n (n ∈N ＋)，试问数列{a n }有没有最大项？若有，求最大项和最大项的项数；若没有，说明理由． 解 假设数列{a n }中存在最大项． ∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)(1011)n ＋1－(n ＋1)(1011)n＝(1011)n ·9－n11， 当n <9时，a n ＋1－a n >0，即a n ＋1>a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n >9时，a n ＋1－a n <0，即a n ＋1<a n ， 故a 1<a 2<a 3<…<a 9＝a 10>a 11>a 12>…，所以数列中有最大项，最大项为第9,10项，且a 9＝a 10＝1010119.1．下列叙述正确的是( )A ．数列1,3,5,7与7,5,3,1是相同的数列B ．数列0,1,2,3，…可以表示为{n }C ．数列0,2,0,2，…是常数列D ．数列{nn ＋1}是递增数列答案 D解析 由数列的通项a n ＝n n ＋1知，当n 的值逐渐增大时，n n ＋1的值越来越接近1，即数列{nn ＋1}是递增数列，故选D.2．数列2,3,4,5，…的一个通项公式为( ) A ．a n ＝n B ．a n ＝n ＋1 C ．a n ＝n ＋2 D ．a n ＝2n答案 B解析 这个数列的前4项都比序号大1，所以，它的一个通项公式为a n ＝n ＋1. 3．根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式： (1)1，－3,5，－7,9，…； (2)9,99,999,9 999，…； (3)0,1,0,1，….解 (1)数列各项的绝对值为1,3,5,7,9，…，是连续的正奇数，考虑(－1)n ＋1具有转换符号的作用，所以数列的一个通项公式为a n ＝(－1)n ＋1(2n －1)，n ∈N ＋.(2)各项加1后，变为10,100,1 000,10 000，…，此数列的通项公式为10n ，可得原数列的一个通项公式为a n ＝10n －1，n ∈N ＋.(3)a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧0(n 为奇数)，1(n 为偶数)或a n ＝1＋(－1)n 2(n ∈N ＋)或a n ＝1＋cos n π2 (n ∈N ＋)．4．已知数列{a n }的通项为a n ＝－2n 2＋29n ＋3，求数列{a n }中的最大项．解 由已知，得a n ＝－2n 2＋29n ＋3＝－2(n －294)2＋10818.由于n ∈N ＋，故当n 取距离294最近的正整数7时，a n取得最大值108.∴数列{a n}中的最大项为a7＝108.1．数列的概念的理解(1)数列是一种特殊的函数，其特殊性主要表现在定义域和值域上．数列可以看成是以正整数集N＋或它的有限子集{1,2,3，…，n}为定义域的函数，即自变量的取值必须是正整数，而数列的通项公式也就是相应函数的解析式．(2)数列的项与它的项数是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.(3)与集合中元素的性质相比较，数列中的项也有三个性质：①确定性；②可重复性；③有序性．2．数列的通项公式(1)数列的通项公式实际上是一个以正整数集N＋或它的有限子集{1,2，…，n}为定义域的函数的表达式；(2)如果知道了数列的通项公式，那么依次用1,2,3，…去替代公式中的n就可以求出这个数列的各项；同时，用数列的通项公式也可以判断某数是不是数列中的项，如果是的话，是第几项；(3)像所有的函数关系不一定都有解析式一样，并不是所有的数列都有通项公式．(4)有的数列的通项公式，形式上不一定唯一．(5)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列的通项公式并不唯一．。
高中数学 第二章 数列 2.1.1 数列学案 新人教B版必修5
2.1.1 数列1．理解数列的概念，了解数列的几种分类．2．了解数列通项公式的意义，会根据通项公式写出数列的任一项，并能写出简单数列的通项公式．3．了解数列与函数的关系．1．数列的有关概念(1)数列的定义：按照________排列起来的一列数叫做数列，数列中的每一个数都叫做这个数列的____．(2)数列的一般形式可以写成a 1，a 2，a 3，…，a n ，…，此数列可简记作{a n }，其中数列的第n 项记作____，这里{a n }是数列的简记符号，并不表示一个集合．关于定义的理解，应注意以下几点： ①数列的项与项的序号是不同的概念．数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f (n )，而项的序号是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f (n )中的n .②次序对于数列来讲是十分重要的，几个不同的数，由于它们的排列次序不同，构成的数列就不是同一个数列，显然数列与数集有本质的区别．例如，2,3,4,5,6这5个数按不同的次序排列时，就会得到不同的数列，而{2,3,4,5,6}中元素不论按怎样的次序排列都是同一个集合．③数列a 1，a 2，…，a n ，不可以写成{a 1，a 2，…，a n }的形式，但是可以简记为{a n }． 【做一做1】将正整数的前5个数排列成四种形式：①1,2,3,4,5；②5,4,3,2,1；③2,1,5,3,4；④4,1,5,3,2.其中可以称为数列的序号是__________．2．数列的通项公式如果数列{a n }的第n 项a n 与______之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的________．(1)数列可以用通项公式来描述，也可以用列表或图象来表示； (2)不是所有的数列都有通项公式，如果有，则不唯一． 【做一做2】下列解析式中不．是数列1，－1,1，－1，…的通项公式的是( )． A ．a n ＝(－1)nB ．a n ＝(－1)n ＋1C ．a n ＝(－1)n －1D ．a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，－1，n 为偶数3．数列与函数的关系在数列{a n }中，对于每一个正整数n (或n ∈{1,2，…，k })，都有一个数a n 与之对应，因此，数列可以看成以__________(或它的有限子集{1,2，…，k })为定义域的函数a n ＝f (n )，当自变量按照________的顺序依次取值时，所对应的一列函数值．反过来，对于函数y ＝f (x )，如果f (i )(i ＝1,2,3，…)有意义，那么我们可以得到一个数列f (1)，f (2)，f (3)，…，f (n )，….其图象是一系列孤立的点．