第十章 bootstrap方法
bootstrap法原理
bootstrap法原理Bootstrap法原理引言：在现代软件开发中，前端开发人员经常使用Bootstrap来构建优雅的、响应式的和移动设备友好的Web界面。
那么，什么是Bootstrap法？Bootstrap法是一种通过从样本数据中随机选择样本，并使用这些样本进行重复抽样来估计总体参数的统计方法。
本文将详细介绍Bootstrap法的原理和应用。
一、Bootstrap法的原理Bootstrap法的原理可以简单概括为以下几个步骤：1. 从原始样本数据中进行有放回地随机抽样，得到一个新的样本，该样本的大小与原始样本相同；2. 对于每个新的样本，计算所感兴趣的统计量，例如均值、中位数等；3. 重复上述两个步骤多次，得到多个统计量的估计值；4. 对这些估计值进行统计分析，例如计算平均值、标准误差等。
二、Bootstrap法的应用Bootstrap法在统计学中有广泛的应用，特别是在以下几个方面：1. 参数估计：当总体分布未知或无法准确描述时，可以使用Bootstrap法来估计总体参数，例如均值、方差等；2. 置信区间估计：通过Bootstrap法，可以构建置信区间来估计总体参数的不确定性范围；3. 假设检验：Bootstrap法可以用于假设检验，通过重复抽样得到的统计量的分布来判断原假设的可信度；4. 非参数统计分析：Bootstrap法适用于非参数统计方法，如核密度估计、回归分析等。
三、Bootstrap法的优点Bootstrap法作为一种统计方法，具有以下几个优点：1. 灵活性：Bootstrap法不依赖于总体分布的假设，适用于各种类型的数据；2. 置信度高：Bootstrap法通过重复抽样得到的统计量分布可以更准确地估计总体参数的不确定性；3. 易于实施：Bootstrap法的实施相对简单，只需要重复抽样和计算统计量即可；4. 适用范围广：Bootstrap法适用于各种统计分析方法，包括参数估计、假设检验和非参数统计分析。
统计学中的Bootstrap方法
统计学中的Bootstrap方法引言统计学是一门研究如何收集、整理、分析和解释数据的学科。
在统计学中，Bootstrap方法是一种常用的统计推断方法，它可以通过重复抽样来评估统计量的抽样分布。
本文将介绍Bootstrap方法的原理、应用和优点。
一、Bootstrap方法的原理Bootstrap方法是由Bradley Efron于1979年提出的一种非参数统计推断方法。
它的基本思想是通过从原始样本中有放回地进行随机抽样，形成多个“伪样本”，然后利用这些“伪样本”来估计统计量的抽样分布。
具体步骤如下：1. 从原始样本中有放回地抽取n个样本观测值，形成一个“伪样本”；2. 重复步骤1，生成B个“伪样本”；3. 对每个“伪样本”，计算统计量的值；4. 利用这些统计量的值构建抽样分布。
二、Bootstrap方法的应用Bootstrap方法在统计学中有广泛的应用，以下是一些常见的应用领域：1. 参数估计：Bootstrap方法可以用于估计参数的抽样分布和置信区间。
通过从原始样本中重复抽样，可以得到参数的分布情况，从而估计参数的置信区间。
2. 假设检验：Bootstrap方法可以用于假设检验，特别是在小样本情况下。
通过生成多个“伪样本”，可以计算统计量的抽样分布，并进行假设检验。
3. 回归分析：Bootstrap方法可以用于回归分析中的参数估计和模型选择。
通过对原始样本进行重复抽样，可以得到回归参数的抽样分布，从而进行模型的评估和选择。
4. 非参数统计推断：Bootstrap方法是一种非参数统计推断方法，可以用于估计分布函数、密度函数等非参数统计量的抽样分布。
三、Bootstrap方法的优点Bootstrap方法相对于传统的统计推断方法有以下优点：1. 不依赖于分布假设：Bootstrap方法是一种非参数方法，不需要对数据的分布进行假设。
这使得它在实际应用中更加灵活和适用。
2. 考虑了样本的不确定性：Bootstrap方法通过重复抽样，考虑了样本的不确定性。
bootstrap方法理论一,二
/
999
=
