高考数学二轮复习专题四数列推理与证明第3讲数列的综合问题专题突破讲义文
第3讲 数列的综合问题
1.数列的综合问题，往往将数列与函数、不等式结合，探求数列中的最值或证明不等式． 2．以等差数列、等比数列为背景，利用函数观点探求参数的值或范围． 3．将数列与实际应用问题相结合，考查数学建模和数学应用能力．
热点一 利用S n ，a n 的关系式求a n 1．数列{a n }中，a n 与S n 的关系
a n ＝?
??
??
S 1，n ＝1，S n －S n －1，n ≥2.
2．求数列通项的常用方法
(1)公式法：利用等差(比)数列求通项公式．
(2)在已知数列{a n }中，满足a n ＋1－a n ＝f (n )，且f (1)＋f (2)＋…＋f (n )可求，则可用累加法求数列的通项a n .
(3)在已知数列{a n }中，满足a n ＋1
a n
＝f (n )，且f (1)·f (2)·…·f (n )可求，则可用累乘法求数列的通项a n .
(4)将递推关系进行变换，转化为常见数列(等差、等比数列)．
例1 (2017·运城模拟)正项数列{a n }的前n 项和为S n ，满足a 2
n ＋3a n ＝6S n ＋4. (1)求{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2n
a n ，求数列{
b n }的前n 项和T n . 解 (1)由a 2
n ＋3a n ＝6S n ＋4，① 知a 2
n ＋1＋3a n ＋1＝6S n ＋1＋4，② 由②－①，得
a 2n ＋1－a 2
n ＋3a n ＋1－3a n ＝6S n ＋1－6S n ＝6a n ＋1，
即(a n ＋1＋a n )(a n ＋1－a n －3)＝0， ∵a n >0，∴a n ＋1＋a n >0，
∴a n ＋1－a n －3＝0，即a n ＋1－a n ＝3. 又a 2
1＋3a 1＝6S 1＋4＝6a 1＋4，
即a 21－3a 1－4＝(a 1－4)(a 1＋1)＝0，∵a n >0，∴a 1＝4， ∴{a n }是以4为首项，以3为公差的等差数列，
∴a n ＝4＋3(n －1)＝3n ＋1. (2)b n ＝2n a n ＝(3n ＋1)·2n
，
故T n ＝4·21
＋7·22
＋10·23
＋…＋(3n ＋1)·2n
， 2T n ＝4·22
＋7·23
＋10·24
＋…＋(3n ＋1)·2
n ＋1
，
∴－T n ＝4·21
＋3·22
＋3·23
＋…＋3·2n
－(3n ＋1)·2n ＋1
＝21
＋3(2＋22
＋23
＋…＋2n )－(3n ＋1)·2n ＋1
＝21＋3·2(1－2n
)1－2
－(3n ＋1)·2n ＋1
＝－(3n －2)·2
n ＋1
－4， ∴T n ＝(3n －2)·2
n ＋1
＋4.
思维升华 给出S n 与a n 的递推关系，求a n ，常用思路：一是利用S n －S n －1＝a n (n ≥2)转化为a n 的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S n 的递推关系，先求出S n 与n 之间的关系，再求
a n .
跟踪演练1 (2017届湖南省娄底市二模)设数列{a n }的前n 项和S n ＝2n ＋1
－2，数列{b n }满足b n
＝
1(2n ＋1)log 2a 2n －1
＋22n －1
.
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)当n ＝1时， a 1＝S 1＝2， 由S n ＝2
n ＋1
－2，得S n －1＝2n
－2(n ≥2)，
∴a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1
－2n ＝2n
(n ≥2)，
又a 1也符合，∴a n ＝2n
(n ∈N *
)． (2)b n ＝1(2n ＋1)log 222n －1＋2
2n －1
＝
1(2n ＋1)(2n －1)
＋22n －1
＝12? ??
??12n －1－12n ＋1＋22n －1
， T n ＝12?
?
?
??
1－13＋13－15＋…＋1
2n －1－12n ＋1
＋(2＋23＋25＋…＋22n －1
) ＝12? ?