(1)数列{a n }与函数f (n )＝a n (n ∈N ＋)是不同的，{a n }中的元素具有有序性，如将a 1，a 2，a 3，…，a n 排成a 3，a 1，a 2，…，a n ，则为不同的数列，而对于函数f (n )＝a n (n ∈N ＋)来说却是一样的．(2)数列中，自变量的取值更有规律性，必须从小到大取正整数． 【做一做3－1】下列说法不正确的是( )． A ．数列可以用图象来表示 B ．数列的通项公式不唯一 C ．数列中的项不能相等D ．数列可以用一群孤立的点表示【做一做3－2】数列{a n }的通项公式a n ＝f (n )，作为函数，它的定义域是( )． A ．正整数集N ＋ B ．自然数集NC ．正整数集N ＋或N ＋的任一子集D ．正整数集N ＋或其有限子集{1,2,3，…，n } 4．数列的分类 (1)【做一做4】已知下列数列： ①2 000,2 004,2 008,2 012； ②0，12，23，…，n －1n ，…；③1，12，14，…，12n －1，…；④1，－23，35，…，－n －1·n 2n －1，…；⑤1,0，－1，…，sinn π2，….其中，有穷数列是________，无穷数列是________．一、对数列通项公式的理解剖析：一个数列{a n }的第n 项a n 与项数n 之间的函数关系，如果可以用一个公式a n ＝f (n )来表示，则这个公式叫做这个数列的通项公式．数列的通项公式的作用在于：当用序号代替通项公式中的n 时，可以求出数列的各项，数列的通项公式确定了，数列也就确定了．(1)不是所有的数列都能写出它的通项公式，如π精确到1,0.1,0.01,0.001，…的不足近似值构成的数列，即3，3.1，3.14,3.141，…就没有通项公式．(2)同一个数列的通项公式不一定是唯一的，如数列－1，1，－1,1，…的通项公式可以写成a n ＝(－1)n，也可以写成a n ＝－sinn －π2(n ∈N ＋)等等．(3)对某些数列，通项公式可写成一个式子，也可用分段函数的形式表达，如数列－1,1，－1,1，…的通项公式还可以写成a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－1，n 为奇数，1，n 为偶数.(4)有些数列，只给出它的前几项，并没有给出它的构成规律，那么仅由前面几项归纳出的数列的通项公式并不唯一．二、函数思想在数列中的应用剖析：数列是一种特殊的函数，判断数列的单调性，求数列的最值、周期等都可以利用函数的思想来解决．(1)数列是一种特殊的函数，其定义域为正整数集(或它的有限子集)，值域是数列中的项的集合．(2)数列的通项公式是项a n 与项数n 的等量关系式．从函数的思想看，就是函数值a n与自变量n 的等量关系式．利用通项公式求数列中的项的问题，从函数的观点看就是已知函数解析式求函数值的问题．因此，用函数的思想解决数列问题可使问题变得更简单．(3)数列中求数列最大(小)项的问题也是常见题目，就是用函数的思想求函数的最值问题，可利用函数求最值的方法求数列中的最大(小)项问题，如图象法等，可使问题简单化．(4)数列中求数列的单调性问题也是常见题目．就是用函数的思想求函数的单调性问题，可利用函数单调性的定义求数列的单调性，又使问题函数化了．总之，在函数中研究的函数性质在数列中都有可能利用到，利用函数的思想解决数列的有关问题可达到事半功倍的效果．三、教材中的“思考与讨论”是否存在一个各项都小于5的无穷递增数列？如果存在，请写出一个这样的数列的通项公式．(提示：先定义一个在(0，＋∞)上，且函数值都小于5的函数)剖析：存在这样的数列，如a n ＝－1n ，a n ＝5－2n等均满足条件．题型一 数列的概念【例1】下列哪些表示数列？哪些不表示数列？ (1){1,5,2,3,6,7}；(2)方程x (x －1)(x －2)(x －3)(x －4)＝0的解；(3)f (x )＝x 2－x ＋2的函数值f (－1)，f (0)，f (1)，f (2)；(4)当x ＝1时，x ，x ＋1，x －2，x 2,2x的值； (5)－3,－1,1,x ,5,7,y ,11.分析：由数列的定义，抓住两点：(1)是否是一列数；(2)是否按照一定的顺序排列，即可判断出是否为数列．反思：运用数列的定义判断一组元素是否为数列的一般步骤是：(1)判断这组元素是否都是数；(2)判断这组元素是否按照一定的顺序排列．注意：按一定顺序不表示该数列具有规律性，即数列中的每一项可以是有规律的，也可以是无规律的．题型二 根据通项公式求项【例2】根据下面数列的通项公式，写出它们的前5项．(1)a n ＝n2n ＋1；(2)a n ＝3n ＋2n.分析：已知数列的通项公式，依次用1,2,3，…代替公式中的n ，便可以求出数列的各项．反思：数列的通项公式给出了第n 项a n 与它的位置序号n 之间的关系，只要用序号代替公式中的n ，便可以求出相应的各项，实际上相当于已知函数的定义域和解析式，求函数值．题型三 由数列的前几项写通项公式【例3】分别写出下列数列的一个通项公式：(1)－114，329，－5316，7425，－9536，…；(2)4，－52，2，－74，…；(3)5,55,555,5 555，…； (4)1,1，57，715，931，….分析：从前几项中观察出项与序号之间的规律，用一个式子表达出来即可． 反思：常见数列的通项公式如下：①数列－1,1,－1,1，…的通项公式是a n ＝(－1)n； ②数列1,2,3,4，…的通项公式是a n ＝n ； ③数列1,3,5,7，…的通项公式是a n ＝2n －1； ④数列2,4,6,8，…的通项公式是a n ＝2n ；⑤数列1,2,4,8，…的通项公式是a n ＝2n －1；⑥数列1,4,9,16，…的通项公式是a n ＝n 2； ⑦数列11，12，13，14，…的通项公式是a n ＝1n .题型四 判断数列的增减性【例4】已知函数f (x )＝x －1x.数列{a n }满足f (a n )＝－2n ，且a n ＞0.(1)求数列{a n }的通项公式； (2)判断数列{a n }的增减性．分析：先根据已知条件解方程求a n ，然后利用作差或作商法判断数列{a n }的增减性． 反思：数列{a n }增减性的判定方法： (1)作差比较法①若a n ＋1－a n ＞0恒成立，则数列{a n }是递增数列； ②若a n ＋1－a n ＜0恒成立，则数列{a n }是递减数列； ③若a n ＋1－a n ＝0恒成立，则数列{a n }是常数列． (2)作商比较法题型五 【例5】设函数f (x )＝log 2x －log x 4(0＜x ＜1)，数列{a n }的通项a n 满足()22na f n ＝(n∈N ＋)．(1)求数列{a n }的通项公式．(2)数列{a n }中有没有最小的项？若有最小项，试求出此项和相应的项数；若没有最小项，请说明理由．分析：第(1)问可用代入法求得a n 的关系式，再通过解方程求得a n .第(2)问可利用函数的单调性来判断．