0.0731 。
4．如果τˆ > Cα∗ 或 pˆ ∗ (τˆ) < α 则拒绝零假设。
当 B 是有限的，可行的 P 值 pˆ ∗ (τˆ) 依赖于使用 bootstrap 样本重复抽样得到的随机变量个
数。在 B → ∞ ，大样本准则显示 bootstrap P 值为
pˆ ∗(τˆ) ≡ Prμˆ (τ ≥ τˆ)
yt∗
=
β1
+
β2
y∗ t −1
+
ut∗ ， ut∗
∼
NID(0, s2 )
，
（4）关键在于零假设。如，如果参数 β = ⎡⎣β1 β2 ⎤⎦ ，零假设 β2 = 0 ，则实际估计的模型是
y = X1β1 + u ，因此使用 β = ⎡⎣β1 0⎤⎦ 生成 bootstrap 样本。
如果不需要假设误差项是正态分布，但是可以假设误差项是独立同分布。则可以使用半参
rejection probability function (RPF)定义为，
R(α , μ) ≡ Prμ (πτ ≤ α ) 明显地， R(α , μ) 依赖于α 和 DGP μ 。
对于确定性检验，RPF 等于α 。 对于主轴量检验，RPF 是平滑的，但一般不等于α 。
对于非主轴量检验，RPF 是非平滑的。
对于这类主轴量检验，bootstrap 样本很容易生成。因为所有这些统计量都是 M X ε 的函数，
我们只要生成 ε ∗ ∼ N (0, I) ，这里不需要计算 u∗ ， y∗ 。注意：这些假设没有滞后自变量和其他
依赖于滞后自变量的回归变量。 三、参数 bootstrap 估计
对于线性回归模型，参数 bootstrap 估计如下：
bootstrap法
bootstrap法Bootstrap法是一种常用的统计学方法，它可以用来评估统计学中的参数估计和假设检验的准确性。
Bootstrap法最初由布拉德利·埃夫隆和皮特·哈尔在1979年提出，并在之后的几十年里得到了广泛的应用。
本文将介绍Bootstrap法的基本原理、应用场景以及实现方法。
一、Bootstrap法的原理Bootstrap法的基本思想是通过从样本中重复抽取数据来估计统计量的分布。
具体而言，Bootstrap法包括以下步骤：1. 从原始数据样本中随机抽取一个固定数量的样本（通常与原始样本大小相同），并将其作为一个新的样本。
2. 重复步骤1多次，通常是1000次或更多次。
3. 对每个新样本计算统计量（如均值、方差、中位数等）。
4. 将所有计算出的统计量按升序排列。
5. 根据需要计算出置信区间和标准误等统计量。
Bootstrap法的核心在于重复抽样。
通过从原始数据样本中重复随机抽样，我们可以获得更准确的统计量估计和假设检验结果。
在某些情况下，原始数据可能不符合正态分布或其他假设检验的前提条件。
Bootstrap法可以通过生成新的样本来解决这些问题。
二、Bootstrap法的应用场景Bootstrap法可以用于各种统计学应用中，包括参数估计、假设检验、回归分析、时间序列分析等。
以下是Bootstrap法的一些常见应用场景：1. 参数估计：Bootstrap法可以用来估计统计量的标准误和置信区间，如均值、中位数、方差、相关系数等。
2. 假设检验：Bootstrap法可以用来检验假设检验的显著性，如两个总体均值是否相等、回归系数是否显著等。
3. 回归分析：Bootstrap法可以用来估计回归系数的标准误和置信区间，以及模型的预测误差等。
4. 时间序列分析：Bootstrap法可以用来估计时间序列模型的参数和预测误差，以及分析时间序列的置信区间和假设检验结果等。
三、Bootstrap法的实现方法Bootstrap法的实现方法相对简单，可以使用各种编程语言和软件包来实现。
Bootstrap方法简介
Bootstrap 方法简介1 Bootstrap 抽样方法Bootstrap 方法是Efron 在 1977 年提出的一种数据处理方法，其本质上是对已知数据的再抽样。
Bootstrap 的数学原理大致如下：1(,,)n T T T =是来自总体分布函数为()F T 的独立同分布随机样本。
