(江苏专版)2019年高考数学母题题源系列专题10基本不等式的应用(含解析)

专题10 基本不等式的应用【母题来源一】【2019年江苏】在平面直角坐标系xOy 中，P 是曲线4(0)y x x x=+>上的一个动点，则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是 ▲ .【答案】4【解析】设P 点的坐标是4(,)(0)m m m m+>， 则点P 到直线x +y =044||24m m m +++=≥=， 当且仅当42m m=，即m = 则点P 到直线x +y =0的距离的最小值是4.故答案为4．【名师点睛】本题考查曲线上任意一点到已知直线的最小距离，渗透了直观想象和数学运算素养.利用基本不等式即可求解.【母题来源二】【2018年江苏】在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，120ABC ∠=︒，ABC ∠的平分线交AC 于点D ，且1BD =，则4a c +的最小值为___________．【答案】9【解析】由题意可知，,由角平分线性质和三角形面积公式得，化简得，因此当且仅当时取等号，则的最小值为.【名师点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”（即条件要求字母为正数）、“定”不等式的另一边必须为定值）、“等（等号取得的条件）的条件才能应用，否则会出现错误.【母题来源三】【2017年江苏】某公司一年购买某种货物600吨，每次购买x 吨，运费为6万元/次，一年的总存储费用为4x 万元．要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则x 的值是___________．【答案】30【解析】总费用为600900464()4240x x x x +⨯=+≥⨯=， 当且仅当900x x=，即30x =时等号成立． 【名师点睛】利用基本不等式求最值时要灵活运用以下两个公式：①22,,2a b a b ab ∈+≥R ，当且仅当a b=时取等号；②,a b +∈R ，a b +≥，当且仅当a b =时取等号．解题时要注意公式的适用条件、等号成立的条件，同时求最值时注意“1的妙用”．【命题意图】（1）了解基本不等式的证明过程.（2）会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.【命题规律】基本不等式是高考考查的热点，常以填空题的形式出现．通常以不等式为载体综合考查函数、方程、三角函数、立体几何、解析几何等问题．主要有以下几种命题方式：（1）应用基本不等式判断不等式是否成立或比较大小．解决此类问题通常将所给不等式(或式子)变形，然后利用基本不等式求解．（2）条件不等式问题．通过条件转化成能利用基本不等式的形式求解．（3）求参数的值或范围．观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得到参数的值或范围.【方法总结】利用基本不等式求最值的常用技巧：（1）若直接满足基本不等式条件，则直接应用基本不等式．（2）若不直接满足基本不等式条件，则需要创造条件对式子进行恒等变形，如构造“1”的代换等．常见的变形手段有拆、并、配.①拆——裂项拆项 对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件．②并——分组并项目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先由一组应用基本不等式，再组与组之间应用基本不等式得出最值．③配——配式配系数有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.（3）若一次应用基本不等式不能达到要求，需多次应用基本不等式，但要注意等号成立的条件必须要一致.注：若可用基本不等式，但等号不成立，则一般是利用函数单调性求解.（4）基本不等式的常用变形①a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．②a 2＋b 2≥2ab ，ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )，当且仅当a ＝b 时，等号成立． ③b a ＋a b ≥2(a ，b 同号且均不为零)，当且仅当a ＝b 时，等号成立．④a ＋1a ≥2(a >0)，当且仅当a ＝1时，等号成立；a ＋1a≤－2(a <0)，当且仅当a ＝－1时，等号成立． 1．【江苏省苏锡常镇2019届高三教学情况调研数学试题】已知，，且，则的最小值是____________．【答案】【解析】∵，当且仅当时取等号.因此的最小值是2．【江苏省徐州市（苏北三市（徐州、淮安、连云港））2019届高三年级第一次质量检测数学试题】已知0a >，0b >，且113a b b a+=-，则b 的最大值为____________． 【答案】13【解析】113a b b a +=-化为1132b a b a-=+≥，即23210b b +-≤， 解得：103b <≤， 所以b 的最大值为13. 故答案为13. 3．【江苏省南通市2019届高三年级阶段性学情联合调研数学试题】设，向量a ，，若，则的最小值为____________．【答案】9【解析】因为，所以4x +（1﹣x ）y =0，又x ＞0，y ＞0，所以+=1，故x +y =（+）（x +y ）=5++≥9．当且仅当=，+=1同时成立，即x =3，y =6时，等号成立．则（x +y ）min =9．故答案为9．4．【江苏省镇江市2019届高三考前模拟（三模）数学试题】在等腰ABC △中，，，则ABC △面积的最大值为____________．【答案】4【解析】以为轴，以的垂直平分线为轴，设，，，，，，，，，当且仅当，即时等号成立，，，则ABC △面积的最大值为4.故答案为4．5．