???1－12n ＋1＋2(1－4n )1－4
＝2
2n ＋1
3－14n ＋2－16
. 热点二 数列与函数、不等式的综合问题
数列与函数的综合问题一般是利用函数作为背景，给出数列所满足的条件，通常利用点在曲
线上给出S n 的表达式，还有以曲线上的切点为背景的问题，解决这类问题的关键在于利用数列与函数的对应关系，将条件进行准确的转化．数列与不等式的综合问题一般以数列为载体，考查最值问题，不等关系或恒成立问题．
例2 设f n (x )＝x ＋x 2
＋…＋x n
－1，x ≥0，n ∈N ，n ≥2. (1)求f n ′(2)；
(2)证明：f n (x )在? ????0，23内有且仅有一个零点(记为a n )，且0＜a n －12＜13? ????23n . (1)解 方法一 由题设f n ′(x )＝1＋2x ＋…＋nx n －1
，
所以f n ′(2)＝1＋2×2＋…＋(n －1)2n －2
＋n ·2
n －1
，①
则2f n ′(2)＝2＋2×22＋…＋(n －1)2
n －1
＋n ·2n
，②
由①－②得，－f n ′(2)＝1＋2＋22
＋…＋2n －1
－n ·2n
＝1－2n
1－2－n ·2n ＝(1－n )2n
－1， 所以f n ′(2)＝(n －1)2n
＋1.
方法二 当x ≠1时，f n (x )＝x －x n ＋1
1－x
－1，
则f n ′(x )＝[1－(n ＋1)x n
](1－x )＋(x －x
n ＋1
)(1－x )2
，
可得f n ′(2)＝－[1－(n ＋1)2n
]＋2－2
n ＋1
(1－2)2
＝(n －1)2n
＋1.
(2)证明 因为f n (0)＝－1＜0， f n ? ????23＝23??????1－? ????23n 1－23
－1＝1－2×? ??
??23n
≥1－2×? ??
??232
＞0，
所以f n (x )在? ??
??0，23内至少存在一个零点， 又f ′n (x )＝1＋2x ＋…＋nx
n －1
＞0，
所以f n (x )在? ??
??0，23内单调递增， 因此f n (x )在? ??
??0，23内有且仅有一个零点a n ， 由于f n (x )＝x －x n ＋1
1－x
－1，
所以0＝f n (a n )＝a n －a n ＋1
n
1－a n
－1，
由此可得a n ＝12＋12a n ＋1n ＞1
2，
故12＜a n ＜2
3
， 所以0＜a n －12＝12a n ＋1n ＜12×? ????23n ＋1＝13? ??
??23n .
思维升华 解决数列与函数、不等式的综合问题要注意以下几点
(1)数列是一类特殊的函数，函数定义域是正整数，在求数列最值或不等关系时要特别重视． (2)解题时准确构造函数，利用函数性质时注意限制条件． (3)不等关系证明中进行适当的放缩．
跟踪演练2 (2016届浙江省宁波市期末)已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝2(S n ＋n ＋1)(n ∈N *
)，令b n ＝a n ＋1.
(1)求证：{b n }是等比数列；
(2)记数列{nb n }的前n 项和为T n ，求T n ； (3)求证：12－12×3n <1a 1＋1a 2＋1a 3＋…＋1a n <
11
16. (1)证明 a 1＝2，a 2＝2(2＋2)＝8，
a n ＋1＝2(S n ＋n ＋1)(n ∈N *) a n ＝2(S n －1＋n )(n ≥2)，
两式相减，得a n ＋1＝3a n ＋2(n ≥2)． 经检验，当n ＝1时上式也成立， 即a n ＋1＝3a n ＋2(n ≥1)．
所以a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，即b n ＋1＝3b n ，且b 1＝3. 故{b n }是等比数列． (2)解 由(1)得b n ＝3n
.
T n ＝1×3＋2×32＋3×33＋…＋n ×3n ，
3T n ＝1×32
＋2×33
＋3×34
＋…＋n ×3n ＋1
，
两式相减，得
－2T n ＝3＋32
＋33
＋…＋3n －n ×3n ＋1
＝3(1－3n
)1－3
－n ×3n ＋1
，
化简得T n ＝? ??