()n F T 是由样本T 得到的分布函数（在产品可靠性分析中，()n F T 一般是指数函数或多参数weibull 函数），由()n F T 得到的参数估计ˆˆ()F θθ=，它可以作为样本参数θ的准确值。
再从新总体()nF T 中抽取与样本T 相同的伪样本1(,,)m m T T T =，一般取m n =。
用伪样本m T 求出参数θ的估计值。
重复操作M 次（一般取1000M =）可得到M 个基于伪样本m T 而得到的θ估计值[4]。
Bootstrap 方法在应用中，重复抽样带来的误差不可避免。
误差主要来源于样本数据的抽样误差和从样本分布中的再抽样误差。
对于再抽样误差，只要 Bootstrap 再抽样样本数充分大，由样本分布所得的再抽样误差就会趋于消失，Bootstrap 估计的所有误差就会接近于抽样误差[5] 。
Bootstrap 方法根据抽样方式的不同可分为参数和非参数两种。
非参数方法主要用于在不知道抽样函数服从什么分布情况下，对经验分布不做过多的假设，把试验数据按从小到大排序获得经验分布，然后从中抽取伪样本的一种方法；参数方法主要用于经验分布已知情况下，当试验数据分布明确时，运用参数方法比运用非参数方法效率更高[6]。
由于多方面的原因，使得收集到的故障间隔时间数据中常含有分离群数据，这些数据会导致估计精度降低。
但是，对于高可靠度的现代机电产品来说收集到的每一个数据都来之不易，所以不易轻易舍去。
因此，可以应用改进的参数 Bootstrap 方法，具体过程如下：（1） 将试验样本数据12(,,,)n X X X X =从小到大排序，每次从中去掉一个样本 i X ，剩下1n -个样本用传统方法建模，得出样本分布函数(1)()n i F T -的估计参数值ˆm 和ˆη。
学习使用Bootstrap进行网页布局和设计
学习使用Bootstrap进行网页布局和设计第一章：引言随着互联网的快速发展，网页设计变得越来越重要。
而作为一名开发者，学习一种流行的前端框架——Bootstrap是非常有必要的。
Bootstrap是一个开源的前端框架，它提供了一套丰富的CSS 和JavaScript组件，可以帮助我们快速地构建美观、响应式的网页布局。
第二章：了解Bootstrap在开始学习Bootstrap之前，我们需要对它有一个基本的了解。
Bootstrap由Twitter的前端工程师Mark Otto和Jacob Thornton开发而来，并于2011年首次发布。
它基于HTML、CSS和JavaScript，为网页设计提供了统一的规范和样式。
第三章：下载与安装要使用Bootstrap，首先我们需要下载并安装它。
我们可以从Bootstrap官方网站或者GitHub上得到Bootstrap的源文件。
它提供了两种版本的下载：编译后的版本和源代码版本。
如果我们只是想快速开始，并不需要定制化，建议选择编译后的版本。
第四章：基本布局在学习Bootstrap的布局之前，我们需要明确一些基本概念。
Bootstrap基于栅格系统来布局网页，通过将页面的宽度划分为12列，我们可以灵活地组合使用这些列来适应不同的设备和屏幕尺寸。
第五章：CSS组件Bootstrap提供了丰富的CSS组件，使我们能够轻松地组装和定制我们的网页。
例如，我们可以使用按钮组件创建各种风格的按钮，使用导航组件构建导航栏，使用表格组件创建数据表格等等。
此外，Bootstrap还提供了各种样式的表单组件，包括输入框、下拉菜单、单选框和多选框等。
第六章：JavaScript插件Bootstrap还包含了一些常用的JavaScript插件，可以增强网页的交互性和功能。
例如，我们可以使用轮播插件来创建图片轮播效果，使用模态框插件显示弹出窗口，使用下拉菜单插件实现下拉菜单功能等。
同时，Bootstrap的JavaScript插件也支持自定义配置，我们可以根据自己的需求进行相应的调整。
高级医学统计学：Bootstrap课件
在某些情况下，例如当数据存在异常 值或离群点时，Bootstrap方法可以 帮助调整样本量，以确保研究具有足 够的统计效能和准确性。
置信区间的估计
置信区间的构建