【江苏省苏锡常镇四市2019届高三教学情况调查（二）数学试题】已知正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则222124a b a b+++的最小值为____________． 【答案】11【解析】因为1a b +=，且,a b 都是正实数， 所以2221241414222a b a b a b a b a b ++⎛⎫+=+++=++ ⎪⎝⎭()141442127711b a a b a b a b a b ⎛⎫⎛⎫=++⨯=+++=++≥+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 当且仅当12,33a b ==时，等号成立. 所以222124a b a b+++的最小值为11. 6．【江苏省扬州市2019届高三第一学期期末检测数学试题】已知正实数x ，y 满足40x y xy +-=，若x y m +≥恒成立，则实数m 的取值范围为____________．【答案】(,9]-∞【解析】由题意知x +4y ﹣xy ＝0，即x +4y ＝xy ，等式两边同时除以xy 得411x y+=，由基本不等式可得()414559y x x y x y x y x y ⎛⎫+=++=++≥= ⎪⎝⎭， 当且仅当4y x x y=，即当x ＝2y =6时，等号成立， 所以，x +y 的最小值为9．因此，m ≤9．故答案为(,9]-∞．7．【天津市部分区2019年高三质量调查数学试题】已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π3B =，b =，则ABC △周长的最大值是____________．【答案】【解析】因为222π2cos3b a c ac =+-， 所以222222()12()3()3()24a c a c a c ac a c ac a c ++=+-=+-≥+-=， 当且仅当a c =时取等号，因此2()48,a c a c a b c +≤+≤++≤故ABC △周长的最大值是8．【天津市南开区南开中学2019届高三第五次月考数学试题】已知直线()600,0ax by a b +-=>>被圆22240x y x y +--=截得的弦长为ab 的最大值为____________． 【答案】92【解析】圆22240x y x y +--=可化为22(1)(2)5x y -+-=，则圆心为()1,2,半径为r =又因为直线()+6=00,0ax by a b ->>被圆22240x y x y +--=截得的弦长为2r =，所以直线()+6=00,0ax by a b ->>过圆心,即260a b +-=，即26,0,0a b a b +=>>，62a b ∴=+≥2a b =时取等号，9,2ab ab ∴≤∴的最大值为92. 故答案为92. 9．【河南省名校联考2019届高三联考（四）数学试题】已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin sin 4sin C B A +=.若2a =，则当cos A 取得最小值时，ABC △的外接圆的半径为____________．【解析】由正弦定理得48b c a +==， 由余弦定理得()222224430307cos 112282b c bc b c A bc bc bc b c +--+-===-≥-=+⎛⎫ ⎪⎝⎭， 即当4b c ==时，cos A 取得最小值为78，此时sin 8A ==， 设外接圆半径为r ，由正弦定理得2sin a r A =，解得15r =. 故当cos A 取得最小值时，ABC △的外接圆的半径为15. 10．【天津市河北区2019届高三二模数学试题】已知首项与公比相等的等比数列{}n a 中，m ，n *∈N ，满足224m n a a a =，则21m n+的最小值为____________． 【答案】1【解析】设等比数列{}n a 的公比为q ，则首项1a q =，由224m n a a a =得()()22113111m n a q a q a q --⋅=， 则28m n q q +=，28m n ∴+=，()2112114142224888n m n m m n m n m n m n m n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+=⋅++=⋅+++=⋅++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭∴， *,m n ∈N ，40,0n m m n∴>>，则44n m m n +≥=（当且仅当4n m m n =，即2n m =时取等号）， ()min 2114418m n ⎛⎫∴+=⨯+= ⎪⎝⎭. 故答案为1.11．【江西省临川一中2019届高三年级考前模拟考试数学试题】如图，点D 在ABC △的边AC 上，且3CD AD =，BD =，cos 2ABC ∠=，则3AB BC +的最大值为____________．【答案】5【解析】因为cos 24ABC ∠=，所以221cos 2cos 121244ABC ABC ⎛⎫∠∠=-=⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭， 因为3CD AD =，所以3CD DA =，即()3BD BC BA BD -=-， 整理得到3144BD BA BC =+， 两边平方后有22291316168BD BA BC BA BC =++⋅， 所以22913216168BA BC BA BC =++⋅， 即2291312||||161684BA BC BA BC =++⋅⨯， 整理得到2233292BA BC BA BC =++⋅， 设,c BA a BC ==，所以()22239329322c a ac c a ac =++=+-， 因为2933332222ac c a c a ⨯⨯+⎛⎫=≤⨯ ⎪⎝⎭， 所以()()()()2222935323333288c a ac c a c a c a =+-≥+-+=+，则35c a +≤=，当且仅当5a =，15c =时等号成立，故答案为5.。