??32n －34×3n ＋3
4.
(3)证明由1
a k ＝
1
3k－1
>
1
3k
，
得1
a1
＋
1
a2
＋
1
a3
＋…＋
1
a n
>
1
3
＋
1
32
＋…＋
1
3n
＝1
3?
????
1－
1
3n
1－
1
3
＝
1
2
－
1
2
×
1
3n
.
又1
a k
＝
1
3k－1
＝
3k＋1－1
(3k－1)(3k＋1－1)
<
3k＋1
(3k－1)(3k＋1－1)
＝3
2?
????
1
3k－1
－
1
3k＋1－1
，
所以1
a1＋
1
a2
＋
1
a3
＋…＋
1
a n
<1
2
＋
3
2?
??? ????
1
32－1
－
1
33－1
＋
?
?
??
?
1
33－1
－
1
34－1
＋…＋
??
?
?
?
??
?
1
3n－1
－
1
3n＋1－1
＝1
2
＋
3
2?
????
1
32－1
－
1
3n＋1－1
＝1
2
＋
3
16
－
3
2
×
1
3n＋1－1
<
11
16
，
故1
2
－
1
2×3n
<
1
a1
＋
1
a2
＋
1
a3
＋…＋
1
a n
<
11
16
.
热点三数列的实际应用
用数列知识解相关的实际问题，关键是合理建立数学模型——数列模型，弄清所构造的数列是等差模型还是等比模型，它的首项是什么，项数是多少，然后转化为解数列问题．求解时，要明确目标，即搞清是求和，还是求通项，还是解递推关系问题，所求结论对应的是解方程问题，还是解不等式问题，还是最值问题，然后进行合理推算，得出实际问题的结果．
例3 自从祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来，在11个省区设立了海峡两岸农业合作试验区和台湾农民创业园，台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、受理、审批一站式服务，某台商第一年年初到大陆就创办了一座120万元的蔬菜加工厂M，M的价值在使用过程中逐年减少，从第二年到第六年，每年年初M的价值比上年年初减少10万元，从第七年开始，每年年初M的价值为上年年初的75%.
(1)求第n年年初M的价值a n的表达式；
(2)设A n ＝
a 1＋a 2＋…＋a n
n
，若A n 大于80万元，则M 继续使用，否则须在第n 年年初对M 更新，
证明：必须在第九年年初对M 更新．
(1)解 当n ≤6时，数列{a n }是首项为120，公差为－10的等差数列，故a n ＝120－10(n －1)＝130－10n ，
当n ≥7时，数列{a n }从a 6开始的项构成一个以a 6＝130－60＝70为首项，以3
4为公比的等比数
列，
故a n ＝70×? ??
??34n －6
，
所以第n 年年初M 的价值a n ＝?
???
?
130－10n ，n ≤6，70×? ????34n －6，n ≥7.
(2)证明 设S n 表示数列{a n }的前n 项和，由等差数列和等比数列的求和公式，得 当1≤n ≤6时，S n ＝120n －5n (n －1)，
A n ＝S n
n
＝120－5(n －1)＝125－5n ≥95>80，
当n ≥7时，由于S 6＝570，
故S n ＝570＋(a 7＋a 8＋…＋a n )＝570＋70×34×4×??????1－? ????34n －6＝780－210×? ????34n －6
.
因为{a n }是递减数列，所以{A n }是递减数列．
因为A n ＝S n n
＝780－210×? ??
??34n －6
n
，
A 8＝780－210×? ??
?
?342
8≈82.734>80，
A 9＝780－210×? ??
?
?343
9
≈76.823<80，
所以必须在第九年年初对M 更新． 思维升华 常见数列应用题模型的求解方法
(1)产值模型：原来产值的基础数为N ，平均增长率为p ，对于时间n 的总产值y ＝N (1＋p )n
. (2)银行储蓄复利公式：按复利计算利息的一种储蓄，本金为a 元，每期的利率为r ，存期为
n ，则本利和y ＝a (1＋r )n .
