共点力平衡中的临界极值问题
平衡中的临界与极值
一. 教学内容：平衡问题中的临界与极值问题归纳二. 学习目标：1、掌握共点力作用下的物体平衡条件的应用问题的分析方法。
2、掌握平衡问题中临界与极值问题的特征。
3、熟练掌握典型的临界与极值问题的常用处理方法和技巧。
考点地位：共点力作用下的物体平衡问题中的极值与临界问题是处理平衡问题的难点所在，这部分内容重点体现与数学知识的融合，体现了高考大纲中所要求的运用数学方法分析物理问题的能力，同时这部分内容在高考中常与库仑力、安培力等相互结合，难度较大。
三. 重难点解析：1. 共点力作用下物体平衡的条件在共点力作用下物体平衡的条件是：物体所受的合力为零。
即（矢量式）。
用正交分解法解决有关在共点力作用下的物体平衡问题时，平衡条件可叙述为：用平衡条件的正交表达形式解题具有三大优点：其一，将矢量运算转变为代数运算，使难度降低。
其二，将求合力的复杂的解斜三角形问题，转变为正交分解后的直角三角形问题，使运算简便易行。
其三，当所求平衡问题中需求两个未知力时，这种表达形式可列出两个方程，使得求解十分方便。
2. 力的平衡作用在物体上所有力的合力为零，这种情形叫做力的平衡。
（1）当物体只受两个力作用而平衡时，这两个力大小一定相等，方向一定相反，且作用在同一直线上。
这两个力叫做一对平衡力。
（2）当物体受到三个力的作用而平衡时，这三个力必在同一平面内，且三个力的作用线或作用线的延长线相交于一点，这就是三力汇交原理。
3. 一对平衡力与一对作用力和反作用力的区别（1）平衡力作用于同一物体上。
作用力和反作用力分别作用在两个物体上。
（2）作用力与反作用力性质相同。
平衡力的性质不一定相同。
例如静止在水平桌面上的物体，重力与桌面的支持力是一对平衡力；支持力是弹力，与重力的性质不同。
（3）作用力与反作用力同时产生、同时变化、同时消失，平衡力中的某一力变化或消失时，其他力不一定变化或消失。
例如抽去桌面时，物体所受的支持力消失，但物体的重力仍然保持不变。
力的合成与分解：共点力平衡中的临界与极值问题-高三物理一轮总复习课件
动摩擦因数 μ＝0.5，斜面固定不动。设物块与斜面间的最大静摩擦力与
滑动摩擦力大小相等，下列说法正确的是( )
A．小物块可能只受三个力
B．弹簧弹力大小一定等于 4 N C．弹簧弹力大小不可能等于 3 N
1.不存在弹簧的弹 力作用时,物块能否
在斜面上静止？
D．斜面对物块支持力可能为零
若要物块在斜面上 静止,弹簧应拉伸还
第二章 相互作用
热点突破： 共点力平衡中的临界
与极值问题
1.热点透析 2.典例剖析 3.规律方法 4.备选训练 5.真题演练
1.热点透析
1．临界问题
一种物理现 象(或过程)
关键词： “刚好”、“刚能”、
“恰好”等
转化
一些物理量 瞬时突变
另一种物理现 象(或过程)
解决问题的基本 思维方法： 假设推理法
对 A 球受力分析 如图：
长度之比为 OA∶AB∶OB＝3∶4∶5,
两球质量关系为 mA＝2mB＝2m,则下列 说法正确的是 ( B ) A．OB 绳的拉力大小为 2mg
由 OA∶AB∶OB＝3∶4∶5 知∠BOA＝53°，∠AOG＝37° 所以 F＝tanG37°＝2m3 g＝38mg
B．OA 绳的拉力大小为103mg C．F 的大小为4m3 g D．AB 绳的拉力大小为 mg
得：FG1＝scions
θ－μ×cos θ＋μ×sin
θθ＝01..21＝121；
即121≤GF≤2，故 F 与 G 的比值不可
设物体刚好不上滑时 F＝F2，则： ＋G·sin θ，
答案 A
解析显隐