反思：本题(1)可运用方程思想，(2)可运用函数思想，数列实质上是定义在正整数集(或它的有限子集{1,2，3，…，n })上的函数，判断数列随n 增大而变化的规律的方法与判断函数的单调性相同．题型六 易错辨析【例6】已知在数列{a n }中，a n ＝n 2－kn (n ∈N ＋)，且{a n }单调递增，则k 的取值范围是( )．A ．(－∞，2]B ．(－∞，3)C ．(－∞，2)D ．(－∞，3]错解：因为a n 是关于n 的二次函数，其定义域为正整数集，故若{a n }递增，则必有k2≤1，故k ≤2.故选A ．错因分析：函数的单调性与数列的单调性既有联系又有区别，即数列所对应的函数若单调则数列一定单调，反之若数列单调，其所对应的函数不一定单调，关键原因在于数列是一个定义域为正整数集N ＋(或它的有限子集{1,2,3，…，n })的特殊函数，故对于数列的单调性的判断一般要通过比较a n ＋1与a n 的大小来判断：若a n ＋1＞a n ，则数列为递增数列；若a n ＋1＜a n ，则数列为递减数列．1在数列1,1,2,3,5,8,13,x,34，…中，x 的值是( )． A ．19 B ．20 C ．21 D ．222已知数列{a n }的通项公式是a n ＝－n 2＋7n ＋9，则其第3项，第4项分别是( )． A ．21,23 B ．21,25C ．21,21D ．以上选项都不对3以下四个数中，哪个数是数列{n (n ＋1)}中的一项( )． A ．380 B ．39 C ．32 D ．234已知－1,7，－13,19，…，则这个数列的通项公式为________．5数列{a n }的通项公式为a n ＝1n ＋1＋n，则10－9是此数列的第________项．答案：基础知识·梳理1．(1)一定次序 项 (2)a n 【做一做1】①②③④ 2．序号n 通项公式【做一做2】A 令n ＝1，在a n ＝(－1)n ＋1中，a 1＝(－1)1＋1＝1，同样在 a n ＝(－1)n －1，a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，n 为奇数，－1，n 为偶数中均有a 1＝1，符合题意．而在a n ＝(－1)n 中， a 1＝(－1)1＝－1，不符合题意，故选A.3．正整数N ＋ 从小到大【做一做3－1】C 数列中的项可以相等． 【做一做3－2】D4．(1)有穷 无穷 (2)大于 小于 相等 【做一做4】① ②③④⑤ 典型例题·领悟【例1】解：(1){1,5,2,3,6,7}表示的是一个数集，而不是数列； (2)表示的是方程的解，虽然是数，却没有一定的顺序，不能叫数列； (3)f (－1)，f (0)，f (1)，f (2)是有顺序的一列数，是数列；(4)当x ＝1时，x ，x ＋1，x －2，x 2,2x都是一些数，而且具有顺序，故是数列； (5)当x ，y 表示数时为数列；当x ，y 中有一个不代表数时，便不是数列．【例2】解：(1)在通项公式a n ＝n2n ＋1中，依次取n ＝1,2,3,4,5，得到数列的前5项为a 1＝12×1＋1＝13，a 2＝22×2＋1＝25，a 3＝32×3＋1＝37，a 4＝42×4＋1＝49，a 5＝52×5＋1＝511.(2)在通项公式a n ＝3n ＋2n中，依次取n ＝1,2,3,4,5，得到数列的前5项为a 1＝3×1＋21＝5，a 2＝3×2＋22＝10，a 3＝3×3＋23＝17，a 4＝3×4＋24＝28，a 5＝3×5＋25＝47.【例3】解：(1)因为数列的各项是负正项交替出现的，所以用(－1)n来调节，数列各项的绝对值可以分成整数、分数的分子和分母三部分，整数部分是1,3,5,7,9，为奇数，分数的分子是1,2,3,4,5，正好是序号，分母是4,9,16,25,36，正好是平方数，这样我们可以归纳出数列的通项公式为a n ＝(－1)n[(2n －1)＋n(n ＋1)2]．(2)将数列前4项改写成分数的形式：41，－52，63，－74，可得该数列的通项公式a n ＝(－1)n ＋1n ＋3n.(3)由于9,99,999,9 999，…的通项公式是10n－1，所以将题中数列各项改写可得：5＝59×9,55＝59×99,555＝59×999,5 555＝59×9 999，可得该数列的通项公式a n ＝59(10n－1)． (4)原数列可写成：11，33，57，715，931，…，得该数列的通项公式为a n ＝2n －12n －1.【例4】解：(1)∵f (x )＝x －1x，f (a n )＝－2n ，∴a n －1a n＝－2n ，即a 2n ＋2na n －1＝0，解得a n ＝－n ±n 2＋1，∵a n ＞0，∴a n ＝n 2＋1－n . (2)解法一(作差法)：1＝(n ＋1)＋n(n ＋1)2＋1＋n 2＋1－1，又(n ＋1)2＋1＞n ＋1，n 2＋1＞n ，∴(n ＋1)＋n(n ＋1)2＋1＋n 2＋1＜1. ∴a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n . ∴数列{a n }是递减数列． 解法二(作商法)： ∵a n ＞0，∴a n ＋1a n ＝(n ＋1)2＋1－(n ＋1)n 2＋1－n ＝n 2＋1＋n(n ＋1)2＋1＋(n ＋1)＜1. ∴a n ＋1＜a n .∴数列{a n }是递减数列．【例5】解：(1)由已知，得log 22a n －log2a n 4＝2n ，即a n －2a n＝2n ，即a 2n －2na n －2＝0，解得a n ＝n ±n 2＋2.又0＜x ＜1，∴0＜2a n ＜1. 故a n ＜0(n ∈N ＋)，∴a n ＝n －n 2＋2(n ∈N ＋)．(2)有．∵a n ＋1a n ＝(n ＋1)－(n ＋1)2＋2n －n 2＋2＝n ＋n 2＋2n ＋1＋(n ＋1)2＋2＜1，又a n ＜0，∴a n ＋1＞a n (n ∈N ＋)， 即a 1＜a 2＜a 3＜…＜a n ＜a n ＋1＜….∴数列的最小项为第1项，a 1＝1－ 3.【例6】正解：选B.a n ＋1－a n ＝(n ＋1)2－k (n ＋1)－n 2＋kn ＝2n ＋1－k .由于{a n }单调递增，故应有a n ＋1－a n ＞0，即2n ＋1－k ＞0恒成立，所以k ＜2n ＋1，故只需k ＜3即可．故选B.随堂练习·巩固1．C 观察数列可得规律：1＋1＝2,1＋2＝3,2＋3＝5，…，8＋13＝x ＝21，13＋21＝34，∴x ＝21，故选C.2．C3．A n (n ＋1)是这个数列的通项公式，即a n ＝n (n ＋1)． ∵380＝19×20＝19×(19＋1)， ∴380是该数列中的第19项，或者令n (n ＋1)＝380，得n ＝19，是个整数，符合题意．故选A.4．(－1)n(6n －5)5．9 利用常用的变形方法：分母有理化，将通项公式变形，a n ＝1n ＋1＋n ＝n ＋1－n ＝10－9，观察可得：n ＝9.。