(3)银行储蓄单利公式：利息按单利计算，本金为a 元，每期的利率为r ，存期为n ，则本利和y ＝a (1＋nr )．
(4)分期付款模型：a 为贷款总额，r 为年利率，b 为等额还款数，则b ＝r (1＋r )n a
(1＋r )n
－1
. 跟踪演练3 一弹性小球从100 m 高处自由落下，每次着地后又跳回原来高度的2
3再落下，设
它第n 次着地时，共经过了S n ，则当n ≥2时，有( ) A ．S n 的最小值为100 B ．S n 的最大值为400 C ．S n <500 D ．S n ≤500 答案 C
解析 第一次着地时，经过了100 m ；第二次着地时共经过了? ????100＋100×23×2 m ；第三次着地时共经过了? ??
??100＋100×23×2＋100×? ????232×2m ；…；以此类推，第n 次着地时共经过了
?
?
100＋100×23×2＋100×? ????232×2＋…＋100×? ????23n －1×2 m ；所以S n ＝100＋100×2
3
×2＋
100×? ????232×2＋…＋100×? ????23n －1×2＝100＋4003??????1－? ????23n －11－
23＝100＋400??????1－? ????23n －1，显然S n
是关
于n 的单调增函数，所以当n ＝2时，S n 取得最小值S 2＝700
3
，且S n <100＋400＝500，故选
C.
真题体验
1．(2016·浙江)设数列{a n }的前n 项和为S n .若S 2＝4，a n ＋1＝2S n ＋1，n ∈N *
，则a 1＝______，
S 5＝______.
答案 1 121
解析 由?
??
??
a 2＝2a 1＋1，
a 2＋a 1＝4，解得a 1＝1，a 2＝3，
当n ≥2时，由已知可得
a n ＋1＝2S n ＋1，① a n ＝2S n －1＋1，②
由①－②，得a n ＋1－a n ＝2a n ，∴a n ＋1＝3a n ，又a 2＝3a 1， ∴{a n }是以a 1＝1为首项，以q ＝3为公比的等比数列． ∴S 5＝1－1×3
5
1－3
＝121.
2．(2017·山东)已知{x n }是各项均为正数的等比数列，且x 1＋x 2＝3，x 3－x 2＝2.
(1)求数列{x n }的通项公式；
(2)如图，在平面直角坐标系xOy 中，依次连接点P 1(x 1,1)，P 2(x 2,2)，…，P n ＋1(x n ＋1，n ＋1)得到折线P 1P 2…P n ＋1，求由该折线与直线y ＝0，x ＝x 1，x ＝x n ＋1所围成的区域的面积T n .
解 (1)设数列{x n }的公比为q .
由题意得?????
x 1＋x 1q ＝3，
x 1q 2
－x 1q ＝2.
所以3q 2
－5q －2＝0， 由已知得q ＞0， 所以q ＝2，x 1＝1.
因此数列{x n }的通项公式为x n ＝2
n －1
.
(2)过P 1，P 2，…，P n ＋1向x 轴作垂线，垂足分别为Q 1，Q 2，…，Q n ＋1. 由(1)得x n ＋1－x n ＝2n
－2
n －1
＝2
n －1
，
记梯形P n P n ＋1Q n ＋1Q n 的面积为b n ，
由题意得b n ＝(n ＋n ＋1)2×2n －1＝(2n ＋1)×2n －2
，
所以T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n
＝3×2－1
＋5×20
＋7×21
＋…＋(2n －1)×2
n －3
＋(2n ＋1)×2
n －2
，①
则2T n ＝3×20
＋5×21
＋7×22
＋…＋(2n －1)×2n －2
＋(2n ＋1)×2n －1
，②
由①－②，得
－T n ＝3×2－1
＋(2＋22
＋…＋2
n －1
)－(2n ＋1)×2
n －1
＝32＋2(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)×2n －1. 所以T n ＝(2n －1)×2n
＋12.
押题预测
已知数列{a n }的前n 项和S n 满足关系式S n ＝ka n ＋1，k 为不等于0的常数． (1)试判断数列{a n }是否为等比数列； (2)若a 2＝1
2
，a 3＝1.