【备选】 一个质量为 1 kg 的物体放在粗糙的水平地面上，今用 最小的拉力拉它，使之做匀速运动，已知这个最小拉力为 6 N，g ＝10 m/s2，则下列关于物体与地面间的动摩擦因数 μ，最小拉力 与水平方向的夹角 θ，正确的是( )． A．μ＝34，θ＝0 B．μ＝34 tan θ＝34
第3讲 共点力的平衡(整体法、隔离法、临界极值)
研究系统内物体之间的相互作用力时，必须采用隔离法。
（将研究对象与周围物体分隔开） 受力分析时，有时解决一个问题要将整体法与隔离法交替使用
整体、隔离法的应用
课本P36 第1题
(2017届湖北襄阳模拟)如图，质量为m的木块A放在质量为 M的三角形斜劈B上，现用大小相等、方向相反的水平力F 分别推A和B，它们均静止不动，重力加速度为g，则( A．A与B之间一定存在摩擦力 B．B与地面之间一定存在摩擦力 C．B对A的支持力一定小于mg
课本P34
临界问题：当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化， 从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，
在问题的描述中常用“刚好”“刚能”“恰好”等语言．
极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大 值和最小值问题．
如图，滑块A置于水平地面上，滑块B在一水平力F作用下紧靠
(2017届安徽江淮名校联考)如图所示，轻质弹簧一端系在质量 为m＝1 kg的小物块上，另一端固定在墙上．物块在斜面上静 止时，弹簧与竖直方向的夹角为37°，已知斜面倾角θ＝37°，
斜面与小物块间的动摩擦因数μ＝0.5，斜面固定不动．设物块
与斜面间的最大静摩擦力与滑动摩擦力大小相等，下列说法 正确的是(g取10 m/s2)( )
共点力平衡、整体法隔离法的应用
（多选）如图所示，甲、乙两物体用压缩的轻质弹簧连接静置于
倾角为θ的粗糙斜面体上，斜面体始终保持静止，则下列判断正 确的是( )
CD
A.物体甲一定受到4个力的作用 B.物体甲所受的摩擦力方向一定沿斜面向下
C.物体乙所受的摩擦力不可能为零
D.水平面对斜面体无摩擦力作用
整体法隔离法的应用
课本P31 第5题
新教科版高中物理必修1第四章第2节共点力平衡条件的应用临界状态与极值问题(12张ppt)
C.1
D.0.5
【解析】选B、C、D.设物体刚好不下滑时F=F1，此时物 体A有沿斜面下滑的趋势，则：
F1cosθ+μFN-Gsinθ=0
FN-F1sinθ-Gcosθ=0 解得： F 1 sin 3 7 0 .5 c o s3 7 0 .22
Gc o s3 7 0 .5 sin 3 7 1 .11 1
2、极值问题：平衡物体的极值，一般指在力的变化 过程中的最大值和最小值问题。解决这类问题的方法常用解 析法，即根据物体的平衡条件列出方程，在解方程时，采用 数学知识求极值或者根据物理临界条件求极值。另外，图解 法也是常用的一种方法，即根据物体的平衡条件作出力的矢 量图，画出平行四边形或者矢量三角形进行动态分析，确定 最大值或最小值。
例1.如图所示，一根轻绳上端固定在O点，下端拴一个重为G的
钢球A，球处于静止状态．现对球施加一个方向向右的外力F，
使球缓慢偏移，在移动中的每一刻，都可以认为球处于平衡状
态，如果外力F方向始终水平，最大值为2G，试求：（1）轻绳
张力T的大小取值范围；（2）在乙图中画出轻绳张力与cosθ的
关系图象．
解：（1）当水平拉力F=0时轻绳 O
T
处于竖直位置，绳子张力最小
Tmin G
当水平拉力F=2G时，绳子张力最大 .