Bootstrap方法可以用于构建置信区间，即估计某个参数的可能值范围。通过重复抽样 和重采样，Bootstrap可以生成一系列参数的估计值，并计算这些值的置信区间。
置信区间的精度
Bootstrap方法可以帮助估计置信区间的精度，即置信区间包含真实参数值的概率。通 过比较不同Bootstrap样本的置信区间，可以评估置信区间的稳定性和可靠性。
假设检验
假设检验的原理
Bootstrap方法可以用于进行假设检验，即评估某个假设是否成立。通过重采样数据并计算统计量， Bootstrap可以帮助估计假设成立与否的概率。
01
数据异常值处理
在应用bootstrap方法之前，应识别并 处理数据中的异常值，以避免对总体分 布的过度偏离。
02
03
数据清洗
在应用bootstrap方法之前，应进行数 据清洗，以消除错误、异常或不准确 的数据。
模型解释和可视化
模型解释性
在使用bootstrap方法时，应确保模型易 于解释和理解，以便更好地解释结果和 做出决策。
02
抽样分布是统计学中的基本概 念，是估计统计量和它们的标 准误差、置信区间等的重要依 据。
03
不同的统计量有不同的抽样分 布，如均值的抽样分布是正态 分布，中位数的抽样分布是对 称分布。
偏差和方差
01
偏差是指统计量的估计值与真实值之间的差异，反映了估 计的准确性。
02
方差是指统计量估计值的标准误差，反映了估计的不确定 性。
python建模非参数bootstrap方法
python建模非参数bootstrap方法Python建模非参数Bootstrap方法引言在统计学和机器学习领域中，Bootstrap方法是一种常用的非参数统计方法，它通过从原始数据集中有放回地抽取样本，生成大量的重抽样数据集，用于估计参数的分布、解释模型和评估预测的不确定性。
Python提供了许多库和工具，可以方便地实现Bootstrap方法。
Bootstrap方法的基本思想Bootstrap方法的基本思想是通过重采样的方法构建大量的样本，以模拟从总体中独立抽取样本的过程。
具体而言，Bootstrap方法有以下几个步骤：1.从原始数据集中有放回地抽取样本，形成一个新的样本，大小与原始数据集相同。
2.重复第一步的操作，生成大量的重采样数据集。
3.使用每个重采样数据集进行建模、预测或评估。
4.对于得到的多个结果，可以计算均值、方差或置信区间等统计量，用于对参数估计、模型解释和预测不确定性进行推断。
Python库中的Bootstrap方法实现在Python中，有几个常用的库和工具可以用于实现Bootstrap方法，下面介绍其中的几个：1. NumPyNumPy是Python中一个重要的科学计算库，它可以用于数组操作、线性代数和随机数生成等。
使用NumPy可以方便地实现Bootstrap方法的抽样步骤，例如使用()函数实现有放回抽样。
2. Scikit-learnScikit-learn是一个强大的机器学习库，提供了许多常用的机器学习算法和模型评估方法。
Scikit-learn中的BaggingRegressor和BaggingClassifier类实现了基于Bootstrap方法的模型集成算法，可以用于回归和分类问题。
3. StatsmodelsStatsmodels是一个统计分析库，提供了许多统计模型和方法的实现。
Statsmodels中的bootstrapped()函数可以用于执行Bootstrap方法，例如可以使用该函数计算线性回归模型的置信区间。
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于是近似地有
* * * ˆ ˆ ˆ P{ 2 1 2 } 1
记k1 B , k2 B 1 , 2 2 * * ˆ*k 和 ˆ*k 分别作为分位数 ˆ ˆ 式中以 , 2 1 2的估计， 1 2
将它们自小到大排序， 得
ˆ*2 ˆ*B ˆ*1
ˆ , 用对应的R ( X * ) ˆ*的分布作为 取R( X )
R( X )的分布的近似，
* ˆ 求出R( X )的分布的近似下分位点 2和1 2 使 * * * * * ˆ ˆ ˆ P{ 2 1 2 } 1
得样本中位数为135.3