①求数列{a n }的通项公式及前n 项和S n 的表达式；
②设b n ＝log 2S n ，数列{c n }满足c n ＝1
b n ＋3b n ＋4
＋b n ＋2·2b n ，数列{c n }的前n 项和为T n ，当n >1时，
求使
4n －1T n
成立的最小正整数n 的值． 押题依据 本题综合考查数列知识，第(1)问考查反证法的数学方法及逻辑推理能力，第(2)问是高考的热点问题，即数列与不等式的完美结合，其中将求数列前n 项和的常用方法“裂项相消法”与“错位相减法”结合在一起，考查了综合分析问题、解决问题的能力． 解 (1)若数列{a n }是等比数列，则由n ＝1得a 1＝S 1＝ka 2，从而a 2＝ka 3. 又取n ＝2得a 1＋a 2＝S 2＝ka 3，
于是a 1＝0，显然矛盾，故数列{a n }不是等比数列． (2)①由条件得?????
a 1＝1
2
k ，a 1
＋1
2＝k ，
解得?????
a 1＝12，
k ＝1，
从而S n ＝a n ＋1.
当n ≥2时，由S n －1＝a n ，得a n ＝S n －S n －1＝a n ＋1－a n ，
即a n ＋1＝2a n ，此时数列是首项为a 2＝1
2、公比为2的等比数列．
综上所述，数列{a n }的通项公式为a n ＝?????
12
，n ＝1，
2n －3，n ≥2.
从而其前n 项和S n ＝2n －2
(n ∈N *
)．
②由①得b n ＝n －2，
从而c n ＝1(n ＋1)(n ＋2)＋n ·2n －2
.
记C 1＝
12×3＋13×4＋…＋1(n ＋1)(n ＋2)
＝? ????12－13＋? ????13－14＋…＋? ??
??1n ＋1－1n ＋2
＝
n
2(n ＋2)
，
记C 2＝1·2－1
＋2·20
＋…＋n ·2n －2
，
则2C 2＝1·20
＋2·21
＋…＋n ·2n －1
，
两式相减得C 2＝(n －1)·2
n －1
＋12
， 从而T n ＝n
2(n ＋2)
＋(n －1)·2
n －1
＋12
＝
n ＋1n ＋2
＋(n －1)·2n －1
， 则不等式
4n －1T n
＋n ＋122
， 即n 2
＋n －90>0，因为n ∈N *
，故n >9， 从而最小正整数n 的值是10.
A 组 专题通关
1．(2017届江西抚州市七校联考)若数列{a n }满足(2n ＋3)·a n ＋1－(2n ＋5)a n ＝(2n ＋3)(2n ＋
5)·lg ? ????1＋1n ，且a 1＝5，则数列????
??a n 2n ＋3的第100项为( ) A ．2 B ．3
C ．1＋lg 99
D ．2＋lg 99 答案 B
解析 由(2n ＋3)a n ＋1－(2n ＋5)a n
＝(2n ＋3)(2n ＋5)lg ?
??
??1＋1n ，
可得a n ＋12n ＋5－a n 2n ＋3＝lg ? ??
??1＋1n ， 记b n ＝
a n 2n ＋3，有
b n ＋1－b n ＝lg ? ??
??1＋1n ， 由累加法，得b n ＝lg n ＋1，数列??
??
??
a n 2n ＋3的第100项为lg 100＋1＝3，故选B. 2．已知数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n (n ∈N *
)，则a 1·a 2·a 3·…·a 2 017等于( )
A ．－6
B ．6
C ．－2
D ．2 答案 D
解析 ∵a 1＝2，a n ＋1＝1＋a n 1－a n ，∴a 2＝1＋2
1－2＝－3，
同理a 3＝－12，a 4＝1
3，a 5＝2，…，∴a n ＋4＝a n ，
而a 1a 2a 3a 4＝1，∴a 1a 2a 3…a 2 017＝(a 1a 2a 3a 4)
504×4
×a 1＝1×2＝2，故选D.
