流体力学讲义5-2

镜像的复势


例2：上半平面强度为 的点涡，其复势应为:
W (z ) f (z ) f (z )
2 i ln z z 0 2 i ln z z 0


§5.7 奇点镜像法
二、平壁面镜像法和圆定理简介---圆柱面镜像
令 f
z
为没有圆边界时的无界流场中的复势，且在
F
ra
pn d s 0
升力, 阻力都为零
§5.4 不可压缩流体绕圆柱的定常无旋流动
二、绕圆柱有环量流动的复势 1、问题的提出 2、理论模型
§5.4 不可压缩流体绕圆柱的定常无旋流动
3、有环量圆柱绕流的复势 验证该复势满足的边界条件有：
W (z) U z U a z
Cp
p p


2
p p 1 2
2
4U
2
sin
2ห้องสมุดไป่ตู้

p
U
2
2
1 4 sin 2
U
2
C p 1 4 sin
2
0,

C p0 1
2
C p m in 3
§5.4 可压缩流体绕圆柱的定常无旋流动
5) 圆柱受到的合 力
w ( z ) ( u iv ) z V e
i
y
z
y
V
Cm
v
o
u
x o
x
2. 平面点源
w ( z ) i Q 2 ln z z 0
Cn
y
Q
z
y
Cm
z0
x o x
o
Cn
§5.3 理想不可压缩流体平面无旋流动的复变函数方法（复习）
l
在复平面上：
令
F F x iF y
7. 定常绕流中物体的受力
则
F i p ( dx idy ) [ p
l l
1 2
V
dw dz 1 2
2
1 2

dw dw dz dz
] dz
dw dz
因为在L上： d 0
d 0
所以
dw dz
因为 p
1 2
V
的封闭积分为零
合力矩公式为：
1 2
M
0
R e[ (
l
dw dz
) zd z
2
旋转圆柱产生升力现象------马格努斯（Magnus)效应
§5.7 奇点镜像法
一、平壁面镜像法和圆定理简介---平壁面镜像法
1. 若在 y 0 的域中存在若干源、汇、偶极子等奇点， 其复势为 f z ，那么在流场中插入 y 0 域中的复势为 在无壁面时

4 U a
（iii) 绕圆周线的环量等于： d W
速度场为
v r U (1 a r
2 2

2 U a U 2 2 iz z
2
dW dz
U
Ua z
2

2 iz
4 U a
) co s
理想不可压缩平面无旋不脱体绕流问题，周围流体作用在物体上的合力为：
F npds
l

l
p ( dyi dxj ) ( pdy ) i ( pdx ) j
l l

p (cos i sin j ) ds
dz (
dz ) dw dw dw dz
dz
且
dz
l
0
布拉修斯（Blasius)公式
M 0 r npds M 0 k
l
F F x iF y
i (
l
) dz
2
2
合力矩为：
M 0
l
r npds M 0k
z a
中
没有奇点，若在此流场中插入 z a 的不动圆柱，则 圆柱外的复势 为
w(z) f

z


a2 f z
-
Q Q -Q
(a )点 源 的 圆 镜 像
(b ) 点 涡 的 圆 镜 像
4 U a
6.圆柱所受合力
F n p d s升 力 为
l
： Fy

l
p co s( n , y ) d s
2 0
p sin a d V
F
y
V
7. 定常绕流中物体的受力----布拉修斯（Blasius)公式：
v U (1
a r
2 2
) sin
2 r
4、 驻点位置与环量的关系 (右图）： 5、 圆柱面上的压强分布：
p p U
2

V 2
2
2
p
2 2 U sin 2 1 4 sin 2 2 2 2 2 aU 16 a U
垂直绕过半径为 a 的固定不动的无限长圆柱，忽略质量力， 沿圆柱周线的速度环量为零， 求 ：圆柱表面速度、压力分布及圆柱受到的合力。
§5.4 不可压缩流体绕圆柱的定常无旋流动
2）复势解
W (z) U z m 2 z
(U , m 为实数
）
需要验证：(i) 无穷远处为均匀来流 ,
(ii) 绕圆周线是流线，其环量等于零 （iii）m 2 U
Im w ( z ) L 0 L dw * 无穷远处： V u iv dz z dw 不可缩周线上： R e dz L dz
物面上：
§5.3 理想不可压缩流体平面无旋流动的复变函数方法（复习）
四、基本流动
1. 均匀流
的平壁面后，在 y 0
w(z) f
z
f
z
在无壁面时其
2、若在 x 0 的域中存在若干源、汇、偶极子等奇点，
复势为
复势为
f
z ，那么在流场中插入 x 0 的平壁面后，在 x 0 域中的
w(z) f
z
f
z
f
z ：表示对 f z 中除 z 以外的其它各复数取共轭
y
a 2
y
V
o
x
+
x o
=
§5.4 不可压缩流体绕圆柱的定常无旋流动
3）圆柱表面的速度分布
y y
V
物面上z=a 和z=－a 两点流体速 度等 于零，称为前、后驻点。 物面上速度最大点： z ia
2
o
x
+
x
o
=
V m ax 2U
U
2
4）流场压力分布和物面上压强 压强系数的定义为： 压强系数 驻点压强系 数 压强最小值在
§5.7 奇点镜像法
例1：上半平面强度为Q的点源其复势为: W ( z )
点源的复势为： 镜像位于
z
Q
2
ln z z 0
Q
2
ln z z 0


Q 2
ln z z 0
0
， 镜像强度等于原点源的强度
f z Q 2 ln z z 0
a0
Q 2
§5.3 理想不可压缩流体平面无旋流动的复变函数方法（复习）
一、复势
w ( z ) x , y i
x, y
z x iy
二、复速度
V u iv V e
i
V
*

dw dz
三、不可压缩流体平面无旋绕流问题的复势提 法
w ( z ) 在 D L 上连续，在 D 内解析
3. 平面点涡
Cm
w(z)
2 i
y
ln z z 0
z

y
z0
x o x
o
Cn
4. 平面偶极子
w(z)
M 2

i
1 z z0
y
M
z
y
Cm
z0
o x o x
M me
Cn
§5.3 理想不可压缩流体平面无旋流动的问题的复变函数方法（复习）
5. 角形区域的流动
w ( z ) A z n , A r n co s( n ) , A r n si n ( n )
问题1：n>1 的角域流动？ 问题2：n<1/2 的幂函数对应？？流动？
§5.4 不可压缩流体绕圆柱的定常无旋流动
（1）问题：无穷远处速度为 V 的理想、匀质不可压流体的均匀来流，
2
0

2 i
ln z
(i )
2 Ua dW U U 2 2 iz z z dz
( ii )
z a ex p i Im W ( z ) z a ex p i ln a co n st