样本10000
134.3 134.5 134.5 134.5 134.7 134.8 134.8 134.8 134.8 134.8 134.9 134.9 134.9 134.9 135.0 135.4 135.4 135.4 135.4 135.4 135.8 136.6 146.5 146.5 147.8 148.8
样本2 21.2 18.2 12.0 样本3 21.1 10.2 10.2 样本4 18.2 12.0 样本6 10.2 10.2 9.5 9.5 样本5 21.1 12.0 18.2 样本7 9.5 21.1 12.0 样本8 10.2 18.2 10.2 样本9 10.2 10.2 18.2 样本10 18.2 10.2 18.2
B 1 ˆi* . 其中 * B i 1
例1 某种基金的年回报率是具有分布函数F的连续
F的中位数是未知参数 . 型随机变量，F未知，
现有以下的数据(%率)
18.2 9.5 12.0 21.1 1பைடு நூலகம்.2
试求中位 以样本中位数作为总体中位数 的估计，
数估计的标准误差的bootstrap 估计.
解 将原始样本自小到大排序， 中间一个数为12.0， 相继地、 独立地在上述5个数据中，按放回抽样的
取B 10得到下述10个bootstrap样本： 方法取样，
样本1 9.5
18.2 12.0
10.2 9.5 12.0 18.2 12.0 21.1 10.2 21.1 18.2 10.2
18.2 10.2 10.2 10.2 18.2 10.2 12.0 21.1 18.2 10.2
* * * * 抽得容量为 n 的样本 x ( x , x , , x 抽样的方法， 1 2 n)
(称为bootstrap 样本 )
2 相继地、 独立地求出B个( B 1000)容量为
0
n的bootstrap 样本，x
*
i
( x , x ,, x ),
* 2
i
*i 1
*i n
i 1,2,, B.
得样本中位数为134.9
对于第i个样本计算
ˆ )2 ( M * 135.1)2 , R R( x i ) ( M i* i
* i
*
对于样本1
* 1 2 2
i 1,2,,10000.
( M 135.1) (135.3 135.1) 0.04,
对于样本10000
试在例2中， 以样本中位数M M ( X )作为总
体F的中位数 的估计， 求偏差b E ( M )的bootstrap 估计.
由例2知原始样本的中位数为135.1.
ˆ 135.1， 以135.1作为总体中位数R 的估计，即
ˆ, 取R R( X ) M ˆ ). 需要估计R( X )的均值E ( M
例2 设金属元素铂的升华热是具有分布函数F的
连续型随机变量， F的中位数是未知参数， 现测得
以下的数据(以kcal mol计)
136.3 134.1 134.9 135.0 134.3 136.6 143.3 149.5 133.7 135.2 135.8 147.8 141.2 134.4 135.4 148.8 135.4 134.9 134.7 134.8 134.8 134.8 135.0 135.2 135.8 134.5
ˆ )2 . 取R R( X ) ( M ˆ )2 ] . 需要估计R( X )的均值E[( M
相继地、独立地抽取10000个样本如下：
样本1
133.2 134.1 134.1 134.1 134.8 134.8 134.8 134.9 134.9 134.9 135.0 135.2 135.2 135.4 135.4 135.8 135.8 136.3 136.3 136.6 136.6 141.2 143.3 143.3 147.8 148.8
位数的估计， 其标准误差的bootstrap 估计为
10 1 ˆˆ ( ˆi* * )2 3.4579 . 9 i 1
二、估计量的均方误差及偏差的bootstrap 估计
设X ( X1 , X 2 ,, X n )是来自总体F的样本，
F未知， 它依赖于 R R( X )是感兴趣的随机变量， 样本X .