3．(2017届贵州省遵义航天高级中学模拟)南北朝时期的数学古籍《张邱建算经》有如下一道题：“今有十等人，每等一人，宫赐金以等次差(即等差)降之，上三人，得金四斤，持出：下四人后入得三斤，持出；中间三人未到者，亦依等次更给，问：每等人比下等人多得几斤？”( )
A.439
B.778
C.776
D.585 答案 B
解析 每等人所得金构成一个等差数列{a n }，设公差为d .由题意得???
??
a 1＋a 2＋a 3＝4，
a 7＋a 8＋a 9＋a 10＝3，即
?
??
??
3a 1＋3d ＝4，
4a 1＋30d ＝3，
解得d ＝－7
78
.故选B.
4．(2017届河北省衡水中学调研)若数列{}a n 满足a 1＝1，且对于任意的n ∈N *
都有a n ＋1＝a n ＋n
＋1，则1a 1＋1a 2＋…＋1
a 2 017
等于( )
A.2 0162 017
B.2 015
2 016 C.
4 0302 016D.2 017
1 009
答案 D
解析 由a n ＋1＝a n ＋n ＋1，得a n ＋1－a n ＝n ＋1，则a 2－a 1＝1＋1，a 3－a 2＝2＋1, a 4－a 3＝3＋1，…，
a n －a n －1＝(n －1)＋1 ，以上等式相加，得a n －a 1＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n －1 ，把a 1＝1代
入上式，得a n ＝1＋2＋3＋…＋(n －1)＋n ＝n (n ＋1)
2
，所以1
a n
＝
2n (n ＋1)＝2? ????1
n －1n ＋1，则1a 1＋1a 2
＋…＋
1a 2 016
＝2????
??? ????1－12＋? ????12－13＋…＋? ????12 017－12 018
＝2? ????1－12 018＝
2 0171 009
，故选D. 5．(2017届天津市六校联考)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝
a n
a n ＋2
(n ∈N *
)．若b n ＋1＝(n －2λ)·? ??
??1a n
＋1 (n ∈N *
)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围是( )
A ．λ>23
B ．λ>32
C ．λ<32
D ．λ<23
答案 D
解析 因为a n ＋1＝
a n
a n ＋2?1a n ＋1＝2a n ＋1?1a n ＋1＋1＝2? ????1a n ＋1?1a n ＋1＝? ??
??1a 1＋12n －1＝2n ，所以b n ＋1
＝(n －2λ)·2n
，因为数列{b n }是单调递增数列， 所以当n ≥2时b n >b n －1?(n －2λ)·2n
>(n －1－2λ)·2
n －1
?n >2λ－1?2>2λ－1?λ<3
2
；当n
＝1时，b 2>b 1?(1－2λ)·2>－λ?λ<23，因此λ<2
3
，故选D.
6．(2017届湖南湘中名校教改联合体联考)对于数列{a n }，定义H n ＝a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n
n
为{a n }
的“优值”，现在已知某数列{a n }的“优值”H n ＝2
n ＋1
，记数列{a n －kn }的前n 项和为S n ，若
S n ≤S 5对任意的n 恒成立，则实数k 的取值范围为________．
答案 ????
??73，125 解析 由题意可知a 1＋2a 2＋…＋2n －1a n n
＝2n ＋1
，
∴a 1＋2a 2＋…＋2
n －1
a n ＝n ·2n ＋1，①
a 1＋2a 2＋…＋2n －2a n －1＝(n －1)·2n ，②
由①－②，得2
n －1
a n ＝n ·2n ＋1－(n －1)·2n ，
则a n ＝2n ＋2，∴a n －kn ＝(2－k )·n ＋2， 令b n ＝(2－k )·n ＋2，
∵S n ≤S 5，∴b 5≥0，b 6≤0，解得73≤k ≤12
5
，
∴k 的取值范围是????
??73，125.
7．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝43(a n －1)，则(4n －2
＋1)? ????16a n ＋1的最小值为__________．
答案 4
解析 ∵S n ＝43(a n －1)，∴S n －1＝4
3(a n －1－1)(n ≥2)，
∴a n ＝S n －S n －1＝4
3(a n －a n －1)，
∴a n ＝4a n －1，又a 1＝S 1＝4
3
(a 1－1)，
∴a 1＝4，∴{a n }是首项为4，公比为4的等比数列， ∴a n ＝4n
，
∴(4n －2
＋1)? ????16a n ＋1＝? ????4n
16＋1? ??