2018版高中数学(人教B版)必修五学案：第二章 2.1.2 数列的递推公式(选学)
2.1.2 数列的递推公式(选学)[学习目标] 1.理解递推公式是数列的一种表示方法.2.能根据递推公式写出数列的前n 项.3.掌握由一些简单的递推公式求通项公式的方法．[知识链接]1．数列中的项与数集中的元素进行对比，数列中的项具有的性质有________．答案 (1)确定性；(2)可重复性；(3)有序性；(4)数列中的每一项都是数．2．数列的项与对应的序号能否构成函数关系？类比函数的表示方法，想一想数列有哪些表示方法？答案 数列的项与对应的序号能构成函数关系．数列的一般形式可以写成：a 1，a 2，a 3，…，a n ，….除了列举法外，数列还可以用公式法、列表法、图象法来表示．[预习导引]1．递推公式如果已知数列的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n 与它的前一项a n －1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式．2．数列的表示方法数列的表示方法有列举法、通项公式法、图象法、列表法、递推公式法．要点一 由递推公式写出数列的项例1 已知数列{a n }满足下列条件，写出它的前5项，并归纳出数列的一个通项公式．(1)a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)；(2)a 1＝1，a n ＋1＝.2anan ＋2解 (1)∵a 1＝0，a n ＋1＝a n ＋(2n －1)，∴a 2＝a 1＋(2×1－1)＝0＋1＝1；a 3＝a 2＋(2×2－1)＝1＋3＝4；a 4＝a 3＋(2×3－1)＝4＋5＝9；a 5＝a 4＋(2×4－1)＝9＋7＝16.故该数列的一个通项公式是a n ＝(n －1)2.(2)∵a 1＝1，a n ＋1＝，2an2＋an ∴a 2＝＝，a 3＝＝，2a 12＋a 1232a 22＋a 212a 4＝＝，a 5＝＝，2a 32＋a 3252a 42＋a 413∴它的前5项依次是1，，，，.23122513它的前5项又可写成，，，，，21＋122＋123＋124＋125＋1故它的一个通项公式为a n ＝.2n ＋1规律方法 (1)根据递推公式写数列的前几项，要弄清公式中各部分的关系，依次代入计算即可．(2)若知道的是首项，通常将所给公式整理成用前面的项表示后面的项的形式；若知道的是末项，通常将所给公式整理成用后面的项表示前面的项的形式．跟踪演练1 设数列{a n }满足Error!写出这个数列的前5项．解 由题意可知a 1＝1，a 2＝1＋＝1＋＝2，1a 111a 3＝1＋＝1＋＝，a 4＝1＋＝1＋＝，1a 212321a 32353a 5＝1＋＝1＋＝.1a 43585要点二 由递推公式求通项例2 已知数列{a n }满足：a 1＝1,2n －1a n ＝a n －1(n ∈N ，n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)这个数列从第几项开始及其以后各项均小于？11 000解 (1)a n ＝··…···a 1anan －1an －1an －2a 3a 2a 2a 1＝()n －1·()n －2·…·()2·()1·112121212＝()1＋2＋…＋(n －1)＝，1221)(21n n -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛∴a n ＝.21)(21n n -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛(2)∵b n ＝＝(n －)2－，(n －1)n 2121218∴n ∈N ＋时，b n 递增，即{a n }为递减数列，∴当n ≤4时，≤6，a n ＝≥，(n －1)n221)(21n n -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛164当n ≥5时，≥10，a n ＝≤.(n －1)n 221)(21nn -⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛11 024∴从第5项开始各项均小于.11 000规律方法 由递推公式求通项公式的技巧(1)由数列的递推公式求通项公式是数列的重要问题之一，是高考考查的热点，累加法、累乘法、迭代法是解决这类问题的常用技巧．(2)当a n －a n －1＝f (n )且满足一定条件时，常用a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＋a 1来求a n .(3)当＝f (n )且满足一定条件时，常用a n ＝··…···a 1来求a n .an an －1an an －1an －1an －2a 3a 2a 2a 1跟踪演练2 已知数列{a n }，a 1＝1，以后各项由a n ＝a n －1＋(n ≥2)给出．1n (n －1)(1)写出数列{a n }的前5项；(2)求数列{a n }的通项公式．解 (1)a 1＝1；a 2＝a 1＋＝；a 3＝a 2＋＝；12×13213×253a 4＝a 3＋＝；a 5＝a 4＋＝.14×37415×495(2)由a n ＝a n －1＋得a n －a n －1＝(n ≥2)，1n (n －1)1n (n －1)∴a n ＝(a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 3－a 2)＋(a 2－a 1)＋a 1＝＋＋…＋＋＋11n (n －1)1(n －1)(n －2)13×212×1＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋(1－)＋11n －11n 1n －21n －1121312＝－＋1＋1＝2－＝(n ∈N ＋)．1n 1n 2n －1n 要点三 数列与函数的综合应用例3 f (x )＝log 2x －(0<x <1)，且数列{a n }满足f ()＝2n (n ∈N ＋)．2log2x n a 2(1)求数列{a n }的通项公式；(2)判断数列{a n }的增减性．解 (1)∵f (x )＝log 2x －，又∵f ()＝2nm ，2log2x n a 2∴log 2－＝2n ，即a n －＝2n .n a 22log22an 整理得a －2na n －2＝0，∴a n ＝n ±.2n n 2＋2又0<x <1，故0<<1，于是a n <0，n a2∴a n ＝n －(n ∈N ＋)．n 2＋2(2)＝an ＋1an (n ＋1)－(n ＋1)2＋2n －n 2＋2＝<1.n ＋n 2＋2(n ＋1)＋(n ＋1)2＋2∵a n <0，∴a n ＋1>a n ，∴数列{a n }是递增数列．