Tma x G 2(2G )25G
F FO 甲
乙 cos
因此轻绳的张力范围是 GT 5G
（2） T G
cos
例2.物体A的质量为2 kg，两根轻细绳b和c的 一端连接于竖直墙上，另一端系于物体A上， 在物体A上另施加一个方向与水平线成θ角的 拉力F，相关几何关系如图所示，θ=60°.若 要使两绳都能伸直，求拉力F的大小范围.(g物体A受力如
45共点力平衡中的临界和极值问题
共点力平衡中的临界和极值问题【【教教学学目目标标】】1、知道共点力平衡中的临界状态及极值问题；2、掌握解共点力平衡中的临界问题和极值问题的方法。
【【重重点点难难点点】】分析共点力平衡中的临界问题和极值问题的方法【【教教学学方方法法】】讲练结合【【教教学学用用具具】】幻灯片【【教教学学过过程程】】一、临界状态某种物理现象变化为另一种物理现象或物体从某种特性变化为另一种特性时，发生质的飞跃的转折状态称为临界状态。
临界状态也可理解为“恰好出现”或“恰好不出现”某种现象的状态，平衡物体的临界状态是指物体所处平衡状态将要破坏而尚未破坏（即将发生变化）的状态。
涉及临界状态的问题叫临界问题。
解决这类问题时，一定要注意“恰好出现”或“恰好不出现”的条件。
二、极值问题在平衡物体的极值问题中，一般是指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
三、解答临界问题的基本思维方法1、假设推理法：即先假设怎样，然后再根据平衡条件及有关知识列方程求解。
2、极限分析法：即通过恰当地选取某个物理量推向极端（“极大”和“极小”、“极左”和“极右”等），从而把比较隐蔽的临界现象（或“各种可能性”）暴露出来，便于解答。
四、解答极值问题的基本思维方法解答平衡物体的临界问题时，经常遇到讨论某些物理量的极值问题，处理这类问题时，应从极值条件出发，对处于平衡临界状态的物体，列出平衡方程，并应用恰当的数学工具（如应用三角函数的性质、配方法等）解决。
1、根据物体的平衡条件列的方程中，如果含有三角函数则可利用三角函数公式，把所列方程化成仅含单个正弦或单个余弦函数的式子，然后应用正弦或余弦函数的绝对值不大于1的性质，求出某些物理量的最大值或最小值。
2、根据平衡条件列出的方程中，如果含有y ＝a cos θ+b sin θ形式的部分，可以将其作如下处理求出极值：)y θθ=+ 令tan ba ϕ＝（或tan a bϕ＝）则22cos a b ϕ+＝，22sin a b ϕ+＝22sin()y a b θϕ+⋅+＝当=+ϕθ90º，y 有最大值y max ＝22b a +当=+ϕθ0时，y 有最小值y min ＝0。
思想方法 4.共点力平衡中的临界与极值问题的处理方法
思想方法 4.共点力平衡中的临界与极值问题的处理方法1．临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述．处理临界问题的思维方法 假设推理法． 2．极值问题平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．一般用图解法或解析法进行分析． 处理极值问题的两种基本方法 (1)解析法：根据物体的平衡条件列方程，通过数学知识求极值的方法．此法思维严谨，但有时运算量比较大，相对来说较复杂，而且还要依据物理情境进行合理的分析讨论． (2)图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量三角形，然后由图进行动态分析，确定极值的方法．此法简便、直观．【典例】 一个质量为1 kg 的物体放在粗糙的水平地面上，今用最小的拉力拉它，使之做匀速运动，已知这个最小拉力为6 N ，g ＝10 m/s 2，则下列关于物体与地面间的动摩擦因数μ，最小拉力与水平方向的夹角θ，正确的是( )．A ．μ＝34，θ＝0B ．μ＝34 tan θ＝34C ．μ＝34 tan θ＝43D ．μ＝35 tan θ＝35即学即练 (2013·苏州调研)如图2－4－12所示，质量均为m 的小球A 、B 用两根不可伸长的轻绳连接后悬挂于O 点，在外力F 的作用下，小球A 、B 处于静止状态．若要使两小球处于静止状态且悬线OA 与竖直方向的夹角θ保持30°不变，则外力F 的大小( )．A ．可能为33mg B ．可能为52mg C ．