1 B ˆ* * 2 ˆ ( ) i B 1 i 1
B 1 ˆi* . 其中 * B i 1
ˆ )就是bootstrap 的估计. D(
ˆ ) 即bootstrap 的估计的步骤是 求 D(
10 自原始数据样本x ( x1 , x2 ,, xn )按放回
2
例3 设X ( X , X ,, X )是来自总体F的样本， 1 2 n
ˆ ˆ ( X 1 , X 2 ,, X n )是参数的估计量 .
ˆ关于 的偏差定义为 的估计 ˆ) . ˆ ) E ( b E ( ˆ是 的无偏估计时b 0. 当
* ( M10000 135.1)2 (134.9 135.1)2 0.04,
用这10000个数的平均值
1 10000 * 2 ( M 135 . 1 ) 0.07 i 10000 i 1
近似E[( M )2 ] ,
既得MSE[( M ) ]的bootstrap 估计为 0.07.
数理统计与随机过程
第十章 bootstrap方法
第一节 非参数bootstrap方法
一、估计量的标准误差bootstrap估计 二、估计量的均方误差及偏差的 bootstrap估计
三、bootstrap置信区间
四、用bootstrap—t法求均值 的bootstrap的置信区间
五、小结
但已经有一个容量为 n 设总体的分布F未知， 的来自F的数据样本， 自这一样本按放回抽样的方 法抽取一个容量为n的样本， 这种样本称为
ˆ 的抽样分布很难处理， 应用中
ˆ ) 无法用一个简单的表达式给出， 标准差 D( ˆ ) 的估计. 但可以用计算机模拟的 方法来求得 D(
ˆ的 对每个样本计算 自F产生很多容量为n的样本， ˆ2 ,, ˆB , 则 D( ˆ1 , ˆ ) 可以用 值， 得
1 B ˆ 2 ˆ ( ) i B 1 i 1
对于例2中第i个样本计算
ˆ ) ( M i* 135.1), Ri* R( x* i ) ( M i*
即有对于样本1
i 1,2,,10000. * ( M1 135.1) 0.02
对于样本10000
估计为
M
* 10000
135.1 0.02
将上述10000个数取平均值得到偏差 b的bootstrap
以样本中位数M M ( X )作为总体中位数 的估计，
试求均方误差MSE E[( M ) ]的bootstrap估计.
2
解
将原始样本自小到大排 序，
左起第13个数为135.0 ， 左起第14个数为135.2 ，
1 于是样本中位数为 (135 .0 135 .2) 135.1. 2 ˆ 135.1. 以135.1作为总体中位数 的估计, 即
对以上每个bootstrap 样本， 求得样本中位数分别为 * ˆ2 ˆ4* 12.0 ˆ5* 18.2 ˆ1* 12.0 12.0 ˆ3* 10.2
ˆ6* 10.2
* ˆ10 ˆ7* 12.0 ˆ8* 18.2 ˆ9* 18.2 10.2
ˆ 12.0作为总体中 以原始样本确定的样本中位数
ˆ 的标准差 ˆ D( ˆ ) 来度量估计的精度 . 用估计量
ˆ 的标准差 ˆ 也称为估计量 ˆ 的标准误差. 估计量
设X1 , X 2 ,, X n是来自以F ( x )为分布函数的总体
的样本， 是我们感兴趣的未知参数，
ˆ ˆ ( X 1 , X 2 ,, X n )作为 的估计量， 用
只是 按照上面所说的三个步骤10， 20， 30 进行，
*i *i *i 在2 0中对第i个bootstrap 样本 x i* ( x1 , x2 , , x n ),
ˆi* , 且在30中计算感兴趣 计算Ri* R( xi* )代替计算 B 1 * * 的R的特征 . E* ( R ) Ri B i 1
1 B ˆ 其中 i ， 然而F常常是未知的， B i 1
x1 , x2 ,, xn是来自F的样本值， 设F未知，
Fn 接近F . Fn是相应的经验分布函数 . 当n很大时，
得到一个容量为n的 以Fn代替F , 在Fn中抽样，
* * * 样本x1 , x2 ,, xn . 这就是bootstrap 样本.
样本， x ( x1, x2 ,, xn )是一个已知的样本值 . F中
ˆ＝ ˆ ( X 1 , X 2 ,, X n )是 的估计量 含有未知参数， .