规律方法 数列是一类特殊的函数，用函数与方程的思想处理数列问题．在判断数列{a n }的单调性时，可以用作差法或作商法．跟踪演练3 函数f (n )＝Error!数列{a n }的通项a n ＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2n )(n ∈N ＋)．(1)求a 1，a 2，a 4的值；(2)写出a n 与a n －1的一个递推关系式(注：1＋3＋5＋…＋(2n －1)＝4n －1)．解 (1)a 1＝f (1)＋f (2)＝f (1)＋f (1)＝2.a 2＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝f (1)＋f (3)＋f (1)＋f (2)＝1＋3＋a 1＝6.a 4＝f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (16)＝86.(2)a n －1＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2n －1)，a n ＝f (1)＋f (2)＋…＋f (2n )，＝f (1)＋f (3)＋f (5)＋…＋f (2n －1)＋f (2)＋f (4)＋f (6)＋…＋f (2n )＝1＋3＋5＋…＋(2n －1)＋f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2n －1)，∴a n ＝a n －1＋4n －1(n ≥2).1．数列1,3,6,10,15，…的递推公式是( )A ．a n ＋1＝a n ＋n ，n ∈N ＋B ．a n ＝a n －1＋n ，n ∈N ＋，n ≥2C ．a n ＋1＝a n ＋(n ＋1)，n ∈N ＋，n ≥2D ．a n ＝a n －1＋(n －1)，n ∈N ＋，n ≥2答案 B2．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1－a n ＋1＝0(n ∈N ＋)，则此数列的通项a n 等于( )A ．n 2＋1B ．n ＋1C ．1－nD ．3－n答案 D解析 ∵a n ＋1－a n ＝－1.∴a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝2＋(－1)＋(－1)＋…＋(－1)＝2＋(－1)×(n －1)＝3－n .3．用火柴棒按下图的方法搭三角形：按图示的规律搭下去，则所用火柴棒数a n 与所搭三角形的个数n 之间的关系式可以是________．答案 a n ＝2n ＋1解析 a 1＝3，a 2＝3＋2＝5，a 3＝3＋2＋2＝7，a 4＝3＋2＋2＋2＝9，…，∴a n ＝2n ＋1.4．已知：数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a nnn ＋1(1)写出数列的前5项；(2)猜想数列{a n }的通项公式．解 (1)a 1＝1，a 2＝×1＝，a 3＝×＝，a 4＝×＝，a 5＝×＝.11＋11221＋2121331＋3131441＋41415(2)猜想：a n ＝.1n 1．递推公式的理解与应用(1)与所有的数列不一定都有通项公式一样，并不是所有的数列都有递推公式．(2)递推公式也是给出数列的一种重要方法，递推公式和通项公式一样都是关于项数n 的恒等式，如果用符合要求的正整数依次去替换n ，就可以求出数列的各项．(3)递推公式通过赋值逐项求出数列的项，直至求出数列的任何一项和所需的项．(4)运用递推法给出数列，不容易了解数列的全貌，计算也不方便，所以我们经常用它得出数列的通项公式或者得到一个特殊数列，比如具有周期性质的数列．2．数列的通项公式与递推公式的作用和联系通项公式递推公式作用通项公式是给出数列的主要形式，由通项公式可求出数列的各项及指定项，也可以解决数列的性质问题(如增减性，最值等).数列的递推公式是给出数列的另一重要形式．由递推公式可以依次求出数列的各项.联系数列的通项公式与递推公式有时可以相互转化，如数列1,3,5，…，2n －1，…的一个通项公式为a n ＝2n －1(n ∈N ＋)，用递推公式表示为a 1＝1，a n ＝a n －1＋2(n ≥2，n ∈N ＋).。
高中数学 第二章 数列 2.1.1 数列学案 新人教B版必修5(2021年最新整理)
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2。
1.1 数列1。
理解数列的概念.（重点）2。
掌握数列的通项公式及应用.（重点)3。
能根据数列的前几项写出数列的一个通项公式。
（难点、易错点)［基础·初探]教材整理1 数列的定义及分类阅读教材P25第一行～P25倒数第5行，及P26例1上面倒数第一、二自然段，完成下列问题. 1。
数列的概念及一般形式2。
数列的分类类别含义按项的个数有穷数列项数有限的数列无穷数列项数无限的数列按项的变化趋势递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项相等的数列摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列判断(正确的打“√”，错误的打“×”）（1）1，7，0,11，－3，…，－1 000不构成数列。
( ）（2)｛a n｝与a n是一样的，都表示数列.( )（3)数列1,0,1，0，1，0,…是常数列。
( )(4）数列1，2,3,4和数列1，2,4,3是同一个数列.( ）【解析】(1）×.因为只要按一定次序排成的一列数就是一个数列，所以1,7,0,11，－3，…，－1 000是一个数列。
(2)×。
因为｛a n｝代表一个数列，而a n只是这个数列中的第n项，故｛a n｝与a n是不一样的。
人教版数学高二B版必修5学案第二章数列
数学人教B 必修5第二章数列知识建构综合应用专题一 求数列的通项公式数列的通项是数列的重要内容之一，只要有数列的通项公式，许多问题就可迎刃而解．如果一个数列是等差数列或等比数列，则可直接写出其通项公式，而对于非等差、等比数列的通项公式可通过适当的变形、构造等使之成为等差或等比数列来求解．因此数列通项公式的求解问题往往是解决数列难题的关键，现根据数列的结构特征把常见求解方法和技巧总结如下．(一)观察法应用1已知数列12，14，－58，1316，－2932，6164，…，则此数列的一个通项公式是________．提示：已知数列的前若干项，求该数列的通项公式时，一般先对所给的项观察分析，寻找规律，从而根据规律写出此数列的一个通项公式．(二)定义法应用2等差数列{a n }是递增数列，前n 项和为S n ，且a 1，a 3，a 9成等比数列，S 5＝a 25.求数列{a n }的通项公式．提示：本题已知{a n }是等差数列，可建立首项和公差的方程，通过解方程来求得首项和公差，再代入通项公式得其解．