可能为2mg D ．可能为mg对应高考题1．(2011·江苏卷，1)如图所示，石拱桥的正中央有一质量为m 的对称楔形石块，侧面与竖直方向的夹角为α，重力加速度为g .若接触面间的摩擦力忽略不计，则石块侧面所受弹力的大小为( )．A ．mg 2sin α B ．mg 2cos α C ．12mg tan α D ．12mg cot α2．(2012·上海卷，8)如图所示，光滑斜面固定于水平面，滑块A 、B 叠放后一起冲上斜面，且始终保持相对静止，A 上表面水平，则在斜面上运动时，B 受力的示意图为( )．3．(2012·山东卷，17)如图所示，两相同轻质硬杆OO 1、OO 2可绕其两端垂直纸面的水平轴O 、O 1、O 2转动，在O 点悬挂一重物M ，将两相同木块m 分别紧压在竖直挡板上，此时整个系统保持静止．F f 表示木块与挡板间摩擦力的大小，F N 表示木块与挡板间正压力的大小．若挡板间的距离稍许增大后，系统仍静止且O 1、O 2始终等高，则( )．A ．F f 变小B ．F f 不变C ．F N 变小D ．F N 变大4．(2013·上海卷，8)如图所示，质量m A >m B 的两物体A 、B 叠放在一起，靠着竖直墙面．让它们由静止释放，在沿粗糙面下落过程中，物体B 的受力示意图是( )．思想方法 4.共点力平衡中的临界与极值问题的处理方法1．临界问题当某物理量变化时，会引起其他几个物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述．处理临界问题的思维方法 假设推理法． 2．极值问题平衡物体的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题．一般用图解法或解析法进行分析． 处理极值问题的两种基本方法(1)解析法：根据物体的平衡条件列方程，通过数学知识求极值的方法．此法思维严谨，但有时运算量比较大，相对来说较复杂，而且还要依据物理情境进行合理的分析讨论．(2)图解法：根据物体的平衡条件作出力的矢量三角形，然后由图进行动态分析，确定极值的方法．此法简便、直观．【典例】 一个质量为1 kg 的物体放在粗糙的水平地面上，今用最小的拉力拉它，使之做匀速运动，已知这个最小拉力为6 N ，g ＝10 m/s 2，则下列关于物体与地面间的动摩擦因数μ，最小拉力与水平方向的夹角θ，正确的是( )．A ．μ＝34，θ＝0B ．μ＝34 tan θ＝34C ．μ＝34 tan θ＝43D ．μ＝35 tan θ＝35审题指导 正确解答本题需要从以下几个角度分析：(1)水平地面上的物体受几个力的作用？ (2)三个以上力的平衡问题用什么方法求解？(3)求平衡的极值问题有几种方法？分别要用到什么知识？解析 由于物体在水平面上做匀速直线运动，随着拉力与水平方向的夹角α的不同，物体与水平面间的弹力不同，因而滑动摩擦力也不一样．而拉力在水平方向的分力与摩擦力相等．以物体为研究对象，受力分析如图所示，因为物体处于平衡状态，水平方向有F cos α＝μF N ，竖直方向有F sin α＋F N ＝mg . 联立可解得：F ＝μmg cos α＋μsin α＝μmg 1＋μ2sin (α＋φ)，tan φ＝1μ，当α＋φ＝90°，即α＝arctan μ时，sin(α＋φ)＝1，F 有最小值：F min ＝μmg 1＋μ2，代入数值得μ＝34此时α＝θ，tan θ＝tan α＝34，B 正确．答案 B图2－4－12即学即练 (2013·苏州调研)如图2－4－12所示，质量均为m 的小球A 、B 用两根不可伸长的轻绳连接后悬挂于O 点，在外力F 的作用下，小球A 、B 处于静止状态．若要使两小球处于静止状态且悬线OA 与竖直方向的夹角θ保持30°不变，则外力F 的大小( )．A ．可能为33mg B ．可能为52mg C ．可能为2mg D ．可能为mg解析 取A 、B 两球为一整体，质量为2m ，悬线OA 与竖直方向夹角为30°，由图可以看出，外力F 与悬线OA 垂直时为最小，F min ＝2mg sin θ＝mg ，所以外力F 应大于或等于mg ，选项B 、C 、D 均正确．答案 BCD附：对应高考题组(PPT 课件文本，见教师用书)1．(2011·江苏卷，1)如图所示，石拱桥的正中央有一质量为m 的对称楔形石块，侧面与竖直方向的夹角为α，重力加速度为g .