??164n ＋1
＝2＋4n
16＋16
4n ≥2＋2＝4，
当且仅当n ＝2时取“＝”．
8．(2017届山西晋中榆社中学月考)已知数列{a n }的通项公式a n ＝
?????
a ，n ＝1，4n ＋(－1)n (8－2a )，n ≥2，
若对任意n ∈N *
，a n 答案 (3,5) 解析 由已知可得a 2n ＝8n ＋8－2a ， a 2n ＋1＝8n －4＋2a ， 由条件得???? ? a <16－2a ，8n ＋8－2a <8n －4＋2a ， 8n －4＋2a <8(n ＋1)＋8－2a ， 解得3 9．数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n (n ＋1)－1(n ∈N * )． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足：a n ＝ b 13＋1＋b 232＋1＋b 3 33＋1＋…＋b n 3n ＋1 ，求数列{b n }的通项公式． 解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1， 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n (n ＋1)－(n －1)n ＝2n ， 知a 1＝1不满足该式， ∴数列{a n }的通项公式为a n ＝? ?? ?? 1，n ＝1， 2n ，n ≥2. (2)当n ＝1时，b 1＝4；当n ＝2时，b 2＝30； ∵a n ＝ b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n 3n ＋1 (n ≥2)，① a n ＋1＝ b 13＋1＋b 232＋1＋b 333＋1＋…＋b n 3n ＋1＋b n ＋1 3n ＋1＋1 ，② 由②－①，得b n ＋1＝2(3n ＋1 ＋1)，∴b n ＝2(3n ＋1)． 综上，b n ＝???? ? 4，n ＝1，30，n ＝2， 2(3n ＋1)，n ≥3. 10．(2016·四川)已知数列{a n }的首项为1，S n 为数列{a n }的前n 项和，S n ＋1＝qS n ＋1，其中q >0， n ∈N *. (1)若2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，求数列{a n }的通项公式； (2)设双曲线x 2 －y 2a 2n ＝1的离心率为e n ，且e 2＝53，证明：e 1＋e 2＋…＋e n >4n －3 n 3 n －1. (1)解 由已知，S n ＋1＝qS n ＋1，S n ＋2＝qS n ＋1＋1，两式相减，得a n ＋2＝qa n ＋1，n ≥1.又由S 2＝qS 1＋1， 得a 2＝qa 1，故a n ＋1＝qa n 对所有n ≥1都成立． 所以数列{a n }是首项为1，公比为q 的等比数列． 从而a n ＝q n －1 . 由2a 2，a 3，a 2＋2成等差数列，可得 2a 3＝3a 2＋2，即2q 2 ＝3q ＋2，则(2q ＋1)(q －2)＝0， 由已知，q >0，故q ＝2.所以a n ＝2n －1 (n ∈N * )． (2)证明 由(1)可知，a n ＝q n －1 . 所以双曲线x 2 －y 2 a 2n ＝1的离心率 e n ＝1＋a 2n ＝1＋q 2(n －1) . 由e 2＝1＋q 2 ＝53，解得q ＝43. 因为1＋q 2(k －1) >q 2(k －1) ， 所以1＋q 2( k －1) >q k －1 (k ∈N * )． 于是e 1＋e 2＋…＋e n >1＋q ＋…＋q n －1 ＝q n －1 q －1 . 故e 1＋e 2＋…＋e n >4n －3 n 3 n －1. B 组 能力提高 11．(2017届江西抚州市七校联考)若数列{a n }满足a n ＋12n ＋5－a n 2n ＋3 ＝1，且a 1＝5，则数列{a n }的前100项中，能被5整除的项数为( ) A ．42 B ．40 C ．30 D ．