(三)S n 法应用3设数列{a n }的前n 项和为S n ＝2n 2，{b n }为等比数列，且a 1＝b 1，b 2(a 2－a 1)＝b 1.求数列{a n }和{b n }的通项公式．提示：本题已知S n 的表达式，自然想到使用公式a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2求解．(四)累加法应用4已知在数列{a n }中，a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝3n －n ，求数列{a n }的通项公式． 提示：由于本题给出了数列{a n }中连续两项的差，故可考虑用累加法求解． (五)迭乘法应用5已知在数列{a n }中，a 1＝13，前n 项和S n 与a n 的关系是S n ＝n (2n －1)a n ，求a n .提示：此题已知S n 与a n 的关系，应想到使用S n 法，然后得到相邻两项比的等式满足a n＝a n －1f (n )这种模型，因此使用迭乘法求解．(六)辅助数列法应用6在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝12a n ＋1，求数列{a n }的通项公式．提示：对于a n ＋1＝pa n ＋q 这一类型的递推关系式，常用配常数法求通项公式．设a n ＋1＋k ＝p (a n ＋k )，对比递推关系式，可得k ＝qp －1，构造出等比数列{a n ＋k }．专题二 数列的求和问题我们已学习了等差数列和等比数列，并熟悉了有关等差数列和等比数列的求和公式，然而有些数列既不是等差数列，又不是等比数列，像这样的数列如何求和呢？数列的求和常涉及分类讨论、转化化归等思想方法．在求数列的前n 项和S n 时，要掌握以下几种常用的方法：(一)公式法应用1已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n (n ＋1)，前n 项和为S n ，求S n .提示：本题已知a n ＝n (n ＋1)，可以看到在求和的式子中能分离出正整数数列、正整数的平方数列，因此使用公式法．(二)倒序相加法应用2在等差数列{a n }中，前4项的和为16，后4项的和为80，所有项之和为240，求这个数列的项数．提示：从题意可知前4项和与后4项和，又此数列是等差数列，具有与首尾“等距”的两项之和相等的特点，因此采用倒序相加法．(三)拆项分组求和法应用3求数列1＋1，1a ＋4，1a 2＋7，1a 3＋10，…，1an －1＋(3n －2)，…的前n 项和．提示：本题通项公式为a n ＝1a n－1＋(3n －2)，是一个指数式和一个一次式的和组成的，可以选择拆项分组求和法．(四)错位相减法应用4已知等差数列{a n }满足a 2＝0，a 6＋a 8＝－10. (1)求数列{a n }的通项公式；(2)求数列{a n2n －1}的前n 项和．提示：(1)中利用基本量法列出关于a 1与d 的方程组即可求出a n ；(2)利用错位相减法． (五)裂项相消求和法应用5求数列112＋2，122＋4，132＋6，142＋8，…的前n 项和．提示：先找出数列的通项公式a n ＝1n 2＋2n ，结合其结构形式将1n 2＋2n 化为1n (n ＋2)即可进行裂项相消求和．专题三 数列与数学思想数学思想方法对认知结构起着重要作用，是重要的基础知识，是知识转化为能力的桥梁．求解数列问题常用的数学思想有函数思想、方程思想、整体思想、分类讨论思想、转化思想等．(一)函数思想应用1等差数列{a n }的首项为a 1＝14，前n 项和为S n ，若S 3＝S 5，则当n ＝__________时，S n 最大．提示：本题利用了等差数列前n 项和具有的二次函数性质，等差数列前n 项和的最值问题经常借助求解二次函数最值的方法来解决．(二)方程思想应用2已知在等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝26，a 1＋a 5－S 3＝5，求a 20及S 20. 提示：等差(比)数列的有关问题大都可以建立关于a 1，d (q )的方程组求解． (三)整体思想应用3某等差数列前4项之和为－4，最后4项之和为36，且所有项的和为36，则此数列共有______项．提示：解题时，分析已知条件与所求问题的联系，把a 1＋a 2＋a 3＋a 4以及a n ＋a n －1＋a n－2＋a n －3看成一个整体，灵活运用整体思想．(四)分类讨论思想应用4已知等比数列{a n }是一个公比为q 的递增数列，且a 5＝a ，a 9＝a81，则该数列的首项a 1______0.(选填“＞”或“＜”)提示：当一个问题因为某种量的情况不同而有可能引起问题的结果不同时，需要对这个量的各种情况进行分类讨论．在本题中，由于等比数列的增减性与a 1，q 相关，所以应对q 的取值进行讨论．真题放送 1(2011·辽宁高考)若等比数列{a n }满足a n a n ＋1＝16n ，则公比为( )． A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 2(2011·安徽高考)若数列{a n }的通项公式是a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝( )．A ．15B ．12C ．－12D ．－15 3(2011·天津高考)已知{a n }为等差数列，其公差为－2，且a 7是a 3与a 9的等比中项，S n为{a n }的前n 项和，n ∈N ＋，则S 10的值为( )．A ．－110B ．－90C ．90D ．110 4(2011·重庆高考)在等差数列{a n }中，a 3＋a 7＝37，则a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝__________. 5(2011·广东高考)等差数列{a n }前9项的和等于前4项的和．若a 1＝1，a k ＋a 4＝0，则k ＝________.6(2011·北京高考)在等比数列{a n }中，若a 1＝12，a 4＝－4，则公比q ＝__________；|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝__________.7(2011·湖北高考)成等差数列的三个正数的和等于15，并且这三个数分别加上2,5,13后成为等比数列{b n }中的b 3，b 4，b 5.(1)求数列{b n }的通项公式；(2)数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：数列{S n ＋54}是等比数列．8(2011·山东高考)在等比数列{a n }中，a 1，a 2，a 3分别是下表第一、二、三行中的某一个数，且a 1，a 2，a 3(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{b n }满足：b n ＝a n ＋(－1)n ln a n ，求数列{b n }的前2n 项和S 2n . 