若接触面间的摩擦力忽略不计，则石块侧面所受弹力的大小为( )．A ．mg2sin αB ．mg2cos αC ．12mg tan αD ．12mg cot α解析 以楔形石块为研究对象，它受到竖直向下的重力和垂直侧面斜向上的两个支持力，利用正交分解法可解得：2F sin α＝mg ，则F ＝mg2sin α，A 正确． 答案 A2．(2012·上海卷，8)如图所示，光滑斜面固定于水平面，滑块A 、B 叠放后一起冲上斜面，且始终保持相对静止，A 上表面水平，则在斜面上运动时，B 受力的示意图为( )．解析 A 、B 整体沿斜面向下的加速度a 可沿水平方向和竖直方向分解为加速度a ∥和a ⊥，如图所示，以B 为研究对象，B 滑块必须受到水平向左的力来产生加速度a ∥.因此B 受到三个力的作用，即：重力、A 对B 的支持力、A 对B 的水平向左的静摩擦力，故只有选项A 正确．答案 A3．(2012·山东卷，17)如图所示，两相同轻质硬杆OO 1、OO 2可绕其两端垂直纸面的水平轴O 、O 1、O 2转动，在O 点悬挂一重物M ，将两相同木块m 分别紧压在竖直挡板上，此时整个系统保持静止．F f 表示木块与挡板间摩擦力的大小，F N 表示木块与挡板间正压力的大小．若挡板间的距离稍许增大后，系统仍静止且O 1、O 2始终等高，则( )．A ．F f 变小B ．F f 不变C ．F N 变小D ．F N 变大甲解析 选重物M 及两个木块m 组成的系统为研究对象，系统受力情况如图甲所示，根据平衡条件有2F f ＝(M ＋2m )g ，即F f ＝(M ＋2m )g2，与两挡板间距离无关，故挡板间距离稍许增大后，F f 不变，所以选项A 错误，选项B 正确；如图乙所示，将绳的张力F 沿OO 1、OO 2两个方向分解为F 1、F 2，则F 1＝F 2＝F2cos θ，当挡板间距离稍许增大后，F 不变，θ变大，cos θ变小，故F 1变大；选左边木块m 为研究对象，其受力情况如图丙所示，根据平衡条件得F N ＝F 1sin θ，当两挡板间距离稍许增大后，F 1变大，θ变大，sin θ变大，因此F N 变大，故选项C 错误、选项D 正确．答案BD在沿粗糙面下落过程中，物体B的受力示意图是()．解析两物体A、B叠放在一起，在沿粗糙墙面下落过程中，由于物块与竖直墙面之间没有压力，没有摩擦力，二者一起做自由落体运动，AB之间没有弹力作用，物体B的受力示意图是图A.答案 A。
【物理课件】平衡状态中的临界和极值问题 2023-2024学年高一物理人教版2019必修第一册
（1）AO的拉力；
（2）为保证绳子不断，所挂重物的最大质量是多少？
题型二：绳子承受最大拉力问题
【变式1】用一根长1m的轻质细绳将一幅质量为1kg的画框对称悬挂在墙壁上，
已知绳能承受的最大张力10N，为使绳不断裂，画框上两个钉的间距最大为（g
前推进。槽表面光滑，摩擦力可以不计；部件A与部件B界面具有摩擦系数μ，
且最大静摩擦力等于滑动摩擦力，界面与水平面呈45°夹角。部件B质量为m，
重力加速度为g，为了使门闩启动，施加在部件A上的水平力F至少是（
）
【详解】设A、B刚好发生相对滑动，A、B的受力如图所示
题型三：物体间相对滑动问题
【变式2】扩张机的原理如图所示，A、B、C为活动铰链，在A处作用一水平力
1
为m2的钩码，平衡后绳的ac段正好水平，则重物和钩码的质量比 为（
2
）
考向2：限定条件下的平衡问题
【详解】对绳子上c点进行受力分析
THANKS
求：
（1）A、B接触面间的动摩擦因数μ2；
（2）若F=10N，地面对物体A的摩擦力大小？A对物体B的摩擦力大小？
（3）若F=20N，地面对物体A的摩擦力大小？物体B对物体A的摩擦力大小？
题型三：物体间相对滑动问题
题型三：物体间相对滑动问题
【变式1】竖直门闩简化结构的侧视图如图所示。下方部件A可以在水平槽内向
此过程中某段绳子被拉断，则（ B ）
A．绳AC段先断
B．绳OA段先断
C．绳AB段先断
D．OA与AB段可能同时拉断
题型三：物体间相对滑动问题
【典例3】如图所示，物体A重40N，物体B重20N，A与地面间的动摩擦因数
秘籍02 共点力的静态平衡、动态平衡、临界和极值问题、整体法和隔离法-24年高考物理抢分秘籍(教师版