20 答案 B 解析 ∵数列{a n }满足a n ＋12n ＋5－a n 2n ＋3＝1， 即 a n ＋1 2(n ＋1)＋3－a n 2n ＋3＝1，且a 1 2×1＋3 ＝1， ∴数列??? ? ?? a n 2n ＋3是以1为首项，以1为公差的等差数列， ∴ a n 2n ＋3 ＝n ，∴a n ＝2n 2 ＋3n ，由题意可知， ∴每10项中有4项能被5整除，∴数列{a n }的前100项中，能被5整除的项数为40，故选B. 12．(2017·广东省汕头市金山中学、河北省石家庄市第二中学联考)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＝a 2 n －1＋2a n －1 (n ≥2)，若b n ＝1 a n ＋1 ＋ 1a n ＋2 (n ∈N * )，则数列{b n }的前n 项和S n ＝________. 答案 1－122n －1 解析 当n ≥2时，a n ＋1＝a 2 n －1＋2a n －1＋1＝(a n －1＋1)2 >0，两边取以2为底的对数可得log 2(a n ＋1)＝log 2(a n －1＋1)2 ＝2log 2(a n －1＋1)，则数列{log 2(a n ＋1)}是以1为首项，2为公比的等比数列， log 2(a n ＋1)＝2 n －1 ，1 22 1n n a -=-，又a n ＝a 2n －1＋2a n －1 (n ≥2)， 可得a n ＋1＝a 2 n ＋2a n (n ∈N * )，两边取倒数可得 1 a n ＋1 ＝ 1a 2 n ＋2a n ＝1a n (a n ＋2)＝12? ?? ??1 a n －1a n ＋2， 即 2 a n ＋1＝1a n －1a n ＋2 ， 因此b n ＝ 1 a n ＋1 ＋ 1a n ＋2＝1a n －1a n ＋1 ， 所以S n ＝b 1＋…＋b n ＝1a 1－1 a n ＋1 ＝1－ 12 2n －1 . 13．已知数列{a n }中，a 1＝1，且点P (a n ，a n ＋1)(n ∈N * )在直线x －y ＋1＝0上． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)若函数f (n )＝ 1n ＋a 1＋2n ＋a 2＋3n ＋a 3＋…＋n n ＋a n (n ∈N * ，且n >2)，求函数f (n )的最小值； (3)设b n ＝1 a n ，S n 表示数列{b n }的前n 项和，试问：是否存在关于n 的整式g (n )，使得S 1＋S 2 ＋S 3＋…＋S n －1＝(S n －1)·g (n )对于一切不小于2的自然数n 恒成立？若存在，写出g (n )的解析式，并加以证明；若不存在，试说明理由． 解 (1)点P (a n ，a n ＋1)在直线x －y ＋1＝0上， 即a n ＋1－a n ＝1，且a 1＝1， ∴数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列， ∴a n ＝1＋(n －1)·1＝n (n ∈N * )． (2)∵f (n )＝ 1n ＋1＋2n ＋2＋…＋n 2n ， ∴f (n ＋1)＝ 1n ＋2＋2n ＋3＋…＋n －12n ＋n 2n ＋1＋n ＋12n ＋2 ， ∴f (n ＋1)－f (n )>0， ∴f (n )是单调递增的， 故f (n )的最小值是f (3)＝23 20. (3)∵b n ＝1n ?S n ＝1＋12＋13＋…＋1 n ， ∴S n －S n －1＝1 n (n ≥2)， 即nS n －(n －1)S n －1＝S n －1＋1， ∴(n －1)S n －1－(n －2)S n －2＝S n －2＋1，…，2S 2－S 1＝S 1＋1， ∴nS n －S 1＝S 1＋S 2＋…＋S n －1＋n －1， ∴S 1＋S 2＋…＋S n －1＝nS n －n ＝(S n －1)·n (n ≥2)， ∴g (n )＝n . 14．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n 1＋a 2n ， n ∈N *，记S n ，T n 分别是数列{a n }，{a 2 n }的前n 项和．证明：当n ∈N * 时， (1)a n ＋1 1 a 2 n ＋1 －2n －1； (3)2n －1 a n 1＋a 2n 知，a n >0， 故a n ＋1－a n ＝a n 1＋a 2n －a n ＝－a 3 n 1＋a 2n <0，