9(2011·湖南高考)某企业在第1年初购买一台价值为120万元的设备M ，M 的价值在使用过程中逐年减少．从第2年到第6年，每年初M 的价值比上年初减少10万元；从第7年开始，每年初M 的价值为上年初的75%.(1)求第n 年初M 的价值a n 的表达式；(2)设A n ＝a 1＋a 2＋…＋a nn ，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年初对M 更新．证明：须在第9年初对M 更新．答案： 综合应用 专题一应用1：a n ＝(－1)n2n －32n观察数列每项的绝对值，分母为2,4,8,16，32，…，是2n 的形式，而分子，从第二项起满足“分子－分母＝－3”，因此改写第一项为－－12，这样，数列中每一项的绝对值都满足“分子－分母＝－3”这一规律，且数列中每一项的符号为“－”“＋”交替出现，故a n ＝(－1)n2n －32n.应用2：解：设数列{a n }的公差为d (d ＞0)． ∵a 1，a 3，a 9成等比数列，∴a 23＝a 1a 9， 即(a 1＋2d )2＝a 1(a 1＋8d )，得d 2＝a 1d . ∵d ＞0，∴a 1＝d .① ∵S 5＝a 25，∴5a 1＋5×42d ＝(a 1＋4d )2.②由①②，得a 1＝35，d ＝35.∴a n ＝35＋(n －1)×35＝35n .应用3：解：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2－2(n －1)2＝4n －2，当n ＝1时也适用， 故{a n }的通项公式为a n ＝4n －2.设{b n }的公比为q ，则b 2(a 2－a 1)＝b 1qd ＝b 1，又d ＝4，∴q ＝14.又a 1＝b 1＝2，故b n ＝b 1q n －1＝2×14n －1，即{b n }的通项公式为b n ＝24n －1.应用4：解：由a n ＋1－a n ＝3n －n ，得a n －a n －1＝3n －1－(n －1)，a n －1－a n －2＝3n －2－(n －2)， …a 3－a 2＝32－2， a 2－a 1＝3－1.当n ≥2时，以上n －1个等式两端分别相加，得 (a n －a n －1)＋(a n －1－a n －2)＋…＋(a 2－a 1)＝3n －1＋3n －2＋…＋3－[(n －1)＋(n －2)＋…＋1]，即a n －a 1＝3(1－3n －1)1－3－n (n －1)2.又∵a 1＝1，∴a n ＝12×3n －n (n －1)2－12.显然a 1＝1也适合上式，∴{a n }的通项公式为a n ＝12×3n －n (n －1)2－12.应用5：解：当n ≥2时，由S n ＝n (2n －1)a n ，得 S n －1＝(n －1)(2n －3)·a n －1，两式相减，得(2n ＋1)a n ＝(2n －3)a n －1， ∴a n a n －1＝2n －32n ＋1. ∴a n －1a n －2＝2n －52n －1，…，a 2a 1＝15.将上面n －1个等式相乘，得a n a 1＝(2n －3)(2n －5)(2n －7)…·3·1(2n ＋1)(2n －1)(2n －3)…·7·5＝3(2n ＋1)(2n －1)， ∴当n ≥2时，a n ＝1(2n ＋1)(2n －1).当n ＝1时，a 1＝13满足上式，故对n ∈N ＋，有a n ＝1(2n ＋1)(2n －1).应用6：解：令a n ＋1＋k ＝12(a n ＋k )，∵a n ＋1＝12a n ＋1，对比可得k ＝－2，∴a n ＋1－2＝12(a n －2)．∴{a n －2}是首项为a 1－2＝－1，公比为12的等比数列．∴a n －2＝－1·(12)n －1＝－(12)n －1.∴a n ＝－(12)n －1＋2.专题二应用1：解：∵a n ＝n (n ＋1)＝n 2＋n ，∴S n ＝(12＋1)＋(22＋2)＋(32＋3)＋…＋(n 2＋n ) ＝(12＋22＋32＋…＋n 2)＋(1＋2＋3＋…＋n ) ＝16n (n ＋1)(2n ＋1)＋12n (n ＋1) ＝13n (n ＋1)(n ＋2)． 应用2：解：设此数列{a n }共有n 项，则 a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝16，① a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝80.②以上两式相加，得4(a 1＋a n )＝16＋80， 解得a 1＋a n ＝24.又S n ＝n (a 1＋a n )2＝240，即n ×242＝240，解得n ＝20.所以数列的项数为20.应用3：解：设数列的通项为a n ，前n 项和为S n ，则 a n ＝1an －1＋(3n －2)，∴S n ＝(1＋1a ＋1a 2＋…＋1an －1)＋[1＋4＋7＋…＋(3n －2)]．当a ＝1时，S n ＝n ＋(1＋3n －2)n 2＝3n 2＋n2.当a ≠1时，S n ＝1－1a n1－1a＋(1＋3n －2)n 2＝a n －1a n －a n －1＋(3n －1)n2.应用4：解：(1)设等差数列{a n }的公差为d .由已知条件可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋d ＝0，2a 1＋12d ＝－10.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝－1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝2－n .(2)设数列{a n 2n －1}的前n 项和为S n ，即S n ＝a 1＋a 22＋…＋a n2n －1，故S 1＝1，S n 2＝a 12＋a 24＋…＋a n 2n . 所以，当n ＞1时，S n2＝a 1＋a 2－a 12＋…＋a n －a n －12n －1－a n 2n ＝1－(12＋14＋…＋12n －1)－2－n 2n＝1－(1－12n －1)－2－n 2n ＝n 2n .所以S n ＝n2n －1.综上，数列{a n 2n －1}的前n 项和S n ＝n2n －1.应用5：解：因为通项a n ＝1n 2＋2n ＝12(1n －1n ＋2)，所以此数列的前n 项和S n＝12[(1－13)＋(12－14)＋(13－15)＋…＋(1n －1－1n ＋1)＋(1n －1n ＋2)] ＝12(1＋12－1n ＋1－1n ＋2)＝34－2n ＋32(n ＋1)(n ＋2). 专题三应用1：4 ∵数列{a n }为等差数列，a 1＝14，S 3＝S 5，得3a 1＋3×22d ＝5a 1＋5×42d .∴d ＝－27a 1＝－4.