秘籍02共点力的静态平衡、动态平衡、临界和极值问题、整体法和隔离法一、共点力的平衡1.平衡状态：物体受到几个力作用时，如果保持静止或匀速直线运动状态，我们就说这个物体处于平衡状态。
【注意】“静止”和“v=0”的区别和联系当v=0时：①a=0时，静止，处于平衡状态②a≠0时，不静止，处于非平衡状态，如自由落体初始时刻2.共点力平衡的条件(1)条件：在共点力作用下物体平衡的条件是合力为0。
(2)公式：F合＝03.三个结论：①二力平衡：二力等大、反向，是一对平衡力；②三力平衡：任两个力的合力与第三个力等大、反向；③多力平衡：任一力与其他所有力的合力等大、反向。
二、静态平衡与动态平衡的处理方法1.静态平衡与动态平衡静态平衡v=0，a=0；静止与速度v＝0不是一回事。
物体保持静止状态，说明v＝0，a＝0，两者同时成立。
若仅是v＝0，a≠0，如自由下落开始时刻的物体，并非处于平衡状态。
动态平衡v≠0，a=0。
瞬时速度为0时，不一定处于平衡状态，如竖直上抛最高点。
只有能保持静止状态而加速度也为零才能认为平衡状态。
物理学中的“缓慢移动”一般可理解为动态平衡。
2.静态平衡的分析思路和解决方法方法内容合成法物体受三个共点力的作用而平衡，则任意两个力的合力一定与第三个力大小相等，方向相反。
分解法物体受三个共点力的作用而平衡，将某一个力按力的效果分解，则其分力和其他两个力满足平衡条件。
正交分解法物体受到三个或三个以上力的作用而平衡，将物体所受的力分解为相互垂直的两组，每组力都满足平衡条件。
力的三角形法对受三个力作用而平衡的物体，将力的矢量图平移使三个力组成一个首尾依次相接的矢量三角形，根据正弦定理、余弦定理或相似三角形等数学知识求解未知力。
3.动态平衡的分析思路和解决方法方法内容解析法对研究对象的任一状态进行受力分析，建立平衡方程，求出已知力与未知力的函数式，进而判断各个力的变化情况图解法①分析物体的受力及特点；②利用平行四边形定则，作出矢量四边形；③根据矢量四边形边长大小作出定性分析；相似三角形法①分析物体的受力及特点；②利用平行四边形定则，作三力矢量三角形；③根据矢量三角形和几何三角形相似作定性分析；拉密定理法①分析物体的受力及特点；②利用平行四边形定则，作三力矢量三角形；③利用正弦或拉密定理作定性分析；三、共点力平衡中的临界极值问题1.临界或极值条件的标志有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程存在着临界点。
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专题：共点力平衡中的临界极值问题1．临界问题
当某物理量变化时，会引起其他物理量的变化，从而使物体所处的平衡状态“恰好出现”或“恰好不出现”，在问题的描述中常用“刚好”、“刚能”、“恰好”等语言叙述。
2．极值问题
物体平衡的极值，一般指在力的变化过程中的最大值和最小值问题。
一般用图解法或解析法进行分析。
3．解决极值问题和临界问题的方法
（1)极限法：首先要正确地进行受力分析和变化过程分析,找出平衡的临界点和极值点；临界条件必须在变化中去寻找，不能停留在一个状态来研究临界问题，而要把某个物理量推向极端，即极大和极小,并依次做出科学的推理分析，从而给出判断或导出一般结论。
(2）数学分析法：通过对问题的分析，依据物体的平衡条件写出物理量之间的函数关系（或画出函数图象)，用数学方法求极值(如求二次函数极值、公式极值、三角函数极值),但利用数学方法求出极值后，一定要依据物理原理对该值的合理性及物理意义进行讨论和说明。
（3)物理分析方法:根据物体的平衡条件，作出力的矢量图，通过对物理过程的分析,利用平行四边形定则进行动态分析,确定最大值与最小值。
[典题］(2016·宝鸡联考）如图所示,质量为m的物体放在一固定斜面上，当斜
面倾角为30°时恰能沿斜面匀速下滑.对物体施加一大小为F水平向右的恒力,物体可
沿斜面匀速向上滑行。
设最大静摩擦力等于滑动摩擦力，当斜面倾角增大并超过某一
临界角θ0时，不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行，试求：
（1)物体与斜面间的动摩擦因数；
(2)这一临界角θ0的大小。
[解析](1）如图所示，
对物体受力分析,由平衡条件得mg sin 30°＝μmg cos 30°
解得μ＝tan 30°＝错误!
