一元一次方程知识点完整版)

第三章：一元一次方程

本章板块

1. 定义

2. 等式的基本性质

一元一次方程 3.解方程

4. 方程的解

5. 实际问题与一元一次方 程

知识梳理

【知识点一：方程的定义】

方程： 含有未知数的等式就叫做方程。

注意未知数的理解， x,m,n 等，都可以作为未知数。 题型： 判断给出的代数式、等式是否为方程 方法： 定义法

例 1、 判定下列式子中，哪些是方程？

2

1 1

（1） x y 4 （2） x 2（3） 2 4 6（4） x 2 9（5）

x2

知识点二： 一元一次方程的定义】

一元一次方程 ：①只含有一个未知数 （元） ； ②并且未知数的次数都是 1（ 次） ； ③这样的整式方程叫做一元一次方程。 题型一 ：判断给出的代数式、等式是否为一元一次方程 方法： 定义法 例 2、 判定下列哪些是一元一次方程？

题型二 ：形如一元一次方程，求参数的值

方法： x 2的系数为 0； x 的次数等于 1； x 的系数不能为 0。 例 3、如果 m 1 x 5 0 是关于 x 的一元一次方程，求 m 的值

例 4、若方程 2a 1 x 2 ax 5 0是关于 x 的一元一次方程，求 a 的值

【知识点三：等式的基本性质】

等式的性质 1：等式两边都加上 （或减去）同个数（或式子 ） ，结果仍相等。即：若 a=b ，则 a ±c=b ±c

2

2

2(x 2 x) x 0， x 1 7， x 0，

1

x y 1， x

3 ， x 3x ， a 3 x

等式的性质 2：等式两边同时乘以同一个数，或除以同一个不为 ab

若a b ，则 ac bc ；若 a b ， c 0且 a b

cc 例 5、运用等式性质进行的变形，不正确的是（ ）

A 、如果 a=b ，那么 a-c=b-c

B 、如果 a=b ，那么 a+c=b+c ab

C 、如果 a=b ，那么

D 、如果 a=b ，那么 ac=bc

cc

【知识点四：解方程】 方程的一般式是： ax b 0 a 0

练习 1、 2 x 5 x 4 3 2x 1 5x 3

题型一 ：不含参数，求一元一次方程的解 方法：

x3

4 2 3x 5

82

0 的数，结果仍相等。即：

例 7、 解方程

题型二： 解方程的题中，有相同的含 x 的代数式

方法： 利用整体思想解方程，将相同的代数式用另一个字母来表示，从而先将方程化简， 并求值。再将得到的值与该代数式相等，求解原未知数。

2x 1 2 2x 1 5 2x 1

例 8、

4 0

2 3 6

思路点拨： 因为含有 x 的项均在“ 2x 1 ”中，所以我们可以将作为“ 2x 1”一个整体， 先求出整体的值，进而再求 x 的值。

题型三： 方程含参数，分析方程解的情况

方法： 分情况讨论，① a 0 时，方程有唯一解 x b ； a

② a 0 , b 0 时，方程有无穷解；

③ a 0 , b 0 时，方程无解。

例 9、探讨关于 x 的方程 ax b x 3 0解的情况

【知识点五：方程的解】 方程的解：使方程左右两边值相等的未知数的值，叫做方程的解。 题型一： 问 x 的值是否是方程的解

方法： 将 x 的值代入方程的左、右两边，看等式是否成立。 2 x 1

例 10 、检验 x 5 和 x 5 是不是方程

x 2 的解 3

题型二： 给出的方程含参数，已知解，求参数

方法： 将解代入原方程，从而得到关于参数的方程，解方程求参数 例 11、若 x 3是方程 k x 4 2k x 5的解，求 k 的值

题型三： 方程中含参数， 但在解方程过程中将式子中某一项看错了， 从而得到错误的解， 求 参数的值 方法： 将错误的解代入错误的方程中，等式仍然成立，从而得到关于参数的正确方程， 解方 程求参数 例 12、小张在解关于 x 的方程 3a 2x 15时，误将 2x 看成 2x 得到的解为 x 3，请你 求出原来方程的

练习 2、

0.2 x 0.1 0.5x 0.1 1

0.6

0.4

练习3、23 23 41 1 2 2 x

解。

题型四：给出的两个方程中，其中一个方程含参数，并且题目写出“方程有相同解” 或者“这个方程的解同时也满足另一个方程”。要求参数的值或者含参数代数式的值

方法：求出其中一个不含参的方程的解，并将这个解代入到另一个方程中，从而得到关于参数的方程，解方程求参数即可

例13、若方程3 2x 1 2 3x和关于x 的方程6 2k 2x 1有相同的解，求k的值

题型五：解方程的题中，方程含绝对值

方法：根据绝对值的代数意义：分情况讨论。

a( a 0)

例14 、2 x x 6|a|0(a 0)

a(a 0)

题型

六：方程中含绝对值，探讨方程解的个数

方法：根据绝对值的代数意义去绝对值，再根据一元一次方程的步骤解方程。

例15、求3x x 2 4 的解的个数

【知识点六：实际应用与一元一次方程】列一元一次方程解应用题的一般步骤：

（1）审题，分析题中已知什么，未知什么，明确各量之间的关系，寻找等量关系；

（2）设未知数，一般求什么就设什么为x，有时也可间接设未知数；

（3）列方程，把相等关系左右两边的量用含有未知数的代数式表示出来，列出方程；

（4）解方程

（5）检验，看方程的解是否符合题意；

（6）作答。

题型一：和、差、倍、分问题

例15、小明暑期读了一本名著，这本名著一共有950 页，已知他读了的是没读过的三倍，

问小明还有多少页书没读？

题型二：调配问题

例16、有两个工程队，甲工程队有32 人，乙工程队有28 人，如果是甲工程队的人数是工程队人数的2