∴S n ＝na 1＋n (n －1)2d＝14n ＋n (n －1)2·(－4)＝－2n 2＋16n .注意到函数y ＝－2x 2＋16x 的对称轴是x ＝－162×(－2)＝4.又∵n ∈N ＋，∴n ＝4时，S n 最大．应用2：解：⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 5＝26a 1＋a 5－S 3＝5⇒⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 5＝26，S 3＝21，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋a 1＋4d ＝26，3a 1＋3d ＝21.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝6.∴a 20＝a 1＋19d ＝1＋19×6＝115，S 20＝a 1＋a 202×20＝1 160.应用3：9 由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋a 2＋a 3＋a 4＝－4a n ＋a n －1＋a n －2＋a n －3＝36⇒4(a 1＋a n )＝32，∴a 1＋a n ＝8.又∵S n ＝n (a 1＋a n )2＝36，∴4n ＝36.∴n ＝9，即该数列共有9项．应用4：＜ ∵a n ＝a m q n －m ，∴q n －m ＝a n a m ，q 4＝a 9a 5＝181，∴q 2＝19.∴q ＝±13.当q ＝－13时，显然数列为摆动数列，不合题意，舍去．当q ＝13时，a n ＝a 1(13)n －1.∵y ＝(13)x 为减函数，∴当a 1＜0时，a n 单调递增． 真题放送1．B 令n ＝1，得a 1a 2＝16，① 令n ＝2，得a 2a 3＝162.②②÷①，得a 3a 1＝16，∴q 2＝16，∴q ＝±4.又由①知q ＞0，∴q ＝4.2．A ∵a n ＝(－1)n (3n －2)，则a 1＋a 2＋…＋a 10＝－1＋4－7＋10－…－25＋28＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋(－25＋28)＝3×5＝15.3．D 设等差数列{a n }的首项为a ，公差d ＝－2，则a 7＝a 1＋6d ＝a 1－12，a 3＝a 1＋2d ＝a 1－4，a 9＝a 1＋8d ＝a 1－16.∵a 7是a 3与a 9的等比中项， ∴a 27＝a 3·a 9. ∴(a 1－12)2＝(a 1－4)(a 1－16)．∴a 1＝20.∴S 10＝10a 1＋10×92d ＝110.4．74 ∵a 3＋a 7＝a 2＋a 8＝a 4＋a 6＝37， ∴a 2＋a 4＋a 6＋a 8＝2(a 3＋a 7)＝2×37＝74.5．10 由题意S 9＝S 4，得a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9＝0. ∴5a 7＝0，即a 7＝0.又a k ＋a 4＝0＝2a 7，a 10＋a 4＝2a 7， ∴k ＝10.6．－2 2n －1－12 ∵数列{a n }为等比数列，∴a 4＝12·q 3＝－4，∴q ＝－2，∴a n ＝12·(－2)n－1，∴|a n |＝12·2n －1.由等比数列前n 项和公式，得|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝12(1－2n )1－2＝－12＋12·2n ＝2n －1－12.7．解：(1)设成等差数列的三个正数分别为a －d ，a ，a ＋d . 依题意，得a －d ＋a ＋a ＋d ＝15，解得a ＝5. 所以{b n }中的b 3，b 4，b 5依次为7－d,10,18＋d ， 依题意，有(7－d )(18＋d )＝100， 解得d ＝2或d ＝－13(舍去)． 故{b n }的第3项为5，公比为2，由b 3＝b 1·22，即5＝b 1·22，解得b 1＝54.所以{b n }是以54为首项，2为公比的等比数列，其通项公式为b n ＝54·2n －1＝5·2n －3.(2)证明：数列{b n }的前n 项和S n ＝54(1－2n )1－2＝5·2n －2－54，即S n ＋54＝5·2n －2.所以S 1＋54＝52，S n ＋1＋54S n ＋54＝5·2n －15·2n －2＝2.因此数列{S n ＋54}是以52为首项，公比为2的等比数列．8．解：(1)当a 1＝3时，不合题意；当a 1＝2时，当且仅当a 2＝6，a 3＝18时，符合题意； 当a 1＝10时，不合题意．因此a 1＝2，a 2＝6，a 3＝18，所以公比q ＝3.故a n ＝2·3n －1.(2)因为b n ＝a n ＋(－1)n ln a n＝2·3n －1＋(－1)n ln(2·3n －1)＝2·3n －1＋(－1)n [ln 2＋(n －1)ln 3]＝2·3n －1＋(－1)n (ln 2－ln 3)＋(－1)n n ln 3. 所以S 2n ＝b 1＋b 2＋…＋b 2n＝2(1＋3＋…＋32n －1)＋[－1＋1－1＋…＋(－1)2n ](ln 2－ln 3)＋[－1＋2－3＋…＋(－1)2n 2n ]ln 3＝2×1－32n1－3＋n ln 3＝32n ＋n ln 3－1.9．解：(1)当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ；当n ≥6时，数列{a n }是以a 6为首项，公比为34的等比数列，又a 6＝70，所以a n ＝70×(34)n－6.因此，第n 年初M 的价值a n 的表达式为a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧130－10n ，n ≤6，70×(34)n －6，n ≥7. (2)设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差数列和等比数列的求和公式得：当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)，所以A n ＝120－5(n －1)＝125－5n ； 当n ≥7时，由于S 6＝570，故S n ＝S 6＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×[1－(34)n －6]＝780－210×(34)n －6，所以A n ＝780－210×(34)n －6n.因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列．又A 8＝780－210×(34)28＝824764＞80，A 9＝780－210×(34)39＝767996＜80，所以须在第9年初对M 更新．。