（2）设斜面倾角为α时，受力情况如图所示，由平衡条件得F cosα＝mg sinα＋F f
F N＝mg cos α＋F sinα
F f＝μF N
解得F＝错误!
当cosα－μsinα＝0，即cotα＝错误!时，F→∞，即“不论水平恒力F多大，都不能使物体沿斜面向上滑行”，此时,临界角θ0＝α＝60°
2．（2012·全国新课标）拖把是由拖杆和拖把头构成的擦地工具(如图所示).设拖把
头的质量为m，拖杆质量可以忽略;拖把头与地板之间的动摩擦因数为常数μ，重力加
速度为g。
某同学用该拖把在水平地板上拖地时，沿拖杆方向推拖把，拖杆与竖直方向
的夹角为θ。
(1）若拖把头在地板上匀速移动，求推拖把的力的大小；
(2)设能使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力与此时地板对拖把的正压力的比值为λ。
已知存在一临界角θ0,若θ≤θ0，则不管沿拖杆方向的推力多大，都不可能使拖把从静止开始运动.求这一临界角的正切值tanθ0.
解析:（1)设该同学沿拖杆方向用大小为F的力推拖把,将推拖把的力沿竖直和水平方向分解，由平衡条件得
F cosθ＋mg－F N＝0①
F sinθ－F f＝0②
式中F N和F f分别为地板对拖把的正压力和摩擦力，则
F f＝μF N③
联立①②③式得F＝错误!④
（2）使该拖把在地板上从静止刚好开始运动的水平推力等于拖把与地板间的最大静摩擦力，设为F fm，则依题意有
F fm
F N＝λ⑤
若不管沿拖杆方向用多大的力都不能使拖把从静止开始运动，应满足
F cosθ＋mg＝F N⑥
F sinθ≤F fm⑦
联立⑤⑥⑦式得F(sinθ－λcosθ）≤λmg⑧
因为λmg总是大于零，要使得F为任意值时上式总是成立，只要满足
sinθ－λcosθ≤0⑨
即有tanθ≤λ⑩
上式取等号即为临界状态,则
tanθ0＝λ⑪
12．物体A的质量为2 kg，两根轻细绳b和c的一端连接于竖直墙上，另一端系于物体A上，在物体A上另施加一个方向与水平线成θ角的拉力F，相关几何关系如图所示,θ＝60°。
若要使两绳都能伸直，求拉力F的取值范围。
(g取10 m/s2)
解析：c绳刚好伸直时,拉力F最小，物体A受力如图甲所示。
由平衡条件得
F min sinθ＋F b sinθ－mg＝0①
F min cosθ－F b cosθ＝0②
解得F min＝错误!＝错误!N
b绳刚好伸直时，拉力F最大，物体A受力如图乙所示。
由平衡条件得
F max sinθ－mg＝0
解得F max＝错误!＝错误!N
故拉力F的取值范围是错误!N≤F≤错误!N。
答案：错误!N≤F≤错误!N。